capítulo 1 - tensão
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Capítulo 1
TTeennssããoo
DDeesseennvvoollvviimmeennttoo hhiissttóórriiccoo
AA oorriiggeemm ddaa rreessiissttêênncciiaa ddooss mmaatteerriiaaiiss ((oouu mmeeccâânniiccaa ddooss mmaatteerriiaaiiss)) rreemmoonnttaa aaoo iinníícciioo ddoo ssééccuulloo
XXVVIIII,, qquuaannddoo GGaalliilleeuu rreeaalliizzoouu eexxppeerriimmeennttooss ppaarraa eessttuuddaarr ooss eeffeeiittooss ddee ccaarrggaass ssoobbrree hhaasstteess ee vviiggaass ffeeiittaass
ddee ddiiffeerreenntteess mmaatteerriiaaiiss.. EEnnttrreettaannttoo,, ppaarraa aa ccoommpprreeeennssããoo aaddeeqquuaaddaa ddeesssseess eeffeeiittooss,, ffooii nneecceessssáárriioo ffaazzeerr
ddeessccrriiççõõeess eexxppeerriimmeennttaaiiss pprreecciissaass ddaass pprroopprriieeddaaddeess mmeeccâânniiccaass ddooss vváárriiooss mmaatteerriiaaiiss..
CCoomm oo ppaassssaarr ddooss aannooss,, ddeeppooiiss ddee mmuuiittooss ddooss pprroobblleemmaass ffuunnddaammeennttaaiiss ddaa mmeeccâânniiccaa ddooss mmaatteerriiaaiiss
tteerreemm ssiiddoo rreessoollvviiddooss,, ttoorrnnoouu--ssee nneecceessssáárriioo uussaarr ttééccnniiccaass aavvaannççaaddaass ddaa mmaatteemmááttiiccaa ee ddaa ccoommppuuttaaççããoo
ppaarraa rreessoollvveerr pprroobblleemmaass mmaaiiss ccoommpplleexxooss.. CCoommoo rreessuullttaaddoo,, eessssee aassssuunnttoo ssee eexxppaannddiiuu ppaarraa oouuttrraass áárreeaass ddaa
mmeeccâânniiccaa aavvaannççaaddaa,, ccoommoo aa tteeoorriiaa ddaa eellaassttiicciiddaaddee ee aa tteeoorriiaa ddaa ppllaassttiicciiddaaddee.. AA ppeessqquuiissaa nneessssaass áárreeaass éé
ccoonnttíínnuuaa,, nnããoo aappeennaass ppaarraa aatteennddeerr àà nneecceessssiiddaaddee ddee rreessoollvveerr pprroobblleemmaass aavvaannççaaddooss ddee eennggeennhhaarriiaa,, mmaass
ttaammbbéémm ppaarraa jjuussttiiffiiccaarr aa mmaaiioorr uuttiilliizzaaççããoo ee aass lliimmiittaaççõõeess aa qquuee eessttáá ssuujjeeiittaa aa tteeoorriiaa ffuunnddaammeennttaall ddaa
mmeeccâânniiccaa ddooss mmaatteerriiaaiiss..
CCaarrggaass eexxtteerrnnaass
UUmm ccoorrppoo ppooddee sseerr ssuubbmmeettiiddoo aa vváárriiooss ttiippooss ddee ccaarrggaass eexxtteerrnnaass;; ttooddaavviiaa,, qquuaallqquueerr uummaa ddeellaass ppooddee
sseerr ccllaassssiiffiiccaaddaa ccoommoo uummaa ffoorrççaa ddee ssuuppeerrffíícciiee oouu uummaa ffoorrççaa ddee ccoorrppoo..
RReeaaççõõeess ddoo aappooiioo
AAss ffoorrççaass ddee ssuuppeerrffíícciiee qquuee ddeesseennvvoollvveemm nnooss aappooiiooss oouu ppoonnttooss ddee ccoonnttaattoo eennttrree ccoorrppooss ssããoo
ddeennoommiinnaaddooss rreeaaççõõeess..
EEqquuaaççõõeess ddee eeqquuiillííbbrriioo
OO eeqquuiillííbbrriioo ddee uumm ccoorrppoo eexxiiggee uumm eeqquuiillííbbrriioo ddee ffoorrççaass,, ppaarraa iimmppeeddiirr aa ttrraannssllaaççããoo oouu mmoovviimmeennttoo
aacceelleerraaddoo ddoo ccoorrppoo aaoo lloonnggoo ddee uummaa ttrraajjeettóórriiaa rreettaa oouu ccuurrvvaa,, ee uumm eeqquuiillííbbrriioo ddee mmoommeennttooss,, ppaarraa iimmppeeddiirr
qquuee oo ccoorrppoo ggiirree..
CCaarrggaass rreessuullttaanntteess iinntteerrnnaass
UUmmaa ddaass mmaaiiss iimmppoorrttaanntteess aapplliiccaaççõõeess ddaa eessttááttiiccaa nnaa aannáálliissee ddee pprroobblleemmaass ddee rreessiissttêênncciiaa ddooss
mmaatteerriiaaiiss éé ppooddeerr ddeetteerrmmiinnaarr aa ffoorrççaa ee oo mmoommeennttoo rreessuullttaanntteess qquuee aaggeemm nnoo iinntteerriioorr ddee uumm ccoorrppoo ee qquuee ssããoo
nneecceessssáárriiooss ppaarraa mmaanntteerr aa iinntteeggrriiddaaddee ddoo ccoorrppoo qquuaannddoo ssuubbmmeettiiddoo aa ccaarrggaass eexxtteerrnnaass..
TTeennssããoo aaddmmiissssíívveell
UUmm eennggeennhheeiirroo rreessppoonnssáávveell ppeelloo pprroojjeettoo ddee uumm eelleemmeennttoo eessttrruuttuurraall oouu mmeeccâânniiccoo ddeevvee rreessttrriinnggiirr aa
tteennssããoo aattuuaannttee nnoo mmaatteerriiaall aa uumm nníívveell sseegguurroo.. AAlléémm ddiissssoo,, uummaa eessttrruuttuurraa oouu mmááqquuiinnaa eemm uussoo ccoonnttíínnuuoo
ddeevvee sseerr aannaalliissaaddaa ppeerriiooddiiccaammeennttee ppaarraa qquuee ssee vveerriiffiiqquuee qquuaaiiss ccaarrggaass aaddiicciioonnaaiiss sseeuuss eelleemmeennttooss oouu ppaarrtteess
ppooddeemm ssuuppoorrttaarr.. PPoorrttaannttoo,, vvaallee rreeppeettiirr,, éé nneecceessssáárriioo ffaazzeerr ooss ccáállccuullooss uussaannddoo--ssee uummaa tteennssããoo sseegguurraa oouu
aaddmmiissssíívveell.. UUmm mmééttooddoo ppaarraa eessppeecciiffiiccaarr aa ccaarrggaa aaddmmiissssíívveell ppaarraa oo pprroojjeettoo oouu aannáálliissee ddee uumm eelleemmeennttoo éé oo
uussoo ddee uumm nnúúmmeerroo ddeennoommiinnaaddoo ffaattoorr ddee sseegguurraannççaa.. OO ffaattoorr ddee sseegguurraannççaa ((FFSS)) éé aa rraazzããoo eennttrree aa ccaarrggaa ddee
rruuppttuurraa,, FFrruupp,, ee aa ccaarrggaa aaddmmiissssíívveell,, FFaaddmm..
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PROBLEMAS
1.1. Determine a força normal interna resultante que age na seção transversal no ponto A em cada
coluna. Em (a), o segmento BC tem massa de 300 kg/m e o segmento CD tem massa de 400 kg/m. Em
(b), a coluna tem uma massa de 200 kg/m.
Resolução
(a) (b)
W2 = 400 x 9,81 x 1,2 = 4,7088 kN W = 200 x 9,81 x 3 = 5,886 kN
W1 = 30 x 9,81 x 3 = 8,829 kN
NA – 8 – 6 – 6 – 4,5 – 4,5 – W = 0
- 5 – W1 – 6 – W2 – NA= 0 NA = 34,9 kN
NA = 24,54 kN
1.2. Determine o torque resultante interno que age sobre as seções transversais nos pontos C e D do
eixo. O eixo está preso em B.
Resolução
TC – 250 = 0 TD – 250 + 400 = 0
T C = 250 N.m TD = 150 N.m
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1.3. Determine o torque resultante interno que age nas seções transversais nos pontos B e C.
Resolução
500 – TC = 0 TB - 500 + 350 = 0
TC = 500 N.m TB = 150 N.m
*1.4. O dispositivo mostrado na figura sustenta uma força de 80 N. Determine as cargas internas
resultantes que agem sobre a seção no ponto A.
Resolução
VAcos(60°) - NAcos(30°) - 80sen(45°) = 0 – VAsen(60°) - 80cos(45°) - NAsen(30°) = 0
VA = 20,7 N NA = 77,3 N
– MA + 80cos(45°) x 0,3cos(30°) - 80sen(45°) x (0,1 + 0,3sen(30°)) = 0
MA = 0,55 N.m
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1.5. Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal no ponto D do elemento AB.
