capitolo 8 - poliba
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CAPITOLO 8
LEGGE DI FARADAY
8.1 Induzione elettromagnetica
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Abbiamo visto nei precedenti come le cariche siano origine sia di campi elettrici chedi campi magnetici. A parte questa connessione tra i due campi a livello di staticaapparentemente non vi รจ nessuna connessione.
Gli esperimenti di Faraday e di Henry misero in evidenza che in situazioni variabili neltempo il collegamento emerge.
LEGGE DI
FARADAY
1ยฐ ESPERIMENTO
Sappiamo che una spira percorsa dacorrente e immersa in un campo magneticoรจ soggetta ad un momento torcente.Proviamo ad immaginare una situazionesimmetrica ovvero una spira (senzacorrente) soggetta a momento torcente edimmersa in campo magnetico. Quando simuove che succede?
Ci dovremmo aspettare una situazione simmetrica ovverocomparirร una corrente nella spira. Il teorema che spiegaquesta situazione รจ descritto dalla legge di Faraday.
8.1 Induzione elettromagnetica
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Le osservazioni stabiliscono che:
LEGGE DI
FARADAY
โข cโ รจ corrente solo se cโรจ un moto relativo tra spira e magnete;โข un movimento piรน veloce fornisce una corrente piรน intensa;โข il verso della corrente dipende anche dal segno del polo magnetico che si
muove (tra i due poli la situazione si inverte)
Questa corrente che compare nella spira si chiama corrente indotta e attribuiamo lacorrente ad una f.e.m. nel circuito che chiameremo f.e.m. indotta
2ยฐ ESPERIMENTO
Un secondo esperimento riguarda duespire vicine tra loro una delle quali รจcollegata ad un generatore di f.e.m. tramiteun interruttore. Appena colleghiamo laspira, se la corrente รจ variabile con il temposi osserva una f.e.m. indotta sullโaltra spira.Viceversa se la corrente รจ stazionaria noncโรจ f.e.m. indotta.
8.2 Legge dellโinduzione di Faraday
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La legge di Faraday spiega le precedenti osservazioni mettendo in relazione laquantitร di linee di campo (ovvero il flusso) del campo magnetico che attraversano laspira e in particolare la variazione nel tempo di questa quantitร con la f.e.m. indotta.
LEGGE DI
FARADAY
Definiamo il flusso del campo magnetico attraverso una superficie di area ฮฃ (che รจ
quella di una spira) come ๐ ๐ฉ = ๐บ๐ฉ โ ๐ ๐บ . La legge di Faraday afferma che la f.e.m.
indotta in una spira รจ uguale alla derivata temporale, cambiata di segno, del flusso magnetico attraverso la spira.
Legge di Faraday
โ = โ๐ ๐ ๐ฉ
๐ ๐
Questa variazione si puรฒ ottenere in diversi modi che producono sempre una variazione di flusso nel tempo:
โข varia ๐ฉ con il tempo;
โข varia lโarea della spira o la parte di area immersa in ๐ฉ;
โข varia lโorientazione della spira rispetto a ๐ฉ.
8.3 Legge di Lenz
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La corrente indotta dalla spira ha un verso tale che il campo magnetico generato dallastessa corrente indotta si oppone alla variazione di campo magnetico che lโhaprodotta.
LEGGE DI
FARADAY
La legge di Lenz รจ quella che motiva il segnomeno, ed รจ dovuta al principio diconservazione dellโenergia. Infatti se perassurdo non fosse cosรฌ (ovvero la correnteindotta fosse favorevole) allora il campomagnetico dovuto alla corrente indottasarebbe esattamente parallelo al centrodella spira a quello esterno.
Ma una spira percorsa da corrente รจ equivalente ad un dipolomagnetico, quindi in questo caso la spira attirerebbe a se il magneteaccelerandolo e quindi con un aumento di energia cinetica. Se cosรฌfosse avremmo una violazione della conservazione dellโenergia.Pertanto nella realtร la situazione รจ quella in figura
8.4 Origine della f.e.m. indotta
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Esplicitiamo la legge di Faraday per evidenziare meglio il legame tra ๐ฌ๐ e ๐ฉ:
LEGGE DI
FARADAY
โ๐ = โ๐ ๐ ๐ฉ
๐ ๐
โ๐ = เถป๐ช
๐ฌ๐ โ ๐ ๐ = โ๐
๐๐เถฑ๐บ
๐ฉ โ เท๐๐๐ ๐บ
dove in base alle considerazioni fatte per il flusso di ๐ฉ nel precedente capitolo, ฮฃ รจuna qualunque superficie che si appoggi alla linea C.
