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Solucionario de los problemas propuestos de la Ficha 14-2º
Tus indicadores de evaluación:
Emplea representaciones tabulares, gráficas y algebraicas de la función lineal y lineal
afín.
Determina el conjunto de valores que puede tomar una variable en una función lineal y
lineal afín.
Usa modelos de variación referidos a la función lineal y lineal afín al plantear y resolver
problemas.
Selecciona y usa modelos referidos a ecuaciones lineales al plantear y resolver
problemas.
Justifica, a partir de ejemplos, el comportamiento de funciones lineales y lineales afines
reconociendo la pendiente y la ordenada al origen.
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA: “CARRERA ENTRE AMIGOS”
Pregunta 1: Una estrategia sería elaborar una tabla de doble entrada como la siguiente:
Tiempo transcurridos en segundos: t
Distancia recorrida por Mauricio: D
Distancia recorrida por Héctor: d
0 seg. 6x0=0 metros 10+2x0=10 metros
2 seg. 6x2=12 metros 10 +2x4=18 metros
3 seg. 6x3=18 metros 10+3x4=22 metros
4 seg. 6x4=24 metros 10+4x4=26 metros
5 seg. 6x5=30 metros 10+5x4=30 metros
8 seg. 6x8=48 metros 10+8x4=42 metros
10 seg. 6x10=60 metros 10+10x4=50 metros
En la tabla se observa que Mauricio alcanza a su amigo Héctor a los 5 segundos.
Pregunta 2: De la tabla determinamos la expresión matemática que representa la distancia
que recorre cada uno de ellos.
D = 6t y d = 10 + 4t
Pregunta 3: Para calcular el tiempo que hizo cada uno de ellos en recorrer los 100 metros,
usamos la fórmula hallada en la pregunta anterior. Para ello, reemplazamos 100 por D y d.
Tiempo de Mauricio: 100 = 6t, entonces t = 16,7 segundos.
Tiempo de Héctor: 100 = 10 + 4t, entonces t = 22,5 segundos.
Pregunta 4: El gráfico es: distancia ( metros)
100
10 Tiempo (segundos)
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Pregunta 5: De la tabla podemos ver que Mauricio va detrás de su amigo Héctor en la
carrera cuando 0 < t < 5.
Pregunta 6: De la tabla y del tiempo que demoró en recorrer los 100 metros, podemos decir
que Mauricio va delante de su amigo Héctor en la carrera cuando 5 < t < 16,7
Pregunta 7: Esta pregunta y la siguiente no pueden contestarse directamente a partir de la
tabla, pero, sí con los las expresiones matemáticas obtenidas.
Que Mauricio vaya perdiendo por 3 metros, significa que: d − D = 3, donde,
(10 + 4t) − 6t = 3 10 − 2t = 3 10 − 3 = 2t t= 7 / 2 = 3.5 segundos.
Por lo tanto, exactamente a los 3.5 segundos de iniciada la carrera Mauricio va perdiendo la
carrera por 3 metros de diferencia.
Pregunta 8: Que el atleta vaya ganando por 8 metros, significa que: D − d = 8, donde,
6t − (10 + 4t) = 8 6t − 10 − 4t = 8 2t − 10 = 8 t= (8 + 10) / 2 = 9 seg. Por lo tanto,
exactamente a los 9 segundos de iniciada la carrera, Mauricio va ganando la carrera por
8 metros de ventaja.
ANALIZAMOS
1. Resolución:
a) Para hallar el modelo matemático, antes completamos la siguiente tabla, teniendo en
cuenta que varía linealmente
Valor (S/.) 20 000 26 250 32 500 38 750 45 000 … 70 000
tiempo 8 7 6 5 4 … 0
Si al valor en soles del automóvil le asignamos la letra “v” y al tiempo “t”.
El modelo matemático es: v = 6 250.t + 70 000
b) Del modelo matemático, su costo inicial fue de 70 000 soles.
c) Si Reemplazamos en el modelo matemático el valor de 10 en “t”, obtenemos: v = 7
500 Su valor será de 7 500 soles.
d) La depreciación del sistema por año es de 6 250 soles.
e) Hacemos v = 0 y obtenemos la ecuación: - 6250.t + 70 000 = 0 T = 11, 2
22,5 16,7
4
25 000
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Luego el tiempo aproximado será de 12 años.
f) Su gráfico es:
2. Resolución:
a. Determinamos la función de lo que se paga en Poer Gym en t meses.
P (t)= 260+ 120 t
b. Determinamos la función de lo que se paga en Gym Extreme en t meses.
