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Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016
Cap. 4. Deformação
1. Deslocamento
2. Gradiente de deslocamento
2.1 Translação, rotação e deformação da vizinhança elementar
2.2 Significado físico da rotação pura
3. Tensor de deformação de Lagrange
4. Tensor das pequenas deformações 4.1 Caracter tensorial das deformações
4.2 Teoria geometricamente linear
4.3 Significado físico das pequenas deformações 4.3.1 Variação relativa do comprimento (Extensão)
4.3.2 Variação do ângulo
4.3.3 Variação do ângulo originalmente recto (Distorção)
4.4 Representação geométrica no quadrado elementar unitário
5. Deformação volúmica
6. Medição das deformações: extensómetros, rosetas
7. Equações de compatibilidade
8. Forma matricial das equações introduzidas
9. Estados de deformação
10. Vector das deformações
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Deformação é outra das repostas do MC ao carregamento
Cada vizinhança dos pontos interiores do MC depois da aplicação
do carregamento muda:
a sua posição (translação e rotação)
o seu volume (parte volúmica do tensor da deformação)
a sua forma (parte desviatórica do tensor da deformação)
vector que liga a posição inicial com a posição final, de cada ponto do MC
não é preciso definir uma vizinhança para poder definir o vector de deslocamento
1. Deslocamento Tw,v,uu
Deslocamento é “visível”, pode-se medir, pelo menos na superfície,
ao contrário de tensão, que é a nossa ficção
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s
s
Pu
Qu
s
u
Tz,y,xs
PQ uuu
uss
Q,Pss Não há deformação, comportamento do corpo rígido
zz
uy
y
ux
x
uu
Escolhe-se ponto P,
e Q na vizinhança
elementar de P
2. Gradiente de deslocamento M
P
Q
P
Q
analogamente ...v ...w
Os dois pontos têm as coordenadas no referencial 0xyz,
assim o vector que os liga tem as componentes:
PQ xxx PQ yyy PQ zzz
x0
z
y
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Para definir a deformação precisa-se apenas a variação de forma e de volume,
por isso tem que se eliminar de {Δs’} a translação e a rotação do corpo rígido
0antisim
y
w
z
v
2
10
x
w
z
u
2
1
x
v
y
u
2
10
z
wsim
y
w
z
v
2
1
y
v
x
w
z
u
2
1
x
v
y
u
2
1
x
u
z
w
y
w
x
wz
v
y
v
x
vz
u
y
u
x
u
M
uss ...sMs expansão de Taylor
sI...sMsIs
Translação
Rotação Deformação
Posição Forma e volume
2.1 Translação, rotação e deformação da vizinhança elementar
TMM
2
1
p. desviatórica
p. volúmica
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z
wsim
y
w
z
v
2
1
y
v
x
w
z
u
2
1
x
v
y
u
2
1
x
u
z
yzy
xzxyx
sim
Translação pura sIs
Rotação pura
Deformação pura
sIs
sIs
0antisim
y
w
z
v
2
10
x
w
z
u
2
1
x
v
y
u
2
10
0antisim
0
0
yz
xzxy
P
PPP
PP
PP
0u
su
su
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2.2 Significado físico da rotação pura
Plano (x,y)
tg
y
u
y
u
x
v0xy
x
v
y
u
2
1xy
x
ys
P
s
Quy
v
x
0u
1
Q
P
x
y
y
x
0
0
v
u
0yx
00
kji
su z
DCR
0
0
0
xy
xz
yz
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1 0 0 1
0 1 0 1
x x xs
y y y
As componentes do tensor de rotação têm significado físico da rotação
do corpo rígido, quando as componentes << 1
ss
s
s
Q
Q
PP
uv
Desprezando a condição 1
Das relações em cima:
Rotação finita tem que usar
funções trigonométricas
Rotação do vector, não do referencial, por isso a [R] está transposta
cos sin
sin cos
Tx xs R s
y y
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Alternativamente, exprimindo a diferença entre os quadrados das normas
dos comprimentos novos e originais, obtém-se directamente a deformação,
ou seja já com a translação e a rotação do corpo rígido eliminadas
ssususssTT
22
sMsMsMsssMTTT
sMMssMssMsTTTTT
ss2sMMMMs L
TTTT
Tensor de deformação
de Lagrange MM
2
1 T
L
uuussuTTT
MM2
1 T
3. Tensor de deformação de Lagrange
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Joseph Lagrange (1736-1813)
Termo de ordem maior,
ou seja desprezável
L
4. Tensor das pequenas deformações
1Mij Quando componentes do gradiente de deformação
4.1 Caracter tensorial das deformações
MM2
1 T
L
chama-se tensor das pequenas deformações
Lei do quociente: derivando o vector (tensor da 1ª ordem)
obtém-se um tensor da 2ª ordem
Deformações principais, direcções principais, circunferência de Mohr, quádricas, ...
