04. ecuaciones de variacion para sistemas isotermicos

FENÓMENOS DE

TRANSPORTE. CAPÍTULO 4: ECUACIONES DE

VARIACIÓN PARA SISTEMAS

ISOTÉRMICOS.

Ing. Willians Medina.

Maturín, Junio de 2015.

Capítulo 4. Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos.

Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 1

PRESENTACIÓN.

La presente es una Guía de Ejercicios de Fenómenos de Transporte para estudiantes

de Ingeniería, Ciencia y Tecnología dictada en las carreras de Ingeniería Civil, Industrial,

Mecánica, de Petróleo y Química de reconocidas Universidades en Venezuela.

El material presentado no es en modo alguno original, excepto la inclusión de las

respuestas a ejercicios seleccionados y su compilación en atención al contenido

programático de la asignatura y al orden de dificultad de los mismos.

Dicha guía ha sido elaborada tomando como fuente las guías de ejercicios y

exámenes publicados en su oportunidad por Profesores de Fenómenos de Transporte en los

núcleos de Monagas y Anzoátegui de la Universidad de Oriente, además de la bibliografía

especializada en la materia y citada al final de cada capítulo, por lo que el crédito y

responsabilidad del autor sólo consiste en la organización y presentación en forma

integrada de información existente en la literatura.

Adicionalmente es conveniente mencionar que este trabajo ha sido realizado con

fines estrictamente académicos y su uso y difusión por medios impresos y electrónicos es

libre, no representando ningún tipo de lucro para el autor.

Finalmente, se agradece infinitamente la dispensa y atención a esta modesta

contribución en la enseñanza y aprendizaje de los Fenómenos de Transporte, así como las

sugerencias que tengan a bien para mejorar este trabajo, las cuales pueden hacer llegar

directamente a través de los teléfonos: +58-424-9744352 ó +58-426-2276504, PIN:

2736CCF1 ó 7A264BE3, correo electrónico: [email protected] ó

[email protected], twitter: @medinawj ó personalmente en la sección de Matemáticas,

Universidad de Oriente, Núcleo de Monagas.

Ing. Willians Medina.



ACERCA DEL AUTOR.

Willians Medina es Ingeniero Químico, egresado de la Universidad de Oriente,

Núcleo de Anzoátegui, Venezuela. Durante el transcurso de su carrera universitaria se

desempeñó como preparador docente en el área de Laboratorio de Química I y

Termodinámica Aplicada de la carrera de Ingeniería Química de la referida Universidad.

En el año 1996 ingresó a la Industria Petrolera Venezolana, Petróleos de Venezuela

(PDVSA), desempeñando el cargo de Ingeniero de Procesos en la Planta de Producción de

Orimulsión, en Morichal, al sur del Estado Monagas hasta el año 1998, momento en el cual

comenzó su desempeño en la misma corporación como Ingeniero de Manejo de Gas en el

Complejo Operativo Jusepín, al norte del Estado Monagas hasta finales del año 2000.

Durante el año 2001 formó parte del Plan Integral de Adiestramiento (PIA) en San Tomé,

Estado Anzoátegui, donde recibió cursos de preparación integral en las áreas de producción

y manejo de petróleo y gas, pasando finalmente a la Gerencia de Manejo de Gas del Norte

del Estado Monagas, en la localidad de Punta de Mata, siendo responsable del tratamiento

químico anticorrosivo de gasoductos de la zona de producción de petróleo y gas hasta

finales del año 2002. Desde el año 2006, forma parte del Staff de Profesores de

Matemáticas, adscrito al Departamento de Ciencias, Unidad de Cursos Básicos del Núcleo

de Monagas de la Universidad de Oriente (UDO), cargo en el cual ha dictado asignaturas

tales como Matemáticas I (Cálculo Diferencial), Matemáticas II (Cálculo Integral),

Matemáticas III (Cálculo Vectorial), Matemáticas IV (Ecuaciones diferenciales), Métodos

Numéricos, Termodinámica y Fenómenos de Transporte para estudiantes de Ingeniería. Es

autor de compendios de ejercicios propuestos y formularios en el área de Matemáticas,

Física, Química, Mecánica Vectorial, Métodos Numéricos, Termodinámica, Estadística,

Diseño de Experimentos, Fenómenos de Transporte, Mecánica de los Fluidos e Ingeniería

Económica. Es miembro del Colegio de Ingenieros de Venezuela.