Resolução
- 0,4Ay - 70 = 0 Ay + Cy = 0 0,15Cy + 0,2Cx = 0 Ax + Cx = 0
Ay = 175 N Cy = 175 N Cx = 131,25 N Ax = 131,25 N
ND + 131,25 = 0 – VD – 175 = 0 MD + 175 x 0,05 = 0
ND = 131,25 N VD = 175 N MD = - 8,75 N.m
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1.6. A viga AB é suportada por um pino em A e por um cabo BC. Determine as cargas internas resultantes
que agem na seção transversal no ponto D.
Resolução
ϕ = arctang(
) = arctang(0,75)
-0,8TBCsenα – 5 x 1,2 = 0 θ + ϕ = artang(
= arctang(1,25)
TBC = 12,00586 kN ϕ + ϕ = 14,4703°
ND + TABcosθ + 5cosϕ = 0 VD + TABsenθ – 5senϕ = 0 MD – TABsenθ x dDB + 5senϕ x dDB = 0
ND = - 15,63 kN VD = 0 kN MD = 0 kN.m
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1.7. Resolva o Problema 1.6 para as cargas internas resultantes que agem no ponto E.
Resolução
ϕ = arctang(
) = arctang(0,75)
-0,8TBCsenα – 5 x 1,2 = 0 θ + ϕ = artang(
= arctang(1,25)
TBC = 12,00586 kN ϕ + ϕ = 14,4703°
- NE – TBCcosθ – 5cosϕ = 0 VE + TBCcosθ – 5senϕ = 0 ME = 0 kN.m
NE = - 15,63 kN VE = 0 kN
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*1.8. A lança DF do guindaste giratório e a coluna DE têm peso uniforme de 750 N/m. Se o guindaste e a
carga pesam 1.500 N, determine as cargas internas resultantes nas seções transversais que passam nos
pontos A, B e C.
Resolução
Seção 1 (0
VA – P1 – 1,5 = 0 MA + 1,5 x 0,9 + 0,675 x 0,45 = 0
NA = 0 kN VA = 2,7 kN MA= - 1,654 kN.m
Seção 2 (0 )
VB – P2 – 1,5 = 0 MB + 1,5 x 3,3 + 2,457 x 1,65 = 0
NB = 0 kN VB = 3,98 kN MB = - 9,034 kN.m
Seção 3 (0 )
- NC – 1,125 – 2,925 – 1,5 = 0 MC + P3 x 1,95 + 1,5 x 3,9 = 0
VC = 0 kN NC = 5,55 kN MC = - 11,554 kN.m
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1.9. A força F = 400 N age no dente da engrenagem. Determine as cargas internas resultantes na raiz do
dente, isto é, no centroide da seção a-a (ponto A).
Resolução
VA – 400cos(15°) = 0 - NA – 400sen(15°) = 0 MA + 400cos(15°) x 0,00575 – 400sen(15°) x 0,004 = 0
VA = 368,37 N NA = -103,57 N MA = 1,808 N.m
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1.10. A viga suporta a carga distribuída mostrada. Determine as cargas internas resultantes na seção
transversal que passa pelo ponto C. Considere que as reações nos apoios A e B sejam verticais.
Resolução
- 3F1 – (6 +
)F2 + 6RB = 0 RA + RB – F1 – F2 = 0
RB = 22,815 kN RA = 12,286 kN
0
NC = 0 kN 12,285 – 16,2 – VC = 0 MC + 16,2 x 1,8 – 12,285 x 3,6 = 0
VC = 3,915 kN MC = 15,07 kN.m
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1.11. A viga suporta a carga distribuída mostrada. Determine as cargas internas resultantes nas seções
transversais que passam pelos pontos D e E. Considere que as reações nos apoios A e B sejam verticais.
Resolução
- 3F1 – (6 +
)F2 + 6RB = 0 RA + RB – F1 – F2 = 0
RB = 22,815 kN RA = 12,286 kN
Ponto E
NE = 0 kN VE – 2,03 = 0 ME + 2,03 x
= 0
VE = 2,03 kN ME = - 0,911 kN.m
Ponto D
ND = 0 kN - VD – 8,1 + 12,285 = 0 MD + 8,1 x 0,9 – 12,285 x 1,8 = 0
VD = 4,18 kN ME = 14,823 kN.m
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*1.12. Determine as cargas internas resultantes que agem sobre: seção a-a e (b) seção b-b. Cada seção
está localizada no centroide, ponto C.
Resolução
(a)
3,6 x 3 – 6sen(45°) x B = 0 NC + 2,5456cos(45°) = 0 2,5456sen(45°) - 2,4 + VC = 0
B = 2,545 kN NC = - 1,8 kN VC = -1,723 kN
MC + 2,4 x 2 – 2,5456 x 4sen(45°) = 0
MC = 2,4 kN.m
(b)
NC + 2,5456 – 2,4cos(45°) = 0 VC – 2,4sen(45°) = 0 MC + 2,4 x 2 – 2,5456 x 4sen(45°) = 0
NC = 0,85 kN VC = 1,7 kN MC = 2,4 kN.m
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1.13. Determine a resultante das forças internas normal e de cisalhamento no elemento e : (a) seção a-a e
(b) seção b-b, sendo que cada uma delas passa pelo ponto A. Considerando θ = 60°. A carga de 650 N é
aplicada ao longo do eixo do centroide do elemento.
Resolução
(a) (b)
Va-a = 0 N Vb-b = 650cos(90° - θ) Nb-b = 650sen(90°-θ)
Vb-b = 563 N Nb-b = 325 N
Na-a = 650 N
1.14. Determine a resultante das forças interna normal e de cisalhamento no elemento na seção b-b, cada
uma em função de θ. Represente esses resultados em gráficos para . A carga de 650 N é
aplicada ao longo do eixo do centroide do elemento.
Resolução
Nb-b – 650sen(90° - θ) = 0 Vb-b – 650cos(90° - θ)
Nb-b = 650cos(θ) Vb-b = 650sen(θ)
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1.15. A carga de 4.000 N está sendo levantada a uma velocidade constante pelo motor M, que passa 450
N. Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal que passa pelo ponto B na
viga. A viga pesa 600 N/m e está fixada à parede em A.
Resolução
- NB – 2 = 0 VB – 0,72 – 2 – 2 = 0 MB + 0,72 x 0,6 – 2 x 0,45 + 4 x 1,275 = 0
NB = 2 kN VB = 4,72 kN MB = - 4,632 kN.m
*1.16. Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal que passa pelos pontos C
e D da viga no Problema 1.15.
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Ponto C
W = 600 x 2,1 = 1,260 kN
-NC – 2 = 0 VC – 4 – W = 0 MC + 2 x 0,45 – 2 x 1,05 – 4 x 2,175 = 0
NC = 2 kN VC = 5,26 kN MC = 9,9 kN.m
Ponto D
W = 600 x 4,2 = 2,520 N
ND = 0 kN VD – W – 2 – 2 – 0,45 = 0 MD + 0,45 x 1,2 + 2,52 x 2,1 + 4 x 4,275 – 2 x 0,45 = 0
VD = 6,97 kN MD = - 22,032 kN.m
1.17. Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal que passa pelo ponto B.
Resolução
NB = 0 kN VB – 1.440 = 0 - MB – 1.440 x
= 0
VB = 1.440 kN MB = - 1.920 kN.m
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1.18. A viga suporta a carga distribuída mostrada. Determine as cargas internas resultantes que agem na
seção transversal que passa pelo ponto C. Considere que as reações nos apoios A e B sejam verticais.
Resolução
P1 = 0,5 x 9 = 4,5
P2 = (1,5 – 0,5) x
= 4,5 kN - 4,5 x 4,5 – 4,5 x 6 + 9RB = 0 RA + RB – P1 – P2 = 0
RB = 5,25 kN RA = 3,75 kN
=
h =
kN/m NC = 0 kN - VC – P1 – P2 + 3,75 = 0 MC – 3,75 x 3 – 0,5 x 1 – 1,5 x 1,5 = 0
P1 = 0,5 kN VC = 1,75 kN MC = 8,5 kN.m
P2 = 1,5 kN
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1.19. Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal que passa pelo ponto D no
Problema 1.18.
Resolução
P1 = 0,5 x 9 = 4,5 kN
P2 = (1,5 – 0,5) x
= 4,5 kN - 4,5 x 4,5 – 4,5 x 6 + 9RB = 0 RA + RB – P1 – P2 = 0
RB = 5,25 kN RA = 3,75 kN
Ponto D
=
h =
kN/m ND = 0 kN VD – Q1 – Q2 + 5,25 = 0 MD + 3,5 x 1,5 + 0,5 x 2 – 5,25 x 3 = 0
Q1 = 0,5 kN VD = 1,25 kN MD = 9,5 kN.m
Q2 = 3,5 kN
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*1.20. A estrutura do poste de energia elétrica suporta os três cabos, e cada um deles exercem uma força
de 4 kN nas escoras. Se as escoras estiverem acopladas por pinos em A, B e C, determine as cargas
internas resultantes nas seções transversais que passam pelos pontos D, E e F.
