capÍtulo 5: criterios de plastificaciÓn y de … · componente desviadora del tensor. capÍtulo...

CAPÍTULO 5: CRITERIOS DE PLASTIFICACIÓN Y DE ROTURA

Área: mecánica de medios continuos y teoría de estructuras / Universidad de Málaga

Elasticidad y resistencia de materiales. Curso 2007/2008

CAPÍTULO 5:CRITERIOS DE PLASTIFICACIÓN Y DE ROTURACAPÍTULO 5:CAPÍTULO 5:CRITERIOS DE PLASTIFICACIÓN Y DE ROTURACRITERIOS DE PLASTIFICACIÓN Y DE ROTURA

1. Introducción.

2. Representación en el espacio de tensiones principales.

3. Superficies de plastificación y de rotura. Comportamiento dúctil y frágil.

4. Criterios de fallo.

5. Teoría de los estados límites de Möhr.

6. Coeficiente de seguridad.





1.1. Introducción.Introducción.









Iσ

IIσ

IIIσ¿En qué momentola combinación de tensiones

es suficiente para desencadenarel proceso del fallo mecánico?

¿Cuándo se rompe o cuando se plastifica?




¿Alguno de estos es mayor que

el otro?

Dicho de otro modo: ¿Cómo de grande es un tensor?

¿Tan grande como la mayor de sus componentes?¿Tan grande como el mayor de sus autovalores?¿Tan grande como su traza?¿Tan grande como su determinante?¿Tan grande como …?

¿Cómo comparar dosestados de tensiones?

Entonces…

¿Cómo predecir si un estado de tensiónprovocará el fallofallo de un dominio elástico?

σσσσσσσσσ

=

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

σ

σσ

σ=σ

III

II

I

00

00

00





1. Introducción.

2.2. Representación en el espacio de tensiones principales.Representación en el espacio de tensiones principales.








Representación en el espacio de tensiones principales(o de Haig-Westergaard)

σσσ

=

III

II

I

sr

do

1III

1II

1I

1

1

1

ss

3I-σ

3I-σ

3I-σ

3I

3I

3I

srrr +=

+

=

I

II

IIIIIIIII σ=σ=σ

sr ds

r

osr

Pseudovector

I II

III

dsr

sr

osr

Es un vector cuyas componentes son las tensiones principales y que representa al

tensor de tensiones.

Matemáticamente no es un vector

También se puede descomponer en un pseudovector esférico y en un pseudovector

desviador.

Igual que el tensor original en ejes principales.

Esta es su representación espacial, descompuesto en esférico y desviador.

Y esta es una representación plana

según un plano perpendicular a la recta

σI=σII=σIII.

Esta es la representación de Haig-Westergaard y es

útil cuando se desea conocer sólo la

componente desviadora del tensor.




Criterio de falloCriterio de falloK)σ,σ,f(σ IIIIII =

I

II

III IIIIII σ=σ=σ

Superficie que separa los estados tensionalespermitidos de los no permitidos

sr

dsr

osr

K),,f( =321 III

)IIIIII σ,σ,f(σ

TensiónTensiónequivalenteequivalente





1. Introducción.


3.3. Superficies de plastificación y de rotura. Comportamiento dúctilSuperficies de plastificación y de rotura. Comportamiento dúctil y frágil.y frágil.




Distinto modo de fallo

distinto criterio¿ ?




El fallo de todos los materiales no es igual

σ

ε

Depende de la estructura interna del materialEn síntesis, el material puede considerarse formado por partículas. Si el esfuerzo al que se somete al material es suficientemente grande, puede romper los enlaces entre

dichas partículas, de varias formas:

Puede que se rompan de manera definitiva, o que se generen unos enlaces nuevos al deslizar unas partículas

sobre otras.

Este proceso es, de modo muy simplificado, el de PLASTIFICACION de un material.

a) microestructurasimplificada de un sólido.

b) plastificación.

c) rotura.

A nivel experimental resulta complejo diseñar un ensayo en el que se reproduzca un estado

tensional cualquiera:

Lo más habitual es ensayar un tubo de pared delgada sometido a presión interna, tracción según el eje x y momento torsor, como en la

imagen:

Cambiando los valores de P, M y N se puede representar cualquier estado tensional.

Conocido como ensayo de Lode, revela la importancia relativa de la tensión principal media (αII) en la

plastificación. Lode define el parámetro µ que relaciona las tres tensiones principales, esta es su gráfica:

Concluye que la plastificación, en un estado de cortadura pura (σI=τ; σII=0; σIII=-τ), se producirá cuando µ=0’56σe




I

II

III

sr

sr

Fallodúctil

Fallofrágil

eIIIIII )( σσσσα =,,

rIIIIII )g( σσσσ =,,Superficie de rotura

Superficie de plastificación

Bridman sometió sólidos a ensayos de compresión tridimensional y observó que toda la deformación, en ese caso, es elástica, lo que demuestra que la plastificación

depende del tensor desviador.

