capitulos 4 y 5

CAPITULO

4

)

)

)VALOR TIEMPODEL DINERO

)

)

)

J

J

)

)

)

jOBJETIVOS DE APRENDIZAJE

. ,t

Comprender el concepto de valor tiempo del dinero en sus dosaproximaciones ms comunes, valor futuro y valor presente.

Entender el concepto de valor futuro, tanto para clculos anuales comopara los efectos de una capitalizacin en perodos ms cortos que un ao.

Encontrar el valor futuro de una anualidad.

Analizar el concepto de valor presente de una nica suma y su vinculacincon el valor futuro.

Encontrar el valor presente de una anualidad ..

Encontrar el valor pres.enteen el caso de flujos de caja desiguales.

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

En captulos anteriores se analiz el cambio de pesos futuros por pesos presentes. Esecambio se hace a una tasa que depende del valor tiempo del dinero.

Hay una preferencia por recibir hoy la misma cantidad de dinero que en el futuro. Deesta forma, tanto el pblico en general como los empresarios y los especialistas financierosprefieren, por ejemplo, recibir $ 100.000 pendientes para cobrar dentro de un ao.

A qu obedece esta preferencia?

Lo expresado en captulos anteriores se puede resumir en las siguientes razones.

En este comportamiento, existe la presencia de la incertidumbre. Al tener los $ 100.000en su cuenta bancaria, el individuo sabe que puede contar con ellos. Con la promesa derecibirlos, su riesgo se ve incrementado.

))

)

;'

)

)

.)

)

)

)

)

,)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

50 Cap. 4. Valor tiempo del dineroLa naturaleza humana se siente, por otra parte, ms atrada por los goces actuales que

por aqullos futuros. Los $ 100.000 hoy permten satisfacer necesidades en forma inmediata.

Los $ 100.000 recibidos hoy tambin tienen ms valor que los que se van a recibirdentro de un ao, debido a que se los puede invertir y, con ello, obtener utilidades.

La preferencia se da, pues, intrnsecamente, por razones de riesgo y rentabilidad. Elproblema del valor tiempo se presenta por razones que juegan sin la inflacin. Es decir, msall de ella, sta viene a aportar otro ingrediente a estos aspectos que sern analizados msadelante.

Cuando los flujos financieros asociados a una decisin se producen en distintosmomentos -que es el caso habitual-, el anlisis debe adaptarse, de forma tal que lospesos de hoy sean comparables con los pesos del futuro. Esta adaptacin se realiza debidoal valor tiempo del dinero que opera, como se seal, sin perjuicio de los efectos que lainflacin pueda tener sobre los flujos presentes.y futuros.

La adecuada comprensin del valor tiempo' del dinero se torna esencial toda vez quese persiga el objetivo de las decisiones financieras, esto es, maximizar el valor para losaccionistas.

Como se recordar, las finanzas poseen una dimensin temporal. Esto significa quetoman como una de las materias primas de su anlisis el desplazamiento que tengan en eltiempo los flujos de fondos. Es el caso de innumerables decisiones financieras, como podraser extender o no el plazo de venta de los productos de la firma, lo que la lleva a invertirfondos en cuentas a cobrar que luego se percibirn; adquirir una mquina, lo que implicauno o ms desembolsos para su compra y que los beneficios que provienen de ella sedistribuyena veces a lo largo de aos; optar por una u otra fuente de financiamiento, ovaluar los acti vos en general.

4,1. VALOR FUTURO

La importancia del valor tiempo del dinero se aprecia en el caso de determinar elvalor futuro de una suma de dinero. Es un problema comn; por lo tanto, es ms apropiadotratarlo a travs de las frmulas correspondientes. Ellas toman en cuenta el monto principalinvertido al momento presente, el tiempo, la tasa de inters de la inversin y el valor futurode la inversin.

De esta forma, si

VP : monto principal al momento 0, tambin conocido como valor presente;

r : tasa de inters de la inversin;

VF": valor futuro de la inversin al fin de n perodos,

si se considera una inversin en un solo ao, entonces n = 1; el valor futuro ser igual almonto del valor presente ms el inters de ste en un ao. O sea:

VF =VP + (VP x r). =VP (1 +r)

Parte /. Conceptos fundamenta/es en finanzas 51

Ejemplo

Si el monto del valor presente es de $ 10.000, y r es del 10 %, el valor futuro ser: '

VF, = $10.000 (1 + 0,10)= $11.000

de donde si se invierten los $ 10.000 a la tasa de inters del 10 % anual al fin del ao 1, elinversor tendra $ 11.000.

Inters compuesto

Si en lugar de invertirse los $ 10.000 por un ao, fuera por dos aos, cul sera elvalor futuro? Aqu es necesario introducir el concepto de inters simple. Esto significa queel inversor slo recibe inters en el monto de valor presente invertido inicialmente.

o Ejemplo

Cul sera el valor futuro de una inversin de $ 10.000 a una tasa de inters del! 0%anual, si el cmputo del inters es simple?

En el ao 1, se ganarn $ LODO, que surgen de 0,1 x 10.000. En el ao 2, se ganarnnuevamente $ LODO, que surgen de 0,1 x 10.000. Por lo tanto, el valor futuro ser de$ 12.000, que es la suma del monto principal, esto es, $ 10.000, ms los $ LODO de intersdel ao l ms los $ 1.000 de inters del ao 2.

