cap.18-equações e inequações trigonométricas
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Matemática, Equações e Inequações TrigonométricasTRANSCRIPT
No câpítulo 15 apresentamos as relaçôes entreas Íâzões tr igonométricâs de um mesmo arco. Por
e{emplo, à relaçáo fundamertal l l í te x -. j9lf !)ve-\ - cosx /
r i f Ìce-se para (e somente para) todos osvelores quêpodem ser atr ibuÍdos à variávelx.
No entanto, isso não ocorre pera todes as iguafdadesi muitas delas sê vêrì f icam apenas paraelguns valores part iculares atr ibuídos à variávelenvolvida.
Nesses câsos, como por exemplo em sen x ++ cos x = 1, a vâriávelx é chamada de incógnita dasentença, que é uma eqLdção Ìr igonométrica.
Assim, uma equação tr igonométr ica é umaiguâldadô em que âpârece âlguma incógnìta subme-tida a pelo menos uma função tr igonométricâ.
À resolução de umâ êquação desse t ipo obe-dece â certos padrões - que serão estudados aseguir- e é vinculada a um conjunto preesta-belecido, ao qual devem pertencer os vâlores en-contrados pâra a vâriável envolvida. Esse con-ju.to é châmâdo conjunÌo univergo da equaçàooaoa.
Inicìâlmente resolveremos âpenâs equâçòesdentro da primeira volta do ciclo tr igonométrico, istoé. equaçoes paÍa âs quâis U - [0, 2trI ou, no maxi-mo, o conjunto U = [0, 2n].
Numa segunda etâpa trâbâlhârêmos com oconjunto U = R, ou seja, buscaremos todas as so-luçôes, Ìâmbém châmadas raizes da equaçàoãpresenteda.
Equaçòes fundarnentaisDe modo geral, por mais complicada quê possa
parecer ume equaçã0, é possível reduzi- la e umaequação de um dos seguintestípos:
sen x: sen oqCoS X = CoS C[ 0U
tgx=tgd.
sendo x a incógnita e c{ um arco de medìda conhe-crdâ-
Poresse rotivo. ãs très equâçòês chàdas seráochamadâs equações íundamentais. Trâtaremos aseguirda resolução de ceda umâ delâs.
Resolução da equaçãofundamental sen x = sen cl(,
Para que dois arcos x e o{ da primêira volta pos'suam o mêsmo seno, é necessárìo que suas êxtre-midadês estejam sobre uma única horizontal. Pode-mos dizertambém que bastâ que suas extremidadescoìncìdam ou sejem 5rmeÌricã5 er' ì íelaçao ao eixodos senos.
Assim, os velores de x que resolvem a equaçaosen x = sen o( (com ü conhecido) são x = c! oux=E ü. Vejâ â f igurâ:
ia1
0
íoY
intervalo [0,2n1.
- t rremos x =- 0u
Vamos Íesovera equãção senx=senf no
4rÍ5
' +- !55
50
\,
oai. s = lA. la l.t5 5 J
Na resolucão de sen x = sgn iA. n9 rng5rno,5
;nle 'vao, Ìere ' Ìos iguatmente S - ' t r . f
,
DOiSIt- ]11=1_'55
sera à eouãcàosenx=- 1. comx € Í0. 2r Í .?
536e ous -1= s6n lq. 1"."165' 2 6.
/ i,, 'a_l-
266
2Í . l Í , . l t l
lemos r -11 oux : i i : í \ ;mêlr ;co de -6 6\ 6
em relaçào âo eixo dos senos ].I
Ar. i . .s=[7tr . ]1^ Ì .t6 6l
Relsoir"rçãu cüa equaçãai 'u í1[1ãr ' Í ìÉf ]1ò1C0$ I : f05 {Z
Pa'a qLre . e 0 possLêm o rnêsr'ìo cosseno. ênecessár o que sLras extremidades coincidâm oLr se-jam simélricas em relação ao eixo dos cossenos, ou,em outras pa avÍas, que ocupem no crclo a mêsmãvetttcat.
Nessas condiçÒes, com ({ dado, os vâlores de xque resolvem â equâção cos x = cos Cl( sãol
*=n L5
t
x=c, ou x=2Í! oí
Vamos resolver a equaçao cos x = cos $,
qrÌemosx=ï ou x=2n aa=*
JJI
6
r* i r ,s={{
Encontramos
cos * = cos{.