Il significato visuale puรฒ esserecompreso da questa figura: lacircuitazione รจ calcolata sulla curva C su
cui troviamo un campo indotto ๐ฌ๐, sullasuperficie ฮฃ troviamo un flusso di
campo magnetico ๐ฉ legato con il
campo elettrico ๐ฌ๐ (non conservativo).
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Esercizio 8.1
Supponiamo una spira rettangolare inizialmenteimmersa in una regione con un campo magnetico
๐ costante ed uniforme. Ad un certo momento laspira viene trascinata fuori dalla regione ad unavelocitร costante ๐ฏ. Qual รจ la forza necessaria amuovere la spira a velocitร costante?
TEOREMA
AMPERE
Esercizio 8.2
Una spira circolare รจ immersa in una zona in cui รจ presente un campo
magnetico variabile nel tempo ๐ฉ ๐ . Determinare lโespressione del campo
elettrico indotto ๐ฌ๐.
Esercizio 8.3
Abbiamo una spira rettangolare di larghezza L = 3 m e altezza H
= 2 m. Il campo magnetico ๐ รจ variabile e non uniforme conespressione B = 4 t2 x2 ed entrante nel foglio. Quali sono moduloe direzione della f.e.m. indotta per t = 0.1 s?
8.5 Generatore di corrente alternata
8
Consideriamo una spira rettangolare che ruoti con velocitร angolare ฯ attorno ad unasse verticale passante per il suo centro. Allโistante t generico la spira forma un
angolo ฮธ con la direzione del campo magnetico ๐ฉ per cui il flusso
LEGGE DI
FARADAY
โ๐ = โ๐ ๐ ๐ฉ
๐ ๐= ๐๐ฉ๐บ๐๐๐(๐๐)
๐ ๐ฉ = เถฑ๐บ
๐ฉ โ เท๐๐๐ ๐บ = ๐ฉ๐บ๐๐๐๐ฝ = ๐ฉ๐บ๐๐๐(๐๐)
per cui la f.e.m. indotta dalla sua rotazione รจ
la f.e.m. indotta quindi ha una variazione sinusoidale con una pulsazionecoincidente con la velocitร angolare.
8.6 Legge di Felici
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Se una spira di resistenza R viene mossa in un campo magnetico in essa scorrecorrente data
LEGGE DI
FARADAY
Se allora vogliamo calcolare la carica che รจ complessivamente fluita nella spira tradue istanti di tempo dobbiamo integrare:
๐ =โ
๐น= โ
๐
๐น
๐ ๐ ๐ฉ
๐ ๐
๐ = เถฑ๐๐
๐๐
๐๐ ๐ = โ๐
๐นเถฑ๐๐
๐๐๐ ๐ ๐ฉ
๐ ๐๐ ๐ = โ
๐
๐นเถฑ๐๐
๐๐
๐ ๐ ๐ฉ =๐ฝ๐ โ๐ฝ๐
๐น
relazione che รจ detta legge di Felici. In altre parole la carica che รจ fluitanon dipende dalla specifica legge con cui varia il flusso ma solo dallavariazione complessiva. La legge permette una semplice misura di flussio di campi magnetici.
8.7 Autoinduzione
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Qualunque circuito C percorso da corrente produce un campo magnetico ๐ฉ che si puรฒdedurre utilizzando la legge di Ampere-Laplace. Il flusso di questo campo รจovviamente anche concatenato a sรฉ stesso, per cui in questi casi si parla di autoflussoe quindi sarร dato da:
LEGGE DI
FARADAY
๐ ๐ฉ = เถฑ๐ฎ
๐ฉ โ เท๐๐๐ ๐ฎ = เถฑ๐ฎ
๐๐๐
๐๐ เถป๐ ๐ ร เท๐๐๐๐
โ เท๐๐๐ ๐ฎ
dove ฮฃ รจ una qualunque superficie (aperta) che abbia C come contorno.
Di conseguenza ๐ ๐ฉ รจ dipendente dalla i del circuito per cui possiamo scrivere
complessivamente:๐ ๐ฉ = ๐ณ๐
ed L viene detto il coefficiente di autoinduzione o induttanza.Notare che nel calcolo di L se la spira ha N avvolgimenti il flusso vamoltiplicato per N.
