capitolul 5 statica cadrelor plane
TRANSCRIPT
cAPITOLUL 5STATICA CADRELOR (capitol în lucru)
5.1 Caracterizarea cadrelor
Bara de cadru (în general) este elementul structural obţinut prin suprapunerea efectelor generate în urma comportării la deformare elastică a zăbrelei şi barei continue (pe baza ipotezei micilor deformaţii), ambele elemente structurale având aceeaşi lungime L şi acelaşi modulul de elasticitate E, primul element structural având aria secţiunii transversale A şi al doilea două momente de inerţie la încovoiere ale secţiunii transversale în raport cu direcţiile principale I1 şi I2 (figura 5.1).
În cazul barei de cadru plan, comportarea la deformare, poate fi studiată prin raportarea parametrilor proprii, principali d1, d2, d3, d4, d5, d6 şi secundari f1, f2, f3, f4, f5, f6,
la un reper propriu, definit de axa x, dispusă longitudinal elementului şi axa y, dispusă normal la axa longitudinală a acestuia, precum şi de o a treia axă, z (normală la planul primelor două) şi la care se raportează momentul de inerţie la în covoiere, rotirile şi momentele corespunzătoare (în jurul axei z), figura 5.1.
Figura 5.1 Bară de cadru plan în sistemul de axe propriu xy
Ecuaţia de echilibru static a barei de cadru plan (fără luarea în considerare a influenţei deformaţiilor din efortul de lunecare), stabilită prin metodele staticii structurilor, este dată de relaţia 5.1.1a
=
⋅
−
−−−
−
−
−
−
6
5
4
3
2
1
6
5
4
3
2
1
22
2323
22
2323
460
260
6120
6120
0000
260
460
6120
6120
0000
f
f
f
f
f
f
d
d
d
d
d
d
L
EI
L
EI
L
EI
L
EIL
EI
L
EI
L
EI
L
EIL
EA
L
EAL
EI
L
EI
L
EI
L
EIL
EI
L
EI
L
EI
L
EIL
EA
L
EA
sau în exprimare matriceală compactă, de forma (5.1.1a)
49
[ ] { } { }fdk =⋅
unde: [ ]k este matricea de rigiditate a barei de cadru plan raportată la parametrii proprii, d1, d2, d3, d4, d5, d6, f1, f2, f3, f4, f5, f6;{ }d - vectorul deplasărilor extremităţilor barei de cadru plan sau al parametrilor proprii principali d1, d2, d3, d4, d5, d6;{ }f - vectorul forţelor ce acţionează la extremităţile barei de cadru plan sau al parametrilor proprii secundari f1, f2, f3, f4, f5, f6.
În situaţia în care se ia în considerare influenţa deformaţiilor din efortul de lunecare, ecuaţia de echilibru static a barei de cadru plan este dată de relaţia 5.1.1b
=
⋅
−−
−−−
−
−−
−
−
6
5
4
3
2
1
6
5
4
3
2
1
32
242
2
22
31
22
31
42
232
2
22
31
22
31
460
260
6120
6120
0000
260
460
6120
6120
0000
f
f
f
f
f
f
d
d
d
d
d
d
L
EI
L
EI
L
EI
L
EIL
EI
L
EI
L
EI
L
EIL
EA
L
EAL
EI
L
EI
L
EI
L
EIL
EI
L
EI
L
EI
L
EIL
EA
L
EA
zzzz
zzzz
zzzz
zzzz
γγγγ
γγγγ
γγγγ
γγγγ
(5.1.1b)
unde:
t121
121 +
== γγ t
t
121
313 +
+=γ t
t
121
614 +
−=γ 2GAL
EIct z
T= ∫⋅=z
zT dz
zb
zS
I
Ac
)(
)(2
2
cT fiind coeficientul de formă al secţiunii transversale; pentru secţiuni dreptunghiulare influenţa deformaţiilor din efortul de lunecare este importantă pentru rapoarte L/h (h, fiind înălţimea secţiunii transversale) cuprinse între 2 şi 8.
