capitulo 4. aplicacion de las ecuaciones de variacion

CAPITULO 4. APLICACION DE LAS ECUACIONES DE VARIACION. 107

FIGURA 4.14. Perfil de velocidad para flujo laminar en un conducto y fuerzas actuando en un elemento de volumen.

Q = PR

dQ = ASE

Va2itr dr { 4.52 )

Q 1 VMED = =

Az uR2 v«2Tcr dr e

( 4.53 )

En forma general para un conducto de área seccional arbitraria Aa¡:

Vmsd = km

vzdAz ( 4.54 )

donde dA« es un elemento diferencial de área, normal a la dirección del flujo.

En el ejemplo anterior dA» = d(itr2) = 2nr dr

Observando la ecuación ( 4.53 ) es claro que el cálculo de Vmed requiere el conocimiento de vz en cada posición radial.

Para esto es necesario realizar un balance de cantidad de movimiento en la dirección z sobre el elemento de volümen 2TtrArL ( figura 4.14 b y c )

Como se supuso estado estable no hay aceleración neta y la suma de fuerzas actuando en la dirección z es cero.Estas son fuerzas

lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE

superficiales y del cuerpo ( gravitacionales ) o que actúan a través del fluido. Las superficiales son de presión y viscosas o de fricción.

En general las fuerzas viscosas pueden actuar ya sea perpendicularmente a las superficies del fluido (fuerzas normales) o tangencialmente a las mismas (fuerzas cortantes). Sin embargo, para un fluido incompresible y newtoniano no hay esfuerzos viscosos normales cano T«« puesto que éstos dependerían de óv«/6z, que es cero en flujo completamente desarrollado.

La acción de la fuerza gravitacional es negativa puesto que actúa en la dirección contraria a la que hemos escogido como positiva para el eje z.

AF« Z = - f(2TtrArL)g

Fuerza viscosa en r, tangencial y hacia arriba: Ti-ZSR-1 R ;

Fuerza viscosa en r +Ar. hacia abajo ó - z: - Tr*Sr>¡ A F « t Sri - g S vtb va, r rz

Fuerza de presión hacia arriba: poAAa

Fuerza de presión hacia abajo: - ptAAx

Fuerza neta de presión: (p© - P L ) A A B = A F P *

Con SR = 2tctL y AA»=2irrAr, la fuerza neta actuando en la dirección z es:

T>!B(2itrL) - Trss(2ltrL) r

+ (p - p )(2nrAr) - fg»(2TtrArL) = 0 r-»-/\r o L

Los dos primeros términos representan respectivamente el flujo de cantidad de movimiento z hacia dentro y hacia afuera del elemento. Los dos siguientes corresponderían a generación puesto que por estar en estado estable no hay acumulación.

Dividiendo por 2itrArL y haciendo tender A r a cero:

d(Trz r) (po - PL) + fgL + = 0 (4.55)

r dr L

Recordando el término de manantial calorífico ($)H, la velocidad de producción de calor por unidad de volúmenen en una posición cualquiera, podemos definir poranalogía:

(Po - PL) + fgL ¡fa -

L (4.55 a)

CAPITULO 4 APLICACION DE LAS ECUACIONES DE VARIACION. 109 1 1 1 1 1 i n mm 'm ii i i- i i

que tiene dimensiones de cantidad de movimiento por unidad de tiempo y unidad de volumen (o fuerza porunidad de volumen); escrito de esta forma la solución tiene analogia con la situación de análisis de un reactor nuclear cilindrico cuya temperatura superficial se mantiene constante gracias al flujo de un refrigerante* capitulo 3 )-

Las condiciones Límite son: r=0, rTra¡=0; r=R, v*=0 (4.55) se transforma en:

d(rTriE) - $M r dr

R R R 2 = $ M ( R 2 / 2 ) y R T » = $ M ( R 2 / 2 )

de donde : T = $ M ( r / 2 ) = T»r/R

donde r» es el flujo de cantidad de movimiento en r = R. Esta expresión indica que la distribución de flujo es lineal. Usando la ley de Newton

M(dva/dr) = $n(r/2>

Separando variables e integrando entre r y R obtenemos

V* - §M R2/4u r 1 - (r/R)2 , (4.56) j

Comparando con el reactor cilindrico se podrá observar que tanto la distribución de velocidades como la de temperaturas son parabólicas al tiempo que las distribuciones de flujo son lineales, teniendo su máximo en la pared y cero en el centro, consistentemente con el hecho de que los perfiles tengan su máximo en el eje de simetría, o sea:

dT

dr

dvz j : 0 . -- ' | " 0

r-=0 dr | r=0 En general si la solución a un problema de transporte se puede obtener, por ejemplo de la literatura, la solución a un problema análogo se puede escribir por éste procedimiento Y aún en problemas más complejos, en los cuales no es posibe obtener la solución analítica, es posible hacer uso de la analogía midiendo experimetal mente una cantidad y usando este resultado para obtener otra. Por ejemplo en la estimación de la temperatura máxima en un reactor nuclear más complejo que el descrito, puede ser más fácil y seguro medir la velocidad máxima en un experimento análogo de flujo de fluidos y entonces usar la analogía para calcular la temperatura en el reactor en lugar de medirla directamente

Es importante anotar que la ecuación ( 4.55 ) podría haberse obtenido directamente a partir de la ecuación general o de Navier Stokes (3.22), pero en función de T O sea la expresión (3.19) (ver apéndice A.4.2). La ecuación (3.19):


Dv f = div.p - [div.T] + f'g

Dt

Dv f = 0

Dt

Pues la expresión general en coordenadas cilindricas considera v variando con r. 8, z y t

Los términos relativos al tiempo se hacen cero pues vE sólo es función de r. También las derivadas con respecto a 9 y z por la misma razón. Los otros términos se anulan ya que Vr = ve = 0.

En general en estado estable :

Dv - = 0

Dt

[div.T] : Trr, Tr-e, T©©, T n se anulan por no haber componentes de velocidad en las direcciones r ni 0.

Debido a la geometría cilindrica vz no es función de 8:

ÓVz

60 Te» - - M = 0 Taz - 0

pues por la ecuación de continuidad, div.v - 0 y vz no es función de z. Trs tampoco es función de z.

En realidad sólo hubiera sido necesario analizar la componente z de la ecuación ( 3.15 ), a saber:

ÔVz ÓVz + Vr 6t ôr

ve ÓVz óvz + V¡E

r 66 óz

ÔP óz

1 6 1 ÔT©z ÔTzz (r Xr*z ) + +

r ôr r 66 óz f g*

que de acuerdo con las consideraciones anteriores se reduce a:

óp

Óz

1 Ô (r T^z) + fgz = 0

r ôr (4.57)


Sabiendo que para z = 0 , p = po y para z = L, p =PL, y que l o s dos ú l t i m o s términos de l a ecuación ( 4 . 5 ^ ) son independientes de z , integrando con respecto a z y reorganizando obtenemos:

d(Tr* r) (po - PL) + fgL + = 0 ( 4 . 5 5 )

r dr L ó

d ( r Tras) = ($M)

r dr

ECUACION DE HAGEN POISEUILLE.

Regresando a nuestro o b j e t i v o de obtener una e x p r e s i ó n para l a c a í d a de p r e s i ó n en e l tubo en términos de l a v e l o c i d a d promedio, primero integramos ( 4.56 ) para obtener l a v e l o c i d a d promedio según ( 4 . 5 3 ) :

vx (2tcr d r )

VM»D = PR

2

TlR2 J v z r dr

0 2rcr dr

Es conveniente e s c r i b i r v z en términos de l a v e l o c i d a d máxima Vm«x=4M(R2/4u) ; a s i v z = v m « * [ l -( r/R)2], entonces:

Wx - (2 Vmout/R2

= (2 vmx/RÍ) r 2

2

rR

0 L

r 4

4R2

(r/R)s r dr

0 Sea que Vmed = *$Vmax

Es d e c i r que l a v e l o c i d a d máxima es e l doble de l a promedia. Reemplazando l a s e q u i v a l e n c i a s :

VM«D (Po " PL) + fg L

8 U L R2 ( 4 . 5 8 )

Algunos t e x t o s usan l a l lamadapresión dinámica o modif icada, d e f i n i d a como: P = ( p - f g z z ) , de t a l forma que PD = po ; FL - (PL - fgaL). A s i : po - PL + fgasL = Pe -PL. En términos de l a ecuación (4.4?-):

5<9

Pe - a = 8 u L vm

R2

que es l a ecuación de Hagen P o i s e u i l l e .

( 4 . 6 0 )


La c a n t i d a d PO - PL, denominada l a d i f e r e n c i a dinámica de p r e s i o n e s , es l a f u e r z a g u i a que provoca e l f l u j o .

Hagamos un p a r é n t e s i s para c o n s i d e r a r e l caso en e l c u a l no hay f l u j o , e s d e c i r e l f l u i d o e s t á e s t á t i c o en e l tubo. Entonces vm = 0 , y de l a ecuación ( 4.60 ) , PO - PL v a l d r á c e r o , por tanto :

PO + fgzL = PL

M u l t i p l i c a n d o por e l área t r a n s v e r s a l Az para obtener e l balance de f u e r z a s :

POAA + fgzLAz = PL Az

E s t a e c u a c i ó n e s t a b l e c e que l a f u e r z a de p r e s i ó n actuando h a c i a abajo en z = L es mayor que l a f u e r z a de p r e s i ó n actuando h a c i a a r r i b a en z=0 por l a f u e r z a debida a l a gravedad fgzAzL cuando e l f l u i d o e s t á en reposo.

