capÍtulo 1 - conjuntos numÉricos 1.1- considerações … · o conjunto dos números inteiros é...

Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral IProf. Salete Souza de Oliveira Buffoni

1

CAPÍTULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS

1.1- Considerações Gerais Sobre os Conjuntos Numéricos.

Ao iniciar o estudo de qualquer tipo de matemática não podemos provar tudo. Cada vez que introduzimos um

novo conceito precisamos defini-lo em termos de conceitos cujos significados já são por nós conhecidos sendo

quase impossível estar retornando sempre a definição de todos os conceitos anteriores. Então, precisamos escolher

o nosso ponto de partida, isto é, o que vamos admitir já sabido e o que vamos explicar e provar em termos do que já

foi suposto conhecido. Em nosso estudo admitiremos o conhecimento dos números da adição, da subtração,

multiplicação e a divisão por número diferente de zero.

1.2- Sistematização dos Conjuntos Numéricos

Existem diversos processos para introduzir o conceito de número real, entre os quais destacam-se o processo

construtivo e o processo axiomático. No processo construtivo parte-se de um número reduzido de conceitos

primitivos mediante os quais surge o conjunto dos números naturais N={1,2,3,...}. Define-se depois sobre N duas

operações adição e multiplicação, bem como uma relação de ordem. Completa-se o estudo dos números naturais

demonstrando as propriedades.

1.3- Conjunto dos Números Naturais (N)

Propriedades:

1) 1 ∈ N.

2) ∀ n ∈ N, ∃ n+1 ∈ N e n+1 é o sucessor de n.

3) ∀ m, n ∈ N se m+1 = n+1 → m = n.

4) Seja S ⊂ N com as propriedades:

a) 1 ∈ S.

b) ∀ s ∈ S → s+1 ∈ S.

Logo, S = N (Princípio da Indução)

Assim tem-se:

N = {1,2,3,...}

A soma e o produto de dois números naturais ainda são naturais, isto significa que o conjunto N é fechado em

relação a adição e a multiplicação.

Exemplo: Sejam a, b ∈ N

x = a + b e x = a.b

São equações que têm solução em N.

Porém x + a = b ou a.x = b nem sempre tem solução em N.


2

1.4- Conjunto dos Números Inteiros (Z)

O conjunto dos números inteiros foi estruturado a partir dos números naturais para resolver as equações acima.

Este conjunto foi sistematizado com a introdução do elemento oposto. Dado um número natural a, existe (-a) tal que a

+ (-a) = 0. Com isso nós incorporamos o zero.

Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}

O conjunto dos números inteiros é fechado em relação as operações de adição, subtração e multiplicação, mas

não é em relação a divisão, por esta razão equações da forma a.x = b nem sempre tem solução em Z.

Exemplo: Z∉=→=2

5x52x

1.5- Conjunto dos Números Racionais (Q)

Q é um conjunto numérico formado por números da forma qp , onde p e q ∈ Z e q ≠ 0.

Exemplo: 2,3,4/5...

O conjunto dos números racionais é fechado em relação as operações de adição, subtração, multiplicação e

divisão, exceto a divisão por 0; porém no conjunto dos números racionais nem sempre é possível resolver a equação x2

= a

Exemplo: Q∉=→= 2x22x .

Demonstração que Q∉2 :

• O quadrado de um número par é par:

2.n onde n é inteiro.

321N

222 )(2.n2.4.n(2.n) == é PAR.

• O quadrado de um número ímpar é ímpar:

12n +

1

N

2n)2(2n2.14n24n21)(2n ++=++=+ 43421 é ÍMPAR.

Demonstração por contradição:

Suponha que 22aQaQ2 =∈∃∴∈

.parém⇒====

22n2m2

2

n

m22a

n

ma

• m, n ≠ 0 e m e n não simultaneamente pares, nem ímpares

Se m é par m = 2.k, então:

.parén⇒=== 2n22k22n24k22.n2(2.k)

O que contradiz a hipótese logo Q∉2 .

Exemplos de números não racionais: 2,3791...; 2 ;π;e.


3

1.6- Conjunto dos Números Reais (R)

É o conjunto dos números obtidos pela união dos números racionais e irracionais.

1.6.1- Conjunto dos Números Irracionais (Q’)

É o conjunto dos números tais que a equação ax 2 = tem sempre solução quando a é um número racional

positivo. Os números irracionais na notação decimal corresponde aos decimais infinitos e não periódicos.

Exemplos: 2,37951..., π, e.

• }{ouφ=∩Q'Q

• RQ'Q =∪

1.6.2- Aproximação Intuitiva da Noção do Conjunto dos Números Reais

Os Números reais são associados aos pontos sobre um eixo coordenado, que é uma reta sobre a qual está

marcada uma escala como a reta mostrada na Figura. O número 0 está associado ao ponto marcado 0 sobre o eixo. A

seta indica que os números positivos estão associados aos pontos à direita do ponto 0. A distância entre os pontos

marcados 0 e 1 é a distância unitária. A letra x indica que ela está sendo usada para se referir a pontos sobre o eixo

coordenado e aos números reais que eles representam.

-3 -2 -1 0 1 2 3

Eixo dos x.