;El caso del.inters simple n~.es ~lI)1suti1izadb,,;P~rlo tanto, debe irse al concepto deinters compuesto, que es el de uso miirndri. E;t'eo~ceitotiene relacin con el hechode que el inters ganado es adicionado de manera peridica al monto inicialmente invertido.

Siguiendo con el ejemplo, para apoyar el entendimiento de la frmula se tiene que enel ao 1:

VF, = VP (1 + r)

que en el caso es:

VF, = $10.000 (1 + 0,1)= $11.000

Durante el ao 2 el valor futuro (VF2) ser la suma del valor futuro del ao 1 (VF)ms el inters ganado por ste, que ser VF, x r.

Esto es:

VF, = VF, + VF, x r=VF, (1 + r)

52 Cap. 4. Valor tiempo del dineroEn el ejemplo, sera:

VF, = $11.000 (1 + O,10)= 12.100

que corresponde a:

VF,= VF (1 +r}(1 +r) = VP (1 +r)'

Para el ao ,3, ser:

VF3 = VF, (1 + r)= VP (1 + r)3

VF3 =12.100 x (1 + 0,10) 13.310= 10.000 (1 + 0,10)' = 13.310

La expresin general del valor futuro tomando inters compuesto ser, entonces:

VFn=VP (1 + r)n

donde:

VF.: es el valorfuturode una inversinal finde n aos.

La isla de Manhattan fue comprada por PETERMINUITa los indgenas, en 1626, enla suma de U$S 24. Si los indgenas hubieran invertido el monto original al interscompuesto del 5 % anual, hasta 1997, esto es, durante 371 aos, cul sera elvalor de su inversin a esta fecha?

Conforme a lo analizado, sera:

VF'71= 24 (1 + 0,05)371

= 24 x (72.649.053)

= $ 1.743.577.261

Esto es, el valor sera de U$S 1.743.577.261.

Si en lugar de inters compuesto se utilizara inters simple, sera, como intersanual, $ 24 x 0,05 = 1,2. Al cabo de 371 aos, el inters sera 1,2 x 371 = 445,por lo que el valor futuro hallado alcanzara a U$S 469, provenientes de sumarU$S 24+445.

[1]

Parte l. Conceptos fundamentales en finanzas

El valor futuro de una inversin cambia con diversas variables, como:

a) el nivel de la tasa de inters;

b) el nmero de los perodos;

e) el valor inicial de la inversin.

En la fig. 4,1, se aprecia la evolucin del valor futuro de $ 1, ante variaciones de la tasade inters r y el nmero de perodos n, siguiendo la frmula ya expuesta VF = VP (1 + rl.

~5%

Perodos

Figura 4,1. Curvas de valores futuros.

Valor futuro con inters compuesto a intervalos

En los anlisis anteriores se exponen perodos, en lugar de aos. En efecto, el intersde una inversin puede ser adicionado al capital inicial o al capital inicial ms sus intereses,en perodos inferiores a un ao, esto es, diario, mensual, trimestral, etctera.

En estos casos se hace necesario un ajuste a la frmula desarrollada para un ao, a finde permitir la composicin de los intereses ms de una vez por ao. Suponiendo que estasveces equivalgan a m, se tiene:

VF.= VP (1 + r I m}nxm [2]

53

)

)

)

)

)

)

)

\. )

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

))

54 Cap. 4. Valor tiempo del dinero

/ Ejemplo

)

Suponiendo un inters anual del 9 %, si el inters se capitalizara en forma semianual,sellegarfa a:

VFs,2= (1 + 0,09/2)" 2= (1 + 0,045)'=2.022

.J

)

) Para ..el clculo de inters compuesto, cuando se efecta sobre varios perodos se puedeacceder al factor de inters de valor futuro. .

Entonces, la expresin es:)

)VF = VP"(l +r)"

Que puede ser reemplazada por:

)

)

VF =VP x FIVFn r,n

El FIVF se puede trabajar a travs de calculadoras o computadores; tambin seencuentra en la tabla 3 ubicada al final del libro.

Ejemplo

) Cul es el valor futuro dentro de 8 aos, a la tasa de inters del 9 % anual concapitalizaciones anuales, de un valor presente de $ 1.000?

J

)

)

VF, = 1.000 xl ,996= 1.996

)

El valor futuro, suponiendo capitalizaciones anuales, es de $ 1.996. Este valor esinferior al obteriido capitalizando semestralmente, que llega a ser de $ 2.022.

En efecto, calcular el valor futuro durante 8 aos, capitalizable semestralmente, esigual que calcular el valor futuro a la tasa del 4,5 % semestral durante 16 semestres.

Inters continuo)

) Se considera ahora el caso lmite del inters compuesto en perodos que son infinitos,esto es, que los intervalos de composicin son infinitesimalmente pequeos. Es el caso delinters continuo, a veces tambin conocido como flujo de fondos continuos.

En el caso de capitalizacin continua (ms adelante en este captulo se expone elconcepto de inters continuo), los intervalos de capitalizacin se hacen infinitesimalmentepequeos. Los intervalos m tienden a infinito. Esto lleva a:

)

)

VFn = VP en"

donde e es la base de logaritmos naturales 2.7183 ....