Resolução
Ax + Cx = 0 - Ay – Cy + 12 = 0 M – 4 x 1,2 – 4 x 1,2 + 4,1,2 = 0
M = 4,8 kN.m
Cx = -2,67 kN Cy = 6 kN
1,2Ay + 0,9Ax – 4 x 2,4 = 0 1,2Cy – 0,9Cx = 9,6 Ax = 2,67 kN Ay = 6 kN
Ponto D
VD = 0 kN ND = 0 kN MD = 0 kN.m
Ponto E
VE + 2,67 = 0 - NE + 6 = 0 ME + 2,67 x 0,9 = 0
VE = - 2,67 kN NE = 6 kN ME = - 2,4 kN.m
Ponto F
-VF + 2,67 – 2,67 = 0 6 + 6 – NF = 0 MF – 2,67 x 0,9 + 2,67 x 2,67 = 0
VF = 0 kN NF = 12 kN MF = - 4,8 kN.m
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1.21. O guindaste de tambores suspende o tambor de 2,5 kN. O pino de ligação está conectado à chapa
em A e B. A ação de aperto sobre a borda do tambor é tal que somente forças horizontais e verticais são
exercidas sobre o tambor em G e H. Determine as cargas internas resultantes na seção transversal que
passa pelo ponto I.
Resolução
RDy = 1,25 kN
RCsen(30°) – RDsen(30°) = 0 - RDcos(30°) – RCcos(30°) + 2,5 = 0 RDx = 0,7217 kN
RC = RD = R R = 1,443 kN
Ponto I
0,7217 – VI = 0 NI – 1,25 = 0 MI – 0,7217 x 0,2 = 0
VI = 0,722 kN NI = 1,25 kN MI = 0,144 kN.m
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1.22. Determine as cargas internas resultantes nas seções transversais que passam pelos pontos K e J
no guindaste de tambores no Problema 1.21.
Resolução
RDy = 1,25 kN
RCsen(30°) – RDsen(30°) = 0 - RDcos(30°) – RCcos(30°) + 2,5 = 0 RDx = 0,7217 kN
RC = RD = R R = 1,443 kN
Ponto J
-NJ + RDxcos(60°) + RDycos(30°) = 0 VD – RDxsen(60°) + RDysen(30°) = 0 MJ = 0 kN.m
NJ = 1,443 kN VD = 0 kN
Ponto K
NK – 3,016 = 0 VK = 0 kN MK = 0 kN.m
NK = 3,016 kN
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1.23. O cano tem massa de 12 kg/m. Se ele tiver fixado à parede em A, determine as cargas internas
resultantes que agem na seção transversal em B. Despreze o peso da chave CD.
Resolução
(NB)x = 0 N (VB)z = 12 x 9,81 x 0,4 + 12 x 9,81 x 0,2 (TB)x = 47,088 x 0,2
(VB)z = 70,6 N (TB)x = 9,42 N.m
(MB)y = 60 x 0,35 – 60 x 0,05 – 47,088 x 0,2 – 23,544 x 0,1 (MB)z = 0 N.m
(MB)y = 6,23 N.m
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*1.24. A viga mestra AB suporta a carga na asa do avião. As cargas consideradas são a reação da roda
de 175 kN em C, o peso de 6 kN do combustível no tanque da asa, com centro de gravidade em D, e o
peso de 2 kN da asa, com centro de gravidade em E. Se a viga estiver fixada à fuselagem em A,
determine as cargas internas resultantes na viga nesse ponto. Considere que a asa não transfere
nenhuma carga à fuselagem, exceto pela viga.
Resolução
(TA)y + 0,45 x 6 – 0,3 x 2 = 0 (MA)z = 0 kN.m (MA)x – 6 x 1,8 – 2 x 3,6 + 175 x 3 = 0
(TA)y = - 2,1 kN.m (MA)x = 507 kN.m
(VA)x = 0 kN (NA)y = 0 kN (VA)z + 175 – 6 – 2 = 0 (VA)z = - 167 kN
1.25. Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal que passa pelo ponto B do
poste de sinalização. O poste está fixado ao solo, e uma pressão uniforme de 50 N/m² age
perpendicularmente à parede frontal da placa de sinalização.
Resolução
(VB)x = 0 N (VB)y = 0 N (NB)z = 0 N (MB)x = 0 N.m
(MB)y = 750 x 7,5 (TB)z = 570 x 0,5
(MB)y = 5.625 N.m (TB)z = 375 N.m
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1.26. O eixo está apoiado em suas extremidades por dois mancais A e B e está sujeito ás polias nele
fixadas. Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal que passa pelo ponto D.
As forças de 400 N agem na direção –z e as forças de 200 N e 80 N agem na direção +y. Os suportes A e
B exercem somente as componentes y e z da força sobre o eixo.
Resolução
(0,4 i) x (160 j) + (0,7 i) x (400 j) + (1,1 i) x (-800 k) + (1,4 i) x (Fy j + Fz k) = 0
(880 – 1,4 Fz) j + (334 + 1,4 Fy) k = 0
Fy = - 245,71 N Fz = 628,57 N
(VD)z + 628,57 – 800 = 0 (VD)y + 400 – 245,71 = 0 (ND)x = 0 N
(VD)z = 171,4 N (VD)y = - 154,3 N
(MD)z + 400 x 0,15 – 245,7 x 0,85 = 0 (MD)y + 800 x 0,55 – 628,57 x 0,85 = 0 (TD)x = 0 N.m
(MD)z = 149 N.m (MD)y = 94,3 N.m
1.27. O eixo está apoiado em suas extremidades por dois mancais, A e B, e está sujeito às forças
aplicadas às polias nele fixadas. Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal
que passa pelo ponto C. As forças de 400 N agem na direção –z e as forças de 200 N e 80 N agem na
direção +y. Os apoios A e B exercem somente as componentes y e z da força sobre o eixo.
23
Resolução
(0,4 i) x (160 j) + (0,7 i) x (400 j) + (1,1 i) x (-800 k) + (1,4 i) x (Fy j + Fz k) = 0
(880 – 1,4 Fz) j + (334 + 1,4 Fy) k = 0
Fy = - 245,71 N Fz = 628,57 N
-800 x 1,1 +1,4 Az = 0 160 x 0,4 + 400 x 0,7 +1,4 Ay = 0 (TC)x = 0 N.m
Az = 629 N Ay = 246 N
(MC)x = 0 N.m (MC)y – 800 x 0,2 + 629 x 0,5 = 0 (MC)z + 246 x 0,5 = 0
(MC)y = - 154 N.m (MC)z = - 123 N.m
(NC)x = 0 N (Ay) + (VC)y = 0 Az + (VC)z – 800 = 0
(VC)y = 246 N (VC)z = 171 N
*1.28. Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal da estrutura nos pontos F
e G. O contato em E é liso.
Resolução
1,5FE – 400 x 2,7 = 0 0,9Cy – 720sen(30°) x 1,8 = 0 By + Cy – 720sen(30°) = 0
FE = 720 N Cy = 720 N By = 360 N
24
Ponto F
1,2Cx – 0,9Cy = 0 - MF – 400 x 0,6 = 0 NF = 0 N VF – 400 = 0
Cx = 540 N MF = 240 N.m VF = 400 N
Bx = 83,5383 N
Ponto G
NG + Bx = 0 - By – VG = 0 MG + 360 x 0,45 = 0
NG = 83,54 N VG = 3 60 N MG = - 162 N.m
1.29. A haste do parafuso está sujeita a uma tensão de 400 N. Determine as cargas internas resultantes
que agem na seção transversal no ponto C.
Resolução
400 + NC = 0 VC = 0 N MC + 400 x 0,15 = 0
NC = 400 N MC = 60 N.m
25
1.30. O cano tem massa de 12 kg/m e está preso à parede em A. Determine as cargas internas
resultantes que agem na seção transversal que passa por B.
Resolução
w1 = w2 = 12 x 9,81 x 2 = 235,44 N
P1 = 450 N (VB)x = 0 N (NB)y = 600 N (VB)z = w1 + w2 + P1
P2 = 600 N (VB)z = 921 N
(MB)x = 1w1 + 2w2 + 2P1 (TB)y = 0 N.m (MB)z = 800 N.m
(MB)x = 1.606 N.m
1.31. A haste curvada tem raio r e está presa em B. Determine as cargas internas resultantes que agem
na seção transversal que passa pelo ponto A, o qual está localizado a um ângulo θ em relação à
horizontal.
Resolução
-VA – Pcos(90° - θ) = 0 NA – Psen(90° - θ) = 0 - MA – P(r – rcosθ) = 0
VA = - Psen(θ) NA = Pcos(θ) MA = - Pr(1 – cosθ)
26
*1.32. A haste curvada AD de raio r tem peso por comprimento w. Se ela estiver no plano horizontal,
determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal que passa pelo ponto B. Dica: A
distância entre o centroide C do segmento AB e o ponto O é CO = 0,9745 r.
Resolução
P =
rw
VB = P =
rw (NB)y = 0 (MB)x = =
rw x 0,9745rsen(22,5°)
(MB)x = 0,293wr²
(VB)z – P = 0 (TB)y = =
rw(r – 0,9745cos22,5°)
(VB)z = 0,785 wr (TB)y = 0,0783 wr²
27
PROBLEMAS
1.34. A coluna está sujeita a uma força axial de 8 kN aplicada no centroide da área da seção transversal.
Determine a tensão normal média que age na seção a-a. Mostre como fica essa distribuição de tensão
sobre a seção transversal da área.