5rL'31
a mesma solução pere
7.i:t:
Vâ rnos resolvera equação cos x=
dou=[0,2n].
como 11= cos 14. fazemos.26
Temosx=:: ou x=z' | _: l :66
Assim.S=l:1. 1 li6 6l
[ìo*r:irrÇãn d* equaçãnf nrXìïíÍl*rì'(al ig x -' tg ü,
DoÌs arcos possuem a mesma tângente quãndosão Ìguais ou dÌferem tÌ rêdianos, ou sejâ, têm âs ex,tremidades coincidentes ou simélricâs em re acão aocentro do ciclo.
- ,sen?'
0
Ass m, temos x = cr-ou x = 0 :l 7I corno Íâízes dâequaçãolgx=tg(x.
Vâmos resolver a equãçeo tg x = tgf consi-
derandoxcomo um arco da primeìravolta.
Temos cos 3x = 1 e, como 1 = cos 0, íãzemoscos 3x= cos 0,
Como x € [0, 2r[, t€mos 3x € [0, 6n[.Então:
Seja â equação-1+cos 3x= 0, com U = [0,2fi [ .
3x=0 ou 3x=27r oLr
Temosx=4 ou3
z,/
0
+Ì
Pâra resolver a equação O (- -+)= í, "t
primeÌÍa voltâ, considerando que ú =tga3, fa
' " ' * ,e(*- l )=tr l .
T
11.l3
Assim, S =
3
Assi ín.S=10.: ! . : ] |t 3 3l
ì
Pâra isso, é importânte recordâr:
Senos iguâisArcos com extremidades coincidentes ou simétf lces em relação âo eÌxo dos senos,
Ltt
Assìm, S =
Da i:
. . 1 l
,4
Vamos resolver, na primeìra volta, â equação2senxçosx+cosx=0.
Fatorando, temos cos x
. cosx=0 + cosx=cos+ +
7?7
- =X=1OUx=: j :2?
l l o '
Z Sen X+ 1= l l = Z Sen r=-t =
1 ?r
267n 2i
ou x=f i a= 1-666
!T,_--- í
Tãngentes jguais
Arcos com extremidades co ncidentes ou simé-tr icês eTn re ação ao cenlro do cic o,
Fffi exerc'Çlos ffil - ,: . Kc\o \ . ì . !orn u - lu. l , (1. a. . (su r t . . ( ( lJJ.oe,:
, Í , .5Ãi ì (en\ (en /
or \en\-çn i
, . lJ ÍD .cnx-
2 \ r \en\ \eì
4 -r '
c) 1+serx=0
€.. ( oÌ Ì J nd prÌ ne| |a \o l ld do ch lo. r i \ú rJ:
a) cosx=cos4 dl cosx+Ì=05
Cossenos ÌguaisArcos com extremidadestrcas em re ação ao eixo
b) .osx=+ e)c) cosx=0
nft Í?Í l33412
oulqr
+tt - r=-: : -
+-r : +r = '" '3472
I la ' tzJ '
coincidentes ou simé-00s cossen0s.
1l
Nor e{emp os. ecpec ãlnente no :kino, peÍcebernos como é importãnte fâzer com que cadâ equa-
çà0. por ma s conplicâda qLre possà parecer, recaièem uma das equêçõês íundamentais apresentadas.
:j ''
;i:
3" Sendo U = I0,2t[, aprcsente a solução dr
IDl COS_X=-
.3c) sen'x+cos_x=t
d) Ì -sen2x=1+sen2ne) Ì+cos2x=1+sen2x
4, Ápresente os r,uÌores de r., 0 < x < 2Í, tais qu€:
,) *""=-"+, . t rD) cosx=senl í
c) 2se#x-3senx+1=0d) 1-coszx=0,25e) coszx cosx=6
5, Resolva em l0,2tt l:
4 tg"=tg{
b) tg': x = r. ,q
c) tgx=;
d) tgx=0e) tgx=-rE
6. (UF-R') A equação x'] - 2x cos ê + senz 0 = 0, navariávelà possui râizes rcais iguais. Determnee,0<e<2Ã.
L Com U = [0, 2n[, resolva as equâções:
a) tgx=-se" l
b) tgx=úsenx
L s- .oau caso, obtenha os valores de Í,0 < x < 2n, de modo que:
n) tg2x-3tgx=0b) tg 2x 2 tgx= 0c) tg 2x tgx=0
g. Considere U = [0,2trJ para resolver:
a) sen2x+2cos2x=2b) cos' /x 2senx+2=0c) l0 - 3 sen'?x = 10 cos xd) 2cos2x-senx= I
I{Ì. ResoÌva na primeira volta:
b)rrE
cotg2 x = I
t"a' "
= ]
!,{, Quantas soluçoes possui â equâção abaiÌo nointervalo 10,2nl?
sen2x-senr=0
lil" lulgue cada sentença:
a) (UF SC, adaptacìo) A soÌução da equação2 senr x + 3 sen x = 2, pâra 0 < x < 2tL é
E5nx= ol tx= 6
b) (UF-MS, adaptado) No intervaÌo
'"=Rl0 x 2nÌ. r equa5ao
, Ì ,cos'x = J lcosxl tem seLs l.rrzes.
c) (UF SI, adaptado) Se x e [0,2Í], o nÍrme-ro de solusôe. da equalâo \en 2\ !o. r equatro.