Lo que se pretende con este tipo de ensayos es encontrar una función de las tensiones principales que poder comparar con el límite elástico o con el de rotura, según sea el fallo que se pretende predecir.

Si se considera que se va a predecir la plastificación, la función será de este tipo: f(σI,σII,σIII)=σe

La función de las tensiones principales que se ha enunciado en el

primer párrafo se representa en el espacio de tensiones principales por una superficie prismática cuyo eje es

la recta en la que se igualan los valores de las tensiones principales y

cuya base se obtiene de la representación de Haig-Westergaard.

Representa la superficie de plastificación.

La superficie de rotura, que depende del tensor esférico, se deduce de la evidencia experimental de que un sólido sometido a compresión

tridimensional tarda en romperse mientras que sometido a tracción, sea cual sea su combinación de tensiones, rompe al aumentar el nivel tensional; su representación es un paraboloide que se abre en la zona de compresión

tridimensional y se cierra en la tritracción.




I

II

III

“Material frágil”I

II

III

“Material dúctil”

Superficie de roturaSuperficie de plastificación

Fallo dúctil vs. Fallo frágilAl aumentar el nivel tensional de un punto de un sólido

hasta que se produce el fallo, éste puede evolucionar de dos formas: primero alcanzándose la superficie de

plastificación y luego la de rotura (esto significa que el punto plastifica antes de romper), o bien alcanzándose la

superficie de rotura directamente sin producirse la habitual plastificación previa. Ver figuras.

Si el punto plastifica antes de romper se dice que presenta un comportamiento DÚCTIL

Si el punto rompe sin plastificar se dice que presenta un comportamiento FRÁGIL

Este comportamiento dúctil o frágil depende de:

1.- La distribución de tensiones. Cuanto mayor sea la influencia del tensor esférico en el tensor de tensiones mayor

será la probabilidad de que el comportamiento sea frágil.

2.- El tipo de material. Existen materiales más tendentes a comportarse de modo dúctil y otros a hacerlo de modo frágil. Ello

se refleja en las superficies de plastificación y rotura, características de cada material. Ello depende de su estructura

molecular y la naturaleza de sus enlaces atómicos.





1. Introducción.



4.4. Criterios de fallo.Criterios de fallo.






Criterios de falloRankine-Lamé (1858)Saint Venant-Poncelet (1870)Tresca-Guest (1872)Beltrami-Haig (1885)Von Mises (1913)-Huber (1904)Estados límite de Möhr (1900)

Evidencias experimentalesLode (1926): tracción + presión Taylor-Quinney (1931) tracción + torsiónEnsayos de Bridgman (1945…)

FF

TT

PP

FF

TT

σσσσσσσσ

σσσσσσσσ

σσσσσσσσ

Un criterio de fallo pretende predecir el fallo de una pieza modelando las superficies de plastificación y

rotura, o sea, encontrando las funciones de las tensiones principales denominadas tensiones

equivalentes que definen la plastificación o la rotura.

Se consideran SEIS criterios; el razonamiento de los cinco primeros es similar (suponer qué aspecto del

estado tensional produce el fallo y compararlo con el del ensayo de tracción).

El sexto, de los estados límide de Mhör, busca la definición de una envolvente de todas las situaciones

de fallo para cualquier material.Cada uno de ellos obtiene una expresión de la tensión

equivalente que, en algunos casos, se aproximará más a la superficie de plastificación y en otros a la de rotura. Los hay que diferencian la rotura por tracción y

por compresión.




Evidencias experimentalesLode (1926): tracción + presión Taylor-Quinney (1931) tracción + torsiónEnsayos de Bridgman (1945)

eIIII )( σσ−σ

12IIII

IIIII −σ−σσ−σ=µ

-1 10

compresiónsimpletracción

simple

cortadurapura

~~1.121.12

parámetro de Lode(“forma” del estado tensional)

