Capítulo 2:

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Rubén Darío Henao Ciro

Capítulo 2 del libro “Un Viaje Literario en la Enseñanza de la Matemática, publicado por Adida-Comfenalco, 2005. :

2.1. ¿EN QUÉ SE FUNDAMENTA LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS?

Empecemos por aceptar que la didáctica es “la ciencia que estudia el proceso docente educativo (Alvarez, R.M., 1997, p.15); es la ciencia que orienta el quehacer educativo; se puede resumir como la teoría de la enseñanza y por consiguiente su tarea es investigar las leyes generales de la enseñanza expresadas en principios.

La didáctica se ha desarrollado como la teoría de la instrucción, como teoría de la instrucción correcta, o como la concibe Comenio (1592-1670): "el arte de instruir".

Comenio, autor de uno de los primeros tratados de didáctica, sostiene que “No requiere de otra cosa el arte de enseñar que de una ingeniosa disposición del tiempo, los objetos y el método” (Comenio, p.106). Si se quiere alcanzar el ideal propuesto con los alumnos, se debe proveer el ambiente escolar de un método claro y uniforme que tenga en cuenta 1) el conocimiento del alumno, 2) el desarrollo de la acción argumentativa, 3) la relación entre lo que el alumno sabe y el nuevo conocimiento matemático y 4) las acciones que deben ejecutar profesor y alumno para alcanzar los logros propuestos.

La enseñanza de la matemática ha de estar fundamentada en principios como:

· No es sólo a reproducir conocimientos a lo que se va al aula de clases, sino también, y con mayor fuerza, a mejorar la productividad del país.

· La matemática cumple una función primordial en la formación científica y tecnológica.

· Una sistematización propia en la cual se acompañe la teoría con la práctica.

· El maestro es el encargado de dirigir el proceso docente.

· Aspectos que afiancen el trabajo grupal a la vez que se considere el desempeño de cada estudiante.

La contextualización de estos principios en la educación colombiana puede crear un ambiente de clase que ayude a corregir el formalismo excesivo, el simbolismo innecesario, los abusos por exceso o por carencia con los contenidos matemáticos y el pseudoconstructivismo que ha llevado a los maestros a implementar un trabajo de taller en el aula en el cual el estudiante aprende lo que quiere, al ritmo que quiere y sin tareas de control que permitan conocer el estado real de su aprendizaje.

Se puede lograr una buena formación matemática creando mejores estrategias de aprendizaje: estimulando la interactividad alumno-profesor, educando para la vida, fortaleciendo la argumentación oral y escrita por medio de documentos y videos, en fin, realizando estas y otras acciones que mejoren las condiciones para el desarrollo científico y social.

Conscientes de que “en el terreno didáctico a la relación sujeto-objeto debe sumarse la dimensión social del proceso educativo” (Men, 1998, p.3), se piensa no sólo en el nivel cognitivo, tan acentuado en la enseñanza de las matemáticas, sino en niveles de carácter afectivo, social y sicomotor, que mejoren la proyección intelectual del hombre en el medio.

2.2 ¿CUÁL ES LA CONCEPCIÓN FILOSÓFICA DE LAS MATEMÁTICAS?

Diversos y trascendentales conceptos inquietan a quienes se preguntan por la naturaleza de las matemáticas: “existen independientemente de la mente humana”; “son creadas para cerebros o grupos privilegiados”; “son fruto espontáneo de las elaboraciones mentales”; “son una creación de la mente humana realizada mediante procesos que deben darse en cada cerebro y en cada grupo”.

Cada una de estas formas de "concebir" las matemáticas determina una actitud y un método específicos para acercarse a ellas, para enseñarlas y para aprenderlas. De ahí la importancia de que los profesores analicemos la posición asumida respecto a la génesis de los conocimientos matemáticos, y así revisar los modelos didácticos y filosóficos para conservarlos, mejorarlos o cambiarlos.

Surge entonces una pregunta respecto a la naturaleza de las matemáticas: en el contexto situacional colombiano, ¿cuál debe ser la concepción filosófica sobre las matemáticas que debe constituirse como base del quehacer matemático?. Una vez elegidas las premisas de dicha concepción, ¿qué significado de las matemáticas debe dinamizar los procesos formativos en la educación matemática colombiana?

Para empezar, repasemos algunas concepciones con su respectiva esencia: el platonismo (la matemática existe independiente del hombre); el empirismo (la matemática proviene de la experiencia); el logicismo (la matemática es una rama de la lógica); el racionalismo (el conocimiento verdadero se fundamenta en bases sólidas e indubitables); el criticismo (la matemática domina toda ciencia de la realidad); el pragmatismo (el conocimiento queda subordinado a la acción) y el constructivismo social que por evaluar y recoger el legado de las concepciones anteriores, se constituye en una propuesta a explorar sistemáticamente en la educación colombiana.

El constructivismo considera que las matemáticas son creadas por la mente humana, y únicamente tienen existencia real los objetos matemáticos que puedan ser construidos por procedimientos finitos a partir de objetos primitivos.

En cualquiera de los casos, no debe extremarse una concepción matemática que desconozca la actualidad tecnológica y científica, que no reconozca los contextos y que no se apoye en la historicidad de los conceptos matemáticos y de los procedimientos que tuvieron que hacer los grandes matemáticos para producir los conocimientos que hoy utilizamos.

Los extremos, en su tendencia totalitaria, nos dan una verdad a medias: ni las matemáticas provienen de la experiencia ni son independientes de ella; puesto que surgen de la relación dialéctica entre el hombre y la realidad objetiva. El hombre intelectivo no se reduce a la idea cartesiana del “pienso luego existo”, además de pensar, siente, toca el mundo y se deja afectar por él; es decir no sólo cuando piensa existe y no existe bajo el absolutismo del pensar. También siente y podría, bajo la tutela de la inteligencia emocional, acuñarse la expresión paródica “siento luego existo”.

Bien lo dice el matemático J. Von Neumann: “A gran distancia de su fuente empírica o bien después de mucha incubación abstracta, un campo matemático está en peligro de degeneración”

La experiencia le da resonancia al campo de las matemáticas. El trabajo independiente del matemático hace falta para modelar múltiples situaciones imposibles de experimentar en lo concreto”, puesto que un matemático no puede llevar todos los objetos de la realidad a su escritorio, así como un ingeniero no construye modelos abstractos sino concretos.

Los objetos matemáticos condicionan la mente y permiten al hombre una interpretación mejor de la realidad. Cosas como árbol, casa, avión y planeta muestran el dominio de conceptos matemáticos como altura, volumen, coordenada, entre otros. Sin los primeros iríamos a ciegas por las nubes grises de la matemática. Sin los segundos entraríamos en un caos irresoluble.

La ingeniería, por ejemplo, sería imposible sin una relación bicondicional entre el puente, como estructura real, y el diagrama libre, como plano que representa las fuerzas y los momentos de fuerza que actúan sobre el puente en equilibrio.

Hay una relación necesaria entre objeto-concepto matemático. Las matemáticas con las cuales el matemático pone a pensar, producto de su abstracción, son necesarias para elevar la conciencia del hombre; si bien no se puede quitar la barra rígida de la articulación en la pared, pensarla sin peso, sin fisura, vacía y convertida en vector, tampoco se puede desconocer el estudio de la geometría vectorial si se quiere confiar en una teoría bien llevada a lo concreto.

Y, ¿qué papel juega el lenguaje en la concepción de las matemáticas?

El desarrollo de las matemáticas va ligado al desarrollo del lenguaje y del pensamiento, el profesor de matemáticas recurre a modelos matemáticos puros para resolver problemas, intramatemáticos o extramatemáticos; el lenguaje es una poderosa herramienta que ayuda a la comprensión de las matemáticas y del lenguaje matemático. Expresiones como sumar raíces, hallar el límite, demostrar una identidad, resolver una ecuación bicuadrada, derivar una función, entre muchas otras, necesitan de un trabajo lingüístico además de matemático.

Entre las múltiples funciones que tiene el lenguaje, es necesario resaltar la función cognitiva; aquí el lenguaje ayuda a la comprensión y a la argumentación en el campo matemático.

El lenguaje es soporte del pensamiento lógico e infralógico. Todo conocimiento matemático se construye mediante el lenguaje, imposible sin él. En su carácter abstracto es necesario que el lenguaje inyecte las palabras con su significación matemática para que se dé el pensamiento necesario en la abstracción del concepto.

La lógica ordena los procesos mentales para producir los resultados necesarios, entonces el lenguaje cumple una función fática al mantener la relación entre el hombre y su pensamiento, acentúa el contacto y mantiene vigente el canal del discurso silente.

La exposición en matemáticas es más efectiva cuando quien expone tiene dominio de la lengua y de los conocimientos necesarios para expresar de buena forma el discurso matemático.

También por la condición didáctica de la clase, es permitido utilizar alteraciones, digresiones, metáforas y analogías que permitan una mejor comprensión de las matemáticas.

Las figuras geométricas y las múltiples gráficas que se trazan en un plano obedecen a factores matemáticos condicionados por el lenguaje y su categoría semántica; por eso establecemos movimientos rectos o curvos, suaves o angulosos, continuos o discontinuos.

La observación de los objetos matemáticos y de los objetos de la realidad, el paso del tiempo, perfeccionan el concepto de matemáticas; las múltiples herramientas de la modernidad dinamizan el concepto, y esto debe ser utilizado por quien quiere dedicarse a la enseñanza de las matemáticas.

La matemática, ciencia por excelencia, nos ayuda a ver mejor lo que pasa cerca y lejos, incluso nos permite predecir lo que no ha pasado y ver lo que no puede ser visto por aquellas mentes que se dejan repeler por el estudio de la ciencia.

Ahora, ¿cuál es el concepto de matemáticas que debe permanecer? Difícil decidirlo en pocos renglones. Confiamos en las matemáticas como la herramienta que sirve a unos y la ciencia que concentra a otros, pero sabemos que es herramienta gracias a que antes fue ciencia; es decir, el científico matemático investiga un modelo, un concepto, un procedimiento, que luego será utilizado por otra persona, como herramienta para conseguir otro fin. Pueden entonces pensarse las matemáticas como la herramienta que ayuda a resolver problemas, y basarnos en el método de la resolución de problemas, en el momento de enseñarlas.