[3]

Ejemplo

Parte l. Conceptos fundamentales en finanzas 55

Si se tiene un VP de $ 1.000 invertido, donde r = O,JO (o sea, lO % de inters anual)por 5 aos, pero capitalizado continuamente, queda:

VF = 1.000 eO,10,5 = 1.000 eO.'= 1.000 x 1,6427= 1.642

Este valor va a ser mayor que si se capitalizara semestralmente, por ejemplo, dondese tendra:

VF,.2= 1.000 (1 + 0,10 /2)"2= $ 1.000 (1 + 0,05)'= $1.628,9

PUNTOS QUE DEBEN SER COMPRENDIDOS ANTES DE SEGUIR ADELANTE

l. Concepto de valor tiempo del dinero y causalidad del mismo.

2. Valor futuro de una suma de dinero.

4,2. VALOR PRESENTE

Muchas decisiones financieras implican considerar en un valor futuro de una suma dedinero y su comparacin con el monto que esa suma significara hoy da; esto es, culesseran los montos que hacen indiferenteladecisin.

El proceso por el cual se convierten pesos futuros en su valor presente es conocidocomo descuento. La tasa usada para efectuar los clculos se denomina tasa de descuento.

Si se haba obtenido que:

si se cuenta con el VF y se quiere llegar al FP, resulta:

FV = VP (1 + r)" .

VFVP=--

(1 + r)"[4]

1El factor -- es conocido como factor de descuento.

(1 +r)'

--------------~-----------------------------I56 Cap. 4. Valor tiempo del diner

Ejemplo

Parte l. Conceptos fundamentales en finanzas 57 )

)Descuento a intervalos

Si se va a recibir una suma de $ 3.000 dentro de un ao, y la tasa de inters (o sea, latasa de descuento) a la que se est dispuesto a invertir los fondos es del 6 % anual, el valorpresente ser:

1VP = $ 3.000 x ---

(1 + 0,06)=$2.829

Con ello, es indiferente recibir $ 3.000 dentro de un ao o $ 2.829 hoy da.

En-la tabla 1 al final del libro, se encuentran los valores de

1

(1 + r)n

Lafrmula de valor presente puede ser rnodficada.cuando los descuentos se producenms free~e~iemenfe queun V:z arao: . c. . ..' .

Esto es:

)

"- )

VP=VFnx -----(l+r/m)n,m

[5])

)

)

)donde m es el nmero de descuentos por ao.

Ejemplo )

)

)

Considerando el ejemplo anterior, pero suponiendo m = 6, esto es, descuentossemestrales, se llega a:

)para diferentes valor de r y n.

Cuando la tasa de descuento aumenta, el valor presente decrece. Ello se ilustra en lafig.4,2.

Perodos

VPde $1

0%

1%

5%

10%

Figura 4,2. Curvas de valores presentes.

VP = 3.000 x -----(1 + 0,06/6)'.' )

)

)

)

)

)

= $ 3.000 x ----(1 + 0,01)'

= $ 3.000 x ),942=$ 2.826 )

)Esto resulta menor que los $ 2.829 que arroj con intervalo de descuento anual. Esas

diferencias se hacen tanto ms importantes cuanto ms grandes son r, n y m.

)

)

)

))

) 58

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

Cap. 4. Valor tiempo del dinero

Se considera en este primer plano la hiptesis de un inters continuo. El tipo deinters continuo es j, y m es un nmero muy grande de perodos elementales enque se divide un ao. Para m grande, entonces, el inters proporcionado para elintervalo muy pequeo l/m ser j / m.

Al ao, la aplicacin de intereses compuestos habr transformado a 1 en ~ +~rCuando m tiende a infinito, se tiene que:

m ~m~ (1 + ~ f= ejEntonces, el tipo de inters continuo j, que equivale al inters anual r, se defineeI= (1 +r).

Suponiendo un perodo t, el valor de un peso, al cabo de ese tiempo, es igual a ei'.

Si se considera una renta continua F (t) en lugar de una sucesin Fo' F" F2' Fn' y sesustituye en la determinacin del valor actual la suma:

nL~

g = 1 (1 + r)g

se obtiene la integral:nJ e-j'F(t) dto

Ejemplo

Sabiendo que la inversin inicial es de $ 1.100.000, que los flujos de fondoscontinuos durante 20 aos son de $ 180.000 por ao y que la tasa de rendimientorequerida es del 12 % anual, se calcula el valor actual neto de la inversin:

t2/.VAN x-: F (t) e-j'dt-1

t1

ei = 1 + i

de donde:

ei = 1 + 0,12 .'. j = L (1,12) = 0,113420

VAN =1 180.000e"'1t34' dt-1.100.000=o

20VAN =-180.000 e""1134' I -1.100.000=

o

= -180.000 (e"'1t34X20- 1) - '1.100.000 == 1.587.301,5 (0,103519: 1) - 1.100.000 =

= 322.985,6



l. Valor presente de un activo.

4,3. ANUALIDADES

Una anualidad es una serie de flujos de fondos igual por perodo, por un nmeroespecfico de perodos.