e0.56στ ≅

PLASTIFICACIÓNPLASTIFICACIÓNINDEPENDIENTEINDEPENDIENTE

DE LA PARTE ESFÉRICADE LA PARTE ESFÉRICA

σσσσσσσσ

σσσσσσσσ

σσσσσσσσ




Criterio de falloCriterio de fallo

Relación entre variablestensiones/deformaciones

(invariantes) Cota

Valor máximo de alguna variableValor máximo de alguna energía…

Extrapolacióndesde algún caso conocido

Tensión equivalente

Caso conocidoCaso conocido: ensayo de tracciónplastificación cuando σσσσ=σσσσe

Tensión equivalenteTensión equivalente = mayorde las tensiones principales

σσσσeqv=max{σσσσI, |σσσσIII|}

Ejemplo

{ } emax σσ,σ IIII <

eIIeIe ;; σσσσσσ III <<<ó

O de la tensión normal máximaO de la tensión normal máxima

K)σ,σ,f(σ IIIIII =

RankineRankine--Lamé (1858)Lamé (1858)“El mecanismo que produce el

fallo es la tensión normal máxima y, por tanto, éste se producirá

cuando ésta coincida con la única tensión de fallo del ensayo de

tracción.”




II

I

III

eσ

eσ

eσ

RankineRankine--Lamé (1858)Lamé (1858)

Plastificación función de I1

eIIeIe ;; σσσσσσ III <<<ó

{ } eIIIIReqv σσ,σmaxσ <=pero… ¿es mejor adoptar este criterio o predecir la

plastificación o la rotura?

Para saberlo hay que analizar la superficie de plastificación que este criterio ofrece y compararla con

la obtenida experimentalmente.

Este cubo de lado 2σe es la representación de la superficie de plastificación según este criterio.

Peeero!

Recordemos que, de modo experimental, Lode determinó que esa misma tensión (de plastificación para un estado tensional de cortadura pura) era de 0’56 σe, de modo que, según Rankine, si se tuviera una tensión tangencial superior a la de Lode pero

inferior al límite elástico, no habría plastificación, CUADO EN REALIDAD SÍ LA HA HABIDO.

Esto es PELIGROSO.

Para Rankine, en un estado tensional de cortadura pura, con una tensión tangencial de valor τ, las tensiones principales son σI=τ; σII=0; σIII=-τ, con lo que la

tensión equivalente sería.

τ−

τ

00

000

00Cortadura pura

{ } τ=τ−τ=σ ,maxReqv

eReqv σ=σFallo:

Fallo: eστ =

De modo que el criterio de fallo de Rankine es aprop iado para predecir la rotura pero no para predecir la plastificación, con los riesgos que ello conlleva.

No!, tras los ensayos de Bridman.




{ } Kmax <IIII ε,ε K;K;K III <<< III εεε

Saint VenantSaint Venant--Poncelet (1870)Poncelet (1870)

Para hallar la “Tensión equivalente” hay Para hallar la “Tensión equivalente” hay que igualar la deformación máxima en el que igualar la deformación máxima en el problema tridimensional, o sea, la mproblema tridimensional, o sea, la mayor de las deformaciones principales a la máxima del ensayo de tracción.

{ } eIIIIIISVeqv )(),(max σ<σ+σν−σσ+σν−σ=σ IIIIII

Comparando con el ensayo de tracción, la tensión equivalente de Saint-Venant, es:

“el mecanismo que produce el fallo es la DEFORMACION norma máxima que, en el momento del fallo, se da en el ensayo de

tracción.”

la deformación máxima es la que se da en la dirección del eje de la barra.




II

I

III

Saint VenantSaint Venant--Poncelet (1870)Poncelet (1870)

τ−

τ

00

000

00

{ } τν+=τ+ν−τ−τ−ν−τ=σ )1()0(),0(maxsveqv

La tensión equivalente para Cortadura pura será:

con lo que el fallo se producirá para:

{ } eIIIIIISVeqv )(),(max σ<σ+σν−σσ+σν−σ=σ IIIIII

ee 77.0)1(

σ=ν+

σ=τ

Plastificación función de I1

Resultados de Bridgman 3.0=ν

Que sigue siendo superior a lo que determinó Lode, de modo que, aunque menos que el

anterior, sigue siendo peligroso.

O sea que, al igual que Rankine, es bueno para determinar la rotura pero malo para determinar la

plastificación.




TresckaTrescka--GuesttGuestt (1872)(1872)

Para obtener la Tensión Para obtener la Tensión equivalente:equivalente:

Igualar la tensión tangencial máxima del problema tridimensional a la máxima del ensayo de tracción.

eIIIITeqv σ<σ−σ=σ

Comparando con el ensayo de tracción se obtiene la tensión equivalente de Trescka

K2

II <σ−σ II K2

;K2

;K2

IIIIII <σ−σ<σ−σ<σ−σ IIIIII

Sostiene que el mecanismo que produce el fallo es la tensión tangencial máxima y, por tanto, el fallo se

producirá cuando ésta coincida con la tensión tangencial máxima que, en el momento del fallo, indica el ensayo de

tracción.

