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112
23.
Empleando transformación de fuentes reducir el circuito a una sola malla. Para
esta malla hallar abV
Solución:
I, II zonas para la aplicación de la transformación de fuentes con el objetivode simplificar el circuito.
Simplificando resistencias en paralelo:
2 Ω
6 Ω
24 V
8 Ω
2 Ω 2 Ω
2 Ω 10 V3 A
a(+)
b(-)
2 Ω
6 Ω
24 V
8 Ω
2 Ω 2 Ω
2 Ω 10 V3 A
a(+)
b(-)
2 Ω
8 Ω 8 Ω 2 Ω 2 Ω 5 A3 A24/8 A
a(+)
b(-)
I II
-
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113
Sumando y realizando de nuevo transformación de fuentes.
donde:
7 5 0
5A
7
I
I
+ =+ =+ =+ =
= −= −= −= −
5 3 0
2.85 V
ab
ab
V I
V
− − =− − =− − =− − =
====
24.
Halle el equivalente Thevenin entre los terminales a y b del siguiente circuito.
Solución:
a(+)
b(-)
4 Ω 1 Ω 5 A3 A3 A
5 Ω
a(+)
b(-)
4 Ω
2 Ω1 Ω
5 V I
1 Ω
28 I 10.1V 20 Ω12 V
a(+)
b(-)
2 I
+
_
1V
A B
2 Ω
10 Ω
-
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Aplicando transformación de fuentes en A y simplificando se obtienen lossiguientes circuitos.
para hallar el equivalente Thevenin se sigue el siguiente procedimiento:
a) Hallar el ocV entre los terminales a y b aplicando el análisis de malla.
th ab ocV V V = == == == = , es el voltaje del resistor de 20 Ω.
120 0.1th ab ocV V V V = = = ×= = = ×= = = ×= = = ×
(A)
recorriendo la malla II observamos que2 10.1 I V ==== , donde:
1 110V I ==== , por lo que:
2 Ω10 Ω12 A 1 Ω10.1V
2 I
a(+)
b(-)
20 Ω24 I
+
_
1V
a(+)
b(-)
20 Ω10.1V 10 Ω
+
_
1V 2/3 Ω2
4 12 A++++ I
2 I
2
88
3 I ++++
2/3 Ω
+
_
1V 10 Ω 10.1V 20 Ω
a(+)
b(-)
2 I 2 I
1 I
III
2 1
2 1
2 1
8 328
3 3
8 32 24
4 3
I I
I I
I I
− + =− + =− + =− + =
− + =− + =− + =− + =
− + =− + =− + =− + =
-
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El circuito queda abierto porque en el circuito original en los terminales a y b noexiste carga.
25. Para el circuito de la figura encuentre el equivalente Thevenin y Nortonentre las terminales a y b.
Solución:
Se simplifica el circuito, realizando transformación ∆ -Y.
En el circuito simplificado se halla oc th abV V V = == == == = , suprimiendo el resistor de 2
Ω, que está entre los terminales a y b.
a(+)
b(-)
9 Ω
9 Ω 9 Ω 1.5 Ω
2 Ω
9 V
18 V
xi
3 xi
a(+)
b(-)
3 Ω 3 Ω 1.5 Ω
2 Ω
9 V
18 V
xi
3 xi
3 Ω
a(+)
b(-)
3 Ω 4.5 Ω
2 Ω
9 V
18 V
3 xi
3 Ω
-
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0 A x I ==== , luego 3 0 A x I ==== , como 3 x I es la magnitud de la fuente de voltaje
dependiente esto implica que el voltaje entregado por esta fuente es cero, esdecir se comporta como un corto circuito, el circuito resultante es:
3 9
183 A
6
9 9 18 V
ab oc th
ab
V I V V
I
V
= + = == + = == + = == + = =
= == == == =
= + == + == + == + =
Corriente de corto circuito, ac I
Este circuito resulta al reemplazar el resistor de 2 Ω por un corto circuito yhallando la corriente, aplicando el análisis de nodos.
1 2 0 sc I I I + + =
18 90
3 3 4.5
V V V − ++ + =
Efectuando:
4.5 VV =
3 A sc I =
a(+)
b(-)
3 Ω 4.5 Ω
9 V
18 V 3 Ω I
a(+)
b(-)
3 Ω 4.5 Ω
9 V
18 V3 xi
3 Ω
sc I
2 I
1 I V
-
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6th R = Ω
El circuito equivalente thevenin obtenido es:
El circuito equivalente Norton es:
26. Encuentre el circuito equivalente de Thevenin entre las terminales a y b para elcircuito de la figura.
Solución:
Se simplifica el circuito utilizando transformación de fuentes, estatransformación se realiza solamente en la zona B del circuito, en la zona A no
se realiza ninguna transformación para no perder y I que incide en la fuente
de voltaje dependiente.
18 V 2 Ω
6 Ωa(+)
b(-)
2 Ω6 Ω3 A
a(+)
b(-)
1 Ω 10 Ω 10 V
4 Ω5 A
a
b
2 Ω2 y I
y I
BA
-
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Hallar ocV : por el método de corrientes de malla.
( )10 2 0oc th ab
ab b a b
V V V
V I I I
= =
− − + − =
2 12a b ab I I V − = , o tambien : 10 20 4 0ab bV I − − + + =
El circuito abierto origina dos mallas:
Malla 1:(1)
donde: y a b I I I = −
reemplazando I en (1), se tiene:
(2)
Malla 2:(3)
Resolviendo (2) y (3) para b I :
sc I : se cortocircuitan los terminales a y b, formándose tres mallas. Aplicando
análisis de malla obtenemos las siguientes ecuaciones.