Valor futuro de una anualidad

Ejemplo

Cuando se recibe una suma de dinero igual todos los aos, por ejemplo, $ 1.000durante 3 aos, que se invierten al 6 % anual, se tiene:

Ao 2 3

1.000 1.000 ....................... $ 1.000$1.060

$1.124

$ 3.184

, ...........................1 :.: ...

Por ello, el valor futuro de una anualidad de $ 1.000, al 6 % de inters anual, es de$ 3:184.

Esta frmula se generaliza ('), y se arriba a:

VFA = Lx FIAF [6]

donde FIAF es el factor de inters de una anualidad futura que se expresa para una tasa deinters r y por n perodos. Esta ltima se expone como:

nFIAF '." L (1 + r)':

t= 1

(1 + r)" -1

(1) Un detalle de cmo se llega a la frmula es:

VFA=L(I + r)'" + L(l + r)'" + +L(l + r)'+ L(I + r)O

=LxI FlF r,n1

60 Cap. 4. Valor tiempo del dineroEn la tabla 4, al final del libro, se muestran los valores de FIAF (para r = 6 % Yn = 3);

se llega a:

VFA= 1.000 x 3,184= 3.184

Valor presente de una anualidad

El valor presente de una anualidad es la suma de los valores presentes de los pagosindividuales.

Ejemplo

Si se cuenta con tres anualidades de $ 1.000 cada una y la tasa de inters (de descuento)es del 6 % anual, se tiene:

Ao Anualidad Factor de Valor presentevalor presente

1 1.000 0,943 943

2 1.000 0,890 890

3 1.000 0,840 8402,673

La generalizacin de esta frmula (-) es:

VPA: LxFIAP '.n

donde L es el monto de la anualidad y FlAP es el factor de inters de una anualidad presente,que se expresa para una tasa de inters r y un nmero de perodos n.

n 1 (1 + r)n - 1FlAP = L -(1 )' = r(l + r)"

t=l +r

(2) El desarrollo pa 1llegar a la frmula de VPA es:

VPA =_L_+_L_+ _L_+ +_L_ (1+r) (1+r)' (1+ e)' (1+ e)'

= L [11 (1+ eJ+ 11 (1+ eJ'+ + 11 (1+ eJ")e Lx FlAP,.

[7]


Los valores de FlAP,. se encuentran en la tabla 2al final del libro, que en este caso (parar = 6 % Yn = 3), muestra un coeficiente de 2,673, el que multiplicado por $ 1.000 arroja elmismo valor calculado antes.


l. Valor futuro de una anualidad.

2. Valor presente de una anualidad.

4,4. VALOR PRESENTE DE UNA SERIE DE FLUJOS DESIGUALES

Si bien en muchas decisiones financieras se cuenta con series de flujos de fondosiguales, que dan lugar a anualidades, la realidad es que la mayor parte de las decisionesfinancieras se efectan en un contexto de flujos que no son iguales de un perodo a otro, estoes, son desiguales.

En este caso, el valor presente de una corriente de futuros flujos de caja es la sumadel valor presente de SI/S componentes individuales.

Ejemplo

Supngase que el flujo de fondos de cada ao es como se expone en el cuadro quecontina, y que la tasa de inters (de descuento) es del lO %. Aqu se aprecia el valorpresente de ese flujo de fondos desiguales.

El factor-de valor presente se obtiene en la tabla 1 al final del libro.

Ao Flujo de caja x Valor de VP (10 %) = Valor presente1 1.000 0,909 909

2 4.000 0,826 3.304

3 3.000 0,751 2.253

4 5.000 0,683 3.415

Total 9.881

Este mtodo es el que se usa frecuentemente para evaluar una inversin en cuentas acobrar, como, por ejemplo, de una mquina.

61

/

)

)

)

\ )

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

.J

)

)

)

)

Cap. 4. Valor tiempo del dinero

La frmula general es:

F, F2 F3 FnVP=--+ -- +--+ +--(1 +r) (1 + r)2 (1 +r)3 (1 +r)n

nL _F_,_

1=1 (1 +r)'

donde: F, es el flujo de caja del perodo t.

La expresin establecida es conocida como la frmula de flujos de fondosdescontados.

Estos temas se retornarn ms adelante e.nvarias oportunidades.


1. Valor presente de un flujo de fondos.

2. Valor presente de una anualidad.

3. Valor presente con flujos de fondos desiguales.

[8]

CAPll'ULO

5

ELEMENTOS DEVALUACION

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE

Discutir los distintos enfoques de valuacin: de libros, liquidacin,mercado, ratio de precio a ganancia.

Analizar los elementos bsicos para la valuacin de un activo. Desarrollar el modelo general para valuacin de activos.

Aplicar los modelos bsicos de valuacin a la valuacin de los distintostipos de bonos.

Repasar las diferentes formas de valuacin de acciones.

5,1. APROXIMACIONES A LA DETERMINACION DEL VALOR DE UN ACTIVO

Existen diversas aproximaciones a la determinacin del valor de un activo(eventualmente, una empresa), que se revisan seguidamente.

Valor de libros

Es el valor contable por el cual est registrado un activo. Amanera de ejemplo, si esteactivo fuera una accin ordinaria, su valor de libros sera igual al valor contable del activomenos el total de deudas, incluidas las acciones preferidas, dividido el nmero de acciones.