4.1.- ECUACIONES DE VARIACIÓN PARA SISTEMAS ISOTÉRMICOS.

Coordenadas rectangulares.

Ecuación de continuidad: 0)()()(

zyx v

zv

yv

xt

Ecuación de movimiento.

En función de .

Componente x .

x

xzxyxxx

z

x

y

x

x

x gzyxx

p

z

vv

y

vv

x

vv

t

v

Componente y .

y

yzyyyxy

z

y

y

y

x

yg

zyxy

p

z

vv

y

vv

x

vv

t

v

Componente z .

z

zzzyzxzz

zy

zx

z gzyxz

p

z

vv

y

vv

x

vv

t

v

En función de los gradientes de velocidad para un fluido newtoniano de y constantes.

Componente x .

x

xxxx

z

x

y

x

x

x gz

v

y

v

x

v

x

p

z

vv

y

vv

x

vv

t

v

2

2

2

2

2

2

Componente y .

y

yyyy

z

y

y

y

x

yg

z

v

y

v

x

v

y

p

z

vv

y

vv

x

vv

t

v

2

2

2

2

2

2

Componente z .

zzzzz

zz

yz

xz g

z

v

y

v

x

v

z

p

z

vv

y

vv

x

vv

t

v

2

2

2

2

2

2

Coordenadas cilíndricas.

Ecuación de continuidad: 0)()(1

)(1

zr v

zv

rvr

rrt



Ecuación de movimiento.

En función de .

Componente r .

r

zrr

rrr

zrr

rr g

zrrr

rrr

p

z

vv

r

vv

r

v

r

vv

t

v

1)(

12

Componente .

g

zrrr

rr

p

rz

vv

r

vvv

r

v

r

vv

t

v z

rz

r

r

1)(

11 2

2

Componente z .

z

zzz

zrz

zzz

rz g

zrr

rrz

p

z

vv

v

r

v

r

vv

t

v

1)(

1

En función de los gradientes de velocidad para un fluido newtoniano de y constantes.

Componente r .

rrr

rr

zrr

rr g

z

vv

r

v

rvr

rrrr

p

z

vv

r

vv

r

v

r

vv

t

v

2

2

22

2

2

221

)(1

Componente .

g

z

vv

r

v

rvr

rrr

p

rz

vv

r

vvv

r

v

r

vv

t

v rz

rr

2

2

22

2

2

21)(

11

Componente z .

zzzzz

zzz

rz g

z

vv

rr

vr

rrz

p

z

vv

v

r

v

r

vv

t

v

2

2

2

2

2

11

Componentes del tensor esfuerzo en coordenadas rectangulares.

x

v

y

v yx

xyyx

x

v

z

v zxxzzx

y

v

z

vzy

yzzy

Componentes del tensor esfuerzo en coordenadas cilíndricas.



r

rr

v

rr

v

rr

1

r

v

z

v zrrzzr

z

zz

v

rz

v 1

Caudal: R

AdvQ

Elemento diferencial de área perpendicular al flujo longitudinal: rddrAd

Elemento diferencial de área perpendicular al flujo rotacional: zdrdAd

El elemento diferencial de área perpendicular al flujo radial: zddrAd

Forma de la superficie libre de un líquido contenido en un recipiente que gira.

Altura de la superficie del fluido: 22

02

rg

zz

Volumen inicial: ii zRV 2

Volumen final: R

f rdzrV0

2 ,

g

RzRV f

4

22

0

2

a) El fluido no se derrama.

