capitulo 1 exponentes prac 2
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MATEMATICA I. ING. JUAN CARLOS LICONA PANIAGUA
IEST SAN JOSE ORIOL Página 11
1.3 EXPONENTES
Si n es un entero positivo, entonces an, se define como el producto de m factores a
multiplicados a la vez. Por lo que:
na a a a a...
, para n un entero positivo y a ≠ 0 .
Se lee como a elevado a la n o más abreviado: a a la n. a es llamada la base y n el
exponente o potencia e indica el número de veces que se repite el factor a.
Ejemplo 1:
a) 32 2 2 2 8
b)3( 5) ( 5) ( 5) ( 5) 125
c)41 1 1 1 1 1 1
3 3 3 3 3 3 3 3 3 81
d)
41 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 16
Observaciones:1.- Si a es negativo (a < 0) entonces an es positivo si n es par y an negativo si n es impar,
como podemos apreciar en el ejemplo anterior en b y d.
2.- 2 x n = 2 ⋅ x n. De manera similar: − x n = − ( x n) y − 2 ⋅ x n = (−2) ⋅ ( x n)
3.- − x n ≠ (− x )n
Ejemplo 2.
Evaluar a) 2 ⋅33; b) − 2
4; c) 3⋅ (−4)
3.
Solución:a) 2 ⋅ 33 = 2 ⋅ 27 = 54
b) − 24 = −(24) = −16
c) 3⋅ (−4)3 = 3⋅ (−4) ⋅ (−4) ⋅ (−4) = 3⋅ (−64) = −192
APLICACIÓN EN ECONOMÍA
Ejemplo 1.- Una compañía pretende aumentar su producción en los próximos 4 años,
duplicando la producción con respecto al año anterior. ¿Cuál será su producción anual
dentro de 4 años, si la actual es de 2500 artículos por año?
Solución:Observe que después de un año la producción es: 2 ⋅ 2500
A los dos años se tendrá el doble del primer año: 2(2 ⋅ 2500) = 22 ⋅ 2500
A los tres años se tendrá el doble del segundo año: 2(22 ⋅ 2500) = 23 ⋅ 2500
A los cuatro años se tendrá el doble del tercer año 2(2 3 ⋅ 2500) = 24 ⋅ 2500 = 40 000artículos
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DEFINICION DE EXPONENTES NEGATIVOS Y CERO
Los casos con exponentes negativos o cero se definen como sigue:
Definición: Si a 0 se define a0
1 y si n es un entero positivo n
na a
1
Comentario: 00
no está definido.
Ejemplo 3.
a) 3
3
1 12
82
b) 20
= 1
c) n
n x
x
1( 2)
( 2)
Propiedades de los exponentes
N° Propiedad Ejemplo
1 m n m na a a
Producto de potencias con igual base
2 4 2 4 62 2 2 2
Se coloca la misma base y se suma
los exponentes
2 m n mna a( ) Potencia de una potencia
2 3 2 3 6(3 ) 3 3
3 m m mab a b( )
Potencia de un producto
b b b3 3 3 3(2 ) 2 8
4 m m
m
a a
b b
Potencia de un cociente
3 3
3
2 2 8
5 1255
5 mm n
n
aa
a
55 3 2
3
33 3 9
3
6 m ma b
b a
2 2 2
2
3 4 4 16
4 3 93
7 m n
n m
a b
b a
3 ( 1)
1 ( 3) 3
2 5 5 5
85 2 2
8
k m n mk nk a b a b
n n n x x x 2
2 4 2 22 2 16
9 k m mk
n nk
a a
b b
y y y
23 6
6 4
2 4
3 33
Entenderemos que una expresión que consiste en productos, cocientes y potencias de
variables está simplificada cuando aparece una sola vez cada variable y una sola vez
cada base numérica que no tiene factores comunes con todas las demás bases
numéricas. 3 x 5 es la expresión simplificada de 3 x 3 ⋅ x 2.
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Ejemplo 4.Simplifique las expresiones dadas. Exprese sus respuestas usando exponentes
positivos.
a) x y x y 2 2 2 3 2(2 ) (2 3 ) , b) y x
x y
4 22
3
2
, c) a
a
b
2
Solución
a) x y x y x y x y
x y x y
x x y y
2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3 2
2 4 2 2 3 2
2 2 4 3 2 2
(2 ) (2 3 ) 2 ( ) 2 3
2 2 3
2 2 3
ley de la potencia de un producto
x y
x y
x y
2 2 4 3 2 2
0 7 4
7 4
2 3
2 3
3
exponentes de igual base
b) y x y x
x y x y
4 22 2 4 2
3 4 3 2
2 ( ) (2 )
( )
propiedad de la potencia de un cociente.
y x
x y
y x
x y
y y x x
y x
8 2 2
4 6
2 8 2
4 6
2 8 6 2
4 2 2
2 2
2
2
2 4
4
propiedad de la potencia de una potencia
c) a aa a
b b
a a
b
2 2
2
2
21
propiedad de la potencia de un cociente
= a a a a b
ab b b
2 1 2 1 2
2 2 21
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1.4 Exponentes Fraccionarios.