O, podemos pensar las matemáticas como la ciencia que se encarga del estudio de números, figuras geométricas, y relaciones, propiedades y operaciones entre unos y otros, como es pensada en la mayoría de las escuelas.

No obstante, en este trabajo didáctico, defendemos y ponemos en consideración una definición de matemáticas que permite proponer metodologías alternativas de trabajo. La definición es: las matemáticas son un conjunto de verdades que surgen de la relación dialéctica del hombre con el medio, expresadas en conceptos proposiciones y leyes.

Varias aclaraciones surgen necesariamente.

En primer lugar consideramos la verdad como un argumento válido que surge de las matemáticas puras o de las matemáticas aplicadas; una verdad que, bajo el acierto cartesiano, conviene someter a la duda y demostrar o verificar.

En segundo lugar, nos parece que la relación dialéctica entre el hombre y el medio, es lo que imprime dinámica a la matemática en el aula; vemos cómo el hombre se enriquece con lo que adquiere del medio y el medio mejora por la intervención del hombre. Dicha intervención pensada bajo las leyes de la lógica y sin entrar en contradicción con las prácticas sociales.

2.3 ¿POR QUÉ ESTUDIAR MATEMÁTICAS?

Existen varios argumentos que muestran la significación del estudio de las matemáticas.

· Indudablemente, las matemáticas son uno de los pilares en la formación científica de los estudiantes; ayuda a la interpretación de modelos, la representación de proposiciones de otras ciencias y la resolución de problemas cotidianos, escolares y científicos.

· Las matemáticas ayudan al desarrollo del pensamiento lógico, algorítmico, general, espacial, analítico, práctico y creativo, entre muchos otros.

· A través de la matemática se pueden enseñar principios, actitudes y valores que potencien el individuo al servicio de su país. Colombia necesita ciudadanos con alto grado de compromiso social en lo tecnológico y científico, que sean capaces de proponer una política de racionalización y cuidado de los recursos, que diseñen modelos propios económicos y que exploren los sistemas operativos en lo personal, familiar y social. Durante mucho tiempo se ha pensado que los matemáticos son seres engreídos, que sólo salen de su cápsula abstracta para tomar café. Es hora de proyectarlos al campo productivo donde puedan desarrollar su pensamiento analítico y creativo con acertividad.

· Es imposible el estudio de la ciencia, la tecnología y el mercadeo sin las matemáticas; estas están en la base de los procesos operativos fuertes que permiten la toma de decisiones en diversos campos.

· La lógica y las matemáticas ayudan a guiar nuestros razonamientos de tal manera que podamos educarnos y educar a los demás para que sean propositivos y competitivos en una sociedad que necesita de su especialidad.

Varios motivos entonces deben guiar el aprendizaje de las matemáticas: adquirir capacidad en la resolución de problemas, ser coherente en los procesos de construcción social, reconocer el mundo mediante modelos acertivos, o, como se deriva de leer a Whitehead, “...alcanzar el peldaño más alto en la escala del pensamiento humano”, pero no sólo del pensamiento, sino del quehacer humano.

2.4 ¿PARA QUÉ ENSEÑAR MATEMÁTICAS?

El objetivo orienta al maestro sobre los métodos y las metodologías que debe implementar en el aula, además muestra el camino sobre lo que se debe evaluar. Existe una estrecha relación entre el contenido y el objetivo que se busca con dicho contenido. Podemos esquematizar estas múltiples relaciones con un rectángulo y sus diagonales.

Una propuesta de educación matemática debe enmarcarse en tres grandes directrices: 1) el desarrollo de saberes y competencias específicos de la matemática, 2) el desarrollo de capacidades generales de pensamiento y, 3), la formación axiológica de los estudiantes.

Es necesario asegurar la apropiación de un saber para desarrollar, en consecuencia, unas competencias que se correspondan con dicho saber. Respecto a los saberes y las competencias, los estándares curriculares contemplan los componentes fundamentales en la enseñanza de las matemáticas, aunque podemos plantear algunas generalidades.

El profesor debe garantizar que los estudiantes:

· adquieran conocimientos sobre los conceptos matemáticos.

· se familiaricen con proposiciones sobre relaciones entre dominios numéricos, con propiedades y leyes de los elementos de estos campos, y desarrollen habilidades seguras en la realización de las operaciones básicas de cálculo en los distintos dominios numéricos.

· adquieran conocimientos sobre procedimientos: solución de ecuaciones, representación gráfica de funciones, realización de construcciones geométricas, deducción y demostración de teoremas.

· obtengan conocimientos sobre símbolos y fórmulas matemáticas, las comprendan y las utilicen correctamente en el lenguaje matemático.

· sean capaces de trabajar con funciones afines y cuadráticas. También con funciones potenciales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.

· adquieran habilidades en la representación y en el cálculo de objetos geométricos en el plano y en el espacio.

Respecto a la segunda directriz, los lineamientos curriculares orientan los componentes del currículo en matemáticas así: pensamiento numérico y sistemas numéricos, pensamiento espacial y sistemas geométricos, pensamiento métrico y sistemas de medidas, pensamiento aleatorio y sistemas de datos, pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos y procesos matemáticos como el razonamiento y la comunicación.

En los documentos rectores sobre lineamientos y estándares aparecen bien explicitadas las orientaciones sobre el párrafo anterior, por tal motivo nos ocuparemos en revisar otros componentes que pueden articularse con la educación matemática.

La matemática contribuye al desarrollo de: el pensamiento general, la formación lingüística, el pensamiento lógico deductivo, el pensamiento creativo, el pensamiento algorítmico, la racionalización del trabajo mental y la imaginación espacial.

Respecto al desarrollo del pensamiento general son importantes las siguientes actividades mentales:

· Generalizar: a partir de la investigación de casos particulares se llega a nuevos conocimientos.

· Particularizar: a partir de lo general destacar los casos especiales.

· Abstraer: atender a los componentes esenciales y no tener en consideración aquellos de poca significación, bajo un criterio determinado.

· Concretar: transformar y aplicar lo general en lo particular.

· Analizar: descomponer el todo en sus partes integrantes y destacar los elementos esenciales. Por ejemplo, al resolver un problema, el análisis nos lleva a determinar cuales son las magnitudes pedidas y las dadas.

· Comparar: atender a las diferencias y semejanzas entre objetos, hechos o fenómenos. La comparación implica no sólo la diferenciación de objetos sino también la búsqueda de procedimientos similares a los dados.

· Clasificar: asociar por lo menos un objeto a una clase o interrelacionar clases.

· Sintetizar: resumir y buscar una nueva correlación de las partes en un todo.

El pensamiento lógico matemático, en la teoría piagetiana, implica la manifestación en dos categorías: las lógicas de clasificación y seriación con objetos concretos, y las infralógicas que relacionan el objeto con sus partes constituyentes e inician el reconocimiento del continuo.

Para la formación del pensamiento lógico los estudiantes deben aprender a trabajar correctamente con variables y ecuaciones, utilizar las proposiciones compuestas en el lenguaje común y en el lenguaje matemático y mover el pensamiento en la transferencia necesaria en la interpretación de textos y en la resolución de problemas.

Para el desarrollo del pensamiento creativo, el alumno debe encontrar teoremas, ideas de demostración, principios de solución para ejercicios y problemas, debe ser propositivo desde la búsqueda de nuevas alternativas de solución para lo que ya ha sido establecido, puesto que la creatividad implica lo nuevo y útil y se manifiesta en el trabajo independiente, la originalidad y la capacidad de racionalización.

“La enseñanza de la matemática contribuye al pensamiento creativo y a la fantasía cuando los alumnos participan activamente en la búsqueda de nuevos conocimientos y relaciones entre ellos; de ideas para la solución de ejercicios y problemas” (Ballester, 1992, p.30)

La creatividad depende, en gran medida, de la posibilidad que dé el profesor a sus estudiantes de pensar diferente y divergir de sus planteamientos. En la resolución de problemas pueden haber varias vías de solución y no una sola. Dichas vías deben explorarse para seleccionar la más apropiada. Veamos un ejemplo.

El perímetro de un rectángulo es 40 unidades. Si el largo excede en dos el ancho, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo?

Existen cuatro formas que puede utilizar el estudiante para plantear el problema, las cuales vamos a ejemplificar en la siguiente tabla.

Forma

Largo

Ancho

Ecuación

I

x

y

2x+2y=40; x=y+2

II

x

x-2

2x+2(x-2)=40

III

x+2

x

2x+2(x+2)=40

IV

Ensayo y error partiendo del perímetro y el exceso.

¿Existirá otra forma de abordar el problema para su resolución?

Los objetivos, en la enseñanza de la matemática, deben enmarcar también el desarrollo de competencias ciudadanas que le permitan al estudiante resolverse y resolver la problemática social que lo afecta a él, a su familia, a su barrio, a su ciudad y a su país.

En este campo podemos pensar en la formación de actitudes favorables, cualidades de la persona que conjuga sus saberes de una manera integral, que puede ser crítico-propositivo frente a los problemas políticos y sociales.

El planteamiento, resolución y discusión de problemas sociales o familiares debe implementarse desde la clase, fortalecer el respeto por el otro y la toma de decisiones que mejoren el entramado social y en la cual la matemática cumpla su papel lógico y equitativo.

La matemática ayuda a la aceptación de la normatividad social y a mantener una relación dialéctica fundada en el respeto de la dignidad humana y en la valoración de la vida como el máximo derecho. No es menos humano el que se hace matemático para ayudar en la construcción de comunidad.

2.5 ¿CON QUÉ ENSEÑAR MATEMÁTICAS?

La primera respuesta es: con contenidos. Los contenidos a desarrollar, en matemáticas, no deben encasillarse en la matemática pura, sino que deben ser abarcadores de otras disciplinas y otras estrategias que posibiliten la formación de un espíritu amplio e investigativo. Estos contenidos deben ser: 1) el conjunto de conceptos propios de la matemática (objetos, relaciones, operaciones y conceptos lógicos), 2) las habilidades y destrezas para elaborar conceptos, resolver ejercicios y problemas, hacer construcciones y efectuar demostraciones, 3) las estrategias para el desarrollo del pensamiento matemático, 4) las técnicas de lectura y escritura que refuercen las competencias matemáticas: interpretativa, argumentativa y propositiva, y, 5), los principios, actitudes y valores derivados de la matemática.

