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PARA FIXAR

21. CASOS NOTÁVEIS DA MULTIPLICAÇÃO DE POLINÓMIOS

COMO FAZER

➔ Para desenvolver o quadrado de um binómio a. 12x + 522 , utiliza-se a igualdade 112 em que

A = 2x e B = 5

12x + 522 = 12x 22 + 2 * 2x * 5 + 52

= 4x2 + 20x + 25

b. ay -12b2

, pode utilizar-se a igualdade 122 em que

A = y e B = 12

ay -12b2

= y2- 2 *

12* y +

14=

= y2- y +

14

c. 1- x - 3y 22 , pode utilizar-se a igualdade 112 em que A = - x e B = - 3y

1- x - 3y 22 = 1- x 22 + 2 * 1- x 2 * 1- 3y 2 + 1- 3y 22

= x2 + 6xy + 9y2

➔ Para transformar uma expressão do tipo 1A + B2 1A - B2 numa diferença de quadrados

Utiliza-se a igualdade 132 : a. 15 + x2 15 - x2 = 52

- x2= 25 - x2

b. 12x + 32 12x - 32 = 12x22 - 32= 4x2

- 9

c. aa2- 1b aa

2+ 1b = aa

2b2

- 12=

a2

4- 1

Casos notáveis da multiplicação de polinómios Quadrado de um binómio

Desenvolver o quadrado de um binómio é o mesmo que transformá-lo num polinómio reduzido.

Diferença de quadrados

Se os dois termos, A e B , têm o mesmo sinal:

2AB tem sinal + 1x + 322 = x2 + 2 * 3x + 32 1 quadrado da soma = x2 + 6x + 9

Se os dois termos, A e B , têm sinal contrário:

2AB tem sinal - 15 - y 22 = 52 - 2 * 5y + y2 1 quadrado da diferença = 25 - 10y + y2

1A + B2 1A - B2 = A2 - B2

Diferença de quadrados

1A + B22 = A2 + 2AB + B2 ¡ Ao desenvolver o quadrado de um binómio obtém-se um trinómio

Quadrado de um Quadrado Dobro do Quadrado binómio do 1.° termo produto do do 2.° termo A é o 1.° termo 1.° termo B é o 2.° termo pelo 2.° termo

Para todo o A e todo o B :

• 1a - 32 1a + 32 = a2 - 32 = a2 - 9

• Q"3 + 1R Q"3 - 1R = Q"3 R2- 12

= 3 - 1 = 2

1A + B22 = A2 + 2AB + B2 112 1A - B22 = A2 - 2AB + B2 122 1A + B2 - 1A - B2 = A2 - B2 132 Casos notáveis da multiplicação

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SABER FAZER

1. Completa.

a. 13x + 522 = 1……22 + 2 * …… * …… + 1……22

b. 17 - 2x 22 = …… - 2 * …… * …… + ……

c. 12 - 4x 2 12 + 4x 2 = 1……22 - 1……22

= …… - ……

2. Desenvolve os quadrados dos binómios seguintes.

a. 1a + 322

b. 1- 2 + 3x 22

c. a2y -1

3b2

d. a3m +1

2b2

e. 12x + y 22

f. 10,1 - 10x 22

g. a- 2

3 x -

1

2b2

h. Q"3 + 5R2

3. 3.1 Completa e simplifica.

1032 = 1100 + ……22 = 1002 + …… + ……

3.2 Utilizando um raciocínio análogo, calcula:

a. 5012 b. 972 c. 101 * 99

4. Desenvolve os produtos e reduz os termos semelhantes.

a. 1x + 62 1x - 62 b. 1a - 2b 2 1a + 2b 2 c. 1- 2y + 32 1- 2y - 32 d. 11 + a 2 1a - 12 e. a3

2- xb a3

2+ xb

f. Q"5 - xR Q"5 + xR 5. Transforma num polinómio reduzido.

a. 1 - ax2-

1

3b2

b. a1

4- xb a1

4+ xb + ax +

3

4b2

c. 5 - 2 a- 1

2+ 2xb2

d. 1

2 a2 - 1a + 22 1a - 22

e. 3 a1

3- xb2

-5

3- 2x2

f. - 1m - 122 - 1m - 12 11 + m 2

6. Completa com os símbolos = ou 0 , conforme o caso.

a. ax -1

3b2

…… x2 - 1

9

b. 15 + x 2 1x - 52 …… x2 - 25

c. 1a + 722 …… a2 + 49 + 14a

d. 1m + 62 16 - m 2 …… m2 - 36

7. Verdadeiro ou falso?

a. 1x - y 22 é o quadrado de um binómio.

b. y2 + 49 é a soma de dois quadrados.

c. m2 - n2 é a diferença de dois quadrados.

d. 1 - a2 é a diferença de dois quadrados.

e. 52 + y2 é o quadrado de uma soma.

8. Observa a figura abaixo. Escreve um polinómio reduzido

que represente:

a. o perímetro do quadrado;

b. a área do quadrado;

c. a área do trapézio.

9. Escolhe a opção correta.

9.1 Qa - "2 R Q"2 + aR é igual a: 1A2 2 - a2 1B2 a2 - 2

1C2 a2 - 4 1D2 Qa - "2 R2

9.2 1y - 122 é igual a: 1A2 1y - 12 1y + 12 1B2 y2 - 2y - 1

1C2 y2 - 2y + 2 1D2 1y - 12 1y - 12 10. Qual das expressões seguintes é equivalente a 1x - 122 - x2 ?

Assinala a resposta correta. 1A2 - 1 1B2 1 1C2 - 2 x - 1 1D2 - 2 x + 1

Exame Nacional, 9.º ano, 2011

11. Prova que a diferença entre os quadrados de quaisquer

dois números naturais consecutivos é um número ímpar.

12. De entre as expressões seguintes, 1A2 (a + 2b)2 1B2 4y2 - 6y + 9 1C2 4x2 - 1

indica uma que represente

a. uma soma;

b. um produto;

c. um caso notável.

12

3x +

12

3x +

x