Íif , c.- u = 10,2711, rcsolva:a) ì+sec,x+tg,x=8b) sen x-tgx= 0c) senx+cosx=0d) tgx+cotgx=2
Í"4, Sendo U = [0, 2n], resolvâ as equações:
./Tal sen zx =
--.ftb) cos 2x=
-lÍS^ (Fuvest Sl) letermine todos os valorcs oe r p€r-tencentes ao intervalo 10, 2nl que satisfazem a
t.equaçao cos' rx = t
ren' )c
Solução geral de u!'nê equação0uando resolvemos umã equação considerândo
o conjunto unÌverso mais amplo possível, encontra-mos a sua soluçào g-ôrâ1.
t
c) tg2x= I
. r | ì i " : -+ r Jìn,* = l
( ( 5
Essa solução é composta de todos osvalores qle oupodemseratribuídosà incógnita de modo que a sen-tença se t.rne VeTdadetra.
ao, "
= _]E
4
Ao íesolveí e equâcào san "
- la
no aonrrn-?
to dos reais (U = R), fazemos:
1,rsenx= =senx=sen =
,"ntunç" a"n, = j
Portantol
s=Lx e mlx= f + ztnoux= f +zrn, r< e ZJ
Na resolução de cosz x =
*.-=trf =t$.Assim, temos:
12'
U = R, fazemos
^tj2
que resultê em:
tg*- tgf
Conslderando a simetria emtorno de 0, temos:
Englobando as soluções parciais, temos:
5= ly 5 glx= A1ç4. p 6 7fl4?)
( -I x= ++ Zkrt "=1 0u
| *=é!*zwr,xezLo
obtendo todos os arcosx (por meio da expressãogeral dos arcos x) que lornam verdadeirã â
Vamos resolvera equaçãotgx= ú no con-
junto U= R lx€R
x=f +kn,k€Zj.como
r,I3 = tgf, podemos fazen
x= ! + ?xn
J*lL,3, '
\ , '
N!m únÍco conjunto:
t - lS=lr€ R x=++kE,k€Zf
i r l
x={+2kn ou
x=tï+Pk"
'i:.).:,'!1.
tr exercrcros16. Resolva, sendo U = R:
a) senx=senf
b) senx=senA'7
17. ResoÌva as equaçoes:
") -"-=-" i c) cosx=l
24. obtenha x de modo que:
a) sen x = cos 2xb) cos x = sen 2xc) sen x = sen 2xd) cos x = cos 2x
25. nesoluu'
a) senx+3=31i3
b) cosx+a=3!3cos x
26. (Ur-CS) Incontre as sotuções da equaçior - - rq-2cos \- t ' 'enr,norntenalol ' i , ' l l .t 2 2l
27. Descubra os vaÌores reais de p de modo que setenhaS={xe Rlx = (2k+ t) .?qkcZÌ,pama equação p + 3 sec x - cos x = 0.
28. Resolva em R:
a) sen Ì5o + sen x = sen 75'b) tgx=sen2xc) 2cos20 (1+cos0)=0
2 9 . rusoÌva em R:at )+JÌg 'x: /secx
b) 5(tg'zx- 2) = I + --1,
c) cossec2x=2cotgxd) cotgrr+cossecx= I
3 0 . ResoÌva as equações:
a) senx-senrx=0b) senx-sen3x=0c) 4 sen3 x- senx = 0d) sen 2x +,.senx = 0
31. sotucione:
a) cos 2x cos x = cos 3xb) sen 3x + seÌ1 5x = 0c) tga x 4tg 'zx+3=0d) tgAx tg2x= l
c) sen*=-É
,.úol senx=-f-
t
18. Solucione:
bl tsx: tsà d) te2x=I
19. Resolva as equaçoes:
a) lsen xl = 1b) lcosxl= 1c) lsen)(+ cos xl= 2d) lsen xl = cos xl
20. quanta' 'oluçoe. no jnlerr.r lo 0. otr l pos'ui a
" . -" . ì - . " - l - (êÍw=n2
21. 1u.IO'-r.otreto uG) Resolva a equação trigo-nométÍica sen x + seü 2x = 0, pâra x € l-?L trl.