Dichos contenidos deben estar en relación con los objetivos propuestos por la escuela. Es necesario que el estudiante sepa de qué está hablando cuando se refiere a saberes matemáticos, más no es suficiente, puesto que hace falta que demuestre su capacidad de utilizar lo que sabe; esto es, haga procedimientos en los cuales se entrame lo conceptual, comprenda relaciones matemáticas, razone lógicamente y resuelva problemas. La competencia se refiere no sólo a saber sumar números naturales, sino a utilizar la suma al enfrentar situaciones cotidianas o científicas que requieran poner en juego las habilidades para sumar.

La segunda respuesta es con TLT: tiza, lengua y tablero. Está bien siempre y cuando la tiza sea de colores, la lengua sepa involucrar lo lingüístico y lo literario mediante dinámicas con anagramas, caligramas, tautogramas, poesía y música, y el tablero sea cuadriculado.

Para dar la tercera respuesta, digamos que existen múltiples herramientas y nuevos procesos que deben utilizarse en la enseñanza de las matemáticas; tal es el caso de la Internet, conferencias grabadas en videos, películas relacionadas con las matemáticas, libros cuyo contenido literario relaciona la matemática con la vida, al arte, la religión, la ciencia, entre otras, y máquinas o utensilios que el profesor de matemáticas puede elaborar. Muchos de estos recursos se exponen más adelante.

Otros recursos sugeridos son:

Para el desarrollo del pensamiento numérico deben utilizarse objetos de la realidad, el ábaco, las manos, el lenguaje común, rompecabezas, crucigramas, juegos como prestidigitación, punto y fama, stop math, parqués, batalla naval, entre otros.

Para el desarrollo del pensamiento espacial la mejor herramienta es el espacio físico real que ocupan los estudiantes, elementos de aeronavegación o arquitectura, dibujos, modelos de ingeniería, instrumentos geométricos y no geométricos, origami, rondas, laberintos, rompecabezas y juegos como el billar, la batalla naval, el ajedrez, entre otros.

Para el desarrollo del pensamiento métrico se deben utilizar procesos de estimación que ayuden a dimensionar lo medible, tablas con medidas que no puedan ser calculadas en el aula como distancia entre planetas, longitudes terrestres, el metro, la balanza, el termómetro, entre otros.

Para el desarrollo del pensamiento aleatorio se han de utilizar las estadísticas nacionales, las revistas, las encuestas, las tablas, las noticias, la ciencia misma y juegos como la ruleta, los dados, el dominó, las cartas, las monedas, entre otros.

Para el desarrollo del pensamiento lingüístico se debe utilizar la lógica, la argumentación, la lectura de libros especiales en la matemática y los juegos de palabras expresados en metáforas, paradojas, anagramas, stop, caligramas, entre muchos otros.

2.6. ¿CÓMO ENSEÑAR MATEMÁTICAS?

Etimológicamente “Método” viene del griego métodos = vía hacia, significa ir en busca de una cosa, tratar de descubrir su lógica y estructura interna, es decir, llegar a las cosas y sus relaciones.

En el lenguaje filosófico, los métodos son sistemas de reglas que determinan las clases de los posibles sistemas de operaciones que, partiendo de ciertas condiciones iniciales, conducen a un objetivo determinado. Los métodos son medios que utilizan los hombres para lograr los objetivos que tienen trazados.

El método es la médula espinal del proceso docente educativo; es el adhesivo poderoso que ayuda no sólo a mantener unidas las partes del proceso sino también a garantizar el aprendizaje.

En nuestro trabajo, aceptamos y aplicamos la siguiente definición de método del metodólogo alemán Werner Jungk: “Los métodos de enseñanza son instrucciones para acciones y modos de conducta del profesor que sirven para provocar actividades necesarias de los alumnos y por tanto, para la conducción efectiva y planificada, dirigida hacia un objetivo, del proceso de instrucción y educación de la enseñanza”. (Jungk, 1979)

Todo método de enseñanza tiene un aspecto externo y otro interno.

El aspecto externo es el modo visible de las relaciones maestro, alumno y materia de instrucción; es decir, la forma de enseñar. Así es posible distinguir tres formas metodológicas integradoras que deben implementarse en las aulas de clase: exposición del profesor, trabajo independiente y elaboración conjunta, las cuales abordaremos más adelante.

El aspecto interno es el conjunto de reflexiones respecto al cómo debe aprender el alumno, qué ocurre en su mente cuando elabora conceptos o efectúa procedimientos.

La utilización de los métodos en la enseñanza debe superar las contradicciones que se presentan entre el conocimiento anterior y conocimiento posterior, entre la teoría y la práctica, entre la enseñanza grupal y el aprendizaje individual, entre lo que demanda el maestro y el nivel de desarrollo que tiene el estudiante.

Es necesario combinar la teoría y la práctica en la enseñanza de la matemática, de tal manera que cada práctica ayude a la consolidación de la teoría y que la teoría supere las especulaciones de la práctica.

La demanda del maestro siempre debe estar por encima del nivel alcanzado por los estudiantes para garantizar el debate académico y el avance en la adquisición de conocimientos.

Existen varias clasificaciones de métodos, así como existe una gran variedad de métodos. Una clasificación adecuada para un estudio didáctico, explícita en las obras de Werner Jungk y Lothar Klingberg, es la siguiente.

CRITERIO

MÉTODOS

Funciones didácticas

Métodos de orientación hacia el objetivo, del control, de la elaboración, de la fijación, etcétera.

Vía lógica del conocimiento

Inductivo, deductivo, genético, analítico, sintético.

Tipos de proceso de comunicación y grado de independencia

Expositivos (exposición, ejemplificación, Ilustración, demostración), de elaboración conjunta (conversación socrática, conversación heurística, discusión), instructivos para el trabajo independiente (trabajo con el texto, solución de ejercicios, trabajo en la pizarra, trabajo individual).

Formas de organización

Enseñanza frontal, trabajo diferenciado, excursión.

Fuente de adquisición de los conocimientos

Trabajo con el texto, empleo de medios audiovisuales, empleo de juegos.

Etapas de desarrollo de la experiencia creadora y la actividad cognoscitiva.

Receptivo de información, reproductivo, exposición problémica, heurístico, investigativo.

¿Qué método debe utilizarse para que los estudiantes aprendan?. No existe una única respuesta para este interrogante. En una clase de 90 minutos (o de 120) es posible que el profesor utilice varios métodos.

En matemáticas, por ejemplo, es posible elaborar una demostración en la enseñanza frontal en el grupo y en la exposición del profesor de la forma aquí utilizada y emplear la vía deductiva para la demostración.

Es muy importante que el profesor tenga conocimientos sobre la didáctica general y la didáctica específica de su área, que utilice con coherencia y pertinencia los métodos y que ofrezca variedad en las metodologías utilizadas para evitar la monotonía y propiciar el aprendizaje.

En todos los cursos, sobre todo en matemáticas, el método debe garantizar que el camino conduzca a la lógica de la verdad. Para ello se puede utilizar el método inductivo (se va del ejemplo concreto a la teoría); deductivo (marcha de la ley teórica a la aplicación práctica); analítico (se descompone el todo en sus partes) y el método sintético (une las partes para formar el todo)

Según Lothar Klingberg, el encuentro entre los alumnos, la materia y el maestro ocurre de tres formas (métodos): 1) exposiciones del maestro, 2) trabajo independiente de los alumnos y 3) elaboración conjunta en conversaciones de clase. (Klingberg, 1978)

Analicemos más de cerca estas formas de encuentro.

La resolución de toda clase de problemas tiene por finalidad no tanto obtener éxito como comprender por qué se produce ese éxito. No basta con alcanzar un resultado práctico, es preciso darle condición de universalidad a ese resultado para ver si es posible aplicarlo a otras situaciones. Se hace necesario entonces la utilización de métodos expositivos tanto del profesor como de los estudiantes, para validar o refutar con criterios teóricos la experimentación hecha o los resultados obtenidos en los problemas prácticos.

La exposición del maestro sólo es recibida por los alumnos si el maestro logra estimular la actividad independiente de éstos, si los motiva a interesarse por su disertación.

Al utilizar los métodos expositivos, hay que buscar que el estudiante no asuma una posición pasiva, sino que su mente esté elaborando los conceptos y los procedimientos necesarios para la comprensión de la clase. El profesor puede establecer, para ello, medidas de control como plantear preguntas o ejercicios que deban resolverse desde la exposición.

La exposición tiene lugar cuando el profesor hace una aclaración, cuando instruye a sus estudiantes, cuando necesita ejemplificar un concepto o un procedimiento, cuando ilustra o cuando efectúa una demostración.

El método de trabajo independiente de los alumnos da lugar a una actitud productiva de estos ante el aprendizaje. La autoactividad experimenta aquí su máxima expresión docente.

Se deben crear condiciones didácticas para que pueda desarrollarse la actividad y la iniciativa creadora de los alumnos en la solución independiente de tareas. Utilizar estrategias metacognitivas y autorreguladoras, puesto que la esencia de la escuela debe ser enseñar a pensar por cuenta propia, el profesor debe garantizar que el alumno piense, pero que piense bien.

Un aspecto importante del trabajo independiente es que se anticipan pedagógicamente determinadas tareas y exigencias, que deben satisfacerse productivamente en la vida profesional y social futura.

“El nivel máximo de la independencia presupone 1) determinados objetivos, 2) la comprensión de la tarea, 3) el dominio del método de solución y 4) la capacidad de transformar el método de trabajo de acuerdo con el carácter de la tarea y de desarrollar nuevos procedimientos para la solución de la misma” (Klingberg, 1978)

Para que el trabajo independiente tenga éxito, el maestro debe planear cuidadosamente la orientación, la ejecución y el control evaluativo. En la orientación no sólo motiva a ocuparse con la nueva materia, sino que orienta hacia el objetivo, teniendo en cuenta los medios de trabajo para la aplicación del método, los espacios y los tiempos de trabajo. En la ejecución, el maestro es un experto que asesora y controla permanentemente el trabajo de los alumnos. En el control y evaluación, evalúa los resultados obtenidos al realizar la tarea y el desempeño de los estudiantes durante la ejecución.

