estruturas hiperestÁticas universidade federal do espírito santo prof. pedro sá método dos...
TRANSCRIPT
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
Universidade Federal do Espírito Santo
Prof. Pedro Sá
Método dos EsforçosDeslocamentos em EstruturasEnergia Potencial de Deformação:
Nas seções transversais das barras de uma estrutura reticulada atuam os esforços N, Vx, Vy, T, Mx e My,.
Desprezando as deformações devidas aos esforços cortantes, a energia potencial de deformação acumulada num elemento infinitesimal da barra de área A e comprimento dz (variação da energia) é:
yyxx dMdMTdNdwdU 2
1
E
U
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
Universidade Federal do Espírito Santo
Prof. Pedro Sá
Método dos EsforçosDeslocamentos em EstruturasEnergia Potencial de Deformação:
yyxx dMdMTdNdwdU 2
1
,EA
Ndzdw ,
x
xx EI
dzMd
y
yy EI
dzMd ,
GJ
Tdzd
Logo,
y
y
x
x
EI
M
EI
M
GJ
T
EA
N
dz
dU2222
2
1
E
U
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
Universidade Federal do Espírito Santo
Prof. Pedro Sá
Método dos EsforçosDeslocamentos em EstruturasTeorema de Castigliano:
"A derivada parcial da energia potencial de deformação em relação a um esforço qualquer é igual ao deslocamento do ponto de aplicação do esforço na sua direção."
11 P
U
1
1 M
U
P1 P2
M1d1 q1
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
Universidade Federal do Espírito Santo
Prof. Pedro Sá
Método dos EsforçosDeslocamentos em EstruturasTeorema de Castigliano:
iiPU 2
1
P1 P2
d1 d2
112
1dP
P
UPdUU ii
112
1 ddPdU
P1 P2
d1 d2
dP1
dd1 P1
P2
d1d2
dP1dd
1 1111 2
1
2
1 dPPddPUdU ii dP1
dd1
Introduzindo um incremento dP1:
Acrescentando o sistema original:
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
Universidade Federal do Espírito Santo
Prof. Pedro Sá
Método dos EsforçosDeslocamentos em EstruturasTeorema de Castigliano:
112
1dP
P
UPdUU ii
1111 2
1
2
1 dPPddPUdU ii Igualando as duas expressões
111111 2
1
2
1
2
1 dPPddPdPP
UP iiii
desprezível
11 P
U
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
Universidade Federal do Espírito Santo
Prof. Pedro Sá
Método dos EsforçosDeslocamentos em EstruturasIntegrais de Mohr:
O teorema de Castigliano somente permite determinar o deslocamento do ponto de aplicação de um esforço na sua direção. Para se determinar os deslocamentos de qualquer ponto em qualquer direção pode-se utilizar o seguinte recurso:
Integrais de Mohr:
- aplica-se um esforço virtual no ponto desejado, na direção desejada;
- determina-se a energia de deformação do sistema em função deste esforço;
- aplica-se o teorema de Castigliano;
- e anula-se o esforço virtual.
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
Universidade Federal do Espírito Santo
Prof. Pedro Sá
Método dos EsforçosDeslocamentos em EstruturasIntegrais de Mohr:
Seja N, T, Mx e My os esforços internos numa seção, decorrentes de um sistema de esforços externos aplicados em uma estrutura e
N, T ,Mx, My os esforços internos decorrentes de um esforço virtual unitário aplicado na direção onde se deseja avaliar o deslocamento.
dz
EI
EMM
EI
EMM
GJ
ETT
EA
ENNU
y
vyy
x
vxxvv
2222
2
1
onde Ev é o esforço virtual.
