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CAPÍTULO 4:ENERGIA DE DEFORMAÇÃO

Prof. Romel Dias Vanderlei

Universidade Estadual de MaringáCentro de TecnologiaDepartamento de Engenharia Civil

Curso de Engenharia CivilP

rof.

Rom

el D

ias

Van

derle

i

4.1 – Energia de Deformação

P

δ

P

P1

δ0 dδ δ1

PLδ

Trabalho realizado pela força P durante o alongamento dδ:

dU=P.dδ → elemento de área

Trabalho total → →∫ ⋅= 1

0

δδdPU Área sob o

diagrama força-deformação entre 0 e δ1.

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

4.1 – Energia de Deformação

O trabalho da força P é transformado total ou parcialmente em energia de deformação.

Unidade : N.M = J (Joule)

Para um material elástico linear:

P

δ

P

δ

2

.δPU = → Área do triângulo hachurado

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

4.2 – Densidade de Energia de Deformação

� Para que a análise não fique presa as dimensões da barra e possa ser dirigida para as propriedades do material, vamos considerar o trabalho de deformação por unidade de volume:

∫∫

⋅=⋅

⋅=

1

1

0

0

x

x

L

dx

A

P

LA

dxP

V

U∫=1

0

.ε

εσ xx du→

Unidade : J/m³

� Observa-se que a densidade de energia é igual a área sob a curva tensão x deformação específica.

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


Se o material for descarregado quando o nível de tensão for maior que o escoamento, a tensão retorna a zero, mas há uma deformação permanente (εp), e somente parte da densidade de energia érecuperada (correspondente a área do triângulo), o restante é dissipada na forma de calor.

ε1εpε

σ

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


Módulo de Tenacidade : é a área total sob a curva tensão x deformação específica (ε=εp) e representa a energia por unidade de volume necessária para fazer o material entrar em ruptura.A tenacidade está relacionada com ductilidade e resistência do material.

εRε

σ

Ruptura

Módulo de tenacidade

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


� Para material elástico linear:

22

0

22

1

⋅=⋅=

⋅⋅=∴⋅= ∫

E

EEu

dEuE

xx

xxxx

σε

εεεσε

Eu x

⋅=

2

2σ

Para σx=σE

Eu E

E ⋅=

2

2σ

εEε

σ

σEMódulo de Resiliência

Módulo de Resiliência

Módulo de Resiliência : representa a energia por unidade de volume que o material pode absorver sem escoar.

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

4.3 – Energia de Deformação Elástica para Tensões Normais

� Para distribuição de tensões não uniformes, “u”pode ser definido considerando-se a energia de deformação de um pequeno elemento:

V

Uu

V ∆∆=

→∆ 0lim

dV

dUu =e

Onde: ∫ ⋅=1

0

ε

εσ xx duE

uE xxx ⋅

=→⋅=2

2σεσ

∫ ⋅=∴⋅=Vol

dVuUdVudU

Assim: ∫ ⋅=V

x dVE

U2

2σ

e

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

4.3.1 – Para Carga Axial

P

dV=A(x).dx

L

)(xA

Px =σ

∫∫ ⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅

=L

xV x

dxxAAE

PdV

AE

PU

02

)(2

)(

)(2

²

2

²

∫ ⋅⋅⋅

=L

dxxAE

PU

0

2

)(2se A=const. →

AE

LPU

⋅⋅⋅=

2

2

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

4.3.1 – Para Carga Axial

� Exemplos:

A1, E1 A2, E2

L1 L2

PA2, E2, L2, F2

A1, E1, L1, F1

22

22

11

12

21

22 EA

LP

EA

LPU

UUU

⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅=

+=

22

22

2

11

12

1

21

22 EA

LF

EA

LFU

UUU

⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅=

+=

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

A B

x

C

qP

q

4.3.2 – Para Flexão

σxσx

dA

dx

zx I

yM .=σ

• Desprezando as tensões de cisalhamento• Momento em C = M

⇒⋅⋅⋅⋅⋅

=

⋅⋅⋅

⋅=⋅⋅⋅

⋅=⋅=

∫ ∫

∫ ∫ ∫L

AZ

V V A ZZ

x

dxdAyIE

MU

dVEI

yMdV

EI

yMdV

EU

02

2

2

2

2

222

)²(2

2

²

22

σ

∫ ⋅⋅⋅

=L

z

dxIE

MU

0

2

2

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

4.3.2 – Para Flexão

� Exemplo:

Px

L

EI

06

³²

2

²²

0

L

IE

xPdx

IE

xPU

xPM

z

L

z ⋅⋅⋅=⋅

⋅⋅⋅=

⋅−=

∫

zIE

LPU

⋅⋅⋅=

6

32

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

4.4 – Energia de Deformação Elástica para Tensão de Cisalhamento

τ

τ

τ τ

∫=γ

γτ0

.du onde: γτ .G=

GGGG

dGu⋅

=⋅

=⋅=⋅⋅= ∫ 2

²

2

)²(

2

²

0

ττγγγγ

∫=∴=⇒=V

dVuUdVudUdV

dUu . .

∫ ⋅⋅

=V

dVG

U2

²τ

2

.γτ=u

τ

γ

τ

τ

γ

τ

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

4.4.1 – Para Torção

T

L

TT

dA.dx

dA

U

T

φ

φ: ângulo de torção

J

TJG

LT

ρτ

φ

⋅=

⋅⋅=

⇒⋅⋅⋅⋅⋅

=

⋅⋅⋅⋅⋅=⋅

⋅=

∫∫

∫∫

dxdAJG

TU

dxdAJG

TdV

GU

A

L

x

x

)²(2

²

2

²²

2

²

02

)(

2)(

ρ

ρτ

∫ ⋅⋅⋅

=L

x

dxJG

TU

0 )(2

²

JG

LTU

⋅⋅⋅=

2

2

Eixo da seção uniforme ⇒

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

4.4.1 – Para Torção

� Exemplo:

φ=n.d φ=d

T

L/2 L/22

22

1

12

21

22 JG

LT

JG

LTU

UUU

⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅=

+=

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

4.4.2 – Para Carregamento Transversal

Considerar as tensões normais e de cisalhamento.

P

L

yτ

dA

τσ UUU +=

Energia de deformação devido a tensão normal Uσ:

z

L

z IE

LPdx

IE

MU

PxM

⋅⋅⋅=⋅

⋅⋅=

⋅−=

∫ 62

32

0

2

σ

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


Energia de deformação devido a tensão de cisalhamento Uτ:

∫ ∫

∫∫

⋅

⋅⋅

⋅=

⋅

⋅⋅=⋅=

→⋅⋅=

L

A

s

z

V z

s

V

z

sxy

dxdAb

M

IG

VU

dAdxIb

MV

GdV

GU

Ib

MV

0

2

2

2

²2

²

2

1

2

²

τ

ττ

τ Atua no volume dx.dA

A integral ∫ ⋅A

s dAb

M

²

2

é calculada na área da seção.

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


Fator de forma para cisalhamento (fc):

∫ ⋅=A

s

zC dA

b

M

I

Af

2

2

2

Então:A

IfdA

b

M zC

A

s2

2

2 ⋅=∫

Logo: ∫ ⋅⋅⋅⋅

=L

zC

z

dxA

If

IG

VU

0

2

22

²τ

∫ ⋅⋅

⋅=L

C dxAG

VfU

0 2

²τ

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


� Exemplo de cálculo do fator de forma:

- Seção Retangular:

)( 2 yh − Ai

ydy

b

2h

2h

)4

(2

)()2

)((

12

22

22

3

yhb

M

yby

yAyM

hbI

hbA

S

hh

iiS

z

−⋅=

−⋅⋅−+=⋅=

⋅=

⋅=

dybdA .=

∫−

=⋅⋅−⋅⋅

⋅

⋅

⋅=2

25

6)

4(

4

12

22

2

2

23

h

h

dybyh

b

b

hb

hbfC

=⋅⋅

⋅= ∫

L

dxAG

VU

0

2

25

6

τAG

LV

⋅⋅⋅⋅

5

3 2

Logo: τσ UUU +=

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

4.5 – Energia de Deformação devido a uma Força

∫ ⋅= 1

0

δdsPU

Para deformação elástica: δ⋅= PU2

1

Exemplos:1) Viga em balanço:

P

L

y

=

⋅⋅⋅=

⋅=

zIE

LPPU

yPU

32

23

Sabendo que:z

máx IE

LPy

⋅⋅=

3

³

zIE

LP

⋅⋅⋅

6

32

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


2) Viga engastada com momento na extremidade:

L

θM

zmáx IE

LM

MdMU

⋅⋅=

⋅=⋅= ∫

θ

θθθ

20

=

⋅⋅⋅=⋅=

zIE

LMMMU

22

θzIE

LM

⋅⋅⋅

2

2

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


3) Eixo circular torcido:

JG

LT

TdTU

⋅⋅=

⋅=⋅= ∫

φ

φφφ

0 2

=⋅⋅⋅=JG

LTTU

2

L

T

Tφ

JG

LT

⋅⋅⋅

2

2

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

4.6 – Deformação devida a uma força

Sabemos agora que:

δ⋅= PU2

1 θ⋅⋅= MU2

1 φ⋅⋅= TU2

1

Se o trabalho de deformação U for conhecido, pode-se obter as deformações δδδδ, θθθθ ou φφφφ.

Exemplo: Determine a flecha da viga abaixo considerando: a) somente as tensões normais;

b) as tensões normais e de cisalhamento

P

L

Bh

bL

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


a) Efeito das tensões normais:

z

L

z

L

oz

IE

LPdx

IE

xPU

xPMIE

MU

⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅=

⋅−=→⋅⋅

=

∫

∫

62

232

0

22

2

σ

σ

→⋅⋅

⋅=⋅=z

B

IE

LPyPU

62

32

σComo:

zB IE

LPy

⋅⋅⋅=

3

3

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


b) Efeito das tensões normais e de cisalhamento:

=⋅⋅⋅

⋅=

⋅⋅⋅

⋅=

∫

∫

L

LC

dxAG

PU

dxAG

VfU

0

2

0

2

25

62

τ

τ Seção retangular:5

6=Cf

AG

LP

⋅⋅⋅⋅

5

3 2

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


zIE

LPU

⋅⋅⋅=

6

32

σ

⋅⋅⋅⋅⋅+⋅

⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅⋅+⋅

⋅⋅⋅=⋅

⋅⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅=⋅=

⋅⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅=+=

2

3

2

32

232

232

5

181

3

5

181

62

5

3

62

5

3

6

LGA

IE

IE

LPy

LGA

IE

IE

LPyP

AG

LP

IE

LPyPU

AG

LP

IE

LPUUU

z

zB

z

z

B

z

BTotal

zTotal τσ

↑

Parcela relativa ao cisalhamento

(yB)Uτ → equivale a erro menor que 0,9% quando h/L<1/10

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

4.7 – Teorema de Castigliano

“Se o material de um corpo solicitado por forças é elástico linear e os deslocamentos são pequenos, a derivada parcial da energia de deformação em relação a qualquer força fornece o deslocamento correspondente a esta força.”

ii P

U

∂∂=δ

ii M

U

∂∂=θ

ii T

U

∂∂=φAssim:

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


Para uma viga:

∫ ⋅⋅⋅

=L

z

dxIE

MU

0

2

2

∫ ⋅∂∂⋅

⋅=

∂∂=

L

izii dx

P

M

IE

M

P

U0

δ

∫ ⋅∂∂⋅

⋅=

∂∂=

L

izii dx

M

M

IE

M

M

U0

θ

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


� Exemplo 1: Determine a flecha no ponto B da viga engastada abaixo. Considere E.Iz = 5MN.m²