Lโunitร di misura dellโinduttanza nel SI รจ il Henry (H) per cui
๐ ๐ฏ =๐๐พ๐๐๐๐
๐ ๐จ๐๐๐๐๐
8.8 Induttanza di un solenoide
11LEGGE DI
FARADAY
Per un solenoide il campo magnetico ๐ฉ รจ diretto lungo lโasse e vale in modulo
๐ฉ = ๐๐๐๐
Supponendo che sia composto da N spire, detta ๐บla sua sezione trasversale e l la sua lunghezza
complessiva, il flusso del campo magnetico ๐ฉ sarร pari al flusso di una singola spira moltiplicato perle N spire
๐ต๐ ๐ฉ = ๐ต๐ฉ๐บ = ๐๐ ๐๐๐๐๐บ = ๐ณ๐
๐ณ
Induttanza di un solenoide
๐ณ = ๐๐๐๐๐๐บ
Lโinduttanza dipende solo dalle caratteristiche geometrichedel solenoide
8.9 Circuiti RL
12LEGGE DI
FARADAY
Quando la corrente in un circuito non รจ costante, si ha una variazione nel tempodellโautoflusso del campo magnetico, e quindi nel circuito compare una f.e.m. indottagovernata dalla legge di Faraday-Lenz:
โ๐ณ = โ๐ ๐ ๐ฉ
๐ ๐= โ๐ณ
๐ ๐
๐ ๐
Il dispositivo che possiede un valore di L รจ detto induttore.Un prototipo di questo รจ il solenoide ed il simbolo dellโinduttore
Un circuito RL sarร composto dauna resistenza R e da un induttoreL in serie con una batteria.Supponiamo di inserire uninterruttore che, alla sua chiusura,consente il passaggio dellacorrente nella maglia.
8.9 Circuiti RL
13LEGGE DI
FARADAY
Nel circuito abbiamo inizialmente lโinterruttorestaccato, quindi i = 0. Appena colleghiamo tramitelโinterruttore, il circuito R-L, la corrente aumenta elโinduttanza risponde con una f.e.m. autoindotta โ๐ฟ.
Applicando la seconda legge di Kirchhoff alla maglia:
โ + โ๐ณ = ๐น๐
Poichรฉ abbiamo visto che โ๐ณ = โ๐ณ๐ ๐
๐ ๐: โ โ ๐ณ
๐ ๐
๐ ๐โ ๐น๐ = ๐
che รจ unโequazione differenziale simile a quella del circuito RC. La soluzione รจ
๐ ๐ =โ
๐น๐ โ ๐โ
๐น๐ณ๐
โ
๐น
La corrente parte da un valore nullo per arrivare lentamente alvalore a regime. Una volta raggiunto il valore di regime, il circuitodiventa puramente resistivo.
la costante ฯ =๐ณ
๐นรจ detta costante di tempo induttiva
8.9 Circuiti RL
14LEGGE DI
FARADAY
โ = ๐ณ๐ ๐
๐ ๐+ ๐น๐
Lโequazione della maglia:
si puรฒ utilizzare per vedere la potenza erogata: infatti moltiplichiamo ambo i membriper la corrente i otteniamo
๐ท = โ๐ = ๐ณ๐๐ ๐
๐ ๐+ ๐น๐๐ = ๐ท๐ณ + ๐ท๐น
Quindi la potenza immagazzinata nellโinduttore sarร
๐ท๐ณ = ๐ณ๐๐ ๐
๐ ๐pertanto lโenergia immagazzinata ๐๐ฟ sarร
๐ท๐ณ =๐ ๐๐ฟ๐ ๐
๐ ๐๐ฟ = ๐ท๐ณ๐ ๐ = ๐ณ๐๐ ๐
da cui:
8.9 Circuiti RL
15LEGGE DI
FARADAY
Se integriamo sullโintero processo (da i = 0 al valore finale di i) si ottiene che
๐๐ฟ = เถฑ๐
๐
๐ ๐๐ฟ = เถฑ๐
๐
๐ณ๐๐ ๐ =๐
๐๐ณ๐๐
che รจ lโenergia immagazzinata nellโinduttore e necessaria a creare il campomagnetico al suo interno. Dal momento che nei solenoidi il campo magnetico รจinterno al solenoide, possiamo trovare lโespressione della densitร di energia.Sostituendo lโespressione trovata per lโinduttanza :