1.6.3- Propriedades dos Números Reais

Lei comutativa da adição

∀ x, y ∈ R → x + y = y + x

Lei comutativa da multiplicação

∀ x, y ∈ R → x . y = y . x

Lei associativa da adição

∀ x, y, z ∈ R → (x + y) + z = x + (y + z)

Lei associativa da multiplicação

∀ x, y, z ∈ R → (x . y) . z = x . (y . z)

Lei da existência do elemento neutro da adição

∃ o 0 ∈ R / x + 0 = x : ∀ x ∈ R

Lei da existência do elemento neutro da multiplicação

∃ 1 ∈ R / 1 . x = x : ∀ x ∈ R

Lei da existência do elemento simétrico (oposto) da adição

x


4

∀ x ∈ R , ∃ y ∈ R / x + y = 0

Lei da existência do elemento simétrico (inverso) da multiplicação

∀ x ∈ R , x ≠ 0, ∃ y ∈ R / x . y= 1

y= x-1

Lei distributiva da multiplicação em relação a adição

∀ x, y, z ∈ R → x (y + z) = x.y + x.z

Lei do fechamento da adição

∀ x, y ∈ R → x + y ∈ R

Lei do fechamento da multiplicação

∀ x, y ∈ R → x . y ∈ R

Lei do cancelamento em relação a adição

∀ x, y, z ∈ R se x + z = y + z ⇒ x = y

Lei do cancelamento em relação a multiplicação

∀ x, y, z ∈ R e z ≠ 0 se x . z = y . z ⇒ x = y

Lei da tricotomia

∀ x, y ∈ R, vale uma e somente uma das afirmações:

x > y ou x < y ou x = y

Obs.: fazendo y = 0, temos:

x > 0 ou x < 0 ou x = 0

Lei da compatibilidade da relação de ordem com a adição

∀ x, y, z ∈ R se x + z > y + z ⇒ x > y

Lei da compatibilidade da relação de ordem com a multiplicação

∀ x, y, z ∈ R e z > 0 se x > y ⇒ x . z > y . z

Obs.: se z < 0 : x > y ⇒ x . z < y . z

Lei da transitividade

∀ x, y, z ∈ R se x > y e y > z ⇒ x > z

Exercícios

1) Responda (V) ou (F) e justifique.

a) Se x é um número positivo ⇒ 5x é um número positivo

b) Se x < 3 e y > 3 ⇒ x < y


5

c) Se x ≤ y ⇒ -5x ≤ -5y

d) Se x2 ≤ 9 ⇒ x ≤ 3

e) Se x ≥ 2 e y > x ⇒ y > 0

Respostas:

(V) É certo pois se x é positivo, 5 multiplicado por um número positivo (x) sempre terá como resultado um número

positivo.]

(V) É verdadeiro porque se x < 3, x é qualquer número menor que 3 e sendo y > 3, y é qualquer número maior que

3. Assim x < y.

(V) Podemos simplificar a equação: -5x ≤ -5y em x ≤ y.

(F) É falso pois resolvendo a inequação teremos: x2 ≤ 9

x2 = 9 x = ± 3 x ≤ 3 x ≥ -3

(V) x ≥ 2 y > x y > 2

x

1.6.4- Representação Geométrica dos Números Reais

Existe uma correspondência bionívoca entre os pontos de uma reta e o conjunto dos números reais de tal forma

que cada ponto da reta fica determinado por um único número real e todo número real está associado a um único

ponto da reta

negativos 0 positivos

Figura 2- Representação geométrica dos números reais.

1.6.5- Espaço Real Unidimensional

Definições

1) Conjunto linear

Chama-se conjunto linear qualquer conjunto de números reais ou de seus pontos representativos.

2) Intervalos

Os conjuntos de números encontrados mais freqüentemente em cálculo são os intervalos e são

subconjuntos da reta. Considera-se os seguintes casos: (sejam a e b números reais tais que a < b)

a) Intervalo fechado de extremos a e b ou intervalo limitado fechado. É o conjunto que satisfaz uma

condição da forma a ≤ x ≤ b [

[ ] {x ∈ R / a ≤ x ≤ b}

a b [a, b]

b) Intervalo aberto de extremos a e b ou intervalo limitado aberto. É o conjunto de números x que

satisfazem uma condição da forma a<x<b. ( ou ]

[ ] {x ∈ R / a < x < b}

a b (a, b) ou ]a, b[

2


6

c) Intervalos reais semi-abertos:

c.1) à esquerda

( ] {x ∈ R / a < x ≤ b}

a b (a, b] ou ]a, b]

c.2) à direita

[ ) {x ∈ R / a ≤ x < b}

a b [a, b) ou [a, b[

d) Intervalos reais ilimitados

d.1) (-∞, b] ⇒ {x ∈ R / x ≤ b}

]

b

d.2) (-∞, b) ⇒ {x ∈ R / x < b}

)

b

d.3) [a, ∞) ⇒ {x ∈ R / x ≥ a}

[

a

d.4) (a, ∞) ⇒ {x ∈ R / x > a}

(

a

d.1 e d.3 são chamados de semi-retas fechadas

d.2 e d.4 são chamados de semi-retas abertas

Intervalo degenerado

a {x ∈ R / x = a} = [a, a]

1.6.6- Supremo (limite superior)

Um número real L é supremo de um conjunto linear A se e somente se (↔) são verificadas as seguintes

condições:

• L ≥ x, ∀ x ∈ A

• Dado L1 < L, então (→) ∃ x ∈ A / L1 < x < L.

1.6.7- Ínfimo (limite inferior)

Um número real l é ínfimo de um conjunto linear a ↔ são verificadas as seguintes condições:

• l ≤ x, ∀ x ∈ A

• Dado l1 > l → ∃ x ∈ A / l < x < l1.

1.6.8- Máximo de um conjunto

Um número real L é máximo de um conjunto linear A ↔ são verificadas as seguintes condições:


7

• L é supremo de A

• L ∈ A.

1.6.9- Mínimo de um conjunto

Um número real l é mínimo de um conjunto linear A ↔ são verificadas as seguintes condições:

• l é ínfimo de A

• l ∈ A.

