capítulo 3- campo magnético b1
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Fisica 3, autoinductanciaTRANSCRIPT
-
https://www.youtube.com/watch?v=QjKy_myFHx4 (Ley de Faraday)
La ley de Induccin es una ecuacin bsica fundamental que se puede deducir a
partir de experimentos muy simples.
Cuando se descubri que una corriente elctrica produca un campo magntico se
asumi que un campo magntico tambin poda hacer el efecto contrario, es decir
producir un campo elctrico. Sin embargo durante muchos aos no se logr probar
que ello era posible.
Se intent de todo, mover imanes, mover el alambre. Nada funcion.
Faraday descubri que lo que se necesitaba era que el flujo de campo magntico
variase en el tiempo.
Mientras el imn est acercndose, el ampermetro se desva, lo que pone
de manifiesto que est pasando una
corriente por la espira
Si mantenemos estacionario el imn, el ampermetro marca cero.
Si alejamos el imn el sentido de la corriente es opuesto
Si cambiamos los polos las desviaciones son al contrario.
Tambin se generan corrientes si se fija el imn y se mueve la espira
Lo que es importante es el movimiento relativo del imn y la Espira.
-
B. Al acercar dos bobinas, una conectada a un ampermetro y la otra a una fuente:
Lo importante es la rapidez con la cual cambia la corriente
y no la magnitud de la corriente
El mismo efecto que con el imn
Si se colocan en reposo una respecto de la otra, cuando se cierra
el interruptor S, se desva el
ampermetro momentneamente., lo
mismo ocurre cuando se abre el
circuito, pero la corriente en sentido
opuesto.
dt
dind
Ley de Faraday
-
LEY DE LENZ
La corriente que es inducida tendr un sentido, tal que
se opone al cambio que la produce
Si acercamos el imn, la espira
producir una corriente tal que
impida el acercamiento del imn,
para ello deber producir lneas de
campo como las mostradas , para
que los polos iguales se repelen.
La ley de Lenz es una consecuencia del
principio de la conservacin de la
energa.
El agente que hace que el imn se mueva, ya sea hacia la bobina o alejndose de
ella, siempre tendr que vencer una fuerza que se le oponga, por lo tanto tendr que
hacer un trabajo que es igual al calentamiento por el efecto Joule.
Si el circuito est abierto ordinariamente podemos pensar en funcin de lo que
ocurrira si estuviese cerrado y de esta manera podremos encontrar el sentido de la
fuerza electromotriz inducida.
-
El sentido de la corriente inducida es tal que se
opone al cambio de la causa que la produce.
Como se opone al cambio?
1) Si el flujo inducida producir un Bind de sentido opuesto al Bext
2) Si el flujo disminuye entonces la corriente inducida producir un Bind de
igual sentido al Bext
aumenta entonces la corriente
delucindis
laevitardetratariuyedisdt
d
delaumento
laevitardetratariaumentadt
d
ind
ind
min
min0
0
-
Otra forma de analizar el signo es desde el punto de vista del flujo magntico.
En el caso del imn y la espira, las corrientes se inducen en la espira tal que
tratan de impedir el aumento de FB, generando un campo magntico opuesto al
que produce el imn.
En el momento de cerrar el
interruptor, I1 empieza a crecer en
el sentido indicado. El flujo
variable en el circuito 2 induce una
corriente I2. El flujo debido a I2 se
opone al aumento de flujo debido a
I1
Qu sucede cuando se cierra el interruptor S?
Qu sucede cuando se abre el interruptor S?
Cuando se abre el interruptor la
corriente I1 disminuye y B
tambin. La corriente inducida I2
tiende a mantener el flujo del
circuito, oponindose al cambio.
-
FLUJO MAGNTICO
El flujo magntico Fm se define como el producto del campo magntico B y el
rea A limitada por el circuito:
BAm Fcos. BAAnBm F
Se define el flujo magntico como:
FS
AdBB
.