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
Universidade Federal do Espírito Santo
Prof. Pedro Sá
Método dos EsforçosDeslocamentos em EstruturasIntegrais de Mohr:
dz
EI
EMM
EI
EMM
GJ
ETT
EA
ENNU
y
vyy
x
vxxvv
2222
2
1
dz
EI
MEMM
EI
MEMM
GJ
TETT
EA
NENN
dE
dU
y
yvyy
x
xvxxvv
v
dzEI
MM
EI
MM
GJ
TT
EA
NN
dE
dU
y
yy
x
xx
Evv 0
Exercícios
As integrais de Mohr constituem o chamado Método da Carga Unitária.
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
Universidade Federal do Espírito Santo
Prof. Pedro Sá
Método dos EsforçosDeslocamentos em EstruturasTeorema da Reciprocidade (Betti-Maxwell):
"O trabalho realizado por um esforço, durante o deslocamento do seu ponto de aplicação, devido à ação de outro esforço qualquer é igual ao trabalho realizado pelo segundo esforço, durante o deslocamento do seu ponto de aplicação, devido à ação do primeiro esforço."
P1
d11 d21
d22d12
P2 12111
22212
deslocamento do ponto 1
deslocamento do ponto 2
dij: deslocamento do ponto i provocado pela ação de Pj
212121 PP
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
Universidade Federal do Espírito Santo
Prof. Pedro Sá
Método dos EsforçosDeslocamentos em EstruturasTeorema da Reciprocidade (Betti-Maxwell):Pelo Princípio da Superposição dos Efeitos,
P1
d11d21
aplicando-se inicialmente P1 e posteriormente P2
P1
d11 d21
d22d12
P2
1112
1 PU 1212221112
1 PPPU
P2
d12 d22
P2
d12 d22
P1
d11 d21
2222
1 PU 2122221112
1 PPPU
aplicando-se inicialmente P2 e posteriormente P1
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
Universidade Federal do Espírito Santo
Prof. Pedro Sá
Método dos EsforçosDeslocamentos em EstruturasTeorema da Reciprocidade (Betti-Maxwell):Igualando os trabalhos realizados nas duas situações de carregamento,
P1
d11 d21
d22d12
P2
1212221112
1 PPPU
P2
d12 d22
P1
d11 d21
2122221112
1 PPPU
212222111121222111 2
1
2
1 PPPPPP 212121 PP (reciprocidade dos trabalhos)
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
Universidade Federal do Espírito Santo
Prof. Pedro Sá
Método dos EsforçosDeslocamentos em EstruturasTeorema da Reciprocidade (Betti-Maxwell):Se P1 = P2, 2112 (reciprocidade dos deslocamentos)
"O deslocamento do ponto 1 devido à ação de um esforço aplicado no ponto 2 é igual ao deslocamento do ponto 2 devido à ação de igual esforço aplicado no ponto 1."
P
d1
2 P
d
1
2
M
q
1 2
Mq
1 2
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
Universidade Federal do Espírito Santo
Prof. Pedro Sá
Método dos EsforçosFormulação do MétodoSeja a viga abaixo representada.O seu grau de hiperestaticidade é: enimrg
,3r ,2i ,3m ,2e ,4n
42323 g
1g
SP
X1 é o hiperestático, isto é, o esforço incógnito abundante.
X1
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
Universidade Federal do Espírito Santo
Prof. Pedro Sá
Método dos EsforçosFormulação do MétodoA Equação de Compatibilidade dos Deslocamentos é:
,01
onde d1 é o deslocamento, na direção de X1, da seção onde foi retirado o apoio.
Usando o PSE,
X1
X1
= +
carregamento real
hiperestático
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
Universidade Federal do Espírito Santo
Prof. Pedro Sá
Método dos EsforçosFormulação do MétodoPara cada um destes carregamentos, a seção onde foi retirado o apoio se deslocará.
carregamento real
hiperestático
d10
d11X1
d10 é o deslocamento, na direção de X1, devido ao carregamento real na viga ed11 é o deslocamento, na direção de X1, devido ao hiperestático X1 = 1.