6 KN

2 m

4 KN/m

xP

M

xqxPM

−=∂∂

⋅+⋅−= )2

(2

)83

(1

)2

(1

))(2

(1

43

0

32

0

2

0

LqLP

IE

dxxq

xPIE

dxxxq

xPIE

dxP

M

IE

M

P

U

zB

L

zB

L

zB

L

B

⋅+⋅=⋅

=∂

⋅⋅+⋅=⋅

=∂

⋅−⋅+⋅−=⋅

=∂

⋅∂∂⋅

⋅=

∂∂=∂

∫

∫

∫

)8

2104

3

2106(

105

1 4333

6

××+×××

=∂B

↓=×=∂ − mmmB 8,4108,4 3

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


Obs.: O teorema de Castigliano determina o deslocamento δi de um determinado ponto da estrutura, apenas se existir uma força Pi aplicada neste ponto e na direção em que δi vai ser determinada. Quando não existir carregamento aplicado no ponto desejado, ou quando a carga não está na direção do deslocamento desejado, pode-se usar o teorema de Castigliano aplicando uma força fictícia Qi na direção em que deve ser calculado o deslocamento δi, então,

ii Q

U

∂∂=δ

Assume Qi = 0 e calcula-se o deslocamento desejado.

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


� Exemplo 2: Determine a flecha e a declividade no ponto A da viga engastada.

QA

B

L

q

Ax S

1) Aplica-se no ponto A uma carga fictícia QA

∫ ⋅∂∂⋅

⋅=

∂∂=

L

iziA dx

Q

M

IE

M

Q

U0

δ

2) Momento a uma distância x de A:

xQ

M

xqxQM

A

A

−=∂∂

⋅−⋅−=2

2

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


3) Flecha:

08

1

2

1

0

)()2

²(

1

4

0

3

0

Lxq

IEdx

xq

IE

Qfazendo

dxxxq

xQIE

z

L

zA

A

L

Az

A

⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅

=

=

⋅−⋅⋅−⋅−⋅⋅

=

∫

∫

δ

δ

↓⋅⋅

⋅=z

A IE

Lq

8

4

δ

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


4) Declividade:

MA 12

2

0

−=∂∂→⋅−−=

⋅∂∂⋅

⋅=

∂∂= ∫

AA

A

L

zAA

M

MxqMM

dxM

M

IE

M

M

Uθ

zA

zA

A

L

Az

A

IE

LqLxq

IE

M

dxxq

MIE

⋅⋅⋅=→⋅⋅

⋅=

=

⋅−⋅⋅−−⋅⋅

= ∫

6

³

06

³1

0

)1()2

²(

10

θθ

θ

q

AS B

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


� Exemplo 3: Para a viga e carregamento mostrado, determine o deslocamento no ponto D.Use E = 200 GPa e Iz = 28,9x106mm4.

Q

3,6 m

q = 26 kN/m

a=1,4m b=2,2mD BA

Teorema de Castigliano1- Aplica-se uma força fictícia Q vertical no ponto D.

∫∫∫ ⋅∂

∂⋅+⋅∂∂⋅=⋅

∂∂⋅=

D

Bz

D

Az

L

zD dx

Q

M

EI

Mdx

Q

M

EI

Mdx

Q

M

EI

M 2211

0δ

2- Flecha em D:

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


Trecho AD: 0 ≤ x ≤ a

L

xb

Q

Mex

L

bQ

L

bqxRM VA

⋅=∂∂⋅⋅+⋅=⋅= 1

1 )2

²(

LEI

baRdx

L

xbxR

EIdx

Q

M

EI

M

z

VAa

VAz

D

Az ⋅⋅

⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅∂∂⋅ ∫∫ 3

³10

1

11Logo:

Fazendo Q=0 e substituindo RVA:

∫ ⋅⋅⋅⋅=⋅

∂∂D

Azz LEI

baqdx

Q

M

EI

M

²6

³³11

Reações de apoio:

L

aQ

L

babq

eL

bQ

L

bqR VBVA ⋅+

+⋅⋅=⋅+⋅=

)2

(R

2

2

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


Trecho DB: 0 ≤ v ≤ b

L

va

Q

M

vqv

L

aQ

L

babqvq

vRM VB

⋅=∂

∂

⋅−⋅⋅++⋅⋅

=⋅−⋅=

2

2 2

²]

)2

([

2

²

Logo:

LEI

baq

LEI

baRdv

Q

M

EI

M

dvL

vavqvR

EIdv

Q

M

EI

M

zz

VBD

Bz

b

VBz

D

Bz

⋅⋅⋅⋅−

⋅⋅⋅⋅=⋅

∂∂⋅

⋅⋅⋅⋅−⋅=⋅∂

∂⋅

∫

∫∫

83

³

)2

²(

1

422

0

22

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


Fazendo Q=0 e substituindo VB:

qLEI

baba

LEI

baq

LEI

ba

L

babq

dvQ

M

EI

M

zzz

D

Bz

⋅⋅⋅

⋅+⋅⋅=⋅⋅

⋅⋅−⋅⋅

⋅⋅

+⋅=⋅

∂∂⋅∫ ²24

²5

83

³)2

( 544

2

22

Substituindo os valores numéricos:

)4(24

³)()4(

²24

³

²)5²4(²24

³

²24

²5

²6

³³ 54

baLEI

baqbaba

LEI

baq

babaLEI

baqq

LEI

baba

LEI

baq

zzD

zzzD

+⋅⋅

⋅⋅=+⋅+⋅⋅⋅

⋅⋅=

++⋅⋅

⋅⋅=⋅⋅⋅

⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅=

δ

δ

Flecha no ponto D:

↓= mmD 05,6δ

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


� Exemplo 4: Determine os deslocamentos horizontais e verticais do ponto B na estrutura abaixo:

QL

P

A,E

A,E

34

34

C

D

B

FBC

FBD

B Q

P

3

4

34

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


1) Aplica-se uma força fictícia Q horizontal em B;2) Teorema de Castigliano:

P

Uy

Q

Ux BB ∂

∂=∂∂= e

3) Energia de deformação da estrutura:

EA

LF

EA

LFU BDBDBCBC

.2.2

22 ⋅+⋅=

Logo:

P

F

EA

LF

P

F

EA

LF

P

Uy

Q

F

EA

LF

Q

F

EA

LF

Q

Ux

BDBDBDBCBCBCB

BDBDBDBCBCBCB

∂∂⋅

⋅⋅+

∂∂⋅

⋅⋅=

∂∂=

∂∂⋅

⋅⋅+

∂∂⋅

⋅⋅=

∂∂=

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


4) Forças nas barras: equilíbrio do ponto B

015

16

15

20

5

3

03

45

5

4

5

3

05

4

5

30

3

450

5

3

5

40

=⋅+⋅−−⋅

=

−−−⋅

=⋅−−⋅∴=

−=∴=⋅−⋅−∴=

∑

∑

BCBC

BCBC

BDBCy

BCBDBDBCx

FQPF

FQPF

FPFF

FQFFFQF

QPF

QPF

BD

BC

⋅+⋅−=⋅+⋅=6,08,0

8,06,0

FBC

FBD

B Q

P

3

4

34

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


Logo:

8,06,0

6,08,0

−=∂

∂=∂

∂

=∂

∂=∂

∂

P

Fe

P

F

Q

Fe

Q

F

BDBC

BDBC

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


5) Cálculo dos deslocamentosFazendo Q=0:

⋅−=⋅=

PF

PF

BD

BC

8,0

6,0

EA

LP

EA

LP

EA

LPy

EA

LP

EA

LP

EA

LPx

LLeLL

B

B

BDBC

⋅⋅=−

⋅⋅⋅−+⋅

⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅−=⋅

⋅⋅⋅−+⋅

⋅⋅⋅⋅=

⋅=⋅=

728,0)8,0.(8,0)8,0(

6,06,0)6,0(

096,06,08,0)8,0(

8,06,06,0

8,0 6,0

↓⋅⋅⋅=←

⋅⋅⋅=

EA

LPy

EA

LPx BB 728,0 096,0Logo:

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

4.8 – Estruturas Estaticamente Indeterminadas

� Pode-se usar o teorema de Castigliano para determinar reações de apoio de estruturas estaticamente indeterminadas:

Exemplo 1:q

A

L

B

q

A

L

RA

B

Grau de hiperestaticidade → 1Escolhe-se uma reação como redundante → RA

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


Pelo teorema de Castigliano: →A

A R

Uy

∂∂=

xR

MxqxRM

dxR

M

IE

M

R

Uy

AA

L

AzAA

=∂∂⋅−⋅=

⋅∂∂⋅

⋅=

∂∂= ∫

e 2

2

0

Onde sabe-se que yA=0Logo:

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


)83

³(

1

)2

³²(

1

)2

²(

1

4

0

0

qLLR

EIy

dxxq

xREI

y

dxxxq

xREI

y

A

zA

L

Az

A

L

Az

A

−⋅⋅=

⋅−⋅=

⋅⋅⋅−⋅=

∫

∫

Como yA= 0 →8

3 LqRA

⋅⋅=

Logo:8

²

8

5 qLMe

qLR BB ==

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


Exemplo 2: Determine as reações de apoios da viga:

Grau de hiperestaticidade : 3 – 2 = 1Reação redundante : RA

q

A

L

B

L/2

C

q

A

L

B

L/2RA

C

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


Teorema de Castigliano:

⋅

∂∂⋅+⋅

∂∂⋅=⋅

∂∂⋅= ∫∫∫

C

BA

B

AAzAz

A dxR

MMdx

R

MM

EIdx

R

M

EI

My 2

21

1

1

qLRRRqLR ACAB 4

32 e 3

4

9 −=−=

Reações de apoio:

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


Trecho 1 : 0 ≤ x ≤ Lx

R

MqxxRM

AA =

∂∂−⋅= 1

1 ;2

²

83

³)

2

²(

4

0

11

qLLRdxx

qxxRdx

R

MM A

L

A

B

AA

−⋅=⋅⋅−⋅=⋅∂∂⋅ ∫∫

Trecho 2 : 0 ≤ v ≤ L/2

vR

MqvvqLRM

AA 2 ;

2

²)

4

32( 2

2 =∂∂−⋅−=

64

5

6

³

64166

³

2]2

²)

4

32[(

444

2/

0

22

qLLRqLqLLR

dvvqv

vqLRdvR

MM

AA

L

A

B

CA

−⋅=−−⋅=

⋅⋅−⋅−=⋅∂∂⋅ ∫∫

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


Reação em A:

−⋅+

−⋅=

64

5

6

³

83

³1 44 qLLRqLLR

EIy AA

zA

Sabendo que yA = 0 ↑= qLRA 32

13

Reação em B e C: ↑= qLRB 32

33 ↑=16

qLRC

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


Exemplo 3: Determine a força em cada barra da estrutura abaixo, sendo estas de mesmo material e mesma área.

P

B

0,6L

0,8L

L

H

0,5L

C

D

P

B

RH

FBHFBC

FBD

B

P

Grau de hiperestaticidade → 3 – 2 = 1Escolhe-se uma reação como redundante → RH

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


Pelo teorema de Castigliano → 0 =∂∂= H

HH ye

R

Uy

Energia de deformação:

AE

LF

AE

LF

AE

LFU BHBHBDBDBCBC

222

222 ⋅+⋅+⋅=

Logo:

H

BHBHBH

H

BDBDBD

H

BCBCBCH R

F

AE

LF

R

F

AE

LF

R

F

AE

LFy

∂∂⋅⋅+

∂∂⋅⋅+

∂∂⋅⋅=

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


Forças nas barras: equilíbrio do ponto B

PRF

RPF

RF

HBD

HBC

HBH

8,08,0

6,06,0

−=−=

=

=∂∂

−=∂∂

=∂∂

⇒

8,0

6,0

1

H

BD

H

BC

H

BH

R

FR

FR

F

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


[ ]15,08,08,0)8,08,0()6,0(6,0)6,06,0(1 ⋅⋅+⋅⋅−+−⋅⋅−= LRLPRLRP

AEy HHHH

Como: yH = 0 →

PR

PR

H

H

593,0

0728,0228,1

==−

PFPFPF BHBDBC 593,0326,0244,0 =−==

capÍtulo 4: energia de deformaÇÃo - … · prof. romel dias vanderlei 4.2 – densidade de...

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