t

4)cos(2x-ã) =1

5)senx.tgx + 2cosx = 26)sen2x + 1 = 0

-"2

--- 2

ì

I- l

gera2k*

l)ral

Pela íìgura:

Daí:

1 - senf

A solução Íx=i +

sen

da êquação

Kaz

+ 2k' ,k e4

t

TRIGONOMETRICA

Todaequação em queíìgura uma funçáotrigonométrica, com arco desconhêcido, rêcebe

Euuacõestrifonbmétricas

o nome de equação tÍigonomólrica.

Assim, são equações tíigonométricas:'1)senx = 0

2)cosx = ]

3)2senx - cosec x = 1

Resolução:

Resposta.S = fxen x=f

88

Chamam'se solução de uma êquâção trigonométrica os valores davariável, caso existam,que satisÍazêm a equação dada.

Vejamos al guns êxêmplos.

19 exomplo: Resolver a equação sen x = 1.

RESOLUCAO DE EQ oEs TRtGONOITIÉrntcm

.a) Equações da foÍma sen x = m, com -l < m < í

29 oxgmplo: Resolver a equação sen (3x - Í) = +

Resolúçâo:

sen (3x Í) = sen+

3y n=( + zxr

3x=( + "+2kr

3x=Ì! + 2kÍ

't3r 2kr^- 18 ' 3

Bêsposlá. S=Jx<Rlx=Ë

2"-a

ou sen (3x - Í) = "un f

3x Í= t# + 2kr

ex=f +r+2kr

3x =-t + 2kÍ

17r 2kr

+Soux =t{ +! ,xci t ,

Í

-L.L-6t ,;=

EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM

I Resohã as seguintes equações trigonométricâsl

a)senx=t

b)2senx - / , = 0

2 Derermine o conjunto reÍdade das seguintesequações:a)2senx+l=0b)2sen2x = I

3 Ache o conjunro soluqio das seguinles equaçòestrigonométricas:

. l^ r \ v5a)sentzx- . t : - - -\ . ]

,11b)sen(x - Í ) =

Ë

4 DeteÍmine o €onjunto solução da equação

lsen2r l - !

5 ResoÌva a equação

\D sen x + t :0

ó Ache o conjunro verdade das seguintes equa-ções:a)sen2x=0b) sen 4x = Ic)s€n5x:2

7 Calcüle os €lores reajs de \ que sarisfazem aequação:

t

Pêla figura:

4 = "o.* ou4 =

"o"/-+ì\ b/ ,, tat t

COSX=+ I -

f = - íË J=

cosx = così

ou

"o"*=4 ì ,+ =""3r-{ ì Ì ' "o"*=-"{--Ë)z \ o l lDaí:

.x=* + 2kn )ou l -x=tX + zxn.x=

Ë +2kr J

),

b) Equaçôês da íoíma cos x = n, com í < n < 1

Vejamos alguns êxemplos.

19 exemplo: Resolver a equação cos x = 4.2Resolução:

Resposta: S = ix(Rlx = t f , + ZX",XcZl

2? exemplo: Rêsotver a eOuaeao cos {f

t x) = O.

Resotução: """ (+ *

") =o *

"o"(á *") = *"(" * x")

+f + t<"- + k'.x=*oaí:f + x.= fs =lxtx =f rBesposta: r,"]

EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM

I Resolva as equações:

a) cos x = ï

b)cossx = Ic) cos 3x = -1

arcos{} + x) =r

et .osí* -* ì =o

90

2Determine o conjunro solução da equação

lcos 1r ' 9 = L

3 Resohã as s€gui nles equaçòes I rigonomélrica!.a)2cos3x= I l

ur-, / , - 91= $\ " ,1

. tc,*sf_; , f=;

c) Equaçõos da Íorma tg x = t, paÍa lodo I real

Vejamos o exemplo.

Resolver a equação tg à

Resoluçáo:

uação tg à =

, \

o

3

+ k+,k<zll9esposta.

-!L'3

( Rlx=+

EXERCICIO DE APRENDIZAGEM

ResolB ar seguintes equaçôes trigonométdcas:

"ì i" ), = rE

d)tg 3x - 15

a)tg3x=l

b)tglx- : l= l

EQUAçÕES TRTGONOMÉTR|CAS QU E ENVOLVEMARTIFICIOS

Vejamos alguns exemplos.