Resolução
A = 10 x 150 x 2 + 10 x 140 = 4.400 mm²
σ =
= 1,82 MPa
1.35. O arganéu da âncora suporta uma força de cabo de 3 kN. Se o pino tiver diâmetro de 6 mm,
determine a tensão média de cisalhamento no pino.
Resolução
A =
méd =
= 53,03 MPa
28
*1.36. Durante uma corrida, o pé de um homem com massa 75 kg é submetido momentaneamente a uma
força equivalente a 5 vezes o seu peso. Determine a tensão normal média desenvolvida na tíbia T da
perna desse homem na seção a-a. A seção transversal pode ser considerada circular, com diâmetro
externo de 45 mm e diâmetro interno de 25 mm. Considere que a fíbula F não está suportando nenhuma
carga.
Resolução
σméd =
σméd =
= 3,346 MPa
1.37. O mancal de encosto está sujeito às cargas mostradas. Determine a tensão normal média
desenvolvida nas seções transversais que passam pelos pontos B, C e D. Faça um rascunho dos
resultados sobre um elemento de volume infinitesimal localizados em cada seção.
Resolução
(σméd)B = (
)B = 151 kPa (σméd)C = (
)C = 32,5 kPa (σrup)D = (
)D = 25,5 kPa
29
1.38. O pequeno bloco tem espessura de 5 mm. Se a distância de tensão no apoio desenvolvida pela
carga variar como mostra a figura, determine a força F aplicada ao bloco e a distância d até o ponto onde
ela é aplicada.
Resolução
F1 = (60 + 40) x 106 x 0,06 x 0,005 = 30 kN XCG = 124 mm
F1 + F2 – F = 0 F2 = 40 x 106 x 0,03 x 0,005 = 6 kN
F = 36 kN
x 60F2 + 124F1 – 36d = 0 d = 110 mm
1.39. A alavanca está presa ao eixo fixo por um pino cônico AB, cujo diâmetro médio é 6 mm. Se um
binário for aplicado à alavanca, determine a tensão de cisalhamento média no pino entre ele e a alavanca.
Resolução
T = 20 x 0,5 = 10 N.m
méd
= 29,5 MPa
30
*1.40. O bloco de concreto tem as dimensões mostradas na figura. Se o material falhar quando a tensão
normal média atingir 0,84 MPa, determine a maior carga vertical P aplicada no centro que ele pode
suportar.
Resolução
A = 350 x 25 x 2 + 3 x 50 x 100 = 32.500 mm²
σrup =
Padm = σrup x A = 27,3 kN
1.41. O bloco de concreto tem as dimensões mostradas na figura. Se ele for submetido a uma força P = 4
kN aplicada em seu centro, determine a tensão normal média no material. Mostre o resultado sobre um
elemento de volume infinitesimal do material.
Resolução
A = 350 x 25 x 2 + 3 x 50 x 100 = 32.500 mm²
σrup =
= 0,123 MPa
31
1.42. A luminária de 250 N é sustentada por três hastes de aço interligadas por um anel em A. Determine
qual das hastes está submetida à maior tensão normal média e calcule seu valor. Considere θ = 30°. O
diâmetro de cada haste é dado na figura.
Resolução
FAC = 183,2 N
FACcos(30°) + FADcos(45°) = 0 FACsen(30°) + FADsen(45°) – W = 0 FAD = 224,2 N
σAD =(
)AD = 5,07 MPa σAC =(
)AC = 6,479 MPa σAB =(
)AB = 3,93 MPa
1.43. Resolva o Problema 1.42 para θ = 45°.
Resolução
FAC = 176,777 N
FACcos(45°) - FADcos(45°) = 0 FACsen(45°) + FADsen(45°) – 250 = 0 FAD = 176,777 N
σAB =(
)AB = 3,93 MPa σAC =(
)AC = 6,252 MPa σAD =(
)AD = 4,001 MPa
32
*1.44. A luminária de 250 N é sustentada por três hastes de aço interligadas por um anel em A. Determine
o ângulo de orientação θ de AC de modo que a tensão normal média na haste AC seja duas vezes a
tensão normal média na haste AD. Qual é a intensidade da tensão em cada haste? O diâmetro de cada
haste é dado na figura.
Resolução
σAC = 2σAD
FACcos(θ) – FADcos(45°) FACsen(θ) + FADsen(45°) – 250 = 0 FAC = 1,28FAD
θ = 56,466° FAD = 140,92 N FAC = 180,3771 N
AAB =
dAB² AAC =
dAC² AAD =
dAD²
σAB =(
)AB = 3,93 MPa σAC =(
)AC = 6,38 MPa σAD =(
)AD = 3,19 MPa
1.45. O eixo está sujeito à força axial de 30 kN. Se ele passar pelo orifício de 53 mm de diâmetro no apoio
fixo A, determine a tensão no mancal que age sobre o colar C. Determine também a tensão de
cisalhamento média que age ao longo da superfície interna do colar no ponto onde ele está acoplado ao
eixo de 52 mm de diâmetro.
Resolução
σmancal =
= 48,3 MPa méd =
= 18,4 MPa
33
1.46. Os dois elementos de aço estão interligados por uma solda de topo angular de 60°. Determine a
tensão de cisalhamento média e a tensão normal média suportada no plano da solda.
Resolução
V = 4 kN
8 – Vcos(60°) + Ncos(30°) = 0 Vsen(60°) + Nsen(30°) = 0 N = - 6,93 N
A’ =
méd =
= 4,62 MPa σ =
= 8 MPa
1.47. O gancho é usado para sustentar o tubo de tal modo que a força no parafuso vertical é 775 N.
Determine a tensão normal média desenvolvida no parafuso BC se ele tiver diâmetro de 8 mm. Considere
que A seja um pino.
Resolução
775 x 0,04 – 0,07FBcos(20°) = 0 FB = 471,28 N σB = 9,38 MPa
34
*1.48. A prancha de madeira está sujeita a uma força de tração de 425 N. Determine a tensão de
cisalhamento média e a tensão normal média desenvolvida nas fibras da madeira orientadas ao longo da
seção a-a a 15° em relação ao eixo da prancha.
Resolução
N = 110 N
Vcos(15°) – Ncos(75°) – 425 = 0 Nsen(75°) + Vsen(15°) = 0 V = - 110 N
A’ =
σ =
= 0,0152 MPa méd =
= 0,0567 MPa
1.49. A junta de topo quadrada aberta é usada para transmitir uma força de 250 N e uma placa a outra.
Determine as componentes da tensão de cisalhamento média e da tensão normal média que essa carga
cria na face da solda, seção AB.
Resolução
N = - 216,506 N
- Vcos(60°) + Ncos(30°) + 250 = 0 Vsen(60°) + Nsen(30°) = 0 V = 125 N
A’ =
σ =
= 25 KPa méd =
= 14,34 kPa
35
1.50. O corpo de prova falhou no ensaio de tração a um ângulo de 52° sob uma carga axial de 100 kN. Se
o diâmetro do corpo de prova for 12 mm, determine a tensão de cisalhamento média e a tensão normal
média que agem na área do plano de falha inclinado. Determine também qual a tensão normal média em
atuação sobre a seção transversal quando acorreu a falha.
Resolução
N = 78,801 kN
- 100 – Ncos(38°) – Vcos(52°) = 0 - Vsen(52°) + Nsen(38°) = 0 V = 61,566 kN
A =
d² A’ =
σ =
= 549,05 MPa méd =
= 428,96 MPa
1.51. Um corpo de prova sob tração com área de seção transversal A é submetido a uma força axial P.
Determine a tensão de cisalhamento média máxima no corpo de prova e indique a orientação θ de uma
seção na qual ela ocorre.
Resolução
N = Vtang(θ)
Ncos(90° - θ) + Vcos(θ) + P = 0 Nsen(90° - θ) – Vsen(θ) = 0 V =
Para que V seja máximo,
= 0 θ = 45° V =
A’ =
méd =
=
36
*1.52. A junta está submetida a uma força axial de 5 kN. Determine a tensão normal média que age nas
seções AB e BC. Considere que o elemento é liso e tem 50 mm de espessura.
Resolução
NAB = 4,082 kN
NABcos(30°) – 5cos(45°) = 0 - NBC - NABsen(30°) + 5sen(45°) = 0 NBC = 1,4945 kN
σAB =(
)AB = 2,04 MPa σBC =(
)BC = 0,598 MPa
1.54. Os dois elementos usados na construção da fuselagem de um avião estão interligados por uma
solda em boca-de-peixe a 30°. Determine a tensão de cisalhamento média e a tensão normal média no
plano de cada solda. Considere que cada plano inclinado suporta uma força horizontal de 2 kN.