Altura de la superficie del fluido:

2

1

2 2

222

R

r

g

Rzz i

0z

R

iz

r

z

H



Altura del vórtice: g

Rzz i

4

22

0

Altura mínima del recipiente: g

RzH

2

22

0min

Velocidad angular mínima: R

gzH i )(2min

Radio del fondo descubierto: 2

2 2

20

Rzgr i

Área del fondo descubierto: 2

2 2

2 izgR

A

b) El fluido se derrama.

Altura de la superficie de fluido:

1

2

222

R

r

g

RHz

Altura del vórtice: g

RHz

2

22

0

Radio del fondo descubierto: RR

Hgr

220

21

Área del fondo descubierto:

22

2 21

R

HgRA

Volumen que permanence en el recipiente:

g

RHRV f

4

222

c) Recipiente cerrado.

4.2.- FLUJO ROTACIONAL.

1. La varilla de un agitador es un cilindro de radio R y longitud muy larga. Se introduce el

agitador en un fluido newtoniano en reposo y se hace girar la varilla alrededor de su eje a

una velocidad angular constante, w . Suponga que el tanque donde está contenido el fluido

es lo suficientemente grande como para considerar que, lejos de la superficie del cilindro, el

fluido permanece en reposo. Determine:



La distribución de velocidades del fluido.

La distribución de presiones del fluido.

La magnitud y dirección de la fuerza por unidad de longitud que el fluido ejerce sobre el

cilindro en la dirección tangencial.

Respuesta: a) r

Rwv

2

; b) 0pp ; c) LRwRF 4)( , en sentido opuesto al sentido

de giro de la varilla.

2. Un cilindro de 3 cm de radio rota a 300 rpm en un fluido newtoniano infinito.

a) Halle el perfil de velocidad.

b) Encuentre y grafique la expresión para el esfuerzo de corte.

c) Calcule la velocidad y esfuerzo para 1r m.

d) A qué distancia del cilindro la velocidad es nula?

Datos adicionales: 800 kg/m3; 01.0 Pa.s. Desprecie los efectos de borde.

Respuesta: a) r

Rwv

2

; b) 2

22

r

Rwr

; c) m/s 02827.0v ; Pa 106549.5 4 r :

d) r .

3. Un cuerpo cilíndrico rota a una velocidad angular constante de 15 rad/s. Una película de

aceite de motor separa el cilindro del recipiente que lo contiene. La temperatura promedio

de aceite es de 20ºC y el espesor de la película de 210–3

cm. ¿Qué torque se requiere para

mantener el movimiento del cilindro a la velocidad indicada? Torque = Fuerza Distancia

al eje.



Respuesta: 2

22

1

4

k

LRkw

.

4. Flujo tangencial de un fluido newtoniano en tubos concéntricos.

Determinar las distribuciones de velocidad y de esfuerzo cortante, para el flujo laminar

tangencial de un fluido incompresible en el espacio comprendido entre dos cilindros

verticales coaxiales, cuando el cilindro exterior gira con una velocidad angular 0 .

Determine además el par necesario para hacer girar el cilindro exterior. Los efectos finales

pueden despreciarse.

Respuesta:

kk

Rk

r

r

Rk

Rv1

0 ;

2

2

2

2

01

12

k

k

rRr ;

2

22

01

4k

kLRT .

5. Flujo tangencial en tubos concéntricos de un fluido que obedece a la ley de

potencias.

Volver a trabajar el ejercicio 4 para un fluido que obedece a la ley de potencias.

Respuesta: n

n

k

r

Rk

r

v/2

/2

0 1

1

;

n

n

n

k

nLRkmT

/2

2

01

)/2()(2

6. Distribución de velocidad en un viscosímetro de Stormer.

Un viscosímetro de Stormer consta esencialmente de dos cilindros concéntricos, el interior

de los cuales gira, mientras que el exterior permanece estacionario. La viscosidad se



determina midiendo la velocidad de rotación del cilindro interior por efecto de la aplicación

de un par conocido.

Deducir una expresión para la distribución de velocidad en este tipo de aparatos, en función

del par aplicado, para el flujo laminar de un fluido newtoniano. Despréciense los efectos

finales.