+
-
1 Ω 10 Ω10 V
4 Ω
5 A
2 y I
a
b2 Ω
y I
-
+
+
-
+ - + -
a I b I
3 2 2 0a b y I I I − + =
3 2 2 2 0
5 4 0a b a b
a b
I I I I
I I
− + − =
− =
2 16 10a b I I − + = −
25A
36
4 10
130 V18
b
ab b
ab
I
V I
V
−=
= +
=
-
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Malla 1:(1)
(2)
(2) en (1):(3)
Malla 2:(4)
Resolviendo (3) y (4), se obtiene:
Malla 3:
10 4 0c I + =
Circuito equivalente:
27. Para el siguiente circuito:a. Utilizando transformación de fuentes, reducir el circuito de la figura a un
circuito compuesto por una sola fuente y una resistencia.b. Hallar la potencia disipada por la resistencia de 10 Ω.
3 2 2 0a b y I I I − + =
y a b I I I = −
2 12 0a b I I − + =
0 A, 0 Ab a I I = =
5 4 0a b I I − =
10A
4
130/182.9
10 /4
sc c
th
I I
R
= − =
= = Ω
7.22V
2.9 Ωa(+)
b(-)
1 Ω 10 Ω10 V
2 y I 2 Ω
y I
-
+
+ - + -
a I b I
a
c I b
sc I
I II III
A B
C
20 V
4 Ω
-
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Solución:
a. Efectuando la transformación de fuentes señaladas en (1), (2) y (4), seobtiene el siguiente circuito:
Efectuando las reducciones de fuentes y de resistencias en (5) y (6) y aplicando denuevo transformación de fuentes.
2 Ω
2 Ω
20 V4 Ω 10 A2 Ω
10 Ω
2 Ω
5 Ω 30 V
10 A
4 A
1 3
2
4
4 Ω 5 A4 Ω 10 A
10 Ω
2 Ω
5 Ω
20 V
4 A
6
5
6 A2 Ω
10 A
5 A
10 Ω
2 Ω
5 Ω
20 V 1 Ω
-
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b. La potencia disipada por la resistencia de 10 Ω es:
2
2
10
3535 18 0 A
18
3510 37.809 W
18
P I
I I
P
= ×
− + = =
= × =
28. Hallar el equivalente de Thevenin para el circuito de la figura en los terminalesa y b. Los elementos pasivos son conductancias en mhos.
Solución:
Se halla ocV :
30 0
oc th ab
ab x
V V V
V V
= =
− − + =
5 V
10 Ω
2 Ω 5 Ω
20 V1 Ω
50 V
I
18 Ω 35 V
10 V
0.08
30 V0.04
0.0215 V
a (+)
b (-)
+ – xV
2 xV
-
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30ab xV V = − , pueden existir otras alternativas para hallar ocV .
0.02 0.04
0.02
15 10 0
15 2 0
ab
ab x
V V V
V V V
− − ± ± + =
− − ± + =
El signo será definido cuando se asuma una dirección de corriente sobre loselementos de 0.02 y 00.4.
Se aplica análisis de mallas.
La presencia del circuito abierto origina dos mallas, y transformando lasconductancias a resistencias:
(1)
(2)
2 1
1
2 1 1
2
25 25 2 10
12.5
25 25 25 10
25 10
x
x
I I V
V I
I I I
I
− + =
=
− + =
=
2
100.4 A
25 I = =
Reemplazando este valor en (1)
1
35 10 514 mA87.5
6.4295 V
30 6.4295 23.571 V
x
ab
I
V
V
+= =
=
= − =
Se halla sc
I : entre los terminales de ay b.
1 I 10 V
0.08
30 V0.04
0.02
15 V+ – x
V
2 xV
+ – + –
2 I
+
-
-
+
I II
( )1 287.5 25 35 I I − =
2 110 25 25 2 0 x I I V − + − + =
-
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130 0
0.08 a I − + =
30 0.08 2.4 Aa I = × =
1 1 115 10 00.02 0.04 0.04
b c I I − + + + − =
15 75 10 25 0b c I I − + + − =
75 25 5b c I I − =
(2)
( )1
10 2 00.04
c b x I I V − + − + =
( )25 2 10c b x I I V − + = 12.5 x aV I =
( )25 25 10c b a I I I − + =
( )5 5 2c b a I I I − + =
5 5 5 2c b a I I I − + =
(3)
(3)+ (2)
910 9 900 mA10
b b I I −= − = = −
Por lo tanto:
2.4 0.900 3.3 A sc I = + =
23.5717.1427
3.3
octh
sc
V R
I = = = Ω
Circuito equivalente Thevenin
a I
10 V
0.08
30 V
0.04
0.02
15 V+ – x
V
2 xV
+ – + –
c I
+
-
-
+
1 3
b I
a (+)
b (-)
sc I
2
15 5 1b c I I − =
sc a b I I I = −
5 5 2 12
5 5 10
b c
b c
I I
I I
− + = −
− + = −
-
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Circuito equivalente Thevenin El circuito equivalente Norton
29.
Encontrar la resistencia equivalente para el circuito de la figura entre losterminales a y b.