Resolução
N = - 1 kN
- Ncos(60°) – Vcos(30°) – 2 = 0 Nsen(60°) – Vsen(30°) = 0 V = 1,732 kN
A’ =
σ =
= 533,33 kPa méd =
= 923,76 kPa
37
1.55. Os grampos na fileira AB contida no grampeador estão colados de modo que a tensão de
cisalhamento máxima que a cola pode suportar é θmáx = 84 kPa. Determine a força mínima F que deve ser
aplicada ao êmbolo para extrair um grampo da fileira por cisalhamento e permitir que ele saia sem
deformação pela fenda em C. As dimensões externas do grampo são mostradas na figura, e a espessura
é 1,25 mm. Considere que todas as outras partes são rígidas e despreze o atrito.
Resolução
A = (7,5 – 1,25) x 1,25 x 2 + 12,5 x 1,25 = 31,25 mm²
θmáx =
Fmín = Aθméx = 2,63 N
*1.56. Os diâmetros das hastes AB e BC são 4 mm e 6 mm, respectivamente. Se for aplicada uma carga
de 8 kN ao anel em B, determine a tensão normal média em cada haste se θ = 60°.
Resolução
FBC = 9,2376 kN
FBCcos(60°) – FAB = 0 FBCsen(60°) – 8 = 0 FAB = 4,6188 kN
σAB = (
)AB = 367,55 MPa σBC = (
)BC = 326,71 MPa
38
1.57. Os diâmetros das hastes AB e BC são 4 mm e 6 mm, respectivamente. Se a carga vertical de 8 kN
for aplicada ao anel em B, determine o ângulo θ da haste BC de modo que a tensão normal média em
cada haste seja equivalente. Qual é essa tensão?
Resolução
FBC =
FBCcos(θ) – FAB = 0 FBCsen(θ) – 8 = 0 FAB =
σAB = σBC θ = 63,6°
σAB = σBC = (
)BC = 316 MPa
1.58. Cada uma das barras da treliça tem área de seção transversal de 780 mm². Determine a tensão
normal média em cada elemento resultante da aplicação da carga P = 40 kN. Indique se a tensão é de
tração ou de compressão.
Resolução
39
Ponto C
40 x 2,4 + 30 x 1,2 + 0,9FBC = 0
FBC = - 146,667 kN
Ponto A Ponto B
0,8FAB – FAE = 0 0,6FAB – 40 = 0 0,6FAB + FBE + 0,6FBD = 0
FAE = 53,33 kN FAB = 66,667 kN FBD = - 116,667 kN
Ponto E
FED – FAE = 0 FBE – 30 = 0
FED = 53,33 kN FBE = 30 kN
σAB = (
)AB = 85,47 MPa (T) σAE = (
)AE = 68,376 MPa (C) σED = (
)ED = 68,376 MPa (C)
σBE = (
)BE = 38,462 MPa (T) σBD = (
)BD = 149,573 MPa (C) σBC = (
)BC = 188,034 MPa (T)
1.59. Cada uma das barras da treliça tem área de seção transversal de 780 mm². Se a tensão normal
máxima em qualquer barra não pode ultrapassar 140 MPa, determine o valor máxima P das cargas que
podem ser aplicadas à treliça.
Resolução
σAB = (
)AB σEB = (
)EB
FABsen(ϕ) – P = 0 P = 65,52 kN FEB – 0,75P = 0 P = 145,6 kN
FAB = 1,667P FEB = 0,75P
40
σBC = σadm = (
)BC
2,4P + 0,75P x 1,2 + 0,9FBC = 0 P = 29,78 kN
FBC = 3,667P
*1.60. O tampão é utilizado para vedar a extremidade do tubo cilíndrico que está sujeito a uma pressão
interna p = 650 Pa. Determine a tensão de cisalhamento média que a cola exerce sobre os lados do tubo
necessária para manter o tampão no lugar.
Resolução
ρ =
V =
x 0,035² x ρ = 0,6254 N
méd =
=
= 199 Pa
41
1.61. O alicate de pressão é usado para dobrar a extremidade do arame E. Se uma força de 100 N for
aplicada nas hastes do alicate, determine a tensão de cisalhamento média no pino em A. O pino está
sujeito a cisalhamento duplo e tem diâmetro de 5 mm. Somente uma força vertical é exercida no arame.
Resolução
Ay = 1.166.667 N
Ax – Bx = 0 37,5Ay – 87,5By = 0 - 25By + 100 x 125 = 0
By = 500 N
A =
d² ( méd)A =
= 29,709 MPa
1.62. Resolva o Problema 1.61 para o pino B, o qual está sujeito a cisalhamento duplo e tem 5 mm de
diâmetro.
Resolução
Ay = 1.166.667 N
Ax – Bx = 0 37,5Ay – 87,5By = 0 - 25By + 100 x 125 = 0
By = 500 N
A =
d² ( méd)B =
= 12,732 MPa
42
1.63. A lâmpada de engate do vagão é sustentada pelo pino de 3 mm de diâmetro em A. Se a lâmpada
pesar 20 N e peso do braço extensor AB for 8 N/m, determine a tensão de cisalhamento média no pino
necessária para sustentar a lâmpada. Dica: A força de cisalhamento no pino é causada pelo binário
exigido para o equilíbrio em A.
Resolução
A =
d²
- 0,45w1 – 0,9w2 + 0,032V = 0 ( méd)A =
= 93,901 MPa
V = 663,75 N
*1.64. A estrutura de dois elementos está sujeita a um carregamento distribuído mostrado. Determine a
tensão normal média e a tensão de cisalhamento média que agem nas seções a-a e b-b. A seção
transversal quadrada do elemento CB tem 35 mm. Considere w = 8 kN/m.
Resolução
43
-24 x 1,5 – 4HC = 0
HC = - 9 kN
Seção a-a
cos(ϕ) = 0,6
sen(ϕ) = 0,8 Na-a – 9cos(ϕ) – 12sen(ϕ) = 0 Va-a – 9sen(ϕ) + 12cos(ϕ) = 0
Na-a = 15 kN Va-a = 0 kN
σa-a =
= 12,2 MPa a-a =
= 0 MPa
Seção b-b
σb-b =
= 4,41 MPa b-b =
= 5,88 MPa
44
1.65. O elemento A da junta escalonada de madeira usada na treliça está submetida a uma força de
compressão de 5 kN. Determine a tensão normal média que age na haste do pendural C com diâmetro de
10 mm e no elemento B com espessura de 30 mm.
Resolução
σC =
= 55,1 MPa
5cos(60°) – FB = 0 - 5cos(30°) + FC = 0 σB =
= 2,08 MPa
FB = 2,5 kN FC = 4,33 N
1.67. A viga é apoiada por um pino em A e um elo curto BC. Se P = 15 kN, determine a tensão de
cisalhamento média desenvolvida nos pinos em A, B e C. Todos os pinos estão sujeitos a cisalhamento
duplo, como mostra a figura, e cada um tem diâmetro de 18 mm.
Resolução
45
2 x 15 x 0,5 + 4 x 15 x 2 + 4 x 15 x 3,5 + 4,5 x 15 – FBCsen(30°) = 0 - FBCcos(30°) + Ax = 0
FBC = 165 kN Ax = 142,8942 kN
A =
- P – 4P – 4P – 2P + Ay + FBCsen(30°) = 0 A = 165 kN
Ay = 60,5 kN
A’ =
d² ( méd)A =
= 324 MPa ( méd)B = ( méd)C = 324 MPa
*1.68. A viga é apoiada por um pino em A e um elo curto BC. Determine o valor máximo P das cargas que
a viga suportará se a tensão de cisalhamento média em cada pino não puder ultrapassar 80 MPa. Todos
os pinos sofrem cisalhamento duplo, como mostra a figura, e cada um tem diâmetro de 18 mm.
Resolução
-0,5P – 4P x 0,15 – 4P x 3,3 – 2P x 4,5 + 5VA = 0 VB – P – 4P – 4P – 2P + VA = 0
VA = 5,5P VB = 5,5P
A =
d² méd)A =
P = 3,70 kN
46
1.69. A estrutura está sujeita a carga de 1 kN. Determine a tensão de cisalhamento média no parafuso em
A em função do ângulo da barra θ. Represente essa função em gráfico para e indique os
valores de θ para os quais essa tensão é mínima. O parafuso tem diâmetro de 6 mm e está sujeito a
cisalhamento simples.
Resolução
A =
d²
0,15FABcos(θ) +0,6 FABsen(θ) – 1,05 = 0 méd)A =(
)AB =
MPA
FAB =
Para que a tensão seja mínima:
θ = 76°
Fazer gráfico
47
1.70. O guindaste giratório está preso por um pino em A e suporta um montacargas de corrente que pode
deslocar-se ao longo da flange inferior da viga, . Se a capacidade de carga normal
máxima do guindaste for 7,5 kN, determine a tensão normal média máxima na barra BC de 18 mm de
diâmetro e a tensão de cisalhamento média máxima no pino de 16 mm de diâmetro em B.
Resolução
Para que a tensão sejamáxima, x = 3,6 m FBC = 18.000 N
-7500x + 3FBCsen(30°) = 0 ABC =
dBC² σBC =(
)BC = 70,736 MPa
FBC = 5.000x AB =
dB² méd)B =(
)B = 44,762 MPa
1.71. A barra tem área de seção transversal A e está submetida à carga axial P. Determine a tensão
normal média e a tensão de cisalhamento média que agem na seção sombreada que está orientada a um
ângulo θ em relação à horizontal. Represente em gráfico a variação dessas tensões em função de
θ( º).