( )[ ]

( )[ ]

( )[ ]IIIIII

IIIIII

IIIIII

E

EE

E

σσνσ

σσσνσ

σσνσ

+−

=+−

+−

1

1

1

max




III

III

IIIIII σ=σ=σeIIII

Teqv σ<σ−σ=σ

Plastificación INDEPENDIENTE de I1

Resultados de Bridgman

III

III

τ−

τ

00

000

00

τ=τ−−τ=σ 2)(Teqv

e5.0 σ=τ

La tensión equivalente en Cortadura pura será:

Fallo:

e56.0 σ≅τResultados de Lode

GRAN CRITERIO PARAPREVENIR EL FALLOPOR PLASTIFICACIÓN !!!

TresckaTrescka--GuesttGuestt (1872)(1872)

representación gráfica de la superficie de

plastificación según el criterio de Trescka




Criterios de fallo “energéticos”:

-Beltrami-Von-Mises / Henchy / Naday




Beltrami (1885)Beltrami (1885)Para determinar la Tensión equivalente Tensión equivalente habrá

que igualar el potencial elástico del punto considerado al potencial elástico del ensayo de tracción en el momento de producirse el fallo.

eIIIIIIIIIIII2III

2II

2I

Beqv )(2 σ<σσ+σσ+σσν−σ+σ+σ=σ

Comparando con el ensayo de tracción se obtiene la tensión equivalente de Beltrami:

e22I

Beqv I)1(2I σ<ν+−=σ

Supone que el fallo del sólido se produce cuando el punto del mismo alcanza un

determinado nivel energético.

( )( )EE IIIIIIIIIIIIIIIII 2

22

1 2222 σσσσσσσνσσσ =++−++




Beltrami (1885)Beltrami (1885)

IIIIII σ=σ=σ

III

III

representación gráfica de la superficie de plastificación según Beltrami; se trata de un elipsoide desarrollado entorno al eje de

ecuación σI=σII=σIII

τ−

τ

00

000

00

e2B

eqv )1(20 σ=τν++=σ

e62.0 σ=τ

La tensión equivalente en Cortadura pura es:

Fallo:

e22I

Beqv I)1(2I σ<ν+−=σ

3.0=ν

Que, aunque similar, es superior a la de Lode e inferior a la de Rankine y

Saint-Venant.

De modo que no sea un criterio idóneo para predecir la plastificación, aporta como novedad una expresión única (y

escalar) como tensión equivalente.Como las tensiones equivalentes que se obtiene son bastante grandes, es un criterio que predice la rotura con un cierto

margen de seguridad.




Von Mises Von Mises -- HenchyHenchy -- NadaiNadaiSe trata de tres criterios diferentes que llegan a la misma tensión equivalente, por lo que se engloban en

un mismo apartado[ ] K)()()(E6

1 2III

2II

2I <σ−σ+σ−σ+σ−σν+

IIIIII

Henchy considera que el mecanismo que desencadena el fallo es la energía de forma, con lo que para determinar la tensión equivalente debe igualar ésta a la del ensayo de tracción

eIIIIIIeqv σσσσσσσσ <−+−+−= ])()()[( 22221

IIIIII

Nadai considera que el mecanismo que desencadena el fallo es la tensión tangencial octaédrica, con lo que para determinar la tensión equivalente debe igualar ésta a la del ensayo de tracción.

( ) ( ) ( )[ ] 2222

9

2

9

1 σσσσσσσ =−+−+− IIIIIIIIIIII

Von-Mises no busca un valor de tensión equivalente sino que parte del prisma de trescka e intenta encontrar el cilindro circunscrito. Ello simplificaría los cálculos, al ser única la superficie que define la plastificación.

Por otra parte, la ecuación de ese cilindro será la misma que resulte de igualar la tensión equivalente de Henchy al límite elástico.

La representación gráfica de la superficie de plastificación de Von-Mises es un cilindro de eje la recta σI=σII=σIII, y que circunscrube al prisma exagonal de Trescka.

Al estar circunscrito al prisma, si se aumenta un estado de carga cualquiera se alcanza antes el prisma que el cilindro; el criterio de Trescka es, por tanto, más conservador al indicar la plastificación.




III

III

IIIIII σ=σ=σ

Modelo de Von-Mises: La superficie de plastificación es un cilindro circunscrito al

prisma exagonal de Trescka.