S i d i v i d i m o s l a f u e r z a g r a v i t a c i o n a l por [Az obtenemos l a c a n t i d a d g«L, l lamada l a cabeza h i d r o s t á t i c a . En e l s istema g r a v i t a c i o n a l i n g l é s t i e n e l a s unidades de l b f . p i e / l i a n . Pero en e s t e sistema se e s c r i b i r l a gzL/go y como g z y g c t i e n e n e l mismo v a l o r numérico ( a n i v e l d e l mar), l a cabeza h i d r o s t á t i c a frecuentemente se mide en unidades t a l e s como p i e s de agua. S i e l f l u i d o no e s t u v i e r a en reposo, e l término (Po - PL)/\ s e r i a l a d i f e r e n c i a t o t a l de cabeza. Algunos i n g e n i e r o s d e f i n e n l a p r e s i ó n dinámica como P - p + [~gh , donde h es l a d i s t a n c i a por a r r i b a de un punto de r e f e r e n c i a , y g siempre es p o s i t i v a . En e l ejemplo a n t e r i o r h = L e n z = L y n o hay d i f e r e n c i a con l a d e f i n i c i ó n i n i c i a l puesto que g z = - g . Retornando a l a e x p r e s i ó n ( 4 . 5 5 a ) :

PE - PL (PO - P L ) + [gzL ¡fa - - ( 4 . 5 5 a)

L ' L

E s t a r e p r e s e n t a l a v e l o c i d a d de generación de c a n t i d a d de movimiento por unidad de volumen. Notamos que es p o s i t i v a , n e g a t i v a o c e r o , dependiendo d e l s igno de (po - PL) y de gz . S i e l término de generación es n e g a t i v o , l a i n t e r p r e t a c i ó n f í s i c a es que e l f l u j o o c u r r e en l a d i r e c c i ó n z n e g a t i v a y se genera c a n t i d a d de movimiento n e g a t i v o , es d e c i r , v a < 0. Para ¿ = 0 no hay f l u j o .

TK Es algunas veces conveniente tener l a ecuación de Hagen P o i s e u i l l e ( 4 . 6 0 ) en términos d e l caudal volumétr ico de f l u j o para l o c u a l m u l t i p l i c a m o s v B por e l área s e c c i o n a l de f l u j o :

Pe - PL = ( 4 . 6 1 )


En términos de caudal másico m .

8 u L m Pe - PL - ( 4 . 6 2 )

Tt(R2)2f

TRANSPORTE EN UN ANILLO CON GENERACION INTERNA

Vamos a c o n s i d e r a r a c o n t i n u a c i ó n dos problemas de t r a n s p o r t e s i m i l a r e s , involucrando geometría anular En uno se e s t u d i a e l f l u j o laminar de un f l u i d o newtoniano en e i a n i l l o , mientras que en e l segundo tratamos con t r a n s f e r e n c i a de c a l o r desde un elemento de combustible n u c l e a r con forma anular Ambas s i t u a c i o n e s se i l u s t r a n en l a f i g u r a 4 15 a y b

Los r a d i o s i n t e r i o r y e x t e r i o r de l a s regiones anular Bon R i y R2, K-R1/R2 es l a r e l a c i ó n de r a d i o s . Las paredes i n t e r n a y externa del elemento de combustible se mantienen a To. y l a v e l o c i d a d del f l u i d o a R i y R2 es cero por l a condic ión l í m i t e de no resbalamiento

PERFIL DE

VELOCIDAD

FIGURA 4 . 1 5 .

°ERF1L DE

TEMPERATURA

S i l a d i f e r e n c i a de p r e s i ó n en e l problema de f l u j o laminar se t r a t a como un término de manatial para cantidad de movimiento, estos problemas serán completamente análogos.

PUJIDO MOVIMENTO

ymd*

PERFTT. DE

FLUJO DE

C A N T E A D

DE M O V I .

MIENTO

P E R F I D E

FLUJO DE

CALOR


TRANSPORTE DE CALOR.

Calcularemos e l p e r f i l de temperatura y l a s pérdidas t o t a l e s de c a l o r desde ambas s u p e r f i c i e s . Se t r a t a de s i m e t r í a c i l i n d r i c a y t r a n s f e r e n c i a en estado e s t a b l e dentro de un s ó l i d o . La ecuación ( 3 . 4 1 ) :

ÓT CQp = k d i v 2 T + $m

Ót

es l a adecuada E l término de l a i z q u i e r d a es cero por c o n d i c i ó n de estado e s t a b l e . E l primer término de l a derecha, se e s c r i b e en f u n c i ó n de coordenadas c i l i n d r i c a s descontando l o s términos que contienen a 8 y z puesto que T es s ó l o función de r . As í l a ecuación d i f e r e n c i a l que d e s c r i b e nuestro sistema es

1 6 6T -- ( r ) r 5 r ór

+ 0 ( 4.62 a )

Las c o n d i c i o n e s l i m i t e son r Integrando con respecto a r :

= R i , T - To . = Ra, T = To.

dT

dr $ H ( r / 2 k ) - C i / k r

Integrando nuevamente-

T = ($H/4k) r 2 - ( C i / k ) l n r + Cz

Aplicando l a s condic iones l i m i t e .

To = - ( $ H R i 2 / 4 k ) - ( C i A ) l n R i + Cz

To = - ($HRz 2 /4k) - ( C i A ) l n Rz + C2 en r

Resolviendo para C i y Cz obtenemos:

(Rz 2 - R1 2 )

4 l n ( R z / R i ) C i

1 4.63 )

en r = Ri

Rz

$HRI2 felnRi R 1 2 - R z 2

C2 = To + + * 4k 4k l n ( R z / R i )

Substituyendo en ( 4.56 ) se obtiene e l p e r f i l de temperatura:

To = $ H R I 2

4k 1 - r 2 / R i 2

$h(RZ2 - R 1 2 ) + l n ( r / R i )

4k l n ( R z / R i ) ( 4 . 6 4 )


Aplicando l a iey de F o u r i e r encontramos l a densidad de f l u j o de c a l o r como f u n c i ó n de r

dT $Hr R22 R12

qr = - k — t - ( 4 . 6 5 ) dr 2 4r In (R2/R1J

VELOCIDAD NETA DE PERDIDA DE CALOR

Como no hay entrada de c a l o r a l s istema, todo e l c a l o r generado por e l combustible debe e l i m i n a r s e por l a s paredes, tanto i n t e r n a como e x t e r n a . Es decir e, c a l o r t o t a l t r a n s f e r i d o a l medio e n f r i a n t e es:

QtotaJ (TtR.22 - TtRl2) L I 4.66 •

Donde (TCR22 - TtR^JfL es e l volúmen t o t a l d e l elemento de combustible

Ahora podemos c a l c u l a r a p a r t i r de l a s densidades de f l u j o en R i y R2, recordando que l a magnitud d e l f l u j o de c a l o r en cada s u p e r f i c i e es e l producto de l a densidad de f l u j o qr- por e l área 2itrL, evaluadas en e l mismo punte- Sin embargo en r - R2, qr s e r á p o s i t i v o pues a l l í dT/dr es n e g a t i v o , pero en r - R j , q r es negativo puesto que dT/dr es p o s i t i v o (observar ios p e r f i l e s de temperatura en e i g r á f i c o 4 15b) Teniendo esto presente v usando l a ecuación ( 4.65 >

r=R2

k£> R22 Ri

4R2 in tR2/Ri

fe k] R2* k i —

4RI in k 2 / R i

qr

- qn — < r=Rl

de a q u í :

Q t o t a l =tq^| r-=R2][2TcR2Lj + L qr-1 r = R l J [ 2ltRiL „ - i. TtR22 rtRl2][L $H J

E s t a e x p r e s i ó n es i d é n t i c a a l a ( 4.66 1

TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO.