Exercício:

A = (2, 5]

B = { x ∈ R / x > 2}

C = { x ∈ R / x ≤ 3}

Determinar:

Superior (A) : 5 Superior (B) : ∃ Superior (C) : 3

Ínfimo (A) : 2 Ínfimo (B) : 2 Ínfimo (C) : ∃

Máximo (A) : 5 Máximo (B) : ∃ Máximo (C) : 3

Mínimo (A) : ∃ Mínimo (B) : ∃ Mínimo (C) : ∃

1.6.10- Valor absoluto ou módulo de um número real

A noção de valor absoluto desempenha um importante papel na geometria analítica e no cálculo,

especialmente em expressões que apresentem a distância entre dois pontos numa reta. Denomina-se módulo ou

valor absoluto de um número x ∈ R, o número definido por

|x| = x se x ≥ 0 → |x| = 0 ↔ x = 0

|x| = -x se x < 0

Pela definição podemos notar que o módulo de um número real é ele mesmo caso esse número seja

positivo e será o oposto dele caso ele seja negativo.

Geometricamente o módulo de um número real x (|x|) representa a distância que um ponto P (x) se

encontra da origem.

0 x

| |

|x| P

-3 0 5

| | |

Q P

|-3| |5|

Genericamente se P (a) e Q (b) são dois pontos da reta numérica, então a distância de P até Q poderá

ser calculada por: d (P, Q) = |b – a|

2xx =

|b – a| = 2a)(b −

d (P, Q) = 2a)(b −


8

Propriedades decorrentes da definição:

1) |x| ≥ 0 e |x| = 0 ↔ x = 0

2) |x|2 = x2

3) |x| = 2x

4) |x . y| = |x| . |y|

5) y

x

y

x= se y ≠ 0

6) |x + y| ≤ |x| + |y| → desigualdade triangular

7) |x| = |y| → x = ± y

Seja a ≥ 0 |x| = a → x = ± a

8) |x| ≤ a → -a ≤ x ≤ a

9) |x| ≥ a → x ≤ -a ou x ≥ a

Demonstrações das propriedades acima

P1) |x| ≥ 0 e |x| = 0 ↔ x = 0 x ∈ R

Pela Lei da Tricotomia; ou x > 0 ou x < 0 ou x = 0.

• Se x > 0: |x| = x mas x > 0 ∴ |x| > 0

• Se x < 0: |x| = -x mas x < 0 ∴ -x > 0 ∴ |x| > 0

• Se x = 0: |x| = 0

P2) |x|2 = x2

• Se x > 0: |x| = x → |x|2 = x2

• Se x < 0: |x| = -x → |x|2 = (-x)2 = x2

• Se x = 0: |x| = x → |x|2 = x2

P3) |x| = 2x

a indica a raiz quadrada positiva de um número a ≥ 0.

22xx = → pela propriedade 2

2xx =


9

P4) |x . y| = |x| . |y|

|x . y|2 = (x . y)2

|x . y| = 2y) .(x

|x . y| = 2y.2x

|x . y| = 2y.2x

|x . y| = |x| . |y|

P5) ( )0yy

x

y

x≠=

P6) |x + y| ≤ |x| + |y|

(x + y)2 = x2 + 2xy + y2

(x + y)2 = |x|2 + 2xy + |y|2

Obs.: x ≤ |x|

2xy ≤ |2xy|

2xy ≤ 2 |x| |y|

(x + y)2 ≤ |x|2 + 2 |x| |y| + |y|2

|x + y|2 ≤ ( |x| + |y| )2

|x + y| ≤ |x| + |y|

P7) |x| = |y| → x = ± y

|x|2 = |y|2

x2 = y2

x = ± y

P8) |x| ≤ a

• x ≥ 0 → |x| = x ⇒ x ≤ a 0 [ ] a

• x < 0 → |x| = -x ⇒ -x ≤ a → x ≥ -a -a [

-a [ ] a

-a ≤ x ≤ a

P9) |x| ≥ a → x ≥ a ou x ≤ -a

• x ≥ 0 → |x| = x

x ≥ a a [

• x < 0 → |x| = -x

-x ≥ a → x ≤ -a ] –a


10

]–a a[

x ≥ a ou x ≤ -a

1.6.11- Distância em R (unidimensional)

Considere dois pontos quaisquer P e Q cujas coordenadas são a e b respectivamente. Se o número a é maior

que o número b, então, a distância entre os pontos a e b sobre um eixo é o número positivo a-b. Se a é menor

que b, a distância entre os dois pontos a e b é o número positivo b-a. Em qualquer caso a distância de P até Q

indicada por d (P, Q) é dada por |b – a|

P Q

a |b – a| b

• |b – a| = 2a)(b −

d (P, Q) = |b – a| ou d (P, Q) = 2a)(b −

Exercícios

Resolver as equações e inequações:

a) |x – 3| = 2

|x| = a → x = ± a

• |x – 3| = 2 • |x – 3| = -2

x – 3 = 2 x – 3 = -2

x = 5 x = 1

Resposta: x = 5 ou x = 1.

b) |x – 5| = |3x – 1|

|x| = |y| → x = ± y

• x – 5 = 3x - 1 • x – 5 = -3x + 1

2x = -4 4x = 6

x = -2 x =2

3

Resposta: x = -2 ou x =2

3.

c) |4x – 6| ≤ 3

|x| ≤ a → -a ≤ x ≤ a

-3 ≤ 4x - 6 ≤ 3

4

63x

4

63 +≤≤

+−

Resposta: 4

9x

4

3≤≤ .


11

d) |3x + 5| > 2

|x| > a → x > a ou x < -a

• 3x + 5 > 2 • 3x + 5 < -2

x > -1 x <3

7−

Resposta: x > -1 ou x <3

7− .

e) 04x

1x2<

−+

f) 52x

1x3≥

+−

g) ( )( ) 01x3x2 2 <+−


CAPÍTULO 2- FUNÇÕES

2.1- Sistema de Coordenadas Cartesianas

Introdução: Vimos como um ponto P da reta numérica pode ser localizado especificando-se um número real x

chamado de coordenada do ponto P. Analogamente, podem-se localizar pontos num plano especificando-se dois

números reais denominados de coordenadas. Isto é realizado estabelecendo-se um sistema de coordenadas adequado no

plano, de modo que se faça corresponder, aos pontos, pares de números reais de modo sistemático. Descreve-se agora o

sistema de coordenadas cartesianas, assim denominado em homenagem ao filósofo e matemático francês do século 17

René Descartes.