01
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
Universidade Federal do Espírito Santo
Prof. Pedro Sá
Método dos EsforçosFormulação do MétodoAssim,
0111101 X11
101
X
Os demais esforços incógnitos (reações de apoio e esforços internos) são, então, calculados pela Equações de Equilíbrio da Estática aplicáveis.
Os deslocamentos d10 e d11 são determinados pelo Método da Carga Unitária.
01
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
Universidade Federal do Espírito Santo
Prof. Pedro Sá
Método dos EsforçosFormulação do MétodoUsando o SP abaixo, a equação de compatibilidade dos deslocamentos será:
X1
de11 ou 011 de
SP
onde d1
e é o deslocamento angular, na direção de X1, da seção onde foi introduzida a rótula, na parte esquerda ed1
d é o deslocamento angular, na direção de X1, da seção onde foi introduzida a rótula, na parte direita.
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
Universidade Federal do Espírito Santo
Prof. Pedro Sá
Método dos EsforçosFormulação do Método
= +
carregamento real
hiperestático
X1
X1
d10e d10
d
carregamento real
hiperestático
d11eX1 d11
dX1
Usando o PSE,
Deslocamentos no SP:d10
e – d10d
é o deslocamento, na direção de X1, devido ao carregamento real ed11
e – d11d é o deslocamento, na direção
de X1, devido ao hiperestático X1 = 1.
011 de
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
Universidade Federal do Espírito Santo
Prof. Pedro Sá
Método dos EsforçosFormulação do MétodoLogo,
011111101011 Xdedede 11
101
X
Esta formulação é a base do processo denominado Equação dos Três Momentos, aplicável a vigas contínuas.
Os deslocamentos d10, e d11 são determinados pelo Método da Carga Unitária.
Os demais esforços incógnitos (reações de apoio e esforços internos) são ,então, calculados pela Equações de Equilíbrio da Estática aplicáveis.
de101010
de111111
onde
011 de
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
Universidade Federal do Espírito Santo
Prof. Pedro Sá
Método dos EsforçosFormulação do MétodoSeja o pórtico abaixo representado.O seu grau de hiperestaticidade é: enimrg
3r
3i
6m
3e
6n
63633 g
3g
Vy Mx
N N Vy
Mx
SP
X2 X3
X1X1 X2
X3
X1 = N, X2 = Vy, X3 = Mx são os hiperestáticos.
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
Universidade Federal do Espírito Santo
Prof. Pedro Sá
Método dos EsforçosFormulação do MétodoAs Equações de Compatibilidade dos Deslocamentos são:
SP
X2 X3
X1 X1 X2
X3
de11 de22 de33
ou
ou
ou
011 de
022 de
033 de
onde
die é o deslocamento, na direção de Xi,
da seção cortada, na parte esquerda edi
d é o deslocamento, na direção de Xi, da seção cortada, na parte direita.d1
e, d1d
, d2e e d2
d são deslocamentos lineares enquanto d3
e e d3d são deslocamentos
angulares
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
Universidade Federal do Espírito Santo
Prof. Pedro Sá
Método dos EsforçosFormulação do MétodoUsando o PSE,
X2 X3
X1 X1 X2
X3 = X1X1
X2
X2
X3X3+ + +
(a) (b) (c) (d)
(a): SP submetido ao carregamento real da estrutura hiperestática;(b): SP submetido ao hiperestático X1;(c): SP submetido ao hiperestático X2;(d): SP submetido ao hiperestático X3.
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
Universidade Federal do Espírito Santo
Prof. Pedro Sá
Método dos EsforçosFormulação do MétodoPara cada um destes carregamentos a seção cortada se deslocará, à esquerda e à direita.
d10e
X
Y
ZSG
d10d d20
d
d30e
d20e
d30e
di0e – di0
d é deslocamento da seção cortada, na direção de Xi, devido ao carregamento real;
d1jeXj
X
Y
ZSG
d1jdXj
d2jdXj
d3jeXj
d2jeXj d3j
eXj
dije – dij
d é deslocamento da seção cortada, na direção de Xi, devido ao hiperestático Xj = 1.