Respuesta:

22

11

4 RrL

T

r

v

.

7. Calcule el par torsión (T ) que se requiere para hacer girar el cilindro de la figura a una

velocidad constante de rpm 30w . El radio del cilindro que se mueve es 2” y el radio de la

cavidad es de "241 . El espacio entre el cilindro y la cavidad está lleno con aceite de una

viscosidad de 200 cp y densidad 0.80 g/cc. Desprecie el efecto del fluido sobre la cara

inferior del cilindro. Determine la presión que ejerce el fluido sobre la pared interna de la

cavidad, asumiendo que la presión en la superficie del cilindro es nula.

Respuesta: 2

2

2

1

2

2

2

14

RR

LRRwT

.



8. Se tienen dos cilindros verticales concéntricos separados por un fluido de propiedades

constantes. Se aplica un par torsor al cilindro interior y por transferencia de cantidad de

movimiento gira el cilindro exterior. Determine el perfil de velocidades en función de las

velocidades angulares y los radios.

Si rpm 301 w , cp 492 y 2g/s 5v , cuál es la velocidad del cilindro exterior en rpm?

9. El cojinete de una máquina está formado por un eje cilíndrico giratorio de 0.025 m de

diámetro, alojado en un orificio vertical también cilíndrico de 0.0252 m de diámetro interno

y 0.2 m de longitud. Entre ambos cilindros se dispone de un aceite lubricante de 800 kg/m3

de densidad de 0.1 kg/m.s de viscosidad. Despreciando los efectos finales, determinar:

a) La ecuación de distribución de velocidades.

b) La ecuación de distribución de flux de momento.

c) La ecuación de distribución de presiones.

d) La potencia necesaria para hacer girar el eje del cojinete.

10. Momento de torsión necesario para hacer girar un cojinete de fricción.

Calcular el momento de torsión en lbf.ft, y la potencia en caballos que se necesitan para

hacer girar el eje del cojinete de fricción que se muestra en la figura. La longitud de la

superficie de fricción sobre el cojinete es 2 pulg, el eje gira a 200 rpm, la viscosidad del

lubricante es 200 cp, y su densidad es 50 lbm/pie3. Despreciar el efecto de la excentricidad.



Datos: cm 54.2R , cm 0051.0 .

Sugerencia: rFT ; wTP

Respuesta: .ftlb 32.0 fT ; hp 012.0P .

11. Pérdidas por fricción en cojinetes.

Cada una de las dos hélices en una gran embarcación de motor es impulsada por un motor

de 4000 hp. El eje que conecta el motor y la hélice mide 16 pulg de diámetro y reposa en

una serie de cojinetes de manguito que proporcionan un espacio libre de 0.005 pulg. El eje

gira a 50 rpm, el lubricante tiene una viscosidad de 5000 cp y hay 20 cojinetes, cada uno de

1 pie de longitud. Estimar la fracción de potencia del motor que se gasta para hacer girar los

ejes en sus cojinetes. Despreciar el efecto de la excentricidad.

Respuesta: 0.115.

12. Distribución de velocidad entre dos cilindros que giran.

Determinar )(rv entre dos cilindros coaxiales de radios R y Rk que giran con

velocidades angulares 0 y 1 , respectivamente. Supóngase que el espacio comprendido

entre dos cilindros está ocupado por un fluido isotérmico incompresible que se mueve con

flujo laminar. Obtenga una expresión para la fuerza ejercida por el fluido sobre el cilindro

interno.

R w



Respuesta:

)()(

)1(

110

4222

1

2

022 r

RkRkRr

kRv

1

)(4)(

2

01

k

LRkRkF

.

13. Dos cilindros concéntricos de longitud L se colocan verticalmente (gravedad en

dirección z ) y el espacio que hay entre los dos cilindros se llena con un fluido newtoniano

de densidad y viscosidad . El cilindro interno tiene radio 1R y gira a una velocidad

angular 1w , mientras que el cilindro externo tiene radio 2R y una velocidad angular 2w .