2.1.1- Par Ordenado

É um conjunto de 2 elementos x, y indicado por (x, y) em que a ordem dos elementos deve ser respeitada.

(x, y) = (y, x) ↔ x = y

(x1, y1) = (x2, y2) ↔ x1 = x2 e y1 = y2

No par ordenado (x, y) o elemento x é chamado primeiro elemento, primeira projeção ou abscissa; o elemento y

é chamado segundo elemento, segunda projeção ou ordenada.

2.1.2- Produto Cartesiano

Dados os conjuntos lineares A e B diferentes do vazio, denomina-se produto cartesiano de A por B e se indica por

A x B. O conjunto de todos os pares ordenados (x, y)/ x ∈ A e y ∈ B.

A x B = {(x, y) / x ∈ A e y ∈ B}

2.1.3- Plano Cartesiano

Denomina-se plano cartesiano o conjunto de todos os pares ordenados de números reais representado pelo

seguinte conjunto: R x R = R2.

No plano cartesiano os pares ordenados (x, y) são referidos como pontos e o elemento x é chamado abscissa e o

elemento y ordenada do ponto.

2.1.4- Representação do Plano Cartesiano

Existe uma correspondência bionívoca entre os infinitos pontos de um plano e os infinitos pares ordenados, desta

maneira podemos representar estes pontos através de duas retas perpendiculares.

y (eixo das ordenadas)

P (x, y)

0 x (eixo das abscissas)

Sistema de coordenad

III

IV
III
12

as cartesianas.


13

2.1.5- Distância Bidimensional (R2)

Uma das propriedades mais notáveis do sistema de coordenadas cartesianas é a facilidade com a qual a distância

entre dois pontos P e Q pode ser calculada em função de suas coordenadas. Simboliza-se o segmento de reta entre

P e Q por ____

PQ e utiliza-se a notação ____

PQ para o comprimento deste segmento, de tal modo que d=____

PQ . Assim

podemos enunciar o seguinte teorema:

Teorema1 - A fórmula da distância

Se P=(x1,y1) e Q=(x2,y2) são dois pontos no plano cartesiano, então

[d(P, Q)] = |x2 – x1|2 + |y2 – y1|2

[d(P, Q)]2 = (x2 – x1)2 + (y2 –y1)2

22 )1y2y()1x2x( Q) (P, d −+−=

A fórmula da distância é simplesmente conseqüência do teorema de Pitágoras, o que pode ser comprovado pela Figura

abaixo

y

y2 Q (x2, y2)

|y2 – y1| d

y1 P (x1, y1)

x1 x2 x

|x2 – x1|

Distância

2.2- Relações Binárias e Funções Reais

2.2.1- Relações Binárias

Sejam A e B conjuntos lineares não vazios, chama-se relação plana de A em B a qualquer subconjunto de pares

ordenados (x, y) do produto cartesiano A x B.

2.2.2- Domínio, Imagem, Contradomínio e Gráfico de Relações

a) Domínio de relações:

Seja S uma relação de A em B, chama-se domínio de S e se indica por DS o conjunto linear:

DS = { } AS)y,x(eRy/Ax ⊂∈∈∃∈

b) Contradomínio:

Se S é uma relação de A em B, o contradomínio de S que se indica por CdS é o conjunto B.

CdS = B

c) Imagem:

Se S é uma relação de A em B, a imagem de S indicada por ImS é o conjunto linear:

ImS = { } BS)y,x(eRx/By ⊂∈∈∃∈


14

d) Gráfico:

Sendo S uma relação, denomina-se gráfico de S o conjunto:

GS = { }S)y,x(/2R)y,x( ∈∈

e) Gráficos das principais relações:

1) { }xy/2R)y,x( =∈

y = x → é função

y ≥ x → não é função

2) { } Rbeabaxy/R)y,x( 2 ∈+=∈

a → coeficiente angular

b → coeficiente linear

a = tan α

Se:

• a > 0 → tan α > 0 →

→ α < 90o : agudo

• a < 0 → tan α < 0 →

→ α > 90o : obtuso

3) ( )

++=∈

44 344 21parábola

cbx2axy/2Ry,x

Se:

• a > 0 →

• a < 0 → “1”

y = 0

ax2 + bx + c = 0

c.a.42b

a.2

bx

−=∆

∆±−=

”3”

• ∆ > 0 → 2 raízes “1”

• ∆ < 0 → não existe →

−−

a4,

a2

bV

∆

45o

y

x

b

a<0

a>0

α

y

x

α

Disciplina de Cálculo DiferencialProf. Salete Souza de Oliveira Bu

• ∆ = 0 → 1 única raiz “3”

→ x = 4y2 – 9 → também é uma parábola

• a > 0 →

• a < 0 →

4) ( ){ }4yx/Ry,x 222 =+∈

Pode ser circunferência, elipse ou hipérbole (quando o sinal entre x e y é de subtração)

Equação geral da circunferência

( ) ( ) 222 ryx =−+− βα( )

rraio

,C

=βα

Exercícios

1- Dados ( ){ ∈= x/Ry,xR 21

1) Gráfico de R1∩R2

2) Domínio de R1∩R2

3) Imagem de R1∩R2

1)

2) Pontos de interseção → S

25y4

y94

9x

9

x4y

25yx

2

22

22

=+

=→=

=+

22

-2

-

e Integffoni

+ y 22

istema

y

2

r

} ( )

≥∈=≤9

x.4y/Ry,xRe25

22

2 , determine:

• 2x9

4y =

25yx 22 =+

9

x4y

2

=

Para y = 0

x40

2

=25yx 22 ≤+

-3
3
al I
15
0x9

=


16

3x

94

4.9x

4

y9x

4

25'y

4y

8

419y

)4.(2

)100).(4.(4819y

0100y9y4

0100y4y9

2

2

2

2

±=

==

=

−=

=±−

=

−−±−=

=−+

=−+

D = {x ∈ R / -3 ≤ x ≤ 3}

3) {y ∈ R} = Im

Im = {y ∈ R / 0 ≤ x ≤ 5}

2- Esboce o gráfico de f(x) = |x-1|+2

2.2.4- Função Real de Variável Real

Seja F uma relação de um conjunto A em um conjunto B tal que para todo x pertencente a A corresponde um

único y ∈ B, então esta relação denomina-se função.