22. Escreva o conjunto venìade de:
a) sec']x = 4 secx 4b) ú cossecz x + 2 cossec x = 0
217c, rsenx+
23, (U. F. Viçosâ-MG) Sejamle 8 tunções defini-. /
- - \das. no inrervalo l-; , + l . por:
d) cos3x=0
r/ , \ - +^ )- - ^/- \I 2cos3x2+sen3x
/ - \at CalcuÌe fÍ l i ì+ el-+ ì '\u/ " \ b/
b) DetenDine as soluções da equação g(x) = u.
'2
") tsr=f c) tsn=o
?7r
3*" soÌu;one:
f . "n*.o.*=!al .l 2
1"."*+.o '*=úL, Í ien (x + y) + scrì (x y) = 2ul \
I Sen x + cos y= 2
3 3. nesolva em R:
a) 3sen?I+cosx=12
b) 2cosx+3=4cosÀ2
3,6. 1ruu."t'Sl) Cnns;aere a função:t(x)=senx+sen5x
â) Determine as constantes l, Ír e '1
taìs q$ef(x) = k sen (mx) .cos (nx).
b) Determine os valores de r,0 < x < 7r, tâisque Í(x) = 0.
3$. 1Vu"."p SP) A temper.Ìtrr., eÌìl graus CeÌsius ("C), tìe uma cânarâ frigoríÊca, duran-te um dia compÌeto, de 0 hora às 24 ho-ras, é dada aproximadamcntc pela função
r1r7-. . ' { t r . ì .^ ío r) ,o r 24. .un\ì2 / \6 /
t enÌ horas. Detcrmine:
a) a tempcraturâ da câmara frigorifica às2 horà, . J, q l rorJ. íu.e J\ Jpro\ inìd\úe.
. ú= t ,+. rE = r ,z) ;b) em quais horários do dia a temperatura
atingiu 0 ÒC.
"nSf rr : f id**9Nurna iguâldade pode ocorrer S = l l , ou seja, to-
dos os elementos do conjunto universo tornam ver-dâdeirâ a igualdade..
Pof exemplo, a Ìgualdade (sen x + cos x)2 == 1 + sen 2x verif ica se parã todos os vâlores quepodem seraüib!ídos ax, pois sen2 x+ 2 sen xcosx++coszx= 1 + 2 senxcosx= 1 + sen 2x.
ouando ìsso ocorre, dizemos quesetrata de umaidenticìade.
Apfesentadâ uma ident idade, o propósi to éverií icá-lã, isto é, mostrar que o primeiio membro daigLra dâde equivale ao segundo, respeìtâdas as con,dições de exisrência (domínlos) das fLrnçÒes envol-vt0es.
tuurraS 0e_t,dedes que !ocê ã conhece:
. â , zàb b (a-b.) .
. tx- LJ.r^-gr , 9i
Parâ verifrcar à identidade sec I I tgÌcos x cotgx
=rsec x-tg x, pârtírnos clo prÌmeiro membro:
t J senxsec x + Ìgx cos_L!!!a
cosx rLoÌgx coqx _ cosl
sen x
1+ sên x+ sen x:osr cosx _| iU5^-Lusx_
x cosx +cos i (1+ sen x) .cos xsen x sen x
. . " ,
É necessário trabalhar com os do;s mem-
D"0s 0a l0enuoâoe segurnLe pãra c0mprova-là
1.r1+sen2x 1+cossec2x
I1= _:: + j_
1+cos'x Ì+sec'x
Primeiro membro:
1t1+sentx 1+cossectx
1+ cossec2 x + 1+sen2x(1 + sen' x.)(1 + cossec' x)
1+ cossec2 r+ I + sen2 x1+cossec2x+senzx+1
Do mesmo modo, no sepundo membrol
111. cot ' " 1.
".€c1
=
1+ sec2 x + 1+ cosZ x( l + cosz x)(1 + sec'x)
1+seczx+ 1+ coszx ,=l ;sec1-co-*x-1='
Assim, os clois membros se equivalem.
b)
i i1{ i . u1 tgr , ,1 , 'os* =5ççy- l+senx
ol corg\+-=cossecx
'1 i i l . a) sen(a+b).sen(a b)=sen' :a sen-o
b) cos (a + b) . cos (a b) = cosr b sen- a
;! ,1. a) cosr a = seoaa + cos2atr) senzx+senry senrxsenly+
+cosrxcos2Y=Ìc) tgr tgy=secx.sccy sen(x y)
,i! i. x)
b)
41. a)ln \
/ r Ì \cosl / r l
I tgxb)
,r cos x.cotg x reÌr x. ig\ . Ì- ) -- '
. ; : . { . } Í " I l i :€" .
