Solucionario de los problemas propuestos de la Ficha 14-2º
Tus indicadores de evaluación:
Emplea representaciones tabulares, gráficas y algebraicas de la función lineal y lineal
afín.
Determina el conjunto de valores que puede tomar una variable en una función lineal y
lineal afín.
Usa modelos de variación referidos a la función lineal y lineal afín al plantear y resolver
problemas.
Selecciona y usa modelos referidos a ecuaciones lineales al plantear y resolver
problemas.
Justifica, a partir de ejemplos, el comportamiento de funciones lineales y lineales afines
reconociendo la pendiente y la ordenada al origen.
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA: “CARRERA ENTRE AMIGOS”
Pregunta 1: Una estrategia sería elaborar una tabla de doble entrada como la siguiente:
Tiempo transcurridos en segundos: t
Distancia recorrida por Mauricio: D
Distancia recorrida por Héctor: d
0 seg. 6x0=0 metros 10+2x0=10 metros
2 seg. 6x2=12 metros 10 +2x4=18 metros
3 seg. 6x3=18 metros 10+3x4=22 metros
4 seg. 6x4=24 metros 10+4x4=26 metros
5 seg. 6x5=30 metros 10+5x4=30 metros
8 seg. 6x8=48 metros 10+8x4=42 metros
10 seg. 6x10=60 metros 10+10x4=50 metros
En la tabla se observa que Mauricio alcanza a su amigo Héctor a los 5 segundos.
Pregunta 2: De la tabla determinamos la expresión matemática que representa la distancia
que recorre cada uno de ellos.
D = 6t y d = 10 + 4t
Pregunta 3: Para calcular el tiempo que hizo cada uno de ellos en recorrer los 100 metros,
usamos la fórmula hallada en la pregunta anterior. Para ello, reemplazamos 100 por D y d.
Tiempo de Mauricio: 100 = 6t, entonces t = 16,7 segundos.
Tiempo de Héctor: 100 = 10 + 4t, entonces t = 22,5 segundos.
Pregunta 4: El gráfico es: distancia ( metros)
100
10 Tiempo (segundos)
Pregunta 5: De la tabla podemos ver que Mauricio va detrás de su amigo Héctor en la
carrera cuando 0 < t < 5.
Pregunta 6: De la tabla y del tiempo que demoró en recorrer los 100 metros, podemos decir
que Mauricio va delante de su amigo Héctor en la carrera cuando 5 < t < 16,7
Pregunta 7: Esta pregunta y la siguiente no pueden contestarse directamente a partir de la
tabla, pero, sí con los las expresiones matemáticas obtenidas.
Que Mauricio vaya perdiendo por 3 metros, significa que: d − D = 3, donde,
(10 + 4t) − 6t = 3 10 − 2t = 3 10 − 3 = 2t t= 7 / 2 = 3.5 segundos.
Por lo tanto, exactamente a los 3.5 segundos de iniciada la carrera Mauricio va perdiendo la
carrera por 3 metros de diferencia.
Pregunta 8: Que el atleta vaya ganando por 8 metros, significa que: D − d = 8, donde,
6t − (10 + 4t) = 8 6t − 10 − 4t = 8 2t − 10 = 8 t= (8 + 10) / 2 = 9 seg. Por lo tanto,
exactamente a los 9 segundos de iniciada la carrera, Mauricio va ganando la carrera por
8 metros de ventaja.
ANALIZAMOS
1. Resolución:
a) Para hallar el modelo matemático, antes completamos la siguiente tabla, teniendo en
cuenta que varía linealmente
Valor (S/.) 20 000 26 250 32 500 38 750 45 000 … 70 000
tiempo 8 7 6 5 4 … 0
Si al valor en soles del automóvil le asignamos la letra “v” y al tiempo “t”.
El modelo matemático es: v = 6 250.t + 70 000
b) Del modelo matemático, su costo inicial fue de 70 000 soles.
c) Si Reemplazamos en el modelo matemático el valor de 10 en “t”, obtenemos: v = 7
500 Su valor será de 7 500 soles.
d) La depreciación del sistema por año es de 6 250 soles.
e) Hacemos v = 0 y obtenemos la ecuación: - 6250.t + 70 000 = 0 T = 11, 2
22,5 16,7
4
25 000
Luego el tiempo aproximado será de 12 años.
f) Su gráfico es:
2. Resolución:
a. Determinamos la función de lo que se paga en Poer Gym en t meses.
P (t)= 260+ 120 t
b. Determinamos la función de lo que se paga en Gym Extreme en t meses.