Unidad: 1Wb=1 T.m2
-
La Fuerza electromotriz inducida en un circuito es igual al valor
negativo de la rapidez con la cual est cambiando el flujo magntico
que atraviesa el circuito
dt
d B
Si tenemos una bobina de N vueltas, aparece una fem en cada vuelta, entonces:
dt
Bd
N
LEY DE INDUCCIN DE FARADAY
:volt
El signo (-) nos indca el sentido de la fem y se explica con la ley de Lenz.
La ley de Faraday nos dice que podemos inducir una fem variando el flujo
magntico, ya sea cambiando el rea de un circuito, variando el valor del
campo magntico o la direccin relativa entre el rea y el campo magntico.
https://www.youtube.com/watch?v=Pl7KyVIJ1iE Anillo de tnompson
-
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
Galvanmetro balstico: Trasladamos el circuito a velocidad constante. Queremos
analizar el sentido de la corriente inducida en l para las siguientes situaciones:
a) Al ingresar a la regin
b) Cuando est totalmente inmersa
c) Al salir parcialmente
vo
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
+
-
- +
+
-
- +
Iind Bind
+
-
- + Iind
vo
vo
Bind
X
-
Flujo magntico a travs de una espira circular
Una espira rectangular de ancho a y longitud b se localiza a una distancia c de un
alambre largo que conduce una corriente I. El alambre es paralelo a lo largo de la
espira. Encuentre el flujo magntico a travs de la espira.
dA =b dr
F
c
caIbB ln
20
I
c a
b r
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
dr
FS
BdA
SAdB
B
.
Fac
c
bdrr
I
B
2
0
-
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
L
v
b
I
F2
F1
F3
Induccin (Estudio Cuantitativo)
En la figura se muestra una espira conductora rectangular que es desplazada hacia
la derecha con velocidad constante, uno de cuyos extremos est dentro de un
campo magntico B uniforme dirigido hacia el papel. Determine la fem inducida en
el circuito y la corriente, si la resistencia en la espira es R.
z
x
y
kBxjILF 3
iIBL
-
0F Fuerza de la
persona = F3
BIL3
F
Potencia BILvv3
F
Por conservacin de la energa el trabajo por unidad de tiempo realizado por la
persona se convierte en calor, entonces :
R2
IBILv R
BLvI
Mtodo I:
Mtodo II:
El flujo encerrado en la bobina es:
BLbB
F
dt
d B BLv
dt
dbBL IR
R
BLvI
I R
BLvI
-
Problema 1:
En la figura se muestra una varilla conductora de masa m, resistencia R, que
desliza a lo largo de dos conductores que estn unidos a una resistencia. Existe
tambin un campo magntico B uniforme dirigido hacia el papel. Hallar:
a) El sentido de la corriente inducida y dibuje el circuito equivalente.
b) Determine la magnitud de la fem inducida en el circuito y la corriente
inducida.
c) Hallar la fuerza magntica sobre la barra.
d) Cules la fuerza externa aplicada para que se mueva a V cte?
e) Calcular la potencia disipada en forma de calor por la barra (ley de Joule)
f) Verificar que es igual a la potencia mecnica entregada por la fuerza externa
a la barra.
-
dt
d B
dt
dxBl
dt
Blxd
Blv
R v
I
x x
x x
x x
x x
x x
l
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
B
F
-
Problema 2:
La riele tiene masa m y longitud l. Los rieles no ofrecen friccin y tienen
resistencia elctrica despreciable la masa M se suelta del reposo y la barra parte
de x=0.Hallar:
a) El sentido de la corriente inducida y dibuje el circuito equivalente.
b) Determine la magnitud de la fem inducida en el circuito y la corriente
inducida en funcin de la velocidad instntanea V(t)
c) Hallar la fuerza magntica sobre la barra.