Ahora debemos obtener expresiones para e l p e r f i l de v e l o c i d a d y l a f u e r z a r e s u l t a n t e en l a pared, a s i como r e l a c i o n e s entre e l caudal de f l u j o y l a c a í d a de p r e s i ó n . Podemos hacer un balance de cant idad de movimiento a p a r t i r de l a ecuación de Navier Stokes en coordenadas c i l i n d r i c a s como en e l caso de f l u j o en e l i n t e r i o r de un conducto c i r c u l a r . S i n embargo, no es necesar io pues en este a n á l i s i s no


i n t e r v i e n e n l a s condic iones l i m i t e y l a misma ecuación d i f e r e n c i a l d e s c r i b e ambos procesos:

d( Tr-a r , (Po - PL) = + fgz = { 4.55 )

r dr L

Las c o n d i c i o n e s son v z - 0 tanto para r = R i como para r = R2. Observamos que Las ecuaciones d i f e r e n c i a l e s para l o s casos de t r a n s f e r e n c i a de c a l o r y de c a n t i d a d de movimiento d i f e r e n s ó l o en l a n o t a c i ó n . Esto se hace más c l a r o s i reescr ibimos l a ecuación ( 4 . 6 2 a ) en l a forma

di r qr-) = $H 1 4.62 b )

r dr

También l a s condic iones l í m i t e se hacen s i m i l a r e s s i reemplazamos ( T -To) por V®. 0 sea que l o s problemas son análogos, y podemos simplemente usar e l r e s u l t a d o obtenido en e l problema de t r a n s f e r e n c i a de c a l o r , intercambiando por y k por u

E l p e r f i l de v e l o c i d a d es entonces

$M R2 Vas =

4 M

1 r2 1 (R 2 2 - Ri2 — - , + l n ( r / R i ) ( 4.67 A u ' 4u l n ( R 2 / R n

Igualmente e l f l u j o de cantidad de movimiento se obtiene por a n a l o g í a con l a ecuación 1 4 65 >•

$m R22 - R12

T r z - - i 4.68 I 2 4r l n (R2/R1)

Ambos se representan en e l g r á f i c o 4.15a. La pérdida t o t a l de c a n t i d a d de movimiento en l a pared t o f u e r z a r e s i s t e n t e ) e s :

Ftota.1 = T TRZ | r=R2 J ( 2TlRL ) - L TR Z | r = R l ] ( 2nRL I

También por a n a l o g í a con ( 4.66 ):

F t o t « i = (T1R22 - TCCRI2 )L

F t o t a l - (TtR22 - 1tRl 2 )[ (po PL)/L + f g z j

Se ve que l a f u e r z a v i s c o s a neta en l a s paredes i g u a l a a l a suma de l a s f u e r z a s de p r e s i ó n y l a s f u e r z a s g r a v i t a c i o n a l e s .


CAIDA DE PRESION EN UN ANILLO.

La r e l a c i ó n más ú t i l es esa e n t r e l a v e l o c i d a d promedio y l a d i f e r e n c i a dinámica de p r e s i o n e s :

(Pa ~ Pt) - (Po - PL) + fg«L

E s t a puede obtenerse fác i lmente integrando ( 4.67 ) entre e l área t r a n s v e r s a l d e l a n i l l o . Usando l a ecuación general ( 4.54 a ) para promediar l a v e l o c i d a d :

rR2 Vm = v« 2itr dr

itR22 - tcRI2

Se encuentra que :

(Po - PL)(R22)

R1

Vm = 8 mL

1 - A» J&

1 - K2

l n ( l / * ) ( 4.69 )

donde K - R1/R2.

APENDICE A.4.1

Los exponentes de e pueden expandirse en s e r i e s de M a c l a u r i n para d a r :

u 2 u 3 u 4

e x p ( u ) = 1 + u + + + + . . . 2! 3! 4!

exp(a + 10) puede e s c r i b i r s e como e x p ( a ) .exp( i 0 ) , y cuando u = i 0 :

Í2Q2 i303 i404 e x p ( i 0 ) = 1 + 10 + + + + . . .

2! 3! 4!

Con base en que i 2 = - 1 , i 3 = - i , i 4 = 1 , e t c , podemos e s c r i b i r :

Í32 0 3 0 4 0® 06 exp( i 0 ) = 1 + 10 i + + i + . . .

2! 3! 4! 5! 6!

Agrupando p a r t e s r e a l e s e i m a g i n a r i a s :

0 2 0 4 0© r 0 3 0& 0 7 0© e x p ( i 0 ) = 1 + + . . . + i 0 + + — . . .

2! 4! 6! L 3! 5! 7! 9!

Pero también por s e r i e s de M a c l a u r i n :

0 3 0 S 0 7 0 9 s e n ( 0 ) = 0 + + + . . .

3! 51 7! 9! y 02 04 06 08

COS(0) = 1 + + . . . 2! 4! 6! 8!

Por l o t a n t o

e x p ( i 0 ) = c o s ( 0 ) + i s e n ( 0 )

e x p ( a x ) . e x p ( i 0 x ) = e x p ( o x ) [ c o s ( 0 x ) + i s e n ( 0 x ) ]

En forma s i m i l a r se puede demostrar que :

e x p ( - i 0 ) = c o s ( 0 ) - i s e n ( 0 )

o sea que

e x p ( a - i 0 ) x = e x p ( a x ) . e x p ( - i 0 x ) = e x p ( o x ) [ c o s ( 0 x ) - i s e n ( 0 x ) ]

APENDICE A.4.1. 119

También:

e x p ( i f i x ) - e x p ( - i f ix) sen(fíx) =

2i

exp(itfx) + e x p ( - i f ix) cos(£Sx) =

2

La correspondencia con l a s funciones h i p e r b ó l i c a s surge lógicamente:

exp(ax) = cosh(ax) + senh(ax)

e x p ( - a x ) = cosh(ax) - senh(ax)

exp(ax) - e x p ( - a x ) senh(ax) = 2

e x p ( a x ) + e x p ( - a x ) c o s h ( a x ) =

2

8en(x) = - i s e n h ( i x )

s e n h ( i x ) = i s e n ( x )

c o s ( x ) = c o s h ( i x )

cosh 2 ( x ) = 1 + senh2 ( x )

senh(x ± y ) = s e n h ( x ) c o s h ( y ) ± c o s h ( x ) s e n h ( y )

c o s h ( x ± y ) = c o s h ( x ) c o s h ( y ) ± s e n h ( x ) s e n h ( y )

senh(2x) = 2 s e n h ( x ) c o s h ( x )

cosh(2x) = cosh 2 ( x ) + senh2 ( x )

2senh2 ( x / 2 ) = c o s h ( x ) - 1

2cosh2 ( x / 2 ) = c o s h ( x ) + 1

l / s e n h ( x ) = l n [ x + ( x 2 + 1)»«]

l / c o s h ( x ) = l n [ x + ( x 2 - 1 )*]

d [ s e n h ( x ) ] = c o s h ( x ) dx

d [ c o s h ( x ) ] = senh(x) dx

APENDICE A.4.1

ECUACION DE MOVIMIENTO EN COORDENADAS RECTANGULARES.

En función de t : 3p ( dvx toc &lx tox\ componente x p\— 4- v9— + + v,-r— I •= — • \ dt ox oy az J

( dVy dVy dvv ^P

(to, to, to, dc,\ 17 + "'la + + Dt~dz) " ~ fc

/ ST*, 3T„ - + (C)

En función de los gradientes de velocidad para un fluido newtoniano de p y fi constantes:

(tox tox to., dvx\ to + - -ai

(to~ 9vy 3vv to,\ to

/ to. to, to, to,\ to componente z + „._ + + —j - - -

APENDICE A.4.1. 121

ECUACION DE MOVIMIENTO EN COORDENADAS CILINDRICAS.

En función de T:

componente r"

componente 0Ò

componente z

[9vr 3vr ve3cr v„* 3p

— (r 3r r 10 7 ~~3zf +

/ 3v9 dv„ vtí 3v0 VrVg 3t»9\ 1 3p '\17 +v'17 +71o+— + p'77) '--ríe

/I 9 1 <hM 9T„\

( dv. 3v, V„ 3vt 3v,\ 3p

(A)

(B)

. (11 \r dr (rr„) + 1 9T, OL r dO 3z ) + Pg. (C)

En función de los gradientes d ; vjlocidad para un fluido newtoniano de P y /« constantes: , 2

componente r"

componente 0*

componente z

(3vr 3vr v,j Bcr vu* 3vr\ 3p

ra/ia \ i 3*vr 2 3v„ 3*v, + f,[jr(;Tr(r^ì +

/ dv„ 3v„ t'g di', VrV» dvA 1 Sp

1 3*pd 2 3i'r 3*v0' 7*~W + 71 le + 1?

+ PSr (D)

(E)

/ + M\ W +!z* (F)

( a ) E l término [v»Vr es l a Fuerza C e n t r i f u g a . Corresponde a l a f u e r z a e f e c t i v a en l a d i r e c c i ó n r que r e s u l t a d e l movimiento d e l f l u i d o en l a d i r e c c i ó n 9. Este término aparece automáticamente en l a t r a n s f o r m a c i ó n de coordenadas r e c t a n g u l a r e s a c i l i n d r i c a s .

( b ) E l término jv,v«/r es l a Fuerza de C o r i o l i s . Es una f u e r z a e f e c t i v a en l a d i r e c c i ó n 9 cuando e x i s t e f l u j o en ambas d i r e c c i o n e s r y 0 . Este término aparece también automáticamente en l a t r a n s f o r m a c i ó n de coordenada. La f u e r z a de C o r i o l i s i n t e r v i e n e en e l problema de f l u j o en l a s inmediaciones de un d i s c o que g i r a .


LA ECUACION DE MOVIMIENTO EN COORDENADAS ESFERICAS.