P (t)= 140 + 160 t
c. Igualamos ambas funciones para averiguar por cuántos meses se paga lo mismo en los
dos gimnasios.
260+ 120 t = 140 + 160 t
Luego: t = 3 meses.
3. Resolución:
a) Comprendiendo el problema, el número de neumáticos vendidos representa la
variable independiente, ubicándolo en el eje horizontal, mientras que en el eje vertical
ubicamos la utilidad que representa a la variable dependiente. Si 30 000 representa la
ordenada en el origen y 20 la pendiente, entonces el gráfico es:
Tiempo (años) 2 4 6 8
70 000
20 000
40 000
60 000
valor (soles)
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utilidad (miles de soles)
b) Para estimar el número de neumáticos que se debe vender para que la compañía no
gane ni pierda hacemos v = 0
0 = 20n – 30 000
n = 1 500
Respuesta: se debe vender 1 500 neumáticos.
c) En este caso reemplazamos v = 70 000
70 000 = 20n – 30 000
n = 5 000
Respuesta: Se ha vendido 5000 neumáticos.
4. Resolución:
Determinando la función de cada gráfico, usando la pendiente y la ordenada en el origen.
y = x + 4 y = 2x + 2
1
n Número de neumáticos vendidos (miles)
-10
-20
10
20
30
40
-30
3 2 4 5 6
v
0
1
20
y
y
y
x x x
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PRACTICAMOS
Pregunta 1:
Respuesta Adecuada.- El estudiante evidencia que usa modelos de variación, referidos a la
función lineal y lineal afín al plantear y resolver una ecuación.
Ejemplo:
Tiempo (en horas) para el alcance: t
Distancia recorrida por el primer autobús en t horas: d = 80t
Distancia recorrida por el segundo autobús en t horas: d = 90t
Cuando salió el segundo autobús (una hora después), el primero le llevaba 80 km de ventaja.
Por tanto, el planteamiento y resolución de la ecuación es:
90t = 80 + 80t 10t = 80 t = 8
Comprobación: 90(8) = 720 y 80 + 80(8) = 720
Respuesta: El alcance será 8 horas después de la salida del segundo autobús, y será a una
distancia de 720 km de la ciudad A.
Pregunta 2:
Respuesta Adecuada.- El estudiante evidencia que usa modelos de variación referidos a la
función lineal y lineal afín al plantear y resolver problemas. Determina correctamente la
función que representa a la situación, así como da la respuesta correcta a la pregunta.
Ejemplo:
Si el producto se vende en 65 soles por unidad, se calcula el ingreso total utilizando la
función lineal: I(x) = 65x
De modo similar, el costo total anual consiste en costos de materiales, costos de trabajo y
costos fijos:
C=COSTOS
C(x) = 20x + 27,50x + 100 000
C(x) = 47,50x + 100 000
Por tanto, es posible calcular la función de la utilidad como:
UTILIDAD= INGRESOS - COSTOS
U(x) = I(x) – C(x)
U(x) = 65x – (47,50x + 100 000)
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U(x) = 17,50x – 100 000
Nótese que U(x) es una función lineal afín. La pendiente de 17,50 indica que por cada unidad
adicional producida y vendida, la utilidad aumenta 17,50 soles.
Si la empresa vende 20 000 unidades durante el año, entonces la utilidad es:
P(20 000) = 17,50(20 000) - 100 000
P(20 000) = 350 000 - 100 000
P(20 000) = 250 000
Respuesta: La función es U(x) = 17,50x – 100 000 y cuando vende 20 000 unidades obtiene
una utilidad de 250 000 soles.
Pregunta 3:
Respuesta Adecuada.- El estudiante evidencia que comprende el comportamiento de las
funciones lineales y lineales afines reconociendo la pendiente y la ordenada en el origen.
Logra determinar todas las funciones.
Ejemplo:
y =2x +4 y = 2x 3 y =
y y y
x x x
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y =2x + 3 y = -2x y = x
Pregunta 4:
Respuesta Adecuada.- El estudiante evidencia que comprende el uso de modelos lineales
en una situación geométrica y responde correctamente las preguntas y lo representa en el
plano cartesiano.
Ejemplo:
P=perímetro
a) La función es: P(x) = 4.(3 + x) = 12 + 4x , para todo valor de “x” positivo.
b) Si el perímetro fue de 104 cm, entonces:
104 = 12 + 4x
92 = 4x
x = 23
Se le aumentó 23 cm a cada lado.
c) Su gráfica es:
y y y
x x x
1 2 3 4 5 6 7
28
24
20
16
12
Unidades que se
aumenta a cada lado
Perímetro (cm)
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En el siguiente cuadro se muestra la clave de respuestas que corresponden a las preguntas
de opción múltiple.