Notação:

F: A → B

y = F (x)

Domínio:

Se F: A → B, então o domínio de F é o conjunto A já que todo x ∈ A deve figurar em um único par ordenado

(x, y) de F.

DF = A

Contradomínio:

Se F: A → B, o contradomínio de F é o conjunto B.

CF = B

Imagem:

A imagem de F é o conjunto dos y ∈ B que estão relacionados por F, isto é, o conjunto dos y ∈ B que são

obtidos a partir de x pela lei F, já que y = F (x).

ImF ⊂ B


17

2.2.5- Determinação do domínio ou Campo de Existência de Funções Reais de Variáveis Reais

Quando definimos uma relação como função apenas pela lei de correspondência y = f(x), estamos admitindo que

o domínio ou campo de existência da função é o conjunto de todo x ∈ R que seja possível determinar y ∈ R e y = F (x).

Exemplos:

1) Determinar o domínio ou campo de existência das seguintes funções:

a) 1x

x3)x(f

−=

{ }{ }1x/RxDf

01x/RxDf

≠∈=

≠−∈=

-∞ 1 +∞

Ponto de acumulação

b) ( ) 12x2xxg ++=

1x

012x2x

RD

−=

=++

=

c) ( ) ( )( )3x.4xxf +−=

( )( ){ }( )( ) 03x.4x

03x.4xR/xfD

≥+−

≥+−∈=

4

x-4 - - - - - - - - - - - + + + + + + + +

-3

x+3 - - - - - + + + + + + + + + + + + +

+ - +

-3 4

4x3x ≥−≤ { }4xou3x/RxDf ≥−≤∈=

y

x

assíntota

1

-1

y

x

4-3

y

x


18

d) 9x

x2)x(f

2 −=

09x

x2

09x

x2/RxD

2

2f

≥−

≥

−∈=

0

2x - - - - - - - - - - - + + + + + + + +

-3 3

x2-9 + + + + - - - - - - - - - - - + + + +

- + - +

-3 0 3

{ }3xou0x3/RxDf >≤<−∈=

e) 9x

x2)x(f

2 −=

{ }09xe0x2

09xe0x2/RxD2

2f

>−≥

>−≥∈=

0

2x

-3 3

x2-9 + + + + - - - - - - - - - - - + + + +

- + - +

-3 0 3

{ }3x/RxDf >∈=

f)

++−

=1x

2x3xlog)x(f

2

01x

2x3x

01x

2x3x/RxD

2

2

f

>+

+−

>+

+−∈=

1 2

x2-3x+2 + + + + + + + - - - - - - - + + + +

-1

x+1 - - - - + + + + + + + + + + + + + +

- + - +

-1 1 2

{ }2xou1x1/RxDf ><<−∈=

3-3 0 x

y

3 0 x

y


19

O gráfico da função acima foi plotado no programa de álgebra simbólica Maple.

g) ( )1xlog2

xarcsen

)x(f−

=

≠−>−≤≤−∈= 11xe01xe1

2

x1/RxDf

2x212/x1 ≤≤−⇒≤≤−

-2 2

1x01x >⇒>−

1 2

2x11x ≠⇒≠−

1 2

{ }2x1/RxDf <<∈=

O gráfico da função acima foi plotado no programa de álgebra simbólica Maple.

y

y


20

2.3- Funções Sobrejetoras, Injetoras e Bijetoras

a) Função Injetora:

Uma função y = F (x) de A em B é injetora se os elementos y ∈ B são imagens de um único x ∈ A.

b) Função Sobrejetora:

Uma função y = F (x) de A em B é sobrejetora se a imagem de F for igual ao contradomínio de F, isto

é, todo y ∈ B deve ser imagem de pelo menos um x ∈ A.

c) Função Bijetora:

Uma função y = F (x) é bijetora se e somente se F for injetora e sobrejetora.

2.4- Classificação das Funções

As funções são classificadas em dois grandes grupos:

I) Funções Algébricas Elementares

a) Funções Algébricas Racionais

a.1) Inteiras

a.2) Fracionárias

b) Funções Algébricas Irracionais

II) Funções Transcendentais

a) Trigonométricas

b) Exponenciais

c) Logarítmicas

I) Funções Algébricas Elementares

São funções cujas variáveis são operações algébricas elementares (adição, subtração, multiplicação,

divisão e potenciação). E são classificadas como segue:

a) Funções Algébricas Racionais:

As funções algébricas racionais são aquelas em que as variáveis não se encontram abaixo

de radicais ou não estão elevadas a expoentes fracionários e se classificam em:

a.1) Racionais Inteiras:

São aquelas em que suas variáveis não se encontram em denominador ou não estão

elevadas a expoentes negativos. São as funções conhecidas como POLINOMIAIS. Ex.:

f(x) = a0.xn+a1.x

n-1+...+an

a.2) Racionais Fracionárias:

São funções da forma )x(g)x(f)x(Q = , onde f(x) e g(x) são funções racionais inteiras.

Ex.: n

1-n1

n0

n1-n

1n

0

b....xb.xb

a....xa.xa)x(f

+++

+++=

b) Funções Algébricas Irracionais:

São funções algébricas cujas variáveis estão sob radicais ou elevadas a expoentes

fracionários positivos ou negativos.


21

II) Funções Transcendentais:

São funções cujas variáveis estão sujeitas as operações da trigonometria, da exponenciação e da

logaritmização.