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
Universidade Federal do Espírito Santo
Prof. Pedro Sá
Método dos EsforçosFormulação do MétodoA equação geral de compatibilidade de deslocamentos é ou0 d
iei
,0,1
00
gj
jdij
eij
di
ei
di
ei X
onde g é o grau de hiperestaticidade da estrutura.
Assim, para o pórtico plano do exemplo, tem-se o seguinte sistema de equações lineares:
031321211110 XXX
032322212120 XXX
033323213130 XXX
di
eii 000
dij
eijij
ondeOs deslocamentos di0, e dij são determinados pelo Método da Carga Unitária.
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
Universidade Federal do Espírito Santo
Prof. Pedro Sá
Método dos EsforçosFormulação do MétodoDeterminação de Deslocamentos:
Como o SP equivale à estrutura hiperestática, estática e geometricamente, os deslocamentos dos pontos das seções desta estrutura são exatamente os mesmos verificados no SP.
Logo, após conhecidos os hiperestáticos, pelo Método dos Esforços, pode-se determinar qualquer deslocamento em qualquer seção da estrutura hiperestática, pelo Método da Carga Unitária, na seção equivalente no SP.
d = ?
X1d
Exercícios
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
Universidade Federal do Espírito Santo
Prof. Pedro Sá
Método dos EsforçosFormulação do MétodoEquação dos Três Momentos:
O processo denominado Equação dos Três Momentos é aplicável a vigas contínuas. Advém do Método dos Esforços, tomando-se, como SP, a viga isostática derivada da viga contínua dada por introdução de rótulas sobre os apoios intermediários.
viga contínua
SP
R1 R2 R3 R4 R5
L1 L2 L3 L4
M5M1
X3=M4X2=M3X1=M2
R1 R2 R3 R4 R5
L1 L2 L3 L4
M5M1 g = n-2, onde n é o número de apoios da viga.
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
Universidade Federal do Espírito Santo
Prof. Pedro Sá
Método dos EsforçosFormulação do MétodoEquação dos Três Momentos:
O SP é um conjunto de vigas biapoiadas submetidas ao carregamento real e aos hiperestáticos Xi=Mi+1.
As equações de compatibilidade dos deslocamentos serão
ou onde i = 1, n-2.
0 di
ei
,0,1
00
gj
jdij
eij
di
ei X
Como todos os hiperestáticos são momentos fletores, os deslocamentos são rotações.
Assim, ou011 di
ei
di
ei
2,111,11,10,10,1 0
njj
dji
eji
di
ei M
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
Universidade Federal do Espírito Santo
Prof. Pedro Sá
Método dos EsforçosFormulação do MétodoEquação dos Três Momentos:
i = 1, n-2. ,02,1
11,11,10,10,111
nj
jd
jie
jidi
ei
di
ei M
011,21,222222202022 nd
ne
ndedede MM
011,11,122,12,10,10,111 nd
nne
nndn
en
dn
en
dn
en MM
011,1,22200 ndni
eni
di
ei
di
ei
di
ei MM
...........................................................................
Desenvolvendo as equações acima:
...........................................................................
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
Universidade Federal do Espírito Santo
Prof. Pedro Sá
Método dos EsforçosFormulação do MétodoEquação dos Três Momentos:
As rotações à esquerda e à direita do nó j são determinadas como indicado abaixo.