Número de Pregunta
Clave de respuesta
5 C
6 B
7 A
8 A
9 B
10 C
11 A
12 B
13 A
14 C
15 B
Pregunta 5:
La gráfica que le corresponde es:
Clave: c
Pregunta 6:
Resolución:
Elaboramos la siguiente tabla para que nos sirva para encontrar el modelo matemático.
Pago (S/.) 15 17 19 21 23 25
N° de chips
vendidos 0 1 2 3 4 5
El modelo matemático es:
f(x) = 15 + 2x
Luego, reemplazamos 43 en el modelo matemático.
43 = 15 + 2x
28 = 2x
x
y
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x = 14
Clave: b
Pregunta 7:
Resolución:
El modelo matemático para el costo mensual.
y = 20x + 460
El modelo matemático para el ingreso mensual.
y = 65x - 1 700
Para averiguar cuántos clientes necesita, para no perder ni ganar, se igualan ambos
modelos matemáticos.
20x + 460 = 65x - 1 700
-45x = - 1 700 – 460
-45x = - 2160
x = 48
Respuesta: Para no ganar ni perder, necesita 48 clientes.
Si tuviera 74 clientes ganará:
Costo = 20(74) + 460 = 1 940
Ingreso = 65(74) – 1 700 = 3 110
Utilidad = Ingreso - Costo
Utilidad = 3 110 – 1 940 = 1 170
Clave: a
Problema 8:
Resolución:
Si la relación entre L y t es lineal, entonces: L = m.t + b
Cuando el delfín nació: t = 0 y L = 1,5, al sustituir estos valores en la función anterior se
tiene que b = 1,5 y el modelo queda: L = m.t + 1,5
L = m.t + 3/2
Cuando T = 15, L = 2,7, estos valores se sustituyen en el modelo anterior para
determinar la pendiente. L = m.t + 3/2
2,7 = m(15) + 3/2
2,7 – 3/2 = 15m
6/5 = 15m
m = 2/25
Por tanto, la longitud L en función del tiempo t es: L =
Clave: a
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Problema 9:
Resolución:
En la función lineal L, la parte que indica el aumento en la longitud del delfín es :
, por
consiguiente, se divide T entre 30 y se sustituye t = 1
Entonces:
(
)
Finalmente: El aumento diario de longitud del delfín es de 0,00267 m.
Clave: b
Problema 10:
Resolución:
Con los datos y relaciones que hay entre ellas, tenemos la expresión matemática:
y = 200 + 11x
Luego reemplazamos 12 por “x” y obtenemos lo que pagamos en cuotas:
Y = 200 + 11(12) = 200 + 132 = 332 soles.
Clave: c
Problema 11:
Resolución:
Sea r1 y r2 rentas de las casas:
RENTA 1: r1 = x se rentó 12 meses
RENTA 2: r2 = x + 120 se rentó 10 meses
Planteando la ecuación:
12(r1) +10 r2 = 7360
12x + 10(x + 120) = 7360
12x + 10x + 1 200 = 7 360
22x = 7 360 – 1 200
22x = 6 160
x = 280
Luego:
r1 = x = 280
r2 = x + 120 = 400
Clave: a
Problema 12:
Resolución:
De los datos podemos determinar la función que representa el gasto o costo de la
empresa.
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C(x) = 2 500 + 900x + 350x
C(x) = 2 500 + 1 250x
Reemplazamos x = 300 para saber los gastos.
C(300) = 2 500 + 1 250( 300) = 2 500 + 375 000 = 377 500
Los ingresos se halla multiplicando 1 500 por las 300 computadoras vendidas.
1 500 x 300 = 450 000
La utilidad se obtiene restando los gastos menos los ingresos.
Utilidad = 450 000 – 377 500 =72 500
Clave: b
Problema 13:
Resolución:
Sea:
Número de adultos = x
Número de niños = 300 – x
Planteando la ecuación:
50x + 25(300 – x) = 12 250
50x + 7 500 – 25x = 12 250
25x = 4 750
x = 190
Reemplazando:
Número de adultos = x = 190
Número de niños = 300 – x = 300 – 190 = 110
Clave: a
Problema 14:
Resolución:
Sea:
formas Número de partidos Número de personas
individuales x = 7 2x
dobles 13 – x = 6 4(13 – x)
Planteando la ecuación tenemos:
2x + 4(13 – x) = 38
2x + 52 – 4x = 38
x = 7
Clave: c
Problema 15:
5. Resolución:
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La gráfica que corresponde a la función: y = -3x – 2 es:
Clave: b
x
y