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CAPÍTULO 3: Metodología
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CAPÍTULO 3.
METODOLOGÍA
CAPÍTULO 3: Metodología
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3. METODOLOGÍA
En este capítulo tiene como objetivo el describir la manera en que se realizó este
proyecto, explicar los pasos que se siguieron para poder demostrar la existencia de
contrastes en estadística no paramétrica. Aquí podemos encontrar una simulación de lo
que es el programa, el diagrama de flujo del mismo, la descripción del algoritmo y del
programa mismo.
3.1 Prueba Propuesta
Esta prueba consiste en estimar los efectos principales y de las interacciones en un
experimento factorial del tipo 2k con una sola réplica por medio de contrastes estimados
a través de estadística no paramétrica y de simulación, todo esto para saber cuáles de los
factores son significativos y deben seguirse investigando.
Se tiene un experimento factorial del tipo 2k, con k observaciones, una por cada
tratamiento en el diseño factorial 2k con una sola réplica. Los pasos a seguir son los
siguientes:
1. Partiendo de la hipótesis de que el efecto de cada factor y sus interacciones son
significativos, el primer paso a seguir es el de asignar rangos a las observaciones del
experimento, cabe decir que las observaciones no se ordenan, sólo adquieren el
número de posición que les corresponde sin perder su posición de acuerdo al
tratamiento, en seguida se ilustra en la figura 3.1.1 la manera en que se asignan
rangos a las observaciones, para ello se tomó los datos de la primera réplica de un
experimento 23. (Ver Montgomery 1991)
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2. Ahora que se tienen los rangos se calculan los contrastes de cada uno de los factores
de la siguiente forma:
donde S R+ denota la suma de rangos de los tratamientos con coeficientes positivos y S R- denota la suma
la suma rangos de los tratamientos con coeficientes negativos
3. Ya que se tiene el contraste, obtenido de las observaciones originales, se comienza
con la simulación. Esta consiste en generar números aleatorios utilizando una
distribución Uniforme U (0,1), uno para cada observación, generar rangos igual que
se hizo con las observaciones y calcular el contraste con la fórmula 3.1 que se utilizó
para el cálculo de los contrastes antes de la simulación.
Fórmula 3.1
[ ]2
12
2
1˙̊˘
ÍÎ
È -= Â Â -+-
RRContrastek
* Cuando se tienen dos números iguales entonces el rango que les asignado es el promedio de los rangos que les corresponden Figura 3.1.1
A B AB C AC BC ABC Observaciones
(1) -1 -1 1 -1 1 1 -1 -3
a 1 -1 -1 -1 -1 1 1 0
b -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1
ab 1 1 1 -1 -1 -1 -1 2
c -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1
ac 1 -1 -1 1 1 -1 -1 2
bc -1 1 -1 1 -1 1 -1 1
abc 1 1 1 1 1 1 1 6
Observaciones Rangos-3 10 4
-1 2.5*2 6.5*
-1 2.5*2 6.5*1 56 8
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4. Cuando se han realizado las simulaciones necesarias para estimar el efecto de cada
factor y sus interacciones entonces se procede a calcular el Valor P mediante la
fórmula siguiente:
( )Â=
>=-B
i
i AAIB
PValor1
221
5. Por último se calculan los intervalos de confianza para cada efecto calculado y Valor
P correspondiente, para ello se utilizará la siguiente fórmula:
s2
Z x confianza de Intervalo a±=
En el punto 3.2 de este capítulo se muestra un ejemplo de los pasos que se han explicado
anteriormente.
Donde B es el número de simulaciones y 2iA son los efectos estimados a través de simulación y 2A es
el resultado del contraste estimado con las observaciones originales.