Con los datos anteriores calcules:

a) El perfil de velocidades.

b) El radio donde la velocidad es cero.

c) Los torques 1M y 2M ( 1M aplicado al cilindro interno y 2M al cilindro externo) que

hay que ejercer.

d) Si www 21 y 12 2 RR , calcule la proporción 12 / MM calculadas en c) y d).

Comente.

Nota: Torque = Fuerza Brazo.

Respuesta: a) rRR

RRwwr

RR

RwRwv

1)(2

2

2

1

2

2

2

121

2

2

2

1

2

22

2

11

; b)

2

22

2

11

21

21RwRw

wwRRr

;

c) 2

2

2

1

2

2

2

121

1

)(4

RR

RRwwLM

; d) 1

1

2 M

M.

14. Dos tubos concéntricos ( cm 21 D , cm 102 D ) verticales (muy largos) giran en

direcciones opuestas ( rpm 201 w , rpm 152 w ). Un fluido newtoniano se encuentra entre



estos dos cilindros. Calcule las fuerzas tangenciales (por unidad de longitud) que se deben

aplicar a cada cilindro para mantener las respectivas velocidades. Datos: 3kg/m 1250 ;

Pa.s 0.1 ; Estado estacionario.

Respuesta: 2

2

2

1

2

21211 )(4)(

RR

RRww

L

RF

; 2

2

2

1

2

2

1212 )(4)(

RR

RRww

L

RF

.

15. Un fluido que sigue el modelo de la potencia se encuentra entre dos cilindros

concéntricos, tal como se muestra en la figura. El cilindro interno posee una velocidad

angular w . Determine el perfil de velocidades y de presiones si se sabe que el esfuerzo

cortante según el modelo de la potencia es:

n

rrd

r

vd

rm

16. Flujo tangencial de un plástico de Bingham en tubos concéntricos.

Determinar las distribuciones de velocidad y esfuerzo, para el flujo de un plástico de

Bingham en el espacio comprendido entre dos cilindros verticales coaxiales, cuando el

cilindro exterior gira con una velocidad angular 0 , en función del par T comunicado al

cilindro exterior. Supóngase flujo laminar incompresible y despréciense los efectos finales.



Sugerencia: Para un fluido de Bingham:

r

v

rd

drr

00

Respuesta:

00

0

2

0

2

00

ln14 r

r

r

r

rL

T

r

v

para 0rrRk ,

r

v para

Rrr 0

17. Se planea producir y comercializar una excelente y nueva pasta de dientes de brillo

cegador denominada <<Leer». Se ha construido ya una pequeña planta piloto y se dispone

de muestras de «Leer» para ensayos. En la planta industrial se tendrá que bombear «Leer» a

diversos sitios, y para hacer esto de una manera eficaz se necesita saber sus propiedades de

flujo. Para ello se introduce «Leer» en un viscosímetro de capa rotatoria de las dimensiones

mostradas a continuación:

Se encuentra que la capa es capaz de girar solamente cuando el par de torsión excede

N.m 10/ ; y la capa gira a 3.8 r.p.m cuando el par de torsión es N.m 5/ . ¿Qué clase de

fluido es <<Leer>> y cuáles son los valores de sus parámetros de flujo?

9.9 cm

10.1 cm

10 cm



18. Encuéntrense las propiedades de flujo de una carga de 5 toneladas de un excelente

chocolate caliente, después de 72 horas de mezclado, a partir de los siguientes datos

obtenidos en un viscosímetro rotatorio de separación estrecha

( mm 251 R , mm 282 R , mm 4.76L )

Par de torsión (N.m) 0.0051 0.0077 0.0158 0.0414

Velocidad de rotación (r.p.m) Empieza justo a girar 0.39 2.62 14.81

19. Se sumerge un cilindro ( cm 95.0R , cm 4L ) en un recipiente de zumo de naranja

concentrado a 0ºC, se hace girar y se mide el par de torsión, con los siguientes resultados:

Velocidad de rotación (s–1

) 0.1 0.2 0.5 1.0

Factor de torsión (N.m) 61042 61063 610107 610152

Encuéntrense las características de flujo de esta muestra de zumo de naranja.