011,1,22200 ndni
eni
di
ei
di
ei
di
ei MM
Li-1
MiMi-1
Li
Mi+1Mi
di 1 e
i
MiMi-1
di
ei 1
Mi+1Mi
Assim, a equação acima se resume a
011,11,00 idiii
dii
eiii
eii
di
ei MMM (Equação dos Três Momentos)
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
Universidade Federal do Espírito Santo
Prof. Pedro Sá
Método dos EsforçosFormulação do MétodoEquação dos Três Momentos: 011,11,00 i
diii
dii
eiii
eii
di
ei MMM
:00di
ei e rotações, no SP, à esquerda e à
direita do nó i, respectivamente, devidas ao carregamento real.
:1,eii rotação, no SP, à esquerda do
nó i, devida a Mi-1=1.
:1,dii rotação, no SP, à direita do nó i,
devida a Mi+1=1.
:dii
eii e rotações, no SP, à esquerda e à
direita do nó i, respectivamente, devidas a Mi=1.
eio
Li-1
Mi-1=1
eii 1,
Li-1Mi=1
eii
Li-1
dio
Li
Mi=1
dii
Li Mi+1=1
dii 1,
Li
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
Universidade Federal do Espírito Santo
Prof. Pedro Sá
Método dos EsforçosFormulação do MétodoEquação dos Três Momentos: 011,11,00 i
diii
dii
eiii
eii
di
ei MMM
Resolvendo pelo Método da Carga Unitária ou por qualquer outro método (integração da linha elástica ou Analogia de Mohr):
1
11, 6
ix
ieii EI
L ix
idii EI
L
61, 1
1
3
ix
ieii EI
L ix
idii EI
L
3
Assim, a equação fica:
06336 1
1
11
1
100
i
ix
ii
ix
i
ix
ii
ix
idi
ei M
EI
LM
EI
L
EI
LM
EI
L
00
Convenção de Sinais:
ou
di
eii
ix
ii
ix
i
ix
ii
ix
i MEI
LM
EI
L
EI
LM
EI
L001
1
11
1
1 62
A cada apoio interno
corresponde uma equação.
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
Universidade Federal do Espírito Santo
Prof. Pedro Sá
Método dos EsforçosFormulação do MétodoEquação dos Três Momentos:
Observações:
a) Utilizando os valores absolutos das rotações devidas ao carregamento real, a equação fica:
di
eii
ix
ii
ix
i
ix
ii
ix
i MEI
LM
EI
L
EI
LM
EI
L001
1
11
1
1 62
b) Caso as rotações sejam calculadas pela Analogia de Mohr, corresponderão às reações nos apoios da viga conjugada. A equação, então, fica:.
di
ei 00 e
di
eii
ix
ii
ix
i
ix
ii
ix
i RRMEI
LM
EI
L
EI
LM
EI
L
62 1
1
11
1
1
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
Universidade Federal do Espírito Santo
Prof. Pedro Sá
Método dos EsforçosFormulação do MétodoEquação dos Três Momentos:
Observações:
R1 R2 R3
L1 L2 L3
M1 M3
R1 R2 R3
L1 L2
M1
V3d
d) Caso haja um balanço, pode-se reduzir as cargas no balanço ao apoio correspondente.
c) Se a rigidez EIx for constante, a equação se simplifica:
di
eixiiiiiii EIMLMLLML 001111 62
di
eixiiiiiii RREIMLMLLML 62 1111
ou
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
Universidade Federal do Espírito Santo
Prof. Pedro Sá
Método dos EsforçosFormulação do MétodoEquação dos Três Momentos:
Observações:
dx
L
EIMM 10
1
121
62
e) Caso haja um engaste em alguma extremidade, haverá mais uma incógnita (o momento fletor no engaste) e a equação de compatibilidade de deslocamentos correspondente será
01
0n
para engaste no primeiro apoio ou
para engaste no último apoio. e
nn
nxnn L
EIMM 0
1
11
62
Estas expressões podem ser obtidas da equação geral, considerando no primeiro caso, e no segundo.
,001 eiiL
,00 diiL
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
Universidade Federal do Espírito Santo
Prof. Pedro Sá
Método dos EsforçosFormulação do Método
Fim do Capítulo