În cazul barei de cadru spaţial, comportarea la deformare, poate fi studiată prin raportarea la acelaşi reper propriu, xyz, ca şi al barei de cadru plan, numai că, în acest caz, parametrii proprii principali sunt, pentru prima extremitate d1, d2, d3 (translaţii după x, y şi z) şi d4, d5, d6 (rotiri în jurul axelor x, y şi z) iar pentru a doua extremitate d7, d8, d9 (translaţii după x, y şi z) şi d10, d11, d12 (rotiri în jurul axelor x, y şi z); cei secundari sunt, pentru prima extremitate f1, f2, f3 (forţe după x, y şi z) şi f4, f5, f6 (momente în jurul axelor x, y şi z) iar pentru a doua extremitate f7, f8, f9 (forţe după x, y şi z) şi f10, f11, f12
(momente în jurul axelor x, y şi z). În felul acesta putem defini termenii ecuaţiei de echilibru static pentru bara de cadru spaţial:
- matricea de rigiditate
50
[ ]
−
−
−
−
−−−
−
−
−
−
−−−
−
−
=
LzEI
L
zEI
LzEI
L
zEIL
yEI
L
yEI
L
yEI
L
yEIL
xGI
LxGI
L
yEI
L
yEI
L
yEI
L
yEIL
zEI
L
zEI
L
zEI
L
zEIL
EA
L
EAL
zEI
L
zEI
LzEI
L
zEIL
yEI
L
yEI
L
yEI
L
yEIL
xGI
LxGI
L
yEI
L
yEI
L
yEI
L
yEIL
zEI
L
zEI
L
zEI
L
zEIL
EA
L
EA
k
4000
2
60
2000
2
60
04
02
6000
20
2
600
0000000000
02
60
3
12000
2
60
3
1200
2
6000
3
120
2
6000
3
120
0000000000
2000
2
60
4000
2
60
02
02
6000
40
2
600
0000000000
02
60
3
12000
2
60
3
1200
2
6000
3
120
2
6000
3
120
0000000000
- vectorul parametrilor principali vectorul parametrilor secundari
{ }
=
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d { }
=
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
Structurile de tip cadru (obişnuit tratate ca structuri cu noduri rigide) se pot organiza după o direcţie (puţin interesante), dar de cele mai multe ori după două direcţii (cadre plane, figura 5.2) şi după trei direcţii (cadre saţiale).
Pentru fiecare nod i, al unui cadru plan se definesc câte trei parametri principali, D3i-2, D3i-1 şi D3i, primul fiind definit ca deplasare de translaţie după prima axă a reperului structurii (obişniut X), a doua ca deplasare de translaţie după a doua axă a reperului structurii (obişnuit Y) şi a treia ca rotire în în jurul celei de a treia axe a reperului (obişnuit Z); pentru o structură cu n noduri se definesc 3n parametri principali. Parametrii secundari corespunzători sunt forţele nodale F3i-2, F3i-1 şi F3i; pentru o structură cu n noduri se definesc 3n parametri secundari. Parametrii sunt pozitivi dacă
51
vectorii ce îi definesc au acelaşi sens cu sensul pozitiv al axelor cu care sunt paraleli sau rotesc în sens antiorar.
Figrura 5.2 Cadru plan în sistemul de axe structural XY
Şi în cazul cadrului plan, ca şi în cazul celui spaţial, compatibilitatea deplasărilor extremităţilor elementului cu deplasările nodului de conectare al structurii este asigurată.
5.2 Statica matriceală clasică pentru analiza cadrelor plane
5.2.1 Stabilirea ecuaţiei matriceale de echilibru static a barei de cadru plan
În cazul grinzilor continue, matricea de transformare prin rotire a deplasărilor, forţelor şi eforturilor din extremităţile fiecărei bare este de forma:
−
−
=
100000
0)cos()sin(000
0)sin()cos(000
000100
0000)cos()sin(
0000)sin()cos(
αααα
αααα
T
unde α este unghiul măsurat (în sens pozitiv, antiorar) de la axa x către axa X.