Resolução
48
P + Ncos(90° - θ) + Vcos(θ) = 0 Nsen(90° - θ) – Vsen(θ) = 0
N = - Psen(θ) V =
A’ =
σméd =
=
sen²(θ) méd =
=
sen(2θ)
*1.72. A lança tem peso uniforme de 3 kN e é alçada até a posição desejada por meio do cabo BC. Se o
cabo tiver diâmetro de 15 mm, construa um gráfico da tensão normal média no cabo em função da posição
da lança θ para º.
Resolução
(BC)² = 1² + 1² - 2 x 1 x 1 x cos(ϕ) ( )² = (1 – sen(θ))² + x²
BC = x = cos(θ)
cos(α) =
=
sen(α) =
-3 x 0,5cos(θ) + Fcos(α) x [1 – (1 – senθ)] + Fsen(α)cos(θ) = 0
F = 1,5 A =
d² σBC =
= 8,49 MPa
49
1.73. A área da seção transversal da barra é 400(10-6) m². Se ela estiver sujeita a uma carga axial
distribuída uniformemente ao longo de seu comprimento e a duas cargas concentradas como mostra a
figura, determine a tensão normal média na barra em função de x para .
Resolução
3 + 6 + 8 x 1,25 – R = 0 N + 8x – R = 0
R = 19 kN N = (19 – 8x) kN
σ =
= (47,5 – 20x) MPa
1.74. A área da seção transversal da barra é 400(10-6) m². Se ela estiver sujeita a uma carga axial
distribuída uniformemente ao longo de seu comprimento e a duas cargas concentradas como mostra a
figura, determine a tensão normal média na barra em função de x para .
Resolução
3 + 6 + 8 x 1,25 – R = 0 N + 6 + 8x – 19 = 0
R = 19 kN N = (13 – 8x) kN
σ =
= (32,5 – 20x) MPa
50
1.75. A coluna é feita de concreto de densidade 2,30 Mg/m³ e está sujeita a uma força de compressão
axial de 15 kN em sua extremidade superior B. Determine a tensão normal média na coluna em função da
distância z medida em relação à base. Observação: por causa da deformação localizada nas
extremidades, o resultado servirá apenas para determinar a tensão normal média em seção removida das
extremidades da coluna.
Resolução
w = ρgV = 9,1865 kN
P(z) = ρ x V(z) = ρ x g x π x r² x z = 2,29663z
F – w -15 = 0
F = 24,186 kN N – P(z) + F = 0 N = (2,29663z – 24,186) kN
σ =
= (238 – 22,6z) kPa
51
*1.76. A estrutura de dois elementos está sujeita à carga distribuída mostrada. Determine a maior
intensidade w da carga uniforme que pode ser aplicada à estrutura sem que a tensão normal média ou a
tensão de cisalhamento média na seção b-b ultrapasse σ = 15 MPa e τ = 16 MPa, respectivamente. O
elemento CB tem seção transversal quadrada de 30 mm de lado.
Resolução
4VA – 1,5 x 3w = 0 1,5 x 3w – 3HA = 0 HB – HA = 0
VA = 1,125w HA = 1,5w HB = 1,5w
1,5w – Vb-b = 0 1,125 – Nb-b = 0
Vb-b = 1,5w Nb-b = 1,125w
A’ =
σb-b =
w = 20 kN/m b-b =
w = 16 kN/m
52
1.78. O raio do pedestal é definido por r = (0,5e-0,08y2) m, onde y é dado em metros. Se o material tiver
densidade de 2,5 Mg/m³, determine a tensão normal média no apoio.
Resolução
V =
e – 0,08y2)² dy = 1,58404 m³ N = W = ρ x g x V = 38,35 MN
A = πr² σméd =
= 49,5 MPa
53
PROBLEMAS
1.80. O elemento B está sujeito a uma força de compressão de 4 kN. Se A e B forem feitos de madeira e
tiverem 10 mm de espessura, determine, com aproximação de 5 mm, a menor dimensão h do apoio de
modo que a tensão de cisalhamento média não exceda τadm = 2,1 MPa.
Resolução
V =
méd =
= 2,1 MPa h = 75 mm
1.81. A junta está presa por dois parafusos. Determine o diâmetro exigido para os parafusos se a tensão
de ruptura por cisalhamento para os parafusos for τrup = 350 MPa. Use um fator de segurança para
cisalhamento FS = 2,5.
Resolução
rup = d =
= 13,5 mm
54
1.82. As hastes AB e CD são feitas de aço cuja tensão de ruptura por tração é σrup = 510 MPa. Usando
um fator de segurança FS = 1,75 para tração, determine o menor diâmetro das hastes de modo que elas
possam suportar a carga mostrada. Considere que a viga está acoplada por pinos em A e C.
Resolução
rup =
-4 x 2 – 6 x 4 – 5 x 7 – 10FCD = 0 FAB – 15 + 6,7 = 0 d =
= 6,02 mm
FCD = 6,7 kN FAB = 8,3 kN
1.83. A manivela está presa ao eixo A por uma chaveta de largura d e comprimento 25 mm. Se o eixo for
fixo e uma força vertical de 200 N for aplicada perpendicularmente ao cabo, determine a dimensão d se a
tensão de cisalhamento admissível para a chaveta for τadm = 35 MPa.
Resolução
adm =
d = 5,71 mm
20Fa-a – 200 x 500 = 0
Fa-a = 5 kN
55
*1.84. O tamanho a do cordão de solda é determinado pelo cálculo da tensão de cisalhamento média ao
longo do plano sombreado, que tem a menor seção transversal. Determine o menor tamanho a das duas
soldas se a força aplicada á chapa for P = 100 kN. A tensão de cisalhamento admissível para o material da
solda é τadm = 100 MPa.
Resolução
A = 2 x a x L x cos(45°) V = P adm =
a = 7,071 mm
1.85. O tamanho do cordão de solda é a = 8 mm. Considerando que a junta falhe por cisalhamento em
ambos os lados do bloco ao longo do plano sombreado, que é a menor seção transversal, determine a
maior força P que pode ser aplicada à chapa. A tensão de cisalhamento admissível para o material da
solda é τadm = 100 MPa.
Resolução
A = 2 x a x L x cos(45°) V = P adm =
P = 113,14 kN
56
1.86. O parafuso de olhal é usado para sustentar a carga de 25 kN. Determine seu diâmetro d com
aproximação de múltiplos de 5 mm e a espessura exigida h com aproximação de múltiplos de 5 mm do
suporte de modo que a arruela não penetre ou cisalhe o suporte. A tensão normal admissível para o
parafuso é σadm = 150 MPa e a tensão de cisalhamento admissível para o material do suporte é τadm = 35
MPa.
Resolução
σadm =
d =
= 15 mm adm =
h =
= 10 mm
1.87. A estrutura está sujeita a carga de 8 kN. Determine o diâmetro exigido para os pinos em A e B se a
tensão de cisalhamento admissível para o material for τadm = 42 MPa. O pino A está sujeito a cisalhamento
duplo, ao passo que o pino B está sujeito a cisalhamento simples.
Resolução
A =
3FD – 8 x 2,1 = 0 Ax + 8 = 0 Ay + 5,6 = 0 A = 9,765 kN
FD = 5,6 kN Ax = 8 kN Ay = 5,6 kN
V = A adm =
dA =
= 12,166 mm
dB =
= 21,913 mm
-1,5FBCsen(α) + 3Ay = 0
FBC = 15,84 kN
57
*1.88. Os dois cabos de aço AB e AC são usados para suportar a carga. Se ambos tiverem uma tensão
de tração admissível σadm = 200 MPa, determine o diâmetro exigido para cada cabo se a carga aplicada for
P = 5 kN.
Resolução
TAB = 4,35 kN
0,8TAC – TABsen(60°) = 0 0,6TAC + TABcos(60°) – 5 = 0 TAC = 4,71 kN
σAB =
dAB =
= 5,26 mm σAC =
dAB =
= 5,48 mm
1.89. Os dois cabos de aço AB e AC são usados para suportar a carga. Se ambos tiverem uma tensão de
tração admissível σadm = 180 MPa, e se o cabo AB tiver diâmetro de 6 mm e o cabo AC tiver diâmetro de 4
mm, determine a maior força P que pode ser aplicada à corrente antes que um dos cabos falhe.
Resolução
FAB = 0,87P
FACcos(ϕ) - FABcos(30°) = 0 FACsen(ϕ) + FABcos(30°) – P = 0 FAC = 0,941726P
AAB =
dAB² AAC =
dAC²
σadm =
P = 5,85 kN σadm =
P = 2,4 kN
58
1.90. A lança é suportada pelo cabo do guincho com diâmetro de 6 mm com tensão normal admissível
σadm = 168 MPa. Determine a maior carga que pode ser suportada sem provocar a ruptura do cabo quando
θ = 30° e ϕ = 45°. Despreze o tamanho do guincho.