64 Cap. 5. Elementos de valuacin

Ejemplo

Una empresa tiene un activo de $ 500.000 Y un valor de deudas ms el valor deacciones preferidas de $ 480.000. El nmero de acciones ordinarias es 1.000. El valor delibros de la accin ordinaria es:

~oo.ooo- 480.000 $ 20 . = poracclon1;000

Este mtodo frecuentemente es objeto de crticas, debido a que se basa en datoshistricos contables, sin considerar las expectativas de ganancias potenciales; tampocomuestra vinculacin con la realidad del mercado.

Valor de liquidacin

Es el valor que se obtiene hoy da -suponiendo que la referencia sea a una accincomn-, si todos los activos de la empresa son vendidos y todas las deudas, incluidas lasacciones preferidas, son pagadas, y resta un remanente de dinero y esta cifra, el que sedivide entre el nmero de acciones.

Ejemplo

Si las 1.000 acciones del ejemplo anterior tuvieran que contrastarse con el volumende activos y el de pasivos en liquidacin, y stos fueran, respectivamente, de $ 480.000 Y$ 470.000, se llega a que el valor de cada accin es de:

-'$;.....4....:.6.;..0..;..00....:.0_-..:.$....:.47~0.:..:.0..:.00=-- = $10 por accin1.000

Se trata de una aproximaci6n ms realista que el valor de libros, aunque, sin embargo,arrastra el problema de no tomar en cuenta el potencial crecimiento de las ganancias generadaspor la empresa.

Mltiplos de la relacin precios/ganancias (P/G)

La relacin precios/ganancias refleja el monto que los inversores estn dispuestos apagar por cada peso que obtengan de ganancias. Este ratio, cuando se mira en promediopara una casa industrial, puede ser de.utilidad CO!110 punto de referencia. Con frecuencia seemplea en el caso de empresas que no cotizan sus acciones y que usan como un proxy elpromedio de la industria.

Ejemplo

Una empresa planifica tener, para 1999, una ganancia por accin de $ 3, tomando encuenta la evolucin histrica, as como las condiciones econmicas esperadas. La relacin

Parte l. Conceptos fundamentales en finanzas)

)

)

)'< )

)

)

)

)

)

)

)

)

)

..1

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

I

65

precios/ganancias deseada en promedio para la industria es de 8. Por lo tanto, el valor decada accin, suponiendo que los inversores mantienen el promedio como vlido, ser de$24(8x$3).

Valuacin sobre la base de los flujos de fondos esperados

El resto del captulo se referir, bsicamente, a la valuaci6n que toma los flujos 'defondos esperados; por lo tanto, su desarrollo se detallar en el transcurso del mismo.


l. Compare los criterios de mltiplos de la relacin precios/ganancias con el valorde liquidaci6n. .

5,2. FUNDAMENTOS DE LA VALUACION A TRAVES DE FLUJOS DEFONDOS ESPERADOS

Estos fundamentos se exponen en tres partes:

Flujos de caja .

Desarrollo temporal.

Tasa de descuento apropiada.

Contina una breve descripcin de cada uno de ellos.

Flujos de caja

El valor de cualquier activo depende de los flujos de caja esperados que resulten dedicho activo en el perodo de su propiedad. En este sentido, debe quedar claro que nonecesariamente los flujos de caja se deben dar con idntica periodicidad, sino que se puedendar en perodos diferentes, o incluso en un solo momento en el tiempo.

Desarrollo temporal

Adems de la estimacin de los flujos de caja, es vital la estimacin de la distribucinen el tiempo de esos flujos. Ya se ha visto, en el cap. 4, la importancia del valor tiempo deldinero.

Tasa de descuento apropiada

Para obtener el valor de un activo una vez estimados los flujos de caja y su distribucintemporal, es necesario actualizarlos con una tasa de descuento apropiada.

)66 Cap. 5. Elementos de valuacinI La idea de apropiada est asociada a los riesgos que involucran los flujos de caja.

Cuanto mayor sea el riesgo de ellos, mayor ser la tasa de descuento. De esta forma, engeneral, si dos activos tienen el mismo flujo de caja en tamao y en desarrollo temporal, yuno implica ms riesgo que el otro, el de mayor riesgo tendr menos valor, al ser descontadossus flujos de caja con una tasa de descuento mayor. En captulos venideros se analizar endetalle el riesgo y la determinacin en la tasa de descuento. '

)

)

11

I)

El modelo bsico de valuacin)

)

)

)

)

)

El valor de un activo que, como el caso de los activos financieros producen flujos defondos, es el valor presente de todos los futuros flujos de caja quese espera que ste generedurante el perodo relevante.

De esta forma, el valor se determina descotando los flujos de caja a la tasa de descuentoapropiada, que es la que requiere ese activo en funcin del riesgo que lleva implcito.

El modelo bsico de valuacin es aquel que deriva de las tcnicas de valor presentes,expuestas en el cap. 4 .

El modelo se representa de la siguiente manera:j

)

F, F2 F. FnVo =--+---+---+ +---

(1+ k)' (1+ k)2 (1+ k)3 (1+ k)n

/donde:

)V,: valor del, activo en el momento O;F, : flujo de caja esperado al fin de cada ao;k : tasa de descuento apropiada (tasa de rendimiento requerida);

n : perodo relevante.