5.2.1 Analiza statică a cadrului plan
5.3 Stabilirea prin MEF a ecuaţiei matriceale de echilibru static a barei de cadru plan cu raportare la parametrii proprii
Enunţarea problemei: Să se efecteze analiza statică a cadrului plan (determinarea deplasărilor, forţelor din reazeme şi a eforturilor), schema statică, caracteristicile geometrice şi mecanice, precum şi încărcările fiind precizate pe figura 5.3.
52
Figura 5.3 Structura de cadru plan şi modelul discret corespunzător
Rezolvarea problemei:
Aplicaţia utilizează notaţii pentru variabile şi operatori corespunzând programului de calcul matematic Mathcad (simbolul := are înţelesul de atribuire).
Etapa 1, stabilirea ecuaţiei maticeale de echilibru static pentru fiecare element de cadru plan:
Bară 1 (figura 5.4.1)
Figura 5.4.1 Parametri şi sisteme de referinţă pentru bara 1
53
Etapa 1.1 - prin raportare la parametrii proprii
Etapa 1.2 - prin raportare la parametrii structurali aferenţi
ke1
E A⋅L
0
0
E− A⋅L
0
0
0
12 E⋅ I⋅
L3
6 E⋅ I⋅
L2
0
12− E⋅ I⋅
L3
6 E⋅ I⋅
L2
0
6 E⋅ I⋅
L2
4 E⋅ I⋅L
0
6− E⋅ I⋅
L2
2 E⋅ I⋅L
E− A⋅L
0
0
E A⋅L
0
0
0
12− E⋅ I⋅
L3
6− E⋅ I⋅
L2
0
12 E⋅ I⋅
L3
6− E⋅ I⋅
L2
0
6 E⋅ I⋅
L2
2 E⋅ I⋅L
0
6− E⋅ I⋅
L2
4 E⋅ I⋅L
:=
ke1
720000
0
0
720000−
0
0
0
7200
1080000
0
7200−
1080000
0
1080000
216000000
0
1080000−
108000000
720000−
0
0
720000
0
0
0
7200−
1080000−
0
7200
1080000−
0
1080000
108000000
0
1080000−
216000000
=
απ2
:= T1
cos α( )
sin α( )−
0
0
0
0
sin α( )
cos α( )
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
cos α( )
sin α( )−
0
0
0
0
sin α( )
cos α( )
0
0
0
0
0
0
1
:= k1 T1T ke1⋅ T1⋅:=
k1
7200
0
1080000−
7200−
0
1080000−
0
720000
0
0
720000−
0
1080000−
0
216000000
1080000
0
108000000
7200−
0
1080000
7200
0
1080000
0
720000−
0
0
720000
0
1080000−
0
108000000
1080000
0
216000000
=
54
Etapa 1.3 - prin raportare la parametrii structurali
i 1 12..:= j 1 12..:= K1i j, 0:=
K11 1, k1
1 1, := K11 2, k1
1 2, := K11 3, k1
1 3, :=
K11 7, k1
1 4, := K11 8, k1
1 5, := K11 9, k1
1 6, :=
K12 1, k1
2 1, := K12 2, k1
2 2, := K12 3, k1
2 3, :=
K12 7, k1
2 4, := K12 8, k1
2 5, := K12 9, k1
2 6, :=
K13 1, k1
3 1, := K13 2, k1
3 2, := K13 3, k1
3 3, :=
K13 7, k1
3 4, := K13 8, k1
3 5, := K13 9, k1
3 6, :=
K17 1, k1
4 1, := K17 2, k1
4 2, := K17 3, k1
4 3, :=
K17 7, k1
4 4, := K17 8, k1
4 5, := K17 9, k1
4 6, :=
K18 1, k1
5 1, := K18 2, k1
5 2, := K18 3, k1
5 3, :=
K18 7, k1
5 4, := K18 8, k1
5 5, := K18 9, k1
5 6, :=
K19 1, k1
6 1, := K19 2, k1
6 2, := K19 3, k1
6 3, :=
K19 7, k1
6 4, := K19 8, k1
6 5, := K19 9, k1