Resolução
A =
d²
-[Tcos(α + β) + P] x 6cos(ϕ) + Tsen(α + β) x 6sen(ϕ) = 0 σadm =
P = 1,739 kN
T = 2,73206P
1.91. A lança é suportada pelo cabo do guincho cuja tensão normal admissível é σadm = 168 MPa. Se a
lança tiver de levantar lentamente uma carga de 25 kN, de θ = 20° até θ = 50°, determine o menor
diâmetro do cabo com aproximação de múltiplos de 5 mm. O comprimento da lança AB é 6 m. Despreze o
tamanho do guincho. Considere d = 3,6 m.
Resolução
L =
tang(θ) =
(3,6 + 6cosϕ) x tang(20°) = 6sen(ϕ) α = 90° - ϕ = 58,158°
(0,6 + cosϕ) x tang(20°) = sen(ϕ) β = ϕ – θ = 11,842°
1,13247cos²ϕ + 0,159cosϕ – 0,95231 = 0
Φ = 31,842°
59
σadm =
d =
-[Tcos(α + β) + 25] x 6cos(ϕ) + Tsen(α + β) x 6sen(ϕ) = 0 d = 30 mm
T = 103,38 kN
*1.92. A estrutura está sujeita ao carregamento distribuído de 2 kN/m. Determine o diâmetro exigido para
os pinos em A e B se a tensão de cisalhamento admissível para o material for τadm = 100 MPa. Ambos os
pinos estão sujeitos a cisalhamento duplo.
Resolução
-3HA – 6 x 1,5 = 0 HA - HB = 0 VA + VB – 6 = 0
HA = 3 kN HB = 3 kN VA = VB = 3 kN
RA = = 4,2426 kN adm =
dA = dB =
= 5,20 mm
60
1.93. Determine as menores dimensões do eixo circular e da tampa circular se a carga que devem
suportar é P = 150 kN. A tensão de tração, a tensa de apoio e a tensão de cisalhamento admissível são
(σt)adm = 175 MPa, (σa)adm = 275 MPa e σadm = 115 MPa.
Resolução
(σa)adm =
d3 =
= 26,4 mm σadm =
t =
= 15,8 mm
(σt)adm =
d1 =
= 44,6 mm
1.94. Se a tensão de apoio admissível para o material sob os apoios em A e B for (σa)adm = 2,8 MPa,
determine os tamanhos das chapas de apoio quadradas A’ e B’ exigidos para suportar a carga. Considere
P = 7,5 kN. A dimensão das chapas deverá ter aproximação de 10 mm. As reações nos apoios são
verticais.
Resolução
61
-10 x 1,5 -15 x 3 -10 x 4,5 + 4,5 FB – 7P = 0 FA + FB -10 – 10 – 15 – 10 – P = 0
FB = 35 kN FA = 17,5 kN
(σa)adm =
Aa = (aA)² aA = 80 mm
(σa)adm =
AB = (aB)² aB = 120 mm
1.95. Se a tensão de apoio admissível para o material sob os apoios em A e B for (σa)adm = 2,8 MPa,
determine a carga P máxima que pode ser aplicada à viga. As seções transversais quadradas das chapas
de apoio A’ e B’ são 50 mm x 50 mm e 100 mm x 100 mm, respectivamente.
Resolução
-10 x 1,5 – 15 x 3 – 10 x 4,5FB – 7P = 0 FA + FB – 10 – 10 – 15 – 10 – P = 0
FB = 23,33333 + 1,555555P FA = 21,66666 – 0,5555555P
(σa)adm =
P = 26,4 kN (σa)adm =
P = 3 kN
62
*1.96. Determine a área da seção transversal exigida para o elemento BC e os diâmetros exigidos para os
pinos em A e B se a tensão normal admissível for σadm = 21 MPa e a tensão de cisalhamento for τadm = 28
MPa.
Resolução
-7,5 x 0,6 – 7,5 x 1,8 + 2,4By = 0 - Ay – 7,5 – 7,5 + By = 0
By = 7,5 kN Ay = 7,5 kN
-Bx x L x sen(60°) + 7,5 x L x cos(60°) = 0 -Bx + Cx = 0 - Ax + Bx = 0
Bx = 4,33 kN Cx = 4,33 kN Ax = 4,33 kN
A = B = = 8,66 kN adm)A =
dA =
= 19,84 mm
dB =
= 14,03 mm FBC = A ABC =
= 412,6 mm²
63
1.97. O conjunto consiste em três discos A, B e C usados para suportar a carga de 140 kN. Determine o
menor diâmetro d1 do disco superior, o diâmetro d2 do espaço entre os apoios e o diâmetro d3 do orifício
no disco inferior. A tensão de apoio admissível para o material é (σadm)a = 350 MPa e a tensão de
cisalhamento admissível é τadm = 125 MPa.
Resolução
(σadm)a =
d1 =
= 22,6 mm adm =
d2 =
= 35,7 mm
(σadm)a =
d3 =
² = 27,6 mm
1.98. As tiras A e B devem ser coladas com a utilização das duas tiras C e D. Determine a espessura
exigida t para C e D de modo que todas as tiras falhem simultaneamente. A largura das tiras A e B é 1,5
vezes a das tiras C e D.
Resposta
LA = 1,5LC σA =
=
σD =
σA = σD t = 22,5 mm
64
1.99. Se a tensão de apoio admissível para o material sob os apoios em A e B for (σa)adm = 2,8 MPa,
determine os tamanhos das chapas de apoio quadradas A’ e B’ exigidos para suportar a carga. A
dimensão das chapas deve ter aproximação de múltiplos de 10 mm. As reações nos apoios são verticais.
Considere P = 7,5 kN.
Resolução
-45 x 22,5 + 4,5RB – 7,5 x 6,75 = 0 RA – 45 + 33,75 – 7,5 = 0
RB = 33,75 kN RA = 18,75 kN
(σadm)A =
LA = 90 mm (σadm)B =
LB = 110 mm
*1.100. Se a tensão de apoio admissível para o material sob os apoios em A e B for (σa)adm = 2,8 MPa,
determine a carga máxima P que pode ser aplicada à viga. As seções transversais quadradas das chapas
de apoio A’ e B’ são 50 mm x 50 mm e 100 mm x 100 mm, respectivamente.
Resolução
-45 x 2,25 + 4,5RB – 6,75P = 0 RA – 45 + RB – P = 0
RB = 22,5 + 1,5P RA = 22,5 – 0,5P
(σadm)A =
P = 31 kN (σadm)B =
P = 3,67 kN
65
1.101. O conjunto de pendural é usado para suportar um carregamento distribuído w = 12 kN/m. Determine
a tensão de cisalhamento média no parafuso de 10 mm de diâmetro em A e a tensão de tração média na
haste AB, com diâmetro de 12 mm. Se a tensão de escoamento por cisalhamento para o parafuso for τe =
175 MPa e a tensão de escoamento por tração para a haste for σe = 266 MPa, determine o fator de
segurança em relação ao escoamento em cada caso.
Resolução
adm =
(FS)pino =
= 1,02
-21 x 0,9 + 1,2FABsen(ϕ) = 0 adm = 171,88 MPa
FAB = 27 kN
adm =
= 238,732 MPa (F.S)haste =
= 1,11
66
1.102. Determine a intensidade w da carga distribuída máxima que pode ser suportada pelo conjunto de
pendural de modo a não ultrapassar uma tensão de cisalhamento admissível de τadm = 95 MPa nos
parafusos de 10 mm de diâmetro em A e B e uma tensão de tração admissível de σadm = 155 MPa na
haste AB de 12 mm de diâmetro.
Resolução
adm =
adm =
1,2FABsen(θ) – 1,8w x 0,9 = 0 w = 6,632 kN/m w = 7,791 kN/m
FAB = 2,25w
1.103. A barra é suportada pelo pino. Se a tensão de tração admissível para a barra for (σt)adm = 150 MPa
e a tensão de cisalhamento admissível para o pino for τadm = 85 MPa, determine o diâmetro do pino para o
qual a carga P será máxima. Qual é essa carga máxima? Considere que o orifício na barra tem o mesmo
diâmetro d do pino. Considere também t = 6 mm e w = 50 mm.
Resolução
adm =
P = 9 x 105 x (0,05 – d) adm =
P = 42,5 x 106 x π x d²
9 x 105 x (0,05 – d) = 42,5 x 106 x π x d² d = 15,29 mm
P = 31,23 kN
67
*1.104. A barra está acoplada ao suporte por um pino de diâmetro d = 25 mm. Se a tensão de tração
admissível para a barra for (σt)adm = 140 MPa e a tensão de apoio admissível entre o pino e a barra for
(σa)adm = 210 MPa, determine as dimensões w e t tais que a área bruta da área da seção transversal seja
wt = 1.250 mm² e a carga P seja máxima. Qual é essa carga? Considere que o orifício da barra tem o
mesmo diâmetro do pino.
Resolução
adm =
P = (1,75 – 35t) x 105 adm =
P = 52,5 x 105t
(1,75 – 35t) x 105 = 52,5 x 105t t = 20 mm P = 105 kN w = 62,5 mm
1.105. A viga composta de madeira está interligada por um parafuso em B. Considerando que os
acoplamentos em A e B, C e D exerçam somente forças verticais na viga, determine o diâmetro exigido
para o parafuso em B e o diâmetro externo exigido para as respectivas arruelas se a tensão de tração
admissível para o parafuso for (σt)adm = 150 MPa e a tensão de apoio admissível para a madeira for (σa)adm
= 28 MPa. Considere que o orifício das arruelas tem o mesmo diâmetro do parafuso.