Como acontece com es equações, também câdaineqLrèçào I- igo'orìet icè ídesigudloêde cuja vdrável está submetida a alguma função tr igonométrica)recai em ê gumâs das inequações típices, chemedãsf n! t1: ,a l ' i : J ! rn i ìJr ì ì : t i ì :a i ì .
Faremos o estudo dâs seis inequações fun-darnenlãis de um modo diferente do uti l izado noestudo dâs equações. Dada a familìaridade com osarcos e as congruênciês, adquir ida no estudo dasolução geral de uma equaçã0, feremos conjuntã,mente o estudo dâs Ìnequaçòes na prime ra voltâ eno conjunto universo mais amplo.
, . ,:t,_
v
rgÌ sen x
cotgn-cosx
scÌ l l , x l
l f i r Ì+t{xcosL- ì l
ser l++xì
ln \
áffi fl,i,l"{rl f i;: i {llÍ rli$ ffiffi
Nos exercícios .:iËi a ri,:!, comprove as itlenticìades:
,:] ili , a)
b)
t - \c) cos (r + x) .cos
17 xJ +
+ sen ( l Ì -x) sen (] Ì + x) = 0
dt tg{ ;+x) tg( i r l=u tgzx
$i. a) (sen x + tgn)=(1 + s.-n x) .
!j serÌ x + cos lr
- ' " , ' ' . . . . *
rgx- sen x scc x-: . -_=_
' (cos x + cotg x) =(Ì + cos x)
_ l+cotgxÌ cotg x
sen 2xËÍi . a) te"=ìelrj" 1 ;;;
Há duas inequações fundamentais para câcla umadas Íunções seno, cosseno e tângente: sen x > mesenx<micosx> m ecosx< m; etgx> mergx <- m.
lìesnluçiir'; eÍi: ìrreqr.iaçãnfuntl;*rnentai $#t'! r: -Ï" rrl
Nos casos em que 0 < m < 1, a resolução éfàc I rêdã V"a na.rgura oue.se^do ü o ètco,urocp-0 e m. cadà L,T do\ ãrcos \ a.5: .à lèdoì possulsenx>m,
Assim, o conjunto solução pode ser escrito:
F na primeira volta:
S={x€Rlü<x<r_u}
F' n0 conjunto d0s rears:
S={x€ Rl0- +2k7r<x< T a+Zkjr ,k€Z\ auS {^€ R . / 2k,T } r2k- I ' r a. , r t n l
( -S=LÌ€R r+2hn < {<
Assrm, temos:na pímeira volta:
S=lx€ Rl l r <r< !11|t 6 6l
. no conjunto dos reais:
ï
Ouândo, nâ inequâçào sen x > m, m é rd que-1 < m < 0, o conjunto solução deve ser repart idode 0 a f i+oe de 2?Ì oâ2r,senclor+(ropnmeroarco pârâ o qLta temos sen x = m.
Assim:
i- ne pnmetrâ VOltâ:
s={x € R]0 < x<r + c{ ou 2rx o(<x < 2f l }
F. n0 conjUfto d0s reats:
S={x C R 2kn<x<(n+a)+Zkr ou\2T- o) + zkn <x<2n+Zkj t ,k€Zj
Seta a inequacào sen x >1.2
lnÌcialmente mâÍcamos sobre o eixo dos
senos o po.Ìo que disra -] do cenr'o do cic,o ezp0r esse ponto traçamos uma reta horÌzontal;os vaÌores de x procurados situêm,se na inter,secão do ciclo com o semiplâno siuado ècrmàdâ horizontal-
Nâ resolução da inequação sen x > --L,2 '
em bora o proced imento para a constru çã o da figu-ra sejâ análogo âo do exemplo anterior, não é pos-
, 'uel tar"rJ i t r \ - 7 l r . . . i - 1 ln
- 7rr
6 6 ' , ' ' - 6 6
. ' .
Escrevemos, êntão:
com x na primeiravolta:
s={re m1o<*<!L * 114<"< zn}
com x no conjunto dos reais:
s={x e R zrr <x< JJ!*2yn 6u
*r ztn < * < (t * 1:) ?n,k eVI
. , . r .1 ' , : : . r r , i r l , r , " r : r , i l -
' " "" i " ! " ' " "
i!ríÌ{' iÍtïìi i iÌír;i l i ã*i! lL{ ,d ilì
A resolução é análoga è anterioq porém, quândo0 m L d.olucão deve se èp e.e-Ëdè po reiode dois intervâlos.
Caso contrário, Ìsto é, sendo -1< m < 0, a âpre-sentâçào do conlunto so ução é íaci l i tada.
.rESeia a ineouâcãosenx < 11.