Respecto a los métodos de elaboración conjunta se diferencian tres tipos de conversaciones: conversación socrática, conversación heurística y discusión.

“La conversación es un proceso por el cual se busca llegar a un acuerdo. Forma parte de toda verdadera conversación atender realmente al otro, dejar valer sus puntos de vista” (Gadamer, 1994)

La conversación socrática se utiliza en preguntas de control oral o en el aseguramiento del nivel de partida, pero no debe ser utilizada para elaborar nuevos contenidos ni para establecer relaciones de mayor orden. Para este último aspecto se utiliza la conversación heurística. Respecto a la conversación heurística, “el profesor plantea preguntas que contienen problemas, formula problemas, da impulso para el pensamiento de los alumnos, propone contraejemplos, dirige la discusión, plantea dudas sobre proposiciones de los alumnos” (Jungk, 1979)

La utilización de la conversación heurística en la clase fortalece el pensamiento independiente de los alumnos y los hace participar activamente en la construcción del conocimiento. Puede observarse cómo se libra una doble batalla: una en el pensamiento del estudiante, otra en el aula mediante el uso de la palabra.

La discusión tiene su razón de ser en el trabajo cuando deben buscarse vías de solución, valorizar los procedimientos y las soluciones obtenidas.

Para la conversación heurística, como para las restantes formas de conversación de clases, es relevante el correcto uso de las preguntas y de los impulsos.

El profesor debe estructurar las preguntas de tal manera que se alcancen los logros propuestos para la clase. Las preguntas además de bien redactadas deben elevar las expectativas de los estudiantes en la medida que transcurre la clase.

Finalmente, hablemos un poco de las metodologías utilizadas en clase.

Nos referimos a las metodologías como formas de actuar relacionadas con la teoría o la práctica, que inciden en la enseñaza. Son las aplicaciones coherentes de un método.

La metodología debe propiciar el trabajo creador y la imaginación, responder las necesidades y condiciones de la escuela y relacionar el programa, el libro de texto y el cuaderno.

En consecuencia, el profesor propone metodologías para llevar a cabo el trabajo en el aula o fuera de ella, para fijar los conceptos, para utilizar el libro de texto, para trabajar con una guía y para tomar apuntes en el cuaderno.

Algunas ideas sobre metodologías utilizadas y propuestas en la enseñanza de las matemáticas son:

· Trabajo con determinado material. Los estudiantes, en equipos, analizan un material, nombran un relator que lo expone al grupo para, finalmente, hacer una plenaria. El material puede ser un documento, una grabación, un video o una película. Es importante, después del análisis del material, asegurar la interlocución del estudiante con los demás y con el profesor.

· Trabajo de Investigación Formativa. Se les entrega a los estudiantes una guía para que ellos investiguen la evolución de un problema, la formación de un concepto, o cualquier situación que pueda ser rastreada en un fenómeno social con la ayuda de la consulta bibliográfica.

· Exposiciones metodológicas. Se organizan exposiciones de los estudiantes orientados por el profesor para que se enfrenten al grupo en la explicación de una teoría, la demostración de un teorema o la resolución de un problema complejo.

· Exposición magistral. Explicaciones por parte del profesor para afianzar conceptos y fortalecer los procedimientos para resolver problemas. Dichas exposiciones pueden hacerse bien con el video beam, con el proyector o utilizando cartulinas rotuladas con palabras claves que vayan guiando el discurso. Con las cartulinas se puede formar un mapa conceptual en la pared.

· Orientación y control. Orientaciones sobre la redacción de resúmenes parciales y totales a lo largo de un periodo, así como la diversidad en la toma de apuntes en clase. Control permanente del trabajo en clase y del manejo de las relaciones grupales al establecer acuerdos sobre las tareas propuestas por el profesor.

· Argumentación. Capacitación para argumentar utilizando los conceptos trabajados en clase y el lenguaje específico de la asignatura en la cual se está trabajando. El profesor puede orientar un torbellino de ideas, una plenaria o un debate.

· Resolución de Problemas. Planteamiento de problemas que permitan resolver situaciones cotidianas o científicas con base en las últimas noticias o sucesos.

· Carácter Lúdico. Implementación del carácter lúdico en la clase sin permitir que ésta sea sólo un juego pero sin evitar la alegría que sienten algunos estudiantes por aprender.

Otras recomendaciones didácticas que se dan para mejorar el desempeño docente en el aula son:

1. Hacer una buena distribución del tablero, pero sobre todo no borrar inmediatamente; dejar tiempo para que lo escrito produzca la reflexión necesaria en la mente de los estudiantes. Hay expositores demasiado lentos para tomar notas o para borrar el tablero; éstos deberían inventarse una pregunta sobre el tema para que el estudiante piense mientras se borra la pizarra. Lo anterior ayuda a no dejar perder el hilo conductor de la clase.

2. Frente a las preguntas de los estudiantes, un profesor debe responder de tal manera que deje iniciada la búsqueda del conocimiento, no responderlo todo, tampoco dejarlo todo sin responder. Complacer al estudiante con la respuesta pero también invitarlo a que él complemente con su estudio. No hacer la pregunta que hacen la mayoría de los principiantes: ¿si entendieron?, sino plantear un ejercicio, un problema o una pregunta que le permita medir la comprensión de sus estudiantes.

3. Al comienzo de toda clase es necesario orientar al grupo sobre las actividades a realizar y los tiempos requeridos. Igualmente se debe motivar el empeño de la mente en ocuparse de la nueva materia; una clase sin motivación es media clase.

4. El profesor debe tener claro los apuntes que él hará y que de paso considera interesantes para que sus estudiantes escriban. El expositor debe orientar resúmenes parciales, finales, conclusiones y recomendaciones para profundizar en el estudio del tema.

5. En una clase deben permitirse las digresiones frente al tema. No se trata de hablar de todo a toda hora, pero si de refrescar la exposición con un comentario particular que recree un poco la atención para recuperarla.

6. Utilizar recursos didácticos, desde un pedazo de cartulina hasta un video. A veces se cree que la utilización de recursos depende sólo de la capacidad económica que se tenga en la escuela. Claro, hay resultados que muestran que sí, pero si el profesor no cuenta con recursos, puede ser creativo y utilizar objetos y propiedades como: color, tamaño, sonido, forma, tersura. Utilizar recursos estilísticos, literarios, artísticos y lúdicos para dimensionar la enseñanza de la matemática.

2.7 ¿CÓMO ELABORAR CONCEPTOS MATEMÁTICOS?

Werner Jungk define “Concepto es el reflejo mental de una clase de cosas, procesos, relaciones de la realidad objetiva o de la conciencia, sobre la base de sus características invariantes”. (Jungk, 1990)

Los conceptos constituyen la forma básica con que opera el pensamiento matemático; permiten representar situaciones propias de la matemática y relaciones de ésta con la realidad objetiva. El trabajo conceptual ayuda no sólo a adquirir destrezas en el manejo del lenguaje sino que proyecta la aplicabilidad de la matemática.

Horst Müller clasifica los conceptos matemáticos en cuatro categorías:

· Objetos (números, magnitudes, figuras geométricas, términos, ecuaciones, inecuaciones)

· Relaciones (mayorancia, minorancia, igualdad, inclusión, paralelismo, perpendicularidad, correspondencias, transformaciones)

· Operaciones (suma, resta, potenciación, radicación, unión, intersección, diferencia simétrica)

· Lógicos (proposición, axioma, premisa, para todo, argumento)

Para definir un concepto debe tenerse en cuenta lo que el alumno conoce con ese nombre y la abstracción matemática real requerida para tal denominación. Existe una diferencia tajante entre lo que el alumno sabe del objeto y lo que el objeto es. No es suficiente que se conozca un edificio para saber la definición de ortoedro, aunque presentarle la elaboración natural del edificio le ayuda en la abstracción del concepto a hacer la elaboración gráfica para luego describir las características esenciales del ortoedro, y definirlo teniendo en cuenta los preconceptos de altura, base, cara lateral, arista, entre otros. Veamos ese ejemplo:

Elaboración Natural

Elaboración gráfica

Elaboración esencial

Cuerpo geométrico cuadrangular, cuyas bases son rectángulos y cuyas cuatro aristas laterales son perpendiculares a las bases.

Según la didáctica Cubana, expresada en el libro “Metodología de la Enseñanza de la Matemática” del Doctor Sergio Ballester Pedroso y otros, todo concepto se caracteriza por su contenido y su extensión. El contenido, o intensión, abarca todas las propiedades esenciales comunes a los objetos considerados. La extensión comprende a todos los objetos que pertenecen al concepto de acuerdo con su contenido.

Intensión y extensión tienen una relación inversamente proporcional; es decir, a mayor características esenciales, menor cantidad de objetos que las cumplan.

En el siguiente ejemplo pueden verse las características esenciales del polígono: figura geométrica de varios lados; es esencial que sea una figura geométrica y que tenga varios lados. A medida que se van agregando propiedades al polígono, se va reduciendo la cantidad de figuras que satisfacen dichas propiedades.

Polígono.

Polígono de cuatro lados.

Polígono de cuatro lados paralelos dos a dos.

Polígono de cuatro lados paralelos dos a dos y cuatro ángulos rectos.

Polígono de cuatro lados iguales, paralelos dos a dos y cuatro ángulos rectos.

El concepto subordinado se obtiene agregando una característica al contenido del concepto, lo que reduce lógicamente la extensión del concepto, como se vio en el ejemplo anterior.

Un cuadrilátero puede ser cóncavo o convexo. Si consideramos sólo los convexos, éstos pueden tener los lados opuestos paralelos o no paralelos, si consideramos aquello que tengan los lados opuestos paralelos, estos pueden ser de ángulos rectos o de ángulos diferentes de 90 grados, si consideramos….

Podríamos seguir armando una cadena conceptual en la cual se ve claramente la subordinación que se debe tener en cuenta en la elaboración de conceptos.