Solución:
Se halla ocV , haciendo la transformación de fuente en A
23.571 V
7.1427 Ωa(+)
b(-)
7.1427 Ω 3.3 A
a(+)
b(-)
3 Ω 2 V
5 xV
1 Ω
1 Ω 3 V
+ – xV
a(+)
b -
2 Ω 2 Ω
A
3 Ω 2 V
5 xV
1 Ω
1 Ω 3 V
+ – xV
a(+)
b -
2 Ω 2 Ω
A
2 I
-
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La fuente de 3 V independiza las mallas I y II.
Aplicando 0V =∑ en la malla II se tiene:2
2 2
3 3 2 0
13 1 3
I
I I
− + + =
= =
2
2
2 0
2
1 72 V
3 3
ab
ab th oc
ab
V I
V V V I
V
− + + =
= = = +
= + =
Para hallar sc I : se cortocircuitan los terminales a y b para el nuevo circuito y
se plantean tres mallas. Para el caso sólo se requiere trabajar con 2 I , e, 3 I ,
así:
(1)
(1) + (2):
22 3 I =
2 3
3 7A A
2 2 I I = =
3
7A
2 sc I I = =
7 / 3 2
7 / 2 3
octh
sc
V R
I = = = Ω
( )2 2 3
3 2
2 1 2 3 0
2
I I I
I I
+ − + − =
− =
3 Ω 2 V
5 xV
1 Ω
2 Ω 2 Ω
3 V
+ – xV
a(+)
b -
+ –
1 Ω
+ –+
-
-
+
sc I
3 I 2 I
1 I
-
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127
El circuito equivalente:
30.
Hallar el circuito equivalente Thevenin entre los terminales a y b.
Solución:
( ) ( )
( ) ( )
3 2 3 1
3 2 3 1
20 2 10 4 0
20 2 10 4
ab x x
ab x x
V k I I I I V V
V k I I I I V V
− − + − + − + + =
= − + − + − + +
Empleando el análisis de malla:Ecuación de restricción
Ecuación de restricción Luego:
1 15 A I = −
Aplicando la ley de voltajes de Kirchhoff en la malla recorrida por la corriente 3 I .
( ) ( )
( ) ( )
3 3 3
3 3 1 3 1
3 3 3
3
8 10 20 2 10 10 10 0
20 10 20 2 10 10 10 10 15
I I I I I
I
× − + × − + × − =
× = + × − + × −
3 8.501 A I = −
7/2 A 2/3 Ω
a(+)
b(-)
7/3 V
a(+)
b(-)
2/3 V
de THEVENIN de NORTON
10 KΩ 20 V
+ -
5 A 10 A
2 KΩ
- +
+ -
- +
+ -
3 I
2 I 1 I
5 KΩ+ -
4 xV
xV
8 KΩ
+ -
a(+)
b(-)
2 1 5 A I I − =
2 10 A I =
-
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128
Para hallar abV también se puede plantear suma de voltajes alrededor de la malla
exterior así :3 3
3 28 10 5 10 4 0ab x I V I V × + + × − = 3
2
5 10 x
V I = − ×
Reemplazando y resolviendo:
( ) ( ) ( )3 3 38 10 8.501 5 10 10 4 5 10 10 abV × − + × − − − × × − = − 318 kVabV =
Para hallar sc I : se cortocircuitan los terminales a y b, de nuevo se resuelve el
circuito por corrientes de malla.
Ecuación de restricción
Las corrientes 1 I , e 2 I permiten establecer una supermalla.
( ) ( )3 3 31 3 2 3 210 10 2 10 20 5 10 4 0 x I I I I I V × − + × − + + × − =
Ecuación de dependencia Para la malla 3:
3 3 3
1 2 310 10 2 10 20 10 20 I I I − × − × + × = −
Reorganizando el sistema se tiene:(1)
(2)
(3)
Resolviendo (1), (2) y (3) se tiene:
3
25 10 xV I = − ×
10 KΩ 20 V
+ -
5 A 10 A
2 KΩ
3 I
2 I 1 I
5 KΩ
4 xV
xV
8 KΩ
a(+)
b(-)
sc I
+ -
1 2 5 I I − + =
3 3 3
1 2 310 10 27 10 12 10 20 I I I × + × − × = −
3 3 3
1 2 310 10 2 10 20 10 20 I I I − × − × + × = −
2 1 5 I I − =
-
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129
2 0.67 A I =
2 10 10.67 A sc I I = + =
31829.8 k
10.67
octh
sc
V R
I = = = Ω
El circuito equivalente
31. Hallar el circuito equivalente Norton entre los terminales a y b (sobre el puente)del circuito de la figura.
Solución:
Como la carga entre a y b es el puente de resistencias, para hallar el voltaje de
circuito abierto ocV se obtiene el siguiente circuito:
318 kV
a(+)
b(-)
29.8 kΩ
a(+)
b(-)
6 Ω
2 Ω
4 Ω
3 Ω
6 Ω5 Ω
12 V
12 V
a(+)
b(-)
6 Ω
-
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130
( )6 0 12 0abV − + + =
12 VabV =
sc I : Corriente de corto circuito, la carga a y b se reemplaza por un corto circuito.
122 A
6 sc I = =
6th N R R= = Ω
El circuito equivalente de Norton.
32. Hallar el equivalente Norton entre los terminales a y b del circuito de la figura.
12 V
a(+)
b(-)
6 Ω
sc I
12 A 6 Ω
a(+)
b(-)
6 Ω
3 Ω 2 Ω
5 Ω
4 Ω
a(+)
b(-)
6 Ω
2 Ω
4 Ω
3 Ω
6 Ω5 Ω
12 V
I + –
-
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Nota: entre a y b no existe carga.