En función de T: componente r

componente <t>

componente 0

/ 3vr 3vr v0 3vr v¿ 3vr v„* + 'Y* +VrlF + 7 lô + 7£¡To-d+ 7 /

3P /I 3 „

, 1 drr* _ tM + r sen 0 3<f> r )

/ 3vt 5o, 3j70 ot v¿>O cot 6\ p\17 + +7l0 + «ënôl? + r r /

13P Z1 3 , 1 3 , m 1 *>•*

- ~rTo - i ? » ^ + T^To »<*•«"<> +

ot0 \ — TwJ + #9

(3». 9». p. 3», ». 3t>¿ y¿t'r e«»* \ _ f + „ + _ » _ í + —t * + ±1 + * cot 0 dt T Br r 36 rsen 9 ty r r )

' - Ì I _ Ì + Ü5* + dd+ \r*3r( r 30 ^ rsen0 3*

rr8 cot 0 + — r.

rsen í

2 COt 9 \ T<*) + PZ*

(A)

(B)

(O

En función de los gradientes de velocidad para un fluido newtoniano de p y n constantes*: I 3vr dvr v0 dvr pt dvr vn

2 + componente r f>\j¡ + », — + - — + — - — J

dp / 2 2 dv0 2 - 'Tr +l<(v*»r-?vr-?W-?veCOt0

f ) + (Z>) r2 sen O dé

/ 3»o 3»o v0 3v0 v¿ dv0 vrv0 v? cot 0\ componente 0 /> I — + », - 1 — + \ 3/ 3r r 30 rsen O d<j> r r ]

1 3p / t 2 3vr v0 2 eos O do A

APENDICE A.4.1. 123

LA ECUACION DE MOVIMIENTO EN COORDENADAS ESFERICAS. ( c o n t i n u a c i ó n )

componente * „(% + * ^ + !S + + Ü * + ^cotfl) \ 3/ 3r r 30 rsenO d<f> r r j

1 dp / 2 3vr

r sen 0 d<f> ' M \V V* r2sen2 6 + r* sen 0

2 eos 0 dv0 \

* En estas ecuaciones

y2 = r2 3r(r2 3r) + /-2sen0 3fl(sen ® ») + /-2sen2

COMPONENTES DEL TENSOR ESFUERZO EN COORDENADAS

RECTANGULARES ( x , y , z )

(£)) zg fio — + — 'ag Aag (?

= (a • A)

U) "2e *e " r¡- = "1 «= «X

O) _2<ig *<jg rf- =

(a) "fL + " rl- = «I = **X

O) (a . A)§ -"e -

rf- = "i

(g) (<• • - P-z] > . ti— = "a

(y) "e . W- = "i



CILINDRICAS ( r , 6 , z )

Trr = ~fi (A)

To» (B)

r sv- (C)

Tre = Tdr = _!/Ü!\ + 1 ?ÜL ' 3r\rl r BO

(D)

*ez = t:9 = ii® + 1 —

3z r 36

r j r = r r ! =» - f i 3l\ 9c r'

17 + IT (F)

13 x , 1 do, (VT) --rTr(rcr) + 1 7 (G)

APENDICE A.4 2. 125


ESFERICAS ( r , e , 0 )

TRR (A)

/I yr\ (B)

\ r s e n o d<f> r r ) (C)

r a /„,\ i dvrl

t8* = ri6 = "sen 5 3 1

r dd\send/ rsend d<f>_

%r = Tr¿ = 1 a /W

+ r ' * rsend B<f> 3r (?) (F

i a i a i aVi (V = -2 T r ( r V ) + y 0 0>a sen e ) + — d l ¿ (G


LA FUNCION - (T : d i v . v ) PARA FLUIDOS NEWTONIANOS.

Rectangular

Cilindrica

Esférica

ÎEf Bz • [i • IT - K'•£]" 2fdvz Bv, a^l2

3 [ite 4 ly + "fe J

M f ë M ^ ^ M ï i f ]

• [ í • 2fl a 1 3ve Sv,l1

- 3 + + —

/ i íi-j, vT VQ cot + \7¡^Té 1j¡ + 7 + 7 / J

&r

+

-f m sen 6 3

1 BVrJ r 36 J

r ae\sen 0} r s 1 3v„

1 rsen 6 i 3

sene 3<f> 2

- - , i dv¿ ~2 r <r rf) + H SH ("e 5611 e) + â TT rl3r r sen 6 " r sen 6

</0

(5)

(O

( a ) E s t a s expresiones se obtienen introduciendo l o s componentes de r de l a s t a b l a s a n t e r i o r e s .

APENDICE A.4.3

DEFINICION DE UN VALOR MEDIO

En general si y = f(x) ( v e r f i g u r a A.4.3.1), el valor medio o promedio de y puede d e f i n i r s e como :

ym =

*2 f ( x ) dx

X2 X I ( A )

FIGURA A.4.3.1 V a l o r Medio.

Donde el numerador es e l área b a j o l a curva entre x i y X2. Nótese que ym(x2 - x i ) = á r e a bajo e l rectángulo de a l t u r a ym y ancho xs - x i , y

x 2 y dx = áreabajo l a c u r v a y = f ( x )

La definición a n t e r i o r se a p l i c a cuando x representa una distancia lineal en coordenadas c a r t e s i a n a s . Por ejemplo, l a temperatura promedio de una p l a c a ( t a l como en l a f i g u r a 3 . 8 )

1 r1^ Tm = T dx (B)

En general l a temperatura en un cuerpo r e c t a n g u l a r varía con todas las coordenadas e s p a c i a l e s x , y , z .

De esta manera e l promedio volumétrico puede d e f i n i r s e como:

1 Tm = T dV (C)


En coordenadas c a r t e s i a n a s dV = d x . d y . d z .

S i s e t r a t a de l a p l a c a p l a n a con T var iando s ó l o en l a d i r e c c i ó n z , dV = Sadz, con S B constante y ( C ) se reduce a ( B ) .

Para e l caso de un c i l i n d r o en e l que podemos c o n s i d e r a r que s ó l o hay v a r i a c i ó n r a d i a l de temperatura,

nLm R2

rR 2 TtTL»(2r d r ) = —

0 R2 T r d r (D)

Este promedio volumétr ico nos da e l r e s u l t a d o más s i g n i f i c a t i v o desde e l punto de v i s t a f í s i c o .

APENDICE A.4.1

DETERMINACION I» LA TEMPERATURA MEDIA GLOBAL, DE MEZCLA O

PROMEDIA 1« BLOQUE.

En e l c a p í t u l o se d e f i n e l a v e l o c i d a d promedia de f l u j o en un conducto c i r c u l a r de á r e a s e c c i o n a l Az = TCR2 como l a v e l o c i d a d v B que nos permite c a l c u l a r e l caudal volumétr ico de f l u j o m u l t i p l i c á n d o l o por As ( e c u a c i ó n 4 . 4 7 ) ; o sea, Q = VmAz. Como v» v a r í a sobre e l á r e a t r a n s v e r s a l , e l caudal volumétr ico se determina considerando e l f l u j o a t r a v é s de un elemento de área dAz = 2rcrdr ( f i g u r a 4 .13 b ) e integrando sobre l a s e c c i ó n t r a n s v e r s a l :

Q = dQ = vz dAz

v » = 1

Az Vz dAz =

R v z ( 2 i r r d r )

TR ( A )

2nr dr

Supongamos ahora que l a temperatura v a r i a con l a p o s i c i ó n r a d i a l pero que l a v e l o c i d a d no. Podríamos d e f i n i r una temperatura media v o l u m é t r i c a como

fR T ( r ) r dr

( B ) fR

r d r

Pero s i l a v e l o c i d a d también v a r i a r a en l a s e c c i ó n t r a n s v e r s a l , t e n d r í a un mejor sent ido f í s i c o d e f i n i r un promedio g l o b a l de temperatura Tmb como l a temperatura que nos p e r m i t i e r a c a l c u l a r e l f l u j o de e n t a l p i a (contenido de c a l o r ) a t r a v é s de l a s e c c i ó n t r a n s v e r s a l , a p a r t i r de l a v e l o c i d a d promedio y e l área t o t a l .

Para un f l u i d o incompresible, l a e n t a l p i a por unidad de masa p o d r í a e s t a r dada por

H - HR = Cp (T - TR)


donde TR es una temperatura de r e f e r e n c i a y HR es l a e n t a l p i a a TR. Gomo l a masa d e l f l u i d o que pasa a t r a v é s de dA* es

f dQ = fVa dAs = fv* (2ur d r )

e l f l u j o de e n t a l p i a a t r a v é s de dA» es :

(H - HR ) [ dQ = f C p (T - TR)V z dA»

y e l f l u j o t o t a l de e n t a l p i a en l a s e c c i ó n t r a n s v e r s a l es :

f C p ( T - TR)V» DA«

que deberá s e r i g u a l a

fCpíTmb - TR)VadAz

igualando obtenemos :

fCp(T - TR)V® DA» (T - T R j v x r dr

TMTE - TR = fCp(Tb - TR)V« A« PR

Vas r dr

s i Cp es constante. Como TR es constante:

T»b

"R

e

TR

(Tvsc)(2nr d r )

v«(2ícr d r )

rR

e

TR

e

Tvzr dr

v « r dr

( C )

E s t a e x p r e s i ó n d i f i e r e de l a temperatura promedio Tm porque se i n c l u y e l a v e l o c i d a d como f a c t o r . Nótese que vm = Vmb, pero Tm d i f i e r e de Tmb a menos que e l p e r f i l de v e l o c i d a d sea plano.

