capitulo 02 vetores 332
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1. VETORES
As quantidades físicas são divididas em dois tipos:
ESCALARES: são grandezas completamente definidas por um único número com
uma unidade:Ex: massa tempo temperatura energia!
"E#$R%A%S: são grandezas que t&m magnitude ' m(dulo) dire*ão e sentido+ Ex+:for*a deslocamento velocidade campo el,trico+
Operações : soma e diferen*a
Escalar: , soma alg,-rica simples+
"etorial: fazer resultante pois depende da dire*ão+
Representa*ão de um vetor: por uma seta orientada e seu taman.o ser/ proporcional
0 intensidade+
Vetor deslocamento: S( interessa a posi*ão inicial e final ' resultado liquido )+
$1S: A distância percorrida , diferente: do deslocamento+
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1'Sf)
A'S3) A'S
3)
1'Sf )
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1.1. Soma vetorial – Método gr!ico:
4m ponto material , usado para caracterizado corpos cu5as dimens6es não afetam asolu*ão dos pro-lemas físicos de forma que todas as for*as podem ser consideradasaplicadas num único ponto+
As for*as aplicadas em um ponto material são caracterizadas por uma intensidade
(módulo), direção e sentido e são representados por setas orientadas+ A dire*ão , definida por sua lin.a de a*ão sendo caracterizada pelo 7ngulo '8) que forma com o eixo x positivo+
Regra do "aralelogramo 9 ode;se mostrar experimentalmente que dois vetores podem ser su-stituídos por uma única for*a resultante+ A for*a resultante pode ser o-tida pela regra do paralelogramo o-tido pela constru*ão de um paralelogramo usando as for*ascom lados+ A diagonal representa a Força resultante+
Soma vetorial – Regra do poligono + Se forem considerados v/rios vetores osmesmos podem somados de forma que a ponta de um vetor se5a conectada 0 extremidadeinicial do pr(ximo vetor e assim por diante+ $ vetor soma ser/ um vetor cu5a extremidadeinicial corresponde 0 extremidade inicial do primeiro vetor a ponta coincide com ponta da
ultimo vetor+
<
8
Lin.a de a*ão
#$ %
&1
&'
&1
&'
R ( &1)
&'
R
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+
"e5a o exemplo ilustrativo a-aixo de um exemplo pr/tico+
=onte: Est/tica; >ec7nica para Engen.aria+ R+ C+ ?i-eller+ 23@ edi*ão+ earson rentice?all+ /g+ 2+
ara a solu*ão dos pro-lemas normalmente , necess/rio o usodas propriedades trigonom,tricas de tri7ngulos:
B
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E
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1.'. +omponentes cartesianas de ma !orça:
As for*as podem ser decompostas em termos de suas componentes cartesianas =x e=O que se localizam ao longo do eixo x e O perpendiculares entre si+ $s eixos podem ter
qualquer inclina*ão desde que permane*am perpendiculares entre si+
+omponentes de m vetor: As componentes retangulares da for*a & mostradas na figura anterior podem serdeterminadas atrav,s do tri7ngulo ret7ngulo e são dadas por:
θ cos F F x =
eθ Fsen F y =
or outro lado se forem con.ecidas as componentes =x e =O de uma for*a 'vetor) podemos determinar a intensidade 'm(dulo) e o 7ngulo 8 que especifica a dire*ão e osentido novamente atrav,s das propriedades dotri7nguloret7ngulo:
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x
y
F
F tg =θ ou
= −
x
y
F
F tg
2θ
Vetores 2nitrios:
As for*as podem ser representadas em termos de vetores nitrios+ "etor adimensional cu5o m(dulo , a unidade+ Servem para descrever uma dire*ão no espa*o+ adire*ão positiva do eixo x introduz;se o vetor unit/rio P + a dire*ão positiva do eixo 5introduz;se o vetor unit/rio jQ +
&(=x 3) =O jQ
A soma de v/rias for*as pode ser feita atrav,s da soma das componentes vetoriais de cadafor*a+ Ie forma que se as for*as são dadas por:
&1(=2x 3) =2O jQ
&'(=
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E7ER+8+9O RESOV9;OS
1. ;etermine a intensidade da !orça resltante e sa direçorrio a partir do ei6o 6 positivo.