?Inicialmente marcâmos sobre o eixo dos senos
./5o ponto que dista; do centro do cic lo -
. \5a0âlI0 dere, pol\ ' -2 _ U e por eSSe oon-
to traçamos uma reta horizontal, âbâixo da quâlencontrâm-se os pontos procurados.
0
\-fï
Temos:
. na pnmetra v0 tâ:
s=lxeRI1q." . tsìt 3 3l
. no conjunto dos reais:
S= lx€ R a!+2kn < x ç ! / ! . .2L1 11t33
_l. * Í
Exârninemos a figura abaixo para resolver â
inequacão sen x <1.2
{r \6: . ' . : ]1
,0
\ ,/
Novâmente não é possível escrever o conjun-to solução com umâ úÍìÌca sentença.
Assim, Éazemos:
. para0.-<x{2r:
s=lx€ Rlo<x< q o, Ias"a2r, lt66t
S= lx e Rlztn <x <I + 2kt oul6
I|+ Zkn < x .-< (k + r ) zÍ,k €ZlbJ
I
iÌ ii,. nesoÌra, sendo U = [0, 2n [, as inequações:
n) r .n*>ú
lr) sen"< {
J; ll. s."dn U = R,,",nt"o,
a) senr>la' )
b) sen x < 0cJ serx>0
dì senx< !'2
,:t ,:, Reso1ra a inequacao I < 2 sen x < 15 ern 10, 2n I.
.5' l i : Solucione em R: sen xl > -=..]
;t lti!
Éffi,ffi fl:ìüifi ï"il: i í;l i sili fitrffi
.Dc) senx> j
d) *",.=-9
': ji tlctennine o donrínìo <Je cada tunção:
a) f(x) = rr-scn r
b) f(x) = 5çn 1
.) (') = I'T + '.Ìì '
cl) (x) = .,r1ìeri x '.s.'n x lc) f1.1 = ',rì*t* - o se'r ,. + s
i : i i r j : ' ì Ì l i i 1' . ] , .r i lL; i i r ", i i r r . : L r , "r ' - r! , ,
i : . i t : r : ] ;1: ; ,1: i , , 11 , , ,1 i - . ' : , " i , t
Nês ineqLracões desse t ipo, consideÍada a sime-tr a em re acão ao eixo dos cossenos, em quâ qlercâso, pâra-1 < m < 1, é necessária a âpTesenta-
ção do conjunto soluçèo poÍ meio de dois intervaÌos.
f0 conjunÌo q0s reâts:
S={x e R 2kn<x<{+zkr ou
$+ztr<x<(t+r)Zn,xeZ]
No caso dê ìnequâção co, "
= 1, t"roa,
lo,27r[ :
R 65xç!4 6u
R:
s={xe R 2kn <x< 3L*2çn 6u
$+ 2tn < x < (t+ r) ar,v, eZ|,
l
_Basta marcer à direitê de 0 o ponto que dista
^" dele e Ìrêça. â ela ve.l ical, è eso-eroê oa/ 'q!âl encontTârnos, no ciclo, os pontos desejados.
I
19casor0{m{1 29caso:-1 <m<0
- l5elê ê InequèÇão cos x > : ,
14ârcârìos o oonÌo q re d,staf-do cenÌ.0 do
ciclo - ê dire.tã desle, po s ,
0 e. por e,e,
traçamos uma reta vert ica , à direi ta dâ qual en,contraTnos, no cic lo, os pontos desejãdos.
asslm, temos:
nâ pnmerrã volÌa:
s Ív€R o-, . i . . -9;^ ̂ z^,
Em geral, nesses casos apârece âpenas um intervalo no conjunto solução.
fot"ro* in"qu"çao .* "
. ]1
i r !<r<2' t l3 l
. comx€
- l_
. com x €
:rr , , : r , - , , l : ' r ; ì .
I l t , l , : , ' - ! i
]L6
; . : , .
nloquea0 cen-êté que
Resolução da inequaçâ*fundamental tgx ) nr
Inicia mente, seja m > 0.MaTcamos sobÍe o elxo dastangentes o po
representa o valoT de m;unÌmos esse pontotro do ciclo e pro ongarnos o segmento obtidoele intercepte novamente o ciclo.
tI
o
que pode ser resurnìdo ern:
s ixcR x kn ' , .
t r -kÍ .ke /- t - ' - ' ? - - )
No câso de U = 10,27I[, têmos:
s-{remr- ̂ ï *" , " } i
.Ed) cosr> f
b)
c)
i r
l .or* to
ffi ËxerffËfrÍ#s ffi5ü. Sendo U = [0, 2r[, resolva:
") .o.*<f ") .o.* < ]
or -" .= *SÍ. Com u = R, dê o conjunto solução de:
o) .or*t fb) 2cosx<-1
c) 1<cos"<!