E l promedio y e l promedio g l o b a l de concentraciones CAm y CAmb se d e f i n e n en forma s i m i l a r , reemplazando T por CA O [A.

5.COEFICIENTES I» TRANSFERENCIA

Y SISTEMAS DE MULTIFASE. Hasta ahora nos hemos r e f e r i d o fundamentalmente a l t r a n s p o r t e que o c u r r e dentro de una f a s e . S i n embargo, para a p l i c a c i ó n en diseño i n g e n i e r i l , e s generalmente n e c e s a r i o r e l a c i o n a r e s t a información con l a t r a n s f e r e n c i a de c a l o r , masa o c a n t i d a d de movimiento desde una f a s e a o t r a , es d e c i r a t r a v é s de una i n t e r f a s e . Obsérvese que u t i l i z a m o s l a p a l a b r a t r a n s p o r t e cuando e l proceso o c u r r e a l i n t e r i o r de una f a s e y l a p a l a b r a t r a n s f e r e n c i a p a r a r e f e r i r n o s a l movimiento i n t e r f a s e , entendiendo por i n t e r f a s e e l l i m i t e e n t r e dos f a s e s ; pudiendo s e r s e l i d o _ s ó l i d o > s o l i d o - l i q u i d o , l i q u i d o - l i q u i d o , l i q u i d o -g a s , e t c . Por ejemplo, en un intercambiador de tubo en tubo ( f i g u r a 5 . 1 ) en e l c u a l estamos calentando e l f l u i d o e x t e r n o , ocurren l o s s i g u i e n t e s procesos:

1 . Transporte dentro d e l f l u i d o i n t e r n o h a c i a l a pared i n t e r n a .

2 . T r a n s f e r e n c i a de c a l o r a t r a v é s de l a i n t e r f a s e l i q u i d o - s ó l i d o , h a c i a l a pared.

3 . T r a n s p o r t e de c a l o r a t r a v é s de l a pared.

4 . T r a n s f e r e n c i a de c a l o r a t r a v é s de l a i n t e r f a s e s ó l i d o - f l u i d o h a c i a e l f l u i d o e x t e r i o r .

5 . T r a n s p o r t e de c a l o r dentro d e l f l u i d o e x t e r i o r .

6 . T r a n s f e r e n c i a de c a l o r a t r a v é s de l a i n t e r f a s e l i q u i d o - s ó l i d o h a c i a l a pared e x t e r i o r .

7 . T r a n s p o r t e de c a l o r a t r a v é s de l a pared e x t e r i o r .

8 . T r a n s f e r e n c i a de c a l o r en l a i n t e r f a s e entre l a pared y e l a i s l a m i e n t o .

9 . T r a n s p o r t e de c a l o r a t r a v é s d e l a i s l a m i e n t o .

1 0 . T r a n s f e r e n c i a de c a l o r desde e l a i s l a m i e n t o h a c i a e l a i r e c i r c u n d a n t e .

1 1 . T r a n s p o r t e de c a l o r a t r a v é s d e l a i r e c i r c u n d a n t e .

Adicionalmente a e s t o s procesos de t r a n s p o r t e de c a l o r , ocurren l o s s i g u i e n t e s procesos de t r a n s p o r t e de c a n t i d a d de movimiento:

1 . T r a n s p o r t e de c a n t i d a d de movimiento dentro d e l f l u i d o i n t e r n o h a c i a l a pared i n t e r n a .

2 . T r a n s f e r e n c i a de cant idad de movimiento h a c i a l a pared.


3 . T r a n s p o r t e de c a n t i d a d de movimiento a t r a v é s d e l f l u i d o externo y h a c i a ambas paredes d e l a n i l l o .

4 . T r a n s f e r e n c i a de c a n t i d a d de movimiento a l a s paredes d e l a n i l l o .

FUTO Ai rmo vmmm

I 1

w FUMOO AL, TUBO €xmm

FIGURA 5 . 1 Esquematización de un intercambiador de tubos c o n c é n t r i c o s .

En forma s i m i l a r , ocurre t r a n s f e r e n c i a de masa a t r a v é s de i n t e r f a s e s en columnas de absorción (contacto gas - l i q u i d o ) , e x t r a c t o r e s ( l i q u i d o - l i q u i d o ) , equipo de l i x i v i a c i ó n ( s ó l i d o - l í q u i d o ) , y h u m i d i f i c a d o r e s e n f r i a d o r e s de agua ( gas - l í q u i d o ) , entre o t r o s .

COEFICIENTES DE TRANSFERENCIA.

TRANSFERENCIA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO : FACTOR DE FRICCION.

Consideremos el flujo a t r a v é s de una t u b e r í a o conducto c i r c u l a r como ya se discutió. En el caso de f l u j o laminar completamente d e s a r r o l l a d o podemos u s a r l a ecuación de Hagen - P o i s e u i l l e ( 4 .59 ) p a r a calcular l a caída de p r e s i ó n a determinada v e l o c i d a d de f l u j o . En forma s i m i l a r , para f l u j o laminar en un a n i l l o podemos u s a r ( 4.60 ) para e l mismo p r o p ó s i t o .

Pero ambas ecuaciones se d e r i v a n apl icando l a l e y de Newton de l a viscosidad la cual se aplica solamente en f l u j o l a m i n a r . Para f l u j o t u r b u l e n t o no existe una t e o r í a aceptada que pueda u s a r s e para p r e d e c i r e l f l u j o de c a n t i d a d de movimiento t u r b u l e n t o . En general l o s i n g e n i e r o s han debido r e f e r i r s e a c o r r e l a c i o n e s e m p í r i c a s de datos experimentales. Sin embargo, un programa de experimentos es generalmente mas costoso que un a n á l i s i s t e ó r i c o , por l o que es deseable r e d u c i r la c a n t i d a d de datos r e q u e r i d o s en l a medida de l o p o s i b l e . Esto puede hacerse usando v a r i a b l e s adimensionales.

ANALISIS DIMENSIONAL.

Para e l f l u j o en un conducto c i r c u l a r ( f i g u r a 4.14 a ) se puede e s p e r a r que l a c a í d a de p r e s i ó n dinámica (PO - PL) dependa de v a r i a b l e s t a l e s como l a l o n g i t u d d e l tubo, e l diámetro d e l mismo, l a

CAPITULO 5. COEFICIENTES DE TRANSFERENCIA Y SIST. MULTIFASE 135

v i s c o s i d a d n d e l f l u i d o , l a v e l o c i d a d promedio vm y l a densidad d e l f l u i d o f . Como para f l u j o completamente d e s a r r o l l a d o l a c a í d a de p r e s i ó n aparece directamente p r o p o r c i o n a l a l a l o n g i t u d podemos s i m p l i f i c a r e l problema usando una cantidad independiente de l a l o n g i t u d :

Po - Pl A P = - = f (D,U, f.VmJ I 5. 1 )

L L

Para determinar l a n a t u r a l e z a de e s t a r e l a c i ó n s i n usar a n á l i s i s dimensional , deberíamos medir l a c a í d a de p r e s i ó n como función de l a v e l o c i d a d promedio d e l f l u i d o v m . Luego debemos hacer mediciones s i m i l a r e s con tubos de d i s t i n t o s diámetros y l o n g i t u d e s . Posteriormente debemos e f e c t u a r ensayos con f l u i d o s de d i f e r e n t e s v i s cosidades y densidades, nuevamente para d i f e r e n t e s diámetros y l o n g i t u d e s . Se e v i d e n c i a que e l número t o t a l de ensayos s e r í a bastante grande debido a l número de parámetros y v a r i a b l e s i n v o l u c r a d a s y que l a c o r r e l a c i ó n de l o s datos obtenidos a s í como su e x t e n s i ó n a condic iones d i f e r e n t e s se h a r i a d i f i c i l - Por e s t a razón es conveniente e s c r i b i r ecuaciones como l a < 5 1 > en términos de grupos adimensionales. Para e l l o nos refer imos a l apéndice A . 5 . 1 .

Usando l o s procedimientos a l l í d e s c r i t o s se determina e l que s ó l o dos grupos adimensionales son n e c e s a r i o s para d e s c r i b i r e l fenómeno: una c a í d a de p r e s i ó n dinámica adimensional y una v e l o c i d a d adimensional Como d i j i m o s a n t e s , experimentalmente se ha encontrado que e x i s t e f l u j o laminar en conductos c i r c u l a r e s cuando l a cantidad adimensional denominada número de Reynolds es menor que 2100 Aparece conveniente u s a r e l número de Reynolds como l a v e l o c i d a d adimensional

DEFINICION GENERAL DEL FACTOR DE FRICCION.