Resolução
FB = 4,4 kN
-3 x 2 + 4FC + 5,5FB = 0 2 x 1,5 + 3 x 1,5 + 4,5FB + 6FC = 0 FC = 4,55 kN
(σt)adm =
dB =
= 6,11 mm (σa)adm =
dm =
= 15,4 mm
68
1.106. A barra é mantida em equilíbrio por pinos em A e B. Observe que o apoio em A tem uma única
orelha, o que envolve cisalhamento simples no pino, e o apoio B tem orelha dupla, o que envolve
cisalhamento duplo. A tensão de cisalhamento admissível para ambos os pinos é τadm = 150 MPa. Se uma
carga uniformemente distribuída w = 8 kN/m for colocada sobre a barra, determine sua posição admissível
mínima x em relação a B. Cada um dos pinos A e B tem diâmetro de 8 mm². Despreze qualquer força axial
na barra.
Resolução
adm =
Bz = 15,08 kN
(2 i) x (By j + Bz k) + (3 + 0,5x)i x [- 8(2 – x)] k = 0 x² + 4x – 4,4602 = 0
Bz = (24 – 8x – 2x²) kN x = 0,909 m
1.107. A barra é mantida em equilíbrio pelos apoios de pino em A e B. Observe que o apoio em A tem
uma única orelha, o que envolve cisalhamento simples no pino, e o apoio B tem orelha dupla, o que
envolve cisalhamento duplo. A tensão de cisalhamento admissível para ambos os pinos é τadm = 125 MPa.
Se x = 1 m, determine a carga distribuída máxima w que a barra suportará. Cada um dos pinos A e B tem
diâmetro de 8 mm. Despreze qualquer força axial na barra.
Resolução
adm =
w = 7,18 kN/m
(2 i) x (By j + Bz k) + (3,5 i) x (-w k) = 0
By = 0 kN Bz = (1,75w) kN
69
1.108. A barra é mantida em equilíbrio pelos apoios de pino em A e B. Observe que o apoio em A tem
uma única orelha, o que envolve cisalhamento simples no pino, e o apoio B tem orelha dupla, o que
envolve cisalhamento duplo. A tensão de cisalhamento admissível para ambos os pinos é τadm = 125 MPa.
Se x = 1 m e w = 12 kN/m, determine o menor diâmetro exigido para os pinos A e B. Despreze qualquer
força axial na barra.
Resolução
adm =
d =
(2 i) x (By j + Bz k) + (3,5 i) x (- 12 k) = 0 d = 10,3 mm
Bz = 21 kN
1.109. O pino está submetido a cisalhamento duplo, visto que é usado para interligar os três elos. Devido
ao desgaste, a carga é distribuída nas partes superior e inferior do pino como mostra o diagrama de corpo
livre. Determine o diâmetro d do pino se a tensão de cisalhamento admissível for τadm = 70 MPa e a carga
P = 49 kN. Determine também as intensidades das cargas w1 e w2.
Resolução
0,0375w1 = P 0,0125w2 = 0,5P adm =
d =
w1 = 1.306,667 kN/m w2 = 1.960 kN/m d = 21,1 mm
70
1.110. O pino está submetido a cisalhamento duplo, visto que é usado para interligar os três elos. Devido
ao desgaste, a carga é distribuída nas partes superior e inferior do pino como mostra o diagrama de corpo
livre. Determine a carga máxima P que o acoplamento pode suportar se a tensão de cisalhamento
admissível para o material for τadm = 56 MPa e o diâmetro do pino for 12,5 mm. Determine também as
intensidades das cargas w1 e w2.
Resolução
0,0375w1 = P 0,0125w2 = 0,5P adm =
P = 13,74 kN
w1 = 26,667P w2 = 40P w2 = 549,78 kN/m
1.111. A chaveta é usada para manter as duas hastes juntas. Determine a menor espessura t da chaveta
e o menor diâmetro d das hastes. Todas as partes são feitas de aço com tensão de ruptura por tração σrup
= 500 MPa e tensão de ruptura por cisalhamento τrup = 375 MPa. Use um fator de segurança (FS)t = 2,50
em tração e (FS)c = 1,75 em cisalhamento.
Resolução
σrup =
d =
= 13,8 mm adm =
t = 7 mm
71
PROBLEMAS DE REVISÃO
*1.112. O parafuso longo passa pela chapa de 30 mm de espessura. Se a força na haste do parafuso for
8 kN, determine a tensão normal média na haste, a tensão de cisalhamento média ao longo da área
cilíndrica da chapa definida pelas linhas de corte a-a e a tensão de cisalhamento média na cabeça do
parafuso ao longo da área cilíndrica definida pelas linhas de corte b-b.
Resolução
A =
dparafuso² méd =
= 208 MPa
méd)a =
= 4,72 MPa méd)b =
= 45, MPa
1.113. A sapata de apoio consiste em um bloco de alumínio de 150 mm por 150 mm que suporta uma
carga de compressão de 6 kN. Determine a tensão normal média e a tensão de cisalhamento média que
agem no plano que passa pela seção a-a. Mostre os resultados em um elemento de volume infinitesimal
localizado no plano.
Resolução
Va-a – 6cos(60°) = 0 Na-a – 6sen(60°) = 0
Va-a = 3 kN Na-a = 5,196 kN
A =
a-a =
= 315,5 kPa a-a =
= 200 kPa
72
1.114. Determine as cargas internas resultantes que agem nas seções transversais que passam pelos
pontos D e E da estrutura.
Resolução
-0,9sen(θ)FBC – 6 x 1,2 = 0 Ax – FBCcos(θ) = 0 Ay – 6 – FBCsen(θ) = 0
FBC = - 10 kN Ax = 6 kN Ay = 2 kN
Ax + Cx = 0 Cy + Ay – 6 = 0
Cx = 6 kN Cy = 8 kN
Ponto D
ND – 6 = 0 - 2 – 1,125 – VD = 0 MD + 2 x 0,45 + 1,125 x 0,225 = 0
ND = 6 kN VD = 3,13 kN MD = - 1,153 kN.m
Ponto E
NE = - 10 kN VE = 0 kN ME = 0 kN.m
73
1.115. O punção circular B exerce uma força de 2 kN na parte superior da chapa A. Determine a tensão
de cisalhamento média na chapa provocada por essa carga.
Resolução
méd =
= 79,6 MPa
*1.116. O cabo tem peso específico (peso/volume) e área de seção transversal A. Se a flecha s for
pequena, de modo que o comprimento do cabo seja aproximadamente L e seu peso possa ser distribuído
uniformemente ao longo do eixo horizontal, determine a tensão normal média no cabo em seu ponto mais
baixo C.
Resolução
w =
méd =
=
Ts -
= 0
T =
74
1.117. A viga AB é suportada por um pino em A e também por um cabo BC. Um cabo separado CG é
usado para manter a estrutura na posição vertical. Se AB pesar 2 kN/m e o peso da coluna FC for 3 kN/m,
determine as cargas internas resultantes que agem nas seções transversais localizadas nos pontos D e E.
Despreze a espessura da viga e da coluna nos cálculos.
Resolução
3,5TBCsen(θ) – 7,2 x 1,8 = 0 Ax – TBCcos(θ) = 0 Ay + TBCsen(θ) – 7,2 = 0
TBC = 11,3842 kN Ax = 10,8 kN Ay = 3,6 kN
Ponto D
-ND – TBCcos(θ) = 0 VD + TBCsen(θ) – 3,6= 0 - MD – 3,6 x 0,9 + 1,8TBCsen(θ) = 0
ND = 10,8 kN VD = 0 kN MD = 3,24 kN.m
Ponto E
VE + 2,7 = 0 NE + 25,2 – 3,6 = 0 ME + 2,7 x 1,2 = 0
VE = 2,7 kN NE = 21,6 kN ME = - 3,24 kN.m
75
1.118. O tubo de concreto de 3 kg está suspenso por três cabos. Se os diâmetros de BD e CD forem 10
mm e AD tiver diâmetro de 7 mm, determine a tensão normal média em cada cabo.
Resolução
TAD = (TADcosθ x cos60°) i + ( - TADcosθ x cos30°) j + (TADsenθ) k
TBD = ( - TBDcosθ) i + (TBDcosθ x cos90°) j + (TBDsenθ) k TAD = TBD = TCD T = 10,968 kN
TCD = (TCDcosθ x cos60°) i + (TCDcosθ x cos30°) j + (TCDsenθ) k
W = - 29,43 MN k
CD = BD =
= 140 MPa AD =
= 285 MPa
1.119. O acoplamento de gancho e haste está sujeito a uma força de tração de 5 kN. Determine a tensão
normal média em cada haste e a tensão de cisalhamento média no pino A entre os elementos.
Resolução
30 =
= 7,07 MPa 40 =
= 3,98 MPa méd =
= 5,09 MPa