Si al concepto de cuerda le agregamos una característica, obtenemos el concepto de diámetro. Diámetro: Cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.

Un estudiante puede resolver la ecuación polinomial 4x3+x2-8x-3=0 en forma mecanicista, pero logra un aprendizaje con más sentido si con anticipación identifica y define los conceptos: suma, resta, producto, potencia, raíz, cero, propiedades, factorización, igualdad, trinomio, variable, constante, igualdad, coeficiente, grado, término independiente y polinomio. Muchos estudiantes encuentran los ceros de un polinomio sin saber que significa aquí la palabra “cero”.

Veamos ahora varias consideraciones lingüísticas necesarias en la elaboración de conceptos.

Para la elaboración de conceptos matemáticos, es importante tener en cuenta las relaciones entre significados como: sinonimia, antonimia, hiperonimia, hiponimia y homonimia, entre otras.

La antonimia es la oposición semántica entre dos o más signos. La oposición de significado se puede dar por negación, por antonimia, por complementariedad o por reciprocidad.

Los antónimos por negación se originan agregando o quitando el prefijo in. Capaz – incapaz, par – impar.

La oposición por antonimia se da entre términos opuestos que admiten gradación intermedia. Se les llama también antónimos de variables de valores múltiples. Alto-bajo son ejemplos de esta clase puesto que la variable “altura” se puede ordenar con más de dos valores.

Hay antonimia por complementariedad cuando en el ámbito de aplicabilidad de dos términos, todo elemento que no pertenece al uno, pertenece al otro: hombre-mujer; presente-ausente; verdadero – falso. Son antónimos de variables de dos valores.

La reciprocidad se refiere a términos opuestos que se implican mutuamente: comprar-vender; padre-hijo. En este caso los antónimos son mutuamente dependientes y de variables de dos valores.

La hiponimia se refiere a la relación de inclusión entre significados: perro, toro, conejo, cabra son hipónimos de animal; triángulo, cuadrado, pentágono, son hipónimos de polígono. Polígono es el concepto superior.

La hiperonimia es la relación inversa a la hiponimia: flor es hiperónimo de clavel, polígono es hiperónimo de triángulo. Triángulo es un subconcepto de polígono.

La sinonimia se refiere a las palabras que tienen el mismo significado. Para saber si dos palabras son sinónimos debe hacerse la prueba de sustitución; esto es, reemplazar una palabra por la otra en una frase y analizar si las frases significan casi lo mismo. Sinuosa es sinónimo de ondulada.

La sinonimia Implica no sólo el correcto uso de significados comunes, sino la reescritura de expresiones matemáticas con el fin de lograr una mejor operatividad, nos referimos a identidades como:

2

1

x

x

=

;

0

,

1

2

2

¹

=

-

a

a

a

;

a

a

a

Cos

Sen

Tan

=

;

2

2

2

2

)

(

y

xy

x

y

x

+

+

=

+

. La comprensión de esta forma de sinonimia ayuda a abrir el abanico de posibilidades al hacer un procedimiento matemático.

Una palabra puede ser monosémica, disémica o polisémica. Las palabras polisémicas exigen precisión en el significado matemático para evitar la incomprensión por parte del estudiante. La palabra vector, por ejemplo, significa: “transmisor de microorganismos y enfermedades”, “ente geométrico definido por un segmento orientado de recta, que se utiliza para la representación de magnitudes vectoriales”. El primer significado no corresponde a un contexto matemático, aunque parece tener más sentido el segundo puesto que vector viene del verbo en latín véhere, que significa transportar, llevar, trasladar.

Estas relaciones semánticas permiten jerarquizar los significados para una mejor comprensión de los conceptos.

Figura

Recta

Triángulo (T)

Cuadrado

Pentágono

Círculo

T. escaleno

T. isósceles (TI)

T. equilátero

T. I. rectángulo

T. I. no rectángulo

T. equiángulo

Además, se puede explorar la polisemia del lenguaje, advirtiendo que uno de esos significados es el que se utiliza en el trabajo matemático. Observe, por ejemplo, cuatro significados de la palabra raíz.

En botánica

En gramática

(2

En matemática

En química

2.8 ¿CÓMO RESOLVER PROBLEMAS?

Es el maestro quien tiene la capacidad de enfrentar el mundo científico desde el mundo cotidiano o precientífico, y en consecuencia, tiene la misión de enseñar a sus estudiantes a valerse de la matemática para potenciar sus capacidades cognitivas y científicas. Las matemáticas ayudan a interpretar el medio, a argumentar científicamente, a tomar mejores decisiones y a desempeñarse con éxito en el mundo de la vida, de la ciencia y de la tecnología.

No se puede pensar que sólo el profesor de matemáticas debe enseñar a resolver problemas, máxime si se entiende un problema como “toda situación en la cual, dada determinadas condiciones, se plantea determinada exigencia” (Alberto Labarrere Sarduy). En todas las áreas se plantean situaciones o problemas que demandan actividad cognitiva por parte del escolar.

“Si el maestro utiliza adecuada y creadoramente los problemas, y de manera consciente prepara a sus alumnos para la solución de los mismos, entonces se crean condiciones favorables para la asimilación, un nivel superior, de los conocimientos y el desarrollo de los hábitos y habilidades necesarios, tanto para las distintas materias escolares como para enfrentar las situaciones que plantea la vida cotidiana” Alberto Labarrere.

Otras definiciones de problema dadas por expertos son:

Un problema “es una situación o conflicto para el que no tenemos una respuesta inmediata, ni algoritmo ni heurístico” Roger Garret.

“Se llama problema a la tarea cuyo método de realización y cuyo resultado son desconocidos para el alumno a priori, pero que este, poseyendo los conocimientos y habilidades, está en condiciones de acometer la búsqueda de ese resultado o del método que ha de aplicar” (Danilov, 1885)

Aleksandre R. Luria define un problema como una actividad intelectual de modo organizado que se apoya en un programa lógico de operaciones relacionadas entre sí y determinadas por un objetivo y una pregunta de la que no se tiene respuesta inmediata.

“Un problema es una tarea en la cual el alumno está interesado o involucrado y para la cual desea obtener una resolución; pero no dispone de un medio matemático accesible para dicha resolución” Allan Schoenfield.

En estas definiciones de problema se encuentran tres elementos comunes:

· El problema exige unos conocimientos básicos, operativos, lógicos.

· Quien aborda el problema está comprometido con una actividad intelectual para resolverlo.

· Todo problema exige un proceso, conocido o no, guiado por una pregunta de la cual no se tiene respuesta inmediata.

En la enseñanza de las matemáticas debemos diferenciar ejercicios y problemas; un ejercicio es toda situación intelectual que requiere la aplicación de un algoritmo con el fin de adiestrarse en el empleo de procedimientos. El ejercicio no requiere mucha actividad cognoscitiva sino mucha memoria, mientras que el problema requiere de memoria, actividad cognoscitiva y razonamiento.

Existen varias clasificaciones de problemas desde el punto de vista de la estructura del problema o de los requisitos necesarios para su solución: problemas abiertos y cerrados, problemas bien y mal definidos, ejercicios y verdaderos problemas, problemas de lápiz y papel y problemas prácticos, problemas académicos y reales, problemas cualitativos, cuantitativos y pequeñas investigaciones.

Dichas clasificaciones no son excluyentes unas de otras; es probable plantear un problema abierto, cualitativo, bien definido, de lápiz y papel.

Veamos algunos ejemplos de estas clases de problemas.

Ejercicio: encontrar el valor de x en la ecuación: 2x+½x =1.200.000

Obsérvese que para resolverlo existe un conjunto de pasos que el estudiante debe ejecutar mecánicamente.

Problema real: El sueldo mensual de un padre de familia es de $400.000. Si debe pagar la mitad por arriendo, la quinta parte del sueldo por servicios públicos y la cuarta parte en la educación de su hijo, ¿cuánto le queda para la alimentación?

El problema fue tomado de una situación real de los estudiantes, tan real que si se resuelve, el estudiante encuentra que no queda dinero para la alimentación de la familia.

Problema cualitativo: Explica por qué si un triángulo tiene tres lados, con tres lados cualesquiera no puede formarse un triángulo.

La razón que mueve esta clase de problemas es llevar a los estudiantes no a hacer cálculos numéricos sino a pensar y explicar por qué son verdaderas ciertas cuestiones lógicas que todo el mundo valida como verdades sin cuestionarlas. Esta clase de problemas se resuelven mediante razonamientos teóricos.

Problema cuantitativo, bien definido, extramatemático y cerrado: una persona ve aparecer un rayo y escucha el trueno después de 10 segundos de verlo ¿A qué distancia se encuentra del sitio donde cayó el rayo?

Es el problema típico en la enseñanza de la matemática, en el cual se necesitan hacer cálculos, plantear ecuaciones o fórmulas para llegar a la respuesta. Se considera extramatemático porque se utiliza la matemática para resolver una situación que se presenta fuera de ella.

Problema cuantitativo y mal definido: La edad de Carlitos es un número mayor que 7 y menor que 5. ¿cuántos años tiene Carlitos?

En esta clase de problemas, la cantidad permite reflexionar sobre la inconsistencia del enunciado.

Pequeña investigación: analizar como varía la altura y el alcance máximo cuando se varía el ángulo en el lanzamiento de un proyectil.

En matemáticas se pueden plantear pequeñas investigaciones en las cuales el estudiante tenga que experimentar, observar y registrar, para luego verificar su trabajo con la teoría existente sobre el tema.

Las pequeñas investigaciones que se realizan en los laboratorios de física y química para corroborar los conceptos, las fórmulas y las leyes son ejemplos de problemas extramatemáticos, abiertos o pequeñas investigaciones en matemáticas aplicadas.

Problema académico e intramatemático: demuestre que la multiplicación de dos números impares siempre da un número impar.

El problema académico lo utiliza el profesor con el fin de aplicar un concepto o fijar un procedimiento, demostrativo en este caso. Puede variarse su planteamiento y hacer que el problema sea más real para el estudiante: Raúl, que es un aficionado de la matemática, dice que la multiplicación de dos números impares siempre da un número impar. ¿Tiene razón?.