Deseamos una d e f i n i c i ó n g e n e r a l , que i n c l u y a f l u j o externo, o sea pasando a l rededor de un objeto t t a l como alrededor de una p a r t í c u l a de c a t a l i z a d o r o d e l a l a de un aeroplano i Para este caso se u t i l i z a e l nombre de c o e f i c i e n t e de a r r a s t r e i o de r e s i s t e n c i a ), en l u g a r de f a c t o r de f r i c c i ó n , y l a f u e r z a de f r i c c i ó n o a r r a s t r e del s ó l i d o actuando en e l f l u i d o es l a v a r i a b l e deseada en lugar de l a c a l d a de . p r e s i ó n por unidad de l o n g i t u d . E l f a c t o r de f r i c c i ó n puede d e f i n i r s e entonces como e l f a c t o r de p r o p o r c i o n a l i d a d entre l a f u e r z a r e s i s t e n t e por unidad de área y l a energía c i n é t i c a d e l f l u i d o por unidad de volúmen :

Fe = f Kc ( 5 £ 1

S

Donde Fe es l a f u e r z a e j e r c i d a por e l f l u i d o en v i r t u d de su movimiento, S es e l área c a r a c t e r í s t i c a que, para e l f l u j o en conducciones ( o interno ) , es l a s u p e r f i c i e mojada; para e l f l u j o pasando o b j e t o s sumergidos ( o externo ) es e l área proyectada en un

•flj i'.H 1 • !• ' ¡ I"

plano perpendicular a la velocidad de aproximación del fluido; y Kc eo la energía cinética característica por unidad de volumen

Kc = *fv«2

Siendo v» la velocidad promedio del fluido para flujo interno y la velocidad de aproximación del mismo para flujo externo:

Fuerza resistente Energía cinética.

Area característica Volumen.

Recuérdese que esto no es una ley sino la definición del factor de fricción y que según se defina el área característica puede tener un valor numérico distinto por lo que se debe tener gran atención cuando se use.

FLUJO EN CONDUCTOS.

En estos la fuerza resistente será:

Fe = TS dS ( 5.7 ) s

donde S es el área de la pared del conducto (2TCRL para un tubo circular ) y r® es el esfuerzo cortante ( o flujo de cantidad de movimiento ) evaluado en la pared. Para flujo desarrollado en un conducto de sección transversal constante, rm no depende de la longitud, asi f estará definido por:

f = TS / (Hf V « 8 )

Relacionando gm a la caída de presión a través de un balance de fuerzas:

Fe = j (po - PL)(itR2) + fg»(*R2L)j = - jA/jriR2

y - A P R f = *fv»2 2L

Y la forma adimensional de la expresión ( 5.1 ) se convierte en :

f = f( Re ) ( 5.3 )

Donde f es llamado el factor de fricción.

El i*ao de las variables adimensionales f y Re hace que necesitemos menos datos para correlacionarlas que ai trataremos de hacer variar independientemente las canti dades incluidas en la ecuación ( 5.1 ).


O s e a , en f l u j o t u r b u l e n t o p o d r í a s e r s u f i c i e n t e v a r i a r l a v e l o c i d a d promedio y medir l a c a l d a de p r e s i ó n para e l f l u j o de un f l u i d o como por ejemplo agua, a t r a v é s de un tubo ( un R y un L ) . En l a p r á c t i c a l a s r e l a c i o n e s empír icas se comprueban con más de un f l u i d o para asegurar e l haber escogido l o s grupos adimensloríales adecuados. Aún a s i , l a c a n t i d a d de experimentación se reduce enormemente a l u s a r e l método de grupos adimensionales.

Para e l caso p a r t i c u l a r de f l u j o a t r a v é s de una t u b e r í a en f l u j o laminar l a ecuación de Hagen - P o i s e u i l l e :

A P 8JIVM

L R 2

a l s e r s u s t i t u i d a en ( 5 . 2 ) , nos da:

A P R 16 16 f - = = ( 5 . 4 )

fvm2L 2Rvmf/u Re

E s t a e x p r e s i ó n nos i n d i c a que para f l u j o laminar b a s t a conocer Re p a r a conocer f . S i n embargo, a t r a v é s de l a ecuación de Hagen -P o i s e u i l l e podríamos determinar l a c a í d a de p r e s i ó n en forma d i r e c t a . Pero e s conveniente tener un manejo u n i f i c a d o de c á l c u l o tanto para f l u j o laminar como p a r a f l u j o t u r b u l e n t o y en e s t e ú l t i m o no es p o s i b l e obtener una e x p r e s i ó n a n a l í t i c a exacta s i n o que es n e c e s a r i o obtener r e l a c i o n e s e m p í r i c a s e n t r e f y Re, como veremos más adelante.

APLICACION A SECCIONES TRANSVERSALES ARBITRARIAS.

Consideremos f l u j o a t r a v é s de un conducto de l o n g i t u d L y área de s e c c i ó n t r a n s v e r s a l A. E l área de l a pared s e r á S = PL donde P es e l perímetro húmedo, o sea e l perímetro de l a s u p e r f i c i e de l a pared que se h a l l a en contacto con e l f l u i d o . Así para un a n i l l o , P = 2n:(Ri + Rz) ( f i g u r a 4 . 1 5 a ) .

Un balance de e s f u e r z o s nos da :

FE = |^(po - PL)A + fg«AL J = - - - f v m 2 S

o sea :

{Pa - Pl)A - A I 7 A

H fv«2 S % [ Vn»2 L P

Dorde RH = A/PH = Radio h i d r a ú l i c o

= ( á r e a s e c c i ó n t r a n s v e r s a l ) / (Perímetro húmedo)

- A P RH

Vb>2 L


Para un tubo: ITR2 R DT

RH = = = 2TCR 2 4

donde D* es e l diámetro d e l tubo. Por e s t o frecuentemente se d e f i n e e l diámetro e q u i v a l e n t e como:

4A DOQ = 4 RH =

PH

Enalgunos t e x t o s se d e f i n e un f a c t o r de f r i c c i ó n d i f e r e n t e f ' :

- A P f ' = 4f = (Deq/L)

Vm2 Este se denomina f a c t o r de f r i c c i ó n de Darcy, mientras que f es llamado f a c t o r de f r i c c i ó n de Fanning.

EJEMPLO 5 . 1 .

Factor de F r i c c i ó n para un A n i l l o :

D e f i n i r e l f a c t o r de f r i c c i ó n para un a n i l l o y r e l a c i o n a r l o con e l número de Reynolds en e l caso de f l u j o laminar.

S o l u c i ó n :

Para e l a n i l l o , l a d e f i n i c i ó n d e l f a c t o r de f r i c c i ó n y l a a p l i c a c i ó n d e l balance de f u e r z a s da?

- ( A P / L ) R h f =

donde i

A rc(Rz2 - R i 2 ) Ra - R i

PH 2it ( R i + Ra) 2

d e l c a p i t u l o 4. : ( A P ) Ra2

Vn> = *(K) 8 Tt u L

1 -A3* 1 - A2 K = R i / R a ; = -

1 - A2 l n ( 1/K)

Reemplazando ( / \ P / L ) en l a e x p r e s i ó n para f :


f =

donde :

8|jvm Rh

v»2 Ra2 » ( * )

16

Re«®

fvDe*

M

f =

Re. -

16 4 RH2

(4RHfvm)/n Rz2 ®(JO

(1 - K)2

»(JO

4Rnfvm y

Se debe r e c o r d a r que para f l u j o laminar en un tubo f = 16/Re. 0 sea que l a r e l a c i ó n e n t r e f y Re para un a n i l l o no es l a misma como para un tubo aunque l a ú l t i m a se modifique usando e l diámetro e q u i v a l e n t e . Para e l a n i l l o e s t e empirismo puede c o n l l e v a r a e r r o r e s de h a s t a e l 50 %. S i n embargo, e s t a r e g l a e m p í r i c a presenta mejores r e s u l t a d o s con o t r a s s e c c i o n e s t r a n s v e r s a l e s y para f l u j o t u r b u l e n t o . A f a l t a de o t r a información puede u s a r s e como aproximación.

COEFICIENTES DE TRANSFERENCIA DE CALOR Y MASA.

En l o s problemas de dimensionamiento de equipos de i n g e n i e r í a , con f r e c u e n c i a necesitamos c a l c u l a r e l t r a n s p o r t e de c a l o r , masa o c a n t i d a d de movimiento h a c i a o desde una s u p e r f i c i e o i n t e r f a s e , es d e c i r un l í m i t e e n t r e f a s e s .

En g e n e r a l e l problema se reduce a determinar l a s densidades de f l u j o en l a pared ( o i n t e r f a s e ) .

En t r a n s f e r e n c i a de c a l o r se ha usado histór icamente l a l e y d e l e n f r i a m i e n t o de Newton:

I

q» = h ( Ts - To)

donde Ta r e p r e s e n t a l a temperatura promedio d e l f l u i d o y h es e l c o e f i c i e n t e de t r a n s f e r e n c i a de c a l o r .

En forma s i m i l a r un c o e f i c i e n t e de t r a n s f e r e n c i a de masa puede d e f i n i r s e como:

Na» = kc (CAa - CAO)

Donde ÑAS es e l f l u j o molar de A en l a i n t e r f a s e , CAO es l a c o n c e n t r a c i ó n promedio en un punto y CA» es l a con c e n t r a c i ó n de A en l a i n t e f a s e .

Notemos que para cant idad de movimiento podríamos análogamente d e f i n i r un c o e f i c i e n t e de t r a n s p o r t e a saber ( de l a d e f i n i c i ó n d e l c o e f i c i e n t e de f r i c c i ó n ) :

= »jfVm( (VzO - |*VM ) = í*fVmed( fvm - 0) = (f/2)fVm2


O sea e l c o e f i c i e n t e s e r í a H f Vm®d pero en l a p r á c t i c a se usa es e l f a c t o r de f r i c c i ó n .