20. Se tienen dos cilindros concéntricos de longitud L y radios 1R y 2R respectivamente

como puede verse en la figura. El cilindro interior (de radio 1R ) gira a una velocidad

angular w , mientras que el cilindro exterior permanece fijo. Si el espacio entre estos dos

cilindros se llena con un fluido tipo Bingham, determine:

a) El perfil de velocidades (aquí no calcule las constantes de integración, sólo plantee las

ecuaciones necesarias para su solución).

b) El torque que el fluido ejerce sobre el cilindro interno.

c) El torque que el fluido ejerce sobre el cilindro externo y compárelo con el calculado en el

apartado anterior. ¿Qué ocurre? Comente.

21. Se tienen dos cilindros concéntricos, como se muestra en la figura. Entre ambos

cilindros se encuentran dos fluidos dispuestos de forma concéntrica, siendo el fluido más



interno un fluido tipo Bingham ( cp 3 , 3kg/m 800 ; Pa 50000 ) y el más externo

un fluido newtoniano ( Pa.s 5 , 3kg/m 1000 ). Si se aplica al cilindro interno una

fuerza de 2000 N/m para hacerlo rotar y se mantiene el cilindro externo fijo, determine en

estado estacionario:

i. El perfil de velocidades de los dos fluidos.

ii. La fuerza por unidad de longitud que ejerce el fluido newtoniano sobre el cilindro

externo.

iii. La velocidad angular del cilindro interno.

cm 41 R , cm 82 R , cm 123 R

22. Forma de la superficie de un líquido que gira.

Un fluido de densidad y viscosidad constantes está contenido en un recipiente cilíndrico de

radio R , tal como se indica en la figura. El recipiente rota alrededor de su eje con una

velocidad angular . El eje del cilindro es vertical, de forma que 0 ggr y gg z .

Hallar la forma de la superficie libre, una vez alcanzado el estado estacionario.

Respuesta: 22

02

rg

zz

. Forma parabólica.



23. Se hace girar un cilindro lleno de agua según se muestra en la figura a una velocidad de

115 rpm. Determine si el agua se derrama y en caso afirmativo calcule la cantidad de agua

que se pierde en kg. Propiedades del agua: 3kg/m 1000 y cp 1 .

Sugerencias:

a) Determine el perfil de presiones.

b) Halle la expresión para la curva que describe la superficie del fluido.

c) Calcule el volumen final del fluido.

d) Compare con el volumen inicial.

Respuesta: Se derraman 0.0203 m3 de agua.

24. [GE] Un depósito abierto cilíndrico de 122 cm de diámetro y 183 cm de profundidad se

llena de agua y se le hace girar a 60 rpm. ¿Qué volumen de líquido se derrama y cuál es la

profundidad del eje?

Respuesta: 0.433 m3; 1.083 m.

25. [GE] ¿A qué velocidad debe girar el depósito del problema 24 para que en el centro del

fondo del depósito la profundidad del agua sea nula?

Respuesta: 9.83 rad/s.

26. [GE] Un depósito cilíndrico abierto, de 2 m de altura y 1 m de diámetro, contiene 1.5 m

de agua. Si el cilindro gira alrededor de su eje geométrico, a) ¿qué velocidad angular se

puede alcanzar sin que se derrame nada de agua? b) ¿Cuál es la presión en el fondo del

depósito en C y D cuando rad/s 00.6w ?



Respuesta: a) 8.86 rad/s; b) Pa 25.12464CP ; Pa 70.16955CP .

27. [GE] Considere el depósito del problema 26 cerrado y con el aire sobre la superficie

libre a una presión de 1.09 kp/cm2. Cuando la velocidad angular es de 12.0 rad/s, ¿cuáles

son las presiones, en kp/cm2, en los puntos C y D de la figura?