Solución:
HallarocV
:
6 12 0
6 12
ab
ab
V I
V I
− − + =− − + =− − + =− − + =
= −= −= −= −
Es necesario hallar solo I, por lo tanto se simplifica el circuito haciendo unatransformación ∆-Y.
a(+)
b(-)
6 Ω
8/9 Ω
2/3 Ω
6 Ω5 Ω
12 V
I + –
4/3 Ω
a(+)
b(-)
6 Ω
53/9 Ω
2/3 Ω
12 V
I + –
22/3 Ω
a(+)
b(-)
0.666 Ω
12 V
6 Ω
I
3.266 Ω
CIRCUITO A
-
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121.208 A
9.932 I = == == == =
(((( ))))6 1.208 12 4.74 VabV = − = −= − = −= − = −= − = −
sc I : Se cortocircuitan los terminales a y b del circuito A.
122 A
6 sc I = =
4.752.375
2th R = = Ω
El equivalente Norton:
33. Aplicando el teorema de Thevenin entre los terminales a y b, hallar la potencia
disipada en la resistencia 1 y R = Ω= Ω= Ω= Ω .
4.74 VthV = − == − == − == − = 4.74 VthV ====
12 V
a(+)
b(-)
6 Ω
3.932 Ω sc I
2 A 2.375 Ω
a(+)
b(-)
-
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Solución:
Aplicando la transformación ∆ - Y:
2 2 2 4 2 4
8 8 8
0.5 1 1
a b c
a b c
R R R
R R R
× × ×× × ×× × ×× × ×= = == = == = == = =
= Ω = Ω = Ω= Ω = Ω = Ω= Ω = Ω = Ω= Ω = Ω = Ω
La transformación de la fuente de corriente y resistencia en paralelo.
Incorporando ambas transformaciones obtenemos el siguiente circuito para hallar
oc th abV V V = == == == = .
5 A
2 Ω
1 Ω
4 Ω 2 Ω 3 V
2 Ω
6 x I
1 Ω
1 y R = Ω
1 Ω
x I
a(+)
b(-)
2 Ω
2 Ω 4 Ω
a R b R
c R
2 Ω
a(+)
b(-)
x I
x I
1 Ω
1 Ω 6 x I
1 Ω
2 Ω
0.5 Ω
5 V
+
-
-
+
- +
+ -
5 A 1 Ω 5 V
1 Ω
⇔⇔⇔⇔
-
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(((( )))) (((( ))))1 0 2 6 2 0 0ab x xV I I − + − − + =− + − − + =− + − − + =− + − − + =
(A)
Para hallar x I se recorre la malla I:
6 2 5 2.5 0 x x x I I I − − + − =− − + − =− − + − =− − + − =
10.5 5 x I − = −− = −− = −− = −
5476.19 mA
10.5 x I
−−−−= == == == =
−−−−
Para hallarabV en A:
8 3.809 Vab oc xV V I = = − == = − == = − == = − =
Hallar sc I cortocircuitando las terminales a y b.
Malla 1:
(1)
x a I I = −= −= −= −
Malla 2:
(2)
Resolviendo (1) y (2) parab
I :
1.09 Ab sc I I = = −= = −= = −= = −
3.803.5
1.09
oc
th
sc
V R
I
−−−−= = = Ω= = = Ω= = = Ω= = = Ω
−−−−
a(+)
b(-)
a I
x I
1 Ω
1 Ω 6 x I
3 Ω
2 Ω
0.5 Ω
5 V
-
+
+
-
+ -
- +
-
+
+ -
b I sc I
2 6ab oc t h x xV V V I I = = = − −= = = − −= = = − −= = = − −
92 6 5 0
2 a b x I I I − − + =− − + =− − + =− − + =
5 2 6 0b a a
I I I − − =− − =− − =− − =
-
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24/48
135
Circuito equivalente Thevenin:
Potencia disipada por y R :
2 1
4.5 3 3.8 0
0.17 A
0.032 W
P I
I
I
P
= ×= ×= ×= ×
− + =− + =− + =− + =
= −= −= −= −
====
34. Hallar el equivalente Thevenin entre los terminales a y b.
Solución:
Aplicando la técnica de voltajes de nodo para hallaroc
V :
3
3
0ab x
ab x
V V V
V V V
− + + =− + + =− + + =− + + =
= += += += +
(1)
(2)
I ∑∑∑∑ en el nodo 2V :
(3)
Resolviendo para 2V , (2) y (1) en (3):
10 A4 Ω
5 Ω 5 Ω
3 Ω 10 V x
V
xV
a (+)
b (-)
+ – y I
1V 2V 3V
2 3 xV V V = −= −= −= −
3 10 VV ====
3 21 2 10 05 5
V V V V −−−−−−−−+ + =+ + =+ + =+ + =
3.8 V
3.5 Ω
3 V
1 Ω
-
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25/48
136
2 2 210 1010 05 5
V V V − − −− − −− − −− − −+ + =+ + =+ + =+ + =
250 VV ====
2 50 Vab ocV V V = = == = == = == = =
Hallando la corriente de corto circuito.