A rotação [ω] é tensor da 2ª ordem, antissimétrico
são tensores simétricos, como se viu da definição
Pode-se usar toda a teoria desenvolvida para tensores simétricos:
Le
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A teoria das pequenas deformações não impede deslocamentos grandes
a limitação de grandeza é aplicada apenas para as derivadas
Exemplos: translação pura, rotação pura
4.2 Teoria geometricamente linear
Teoria das pequenas deformações
Não se distingue a posição inicial e a final do MC, superfície do MC assume-se
igual antes a depois da aplicação da carga, as equações de equilíbrio escrevem-se
para a forma não-deformada.
Teoria dos pequenos deslocamentos pequenas deformações
Lquando , usa-se então
Teoria da II ordem
Chama-se teoria geometricamente linear
Igualmente teoria da I ordem
As equações de equilíbrio (e distribuição dos esforços internos)
escrevem-se na forma deformada
Estabilidade
As componentes de deformação não têm unidade, às vezes usa-se μ=10-6
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4.3 Significado físico das pequenas deformações
x
ux
Extensão, ou seja
Componente normal
Positiva quando aumenta o comprimento
Extensão tem significado físico de variação relativa do comprimento
L infinitesimal
4.3.1 Variação relativa do comprimento (Extensão)
A definição corresponde à variação
relativa do comprimento projectado
na direcção original LP
Q
Q
P
LL
Q~
L
L
PQ
PQQPlim
PQ
PQQ~
Plim
x
u
0PQ0PQP
P
x
x
P
x1LL
LLLLLL
ângulo é pequeno
objectivo da prova
LL P
x
T
s s s Extensão na direcção do versor
não depende do referencial
s
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2 2 22
2 2 21 1 1 1 1 1
s x s s s x
x x x x
pequeno
2
x
T2222
x2ss2xsss
xx
xs
s
ss
Queremos provar, que:
Para as pequenas deformações temos:
xx
2
xxx2
2
x 1111211211x
x2
Assume-se uma fibra alinhada com eixo coordenado x
de comprimento original Δx, ou seja
T0,0,xs
Prova
Voltando à relação anterior:
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2 cos
sin
A T B A B
s ss s
Pode provar-se que
A A A
s s M s
2 cos 2
TA T B A A B B
A T B A T B A T T B
A T T B
A T B A T T B
A T B A T B A T B
s s s M s s M s
s s s M s s M s
s M M s
s s s M M s
s s s s s s
B B B
s s M s
4.3.2 Variação do ângulo
Assume-se ângulo formado pelas duas fibras definidas pelos versores
,A B
s s
Exprime-se o produto interno dos versores depois da deformação
Não depende do referencial
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cos 2 cos sin cos
A T B A B
s ss s
2 sin cos
A T B A B
s ss s
2 cos
sin
A T B A B
s ss s
cos
1 1 cos cos sin sin
1 1 cos sin
cos sin cos sin
cos sin cos sin cos
A T B A B
A BA B
s s
A B
s s
A B A B
s s s s
A B A B
s s s s
s s s s
s s
Ângulo originalmente recto
2A T B
s s 2
Exprime-se novamente o produto interno dos versores depois da deformação
Comparando
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Distorção
Componente tangencial, angular
v
u
x
y
Na figura é importante introduzir todas as variações nos sentidos positivos,
assim os dois ângulos são positivos e somam-se
4.3.3 Variação do ângulo originalmente recto (Distorção)
x
v
y
uxy
xyPode provar-se, que
x
y
2A T B
s s Já foi provado, que
1,0,0A T
s
0,1,0B T
s
2 2A T B
xys s
A distorção é positiva, quando o ângulo diminui-se
Introduzindo ,
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A representação da deformação angular “pura”
tem que ser de modo que cada um dos ângulos
correspondesse a esta média, ou seja tem que se
retirar a rotação do corpo rígido
10
2 2xy yx
u v
y x
Para remover a rotação, roda o eixo azul do ângulo que fazem as semi-rectas azuis
pelo positivamente, até atingir o eixo do ângulo recto (vermelho) xy
v
u
x
y