d) Plantear la 2da ley de Newton sobre el sistema m y M (barra mas bloque) y
obtener una ecuacin diferencial para v(t)
e) Calcular la velocidad mxima del sistema cuando V(t)=Vmax (a=0 m/s2)
f) Calcular y graficar la velocidad instantnea de la barra (debemos resolver la
ecuacin diferencial)
Solucin:
a) La corriente inducida Iind: Sentido horario
b) Como el campo B es constante
B=cte
M
m
x
y z
horariaIdt
dLenzPor
tvlBdt
tdxlB
dt
d
txlBdsBdskkB
indB
tneainsvelocidad
ooB
ind
os
oS
oB
0
)()(
)(.
tan
-
I ind
R
tvlB
RtI o
ind
ind
)()(
d) Vmax es cuando la aceleracin es cero
e) Para hallar la velocidad instantnea debemos resolver la ecuacin diferencial:
N
FB T
mg Mg
T
)()()()()(
22
iR
tvlBkBjltItF ooindB
maFT B
maTMg
dt
dvMm
R
tvlBMg
aMmFMg
o
B
)()(
)(
22
c) Analizando a la barra y al bloque
22
0
22
)(
)()(
lB
MgRtv
dt
dvMm
R
tvlBMg
o
mx
mxo
dt
dv
lB
RMmtvMg
lB
R
dt
dvMm
R
tvlBMg
oo
o
2222
22
)()(
)()(
-
)1()(
)(
)(
)(
ln
)()(
)(
22
)(
2222
22
22
22
)(
0
22
0
22
22
22
tRMm
lB
o
tRMm
lB
oo
o
o
o
tV
o
to
o
o
elB
MgRtv
elB
MgRMg
lB
Rtv
tRMm
lB
MglB
R
MglB
Rtv
MglB
Rtv
dvdt
RMm
lB
-
I b c
a
)cos()ln(2
)cos()ln(2
)ln(2
)(
)ln(22
)(
ta
ba
R
cI
RI
ta
bacI
dt
d
a
bactsenI
a
baIccdx
x
IBds
tsenItI
ooind
ind
ooind
oo
o
a
oba
s
o
sB Bds
INDUCCIN EN UNA ESPIRA DE RESISTENCIA R CON UNA
CORRIENTE CAMBIANTE EN EL TIEMPO
-
Fem en movimiento Si repetimos el experimento inicial con la barra pero sin
rieles. La barra conductora es
elctricamente neutra de
manera que al moverla en el B
se estn moviendo cargas.
)( BvqFB
y
x
)(
))()(
jBeVF
kBiveF
oB
oB
BE FF
-
FE
FB
-
-
+
+
a
b
ElVVVV baindba lvB
E
ooind
E l
)2/(senBvqqE oo
Las cargas estn en equilibrio como las cargas se
redistribuyen (I=0)
Este resultado nos permite calcular la fem inducida de
dos maneras:
i) Analizando las cargas de la barra
ii) Utilizar un circuito imginario para calcular fem ind
en la barra.
-
Fem inducida en una barra de longitud L por el campo
generado por una lnea de corriente infinita
x
ILvV
dlx
Ivdl
x
IvV
vBdlldEV
oind
Loo
2
22
.
0
-
-
+
+
a
b
E
I v
)(0 circuitohaynoIVV ba x
)2/(senBvqqE oo
BE FF
-
--
+
+
a b
E
v
I
x
- FE FB
- FB FE
Fem inducida en una barra de longitud L por el
campo generado por una lnea de corriente infinita
)(2
2
2
.
o
ooind
Lx
x
o
o
x
LxLn
ILvV
x
dxIvV
dlx
IvV
vBdlldEV
o
o
)2/(senBvqqE oo
BE FF
-
https://www.youtube.com/watch?v=gfUuwnD2-fg
Una bobina de alambre est conectado a un radio, y otro est
conectado a un altavoz. Las dos bobinas no estn conectados entre si
dos . La seal de radio se transmite a travs del campo magntico
inducido causado por la corriente en los cables. La seal slo se recibe
tabloide es un flujo magntico a travs de la bobina de recepcin.