19 exemplo: Rêsolvêr a equaçâo sec x = -2.

Resolucào . Como sec x = I . têmos:- cos x

"a1- = -'

-2 cos x = 1

cos x = -{ .

. Devemos, ênlãq íêsolver a equação equivalente cos x = - f .

Pêla figura:1€ = tg + Ita2x = \,9 l

's = *+ i - ts2x = tsá

Daí:2x = + +kÍ+x=+ ++I

e) ts (2x - Í) = 1

0tg4x=0

91

2r

/

^

\T! j2,

o

Fêla figura, temos:.cosx = cos+

ou.cosx = cos+

Daír .x={rzx"ou

+ 2krt"+[ t t

/gesposta. S= xlx= 2j +2kroux = { t ZX,.xrZ

29 exemplo: Regolveíaêquação2sên2x 5senx + 3 = O.

Flesolução: Esta êquaçáo é umâ equação do 29 grau em sen xl(a = z

2 sen2x - b sên x + 3 = o 1b=-s À=b2_4ac=Ii " = e

""" " - _la t ís"n ,, = { lesse varor nao convem, poisI

. 1<senx<1)

isên x = l

Devemos resolver a êquaçáo sên x = 1.

t = senf =senx = senf -x=f + 2kn

Fesposfa: S =Lx(Rlx =S +2G,kczl

39 exêmplo: Resolver a equaçáo sena + 4 cos x = -4.Resoluçâo: Inicialmentê, lamos tíansÍoÍmar a equagão dâda numa equivalente do 21 grâu em

cosrx. substituindo sen'x por I ,- cos. x (lembre_se de quesen x+cos-x=1 ? sên-x =^1 cos.x) l1-coszx+4cosx= 4- - 9o,s2x + 4cosx +S=O

cos-x - 4cosx - 5 = 0(a = t

cos'x-4cosx S=0lb= 4

{.c = s

cosx = 4 *

6 {cosx = 5 (e55g v21q1não convém, pois -1 < cosx < Ì{cos x = -1

Dêvemos, entãq resolvêr a equação cos x = -1.

cosx = -1 ìr _^^.- l = cosx = cosÍ x=r+2kr' - """ ' l

Fesposlá. S = lxC Rlx = t + 2kr.kcz]

92

49 exemplo: Resolver â equação sên 3x = cos x.

Rêsoluçâo: . Como cos x = "*(+

- x). vamos lransformar a êquação dada

equivalente que contém apenas uma Íunção tÍigonométrica x:

sen3x = cosx é sen3x = *"(ru -)

. Resolvendo a equaçâo sen sx = sen, (f - x), temos:

3x.=i - x+2kÍou.-=" (á x) + zr , rÍ

4x=+ + 2kr

x=f +rf2x=+ + 2kr

x=f +t<"

t

Pêspostâ: s=[x<Rrx= Ã + kËoux = ï +hr,k(z

59 exemplo: Resolver â equaçáo sen 2x sênx = 0.

Besolução: Vamos subsliluir, na equação dâdâ, sen 2x por 2 sen x cos x:sen2x- sênx =0

- 2 sênx cosx-senx=0 =

- senx(2cosx 1) =0

colocando sên x êm evidência

^(Hesposra. s = ix

x = l(Íoux =

(1)sênx=03x=kn

{a2cosx 1 = O -

2cosx = t -

cosx = }

"o"* = ] o"o"* = cos+ oucosx =

-"{ á)

DaL.x = + + 2kr

ou.x=-++2kÍ

.r 2kÍoux = -i * zx")

69 ex€mplo: Resolveí a equação sen 3x sen 2x + s€n x = 0.