1
10
3 I ==== por estar en paralelo con la fuente de 10 V,
22 A I ====
2 5 10 V xV I = × == × == × == × =
4
102.5 A
4 4
xV I = = == = == = == = =
recorriendo la malla externa:
55 10 0
x xV I V − + + + =− + + + =− + + + =− + + + =
5
102 A
5 I = − = −= − = −= − = −= − = −
En el nodo B:
5 2
5 2
10 0
10
2 10 2 6 A
sc
sc
sc
I I I
I I I
I
+ − − =+ − − =+ − − =+ − − =
= + −= + −= + −= + −
= − + − == − + − == − + − == − + − =
50 25
6 3
octh
sc
V R
I = = = Ω= = = Ω= = = Ω= = = Ω
10 A4 Ω
5 Ω 5 Ω
3 Ω 10 V x
V
xV
a (+)
b (-)
4 I
5 I 2 I
sc I
1 I + –
B
2
10
5 I ====
-
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137
Como entre los terminales a y b no existe carga el circuito queda abierto.
35. Hallar yV en el circuito de la figura.
Solución:
Como en el circuito tiene cuatro fuentes independientes este puede descomponerseen varios circuitos componentes agrupando fuentes: 2 y 2, 3 y 1, o cada fuente
independiente actuando sola. En cualquier caso para las fuentes que no actúan sehace cero su voltaje o su corriente.
a) Solución 1: para ilustrar el procedimiento se agrupar las fuentes de corrienteen un circuito componente y las fuentes de voltaje en otro. En el primer caso lasfuentes de corriente se hacen cero abriendo terminales y en el segundo caso sehacen cero las fuentes de voltaje lo cual equivale a cortocircuitarlas.
Circuito 1:
0 I ====
0 I ====
4 Ω
5 Ω
1 Ω
10 V 15 V
+
-
1 y
V + –
1 y I
5 A
+
-
10 V
1 Ω
10 A
5 Ω
15 V
4 Ω
+ –V
50 V
25/3 Ω
-
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138
Circuito 2:
b) Solución2: resolviendo el circuito por descomposición en cuatro circuitoscomponentes se tiene:
1
1
1
10 15 10 0
0.5 A
V 2.5 V
y
y
y
I
I
+ − =+ − =+ − =+ − =
= −= −= −= −
= −= −= −= −
2
2
2 2
2
10 10 25 0
3.5 A
V 5 25
V 7.5 V
y
y
y y
y
I
I
I
− − =− − =− − =− − =
====
= −= −= −= −
= −= −= −= −
1 1 10 V y y yV V V = + = −= + = −= + = −= + = −
4 Ω
5 Ω
1 Ω+ –
0V ====0V ====
2 yV
2 y I
a I
b I
5 A
10 A
10 V
+ –5Ω
5 Ω
25 V
2 y I
2 yV
10 V
1 Ω
5 Ω
0 I ====
0 I ==== 0V ====
1 I
4 Ω
+
-
1V + -
-
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139
1 1
1 1 1
10 10 1 A
5 5 V
I I
V I V
= == == == =
= × Ω == × Ω == × Ω == × Ω =
2 2
2
10 15 0 1.5 A
7.5 V
I I
V
+ = = −+ = = −+ = = −+ = = −
= −= −= −= −
1 1 2 2.5 V yV V V = + = −= + = −= + = −= + = −
9
10
b a
a b
I I
I I
====
= += += += +
3
9 A 1 A
5 V
a b I I
V
= == == == =
====
0 I ====
2V
+ -
2 I
10 V0V ==== 0 I ====
5 Ω
4 Ω
1 Ω
0 I ====
+ -3
V
0V ==== 0V ====
4 Ω
5 Ω
1 Ω
10 A
b I a I
4V
10 A
+ -
0 I ==== 0V ====0V ====
2.5 A
2.5 A
5 Ω
4 Ω
1 Ω
-
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29/48
140
4
2 3 4
2.5 5 12.5 V
7.5 V y
V
V V V
= − × = −= − × = −= − × = −= − × = −
= + = −= + = −= + = −= + = −
1 2 1 2 3 4 10 V y y yV V V V V V V = + = + + + = −= + = + + + = −= + = + + + = −= + = + + + = −
36. Hallar yV aplicando el principio de superposición.
Solución:
Cada circuito componente debe contener la fuente dependiente. Los siguientes sonlos circuitos componentes:
10 3 A y a bi V I I = + == + == + == + =∑∑∑∑ 20 3 A y c d i V I I = + == + == + == + =∑∑∑∑ luego: 9 b a b I I I + =+ =+ =+ = (1) luego: 9 d c d I I I + =+ =+ =+ = (1)
0
5 3 15a b
v
I I
====
+ =+ =+ =+ =
∑∑∑∑ (2)
0
5 3 10c d
v
I I
====
+ = −+ = −+ = −+ = −
∑∑∑∑ (2)
resolviendo (1) y (2): resolviendo (1) y (2):
1
15A
37
45V
37
b
y
I
V
= −= −= −= −
= −= −= −= −
1
10A
37
30V
37
d
y
I
V
====
====
5 Ω 3 Ω
15 V
+ -Y
V
3 Y V 10 V
+
-
15 V
5 Ω 3 Ω
+ -1
V
13V 0V ====
a I b I
A
+ -
5 Ω
10 V+
-
3 Ω
2V
13
yV 0V ====
c I d I
A
-
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30/48
141
1 2
15V
37 y y yV V V = + = −= + = −= + = −= + = −
Comprobando por solución del circuito total:
1 1 20 3 A yi V I I = + == + == + == + =∑∑∑∑
1 20 5 3 10 15 0v I I = + + − == + + − == + + − == + + − =∑∑∑∑
23 yV I ====
resolviendo:2
5 15A V
37 37 y I V = − = −= − = −= − = −= − = −
37. Hallar abV , en el circuito de la figura aplicando el principio de superposición.
Solución:
Es necesario tener en cuenta: las fuentes independientes de voltaje se hacen cero,cortocircuitando sus terminales; las fuentes independientes de corriente se hacencero abriendo sus terminales, permaneciendo las fuentes dependientes.