6 6, :=
K1
7200
0
1080000−
0
0
0
7200−
0
1080000−
0
0
0
0
720000
0
0
0
0
0
720000−
0
0
0
0
1080000−
0
216000000
0
0
0
1080000
0
108000000
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
7200−
0
1080000
0
0
0
7200
0
1080000
0
0
0
0
720000−
0
0
0
0
0
720000
0
0
0
0
1080000−
0
108000000
0
0
0
1080000
0
216000000
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
=
55
Bară 2 (figura 5.4.2)
Figura 5.4.2 Parametri şi sisteme de referinţă pentru bara 2
Etapa 1.1 - prin raportare la parametrii proprii
Etapa 1.2 - prin raportare la parametrii structurali aferenţi
ke2
E A⋅L
0
0
E− A⋅L
0
0
0
12 E⋅ I⋅
L3
6 E⋅ I⋅
L2
0
12− E⋅ I⋅
L3
6 E⋅ I⋅
L2
0
6 E⋅ I⋅
L2
4 E⋅ I⋅L
0
6− E⋅ I⋅
L2
2 E⋅ I⋅L
E− A⋅L
0
0
E A⋅L
0
0
0
12− E⋅ I⋅
L3
6− E⋅ I⋅
L2
0
12 E⋅ I⋅
L3
6− E⋅ I⋅
L2
0
6 E⋅ I⋅
L2
2 E⋅ I⋅L
0
6− E⋅ I⋅
L2
4 E⋅ I⋅L
:=
ke2
360000
0
0
360000−
0
0
0
900
270000
0
900−
270000
0
270000
108000000
0
270000−
54000000
360000−
0
0
360000
0
0
0
900−
270000−
0
900
270000−
0
270000
54000000
0
270000−
108000000
=
α 0:= T2
cos α( )
sin α( )−
0
0
0
0
sin α( )
cos α( )
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
cos α( )
sin α( )−
0
0
0
0
sin α( )
cos α( )
0
0
0
0
0
0
1
:= k2 T2T ke2⋅ T2⋅:=
k2
360000
0
0
360000−
0
0
0
900
270000
0
900−
270000
0
270000
108000000
0
270000−
54000000
360000−
0
0
360000
0
0
0
900−
270000−
0
900
270000−
0
270000
54000000
0
270000−
108000000
=
56
Etapa 1.3 - prin raportare la parametrii structurali
Bară 3 (figura 5.4.3)
i 1 12..:= j 1 12..:= K2i j, 0:=
K27 7, k2
1 1, := K27 8, k2
1 2, := K27 9, k2
1 3, :=
K27 10, k2
1 4, := K27 11, k2
1 5, := K27 12, k2
1 6, :=
K28 7, k2
2 1, := K28 8, k2
2 2, := K28 9, k2
2 3, :=
K28 10, k2
2 4, := K28 11, k2
2 5, := K28 12, k2
2 6, :=
K29 7, k2
3 1, := K29 8, k2
3 2, := K29 9, k2
3 3, :=
K29 10, k2
3 4, := K29 11, k2
3 5, := K29 12, k2
3 6, :=
K210 7, k2
4 1, := K210 8, k2
4 2, := K210 9, k2
4 3, :=
K210 10, k2
4 4, := K210 11, k2
4 5, := K210 12, k2
4 6, :=
K211 7, k2
5 1, := K211 8, k2
5 2, := K211 9, k2
5 3, :=
K211 10, k2
5 4, := K211 11, k2
5 5, := K211 12, k2
5 6, :=
K212 7, k2
6 1, := K212 8, k2
6 2, := K212 9, k2
6 3, :=
K212 10, k2
6 4, := K212 11, k2
6 5, := K212 12, k2
6 6, :=
K2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
360000
0
0
360000−
0
0
0
0
0
0
0
0
0
900
270000
0
900−
270000
0
0
0
0
0
0
0
270000
108000000
0
270000−
54000000
0
0
0
0
0
0
360000−
0
0
360000
0
0
0
0
0
0
0
0
0
900−
270000−
0
900
270000−
0
0
0
0
0
0
0
270000
54000000
0
270000−
108000000
=
57
Figura 5.4.3 Parametri şi sisteme de referinţă pentru bara 3