Exemplos:

Classificar as seguintes funções:

1) 1x

x3)x(f

−= →função algébrica elementar racional

2) 3 2 5x2

1x)x(g

+

+= →função algébrica irracional

3) 1x2x)x(f 2 ++= →função algébrica elementar racional inteira

4) 5t2

t)t(f

3

2

+= →função algébrica racional fracionária

5) 1x2

4xsen)x(g

++

= →função transcendental

6) )1xlog()x(h += → função transcendental

7) x4x.3)x(f 2 += → função algébrica racional inteira

8) 5x2

xx)x(F

332

−+

= → função algébrica irracional

Ainda com referência a classificação as funções algébricas e as funções transcendentais podem ser

classificadas em:

Funções Explícitas:

São aquelas em que uma das variáveis é resolvida em função da outra, isto é, isola-se uma variável em

função da outra. ( y = f(x) )

Ex.: y = x2+3x

Funções Implícitas:

São aquelas em que não é possível resolver uma das variáveis em relação a outra. (F(x, y)=0)

Ex.: y2+2.x5.y3+x2.seny=0

2.5- Composição de Funções

Sejam f e g duas funções que satisfazem a condição de que pelo menos um número pertencente a imagem de g

pertence ao domínio de f, então a composição de f por g, indicada por fog é definida por:

fog = f ( g (x) )

Evidentemente, o domínio da função composta f ° g é o conjunto de todos os valores de x no domínio de g, tais

que g(x) pertence ao domínio de f. Então a composição de f e g, simbolizada por f ° g é justamente o conjunto de todos

os números da forma f[g(x)], construída à medida que x percorre o domínio de f ° g.

Exemplo:

1) Determinar fog e gof, sendo f (x) = 3x e g (x) = x + 4


22

→ fog = f ( g (x) ) = 3 (x+4) = 34 . 3x

→ gof = g ( f (x) ) = 3x + 4

2) Dadas as seguintes funções f(x)=3x-1, ( ) 3xxg = e p(x)=1/3(x+1), calcule;

1-(fog)(2) e (gof)(2)

2- (fop)(x) e (pof)(x)

3- (fog)(x) e (gof)(x)

4- (fof)(x)

5- [fo(g+p)](x) e [(fog)+(fop)](x)

2.6- Função Inversa

Duas funções f e g são inversas se e somente se:

a) A imagem de g está contida no domínio de f;

b) Para todo x ∈ ao domínio de f, fog = x;

c) A imagem de f deve estar contida no domínio de g;

d) Para todo x do domínio de f, gof = x.

Nestas condições f é dita invertível.

Para que estas condições sejam satisfeitas é necessário que f seja bijetora.

Notação:

Se y = f (x) é invertível, a inversa de f é indicada por x = f -1 (y) ou x = g (y).

Gráfico:

O gráfico de funções inversas são simétricos em relação a reta y = x.

TÉCNICA PARA DETERMINAR A INVERSA E REPRESENTÁ-LA NO PLANO CARTESIANO

1) Isola-se x na equação original .


23

2) Troca-se x por y para respeitar a convenção de representação de função no plano cartesiano que

usualmente a variável independente é x e a variável dependente é y.

Exemplos:

Determinar as inversas das seguintes funções:

f (x) = x + 4

y = x + 4

x = y – 4

y = x – 4 → Função inversa

2x

3xy

+−

=

1y

y23x

y23x)1y(

y23xyx

3xy2yx

3xy)2x(

−−−

=

−−=−−−=−−=+−=+

1x

y23y

+−−

= → Função inversa

x8arctany =

8

ytanx

ytanx8

=

=

8

xtany = → Função inversa

x4ey =

4 ylnx

yln4

1x

ylnx4

=

=

=

4 xlny = → Função inversa

3

xlogy =

y

y

10.3x

3

x10

=

=

x10.3y = → Função inversa


24

6) Suponha que f e g sejam definidas pelas equações abaixo. Prove que f e g são inversas.

f(x)=3x e g(x)=x/3

2.7- Funções Pares e Funções Ímpares

Função Par:

Seja y = f (x) definida em um domínio D, dizemos que f é par, se e somente se para todo x ∈ D, -x ∈ D e

f (-x) = f (x) .

Observe que o gráfico de funções pares são simétricos ao eixo dos y.

Função Ímpar:

Seja y = f (x) definida em um domínio D, dizemos que f é ímpar, se e somente se para todo x ∈ D, -x

∈ D e f (-x) = - f (x) .

Observe que o gráfico de funções ímpares é simétrico em relação a origem

Exemplos:

Verificar se as funções são pares, ímpares ou nem par nem ímpar:

1) 4x)x(f 2 +=

parFunção)x(f)x(f

4x)x(f

4)x()x(f2

2

⇒−=+=−

+−=−

2) x2x)x(f 2 +=

ímparnemparéNão)x2x()x(f

x2x)x(f

)x(2)x()x(f

2

2

2

⇒+−−=−

−=−

−+−=−

f(-x)

f(x)

x-x


25

3) x4x)x(f 3 +=

ìmparFunção)x(f)x(f

)x4x()x(f

x4x)x(f

)x(4)x()x(f

3

3

3

⇒−=−+−=−

−−=−

−+−=−

4) xcos)x(f =

ParFunção)x(f)x(f

xcos)x(f

)xcos()x(f

⇒=−=−

−=−

5) xsen)x(f =

ímparFunção)x(f)x(f

xsen)x(f

)xsen()x(f

⇒−=−−=−

−=−

6) 2

ee)x(f

xx −+=

parFunção)x(f)x(f2

ee)x(f

xx

⇒−=

+=−

−

7) 2

ee)x(f

xx −−=

ímparFunção)x(f)x(f

2

ee)x(f

2

ee)x(f

xx

xx

⇒−=−

+−−=−

−=−

−

−

2.8- Translações

A forma de uma curva não é afetada pela posição dos eixos coordenados; no entanto a equação da curva é afetada.