5 Ω 3 Ω
15 V
+ -Y V
3 Y V 10 V
+
-
1 I
2 I A
2 Ω 6 Ω
5 I 10 A 10 V
5 A3 Ω
5 Ω 5 Ω
20 V+ –
a
b
y I
-
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142
a. Solución 1: se agrupan las fuentes de voltaje en un circuito y se hacencero las fuentes de corriente abriendo sus terminales.
Cada fuente de corriente establece una ecuación de restricción.
(1)
(2)
(3)
Suma de voltajes alrededor de la mala exterior:
(4)
Reemplazando en (4) en términos dec I en (1), (2) y (3), se tiene:
(((( )))) (((( ))))2 5 6 5 10 25c c c I I I − + + + =− + + + =− + + + =− + + + =
despejando5
A18
c I ====
Suma de voltajes incluyendo 1abV :
1
1
5 15 0295
V18
ab c
ab
V I
V
+ + =+ + =+ + =+ + =
= −= −= −= −
En el otro circuito se agrupan las fuentes de corriente y se hacen cero las fuentesde voltaje cortocircuitando sus terminales. En ambos circuitos permanece la fuentedependiente.
2 Ω 6 Ω
15
y I 10 A
5 A3 Ω
5 Ω 5 Ω a
b
a I b I
c I
15 A
y I ====
0V ====
0V ====
5b c I I − =− =− =− =
10b a I I − =− =− =− =
5c a I I − =− =− =− =
2 6 10 5 0a b c y I I I I + + + =+ + + =+ + + =+ + + =
-
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32/48
143
Circuito 2:
Aplicando la ley de voltajes de Kirchhoff en la malla exterior, se tiene:
2
2
18 20 20 5 0
0 A 0 A
a y
y a
I I
I I
+ − − =+ − − =+ − − =+ − − =
= == == == =
2 20 VabV ====
1 2
29520
18ab ab abV V V = + = − += + = − += + = − += + = − +
65 V18
abV ====
b. Solución 2: El circuito original es equivalente a la suma de 4 circuitoscomponentes, en cada uno de los cuáles está la fuente dependiente y actúa cadavez una sola fuente independiente.
Circuito 1:
De la figura1 0 y I ==== , luego la fuente 15 0 y I ==== .
0 I 0 I ====
5 Ω
20 V
0 I ====
20 V
5 Ω
3 Ω
2 Ω 6 Ω
25
y I
a
b
+ –
2 y I
0V ====
0 I ====
0 I ====1 I
6 Ω
5 Ω 5 Ω
3 Ω
2 Ω
15 I
1 0 y I ====
20 V
a
b
-
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33/48
144
Aplicando la ley de voltajes de Kirchhoff se tiene:
1
1
20 18 0
20A
18
I
I
+ =+ =+ =+ =
= −= −= −= −
1 1
1
5
100V
18
ab
ab
V I
V
= −= −= −= −
====
Circuito 2:
Aplicando la ley de voltajes de Kirchhoff se tiene:
2
2
18 20 0
20A
18
I
I
− =− =− =− =
====
2 2
2
20 5 0
5 20 26020 V
18 18
ab
ab
V I
V
− + =− + =− + =− + =
××××= − == − == − == − =
Circuito 3:
Resolviendo por corrientes de malla:
20 V
a
b
0 I ====
0 I ====
0V ====2 I
20
y I ====
6 Ω 2 Ω
3 Ω
5 Ω 5 Ω
+ –
25
y I
b I
a I
2 Ω 6 Ω
2 Ω
5 Ω 5 Ω
0V ====
0V ====
a
b
10 A3
5 y
I
3 I
-
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34/48
145
3 10 A
10
y
b a
I
I I
====
− =− =− =− =
de donde 10a b I I = −= −= −= −
Aplicando la ley de voltajes de Kirchhoff alrededor de la malla exterior:
(((( ))))
316 5 2 0
16 2 10 50
b y a
b b
I I I
I I
− + =− + =− + =− + =
+ − =+ − =+ − =+ − =
70A
18b I ====
Para hallar3abV :
3 3
3
5 3 0
70 8905 3 10 V
18 18
ab b y
ab
V I I
V
+ + =+ + =+ + =+ + =
= − × − × = −= − × − × = −= − × − × = −= − × − × = −
Circuito 4:
A continuación se abstraerán las ecuaciones correspondientes:
4 5 A5
5
y
a b
a b
I I I
I I
= −= −= −= −− =− =− =− =
= += += += +
Aplicando la ley de voltajes de Kirchhoff en la malla exterior:
(((( )))) (((( ))))
48 10 5 0
8 5 10 5 5 0
a b y
b b
I I I
I I
+ − =+ − =+ − =+ − =
+ + − − =+ + − − =+ + − − =+ + − − =
a I
3 Ω
2 Ω 6 Ω
5 Ω 5 Ω
0V ====
0V ====
b I
a
b
4 y I
45 y I
5 A
-
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35/48
146
despejandob I ,
65A
18b I = −= −= −= −
para hallar4abV :
4 4
4
5 3 0
65 5955 3 5 V
18 18
ab b y
ab
V I I
V
+ + =+ + =+ + =+ + =
+ × − − × =+ × − − × =+ × − − × =+ × − − × =
La respuesta total es igual a la suma de las respuestas componentes así:
(((( ))))1 2 3 4
890100 260 595 65V
18 18 18 18 18
ab ab ab ab ab
ab
V V V V V
V
= + + += + + += + + += + + +
−−−−= + + + == + + + == + + + == + + + =
65V
18abV ====
c. Solución 3: Para el circuito original, con todas las fuentes actuando.