d) lcos xl <j
S2, Determile o domínio de cada função:
a).(x)={ co-b) (") = 11 cos x
53. Considere U = [0,2n] para resolver:
cos {x- j l > 0
,5co! lx +; l >
-1<2cosr<iJ
54. Sendo 0 < x < 2r, resolva as inequações:
a) senx > cosx b) senx < cosx
55. Sendo x € [0,;Ì1, encontre a solução do sis
Pâra que tg x > m, devernos ter, em
m-L-1"=].*r , r .e z| ,
xr+2kn<x{f + 2kn ou
xr+?kn<x<!+Zkr
Em ambos os cèsos ocorre: x2 = x! + Ír,
t.*:"
ne primeirê voltê:
s={"emif <x<} * *=-.4Jno clomínÌo R-
{x, = $ * x",x e Zl ,
tnS=tI € R
;+kE<x<-+kn,k€Zf
Nos casos em que m < 0, oana ogo.
pr0ce0lmeni0 e
Seja a inequação tg x > rE
como -€ = tgf , poaemos escreven
pera x na primeira volta:
s=lxeR o<x<A ou
ï= ' .Ë ou Ë=<x<znl
pâra x no domínio mâis âmploì
S=1x€Lq k)ï<x<â+kn ou
4*ln<*<Lt+|n, t<€ZÌ3)
íjirÍs$li.içiìx] ria inequnçãoíttl'rciil m*r-rta I tg x .{ lì1
Esse câso fLrnciona como negâção do enterlor, eo procedlmento é ané ogo.
Seja m > 0, pofexemp o.
Para que tgx < ìÌ ì , devemos ter
na primeÌra voltâ:
S=tx€R 0<x<xr
!.. ' '<2"]perâ todo o domínlo:
S=lx€R kÃ<x<x1+kl l ou
I *xn<x< (x + !Jn, k €ZI
vamos resolver à IneqL.raçào tg x < lE
Como sabemos que
escreveT:
, podemos
. parâx na primeÍra volta:
s={x e R o<x<f ou
ï . , .? ou 1a." .2, , Ì
. Para todo o conjunlo universo:
S={x e Rlm<x<a+tn ou
Ã*tr<r<(t*0n,k€ZÌ
T
ou a<*2
<x2 ou
.:l'1, i.t
I exercrctos56. considere U = l0,2rl para resotver:
.Ea) tsx>Ë
b) tsx>!3c) tgx > -1d) cotgx>0
57. 1u. n viçosa uc, adaptado) Consideranclo0<0<2Í,determine:
a) os vaÌores de 0 para os quâis tg e > 0;b) o conjlrnto solÌrção da equâção 2 cos'/ e +
+cos0=0.
58. Resolva as inequações:
a) tgx<l c) tgx<úb) tgx< I d) senxcosx>O
59. Considere o < x < 2n para resoÌver:
â) l ts x l < 1b) 0< tgx<1c) tg ' ]x- tgx<l5tgx-rb
6 0 . Resolva em R:
. , r - | r - -" l2 cì - r - rgr \ t r
_. I ib) t<senx<t
{
c) 6rr
2. g"t-no) ,L so''u ae todâs âs solüções renis da equação sen 2x= cosxno inteÌvalo [0,2Í] é:
a.) 4Íb) nc) 2n
3 . (up-pI) O número ae soÌuções da equação sen'? x- cos'zx = 0 no inteffaÌo [0, 2r] é:
à) 7Í,b) 5n
a)1b)2
d) 37re) 47r
d) 3Í
, )
] l Ía1 t l t . r t . , t
b) n d)+
,7Ía) : . )^
, . t r Jro' t o) t
. Í
,. JI .]ndr t<x< 4
e) ï<Ì<2?r
c)3d)4
e)s
4. (Fatec-sP) No hteÌvalo 10, r[, os gúncos das filn-
ções definidas por y = sen x e y = sen 2x intercep-tam-se em um único ponto. A abscissa Í desse pontoé taÌ que:
a) 0<x<a4.
Dr 4 <x<t 8. (puc-ns) ,q íoroçao au equação cos (3" - +)
= 0,
quandoo<x<],é:
b) dois
IGFTGH de vestibulares -1. (MackerÌzie SP) .ô.s raizes da equação cos 2x = cos x,
pertencentes ao intervalo [0, 2?r], têm soma iguâl â:5. (Cefer-MG) No inteÌvâlo [0, 2n], a equaçao
, l+senx como soLuçáo:
netrhum ponto d) tlês pontosum ponto e) quatro pontos
6. rUrr i for-Cl A roma dd. rd,re ' dd equdçdor - - i -
senÍ+cosx=J 1+; no intervaÌo [0, rÌ] é isual a:
7. (UF Pl) sejâ '
. nú-ero de soiuções dâ equação2 sen x . cos x = 0 no intervalo 10, Í1. o vaÌor de
ã83
e)0
t
") x=42
b) +<x<+. ) +=*=aal *=*=?