Por exemplo, se uma circunferência com raio 3 tem seu centro no ponto (4,-1), então a equação desta circunferência é

( ) ( ) 91y4x 22 =++−

ou

08y2x8yx 22 =++−+

Entretanto, se a origem estiver no centro, a mesma circunferência terá uma equação mais simples, a saber,

9yx 22 =+


26

Em geral, se no plano em que os eixos dos x e y são dados, são escolhidos novos eixos coordenados paralelos aos já

dados, dizemos que ocorreu uma translação de eixos no plano.

temos:

x' = x - h ou x = x' + h

y' = y - k ou y = y' + k

Estes resultados são enunciados como um teorema

Teorema: Se (x , y) representa um ponto P em relação a um conjunto dado de eixos e (x' , y') é uma representação de P.

depois que os eixos são transladados para uma nova origem, tendo coordenadas (h , k) em relação aos eixos dados,

então;

x = x' + h e y = y' + k

x' = x - h e y' = y - k

As equações acima são chamadas de equações de translação dos eixos. Se a equação de uma curva é dada em x e y

então a equação em x' e y' é obtida, se substituirmos x por (x' + h) e y por (y' + k). O gráfico da equação em x e y, em

relação aos eixos x e y, é exatamente o mesmo conjunto de pontos que o gráfico da equação correspondente em x' e y',

em relação aos eixos x' e y' .

Exercícios

1) Dada a equação 019y6x10x 2 =+++ encontre a equação do gráfico em relação aos eixos x' e y', após uma

translação de eixos à nova origem(-5,1).

2.9- Gráficos de Funções Trigonométricas Básicas

Com os elementos que dispomos até agora, ficaria muito trabalhoso definir e, em seguida, demonstrar as cinco

principais propriedades das funções seno e co-seno. Observamos, entretanto, que apenas cinco propriedades são

suficientes para descrever completamente tais funções.

Teorema: Existe um único par de funções definidas em R, indicadas por sen e cos, satisfazendo as propriedades

(1) sen 0 = 1

(2) cos 0 = 1

(3) Quaisquer que sejam os reais a e b

sen(a-b) = sen a cos b - sen b cos a

(4) Quaisquer que sejam os reais a e b

P (x,y) (x',y')

x'

x

A'

A

O'(h,k)

B'B

O


27

cos(a-b) = cos a cos b +sen a sen b

(5)Existe r>0 tal que

0<sen x<x< tg x

=

xcos

xsenxtg para 0<x<r

Vejamos agora outras propriedades que decorrem das cinco mencionadas no teorema acima.

Fazendo em (4) a=b=t, obtemos

cos 0 = cos t cos t + sen t sen t

ou seja, para todo t real,

(6) 1tsentcos 22 =+

Deste modo, para todo t, o ponto (cos t, sen t) pertence à circunferência 1yx 22 =+

-1

1

P = (cos t, sen t)

sen t

cos t A

Para efeito de interpretação geométrica você poderá olhar para o t da mesma forma como aprendeu no colégio: t é a

medida em radianos do arco ∧

AP . Lembramos que a medida de um arco é 1 rd (rd=radiano) se o comprimento for

igual ao raio da circunferência ( )'1657rd1 °≅ .

(7) Existe um menor número positivo a tal que cos a = 0. Para este a, sen a = 1

O número a acima pode ser usado para definirmos o número π.

Definição: Definimos o número π por π = 2a, onde a é o número a que se refere a propriedade (7).

Assim 2

π é o menor número positivo tal que cos

2

π = 0. Temos, também, sen

2

π=1.

Exercícios e demonstrações de algumas identidades trigonométricas:

1) Mostre que

a) sen é uma função ímpar

b) cos é uma função par

2) Mostre que quaisquer que sejam os reais a e b


28

cos (a + b) = cos a cos b - sen a sen b

e

sen (a + b)= sen a cos b + sen b cos a

3) Mostre que, para todo x.

xsenxcosx2cos 22 −= e xcosxsen2x2sen =

4) Moste que, para todo x,

x2cos2

1

2

1xcos2 +=

e

x2cos2

1

2

1xsen2 −=

5) Calcule

a) 4

cosπ

b) πcos

c) 4

senπ

d) πsen

Observações Importantes:

cos x > 0 e sen x >0 em

2,0π

para todo x ,

( ) xsen2xsen =+ π

e

( ) xcos2xcos =+ π As funções sen e cos são periódicas com período π2

Os gráficos das funções sen e cos tem os seguintes aspectos:

y = sen xy

2π-2π -π π


29

y = cos x

Exercício resolvido

1- Esboce o gráfico da função dada por y = sen 1/x

Solução:

Vamos estudar o comportamento da função, quando 2x

10

π≤< , ou seja para

π2

x ≥ , a medida que x aumenta,

x

1sen diminui de 1 tendendo a zero, quando x tende a infinito. Para

π2

x −≤ , a função vai de -1 tendendo a zero

quando x tende a infinito.

(a) (b)

Observe que para π2

x = , 121

seny ==

π

Vejamos agora o comportamento de x

1sen para

π2

x0 << .

πππ

π+

=⇔+=⇔=k4

4x

2k2

x

11

x

1sen ( k inteiro)

k 0 1 2 3 ∞x

π2

π5

2

π9

2

π13

2 0→

y 1 1 1 1

y

-2π-π π

-2π


30

ππ

k

1xk

x

10

x

1sen =⇔=⇔=

k 1 2 3 4 ∞x

π1

π2

1

π31

π4

1 0→

y 0 0 0 0

πππ

π3k4

2x

2

3k2

x

11

x

1sen

+=⇔+=⇔−=

k 0 1 2 3 ∞x

π32

π7

2

π11

2

π15

2 0→

y -1 -1 -1 -1

Quando x varia em

π2

,0 , x

1sen fica oscilando entre 1 e -1 como mostra a Figura (b)

As funções tangente, co-tangente, secante e co-secante

A função tg dada por xcos

xsenxtg = denomina-se função tangente; seu domínio é o conjunto de todos os x tais que

0xcos ≠ . O gráfico da tangente tem o seguinte aspecto:

Geometricamente, interpretamos tg x como a medida algébrica do segmento AT, onde T é a interseção da reta OP com o

eixo das tangentes e ^

AP o arco de medida x rd.