Un problema es intramatemático cuando se utilizan los conocimientos matemáticos para resolver situaciones de la matemática misma.

Problema intramatemático y abierto: Un teorema dice: "Todo número par, mayor que dos, es igual a la suma de dos números primos". Por ejemplo: 4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5; 14=7+7; 38=19+19. Verifica este teorema para varios números pares y luego verifícalo con el número par, lo más grande posible.

Pueden surgir otros problemas sobre la filosofía de las matemáticas: ¿por qué se dan los números primos? ¿cómo surgen los números complejos? ¿por qué la suma de pares es otro par?.

Más adelante se encontrarán múltiples problemas cuya tarea más sencilla es la clasificación, mientras que la tarea compleja es resolverlos.

Es bueno aclarar que la resolución de problemas empieza a entrenarse mucho antes de enfrentar problemas. Ocurre cuando trabajamos la comprensión de lectura, resolvemos situaciones conflictivas de clase, aprendemos nuevos conceptos o ejercitamos el pensamiento con pasatiempos como rompecabezas, sopas de letras y crucigramas.

Polya, Schoenfeld y Miguel de Guzmán, entre muchos otros expertos, han trabajado fuertemente en el estudio de estrategias cognitivas y metacognitivas para la resolución de problemas, las cuales mencionaremos a continuación.

Algunas estrategias cognitivas que ayudan a resolver un problema son: seleccionar y organizar ideas importantes, buscar contraejemplos, trabajar hacia adelante, trabajar hacia atrás, reducir el problema a uno conocido, confeccionar figuras de análisis, descomponer el problema en casos simples, usar material manipulable, ensayo y error, usar tablas y listas ordenadas, particularizar, generalizar y analizar casos extremos.

La metacognición se refiere a la interpretación del estudiante de sus propios procesos de pensamiento; al control de proceso y resultado. Mientras un estudiante resuelve un problema debe preguntarse: ¿qué hago? ¿por qué lo hago? ¿cómo lo hago?. Ser consciente de la efectividad de la comprensión, el planteo, la ejecución y la verificación.

Entre las principales estrategias metacognitivas están: hacer que los procesos sean significativos; socializar el trabajo en el grupo, monitorear el proceso de pensamiento, controlar los procedimientos y los resultados y aplicar un método alternativo cuando el que se está utilizando no resuelve el problema.

La resolución efectiva de problemas eleva el amor propio y prepara hacia la vida. El profesor de matemáticas debe jerarquizar los problemas a plantear en el aula, de tal manera que el estudiante no se vea avocado al fracaso al no resolver ninguno, como también garantizar que en los problemas haya ganancia en la medida que se aumente el nivel de dificultad.

No hay por qué temerle a los problemas, y esa actitud tiene que formarla el profesor. Los problemas son enunciados que retan el pensamiento, fortalecen los procesos y producen resultados satisfactorios para la sociedad. Resolver problemas es el proceso principal que incluye el currículo escolar porque es reconocido como un procedimiento relevante que faculta la persona para interpretar la vida, transformarla y justipreciarla como el “producto que produce” y redunda en la búsqueda del bien, la verdad y el amor.

En diferentes propuestas metodológicas recientes se afirma que la resolución de problemas debe ser el eje central del currículo de matemáticas, y como tal, debe ser un objetivo primario de la enseñanza y parte integral de la actividad matemática. Pero esto no significa que se constituya en un tópico aparte del currículo, deberá permearlo en su totalidad y proveer un contexto en el cual los conceptos y las herramientas sean aprendidos.

En la medida en que los estudiantes van resolviendo problemas ganan confianza en el uso de las matemáticas, desarrollan una mente inquisitiva y perseverante, aumentan su capacidad de comunicarse matemáticamente y su capacidad para utilizar procesos de pensamiento de más alto nivel.

Las investigaciones que han reconocido la resolución de problemas como una actividad muy importante para aprender matemáticas, proponen considerar en el currículo escolar de matemáticas aspectos como los siguientes:

· Formulación de problemas a partir de situaciones dentro y fuera de las matemáticas.

· Desarrollo y aplicación de diversas estrategias para resolver problemas.

· Verificación e interpretación de resultados a la luz del problema original.

· Generalización de soluciones y estrategias para nuevas situaciones de problemas.

· Adquisición de confianza en el uso significativo de las matemáticas (NCTM, 1989: 71).

El reconocimiento que se le ha dado a la actividad de resolver problemas en el desarrollo de las matemáticas ha originado algunas propuestas sobre su enseñanza, entre las cuales las más conocidas son las de los investigadores, ya mencionados, George Polya y Alan Schoenfeld.

Para Polya “resolver un problema es encontrar un camino allí donde no se conocía previamente camino alguno, encontrar la forma de salir de una dificultad, encontrar la forma de sortear un obstáculo, conseguir el fin deseado, que no es conseguible de forma inmediata, utilizando los medios adecuados”.

Polya describió cuatro fases para resolver problemas: comprensión del problema, concepción de un plan, ejecución del plan y visión retrospectiva.

Para cada fase sugiere una serie de preguntas que el estudiante se puede hacer, o de aspectos que debe considerar para avanzar en la resolución del problema, para utilizar el razonamiento heurístico, el cual se considera como la estrategia para avanzar en problemas desconocidos y no usuales. Se refiere a estrategias como: dibujar figuras, introducir una notación adecuada, aprovechar problemas relacionados, explorar analogías, trabajar con problemas auxiliares, reformular el problema, introducir elementos auxiliares en un problema, generalizar, especializar, variar el problema, trabajar hacia atrás.

Aunque los matemáticos reconocen en los trabajos de Polya actividades que ellos mismos realizan al resolver problemas, también plantean que las estrategias de pensamiento heurístico resultan demasiado abstractas y generales para el estudiante.

Alan Schoenfeld propone que para entender cómo los estudiantes intentan resolver problemas y consecuentemente para proponer actividades que puedan ayudarlos, es necesario discutir problemas en diferentes contextos y considerar que en el proceso de resolver problemas influyen los siguientes factores: el dominio del conocimiento, estrategias cognoscitivas, estrategias metacognitivas y el sistema de creencias.

A nosotros nos parece que el error en la resolución de problemas puede derivarse de factores lingüísticos (trabajo con el texto), procedimentales (desconocimiento de un plan o errores operativos) y cognoscitivos (no saber de qué se habla).

Para favorecer el trabajo con problemas puede crearse un ambiente donde la pregunta dinamice los procesos. Las preguntas deben ser bien redactadas y que eleven las expectativas: convergentes, divergentes y evaluativas. Deben prefijarse en la preparación de clase. Se recomienda no utilizar la pregunta para intimidar al estudiante, sino invitarlo a que la conteste.

El profesor puede utilizar la técnica de la instigación de manera positiva. Combinar la pregunta con los impulsos o pistas correspondientes. Estimular al alumno a pensar y no sólo a reproducir conocimientos.

Para Pozo los siguientes criterios permiten un mejor trabajo con problemas: 1) plantear tareas abiertas, 2) diversificar los contextos, 3) habituar la toma de decisiones, 4) fomentar la cooperación entre los alumnos, 5) fomentar el hábito a preguntarse, 6) evaluar más que corregir y 7) valorar la reflexión y profundidad y no la rapidez.

2.9 ¿CÓMO MOTIVAR EL ESTUDIO DE LAS MATEMÁTICAS?

Expondremos aquí algunas ideas sobre la motivación, basados en argumentos sicológicos y pedagógicos que permitan hacer consideraciones didácticas sobre el quehacer docente para despertar en los estudiantes el deseo de aprender, y partiendo de premisas que rebosan la resistencia al cambio, como aquella de Louis Not, quien afirma que se debe “Untar de miel los bordes de la copa del saber”.

Un buen comienzo en clase es pedir a los estudiantes que ordenen, de uno a cinco, aquello que más desean. Así se observan dos hechos importantes: por una parte los alumnos se sienten felices mientras exponen sus sueños, por otra, el profesor diagnostica los motivos grupales e individuales, para incluirlos en el proceso docente.

Al motivar se debe tener presente actuar con sensatez y modestia; no cimentar el conocimiento en meras atracciones y diversiones exteriores, sino tomar una postura responsable y razonable frente a la motivación.

“La motivación es una voluntad general para entrar en una situación de aprendizaje... Fortalecer la motivación del alumno es aspecto obvio del papel del liderazgo del maestro” (Davies, 1979, p. 212)

Un buen profesor utiliza, en forma estructurada, la motivación para despertar el interés de los estudiantes en la adquisición de los conocimientos.

“El profesor puede realizar acciones para motivar en dos formas diferentes: una general, para que el estudiante se ocupe de realizar conscientemente y con deseos una actividad y de manera particular para ocuparse de un objeto de aprendizaje específico” (Valverde, 2001, p.144)

En la práctica educativa se consideran dos clases de motivaciones. Una extra-disciplina, cuando la situación que motiva, o el problema, es tomado del entorno que rodea a los estudiantes y además es pensada como aplicación o extensión de los conceptos propios de la asignatura. Tiene la ventaja de presentar la materia como un medio para la estructuración de la realidad.

La otra motivación es la intra-disciplina; cuando el problema surge de la construcción de la asignatura; es decir cuando se utilizan elementos de la materia para motivar el trabajo con contenidos de la misma. Es la motivación ideal para nuestro trabajo docente; ya que los estudiantes reciben una idea correcta sobre el desarrollo de la asignatura y de sus capacidades para enfrentar su dominio.

Nos parece sumamente razonable para el trabajo en matemáticas la siguiente definición de motivación:

“Motivación es, por una parte, producir una contradicción interna entre las posibilidades subjetivas que se expresan en el nivel alcanzado del saber y del poder y necesidades objetivas que se expresan en demandas mayores, que no se cumplen primeramente, y por otra parte es despertar el deseo de vencer, de resolver esta contradicción mediante la asimilación de más conocimientos y el desarrollo de más capacidades” (Jungk, 1979, p. 91)

Nivel del estudiante

Lo que sabe

Lo que puede

Contradicción

Desequilibrio cognitivo

Demanda del maestro

Conocimientos nuevos

Más capacidad

Algunas consideraciones didácticas para infundir placer por el estudio son:

1. Seleccionar problemas que tengan posibilidades de ser intrínsecamente interesantes para los estudiantes. Si el tema no guarda relación con el mundo del estudiante, no resultará en absoluto sorprendente que éste lo encuentre poco interesante (Nickerson, 1990, p.381)

2. Ordenar los problemas, los ejercicios y las tareas de tal manera que proporcionen placer en los estudiantes, en la medida que los vayan resolviendo correctamente.