5 5
5 A
b c b c
y
I I I I
I
− = = +− = = +− = = +− = = +
====
c a y I I I − =− =− =− = Ecuación de restricción
10b a I I − =− =− =− = Ecuación de restricción
Suma de voltajes alrededor de la malla externa:
5 2 6 20 5 10 y a b c I I I I − + + + + =− + + + + =− + + + + =− + + + + =
2 Ω 6 Ω
5 y
I 10 A 10 V
5 A3 Ω
5 Ω 5 Ω
20 V
+ –
a
b
c I
b I a I
y I
-
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-
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37/48
148
1
1
1 1
1
1
0
10 0
1 1 0
5 A
y x
y x
y x
y
V
I I
I I V
I I I
====
+ + =+ + =+ + =+ + =
× − × − =× − × − =× − × − =× − × − =
===== −= −= −= −
Circuito 2:
2 2
2
1 2
10 2
5 A
5 5 0 A
y
y
y y y
V I
I
I I I
= == == == =
====
= + = − + == + = − + == + = − + == + = − + =
b.
Solución 2: para el circuito original, actuando todas las fuentes.
0 10 V
10 0
10 A
y x
y x
V
I I
I I
====
+ + =+ + =+ + =+ + =
+ = −+ = −+ = −+ = −
1 Ω 1 Ω
1 Ω
2V
2V 2 Ω 2 Ω 10 V0 I ====
2 I
+
-
I
1 Ω 1 Ω
1 Ω 10 A
0V
0V 2 Ω 2 Ω 10 V
x I
0 I ====
+
-
-
+
-
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149
10 A
0 A
x
y
I
I
= −= −= −= −
====
39. Aplicando el principio de superposición hallar xV .
Solución:
a. Solución 1: Teniendo en cuenta que el circuito tiene una fuentedependiente, el principio de superposición se aplica construyendo doscircuitos componentes, cada uno de ellos incluye una de las fuentesindependientes y la fuente dependiente.
En el circuito 1 se ha hecho 0 voltios la fuente de voltaje cortocircuitandosus terminales. En el circuito 2 se ha hecho 0 amperios la fuente de
corriente abriendo sus terminales.
La respuesta solicitada será:
1 2 x x xV V V = += += += +
Circuito 1:
Por transformación de fuentes:
0V ====
1 A400
xV
600 Ω
400 Ω
200 Ω
5 mA
500 Ω
+ - 1 xV
+ -
500 Ω
400 Ω
600 Ω 200 Ω
xV
A400
xV
5 mA
4 V
+
-
-
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150
15 mA, 500 y , 400400
xV Ω ΩΩ ΩΩ ΩΩ Ω , se reduce el circuito a una sola malla y para ésta se
plantea suma de voltajes alrededor de la malla igual a cero.
(((( )))) 1 1200 600 400 500 2.5 0 x I V + + + − + =+ + + − + =+ + + − + =+ + + − + =
Donde1 1200 xV I ==== , por sustitución:
1 11.66 mA 0.332 V x I V = − = −= − = −= − = −= − = −
Circuito 2:
Planteando dos ecuaciones de malla se tiene:
(1)
(2)
(3)(2) y (3) en (1)
2 2
2
1700 400 4200 400
0.53 V
x x
x
V V
V
− = −− = −− = −− = −
= −= −= −= −
Sumando todas las respuestas componentes:
3 I
2 I
500 Ω
400 Ω
600 Ω
200 Ω
2 xV
1 xV 600 Ω
200 Ω
2 I
500 Ω 400 Ω 2.5 V
2 A400
xV
400400
xV ××××
+ -
+ -
4 V
+
-
0 I ====
2 31700 400 4 0 I I − + =− + =− + =− + =
2
3 400
xV
I ====
2 2200 xV I ====
-
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152
Solución:
a. Solución 1: el circuito es equivalente a la suma de dos circuitoscomponentes, cada uno de ellos contiene una fuente independiente y unafuente dependiente.
La fuente dependiente de voltaje se hace cero, cortocircuitando susterminales y la fuente de corriente se hace cero abriendo sus terminales.
Circuito 1:
Al existir un circuito abierto la corriente que circula por la resistencia de 4 Ω es
cero, luego,1 0 V yV ==== y por lo tanto la fuente dependiente de corriente se hace cero
y sus terminales quedan en circuito abierto así:
La corriente en la resistencia de 2 Ω es igualmente cero, luego, 1 20 VV ==== . El voltaje
de la fuente aparece aplicado sobre los terminales de1V .