") f =*= !1
9. (UMC SP) As soluções dâ equa€o 2 sec x 2 cos x = 3qJep€rren.Lndorìre1r" i ;
. , I " .
al aPenas umab) duas
10.,ur v.r , \ cquJ.doco., co, t r* 1r . . , ' '2 t , , .
a) teDr infinitas soluçõ€s.b) não rem soluçno.
c) admite ap€Ìas as soÌuco"" 4 "
14.'44
d I .rdÍnite àpen.r\ às ruìu.u"' ! "
4.'44
e) adÌnite apenas as soìuco"" E "
Z.'44
11. 1rtlu.t .nri" sry e .qúâção 1 + qr x = cos x tem umasolução peÌtencenre ao intervalo:
, l7n 9nl' 4 '4
L, | ,T l , rt4 4
r , f lJ I 7Í l
. | 3r l
, f3?r Icr L ' Í l
Lí. 'Un r .p \P O Drodü.oaa5.rê. pr imei-r . ,otu\oe.Ìeais posìtivas da equação cotg x + mssec x = sen x é:
. ,Jr' rJr r\ret - ._
, 3nrJ8
lJ . Ul c. . Jd"prado, \endo I um nume,o inÌeiro, o\ ì l^-de í qur ür i . |J d equd\ao J.o.- . . te.
15 ' (ca.t-l,rc) ,t ,otoçao da inequação sen? t + 3 cos, x ++3seDx>4eÌnl0,2nlé:
16. (Mackenzie-sP) A soÌÌa de todas as soluções da equa-çãotga +cotga=2,0 < a < 27!,é:
l í . /Md. (en/ ie- \p A .omr dd. \u.r (oe. dc Lqr , \dor cos. x- 2 cos 2x _ Ì = 0, para 0 < x < 27r, é:
")+ Ò+ .r +b) + d)+
a) kr+42 ot (+
e) 2kn
r..r. íU. L trbd ldndid \4L, \el e j do tun\oe, deíìnidd.por t(x) = cos x e g(x) = sen 3x, para todo r real,então â soma dos números reais x e [0, n] , tais quels(x)r + 2[í(3x)]2 = Ì é igual a:
e) 5r
18., pUc-rt ' O -niun..o 'uci"
dd eouâ\ lo rs Ì . r . xem t0 2nl e:a)R
') l+lÒ l-+.ï]a) l "em *=*+r.n, te zÌ
. ) l l19. (Fuvest-sp) sabe-se que x = r é raiz da equaçáo
(cos, o)r , (+cos osen gx+]senp = o,senao ne B os ânguÌos agÌÌdos indicados no tÌjânsulo retânguÌo dâ figìrra abaiÌo.
l"-------b_ oì---
Pode se então atumar que as Ìnedidâs de o e F são,respectivamente:
") +.+ .) +"+')+.+ ") +.+Ò +,+
c) 37rd) 4fi
21
, 3Ìrc) 21r
at z
rË4
20. (pu sp) s" o <. < 2n e senx > cosn, então:
") +.'.+r t Ï . " . Ï.) + <'< Z"
at * ." . ï; t ï . " . ï
21. (puc pn)o "ú-".o
de raizes reais distintas da equa
ção a cosxla u lcosr.r+ 4 = 0,com0 < x < 2né:
a)2b)3c) ad)0
22. (PUC-RS) Sex e t0,27ú1, o conjunto Ítução para ainequaçãox-senx>0é:
") 0,;i d) 10. +-J
b) 10,2'Il e) Rc) I0,7r l
23. (ur t"re) o maìor intervalo, coDtendo o porìIox = 0, em que a expressão log (cos x + seÌ1x) estádefinidà é:
!- \ I l r 3^f
" 4 ' 4. . I 7r nto ' t - + '+., I n 3iÌ I" l - t ' 4. . | Í n l.r _r,rÌ€) 10, Ít
--_-ì
1. D..e-mi,reo"alore ' reai .deddemodoqueaequrc;oem\r l r - , \eno 2\ ' ,o\ t PUsuâdu' . r0r /e '
Z. Determine o conjunto dos valoÌes natu rdis de P que tomam verdâdenâ a sent Ì1ça sen ( 100p + 40)" = sen 40". ii
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