3. El tiempo entre el planteamiento del problema hasta su solución no debe ser muy largo. Debe resolverse en la misma clase, o por lo menos, no ser olvidado ni dejado para el final del semestre.

4. Explicar el significado que tiene la disciplina en la formación del estudiante; orientarlo sobre lo que va a aprender, cómo lo va a aprender y para qué lo debe aprender.

5. Tener presente que el éxito promueve éxito; esto es, vigilar la relación entre la motivación y el desempeño. Una persona perderá rápidamente su interés en una actividad si fracasa una y otra vez. “La falta de refuerzo después de una respuesta tiende a extinguir la respuesta” (Baquero, 1990, p.190)

6. Inculcar los motivos intrínsecos por el estudio: el placer por aprender, la curiosidad espontánea, el deseo de saber y de realizarse. Valorar la función teleológica como elemento motivador permanente del ser. La superación debe ser el móvil de la actividad, “Una educación que no exige lo suficiente al alumno tiende a reducir sus aspiraciones a actuar o a ser” (Not, 1994, p.452)

7. Crear una atmósfera serena en la cual no se sienta la amenaza del castigo. Hacer que cada uno desarrolle en público las actividades en las que se destaca. Demostrar que uno espera de ellos óptimos resultados (Serafín, 1991, p. 180)

Es posible que uno, sin darse cuenta, no esté motivando a los estudiantes al aprendizaje. Es por eso que la sicología advierte tres clases de motivos, de los cuales el profesor debe ocuparse para estimularlos desde el punto de vista didáctico en el aula de clase: intelectuales (deseos de conocer y saber, de vencer las dificultades); emocionales (ligados al placer y al dolor que acompañan el aprendizaje) y sociales (relación del estudiante con el grupo y con la sociedad)

En la enseñanza de las matemáticas debe valorarse todo aquello que muestre gusto estético y agrado por la enseñanza, todo lo que motive al alumno a estar donde debe estar y a hacer lo que debe hacer. Es correcto echar mano de lecturas formativas, historias de personajes famosos, anécdotas, canciones, juegos, obras de arte, visitas a museos, noticias, bailes, poemas, grabaciones, pensamientos, entre muchas otras herramientas que pueden inculcar interés por el estudio y, de paso, propiciar la integración didáctica de la matemática con otras disciplinas.

El profesor de sistemas puede, por ejemplo, intercalar el trabajo en el computador, con reflexiones sobre historia, política, desarrollo tecnológico, descubrimientos hechos por computador, oferta y demanda de partes, legislación y derechos en materia de informática, ética del navegante y otras que humanicen su trabajo y permitan vislumbrar la fusión entre ciencia, arte y tecnología.

Al navegar se pueden consultar los aportes sobre ciencia, tecnología y arte de Leonardo Da Vinci, Galileo Galilei, Isaac Newton, y su indiscutible influencia en la evolución de la humanidad, se pueden también consultar los trabajos de los grandes matemáticos, fomentando así competencias comunicativas, de compromiso personal y social.

En Ciencias se puede motivar mediante la utilización de situaciones problémicas, debido al énfasis que debe hacerse en el razonamiento lógico en beneficio de la sociedad. “La situación problémica es un estado psíquico de dificultad que surge en el hombre cuando, en la tarea que está resolviendo, no puede explicar un hecho mediante los conocimientos que tiene o realiza un acto conocido utilizando los procedimientos que conoce desde antes” (Valverde, en Lecciones del Área de Matemáticas Número uno, 2001, p.144)

En la segunda parte de este libro aparecen relacionados y desarrollados una buena cantidad de recursos que fueron utilizados para motivar el trabajo con las matemáticas. Algunos ejemplos que pueden referirse, por ahora, son:

Para motivar el trabajo con áreas y medidas, se plantea la necesidad de hacer un plano del campo deportivo, con sus respectivas formas y medidas.

Para motivar el manejo de las operaciones matemáticas se puede organizar una competencia sobre cálculo mental y explicar las propiedades de las operaciones de tal manera que sirvan de entrenamiento para desarrollar la inteligencia.

Para motivar el teorema de los cosenos, se dibuja un triángulo que no se pueda resolver por la ley de los senos, creando así la necesidad de averiguar el valor de un ángulo conocidos los tres lados. O se utiliza el teorema de Pitágoras en un triángulo rectángulo y se plantea la pregunta sobre cómo utilizar un teorema similar en un triángulo no rectángulo.

Para motivar el trabajo en lógica, se pueden utilizar paradojas, acertijos o charadas lógicas que requieran de un razonamiento superior al que se utiliza en la reflexión cotidiana.

Para motivar el trabajo con variables, se diseña un taller en el cual los estudiantes observen un fenómeno social, registren variables y constantes y finalmente presenten un informe en el que se acentúe el impacto de la variación en el desarrollo de la humanidad.

2.10 ¿CÓMO EVALUAR EN MATEMÁTICAS?

La evaluación ha estado siempre en el centro del proceso educativo y cumple una función especial junto con los contenidos, los objetivos y los métodos. No obstante la dinámica evaluativa está permeada por la dialéctica del hombre con el medio, por la novedad expresada en leyes, por la falta de motivación frente el manejo del conocimiento.

Abordaremos, entonces, conceptos y teorías que nos acerquen al debate entorno a las siguientes preguntas: ¿qué se entiende por evaluación? ¿qué evaluar? ¿cómo evaluar? ¿para qué evaluar? ¿cómo conocer el estado real del estudiante en relación con la materia? ¿cómo elaborar el informe de evaluación? ¿qué hacer con la información obtenida?.

La evaluación es un componente esencial del proceso de enseñanza que parte de la definición misma de los objetivos y concluye con la determinación del grado de eficiencia del proceso dada por la medida en que la actividad del educador y los alumnos hayan logrado como resultado de los objetivos propuestos. (Colectivo de especialistas del ICCP, 1984)

La evaluación, como proceso, es una sucesión de etapas conectadas que se dan en el tiempo y conducen a resultados progresivos. No puede pensarse la evaluación por fuera de la enseñanza misma ni del modelo pedagógico que se asume en la institución.

“El concepto de evaluación se extiende a la valoración de los procesos y cambios alcanzados en la vida social, institucional y personal, mediados por la actividad educativa y la dinámica social de la misma” (Medina, 2001)

Definamos otros conceptos considerados como básicos para una mejor comprensión de la evaluación:

La controlación es el corte que se produce en determinado momento para conocer el rendimiento de los estudiantes.

La calificación es el número o letra que se asigna al estudiante evaluado y que depende del desarrollo que éste hace de la prueba.

Los resultados son las consecuencias o productos de los procesos que a su vez pueden ser objetos, estados o relaciones.

El examen es la comprobación de logros de objetivos; es una confrontación entre lo que se espera del estudiante y lo que él realmente sabe. Los exámenes “son pruebas que se utilizan con algunas regularidades para comprobar periódicamente el nivel de los conocimientos adquiridos por los estudiantes” (Medina, 2001)

La prueba es la tarea o conjunto de tareas que se plantean al alumno con el propósito de comprobar el cumplimiento de los objetivos. Debe ser válida (que evalúe lo que es), confiable y de fácil manejo. Existen pruebas de desarrollo (oral o escrita), de respuesta previa y mixtas.

Los logros “son los avances que se consideran deseables, valiosos, necesarios, buenos en los proceso de desarrollo de los estudiantes. Los logros comprenden los conocimientos, las habilidades, los comportamientos, las actitudes y demás capacidades que deben alcanzar los estudiantes” (Medina, 2001)

Los indicadores son medios para constatar hasta dónde o en qué proporción se alcanzó el logro propuesto o esperado. Estos sugieren una escala que determine el nivel en el cual se encuentra el estudiante al terminar un proceso.

La competencia significa “saber hacer en contexto”. Se entiende como “la capacidad con que un individuo cuenta para...”. Luego, hay competencia para todo y todos tenemos competencias.

El estándar se refiere a lo uniforme, a lo comúnmente aceptado. Es el referente medio de la calidad que debe alcanzarse en la educación.

Al hablar de evaluación se reconocen las diferencias entre profesores sobre el proceso y a la vez se identifican puntos comunes respecto lo que debe caracterizar una evaluación pertinente a la escuela. Vamos a enunciar algunos criterios expresados como errores que se cometen durante el proceso de evaluar.

1. Durante un periodo de dos meses, por ejemplo, la evaluación no debe dejarse para la última semana. Aunque sí tenga que definirse un informe descriptivo, al final, sobre diversas observaciones y anotaciones que debieron hacerse durante el periodo de clase.

2. No deben confundirse los conceptos: una cosa es la evaluación, otra es la prueba y otra cosa es el informe. Por eso cuando aplicamos en el aula una prueba escrita, dicha prueba hace parte de la evaluación y arroja elementos de juicio para el informe.

3. La prueba no debe surgir como represalia o castigo. La prueba debe ser un momento para que el estudiante se confronte con lo que es capaz de hacer, es una reflexión cognitiva que permite saber qué sabe el estudiante.

4. Hay profesores que no saben utilizar la pregunta en el diseño de una prueba. La pregunta debe ser “limpia”, concreta, dirigida, autosuficiente para producir el análisis que se quiere por parte del estudiante.

5. Calificar a un grupo por el desempeño de uno o de unos cuantos es un error, puesto que cada persona tiene su propio registro, su propio ritmo de aprendizaje. Además hay variables que intervienen en el momento de evaluar y que no son consideradas en la calificación.

6. Es un error no revisar la evaluación con los estudiantes. Debe analizarse cada prueba y todo el proceso en general; es decir, debe evaluarse la evaluación. Esto le ayuda a los estudiantes a tomar conciencia de los errores cometidos y de la importancia de la evaluación para el mejoramiento continuo.