) Ejemplo

)

)

)

Un activo genera flujos de caja al fin de cada ao durante 4 aos, de $ 3.000 en cadauno. Si la tasa de descuento apropiada es del 6 %, cul ser el valor de ese activo en elmomento O?

Utilizando la ecuacin [1) se tiene:

$ 3.000 $ 3.000 $ 3.000 $ 3.000V - + + +-'----, - (1+ 0,06)' (1+ 0,06)2 (1+0,06)3 (1+ 0,06)4

= $10.395

Por lo tanto, el valor del activo al momento Oes de $ 10.395.

[1]

Parte /. Conceptos .fundamentales en finanzas 67PUNTOS QUE DEBEN SER COMPRENDIDOS ANTES DE SEGUIR ADELANTE

l. Cules son los elementos fundamentales de la valuacin.

2. Modelo bsico de valuacin.

5,3. VALOR DE UN BONO DE DESCUENTO PURO

Los bonos de descuento puro pagan su valor facial o valor nominal (F) al cabo de naos, y un inters implcito. Estos bonos son conocidos en los mercados financieros como,bonos cupn-cero, puesto que fsicamente, carecen de cupn e intrnsecamente tienen uninters pero es implcito.

El valor presente del bono ser:

VP=F/(1+k)n

El valor presente neto ser:

VPN= F / (1 + k)n- precio inicial [2]

Como se ver, en los mercados eficientes este valor presente neto ser 0, o sea que elVP es igual al precio inicial.

Ejemplo

Supngase que la tasa de descuento a utilizar sea del 9 %, con un bono de valornominal de $ 100.000 que vence a los 25 aos. El valor presente ser:

VP= 100.000/(1,09)25= 11.597

o sea? aproximadamente, el l l % de su valor facial o nominaLEs claro que los cambios en la tasa de inters y en el plazo arrojarn diferentes valores

del bono, expuestos como valores presentes. Estos bonos son conocidos en los mercadosfinancieros como bonos cupn cero.


l. Una suba en la tasa de inters, qu efecto tiene sobre el valor de un bono cupncero?

5,4. VALOR DE UN BONO CON CUPON y PRINCIPAL

Un caso frecuente es el de bonos cuyo flujo de fondos est compuesto por pagos deintereses y del principaL Los bonos, en general, son instrumentos de deuda a largo plazo,

68 Cap. 5. Elementos de valuacin,

emitidos por los gobiernos y las empresas con los que obtienen, habitualmente, importantessumas de dinero de distintos tipos de inversores. Estos bonos poseen un pago de intereses,el cup6n de intereses, que con frecuencia es semianual.

Tienen un vencimiento habitual entre 5 y 30 aos, as corno un valor a la par, valornominal o valor facial, por ejemplo, de $ 1.000, que es el que debe ser pagado al vencimiento.

Se analiza, en esta seccin, el caso de un bono que tiene una vida finita y cuyo flujode fondos est compuesto por intereses (que muchas veces estn fsicamente representadospor cupones) durante n aos, simbolizados por T, que al cabo del ao n recibe, adems, elcapital C.

El flujo de fondos se representa corno:

F, F, F3 ~ F.

donde:

F, a Fn- , : son los intereses de cada perodo;F. : es la suma del principal y del Inters a pagar en el ltimo perodo.

El segundo paso para calcular el valor del bono al momento es efectuar la actualizacina la tasa de rendimiento requerida, que se llam k, como lo expresa la frmula [1]. Por lotanto, el valor presente suponiendo la corriente de fondos expuesta razonable es igual a:

F, F, F3 F.V =---+ --- +--- + +---

o (1 + k) (1 + k)' (1 + k}3 (1 + k)

Ejemplo

Supngase un bono a 7 aos con un cupn de S 20 anual, un valor facial de $ 100 Y'una tasa de descuento del 12 %.

o sea:

L = $ 20;e =$ 100;k = 0,12;n = 7.

El valor del bono al momento ~ ser de:

20 20 20 20 20 20 100 + 20Vo=-- + --' - + -- +--' + -- +--- +---

(1,12) (1,12)' (1,12)" (1,12)' (1,12)' (1,12}6 (1,12)1

Vo= 136,51

o sea, el valor presente del bono o valor al momento O del bono es de $ 136,51.El rendimiento al vencimiento deun bono es conocido en la literatura inglesa corno

yield tomaturity.

[3]

l. Valor de un bono con cup6n Yprincipal, Ysus diferencias con ~n bono de descuentopuro.


El rendimiento al vencimiento es la tasa de rendimiento que los inversores ganan sicompran un bono a un precio determinado en un momento-del tiempo y lo mantienen hastasu vencimiento.

Ejemplo

Sup6ngase un bono que es comprado a $ 1.150 Yque tiene un cup6n de inters anualdel 11 %; su venciritiento es dentro de 18 aos Ysu valor facial es de $ 1.000 Y no tieneamortizaciones durante la vida del mismo. Cul es el rendimiento al vencimiento de estebono?

Fo=$1.150F, a F'7 = 110 (0,11x $1.000)

F'8 = 110 + 1.0001.110

n = 18

El clculo consiste en determinar cul es la tasa que los flujos F, a F ,& descontados aella reportan al valor de $ J. 150.