Respuesta: Pa 330.11CP ; Pa 945.12CP .

28. [GE] A qué velocidad debe girar el depósito del problema 26 para que el centro del

fondo tenga una profundidad de agua igual a cero?


29. [GE] Un depósito cilíndrico cerrado de 1.8 m de altura y 0.9 m de diámetro contiene

1.40 m de agua. Cuando gire a una velocidad angular constante de 20.0 rad/s, ¿qué área del

fondo quedará descubierto?

Respuesta: 2m 0204.0A .

30. [GE] Un recipiente cerrado, de 1 m de diámetro, está totalmente lleno de agua. Si el

recipiente está girando a 1200 rpm, ¿qué incremento sufrirá la presión en la circunferencia

de la parte superior del depósito?

Respuesta: 19319.10 Pa.

31. [GE] Un recipiente abierto de 45.72 cm de diámetro y lleno de agua está girando

alrededor de su eje vertical a tal velocidad que la superficie del agua a 10.16 cm del eje

forma un ángulo de 40º con la horizontal. Calcular la velocidad de rotación.




32. Si el sistema mostrado gira con una velocidad angular rpm 30w . ¿Cuál será la altura

h de los tubos capilares, después de alcanzar el estado estacionario? No considere los

efectos de capilaridad.

33. Forma de una superficie libre en flujo anular tangencial.

a) Un líquido se encuentra en el espacio anular entre dos cilindros verticales de radios Rk

y R , y el líquido está abierto a la atmósfera en la parte superior. Demostrar que cuando el

cilindro interior gira con velocidad angular i y el cilindro exterior permanece fijo, la

superficie libre del líquido tiene la forma

)ln4(12

1 22

2

2

2

0

k

Rk

gzz i

R

donde Rz es la altura del líquido en la pared del cilindro exterior, y Rr / .

b) Repetir el inciso a) pero con el cilindro interior fijo y el cilindro exterior girando a una

velocidad angular 0 . Demostrar que la forma de la superficie del líquido es

)]1(ln4)1[(12

1 2422

2

2

0

2

0

kk

k

Rk

gzzR

34. Un fluido newtoniano está contenido en un tanque cilíndrico que rota con una velocidad

angular 0w alrededor del eje central (ver figura). Halle la ecuación que describe la posición

de la superficie libre como función de la coordenada radial r. Suponga que el flujo es

unidimensional en la dirección en todo punto y que los efectos de tensión superficial son



despreciables. La altura cuando el fluido está en reposo es 0h . ¿Cómo sería la forma de la

interfase si el fluido siguiera el modelo de Bingham?

35. Flujo laminar en un ducto cuadrado.

a) Un ducto recto se extiende en la dirección z una longitud L y su sección transversal es

cuadrada, limitada por las rectas Bx y By . Un colega comenta al lector que la

distribución de velocidad está dada por

222

0 114

)(

B

y

B

x

L

BPPv L

z

(3.B.3-1)

debido a que este colega a veces le ha malinformado en el pasado, usted se siente obligado

a comprobar el resultado. ¿El resultado satisface las condiciones límite relevantes y la

ecuación diferencial relevante?

b) Según el artículo de revisión escrito por Berker, la velocidad de flujo másico en un ducto

cuadrado está dada por

L

BPPw L

4

0 )(563.0

Comparar el coeficiente de esta expresión con el coeficiente que se obtiene a partir de la

ecuación 3.B.3-1.

Respuesta: a) Se satisfacen las condiciones de borde. No se satisface la ecuación de

movimiento; b) L

BPPw L

4

091 )(

36. Efecto de la altitud sobre la presión del aire.



En la desembocadura del río Ontonagon en la orilla sur del lago Superior (602 pies sobre el

nivel medio del mar), un barómetro portátil indica una presión de 750 mmHg. Usar la

ecuación de movimiento para calcular la presión barométrica en la cima del Government

Peak (2023 pies sobre el nivel medio del mar) en las cercanas montañas Porcupine.