Un buen proceso de enseñanza–aprendizaje debe evaluar al alumno en su totalidad, como el ser integral que es; las actividades propuestas deben ser lo suficientemente estimulantes y adecuadas para resolverlas.

La evaluación ha de ser pensada de tal manera que mida y mejore el desempeño de los estudiantes, que ellos muestren fluidez analítica y sintética, independencia y autonomía.

En el acto pedagógico se evalúan logros, procesos, desempeños, recursos, actitudes, aprendizajes y expresiones, entre otros. Pero, ¿cómo evaluar la búsqueda de la verdad, la creatividad, el gusto por lo bello, la sensibilidad, la imaginación, la emotividad?

En todo momento evaluativo se debe “Mantener una atmósfera en la cual las ideas puedan expresarse con libertad, al igual que la provisión consecuente de recompensas ante los esfuerzos de los alumnos por meditar las cosas y explicarlas. Un interés genuino y evidente por parte del profesor en lo que piensan los alumnos ayudará sin duda a aumentar su disposición a compartir sus pensamientos” (Nickerson y otros, 1990, p.379)

La evaluación se combina con la autoevaluación (afianza la autonomía, el autocontrol, da confianza), la coevaluación (permite la revisión de procesos grupales y la valoración colectiva) y la heteroevaluación (la tradicional)

Se debe propiciar la autocorrección de pruebas, las actividades en parejas o en grupo tendientes a valorar el trabajo del otro, la capacidad de discernir y discrepar con criterio y el respeto por la postura del otro.

El maestro evalúa desde el conocimiento que tiene de sus estudiantes. La evaluación, si bien tiene que se objetiva y justa, no puede desconocer las cualidades, los principios y las actitudes del evaluado. Si fuera así, estaríamos frente a una prueba meramente cognitiva.

El maestro interactúa todo el tiempo con sus estudiantes; permanentemente observa sus comportamientos, registra aciertos y desaciertos, reconoce sus limitaciones y les ayuda a superarlas, interviene en ellos; es decir, evalúa y es un constante facilitador del proceso de aprendizaje. Al fin de cuentas, es el maestro quien puede certificar el nivel de aprendizaje del estudiante, aunque no el responsable directo del desempeño del estudiante.

La tecnología permite resumir el trabajo de certificación al tener que dar el informe a los padres y alumnos pero a la vez limita el trabajo de un año a cinco renglones en los cuales el maestro debe describir el desempeño del estudiante.

El informe es oral y escrito. El profesor conversa con el estudiante y su acudiente y les explica en detalle lo que el registro escrito no alcanza a expresar. En el informe se agregan recomendaciones sobre acciones que debe hace el estudiante para superar las dificultades presentadas.

Según J. Giménez, la evaluación cumple una función social (satisface las demandas sociales, una función ética (revisión constante y postura crítica), una función pedagógica (regula y controla el proceso de aprendizaje) y una función profesional (permite el juicio y la reflexión)

Además de las funciones anteriores, vamos a exponer las que destaca el profesor Cubano Hilario Santana de Armas, con el fin de darle más sentido a la evaluación en la escuela.

Función Instructiva: Indica que a través de la evaluación el alumno también puede aprender, pues al ser evaluado se colabora en la consolidación del aprendizaje, se incrementa la actividad creadora, crea condiciones para asimilar la nueva materia en forma efectiva.

Función Educativa: Que favorezca una actividad más responsable hacia el estudio, contribuyendo a la atención (voluntaria y permanente), tiene carácter motivador pues el alumno muestra mayor interés y fuerza cuando se autoanaliza, fortaleciendo su carácter y formándose capacidades constructivas como seres críticos y autocríticos.

Función Diagnóstica: Con la evaluación se detectan las facilidades y dificultades grupales o individuales de los alumnos para partir de allí a fortalecer los primeros o mejorar las últimas. También se puede pensar que es una función interpretativa.

Función Desarrolladora: Que los alumnos deban hacer análisis, síntesis, inferencias, sacar conclusiones, etc.; en las actividades dadas que se programen, lo cual contribuye al desarrollo del pensamiento.

Función Control: Que busque una comparación entre el nivel de asimilación actual del alumno y el anterior; que el maestro verifique cuanto se ha logrado respecto a lo programado y estimule el autocontrol en los alumnos.

Función Participativa: Permite reunir un grupo de actores alrededor de un proceso o un conjunto de resultados, a través de la evaluación se puede fomentar la integración y el mantenimiento de las relaciones grupales.

Para terminar, creemos que se debe pensar una evaluación por competencias básicas, en todas las áreas: comunicativa, interpretativa, argumentativa, propositiva.

La mejor manera de evaluar por competencias consiste en pedirle al estudiante que haga lo que es necesario hacer para evaluarlo. Por ejemplo, para saber si un estudiante resuelve problemas, hay que pedirle que resuelva problemas. Además se le plantean diferentes acciones sobre las competencias y no sobre una sola. Por ejemplo: explique el siguiente teorema, interprete la siguiente gráfica sobre exportaciones e importaciones, presente una propuesta para resolver esa clase de problemas.

2.11 ¿CUÁL ES LA FUNCIÓN DEL PROFESOR DE MATEMÁTICAS?

Para lograr un proceso educativo eficiente, el profesor tiene que proponer tareas contextualizadas que interesen al alumno y que modifiquen su trabajo intelectual. El alumno es como una onda que pasa, el profesor perturba constantemente esa onda para que afine su trayecto; pugna, como lo decía Freinet, por una escuela con sentido para la vida. “El nuevo papel del maestro consiste, en perfeccionar sin cesar, individual y cooperativamente, en colaboración con sus alumnos, la organización y la vida comunitaria de su escuela; asegurar en definitiva, en su escuela el reinado soberano y armonioso del trabajo”. (Freinet, en maestros pedagogos, 1998, p.73)

Los conocimientos matemáticos y discursivos con que cuenta el profesor le permiten motivar a sus alumnos a la producción literaria. No puede hablar de metáforas quien no tiene dominio y práctica sobre metáforas. El profesor propicia el acercamiento de los alumnos con la obra matemática, “debe comunicar su personal deleite como lector, ilustrar el estudio con metáforas, hacer del curso mismo una obra literaria llena de animación y movimiento, de emoción y fantasía”. (Arreola, Citado por Rosario Mañalich Suárez, 1999, p.33)

Consideramos que hay tres virtudes para un buen maestro: tener dominio de la materia, ser un buen comunicador y dar trato afectivo.

Profundicemos en estas tres bondades.

En el contenido que debe manejar el maestro se incluyen no sólo los saberes específicos de la materia, sino también el contenido institucional (principios filosóficos, valores comunitarios, proyectos institucionales), las leyes sobre educación, los lineamientos curriculares, conocimientos didácticos y pedagógicos relativos a la materia que enseña.

El profesor necesita, no sólo ser competente en matemáticas, sino en el ámbito lingüístico, para brindar una mejor calidad educativa ya que él es “el encargado de suministrar las situaciones adecuadas, debe organizar las discusiones científicas y sugerir procedimientos de validación para el nuevo conocimiento. Es como un director de orquesta que dispone los instrumentos, en donde la melodía que resulta son los nuevos conocimientos construidos por el estudiante” (Angel Ruíz, Internet, 1999)

El profesor tiene que ser competente lingüísticamente hablando, puesto que existe una relación directa entre la capacidad para leer y escribir y la capacidad para resolver problemas. El lenguaje es el instrumento que le permite demostrar que es capaz de argumentar en el campo matemático y en el artístico.

Además debe sentir amor por su oficio y actuar con amor, así lo premeditó el ya mencionado Martín Restrepo Mejía: “Don Martín pensó el oficio de maestro como un trabajo de artista, un artista que trabaja sobre el alma de los alumnos utilizando un instrumento que nunca ha cesado de rondar la vida de los maestros: la fuerza del amor, una especie particular de amor que llamaré amor pedagógico”. (Oscar Saldarriaga Vélez, en Maestros Pedagogos II, 1999, p.117).

El trato afectivo ayuda al maestro a luchar contra el fantasma del olvido. Un alumno podrá olvidar un teorema o una construcción geométrica pero jamás olvidará al verdadero maestro; aquel que lo amó y lo inspiró a seguir su ejemplo, que fue capaz de llamarlo en las dificultades y de manera asertiva despertar su interés por la matemática, la ciencia y la vida.

Un buen profesor, además, crea un clima de apoyo en el aula donde los estudiantes acepten los desafíos, los ayuda a recorrer el camino procurando el desarrollo autónomo de su pensamiento, tiene independencia intelectual, está dispuesto a impartir justicia, lo inspira el amor a la humanidad, libera a través de la palabra y el razonamiento, permite desde su discurso la contemplación de la vida, utiliza la pregunta, sin intimidación, para formar espacios de argumentación efectiva y capacita a sus estudiantes para la resolución de problemas.

De esta manera, creemos, enseña a los niños a creer en ellos mismos y a ser útiles a la sociedad, recupera en ellos el orgullo de ser estudiantes y ayuda a regresar a sus miradas esa sed de eternidad y permanencia que parece perderse cada día más en el pueblo colombiano. De paso recupera la creencia en el desempeño del maestro como inspirador de ciencia y vida. En palabras de William Arthur Ward: “El maestro dice: el buen maestro explica. El excelente maestro demuestra. El gran maestro inspira”.

En todo caso, un buen profesor de matemáticas debe actuar con mística y sentido humanitario, para no dedicarle las palabras asertivas de Bertrand Russell “No es raro, de ninguna manera, encontrar hombres cuyos conocimientos son amplios, pero cuyos sentimientos son mezquinos. Semejantes hombres no poseen lo que yo llamo sabiduría”.

Valdría la pena, para concluir, sugerir dos ensayos a los cuales un maestro de matemáticas vuelve de la misma manera como una persona regresa a los lugares bellos y agradables. Los dos ensayos son: “El Maestro y su Oficio” de Alonso Takahasi y “Las Funciones del Maestro” de Bertrand Russell.

2.12 ¿SE PUEDE ENSEÑAR MATEMÁTICAS JUGANDO?

El juego es de vital impor