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University of Science and Technology of China

第八章磁能

静电能：

点电荷→连续分布→外场中→能量密度→非线性介质→静电能求力

磁能：

一个线圈→多线圈→外场中→磁能密度→非线性介质→磁能求力


K接通，L中的电流从0→I，达到稳定。－－暂态过程

在此过程中：

说明：电源在dt时间内做功εidt，其中一部分转变为电阻R的焦耳热i2Rdt，另一部分反抗L的感应电动势做功，大小为Lidi，该能量转变为线圈的磁能：

LidiRdtiidtdtdiLiR

+=∴

+=

2ε

ε

m2

0 21

21

Φ=== ∫ IWLILidiW m

I

m 或：

一、一个载流线圈的磁能


0

01

2

2

=+∴

=+ ∫

CI

dtIdL

IdtCdt

dIL电路方程：

解：


LCt41π

=

LCLCTt2

3243

43

2π

π ===


考虑纯电感情况（忽略电阻），各线圈电流由0 → Ii，过程中的某一时刻，第i个线圈中：

电源反抗εi在dt时间内做功：

∑≠

−−=ik

kki

iii dt

dIMdtdILε

∑ ∑∑

∑

= ≠==

≠

+=′

+=−=′

N

i

N

ikkkiki

N

iiii

ikkikiiiiiii

dIIMdIILAd

N

dIIMdIILdtIAd

1 )(11

：个线圈，电源做的总功

ε

二、N个载流线圈系统的磁能


积分得：

此即系统的静磁能。

( )

( )∑∑<=

+=′

=+∴=N

kikikiiki

N

iii

kiikikikkikikiik

IIdMIdILAd

IIdMdIIMdIIMMM

)(,1

，Q

∑∑<=

+=′N

kikikiik

N

ii IIMILA

i)(,1

2

21

∑∑≠=

+=N

kikikiik

N

iim IIMILW

i)(,1

2

21

21


• 令Mii = Li

• 令Φki = MkiIk=MikIk

第k个线圈在第i个线圈中产生的磁通。

∑=N

kikiikm IIMW

,21

的总磁通。：表示通过线圈则 iN

kkii ∑

=

Φ=Φ1

∑=

Φ=∴N

iiim IW

121

其它形式：


对于两个线圈：

只考虑互感磁能：

物理上，这是将线圈1产生的磁场B1看成外磁场，因此W12可以看成线圈2在外磁场中的磁能。

2112222

211 2

121 IIMILILWm ++=

自感磁能互感磁能

中产生的磁通。在是线圈 2112

212211212

Φ

Φ== IIIMW

三、载流线圈在外磁场中的磁能


对于均匀外场（或外场的非均匀尺度远大于线圈尺度）：

N个线圈在外磁场中：

∫∫∫∫⋅=∴

⋅=Φ=

Sm

S

SdBIW

SdBIIWrr

rr

外

21221212

：线圈的磁矩外 mBmBSIWmrrrrr

⋅=⋅=

：整个系统的磁矩。

均匀外场

t

t

N

kk

N

kSkm

m

BmBmSdBIWk

r

rrrrrr⋅=⋅ →⋅= ∑∑ ∫∫

== 11


如图所示均匀磁场中有一磁矩为的载流线圈，磁矩方向与磁场方向垂直。当该线圈偏转到磁矩与磁场平行的方向时：

1）该过程磁场做功，所以磁能减少；

2），偏转前Wm=0，偏转后Wm=mB，所以磁能增加。

思考题1

mr Br

mr

mr

BmWm

rr⋅=


•答案2正确，因为答案1中没有考虑载流线圈中的电源为了保持电流不变而做的功。

•如果不是载流线圈，而是磁矩为m的基本粒子，那么就是答案1正确，此时磁能表达式为：W=-m⋅B，这就是顺磁效应微观机制中所用的公式。

探讨1mr B

r

mr


•如果旋转的是超导线圈，情况会是怎样？

假设初态时超导线圈电流为I0，并假设LI0>BS。那么在旋转过程中为保持超导线圈磁通量不变，电流会减小。但是由于LI0>BS，电流不会反向。因此旋转过程中仍然是磁场对线圈做功。

由于维持外磁场B的电源会对体系做功，因此从这个例子还无法看出线圈在外场中的磁能表达式W=m⋅B对超导线圈是否仍然成立。

探讨20mr B

r

1mr


讨论：超导线圈的磁能

1 1L I 2 2L IM

载流线圈

超导线圈

( )1 1 21

1 1 1 1 1 1 2

2 2 1

2 22 2 2

1 1 1 1 1 1 1 2 22 2

2 2 21 1 2 2 2 2

1+

=- =-

=- = +2 + =0 0

1 1 1= - = = - = -2 2 2

1 1 1= + - =2 2 2

m

m

t dt

d L I MIddt dt

dA I dt L I dI MI dIL I MI

M MdA L I dI W A L I L I L IL L

W L I L I L I

ε

ε

→

Φ

∴ ⇒

时间内，

载流线圈中的感应电动势：

电源反抗感应电动势做功：

对于超导线圈：（超导线圈初始磁通为）

或： 2 21 1 2 2 1 2

1+ +2

L I L I MI I


一些结论

•磁能表达式对超导线圈仍然成立，但是由于超导线

圈自感磁能会发生变化，因此外场中的磁能公式W=m⋅B并没有什么意义。

•超导线圈放入磁场中，总磁能会减少，减少量等于

超导线圈的“自感磁能”。

2 21 1 2 2 1 2

1 1= + +2 2mW L I L I MI I

2 21 1 2 2

1 1= -2 2mW L I L I


超导线圈进入磁场，若要保持源磁场不变，电源做功A：

•电源做功是磁能变化的两倍。因此在应用虚功原理时，虽然超导线圈的电流会发生变化，但只要外磁场不变，仍然适用“I不变”的条件。•将超导线圈放入磁场，虽然磁能减小，但由于电源“吸收”了两倍的能量，因此仍然需要外界提供能量。