P (t)= 140 + 160 t
c. Igualamos ambas funciones para averiguar por cuántos meses se paga lo mismo en los
dos gimnasios.
260+ 120 t = 140 + 160 t
Luego: t = 3 meses.
3. Resolución:
a) Comprendiendo el problema, el número de neumáticos vendidos representa la
variable independiente, ubicándolo en el eje horizontal, mientras que en el eje vertical
ubicamos la utilidad que representa a la variable dependiente. Si 30 000 representa la
ordenada en el origen y 20 la pendiente, entonces el gráfico es:
Tiempo (años) 2 4 6 8
70 000
20 000
40 000
60 000
valor (soles)
utilidad (miles de soles)
b) Para estimar el número de neumáticos que se debe vender para que la compañía no
gane ni pierda hacemos v = 0
0 = 20n – 30 000
n = 1 500
Respuesta: se debe vender 1 500 neumáticos.
c) En este caso reemplazamos v = 70 000
70 000 = 20n – 30 000
n = 5 000
Respuesta: Se ha vendido 5000 neumáticos.
4. Resolución:
Determinando la función de cada gráfico, usando la pendiente y la ordenada en el origen.
y = x + 4 y = 2x + 2
1
n Número de neumáticos vendidos (miles)
-10
-20
10
20
30
40
-30
3 2 4 5 6
v
0
1
20
y
y
y
x x x
PRACTICAMOS
Pregunta 1:
Respuesta Adecuada.- El estudiante evidencia que usa modelos de variación, referidos a la
función lineal y lineal afín al plantear y resolver una ecuación.
Ejemplo:
Tiempo (en horas) para el alcance: t
Distancia recorrida por el primer autobús en t horas: d = 80t
Distancia recorrida por el segundo autobús en t horas: d = 90t
Cuando salió el segundo autobús (una hora después), el primero le llevaba 80 km de ventaja.
Por tanto, el planteamiento y resolución de la ecuación es:
90t = 80 + 80t 10t = 80 t = 8
Comprobación: 90(8) = 720 y 80 + 80(8) = 720
Respuesta: El alcance será 8 horas después de la salida del segundo autobús, y será a una
distancia de 720 km de la ciudad A.
Pregunta 2:
Respuesta Adecuada.- El estudiante evidencia que usa modelos de variación referidos a la
función lineal y lineal afín al plantear y resolver problemas. Determina correctamente la
función que representa a la situación, así como da la respuesta correcta a la pregunta.
Ejemplo:
Si el producto se vende en 65 soles por unidad, se calcula el ingreso total utilizando la
función lineal: I(x) = 65x
De modo similar, el costo total anual consiste en costos de materiales, costos de trabajo y
costos fijos:
C=COSTOS
C(x) = 20x + 27,50x + 100 000
C(x) = 47,50x + 100 000
Por tanto, es posible calcular la función de la utilidad como:
UTILIDAD= INGRESOS - COSTOS
U(x) = I(x) – C(x)
U(x) = 65x – (47,50x + 100 000)
U(x) = 17,50x – 100 000
Nótese que U(x) es una función lineal afín. La pendiente de 17,50 indica que por cada unidad
adicional producida y vendida, la utilidad aumenta 17,50 soles.
Si la empresa vende 20 000 unidades durante el año, entonces la utilidad es:
P(20 000) = 17,50(20 000) - 100 000
P(20 000) = 350 000 - 100 000
P(20 000) = 250 000
Respuesta: La función es U(x) = 17,50x – 100 000 y cuando vende 20 000 unidades obtiene
una utilidad de 250 000 soles.
Pregunta 3:
Respuesta Adecuada.- El estudiante evidencia que comprende el comportamiento de las
funciones lineales y lineales afines reconociendo la pendiente y la ordenada en el origen.
Logra determinar todas las funciones.
Ejemplo:
y =2x +4 y = 2x 3 y =
y y y
x x x
y =2x + 3 y = -2x y = x
Pregunta 4:
Respuesta Adecuada.- El estudiante evidencia que comprende el uso de modelos lineales
en una situación geométrica y responde correctamente las preguntas y lo representa en el
plano cartesiano.
Ejemplo:
P=perímetro
a) La función es: P(x) = 4.(3 + x) = 12 + 4x , para todo valor de “x” positivo.
b) Si el perímetro fue de 104 cm, entonces:
104 = 12 + 4x
92 = 4x
x = 23
Se le aumentó 23 cm a cada lado.
c) Su gráfica es:
y y y
x x x
1 2 3 4 5 6 7
28
24
20
16
12
Unidades que se
aumenta a cada lado
Perímetro (cm)
En el siguiente cuadro se muestra la clave de respuestas que corresponden a las preguntas
de opción múltiple.