Etapa 1.1 - prin raportare la parametrii proprii
Etapa 1.2 - prin raportare la parametrii structurali aferenţi
ke3
E A⋅L
0
0
E− A⋅L
0
0
0
12 E⋅ I⋅
L3
6 E⋅ I⋅
L2
0
12− E⋅ I⋅
L3
6 E⋅ I⋅
L2
0
6 E⋅ I⋅
L2
4 E⋅ I⋅L
0
6− E⋅ I⋅
L2
2 E⋅ I⋅L
E− A⋅L
0
0
E A⋅L
0
0
0
12− E⋅ I⋅
L3
6− E⋅ I⋅
L2
0
12 E⋅ I⋅
L3
6− E⋅ I⋅
L2
0
6 E⋅ I⋅
L2
2 E⋅ I⋅L
0
6− E⋅ I⋅
L2
4 E⋅ I⋅L
:=
ke3
720000
0
0
720000−
0
0
0
7200
1080000
0
7200−
1080000
0
1080000
216000000
0
1080000−
108000000
720000−
0
0
720000
0
0
0
7200−
1080000−
0
7200
1080000−
0
1080000
108000000
0
1080000−
216000000
=
απ2
:= T3
cos α( )
sin α( )−
0
0
0
0
sin α( )
cos α( )
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
cos α( )
sin α( )−
0
0
0
0
sin α( )
cos α( )
0
0
0
0
0
0
1
:= k3 T3T ke3⋅ T3⋅:=58
Etapa 1.3 - prin raportare la parametrii structurali
k3
7200
0
1080000−
7200−
0
1080000−
0
720000
0
0
720000−
0
1080000−
0
216000000
1080000
0
108000000
7200−
0
1080000
7200
0
1080000
0
720000−
0
0
720000
0
1080000−
0
108000000
1080000
0
216000000
=
i 1 12..:= j 1 12..:= K3i j, 0:=
K34 4, k3
1 1, := K34 5, k3
1 2, := K34 6, k3
1 3, :=
K34 10, k3
1 4, := K34 11, k3
1 5, := K34 12, k3
1 6, :=
K35 4, k3
2 1, := K35 5, k3
2 2, := K35 6, k3
2 3, :=
K35 10, k3
2 4, := K35 11, k3
2 5, := K35 12, k3
2 6, :=
K36 4, k3
3 1, := K36 5, k3
3 2, := K36 6, k3
3 3, :=
K36 10, k3
3 4, := K36 11, k3
3 5, := K36 12, k3
3 6, :=
K310 4, k3
4 1, := K310 5, k3
4 2, := K310 6, k3
4 3, :=
K310 10, k3
4 4, := K310 11, k3
4 5, := K310 12, k3
4 6, :=
K311 4, k3
5 1, := K311 5, k3
5 2, := K311 6, k3
5 3, :=
K311 10, k3
5 4, := K311 11, k3
5 5, := K311 12, k3
5 6, :=
K312 4, k3
6 1, := K312 5, k3
6 2, := K312 6, k3
6 3, :=
K312 10, k3
6 4, := K312 11, k3
6 5, := K312 12, k3
6 6, :=
59
Etapa 2, stabilirea ecuaţiei matriceale de echilibru static a structurii:
Etapa 3, introducerea condiţiilor la limită (cl):
K3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
7200
0
1080000−
0
0
0
7200−
0
1080000−
0
0
0
0
720000
0
0
0
0
0
720000−
0
0
0
0
1080000−
0
216000000
0
0
0
1080000
0
108000000
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
7200−
0
1080000
0
0
0
7200
0
1080000
0
0
0
0
720000−
0
0
0
0
0
720000
0
0
0
0
1080000−
0
108000000
0
0
0
1080000
0
216000000
=
K K1 K2+ K3+:=
K 0.000=K
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
7200 0 -1080000 0 0
0 720000 0 0 0
-1080000 0 216000000 0 0
0 0 0 7200 0
0 0 0 0 720000
0 0 0 -1080000 0
-7200 0 1080000 0 0
0 -720000 0 0 0
-1080000 0 108000000 0 0
0 0 0 -7200 0
0 0 0 0 -720000
0 0 0 -1080000 ...