-
Autoinductancia La corriente I1 de la espira 1 produce un flujo
FB en la otra espira. Si este flujo cambia,
porque cambia la corriente I1, aparecer una
fem en la segunda bobina.
No se necesitan dos bobinas para poner de
manifiesto el efecto de induccin. Aparece una
fem en una bobina si cambia la corriente en la
bobina misma (Autoinduccin).
El campo magntico en el punto P es la suma
de los campos producidos por la espira 1 y la
espira 2, por lo tanto el flujo a travs de 2 es
proporcional a I1 y I2:
1
122
2122
),(
espiralapor
mismasiporespira
laentotal
espiralaentotal II
F
FF
P
dt
dI
dI
d
dt
dI
dI
d
dt
d entotal 1
1
12
2
22
2
F
L2
Autoinductancia
Por si misma (espira 2)
M12
Inductancia Mutua
Por la espira 1
La fem inducida en la espira 2 es:
Prof. Pizarro
-
INDUCTANCIA MUTUA
Si tenemos n circuitos, la inductancia mutua entre cualquiera de ellos ser:
M12 = M21
Bobina 1
n1 vueltas Bobina 2
n2 vueltas
F2
1
212
dI
dM
F
Prof. Pizarro i
ij
ijdI
dM
F ji
-
AUTOINDUCTANCIA
L depende de la geometra del circuito y se calcula:
En una sola bobina:
dt
dIL
),(tan:
,: 2
HHenryciaautoinducL
IATmN
LIN
B
totalflujo
B
VcteISi
dt
dIL
dt
dIL
dt
dN
LIN
B
totalflujo
B
0
I
NL B
-
INDUCTANCIA DE UNA BOBINA DE N VUELTAS de longitud l
Il
NnIB
I
NL
oo
B
Al 2
Campo por unidad de longitud
Il
NB
nIB
0
0
AIl
NlAnL
I
N
IL
AIl
NAIln
NN
AIl
NAnI
espiraunaenmagnticoFlujo
oo
espiraBBtotal
ooBtotal
BB
nl
Btotal
ooB
22
1
22
El L mostrado est expresado en
funcin de n y N. El procedimiento se
hace usando n y N a la par
-
INDUCTANCIA POR UNIDAD DE LONGITUD DE UN CABLE
COAXIAL de longitud l
)(2
)(2
)(2
2
2
a
bLn
l
L
a
bLn
l
IL
a
bLn
lI
ldrr
I
r
IB
I
NL
o
oB
oB
dA
oB
o
B
-
En la figura se muestra a un toroide que consta de N1 vuelta, tiene una seccin
transversal rectangular y circula por l una corriente I1.
Inductancia en un toroide
a) Determine el flujo magntico a travs de la seccin transversal del toroide.
b) Derive una expresin para la autoinductancia del toroide mostrado.
c) Si tenemos un segundo arrollamiento toroidal aadido al anterior, con N2 vueltas
y por el que circula una corriente I2., cul es el flujo magntico de ste toroide
sobre el primero?
d) Cul es la inductancia mutua?
Prof. Pizarro
-
a)
r
INB
2110
FS
AdBB
.
b
ar
hdrIN
2110 a
bhINln
2110
a
bhINN
Tln
21
210
Como son N1 vueltas:
La autoinductancia:
IdI
dL TT
1 a
bhNln
2
210
b)
c)
a
bhINln
2220
21
F
El flujo de 2 sobre 1:
La inductancia mutua:
2
2121 dI
dM
21121F Nd)
a
bhNNo ln2
12
Prof. Pizarro
1: es la propia
2: es la externa
-
Se puede hallar la direccin de la fem inducida mediante la ley de Lenz.