III

III

τ−

τ

00

000

00

e577.0 σ=τ

En estos tres casos, la tensión equivalente para el caso de Cortadura pura es:

Fallo:

e56.0 σ≅τResultados de Lode

GRAN CRITERIO PARAPREVENIR EL FALLOPOR PLASTIFICACIÓN !!!

e2

III2

II2

I21VM

eqv ])()()[( σ<σ−σ+σ−σ+σ−σ=σ IIIIII

τ=τ+τ+τ=σ 3])()2([ 22221VM

eqv

Von Mises Von Mises -- HenchyHenchy -- NadaiNadai





1. Introducción.




5.5. Teoría de los estados límites de Teoría de los estados límites de MöhrMöhr..





MöhrMöhr (1900)(1900)Teoría de los estados límite

σ

τ Envolvente deestados límite

σ

τ Estado tensionalNO permitido

Estado tensionalpermitido

Tiene como finalidad obtener una tensión equivalente pero, a

diferencia del resto de modelos, lo hace de modo experimental:

Se ensayan todas las posibles combinaciones de carga hasta que

se llega al fallo y se dibuja una envolvente de todos los estados de

fallo.

Es evidente que si un estado de cargas corta a esa envolvente se produce el

fallo, que puede ser por plastificación o por rotura.

Su principal inconveniente es lo difícil que resulta reproducir con exactitud cualquier estado de carga, de modo

que se simplifica el método realizando sólo dos ensayos, que son los más

fáciles de reproducir; el de tracción y el de compresión.

Finalmente, los tres círculos degeneran en uno sólo para

cada ensayo, y la envolvente se convierte en dos líneas rectas




tσcσIIIσ Iσ

O

AB

CD

)( IIII21 σ+σ

c

tkσσ=

COCB

DODA =

)(DA tc21 σ−σ= )(DO tc2

1 σ+σ=

)(CB tIIII21 σ−σ−σ= ))((CO IIIIt2

1 σ+σ−σ=

IIIIt

tIIII

tc

tc

σ−σ−σσ−σ−σ=

σ+σσ−σ

tIIMeqv k σ<σ−σ=σ II

MöhrMöhr (1900)(1900)La tensión equivalente se obtiene

estableciendo una combinación de las tensiones principales que se comparará

con σt (rotura a tracción), por equivalencia de los triángulos OAB y

OBC.

Para la predicción de la Plastificación: Es equivalente al de Trescka, puesto que, como el límite elástico es igual para tracción que para compresión, K≈1. Recuérdese que en materiales dúctiles se produce antes el fallo por plastificación, de ahí su importancia. No es adecuado para predecir el fallo de un material dúctil

Para la predicción de la Rotura: Es bueno porque en materiales frágiles la tensión de rotura en tracción es distinta a la tensión de rotura en compresión, con lo que el factor k aproxima el resultado (ver fórmula). Se usa sobre todo para predecir rotura de materiales frágiles.





1. Introducción.





6.6. Coeficiente de seguridad.Coeficiente de seguridad.




mF

T

σσ =

Tensión de trabajoTensión de trabajo

Coeficiente de seguridadCoeficiente de seguridaden tensionesen tensiones

El objetivo de los criterios de fallo es establecer una tensión equivalente para compararla con el límite elástico (de los

materiales dúctiles) o la tensión de rotura (en los materiales frágiles) y de ese modo determinar el momento en el que se

producirá el fallo del material.

Pero ya se ha visto lo inexacto que resulta determinar el valor preciso de ese tensión equivalente, de modo que ha de

procurarse que ésta sea una cierta cantidad menor que la tensión real de fallo, no vaya a ser…

De ahí surge el concepto de “coeficiente de seguridad”; se trata de alejarse un poco del límite máximo de tensión que el material soporta, para evitar fallos derivados de la inexactituden la determinaciòn de la tensión equivalente de plastificación

o rotura, según sea el tipo de material. Se define como:

Donde σfallo es la tensión de fluencia en materiales dúctiles y de rotura en materiales frágiles.

eq

fallomσ

σ=

Para dimensionar una pieza hay que comparar la tensión equivalente con la tensión de fluencia (en

materiales dúctiles) o de rotura (en materiales frágiles) minoradas por el coeficiente de seguridad.

Esa es la que se denomina tensión de trabajo.

Aquellos criterios de fallo que distinguen entre fallo a tracción y fallo a compresión (Rankine y Sant-Venant) necesitarán de coeficientes de seguridad a tracción y a

compresión:

Eqc

Rcc

Eqt

Rtt mm

σσ

σσ == ;

mR

T

σσ =eσ≤ σf = tensión de fluencia (materiales

dúctiles)

σr = tensión de rotura (materiels frágiles)

σe = tensión equivalente derivada de los criterios de fallo

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