๐ณ = ๐๐๐๐๐๐บ
e quella per il campo magnetico di un solenoide:
๐ฉ = ๐๐๐๐
La densitร di energia allโinterno di un solenoide รจ pari a:
๐ข๐ฟ =๐๐ฟ๐๐บ
=๐
๐๐๐บ๐๐๐
๐๐๐บ๐ฉ๐
๐๐๐๐๐ =
๐ฉ๐
๐๐๐
8.10 Legge di Ampere-Maxwell
16LEGGE DI
FARADAY
Nel vuoto, il campo magnetico ๐ฉ obbedisce alla legge di Ampere:
con ic la corrente concatenata alla linea C su cui รจ calcolata la circuitazione di ๐ฉ:
เถป๐ช
๐ฉ โ ๐ ๐ =๐๐๐๐
Abbiamo visto che una situazione limite avviene nel circuito RC quando si carica ilcondensatore, situazione per la quale abbiamo visto รจ necessario definire la correntedi spostamento
๐๐ = ๐บ๐๐ ๐ ๐ฌ
๐ ๐
Mettendo insieme questa considerazione si arriva alla legge di Ampere-Maxwell:
เถป๐ช
๐ฉ โ ๐ ๐ =๐๐ ๐๐ + ๐บ๐๐ ๐ ๐ฌ
๐ ๐
che stabilisce come i campi magnetici possano essere prodottisia da correnti di conduzione che da variazioni temporali diflusso di campo elettrico.
8.11 Equazioni di Maxwell
17LEGGE DI
FARADAY
Ragionando proprio sulla simmetria matematica delle equazioni ad uno scambio dei
campi ๐ฌ con ๐ฉ, Maxwell intuรฌ lโesistenza delle equazioni che completavano ladescrizione dei fenomeni elettro-magnetici estendendole alle situazioni dinamichenel tempo. Le equazioni di Maxwell in forma integrale sono le seguenti:
Legge di Gauss per ๐ฌ
Legge di Gauss per ๐ฉ
Legge di Faraday เถป๐ช
๐ฌ โ ๐ ๐ = โ๐ ๐ ๐ฉ
๐ ๐
เถปฮฃ
๐ฉ โ เท๐๐๐ ๐บ = 0
เถปฮฃ
๐ฌ โ เท๐๐๐ ๐บ =๐
๐0
Legge di Ampere-Maxwell เถป๐ช
๐ฉ โ ๐ ๐ = ๐๐ ๐๐ + ๐บ๐๐ ๐ ๐ฌ
๐ ๐
8.11 Equazioni di Maxwell
18LEGGE DI
FARADAY
La simmetria delle equazioni รจ ancora piรน evidente quando consideriamo lasituazione nel vuoto, in assenza di sorgenti fisiche, ovvero di cariche e correnti diconduzione (q = 0, ic = 0):
Legge di Gauss per ๐ฌ
Legge di Gauss per ๐ฉ
Legge di Faraday เถป๐ช
๐ฌ โ ๐ ๐ = โ๐ ๐ ๐ฉ
๐ ๐
เถปฮฃ
๐ฉ โ เท๐๐๐ ๐บ = 0
เถปฮฃ
๐ฌ โ เท๐๐๐ ๐บ = 0
Legge di Ampere-Maxwell เถป๐ช
๐ฉ โ ๐ ๐ =๐๐๐บ๐๐ ๐ ๐ฌ
๐ ๐
8.11 Equazioni di Maxwell
19LEGGE DI
FARADAY
Risolvendole, si ottiene la legge con cui i campi ๐ฌ e ๐ฉ si propagano nel vuoto.La soluzione รจ descritta da unโonda che trasporta con sรจ i campi elettrici e magnetici.Parleremo pertanto di onda elettromagnetica la quale (per il solo fatto di avere i campi elettrici e magnetici) trasporta energia. Dalla soluzione di queste equazioni si puรฒ determinare la velocitร di propagazione dellโonda elettromagnetica nel vuoto e questa risulta pari a:
๐ฃ =1
๐๐๐บ๐=
1
1.2566 โ 10โ6๐ โ ๐๐๐ 2๐ด2
โ 8.854 โ 10โ12๐ 4๐ด2
๐3๐๐
= 299792๐
๐
che รจ la velocitร di propagazione della luce nel vuoto c.
Dalla risoluzione delle equazioni di Maxwell si derivano le relazioni tra i
campi ๐ฌ e ๐ฉ e le leggi dellโottica, che costituiscono le basi della teoria ondulatoria della luce.