Hemos definido an cuando n es cualquier entero, ahora extenderemos la definición al
caso en que n es un número racional arbitrario. Nos gustaría hacer esta extensión en
tal forma que las propiedades de la sección 1-3 continúen siendo válidas, aun en el
caso de que m y n no sean enteros.
Definición 1.Si n es un entero positivo par (tal como 2, 4 o 6) y si a es un número real no negativo,
entonces se dice que b es la n-ésima raíz principal de a si bn
= a y b ≥ 0. Así, la n-
ésima raíz de a es el número no negativo el cual, al elevarse a la n-ésima potencia, da
el número a. Denotamos la n-ésima raíz principal por b a1/n
.
Si n es un entero positivo impar (tal como 1, 3 o 5) y si a es un número real cualquiera,
entonces b es la n-ésima raíz de a si b
n
= a, expresada una vez más como a
1/ n
.
Es decir:
n nb a b a b n1/ , si ; 0 si es par
Ejemplo 1.
a) 1/532 2 , porque 52 32
b) 1/3( 216) 6
, ya que 3( 6) 216
c) 1/416 2 , porque 42 16 y 2 > 0
d) 1/6729 3 , ya que 4
3 729 y 3 > 0
e) n1/1 1 , para todo entero positivo n, porque n1 1
f) n1/( 1) 1
, para todo entero positivo impar n, debido a que n( 1) 1
g) 1/4( 81) , no existe, porque los números negativos sólo tienen raíces n-ésimas
cuando n es impar.
Definición 2.
Se dice que b es una raíz n-ésima de a si bn
= a n
b a
“n” es par “n” es impar
a > 0 Hay dos raíces reales.n a : se llama raíz principal.n a
Hay una sola raíz y se denota
por: n a y siempre es positiva.
a < 0 No existen raíces reales. Hay una sola raíz y se denota
por: n a y siempre es negativa.
Notación: Si n = 2 entonces colocamos a
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Observaciones:
a) 24 , 4 es la raíz positiva, el signo se omite. 4 es simplemente 2.
b) aan n para n impar.
c) Para n par tenemos:
0si0si
aa
aaa
n n
Los resultados en el ejemplo 1 pueden volverse a formular utilizando esta notación:
a) 5 32 2 b) 3 216 6
4 16 2
d) 6 729 3 e) n 1 1 , para n un entero positivo.
f) n 1 1
, para n un entero positivo impar.
g) 4 81 , no existe.
Definición 3.
Sea m, n números enteros, sin factores comunes, n >1. Si n a existe, entonces se define:
n m m na a /
Se exceptúa de la definición el caso en que m es negativo y a cero.
Ejemplo 2.Exprese los siguientes radicales como potencia de exponentes racionales.
a) 3 2 ; b) x 5 3 ; c) 8
Solución:
a) 1/33 2 2 , b) x 5 3 3/5
2 , c)1/2
8 8
Definición 4.Sea n un enero positivo, m un entero distinto de cero y a un número real. Entonces,
m n n m m na a a/ 1/ 1/( ) ( )
Ejemplo 3.Resuelva los siguientes ejercicios.
a) 3/2 1/2 3 3 39 (9 ) ( 9) 3 27
b)1/2 1/2 1 1 1 1
24 (4 ) ( 4) 2
c) 3/4 3 1/4 1/4 416 (16 ) (4096) 4096 8
La siguiente tabla muestra las propiedades de los radicales, se ha colocado en el lado
derecho la propiedad equivalente usando la notación con exponente racional.
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Propiedad Exponentefraccionario
Ejemplo
n n nab a b
Raíz de un producto
n n nab a b1/ 1/ 1/( ) a) 18 9 2 9 2 3 2
b)
1/31/3 3 33 8 27 (8 27) 2 3
1/3 1/33 32 3 2 3 6
n
nn
a a
b b
n n
n
a a
b b
1/ 1/
1/
3
33 3
8 8 2
3 3 3
n m n ma a
nm n ma a
11/
1/
84 27 27
mn m na a
Si n es par y a es
negativo no se cumple
esta propiedad
mm n na a/ 1/
33 53 5 355 (32) 32 2 2 8
Ejemplo 4.