=
Kcl
K7 7,
K8 7,
K9 7,
K10 7,
K11 7,
K12 7,
K7 8,
K8 8,
K9 8,
K10 8,
K11 8,
K12 8,
K7 9,
K8 9,
K9 9,
K10 9,
K11 9,
K12 9,
K7 10,
K8 10,
K9 10,
K10 10,
K11 10,
K12 10,
K7 11,
K8 11,
K9 11,
K10 11,
K11 11,
K12 11,
K7 12,
K8 12,
K9 12,
K10 12,
K11 12,
K12 12,
:=
60
Etapa 4, determinarea deplasarilor necunoscute (nec):
- generarea vectorului deplasărilor:
Kcl
367200
0
1080000
360000−
0
0
0
720900
270000
0
900−
270000
1080000
270000
324000000
0
270000−
54000000
360000−
0
0
367200
0
1080000
0
900−
270000−
0
720900
270000−
0
270000
54000000
1080000
270000−
324000000
=
Kcl 157453588530709250000000000000000000000=
Fcl
10000
0
0
10000−
0
0
:=
Dnec lsolve Kcl Fcl, ( ):= Dnec
0.013833555
0
0.000055334−
0.013833555−
0
0.000055334
=
D
0
0
0
0
0
0
Dnec1
Dnec2
Dnec3
Dnec4
Dnec5
Dnec6
:= D
0
0
0
0
0
0
0.0138336
0
0.0000553−
0.0138336−
0
0.0000553
=
61
Etapa 5 (auxiliară), determinarea forţelor din reazeme:
- generarea vectorului forţelor:
Etapa 6 (auxiliară), determinarea eforturilor din zăbrele:
Bară 1
Fnec1 K 1⟨ ⟩TD⋅:= Fnec1 39.841−=
Fnec2 K 2⟨ ⟩TD⋅:= Fnec2 0=
Fnec3 K 3⟨ ⟩TD⋅:= Fnec3 8964.143=
Fnec4 K 4⟨ ⟩TD⋅:= Fnec4 39.841=
Fnec5 K 5⟨ ⟩TD⋅:= Fnec5 0−=
Fnec6 K 6⟨ ⟩TD⋅:= Fnec6 8964.143−=
F
Fnec1
Fnec2
Fnec3
Fnec4
Fnec5
Fnec6
0
10000
0
0
10000−
0
:= F
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
-39.841
0.000
8964.143
39.841
0.000
-8964.143
0.000
10000.000
0.000
0.000
-10000.000
0.000
=
D1
D1
D2
D3
D7
D8
D9
:= fe1 ke1 T1⋅ D1⋅:= fe1
0.000
39.841
8964.143
0.000
39.841−
2988.048
=
62
Bară 2
Bară 3
D2
D7
D8
D9
D10
D11
D12
:= fe2 ke2 T2⋅ D2⋅:= fe2
9960.159
0.000
2988.048−
9960.159−
0.000
2988.048
=
D3
D4
D5
D6
D10
D11
D12
:= f e3 ke3 T3⋅ D3⋅:= fe3
0.000
39.841−
8964.143−
0.000
39.841
2988.048−
=
63
64