"amos resolver esse exercício usando o m,todo gr/fico+ '$-s: oderia se encontraro mesmo resultado usando a decomposi*ão de vetores)4sando a regra do paralelogramo construímos a figura a-aixo+
N
,$$
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A partir do tri7ngulo superior podemos calcular a for*a resultante pela lei dos cossenos:)E3cos'E33G33
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Aplicando a lei dos senos calculamos as for*as =AC e =A1+
N F SenSen
F AC
AC 2
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&orça &1:
N sen F
N F
y
x
223E)MHA'2A3
223E)MHAcos'2A3
2
2
==
==
&orça &':
N sen F
N F
y
x
FEA2)M2A'
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A dire*ão , dada calculando inicialmente o 7ngulo :α
MB22)EBB2
HEE'2 == −tg α
ortanto a angulo da for*a resultante medido em rela*ão ao eixo x positivo , dado por:MB22MBE3 −=θ
MFBHG=θ
2B
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'a ista de E6ercBcios
MCTO;O DR&9+O
F. Ietermine gra!icamente a intensidade e dire*ão da for*a resultante nas figurasa-aixo+ R: a) GH e
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R:F
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1'. A for*a =K 33 atua para -aixo em A nos dois elementos da estrutura+ Ietermineas intensidades das duas componentes da for*a ao longo de A1 e AC+ R: T*+ (#,,%- T* ( //0%
1#. 4ma for*a de 33 l- atua na estrutura tem componentes ao longo do eixo dasescoras A1 e AC+ Se a componente da for*a ao logo de AC for de B33l-'orientadade A para C) determine a intensidade da for*a que atua ao longo de A1 e o 7ngulo8+ R : /0,% - '/-,H
1/. ara puxar um tora por dois tratores a resultante =R das duas for*as deve ser de 23 e estar orientada ao longo do eixo x positivo+ Ietermine o 7ngulo 8 para que afor*a =1 se5a mínima+ ual a intensidade da for*a em cada ca-oD R: ,$H- &*(0-,,%-&(F-$%
2
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1F. 4ma viga deve ser levantada conforme figura a-aixo por uma for*a resultante de33 orientada ao longo do eixo U positivo+ Ietermine a intensidade das for*as =Ae =1 e o 7ngulo 8 de forma que a intensidade de =1 se5a mínima+ R: ,$H- &*(F'$%-&(#$$%
+OM"O%E%TES VETOR9*9S
1,. A componente x de um certo vetor vale 9
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R: *6( =?G-0% - *I(1/F%J 6( '$F% - I(1/#J +6( ,#-/% - +I(=1#,% ;6( =F'-?%- ;I(=''?%
1?. Encontre o m(dulo'intensidade) e o 7ngulo dos vetores a-aixo indicados+Represente;os graficamente
a) ji A QAQB −= R: F-0# e #$1H -) ji B QHQE +−= R: G-'1 e 1/,-#H c) jiC Q
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'/. Ietermine o m(dulo e a dire*ão da resultante das tr&s for*as da figura a-aixo: R:F/, %- 'F#H
'F. 4m poste e sustentado por um ca-o conforme figura a-aixo+ Sa-endo que a tra*ãono ca-o AC , de BF3 determine as componentes .orizontal e vertical da for*aexercida em C+ R a) #acx K ;2
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'?. Ietermine a intensidade e a orienta*ão de = 1 de modo que a for*a resultante se5aorientada ao longo do eixo O positivo e ten.a intensidade de 233+ R: ?,$%- ,0-,H
EVERCWC%$S AI%C%$A%S:
a) Ietermine o m(dulo da for*a = de modo que a resultante das tr&s for*as se5a tão pequena quanto possível+ ual o m(dulo da for*a resultante neste casoD
-) As tr&s for*as mostradas na figura são aplicadas a um suporte+ Ietermine a faixa devalores para o m(dulo -a for*a " de modo que a resultante das tr&s for*as não exceda a
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