Fórmula 3.2
Fórmula 3.3
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3.2 Ejemplo de simulación del programa
Tenemos un diseño factorial 23, con los factores A, B, C a dos niveles, un experimento
con una sola réplica y los datos son los siguientes:
A B C OBSERVACIONES-1 -1 -1 32.8+1 -1 -1 27.4-1 +1 -1 54.1+1 +1 -1 16.6-1 -1 +1 45.3+1 -1 +1 83.4-1 +1 +1 22.7+1 +1 +1 17.4
Este ejemplo tiene el propósito de demostrar si el Efecto de C es significativo para
el experimento o si no lo es. Por lo tanto tenemos la siguiente hipótesis:
H0: El efecto de C es significativo (a=0.05)
H1: El efecto de C no es significativo (a=0.05)
Se calculó el Efecto de C por medio de contrastes en estadística no paramétrica
por medio de rangos.
A continuación se le asignan rangos a las observaciones, como sigue:
C OBSERVACIONES RANGOS-1 32.8 5-1 27.4 4-1 54.1 7-1 16.6 1+1 45.3 6+1 83.4 8+1 22.7 3+1 17.4 2
Figura 3.2.1
Figura 3.2.2
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Ya establecidos los rangos, se procede a calcular el contraste de C, con la
siguiente fórmula 3.1 entonces:
( ) ( )[ ][ ] 0.2517452386C de Contraste 2 2 =+++-+++=
Ahora comienza la simulación
Primera Simulación
C U (0,1) RANGOS-1 0.035 2-1 0.824 7-1 0.956 8-1 0.011 1+1 0.233 3+1 0.379 4+1 0.726 6+1 0.708 5
( ) ( )[ ][ ] 056431872C de Contraste 22I =+++-+++=
Segunda simulación
C U (0,1) RANGOS-1 0.963 8-1 0.687 7-1 0.26 3-1 0.527 6+1 0.018 1+1 0.306 4+1 0.471 5+1 0.156 2
( ) ( )[ ][ ] 963782541C de Contraste 22II =+++-+++=
Figura 3.2.3
Figura 3.2.4
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Tercera Simulación
C U (0,1) RANGOS-1 0.363 2-1 0.742 7-1 0.761 8-1 0.474 5+1 0.24 1+1 0.401 4+1 0.395 3+1 0.627 6
( ) ( )[ ][ ] 458726341C de Contraste 22III =+++-+++=
Cuarta Simulación
C U (0,1) RANGOS-1 0.809 8-1 0.537 5-1 0.091 1-1 0.144 2+1 0.326 4+1 0.782 7+1 0.629 6+1 0.161 3
( ) ( )[ ][ ] 121583674C de Contraste 22IV =+++-+++=
Figura 3.2.5
Figura 3.2.6
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Quinta Simulación
C U (0,1) RANGOS-1 0.449 3-1 0.087 1-1 0.765 5-1 0.768 7+1 0.496 4+1 0.096 2+1 0.948 8+1 0.766 6
( ) ( )[ ][ ] 175136824C de Contraste 22V =+++-+++=
Concluidas las simulaciones, se calcula el Valor P con la fórmula 3.2 probar la hipótesisnula.
( ) 8.045
1==-VALUEP
Con esto podemos concluir que,
Como el Valor P es 0.8 > 0.05, no se rechaza H0.
Este es un ejemplo de lo que el programa hará, calculará los contrastes de los factoresdel experimento utilizando estadística no paramétrica. En este ejemplo sólo se utilizaron5 simulaciones pero el programa es capaz de llevar a cabo hasta 100,000 de ellas.
Figura 3.2.7
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3.3 Descripción del algoritmo
En esta sección del capítulo se describe el algoritmo propuesto, para el que se ha escrito
un programa en el que el investigador solamente tiene que introducir los datos de las
observaciones obtenidos por medio de un experimento y el programa se encargará de
llevar a cabo los cálculos y procedimientos necesarios. Cabe mencionar que el programa
no le pide al investigador el estadístico Za/2 porque ya lo tiene predefinido y este trabaja
con un porcentaje del 95% de confiabilidad.