a b
L
I (decreciente)
0dt
dI
0dt
dI
a b
L
I (creciente)
En cada caso la fem inducida acta oponindose al cambio en la corriente
dt
diL Indica que la fem inducida y la variacin de
la corriente son de signo opuesto
Prof. Pizarro
-
dt
diL
Lididtdt
diLiPdtdU
dt
dUP
dt
dILiiP
La potencia :
La energa en su autoinductancia cuando la corriente cambia de p a I
2
02
1LILidiUU
I
LB
-
Aplicando el teorema de la trayectoria al circuito mostrado:
0
tan
/
2
ciaautoinducladeBelen
tEPotRpor
disipadaPotencia
femlaporentregadaPotencia dt
diLiRii
0dt
diLiR
Circuito RL
-
dt
dILIR
IR
dILdt
It
IR
dILdt
00
IIRLnL
Rt
0
IRLn
L
Rt
eIR
)1(
max
L
t
i
eR
I
L=L/R: Constante inductiva de tiempo
Si hacemos t = L, la
corriente en ese instante es
igual a 0,63 /R. Es decir L es el tiempo al cabo del cual
la corriente del circuito est a
37% de su valor final de
equilibrio
-
VL
t
L
t
abL edt
dILVV
t
t 0
-
Es decir L es el tiempo al
cabo del cual la corriente del
circuito est a 37% de su
valor inicial de equilibrio
)1( L
o
t
i
eR
I
tL
R
i
tiLn
dtL
R
i
di
dt
dILIR
tti
Rimx
))(
(
0
max
0
)(
0dt
dILL0
dt
dI
L
-
Considere el circuito de la figura mostrada. Sea = 36,0 V, Ro = 50,0 W, R = 150 W y
L = 4,00 H.
Problema 1:
Prof. Pizarro
-
a) Se cierra el interruptor S1 y se deja abierto el interruptor S2. Inmediatamente
despus de cerrar S1, cules son las corrientes i0 a travs de R0 y las
diferencias de potencial vac y vcb?
b) Cuando S1 ha permanecido cerrado mucho tiempo (con S2 an abierto) y la
corriente ha alcanzado su valor estable final, cules son i0, vac y Vcb?
c) Determine las expresiones de i0, vac y vcb en funcin del tiempo t a partir del
momento en que se cerr S1. Sus resultados deben concordar con el inciso (a)
cuando t = 0 y con el inciso (b) cuando t = . Grafique i0, vac y vcb en funcin
del tiempo
a) Inmediatamente despus de cerrar el interruptor S1 el inductor no dejar pasar la
corriente. 00 i vac =0 vcb =36V
b) Cuando S1 ha permanecido cerrado mucho tiempo (con S2 an abierto) y la
corriente ha alcanzado su valor estable final, cules son i0, vac y Vcb?
AAi 18,015050
360
00RiVac V950
200
36 RiVcb 0 V27150
200
36
0000 dt
dILRiRi
c) )1(
0
0L
t
eRR
i
RR
LL
0
Prof. Pizarro
-
En el circuito de la figura, = 60 V,
R1 = 40.0 W, R2 = 25.0 W y L = 0,300
H. Se cierra el interruptor S en t = 0.
Problema 2:
d) Cul punto, c o d, esta a un potencial ms alto?
Inmediatamente despus de
cerrar el interruptor:
a) Cul es la diferencia de potencial vab
entre los extremos del resistor R1?
b) Cul punto, a o b, esta a un potencial mas alto?
c) Cul es la diferencia de potencial vcd entre los extremos del inductor L?
+
S R1
R2 L
a b
_
c d
Si se deja cerrado el interruptor durante mucho tiempo:
Inmediatamente despus de abrir el interruptor:
f) Cul es la diferencia de potencial vab entre los extremos del resistor Rl ?
g) Cul punto, a o b, esta a un potencial mas alto?
h) Cul es la diferencia de potencial vcd entre los extremos del inductor L?
i) Cul punto, c o d, est un potencial ms alto?
e) Cul es la corriente que pasa por R1 y R2?
Prof. Pizarro
-
a) Cul es la diferencia de potencial vab entre los extremos del resistor R1?