Supóngase que la temperatura al nivel del lago es 70ºF y que ésta disminuye, al aumentar la

altitud, a razón constante de 3ºF por 1000 pies. La aceleración de la gravedad en la orilla

sur del lago Superior es aproximadamente igual a 32.19 pies/s2, y su variación con la altitud

puede despreciarse para este problema.

La variación de la densidad del aire en función de la temperatura se muestra en la tabla

siguiente.

)Cº(T )kg/m( 3 )Cº(T )kg/m( 3 –25 1423 10 1247

–20 1395 15 1225

–15 1368 20 1204

–10 1342 25 1184

–5 1317 30 1165

0 1292 35 1146

5 1269 40 1127

Respuesta: mmHg 47.711P

4.3.- FLUJO RADIAL.

37. Se tiene un espacio anular de radio interno R y radio externo R2 lleno de un fluido

newtoniano que fluye dentro de él en forma radial (ver figura). La superficie exterior

( Rr 2 ) se mantiene a una presión 02 p , mientras que la superficie interior se mantiene a

una presión 0p , provocando que el fluido se mueva de afuera hacia adentro. Despreciando

los efectos de gravedad y suponiendo propiedades conocidas, calcule: a) El perfil de

velocidades, b) La distribución de presiones, c) El caudal que pasa por el espacio anular.



Respuesta:

r

Rpvr

3

8 0 ;

2

03

1 47r

Rpp ;

3

24 0p

LRQ

38. Se establece un flujo en la dirección radial en un espacio anular entre dos cilindros

concéntricos de longitud L (ver figura). El fluido se introduce al cilindro interior y pasa a

través de una placa porosa al espacio anular, para luego salir a través de la pared del

cilindro exterior, que es también porosa. Determine el perfil de velocidades radiales,

sabiendo que el flujo volumétrico de fluido desde el cilindro interior al espacio anular es

Q . Halle también el gradiente de presión en la dirección radial ( rP / ). El fluido es

newtoniano, el flujo es incompresible y estacionario. Suponga que el flujo es

unidimensional en la dirección radial y que existe simetría angular y axial.



Respuesta: Lr

Qvr

2 ;

232

2

4 Lr

Q

rd

pd

.

39. Se tiene un espacio anular de radio interno 1R y radio externo 2R lleno de un fluido

newtoniano que fluye dentro de él en forma radial (ver figura). La superficie exterior se

mantiene a una presión 0p y se induce un caudal radial Q constante de adentro hacia

afuera. Despreciando los efectos de gravedad, calcule:

a) El perfil de velocidades.

b) La distribución de presiones.

Respuesta: Lr

Qvr

2 ;

232

2

4 Lr

Q

rd

pd

;

2

222

2

0 18 r

R

LR

Qpp

40. Un fluido newtoniano fluye entre dos cilindros concéntricos en dirección angular. El

fluido tiene una densidad , una viscosidad , y fluye en flujo estacionario e

incompresible. Ambos cilindros están fijos. El fluido entra a través de la sección 1 y sale a

través de la sección 2 (Ver figura). Las presiones en dichas secciones son 1P y 2P ,



respectivamente ( 21 PP ). Suponga que el flujo es unidimensional en la dirección angular.

Los ejes de los cilindros están alineados con el vector aceleración de gravedad (dicho

vector apunta en dirección perpendicular al plano de la figura). Utilice el sistema de

coordenadas cilíndricas ),,( zr . Los cilindros tienen longitud L .

a) Demuestre que la presión varía linealmente con la posición angular )( .

b) Determine el perfil de velocidades en el fluido.

c) Determine la fuerza en dirección angular que el fluido ejerce sobre ambos cilindros.



BIBLIOGRAFÍA.

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Mc-Graw Hill / Interamericana de España, S.A.U., Madrid, 1994.

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México, 1996.

STREETER, V y WILYE, E, Mecánica de los Fluidos, Octava Edición., Editorial Mc-

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04. ecuaciones de variacion para sistemas isotermicos

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