Na Figura abaixo, os triângulos OMP e OAT são semelhantes. Assim

____

__

OM

1

MP

AT= ou

xcos

xsenxtg =

y


31

P

AMO

T

tg x

Eixo das tangentes

As funções sec (secante), cotg (co-tangente) e cosec (co-secante) são dadas por

xsen

1xeccose

xsen

xcosxgcot,

xcos

1xsec ===

O gráfico da secante tem o seguinte aspecto

Trabalho para Casa

1) Esboce o gráfico

a) sen 2x

b) y=2 cos x

c) f(x) = |sen x|

d) g(x) = 1/x sen x

e) x

1senxy 2=

f) x + sen x

y


32

2) Sejam p e q quaisquer. Verifique que

a) 2

qpcos

2

qpsen2qsenpsen

−+=+

b) 2

qpcos

2

qpsen2qsenpsen

+−=−

c) 2

qpcos

2

qpcos2qcospcos

−+=+

d) 2

qpsen

2

qpsen2qcospcos

+−−=−

3) Determine o domínio e esboce o gráfico

a) f(x)= cotg x

4) Verifique que xtg1xsec 22 += para todo x tal que 0xcos ≠

5) Mostre que, para todo x, com 02

xcos ≠ , tem -se:

a)

2

xtg1

2

xtg2

xsen2+

=

b)

2

xtg1

2

xtg1

xcos2

2

+

−=

2.10- Gráficos e Propriedades das funções exponencial e logarítmica

2.10.1- Potência com expoente real

Teorema. Seja a>0 e 1a ≠ um real qualquer. Existe uma única função f, definida e contínua em R, tal que ( ) rarf =

para todo racional r.

Definição: Sejam a>0, 1a ≠ , e f como no teorema anterior. Definimos a potência de base a e expoente real x por

( )xfa x =

A função f, definida em R, e dada por ( ) xaxf = , a>0 e 1a ≠ , denomina-se função exponencial de base a.

Sejam, a>0, b>0, x e y reais quaisquer, tem-se as seguintes propriedades

(1) yxyx aaa +=

(2) ( ) xyyx aa =

(3) ( ) xxx baab =


33

(4) Se a>1 e x<y, então yx aa <

(5) Se 0<a<1 e x<y, então yx aa >

A propriedade (4) conta-nos que a função exponencial ( ) xaxf = , a>1 é estritamente crescente em R. A propriedade

(5) conta-nos que ( ) xaxf = , 0<a<1, é estritamente decrescente em R.

O gráfico de ( ) xaxf = tem o seguinte aspecto:

a>1 0<a<1

Exercícios

1) Esboce o gráfico de

a) ( ) x2xf =

b) ( )x

2

1xf

=

Nota importante: A função exponencial de base e ( 718281,2e ≅ ), ( ) xexf = desempenhará um papel bastante

importante em todo o curso.

2.10.2- Logaritmo

Teorema: Sejam a>0, 1a ≠ , e 0>β dois reais quaisquer. Então existe um único γ real tal que

βγ =a .

Sejam a>0 1a ≠ , e 0>β dois reais quaisquer. O único número real γ tal que

βγ =a

denomina-se logaritmo de β na base a e indica-se por ββγ γ =⇔= aloga

Observe: βalog somente está definido para 0>β , a>0 e 1a ≠ .

1 1


34

Exercícios: Calcule

a) 4log2

b) 2

1log2

c) 5log1

Observação Importante:

ββγaloga ⇔=

assim

ββ =aloga

O logaritmo de β na base a é o expoente que se deve atribuir à base a para reproduzir β .

O logaritmo na base e é indicado por ln, assim, elogln = . Temos então

xexlny y =⇔=

Da observação acima, segue que, para todo x>0,

xe xln =

Sejam 0e0,1b,0b,1a,0a >>≠>≠> βα reais quaisquer. São válidas as seguintes propriedades:

(1) βααβ aaa logloglog +=

(2) αβα βaa loglog =

(3) βαβα

aaa logloglog −=

(4) Mudança de Base

alog

loglog

b

ba

αα =

(5) Se a>1 e βα < , então βα aa loglog <

(6) Se 0<a<1 e βα < , então βα aa loglog >

Obs: Demonstrações em sala

Nota importante: Seja 1a,0a ≠> . A função f dada por ( ) 0x,xlogxf a >= , denomina-se função logarítmica

de base a.

A propriedade (5) conta-nos que se a>1, a função logarítmica ( ) 0x,xlogxf a >= , é estritamente crescente. Da

propriedade (6) segue que se 0<a<1, a função logarítmica ( ) 0x,xlogxf a >= , é estritamente decrescente.


35

Exercícios:

1) Calcule

a) 100log10

b) 16log2

1

c) 1log10

d) 3log9

e) ( )5log5 −

2) Determine o domínio

a) ( ) ( )1xlogxf 2 +=

b) ( ) ( )1xlnxg 2 −=

c) ( ) ( )xlnxg −=

d) ( ) |x|logxf 3=

e) ( ) xlogxf 2=

f) ( ) xlogxf2

1=

3) Ache o domínio e esboce o gráfico

a) ( ) xlogxf 3=

b) ( )1xln)x(g −=

c) xln)x(g =

d) ( ) xlnxg =

e) ( )xln)x(f −=

capÍtulo 1 - conjuntos numÉricos 1.1- considerações … · o conjunto dos números inteiros é...

Documents