Este f a c t o r de f r i c c i ó n t i e n e l a c a r a c t e r í s t i c a de s e r adimensional, l o que no o c u r r e con l o s c o e f i e n t e s de t r a n s f e r e n c i a de c a l o r y masa.

Podemos a d i m e n s i o n a l i z a r a s i : Nu = h Do / k

C o e f i c i e n t e adimensional de t r a n s f e r e n c i a de c a l o r o número de N u e s e l t .

Sh = ko Do /DAB

C o e f i c i e n t e adimensional de t r a n s f e r e n c i a de masa o número de Sherwood. En algunos t e x t o s l o denominan Nusselt para t r a n s f e r e n c i a de masa y l o s i m b o l i z a n (NU)AB.

Aquí Do es una l o n g i t u d c a r a c t e r í s t i c a para e l s istema, k es l a c o n d u c t i v i d a d térmica y DAB es l a d i f u s i v i d a d de A a t r a v é s de B.

Para f l u j o en t u b e r í a s l a l o n g i t u d c a r a c t e r í s t i c a es e l diámetro d e l tubo; p a r a f l u j o en o t r o s conductos se toma generalmente e l diámetro e q u i v a l e n t e . Para f l u j o pasando e s f e r a s l a l o n g i t u d c a r a c t e r í s t i c a es e l diámetro de l a e s f e r a a l i g u a l que para f l u j o p e r p e n d i c u l a r a c i l i n d r o s ; para o b j e t o s no e s f é r i c o s se usa e l diámetro e q u i v a l e n t e .

TEORIA PELICULAR.

En forma s i m i l a r a como l o describiéramos para t r a n s f e r e n c i a de masa, se ha encontrado experimentalmente que e l p e r f i l de temperatura en f l u j o t u r b u l e n t o aumenta rápidemente c e r c a a l a pared y es bastante

plano a l a l e j a r s e de l a pared (. f i g u r a 5 . 2 ) . Esto i n d i c a que e l mayor p o r c e n t a j e de l a r e s i s t e n c i a a l a t r a n s f e r e n c i a ocurre c e r c a a l a pared, y se acostumbra en l a p r á c t i c a i n g e n i e r i l p o s t u l a r e l que toda l a r e s i s t e n c i a a l t r a n s p o r t e ocurre en una delgada p e l í c u l a de


f l u i d o cercana a l a pared. Fuera de e s t a p e l í c u l a l a temperatura se supone i g u a l a l a de l a masa p r i n c i p a l d s l f l u i d o . Dentro de l a p e l í c u l a se asume f l u j o laminar aunque f u e r a de e l l a sea t u r b u l e n t o . La d i s t a n c i a zt se denomina espesor e f e c t i v o de p e l í c u l a , y e l c o e f i c i e n t e de t r a n s f e r e n c i a convectivo es frecuentemente denominado c o e f i c i e n t e p e l i c u l a r .

S i consideramos l a t r a n s f e r e n c i a de c a l o r desde una i n t e r f a s e h a c i a un f l u i d o de acuerdo con e s t e modelo, e l t r a n s p o r t e t o t a l de c a l o r por conducción a t r a v é s de l a p e l í c u l a estancada e s t a r í a dado por:

kS(Ts - T») Qb = = qe S

Zt

por d e f i n i c i ó n : qs = h (Ta ~ Tm)

o s e a : k (Ta - Tm)

= h (Ta " Tm) Zt

ó h = k/zt y :

Nu = h Do / k = De / zt

Análogamente, s i desde una s u p e r f i c i e difunde s o l u t o h a c i a un f l u i d o .

DAB (CAa - CAm) NA» = = k o (CA® - CAm)

zt ó k<2'= DAB / zt

y : Sh = ko Do / DAB = Do / zt

E s t o s r e s u l t a d o s nos d i c e n que para aumentar l o s c o e f i c i e n t e s p e l i c u l a r e s debemos r e d u c i r e l espesor de l a p e l í c u l a . Esto puede l o g r a r s e aumentando l a v e l o c i d a d d e l f l u i d o que pasa sobre l a s u p e r f i c i e . También puede mejorarse s i l a conductiv idad térmica ( o l a d i f u s i v i d a d másica ) aumentan. Sin embargo, se debe s e r cauteloso pues zt puede s e r f u n c i ó n de k . En r e a l i d a d l a t e o r í a p e l i c u l a r s ó l o nos d e j a un parámetro empírico en función de otro pero nos permite un a n á l i s i s c u a l i t a t i v o más s e n c i l l o d e l fenómeno.

CONDICIONES LIMITE GENERALES EN UNA INTERFASE.

En muchas a p l i c a c i o n e s de I n g e n i e r í a debemos t r a t a r con sistemas compuestos que constan de dos o más f a s e s . A l r e s o l v e r un problema de e s t a c l a s e e l procedimiento a s e g u i r e s :

1 D e r i v a r ecuaciones d i f e r e n c i a l e s para e l f l u j o en cada f a s e .

2 E s c r i b i r l a s l e y e s de f l u j o p a r a cada f a s e .


3 . R e s o l v e r l a s ecuaciones a n t e r i o r e s u t i l i z a n d o l a s condic iones l i m i t e .

En g e n e r a l podemos d e s p r e c i a r l a r e s i s t e n c i a a l t r a n s p o r t e en l a i n t e r f a s e . Las c o n d ic io nes l i m i t e corresponderán entonces a ( 1 ) i g u a l d a d de p o t e n c i a l e s y / o ( 2 ) igualdad de f l u j o s . Usando e l s u p e r l n d i c e ( a ) para r e f e r i r n o s a l a f a s e a y e l s u p e r l n d i c e ( 0 ) p a r a r e f e r i r n o s a l a f a s e 0 y e l s u b í n d i c e i para r e f e r i r n o s a l a i n t e r f a s e , l a s c o nd ic io nes l i m i t e para t r a n s p o r t e en l a d i r e c c i ó n x son:

E n e r g í a :

= T

Cantidad de movimiento y :

1 fi

= q

& = V

1 V = T

1 xy 1 xy

( despreciando v a r i a c i o n e s de l a t e n s i ó n i n t e r f a c i a l ) .

Masa de A:

= me I A

A.

; N 1 A J Í

fi = N

I A

Donde m e s t á dada por condic iones de e q u i l i b r i o termodinàmico y puede s e r f u n c i ó n de l a concentración.

En r e a l i d a d en l a i n t e r f a s e l o s p o t e n c i a l e s químicos son l o s que son i g u a l e s :

_OT G

A

_fi = G

I A

Donde GAIÍ: e n e r g í a l i b r e molar p a r c i a l o p o t e n c i a l químico de l a e s p e c i e A en l a f a s e a en l a i n t e r f a s e .

G | i : p o t e n c i a l químico de l a especie A en l a f a s e j¡3 en l a i n t e r f a s e .

De l a termodinámica conocemos que GA, e l p o t e n c i a l químico de l a e s p e c i e A en l a f a s e a a concentración CAa, se puede r e l a c i o n a r con GA001, e l p o t e n c i a l químico en un estado y concentración de r e f e r e n c i a según l a r e l a c i ó n :

a. oa a. G = G + RT l n ( a )


Donde AAA es l a a c t i v i d a d de A en l a f a s e a : AAA = ÍAA CAA, donde TA0-es e l c o e f i c i e n t e de a c t i v i d a d de A en a . Similarmente obtenemos:

e o© a a G = G + RT I n T c

A A A A

A l i g u a l a r l o s p o t e n c i a l e s químicos en cada f a s e :

a a ofi OJB 0 S> R T l n T c = G - G + RT I n T c

A A A A A A ó :

m = A

exp

ofi oa G - G

A A

RT

= m e

S i hacemos:

oa oJ3 G = G entonces

A A = a

m = a a

r /r A A

OTRAS CONDICIONES LIMITE EN LA INTERFASE.

Para i n t e r f a s e s gas - l i q u i d o , suponiendo l a s o l u c i ó n i d e a l en l a f a s e l i q u i d a y comportamiento de gas i d e a l en l a f a s e gaseosa se puede asumir v á l i d a l a l e y de R a o u l t : PA XA = p YA

Donde: XA: f r a c c i ó n molar de A en l a f a s e l i q u i d a . yA: f r a c c i ó n molar de A en l a fase gaseosa. PA: p r e s i ó n de vapor de A. p : p r e s i ó n t o t a l en e l s istema.

En ocasiones es v á l i d a l a l e y de Henry: HA XA = p YA HA: constante de Henry.

Par¿. i n t e r f a s e s impermeables e l f l u j o se hace c e r o :

1. T r a n s f e r e n c i a de c a l o r en una i n t e r f a s e a i s l a d a :


= 0 dT

dx = 0

2. T r a n s f e r e n c i a de masa en una i n t e r f a s e impermeable:

Ax = 0 de / dx

A = 0

3 . T r a n s f e r e n c i a de impulso en una i n t e r f a s e gas - l i q u i d o :

Txy 11 = 0 ; dvy / dx | i = 0

pues uq/ul « 0. Para f l u j o t u r b u l e n t o en l a fasegaseosa puede no ser c i e r t o .