Utilizando calculadoras u otro elemento electr6nico apropiado, esto se determinarpidamente. Seguidamente se efectuarn, con el fin de ilustrar mejor, pruebas para sudeterminacin.

Un primer paso ser calcular el valor presente de los 18 flujos, a una tasa del 10 %.Para ello, se sabe que los flujos son una anualidad de 18 aos, con un valor de $ 110 Yunflujo final de S 1.000. Utilizando las tablas 1 Y 2 que se encuentran al final del libro devalores presentes se obtienen los dos coeficientes: para la anualidad, de 8,20, Ypara el pagofinal, de 0,18.

Por lo tanto, se llega al siguiente valor presente al 10 %:

$ t10 x 8,20 + $ 1.000 x 0,18 = $ 1.082,11

El valor de $ 1.082, 11 es ligeramente inferior a $ l.l50, por lo que se probar a unatasa menor, por ejemplo, del 9 %, que deber reportar un valor mayor. Los clculos, utilizandolos datos de las tablas citadas, son:

$110 x 8,76 + $ 1.000 x 0,212 = $ 1.17:5,16

Esta cifra es ligeramente superior a $ 1.150. Por lo tanto, el valor est entre el 9 % YellO %, e,intuitivamente se advierte ms cercano al9 %. Interpolando se llega al 9,3 %. Elrendimiento al vencimiento es, entonces, del 9,3 %.


69

)

)

)

)

\. )

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

))


5,5. VALOR DE UN BONO PERPETUO

Existen casos de bonos a perpetuidad, esto es, que rinden un inters peridico, porejemplo, anual, que se pagan todos los aos. Nunca vencen, o sea, tienen una vida infinita.Un ejemplo de este tipo de bono son los British Consol, emitidos por primera vez por elgobierno britnico durante las guerras napolenicas, que todava son transados.

El valor de un bono a perpetuidad viene dado (1) por:

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

Fv=-o k

donde:

F : monto de lnteresespaqados personalmente;

k : tarea de descuento apropiada;

V,: valor presente del bono.

Ejemplo

Supngase un bono perpetuo que paga anualmente $ 20 Yque k = 12 %.El valor del bono ser:

20v=-o 0,12)

)o sea, $ 166,67 (1).

'6 l" y F F F + F(HLademostraci nes asIgUIente: ,= __ +__ + __ + __(1+k) (1+k)' (1+k)' (1+k)'

)lo que es igual a:

[I I I ]

Y.=F (I+k) + (l+k)' + + (I+k)' [1]

) Multiplicando ambos miembros por J + k. se tiene:

Y.[I +k]=F[1 +_1_ + __1_+ +__ 1_](l +le) (1+k)' (1+k)'"

Restando [2]. [1], se tiene:

y [1+k.ll=F[I.-t-] (l + k)'

[2]

)

Como n (lIO entonces:)1

(1 + le)' -+ O.

y la ecuacin queda como:

FY.xk=F. de donde V,= T

Parte 1.Conceptos fundamentales en finanzas 71


1. Valuacin de un bono perpetuo.

5,6. VALOR DE UNAACCION

[4]

Las acciones son un activo financiero, y, como ocurre con ]05 bonos, su valor es elvalor presente de los flujos de fondos que deriven de las mismas.

El valor de una.accin es el valor presente de todos los futuros dividendos que seespera que generen en un tiempo infinito.

Expresar este concepto del valor de una accin hace necesario efectuar algunoscomentarios.

En primer lugar, si se compra una accin y luego se vende a un valor mayor que el quese pag, existir una ganancia de capital. Estas ganancias son, en realidad, el valor delderecho a los futuros dividendos.

En segundo lugar, cul es el caso de una accin que no da dividendos? No tienevalor? Puede tenerlo; en esta circunstancia, sera el valor atribuible a un lejano dividendoque ocurrira con la liquidacin de la sociedad.

Efectuados estos comentarios, aparece ms ntida la idea desde el punto de vista deuna valuacin donde slo los dividendos son relevantes.

De esta forma, el modelo bsico de valuacin de una accin viene dado por la segundaecuacin:

D, D2 D.P = --- + --- + --"'--o (1 + k.l (1 + k.)2 (1 + k,)'

D~+ +---

donde:

p.: valor de la accin comn;O,: dividendo esperado en cada ao;k. : rendimiento requerido para una accin.

Los dividendos pueden evolucionar de distinta manera. Si se observa el crecimientode los mismos, se pueden presentar tres casos:

Cero crecimiento.

Crecimiento constante.

Crecimiento diferencial.

En definitiva, se trata de casos especiales del modelo general expuesto.

Cero crecimiento

. En este caso, como el nmero de los perodos en los que se permiten dividendos esinfinito, la frmula queda igual a la que se vio para la valuacin de un bono perpetuo.

72 Cap. 5. Elementos de valuacinAs, sera:

op=-o k.

donde:

o: es el dividendo constante.

Ejemplo

Si una accin rinde un dividendo anual de $ 2 por un horizonte de tiempo infinito, y k.es del 12%, el valor de la accin ser:

$2P =-. -=$16,67o 0,12

o sea, el valor de la accin ser de $ 16,67.

Crecimiento constante

Es una de las hiptesis de crecimiento comnmente utilizadas y significa que losdividendos crecen a una tasa constante g, que es inferior al rendimiento referido k.Queg < k.es una condicin matemtica para derivar el modelo.