El algoritmo propuesto es el siguiente:
1. Se introducen los datos de las observaciones y la tabla de signos
para los factores principales en dos archivos, entonces se compila y
se corre el programa.
2. Se solicitan al usuario los siguientes datos:
ÿ La semilla para la simulación
ÿ Número de simulaciones (IB)
ÿ Número de repeticiones por simulación (IREPB).
3. Se le asignan rangos a las observaciones originales.
4. Se genera la tabla de signos para cada factor y se calculan los
contrastes para cada factor e interacciones.
5. Empieza la simulación (NB=0). El contador de simulaciones está
en cero (NB=0)
6. Se obtienen números aleatorios para las nuevas observaciones U
(0,1)
7. Se asignan rangos a estas observaciones simuladas y se calculan
los contrastes simulados para cada factor e interacciones.
8. Se incrementa en 1 el contador de simulaciones (IB=IB+1).
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9. El contador de rechazos para la obtención del Valor P está en cero
(Contrech=0)
10. Se comparan los contrastes simulados con los originales y se
incrementa el contador de rechazos (Contrech=contrech+1)
11. Se calcula el Valor P cuando se termina las repeticiones de la
simulación, es decir cuando (RB=B)
12. Se calculan las varianzas de cada contraste.
13. Y por último se calcula el intervalo de confianza correspondiente a
cada contraste
14. Se imprimen los contrastes originales e intervalos de confianza
para cada factor e interacciones.
15. Parar
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3.4 Diagrama de Flujo
El siguiente diagrama de flujo representa gráficamente el algoritmo computacional para
el cálculo de contrastes en estadística no paramétrica, el cual es la base para escribir el
programa de simulación en cualquier lenguaje.
Lectura de Datos:Factores Principales ( A, B, …)Observaciones ( 2K)IB= # de simulacionesIREPB=# de repeticiones por simulaciónSemilla de simulación
¿Desea probar un contraste?
Introducir contraste
Calcular contraste
NB = 0, contrech = 0
SI
NOPARAR
1
2
3
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*1 Después de generar U (0,1), se crean los rangos y se calcula el contraste de los efectos.
*2 BcontrechPValor =
Generar U (0,1) necesarios
Calcular CNB *1
CNB>C SIContrech = contrech + 1
NO
NB = B
NO
SI
Calcular P- value *2
Calcular e imprimir Contrastes originales e Intervalosde confianza
1
3
2
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3.4 Descripción del programa de simulación
El programa diseñado para este algoritmo tiene tres versiones y fueron escritos en el
lenguaje de programación Fortran y denominados como fabiola1.exe, fabiola2.exe,
fabiola3.exe. A continuación se describe como trabajan dichos programas.
En general, el propósito del programa es el de generar los contrastes para cada uno de los
factores y sus interacciones y saber cuales de ellos son significativos para seguir
estudiándolos. El programa también proporciona al usuario el intervalo de confianza
mediante la repetición de las simulaciones, determinadas por el experimentador, y con la
ayuda del valor P previamente calculado. Esto da una mayor claridad acerca de la
precisión de la prueba.
Este programa tiene una capacidad de correr hasta un diseño factorial 28 , esto es
256 observaciones pero puede ser modificado según las necesidades del investigador.
Como ya se mencionó antes, hasta el momento se tienen tres versiones disponibles del
programa, la de los diseños 23, 24 y 25 pero es posible modificarlo fácilmente. Los
aspectos que se pueden modificar son la matriz de signos de los factores principales, las
columnas de las interacciones de los factores en la matriz de factores y los valores
numéricos de las observaciones. La forma de hacer dichas modificaciones se encuentra
en el Apéndice II. También cabe mencionar que el programa no imprime los contrastes
originales y los intervalos de confianza para los valores P en el orden natural de Fisher, si
no que primero imprime factores principales, después interacciones dobles, interacciones
triples, así hasta llegar a imprimir la interacción de los k factores. El program le
especifica al usuario el orden para una fácil comprensión de los resultados de éste.