Para r e a c c i o n e s químicas heterogéneas ocurr iendo en l a i n t e r f a s e , l a densidad de f l u j o s u p e r f i c i a l se puede e s p e c i f i c a r :

N = K* c » AL R A

Donde K'R es l a constante e s p e c i f i c a de r e a c c i ó n y n es e l orden.

APENDICE A.4.1

ANALISIS DIMENSIONAL Y SIMILITUD HIDRAULICA.

E l a n á l i s i s dimensional es a p l i c a b l e en todos l o s campos de l a i n g e n i e r í a . Los procesos f í s i c o s pueden d e s c r i b i r s e por ecuaciones c o r r e l a c i o n a n d o cantidades f í s i c a s dimensionales o v a r i a b l e s . Por medio d e l a n á l i s i s dimensional e s t a s cantidades se reorganizan en forma de grupos adimensionales. Los grupos adimensionales obtenidos no nos dan información acerca d e l macanismo d e l proceso pero nos ayudan a c o r r e l a c i o n a r l o s datos experimentales y a d e s a r r o l l a r r e l a c i o n e s f u n c i o n a l e s entre l a s v a r i a b l e s dimensionales.

SIMILITUD GEOMETRICA.

Los l í m i t s s f í s i c o s de c u a l q u i e r sistema de f l u j o pueden d e s c r i b i r s e adecuadamente por un número de medidas de l o n g i t u d L i , Lz, . . - Lm-

Se d i c e que e x i s t e s i m i l i t u d geométrica entre un modelo y e l correspondiente p r o t o t i p o s i l a s r e l a c i o n e s entre todas l a s dimensiones correspondientes en modelo y p r o t o t i p o son i g u a l e s :

U = L r = R e l a c i ó n de Longitudes ;

LE>

Am Lta2

= = Lr2 AP Lp2

También, a l d i v i d i r l a s d i f e r e n t e s a r b i t r a r i a de e l l a s , digamos L i , e l r 2 , . . , r » , donde

dimensiones de un sistema por una sistema puede d e f i n i r s e por : L i ,

r = L / L ; r = L / L 2 2 1 n n i

La s i m i l i t u d geométrica para l o s dos sistemas se cumplirá s i l a s r e l a c i o n e s de l o n g i t u d son l a s mismas para cada sistema, o sea r im = r i p .

Los s u b í n d i c e s m y p se r e f i e r e n a modelo y p r o t o t i p o respectivamente.

SIMILITUD CINEMATICA.

E s t a se r e f i e r e a l movimiento que ocurre en e l s istema y c o n s i d e r a l a s v e l o c i d a d e s e x i s t e n t e s . Para que e x i s t a s i m i l i t u d c inemática en dos s istemas geométricamente s i m i l a r e s , l a s velocidades en l o s mismos


puntos r e l a t i v o s en cada sistema deben mantener l a s s i g u i e n t e s r e l a c i o n e s

Vxm

Vym

Vm

mm

Vxp

Vyp

Vp ffip

A s í mismo, l o s grad ie nte s de v e l o c i d a d en cada sistema deben mantener una r e l a c i ó n s i m i l a r en cada uno. Otras r e l a c i o n e s ú t i l e s son :

Vm

Vp

8m

Qp

Lm/tm

Lp/tp

U / t a 2

Lp/tp2

3 Lm/tm

L3/t p p

Lr

tr

Lr

tr2

3 Lr-

tr

Velocidades.

Aceleraciones

Caudales.

> SIMILITUD DINAMICA.

E s t a c o n s i d e r a l a s r e l a c i o n e s entre l a s f u e r z a s i n e r c i a l e s , normales, c o r t a n t e s y de campo que actúan sobre e l s istema. En sistemas geométrica y cinematicámente s i m i l a r e s , l a s i m i l i t u d dinámica e x i s t e en l o s mismos puntos r e l a t i v o s de cada sistema s i :

Fuerza I n e r c i a l d e l Modelo Fuerza I n e r c i a l d e l p r o t o t i p o

Fuerza v i s c o s a d e l Modelo Fuerza v i s c o s a d e l p r o t o t i p o

Fuerza i n e r c i a l modelo Fuerza i n e r c i a l p r o t o t i p o

Fuerza g r a v i t a c i o n a l modelo Fuerza g r a v i t a c i o n a l p r o t o t i p o

A p a r t i r de l a segunda ley de Newton se obtienen l a s s i g u i e n t e s c o r r e l a c i o n e s :

R e l a c i ó n de Fuerzas I n e r c i a l e s .

Mm axn Mp ap

3

j*m Lea Lr fp Lp3 tr-2

(rLr^Lr/tr]2

APENDICE A.5.1. 145 ~ —.. - - - II IMil III "II III" II II I I ' ,1 II I II I ll"l I I I I lili lllll I I I I I I II I MUI I lili I •! III IIII 11 ,1 I lili II I

o s e a :

F = f L2 V2 : f A V2 r r r r r* r r

E s t a e c u a c i ó n e x p r e s a l a l e y g e n e r a l de l a s i m i l i t u d dinámica e n t r e modelo y p r o t o t i p o y es frecuentemente l lamada l a e c u a c i ó n newtoniana.

R e l a c i ó n e n t r e l a s f u e r z a s de p r e s i ó n y l a s f u e r z a s i n e r c i a l e s :

Ma fL3 ( L / t 2 ) fL2V2 p/2

pA pL2 pL2 p

Número de E u l e r ( E u ) .

R e l a c i ó n e n t r e l a s f u e r z a s v i s c o s a s e i n e r c i a l e s :

Ma Ma [L^V2 fVL

TA U(dV/dy)A u ( V / L ) L 2 M

Número de Reynolds ( R e ) .

R e l a c i ó n e n t r e f u e r z a s g r a v i t a c i o n a l e s e i n e r c i a l e s :

Ma fL2V2 V2

Mg fL3g Lg

La r a i z cuadrada de esta4 e x p r e s i ó n V A L g ) * se conoce como Numero de Froude ( F r ) .

R e l a c i ó n e n t r e l a s f u e r z a s e l á s t i c a s y l a s i n e r c i a l e s

Ma fL2V2 fV2

EA EL2 E

a q u i E es e l módulo de e l a s t i c i d a d dado como f u e r z a por unidad de á r e a .

La r a i z cuadrada de e s t a r e l a c i ó n V / í E / f ) * , se conoce como Número de Mach (Ma) = V e l o c i d a d / V e l o c i d a d d e l sonido.

R e l a c i ó n de f u e r z a s de t e n s i ó n s u p e r f i c i a l e s e i n e r c i a l e s .

Ma [L2V2 [LV2

oL oL o

Número de Weber (We).


o ea l a t e n s i ó n s u p e r f i c i a l expresada como f u e r z a por unidad de l o n g i t u d .

En g e n e r a l , e l ingeniero e s t á interesado en e l e f e c t o causado por l a f u e r z a dominante. En l a mayoría de l o s problemas de f l u j o predominan l a s f u e r z a s g r a v i t a c i o n a l e s , v i s c o s a s y / o e l á s t i c a s aunque no necesariamente en forma simultánea.

Relac iones de tiempo.

Las r e l a c i o n e s de tiempo e s t a b l e c i d a s para patrones de f l u j o gobernados esencialmente por l a v i s c o s i d a d , l a gravedad, por l a t e n s i ó n s u p e r f i c i a l y por l a e l a s t i c i d a d son respectivamente:

Tr = L2/T r r

aquí r es l a v i s c o s i d a d c inemática.

Tr = ( L r / g r )

r 3 Lr- [V/OR

Tr = Lr / ( E r / f r )

HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL.

Este p r i n c i p i o se a p l i c a a r e l a c i o n e s entre v a r i a b l e s dimensionales. Una ecuación que contiene v a r i a b l e s dimensionales es dimensionalmente homogénea s i cada término de l a ecuación t i e n e l a s mismas dimensiones.

METODOS DE ANALISIS DIMENSIONAL.

Hay t r e s métodos p r i n c i p a l e s de a n á l i s i s dimensional, todos l o s c u a l e s r i n d e n r e s u l t a d o s i d é n t i c o s .

i ) EL METODO DE BUCKINGHAM, quien en 1914 e s t a b l e c i ó e l llamado teorema rc ( pues por l a l e t r a g r i e g a p i denomina l o s d i f e r e n t e s grupos adimensionales ) , que es l a base d e l a n á l i s i s dimensional, y e s t a b l e c e que s i una ecuación es dimensionalmente homogénea, puede r e d u c i r s e a una r e l a c i ó n entre un conjunto de productos adimensionales. S i hay n cantidades f í s i c a s ( t a l e s como v e l o c i d a d , densidad, v i s c o s i d a d , p r e s i ó n , e t c . ) y k dimensiones fundamentales ( t a l e s como masa, l o n g u i t u d , tiempo) l a c o r r e l a c i ó n f i n a l e s t a r á en f u n c i ó n de n - k grupos adimensionales.

i i ) EL METODO DE RAYLE1GH, quien en 1899 a p l i c ó por primera vez e l método d e l a n á l i s i s dimensional como se usa generalmente en l a a c t u a l i d a d .

capitulo 4. aplicacion de las ecuaciones de variacion

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