Resoluçáo: Agrupando os termos, temosì

(sen 3x + senx) - sen2x = 0

Transformando-se êm píoduto a soma indicada nos parênteses, vem:

z sen $fì! . "o"

3, t

I senzx = o

2sen2x.cosx - sen 2x = 0

/

)

o t r t\\z

//

/

3

93

Colocando-se sên 2x em evidência:

senà(2cosx 1) = 0

sen 2x = 0 0u

2x.=k. Ì

*= " ;"

Fesposlaj S=[r .m "=k. f

oux=

2cosx - 1 = 0

cos' = ]

cosx = cos+

x = 1ã + 2kÍtt

+L-3 + 2kÌ ,k<z)

EXERCICIOS DE APRENDIZAGEM

I R€solva as seguintes equações trigoriomérricas:a)cosecx = -râb)cotgx = -1c) sec2x = 2

2 Derer.mine o conjunto soluçáo da equâçâo2 sen' ì - 6senx - 8 = 0

3 Resolva as equações:

a)2cosA 3cosx+l=Ob)cos\ + cosx = 0c) sen']x sen x = 0

4 Cajcule o conjunto solucão da eouacào2 senax - 3 sen\ + t : o

5 Ach€,o con,unto verdade da equaçâo2senrx + 5cosx - 4 = 0

ó Resolva as equações:a)cos'?x=l-senxb)3cosx=3-senâ

7 Resolva a equação 2 sen x - cosec x : 1

8 Resoh.? as equações:a, sen 4x = cos xb) cos 3x = sen xc) tg 2x : cotg x

9 Resolva ar equações:

a)sen2x+senx=0b)cos2x + cosx = 0

94

l0 Resolva a equaçao sen x cos x = 1.

ll Resolva a equação senx = senx + I

12 Resolva as equações:

a)senx tgx+2cosx:2b)2senÍ + cotgx = I + 2cosx

13 (Mack-SP) Resoh,a a equaçào:2 senzi + 6cosx - cos 2x = 5

14 (CesgÍanrio) ResoÌva a equâçãoICOS\ + Sen x) ' =

t

I 5 (Vunesp) Detennine um \ìalor de n < N*, tal que

- sela solução oa equaçao:8cosa0 - 8cos,d + I = 0

ló Resoh.ã a equaçãosen x (2 - sen 2x) = cos x . sen 2x

17 GEI-SP) Sendo tg x = t, pro\a-se que

cos2f - l -!-t+t-

a) Ache sen 2x em função de tb) Resolva a equação sen 2x + cos 2x = I

l8 Aplicãndo as fórmulas de tmnsÍormaçáo empÍodutq Íesolva al equações:a) cos 7x + cosx = 0b) sen 5x - senx = 0c) cos 9x = -cosxd) sen 4x + s€n2x = 0e) cos 5x + cos x + cos3x:0

Ì-

NUM INTERVALO DADO

Aprendemos a d€lerminaí a solução geral de uma equaçáo tíigonométrica.

Veremos, agoíâ, como resolver umâ êquação trigonométrica num intervalo dado:

Í9 exêmplo: Resolver a equação 2 sec x = tgx + cotgx,paía0 < x < 2Í.

Resolução: Como sec x = . ÌOX= -- eCOtOX =.: . lemos'' cosx - senx

cosx 2 senx cosxsên x cos x cos x sên x

1cos x

_99!rcos x

tt

' cosx -

2senx sen2x + cos2xsenx.cosx senx.cosx

2senx=1=""nr,=|

Inicialmentq vamos determinar a soluçáo geral desta equaçâo:

x=+ +2 o Ì

x=Ë +2 0 t r

x=+ +2 1 r -

x=Ë 12 1 n -

] o senr = senf, ou

x=4

t=+ +2Í áx=-=:

(não vale pois x > 2Í)

x=+- + 2r-x=-:+(não vâle, pois x > 2r)

.x = *ou

+ 2kr

solução Oeral.x=+r + 2kÍ

Dêlerminemos, agora, os valoÍes dex no Intêrvalo dado 0 < x < 2r, atÍibuin.do valores para k (k € Z)ì

Para k = 0 -

Pâía k = 1-

t-

ô+.. '^o

Resposra: s=l+ *l

95

29 êx€mplo: Resolvêr o sistema: ísen x + sen y = 'l

lx r y = á,com(x, y) ( Io, 2Í1.