VVab 60
Inmediatamente despus de cerrar el interruptor:
S
+
a b
_
c d
= 60.0V
R1 = 40.0 W
R2 = 25.0 W L = 0.300 H
b) Cul punto, a o b, esta a un potencial mas alto? a
c) VVcd 60
c d) Cul punto, c o d, esta a un potencial ms alto?
Si se deja cerrado el interruptor durante mucho tiempo:
e) Cul es la corriente que pasa por R1 y R2?
AAI 5,140
601
AAI 4,225
602
Prof. Pizarro
-
Inmediatamente despus de abrir el interruptor:
S
+
a b
_
c d
= 60.0V
R1 = 40.0 W
R2 = 25.0 W L = 0.300 H
AI 4.22
f) Cul es la diferencia de potencial vab entre los extremos del resistor Rl ?
ab VV 404,2 VVab 96
g) Cul punto, a o b, esta a un potencial mas alto? b
h) Cul es la diferencia de potencial vcd entre los extremos del inductor L?
cb VV 254,2404,2
VVVV cbbc 156254,2404,2 cdV
i) Cul punto, c o d, est un potencial ms alto? d
Prof. Pizarro
-
Un solenoide de longitud l y radio r2 , N2 vueltas y resistencia R, en su interior hay un
solenoide de igual longitud y N1 vueltas conectado a una pila por medio de una llave S.
Ejercicio
S
Determine:
a) El flujo magntico en el solenoide interior
b) La fuerza electromotriz en el solenoide exterior.
c) La corriente que circula en el solenoide exterior al momento de cerrar la llave S
en funcin de la corriente que circula en el solenoide interior
Prof. Pizarro
-
a) El flujo magntico en el solenoide interior:
El solenoide interior produce un campo magntico:
nIB0
II
L
1N
0
El flujo magntico:
2
1r
II
L
1N
0BF
b) La fuerza electromotriz en el solenoide exterior.
dt
d
2N B
dt
1dI
2
1r
L
1N
2N
0
c) R
2I
dt
1dI
2
1r
RL
1N
2N
0I
2
Prof. Pizarro
-
Ejercicio 2
La espira conductora cuadrada de la siguiente figura de lado l y resistencia R gira
con velocidad angular alrededor del eje x. La espira se encuentra inmersa" en un
campo magntico uniforme que tiene la direccin del eje z. B
y
x
z
a) Calcule el flujo mximo que atraviesa la espira y cual es sentido inicial de
corriente.
b) Tomando como instante inicial el correspondiente a la figura mostrada, Cul es
la corriente inducida en funcin del tiempo?
c) Calcule el momento o torque necesario para mantener la aspira girando a
velocidad angular constante.
d) Explique si en este proceso se conserva la energa. Prof. Pizarro
-
y
x
z
n
y
z
nt B
FS
Ad.BB
tBA cos
a) BAB
F
b)
(La corriente inicial es en sentido anti horario)
dt
d B
dttBAcosd tSenBA
tSenR
I BA
Bxm
c) nNIAm
donde
BxnINA
itINABsenProf. Pizarro
-
Dos bobinas se colocan coaxialmente, como se muestra en la figura. La bobina (1) es
conectada a una fuerza externa de fuerza electromotriz V. Asuma que la geometra es
tal que un quinto del flujo producido por la bobina (1) pasa a travs de la bobina (2) y
viceversa. El flujo total dado por la bobina (1) es dada por: FB = L1I1, donde L1 es la
autoinductancia de la bobina (1).
Ejemplo 26:
1
V
r
2
R
r
B1
x
-
b) Encontrar la fuerza electromotriz inducida en la bobina (2) cuandoI1= I0senwt.
a) Encontrar la fuerza electromotriz inducida en la bobina (2) cuando I1 se
incrementa uniformemente de 0 a I0 en t segundos.
c) Encontrar el coeficiente de inductancia mutua M12 en trminos de L1.
d) Encontrar la fuerza electromotriz inducida en la bobina (1) cuando la corriente
en el circuito (2) se incrementa uniformemente de 0 a I0 en t segundos