Número de Pregunta
Clave de respuesta
5 C
6 B
7 A
8 A
9 B
10 C
11 A
12 B
13 A
14 C
15 B
Pregunta 5:
La gráfica que le corresponde es:
Clave: c
Pregunta 6:
Resolución:
Elaboramos la siguiente tabla para que nos sirva para encontrar el modelo matemático.
Pago (S/.) 15 17 19 21 23 25
N° de chips
vendidos 0 1 2 3 4 5
El modelo matemático es:
f(x) = 15 + 2x
Luego, reemplazamos 43 en el modelo matemático.
43 = 15 + 2x
28 = 2x
x
y
x = 14
Clave: b
Pregunta 7:
Resolución:
El modelo matemático para el costo mensual.
y = 20x + 460
El modelo matemático para el ingreso mensual.
y = 65x - 1 700
Para averiguar cuántos clientes necesita, para no perder ni ganar, se igualan ambos
modelos matemáticos.
20x + 460 = 65x - 1 700
-45x = - 1 700 – 460
-45x = - 2160
x = 48
Respuesta: Para no ganar ni perder, necesita 48 clientes.
Si tuviera 74 clientes ganará:
Costo = 20(74) + 460 = 1 940
Ingreso = 65(74) – 1 700 = 3 110
Utilidad = Ingreso - Costo
Utilidad = 3 110 – 1 940 = 1 170
Clave: a
Problema 8:
Resolución:
Si la relación entre L y t es lineal, entonces: L = m.t + b
Cuando el delfín nació: t = 0 y L = 1,5, al sustituir estos valores en la función anterior se
tiene que b = 1,5 y el modelo queda: L = m.t + 1,5
L = m.t + 3/2
Cuando T = 15, L = 2,7, estos valores se sustituyen en el modelo anterior para
determinar la pendiente. L = m.t + 3/2
2,7 = m(15) + 3/2
2,7 – 3/2 = 15m
6/5 = 15m
m = 2/25
Por tanto, la longitud L en función del tiempo t es: L =
Clave: a
Problema 9:
Resolución:
En la función lineal L, la parte que indica el aumento en la longitud del delfín es :
, por
consiguiente, se divide T entre 30 y se sustituye t = 1
Entonces:
(
)
Finalmente: El aumento diario de longitud del delfín es de 0,00267 m.
Clave: b
Problema 10:
Resolución:
Con los datos y relaciones que hay entre ellas, tenemos la expresión matemática:
y = 200 + 11x
Luego reemplazamos 12 por “x” y obtenemos lo que pagamos en cuotas:
Y = 200 + 11(12) = 200 + 132 = 332 soles.
Clave: c
Problema 11:
Resolución:
Sea r1 y r2 rentas de las casas:
RENTA 1: r1 = x se rentó 12 meses
RENTA 2: r2 = x + 120 se rentó 10 meses
Planteando la ecuación:
12(r1) +10 r2 = 7360
12x + 10(x + 120) = 7360
12x + 10x + 1 200 = 7 360
22x = 7 360 – 1 200
22x = 6 160
x = 280
Luego:
r1 = x = 280
r2 = x + 120 = 400
Clave: a
Problema 12:
Resolución:
De los datos podemos determinar la función que representa el gasto o costo de la
empresa.
C(x) = 2 500 + 900x + 350x
C(x) = 2 500 + 1 250x
Reemplazamos x = 300 para saber los gastos.
C(300) = 2 500 + 1 250( 300) = 2 500 + 375 000 = 377 500
Los ingresos se halla multiplicando 1 500 por las 300 computadoras vendidas.
1 500 x 300 = 450 000
La utilidad se obtiene restando los gastos menos los ingresos.
Utilidad = 450 000 – 377 500 =72 500
Clave: b
Problema 13:
Resolución:
Sea:
Número de adultos = x
Número de niños = 300 – x
Planteando la ecuación:
50x + 25(300 – x) = 12 250
50x + 7 500 – 25x = 12 250
25x = 4 750
x = 190
Reemplazando:
Número de adultos = x = 190
Número de niños = 300 – x = 300 – 190 = 110
Clave: a
Problema 14:
Resolución:
Sea:
formas Número de partidos Número de personas
individuales x = 7 2x
dobles 13 – x = 6 4(13 – x)
Planteando la ecuación tenemos:
2x + 4(13 – x) = 38
2x + 52 – 4x = 38
x = 7
Clave: c
Problema 15:
5. Resolución:
La gráfica que corresponde a la función: y = -3x – 2 es:
Clave: b
x
y