Resolução: Prêparando o sistema, temosl

fsenxtseny=1- ísenx+ seny= 1 O

l - * r=â-1"=ïv@Substituindo-se Oem O, vem:

*"(á - , + senv = 1

senf.cosv cosf senv+seny= 1

cosy + sêny = 1

"/ ì seì{ +seny= 1Ji -seú = r seny

Elêvando ao quadradq temos:1 sen2y=1 2seny+sen2y2sen2y-2sêny=Oseny(seny - 1) = 0-seny = 0ouseny = 1No interyalo [0, 2Í], y = 0 ouy =

iDa êquaçâo@, vem:y=0,x=+

Besposta:

tI

y=+-x=o

'= [(',á)'{á,q]

EXERCíCIOS DE APRENDIZAGEM

,a I

5 (Faap-SP) Resoh," a equação2cosrx - cosx = 0, sendo0 < x < Í

ó Quais sàq de Oô a 360', os arcos que satisfazem

àequaçao: sen,($) - -.í*ì

= lr\ . | \z I

7 Resolvâ a equâção tgâ 3tgx + 2= 0,no

;nrewao [0, ] l.t + l

8 Ga.ap.SP ì Resoh," a eq uaÉ|o Ìg x 2\m\ = 0;o<'<á.

9 DeteÍmine o conjuDto solução dâ equâçãoLg2x + 2sen x = 0, noitrÌenãjoo < x < 2r.

I Resoh.â as equações:a)sen1 - .en r 2 = 0.para0 < y < 2,b)2senx = tg x, parao < x < 2tr

.2 Resolva a equação com 0 < x < 2tr:2 lsenx 2-5lsenx +2=0

3 {faap-SPt nche o: porsireis !alores de o rea ,com 0 < d < 2r, paÍa os quais â equaçâox'- xV2 - cosd = 0 admite uma raiz dupla

4 Considere a função t(x) = sen lx + + I\ z l

a) Ache os \.ãlores de x € [ - 3Í, Í] pala os quaisa função f assume o !ã1or máximo.

o) sâDenoo que l{d) - T e,Í < o <ï.

calcule o !"lor de A = sen cr + cos a.

96

t -

| 0 letermine x, com 0 < x < 2Í, sabendo qu€ âs€qüência (cos x, cos 2\ cos 3x) é uma progres-são âritmética de mzão não nuÌa.

sugestao: taça cos zx = r cos-x rcos 3x = 4cos'x - 3cosx

ll Determine o conjunto solução da equação2sen\ - s€nxnointenalo0 < x < 2Í

12 Determine o menoÍ valoÍ positivo de x pam o

qualg " ' " = T

13 (FEI-SP) ResolB as equações:

a)cosx+cos-x= 4; t r<x<tr

b)senx + se*} + sen3x + . . . = 1;0.* .á

14 calcule x ( N e, € R, tais que

í3sen0 = 2x - I

Ì cosp = x - 2

EXERCÍCIOS DE FIXACAO

I23 naotra as seguintes equaçò€s | Íigonoméúi€as:

ur".nlzx+*l=t\ J/

ulsenlx ] l= o

124 Determine o conjunto solução da equação

zsenÍë + 30' ì + I = o\ l I

125 Ache o conjunto verdade da equação

senÍx+*l sen{2x - t r ) = o\ z l

| 2ó ResoÌva as equações:

al.oslx-* l=o\ J/

b) cos 2x = I

127 Seja a função Íeál, de variável Íeal,f(x) = I - sen 5x.

a) CaÌcule o doÍúnio e o contradomínio de f.b) DeteÍmine os zeros de f(x).c) Ache o \aloÍ máximo e o !ãlor Íúnimo de f.d) Bsboce o gúfico de f(x) no int€n"lo [0, 2Íì.

15Conçidere a funçâo I real. de !"ria!el reâI.f(x) = 2 cos (2Í x) + I

a) calcule t(3r) + f l-+ l - + ì\ r / \z I

b) Resolva a rquaçào Í(u r í I .|.

.ott\ 4/

x( l - í , Í ì

ló (Cessranrio) Resolva a €quaçãocos2Y | 2sen'x + 2 - 0,com0 < x < 2,r

| 7 Resolva a equaçâo sen 5x - sen 3x - Éen x = 0,no intervalo 0 <x< Í . .

f

| 8 (Mauá-SP) Determine o coniunio solução daequação sen x + sen 3x = 2s 2x, com0<x<r.