( ) ( )

( )

1 1 2 21

21 1 1 2 1 2 2 2

+=- =-

=- = = =-

d L I MI d MIdt dt

dA I dt I d MI A MI I L I

ε

ε ∴

电源做功问题


如图所示，x>0区域

有一均匀磁场，一个自

感L的矩形线圈（电阻

忽略）以初速度v0进入

磁场。当线圈中电流为

I时，线圈速度v是多少？

练习

x

y


螺线管：

H=nIB=µrµ0nIL=Φ/I= µrµ0nNS= µrµ0n2V

Sl

rµn

HBBHV

Ww

BHVVInLIW

mm

rm

rr⋅===

===∴

21

21

21

21

21 22

02

能量密度：

µµ

四、磁场的能量和能量密度


可推广：

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]∫∫∫

∫∫∫

∫∫∫

∫∫∫

×⋅∇+×∇⋅=

×∇⋅−×∇⋅=×⋅∇×∇⋅=

×∇=⋅=

→⋅=⋅=Φ=

dVAHAH

baabbadVHA

HjdVjA

dVjlIdldAISdBIIW

rrrr

rrrrrrrr

rrrr

rrrrrr

21

21

21

21

21

21

BHwm

rr⋅=∴

21∫∫∫ ⋅ dVBH

rr

21 ( )

01~

~1~1~ 22

→⋅×∴

⋅×=×⋅∇ ∫∫∫∫∫∞→

rSdAH

rdSrHrA

SdAHdVAHr

rrr

rrrrr

，，


（假设导线的µr=1）


计算自感系数的方法

• 通过磁能求自感

• 通过自感定义求自感

• 通过感应电动势求自感

22 2

21

IWLLIW m

m =⇒=

ILLI m

mΦ

Φ =⇒=

dtdIL

dtdIL LL εε −=⇒−=


介质存在时，电源对线圈做功。

t→t+dt B→B+dB电源做功：

( )

HVdBNSdBNHl

NHlINIldHINSdB

NSdBdIddtdIdtAd

==

=∴=⋅=

=ΦΦ=

Φ

−=−=′

∫

，rr

εε

五、非线性介质及磁滞损耗

nS

lrµ

ε


单位体积做功：

电源做功等于宏观磁能的改变加上磁化功。

( )

MdHHd

MHBBdHHdBVAdad

rr

rrrrr

⋅+

=

+=⋅==′

=′

020

0

2

µµ

µ

宏观磁能密度磁化功


• 线性无损介质

( )

( )

( )m

m

wdHBd

MHHHd

MHdHdad

MHdMdH

MHdHdMMdH

=

⋅=

⋅+⋅=

⋅+

=′∴

⋅=⋅

⋅=⋅=⋅∴

rr

rrrr

rr

rrrr

rrrrrr

21

21

21

21

21

21

0

02

0

00

µ

µµ

µµ

χ

磁化能密度

磁化功：

常数，

电源做功等于磁能改变。（无损耗）


• 非线性介质磁滞回线，循环一周做功：

磁滞损耗

磁滞回线面积=

⋅=′=′ ∫∫

0 MdHAdArr

µ

H

M


例：小线圈在外场中受力

( ) ( )

∂∂

−=

∇−=

∂∂

=

∇=

Φθ

Φ

θ θθm

m

I

m

Im

WL

WF

WL

WFrr

m

m

）（或

）（或

( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )

BmemBeWL

BmBmBm

BmWF

mBBmW

m

mm

m

rrrrr

rrrrrr

rrr

rr

×=−=

∂∂

=

∇⋅=×∇×+∇⋅=

⋅∇=∇=

=⋅=

θθθ

θ θθ

θ

sin

cos

六、利用磁能求磁力


Ø载流线圈的磁能

其它形式：

Ø在外场中的磁能

∑∑≠=

+=N

kikiik

N

iim IIMILW

i 21

21

1

2

自感磁能互感磁能

∑∑=

Φ==N

iiim

N

kikiikm IWIIMW

1, 21

21

外均匀外场

外外 BmSdBIIWm

rrrr⋅ →⋅=Φ= ∫∫

小结


Ø能量密度

Ø磁滞损耗

Ø磁能求力

BHwm

rr⋅=

21

( ) ( )

∂∂

−=

∇−=

∂∂

=

∇=

Φθ

Φ

θ θθm

m

I

m

Im

WL

WF

WL

WFrr

m

m

）（或

）（或

MdHHdadrr

⋅+

=′ 0

20

2µ

µ

宏观磁能密度磁化功

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