14 0
yV ==== 2 Ω
0 I ====
1V
+ -3 Ω
2 Ω 20 V
10
yV ====
+
-
3 Ω
4 Ω
2 Ω 2 Ω 20 V1
4V
1V
+ -
+ -0 I ====
1V
+
-
2 Ω 2 Ω 20 V 4V
4 y
V
4 Ω
V
+
-
+ -
+ -
20 A
3 Ω
-
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Circuito 2:
Al cortocircuitar la fuente de voltaje se hacen cero la corriente y el voltaje en laresistencia de 5 Ω.
La fuente de la corriente de 2 A produce una caída de voltaje2 8 V yV = −= −= −= − .
Luego, la caída de voltaje en la resistencia de 2 Ω es:
(((( ))))22 4 2 2 x y I V = − ×= − ×= − ×= − ×
y la suma de voltajes alrededor de la malla será:
(((( ))))2 2 24 2 2 0 y yV V V + − × + =+ − × + =+ − × + =+ − × + =
Sustituyendo y despejando 2V se tiene:
2 76 VV ====
La respuesta total será:
1 2 20 76 96 VV V V = + = + == + = + == + = + == + = + =
b. Solución 2: para el circuito original, actuando todas las fuentes.
2 Aa I ==== Ecuación de restricción
3 Ω
2 A
4V
V
2 Ω 20 V
+
-
3 Ω
3 Ω
yV
+ -
+ -
b I
a I
3 Ω 2
V
+ -
2 Ω
4 Ω
2 Ω
- +
2 yV
(((( ))))24 2 yV −−−− x I
24
yV 0V ====
-
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4b y I V ==== Ecuación de restricción
4 aV I ==== Ecuación de dependencia
8 V yV ====
32 Ab I = −= −= −= −
Aplicando la ley de voltajes de Kirchhoff alrededor de la malla por donde fluyea I ,
se tiene:
2.6 EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
Para los circuitos de las figuras a y b hallar 1 2, I e I
a)
b)
2. En los circuitos de las figuras a, b y c hallar la corriente i y el voltaje v ,entodos los casos.
(((( ))))
(((( ))))
20 2
20 8 2 2 32 96 V
y a bV I I V
V
− + − =− + − =− + − =− + − =
= + + + == + + + == + + + == + + + =
10 Ω 10 Ω
100 V20 A50 V
1 I 1 I
50 A
100 V
1 I 2 I
50 A 5 Ω 3 Ω
10 Ω
-
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a)
b)
c)
3. Para los circuitos del problema anterior plantear las ecuaciones de malla y devoltajes de nodo (corrientes) para encontrar la corriente i y que se señala.
4. Entre los siguiente valores de R : 0.1 ,1 , 10 , 100 , 1K , 10K , 1MΩ Ω Ω Ω Ω Ω Ω ; Cuál es
el que hace que el circuito de la figura entregue la máxima cantidad depotencia a R .
10 Ω 10 Ω
10 Ω
10 Ω
50 V50 V
100 V
20 V
i
5 ( )v A
v+ –
20 Ω
100 V
100 V
20 Ω 20 Ω
4 ( )v A
v+ –
20 Ω 4i
100 V
10 Ω
10 Ω 20 A
i
20 Ω
5 ( )v A
v
+
_
20 A
-
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5. Hallar los circuitos equivalentes de Thevenin y Norton para los circuitos de lafigura a y b. En ambos casos la, R entre los terminales a y b es la resistencia
de carga L R
a)
b)
6. En los circuitos de la figura a, b y c, hallar la respuesta de corriente I ,aplicando el principio de superposición.
3 Ω
+
-
xV
10 Ω
5 Ω 2 Ω
2 Ω
10 x I
3 xV
x I
a b
5 Ω
2 Ω1 Ω
5 Ω
10 Ω05V
0V 250 V
2 Aa
b
+
-
2 Ω 2 Ω
R
2 Ω
5 A
5 Ω
1 Ω 125 V
10
x I
x I
-
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a)
b)
c)
7. Para el circuito de la figura, hallar la potencia de la fuente de 10 A , si:
0 R = Ω , 50 R = Ω , R → ∞ .Resolver aplicando tanto corrientes de mallas como de voltajes de nodo.
50 Ω
10 Ω
20 Ω
20 A
10 A
20 A
R
20 A 5 Ω
4 Ω
5 Ω
10 Ω10 Ω
10 y
V
yV
x I
10 x I
20 V
+ -
10 Ω4 Ω 5 Ω
5 Ω4 Ω 20 V
x I
20 x I
I
10 A
20 A 20 V 5 Ω
5 Ω10 Ω4 Ω
4 Ω
10 Ω
I
-
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10.
Hallar el equivalente de Thevelin entre los terminales a y b del circuito de lafigura, si la fuente es:
a. Una fuente de corriente de 20 mA
b. Una fuente de voltaje de 10 KV
c.
Una fuente de voltaje dependiente de corriente de valor 4 (V) xi d.
Una fuente de corriente dependiente de voltaje de valor 5 (A) yv
11.
Hallar el circuito equivalente para el transistor que se representa en la figuraentre los terminales a y b.
12. (superposición) En los circuitos de la figura hallar V aplicando el principio desuperposición.
10 KΩ
1 R
2 R1 2 K V 2 1 K I
1 I
2V
+
_
a
b
V
FUENTE
5 KΩ
4 KΩ
4 KΩ
10 KΩ
R
x I
a b
V
++++
−−−−
10 Ω
20 Ω 30 Ω
V
+
5 yV
10 Ω
20 Ω
20 Ω
20 Ω+