19 Resolva a eouacâo.en I rcosr t.norn-teNalo0<x<2Í.

20 Resolva o sisterna:

fsenx = 2senylx y = 60', corn x, y € t0, 2Í1.

h

128 Seja f a função de vaÍiável Íeal definida por

f(x) = 4 s:en (2x) + 2

Determìne uma expressão geml dos zems de f,

129 Dada a funçao fur = -tf a'te l2x <l

calcule x, d€ modo que f(x) : v;

| 30 S€ja a função f, defiúda em R porf(x) = 2 + 3cos(5Í + x).

a) Caicule os valoreç de x € R para as quâisa função f assum€ o valor mínimo.

b) Sabendo que Í íxì =- j e i <a< r .

calcule o \ãlor de sen (o + Í).

l3l Resolva a equação2così+cosx l=0

132 GaaÈSP) Ìaesohã 4 sen\ - l lsen\+6=0

133 Dè a soluçào geral das segu intes equações Ln-gonometÍicas:

a)cosa+cosx-2=0b) 2 senh = sênxc) 2senh + cosx = 1

,)

97

134 Sabendo que c é a rnenor miz positiva daequação tg x : 2 sec x - cotg x, calcule

M=coÍd+ìsend

135 Ache o menor valor positivo de p, de modo

que a eqüaçào Íg p\ - coLg p:' admira I

| 3ó Resolva as equações:a) senx = secx - cosxb) l+3tg 'zx=5secx

137 Resolva, em R, a equaçaoÌÌ

cos2x tg'zx

= L* I * Icotg2x sec2x cos€c2x

138 Resolva as equaçòes:

a)cos2x= I + 4senxb)tgx + cos 2x = I

| 39 €uvesfsP) Resolvâ em ÌR a equaçãocos x . sen 2x = sen x (t + cos 2x)

140 (Mack-SP) Resc!ìva a equaçâocos x + cos 3x + cos 5x + cos 7x = 0

l4l FEI-SP) Resolvasen x + sm 3x = s€Ìr 2x + seú 4x

142 Seja a lunçáo freal . Í le \âr iá\elreal , def inidaI

- \Porsrx, : r+ÌC(4\-Èl

a) Determine a e\pres\áo geral dac mires dec(x)

b) Ache x e [- Í, Í], de nodo que

s(x) = I \5

| 43 (Mauá-SP) Resolva a equaçãocoy (sen x) = l, no intervalo 0 < x < 2tr

144 Resolva a equação, com 0 ( x < 2 r:sen 2x . cosec x

ICY - I _ corg\ 'secÌ

145 íVauá-sPl Derermine ^

e y que çariçtaçam -

I rer =.2).+:I coisr = x+rì -

- 'l - .v<nla

l4ó (MaD.r'SP, Der ermi ne aç (oluçoes da equdçiosen (2x - 180") - cos x = 0, no int€rvalo1t<x<2T.

SuSeÍão: Faça sen (2x - 180') = -sen 2x.

98

147 Resolva o sisterna

Jsen2x = 2senxl0<x<2Í

148 (Mauá-SP) DetermiÍÌe x, no inreÍvaÌo âbenoì0, 5Í[, que satisfâça a equaçâo2 cos (2x) cos x : 3

| 49 €aap-SP) Cal€ul€ o ângulo xde primeiro qua-dÌante, tal que sen r = cos (5x).

i| 50 Sendo0 < r < rÍ, derermine a sonÌa das raJcs

da €quação logr(cos 2x) - logr(sen x) = 0.

l5l Dada a equação

*"t2 " l

+ lcosír+x)- l .oode

0 < x < Í, câlcuÌe o valor de sen 2x.

152 ResoÌva r equação, sâbendo que x€ t0,2711.

*"1+. * ì

t

| 53 Oetermine o menor valor de x tal qüe0'<x<360"e

154 nesolva a equaçaq com r C I- Í, Íl:senx.cosx - sen (-x) . cos 3x

| 55 (Vunesp) Os ângulos internos A, B e C de umLÌìãngulo ABC esláo em progressào arilmé-tica. Se é válida a relação

cosA - cosB cos C - - t l " ' .aerer-mine a medida desses ânaulos.

l5ó eucc-Sp) sabendo,se que

cos\=zcos' ; - ì ecos.x + sena = I .

paÍa quais valores de x no intenalo Í0, 2Íl é

!átida a isualalade 2senxcosz4 +2

+ coszx senxcosx+ 1=0?

| 57 Resolva a equaçãq no intervalo [0, 2Í]:ocos'-+cosx- l=0

158 sare se que rog lsen { ) = : e\ . I

roe í*.*ì - -5. clfl e roq L---99!a\ z l - t+cosa

iI

Í