Assim a componente tensorial corresponde à média dos dois ângulos xy
y
utg
x
vtg
xyxy2
x
v
y
u
Distorção “de engenharia”
Componente tensorial
tem significado físico de variação angular do ângulo originalmente recto
2
2
rotação positiva ou seja ângulo negativo
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4.3 Representação geométrica no quadrado elementar unitário
yxu xyx xyv xyy
0,0,0:casoxyyx
Remove-se a translação e a rotação,
dimensões unitárias elementares (infinitesimais)
campo de deslocamento linear que representa
deformação pura
x
xy
y
xy
A
rotação
deformação
Rectângulo
elementar
A’ inicial
xy
translação
x
y
B
B’
C
C’
xx
vv
xx
uu
yy
uu
Ajustar os
ângulos
0,0 0,1
1,0 1,1
u
v
yy
vv
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zyx2221
zyx111V
321323121321
321
5. Deformação volúmica
Volume depois da deformação:
Campo do deslocamento linear Campo de deformações uniforme
Os planos transformam-se em planos, as rectas em rectas
Os planos ou rectas inicialmente paralelos, mantém-se paralelos após a deformação
Referencial principal
Os ângulos rectos transformam-se em ângulos rectos (distorções são nulas)
zyxV Paralelepípedo elementar: volume inicial:
Variação do volume:
VIzyx222VVV 1321323121321
Deformação volúmica: 321zyx1V I VV V
Separação na parte volúmica e desviatórica, a parte desviatórica tem o
1. invariante=0, ou seja a parte desviatórica não causa alteração de volume
As distorções não causam alterações de volume, apenas de forma
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6. Medição das deformações: extensómetros, rosetas
Podem-se medir apenas as extensões
a
b
c
x
x
Devido ao sistema de coordenadas introduzido: xa
cossin2sincosxy
2
y
2
xc
cossin2sincosxy
2
y
2
xb
Sabemos: incógnitas: cba,,
xyyx,,
As medições têm que corresponder a
1 ponto ou a distribuição das deformações
têm que ser uniforme
Base de medição: L
Comprimento novo: L+ΔL
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7. Equações de compatibilidade
2
y
2
2
x
2
xy
2
xyyx
zyxxzy2
xyzxyzx
2
2
y
2
2
x
2
xy
2
xyyx
Em 2D
Mais duas equações pela
“permutação” positiva
Equações de integrabilidade
Meio contínuo é contínuo após deformação, ou seja, juntando cada
paralelepípedo deformado não haverá espaços vazios
deslocamentos deformações
deslocamentos deformações ???
6 componentes da deformação versus 3 componentes do deslocamento
Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant, 1797 - 1886
Verificação da possibilidade física
Mais duas equações pela
“permutação” positiva
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introduzindo
0xy
x0
z
yz0
~
0~~ T
Equações de compatibilidade
0x/y/z/00
x/0z/0y/0
y/z/000x/
Equações deformações - deslocamento Equações de equilíbrio
0f uT
introduzindo
8. Forma matricial das equações introduzidas
Componentes de tensão
e deformação na forma vectorial
T
xyxzyzzyx,,,,,
T
xyxzyzzyx,,,,,
02
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nt
n̂t
0nnn00
n0n0n0
nn000n
n̂
xyz
xzy
yzx
Tz/,y/,x/
0f
Equações de equilíbrio
Vector das tensões
introduzindo
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9. Estados de deformação
extensão pura
deformação
volúmica pura
distorção pura
as componentes do tensor das deformações não variam com a posição
são constantes, por isso o campo dos deslocamentos é linear
10. Vector das deformações
n
Não se usa a componente tangencial, mas a variação
do ângulo entre as fibras originalmente rectas
definidas pelos versores ,
distorção pura
mas com a rotação
Componentes cartesianas não se usam muito
Componentes intrínsecas
Componente normal equivale a extensão
da fibra na direcção definida por {n} nnnnTT
n
BAnn2
An B
n
Homogéneo ou uniforme:
Não dependem do referencial