Evalúe las siguientes cantidades: a) (8000)1/3; b) 316.0
Solución:a) Descomponemos 8000 = 8·1000
(8000)1/3
= (23·10
3)
1/3
= (23)
1/3(10
3)
1/3
= (2)3/3·(10)3/3 = 2·10 = 20.
b) Primero usamos la definición de exponentes negativos:
3 3 33
3 3
3
16 4 100.16
100 10 4
5 5 125
2 82
Ejemplo 5. Simplifique las expresiones dadas. Evite radicales en su respuesta, useexponentes positivos.
a) 18 2 ; b)
x y y 3
2 5 ; c)
x y
x
33
4
Solución:
a) 18 2 18 2 36 6
b)
x y y x y y x y y
3 5 3 3 53 2
2 5 2 2 2 2 2 2( )
= x y x y
3 53 3 4
2 2
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c)
x y x y x y xy xy x x y
x x x x
3 33 1/3 33 3 3 123
13 3
4 3 4 3 124 1
Ejemplo 6. Elimine los exponentes negativos y los radicales en las siguientesexpresiones:
a) x y 2 ; b) x y 1 12 ; c)
x x y 1
1
Solución:
a) x y x y 1/2 1/22 (2 )
b) x y x y x y x x y y
1/2
1 1
1/2 1/2
1 1 1 1 1 1 1 22 2 2 2
x x x x x y x
x y x y y y x x x
11
1
1 1
1 11( ) 1
x x x
xy x y
2
1/21 11
Ejemplo 7. Escriba las formas exponenciales dadas en otra forma que involucre
radicales:
a) x 1/25 2 ; b)
x 1/2
5 2
Solución:a) x x 1/25 2 5 2
b)
x x x
1/2
1/2
1 15 2
(5 2 ) 5 2
Tipificación de errores:
Error Comentarios
nnn
nnn
baba
baba
/1/1/1)( La propiedad no es con la suma sino con la multiplicación
nnnbaba )(
mnmnaaa
Los exponentes de igual base se suman, no se multiplican
n
n
abab
1 La potencia es la primera operación a considerar, afecta
sólo a b
baba
abab
baba
n nn
n n
n n
Para poder simplificar debe ir todo el radicando elevado
a la n.
abab
baba
n n
n n
)(
)(
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MATEMATICAS I. PRACTICA CALIFICADA 2
EXPONENTES, EXPONENTES FRACCIONARIOS Y RADICALES.
Docente: Msc. Ing. Juan Carlos Licona Paniagua
EXPONENTES
Simplifique las expresiones siguientes. No
use paréntesis ni exponentes negativos en
la respuesta final.
1. 5 2(2 )
Rpta. ____________
2. x 2 5( )
Rpta. ____________
3. a a3 5
Rpta. ____________
4. x yz xy 2 3 4
( ) ( )
Rpta. ____________
5. xy z xyz 2 3 1 3
( ) ( )
Rpta. ____________
6.
241
33
Rpta. ____________
7. x
x
2 3
4
( )
Rpta. ____________
8. x
x
3 2
3
( )
( )
Rpta. ____________
9. x y
xy
2 3
2
( )
( )
Rpta. ____________
10. x
x
2
2
( 3 )
3
Rpta. ____________
11. x x x 2 4( 2 )
Rpta. ____________
12. x x x x 4 2 2(2 3 )
Rpta. ____________
13. xy x y 1 1 1 1( ) ( )
Rpta. _____________
14.
y
xy x 3
3 2
1510
Rpta. _____________
15. x y
x y
3
3
4 6
4
Rpta._________________
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EXPONENTES FRACCIONARIOS
Evalúe las siguientes expresiones:
16. 81
Rpta. ________________
17. 5 32
Rpta. ________________
18.
22
5
Rpta. ________________
19.4/38
27
Rpta. ________________
20. 2/30.125
Rpta. ________________
21. 3/40.0016
Rpta. ________________
22. 3 3/2 1/6(9 16 )
Rpta. ________________
23. 4/5 2/516 8
Rpta. ________________
24.
1/85/41
(6)36
Rpta. ________________
Simplifique las siguientes expresiones:
25. x 4 3/4
(16 )
Rpta._________________
26. x x 4 3/2 1/216
Rpta._________________
27. x y
x y
3/7 2/5
1/7 1/5
Rpta._________________
28. x x
y y
5/2 2/3
3/4 2/5
2
3
Rpta._________________
29. 2 18 32
Rpta._________________
30. 224
112 6328
Rpta._________________
31. a a aa
2/3 3/4 2 1/6
1/12 13
1( )
( )
Rpta._________________
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32.m m m m
m m m
3 2
3 /2
2 3 5 6
8 9 10
Rpta. ________________
33.a b b c c a
b c a
x x x
x x x 2 2 2
Rpta. ________________
34.m m m
m m m
3
5 /3 2
28 35 10
8 49 25
Rpta. ________________
Establezca si las proposiciones siguientes
son verdaderas o falsas.
35. 5 2 3
Rpta. ___________
36. 21 7 3
Rpta. ___________
37. 9 3
Rpta. ___________
38. m n mna a a
Rpta. ___________
39. a a3 1/63
Rpta. ___________
40. 8 2 2
Rpta. ___________
41. 2( 3) 3
Rpta. ___________
“Si un hombre es perseverante aunque sea difícil de
entender se hará inteligente y si es débil se haráfuerte”. (Leonardo Da Vinci)