En este caso, al ser Do el dividendo en el momento O,.el valor presente o valor de laaccin ser:

00(1 + g) 0.(1 + g)2P - + --''''- __ (1 + k,) (1 + k,)2

0.(1 + g)' 00(1 + g)-+ + +

(1 + k,)3 (1 + k.J-

Puede escribirse como (2):

o,p.=--

k. - 9

donde:

o,: es el dividendo al momento 1.

(2) Si se multiplican ambos miembros. de la ecuacin [5]por (~ + k) se resta dicha ecuaci6n y se efectanoperaciones. se llega a que: (1+ g)

p=~ k.-g

[5]


)

)

)

)

\ )

)

)

.J

)

)

)

)

)

)

I

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

J I

Ejemplo

Si una accin tiene al momento J un dividendo de $ 4 por accin, ste crece al 6 %anual y IIItasa de retorno requerida es k.= 9,5 %, se tiene que el valor de la accin ser:

4P =---_o 0,095 _0,06

=$114,29

Esto es, el valor de la accin ser de $ 114,29.

Crecimiento diferencial

En este caso existen, por ejemplo, dos tasas de crecimiento. En el primer perodo, g J'y luego, g2' .

Se debe presentar inicialmente el valor presente del primer perodo de n aos, queser:

Luego, el valor de la accin al fin del perodo inicial de crecimiento suponiendo unatasa de crecimiento g. ser:

P .3.u...-k. - S.

que representa el valor de todos los dividendos esperados hasta infinito, que despus debedescontarse al momento O, con lo que. este segundo perodo tiene un valor presente de:

[6]

En definitiva, el valor de una accin que tiene dos tasas de crecimiento est representadopor la siguiente ecuacin: .

1 _D ,---x(1 + k,) k, - 92

n 0.(1+9,)' 0 ,1P=L + x-- t = O (1 + k.)' [(1 + k,) k. - g21 [7]

Valor presente delos dividendos

durante el perodoinicial de crecimiento.

Valor presente delprecio de la accinal fin del perrodo

inicial de crecimiento.

))

74 Cap. 5. Bementos de valuacin Ejemplo

El dividendo por accin al fin de 1997 fue de $ 2 Y crecer durante 3 aos al 5 %anual; la tasa de descuento k.es igual alto %'anual. La segunda tasa de crecimiento ser del7%.

) El valor de la accin ser:

=? Del primer perodo de crecimiento al 5 %:)

1 2 3 4 5 6

t Fin del ao Do= D"'7 El,al 5 %Factor valor Valor presente de lospresente dividendos 4 x 5

1 1998 $2 $:2,10 0,909 1,909

2 1999 $2 $2,205 0,826 1,8223

3 2000 $2 $ 2,315 0,751 1,7395

5,4709

)

)

)

)

)

)

)de donde el valor de la accin por el primer perodo es de $ 5,4709.

=? El segundo perodo ser:

P2OQO1 2,47----x----

(1 + 0,1)3 0,10 - 0,07

)=O,75x81,9

=$61,5

o sea,$ 61,5.

=> El valor de la accin ser:

)P1997 = $ 5,71 + $ 61,5 = $ 67,21

) o sea, $ 67,21.

)

)


Grficamente, los dividendos por accin tomarn la siguiente trayectoria:

75

Dividendopor accin

Crecimientoconstante

D1 = Do(l + g)t

Crecimientocero 9 = O

Aos


l. Elementos determinantes del valor de una accin.'

5,7. RENDIMIENTO DE UNAACCION

por:El rendimiento de una accin sin considerar impuestos en un perodo estar compuesto

Dividendos en efectivo.

Dividendos en acciones.

Diferencias de cotizacin.

En efecto, existen casos en los cuales las firmas, adems de entregar dividendos enefectivo, 10 hacen en acciones. En ese caso, que es de los ms complejos, el rendimiento deuna accin ser:

D + P1 - Po+ ex P1RendimientoPo

[B]


donde:

P, y Po: valores delas acciones en los momentos Oy 1;O ': lVdeiY~oi eiectivo;ex : porcentaje que se distribuye en acciones sobre el total del capital nominal."

Si P,= 17, p.= 15, D = 3, a =0,4

Se tendra que el rendimiento de la accin es:

3 + 17 - 15 + 0,4 x 1715

=0,79

o sea:

79%

PUNTOS QUE DEBEN SER COMPRENDlDOSANTESDE SEOUIRADELANTE

'l. Elementos determinantes del rendimiento de una accin.

REFERENCIAS SELECCIONADAS

Bonrs, Z.; KANE, A. YMARCUS, A. 1., Investments, Richard D. Irwin, Homewood,IIIinois, 1994.

SHARPE, W. F., Investments, Prentice Hall, 1993.

l)

)

)

),)

)

)

.J

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

PARTEn ANALISISDE

INVERSIONES

Cap. 6. Criterios para el anlisis de inversiones 79

Cap. 7. Tasa de rentabilidad vs. valor presente neto 99

Cap. 8. Definicin de flujo de fondos 125

Cap. 9. Riesgo y opciones en el anlisis de inversiones 151

capitulos 4 y 5

Documents