第六章 以 GRACE 衛星距離變化率求解地球重力場：

軌道解析理論之應用

本章係針對 GRACE 衛星上攜帶有 K 波段測距系統（KBR），其為 GRACE

之特殊設計，目的是測定兩顆衛星之間的距離及距離變化率，由於兩顆衛星在同

一軌道上，其間相距保持約 200 km，因此二顆衛星之間的距離及相對速度必然

係受到地球重力場之影響。1969 年 Wolff 是第一個提出利用 LL-SST 之距離變化

率來探求地球重力場，其理論是利用兩顆衛星在同一軌道運動時之能量守恒定

律。1983 年 Wagner 亦曾利用 NASA 提出之 GRAVSAT 衛星任務，模擬兩顆低軌

衛星之距離變化率，利用軌道擾動探求地球重力場，但因計算複雜而提出很多近

似假設，例如將衛星的偏近點角（Eccentric Anomaly，E）假設等於平近點角（Mean

Anomaly，M）及忽略高次項之擾動[Wagner, 1983]。本章主要是提出一個嚴密的

軌道解析理論來探討 LL-SST 之觀測量與地位係數之關係，首先介紹基本原理，

再利用線性擾動理論推導距離變化率與地位係數之線性關係，最終再以 EGM96

及 OSU91A 重力場模式模擬 GRACE 兩顆衛星 7 天的軌道及其距離變化率，探

討本文所提出之理論。

6.1 基本原理

本研究欲推求之參數為地位係數（Geopotential Coefficients），根據地球引力

位理論[Kaula, 1966][Heiskanen and Moritz, 1967]，地球引力位以（4-2）式球諧函

數展開，（4-2）式亦可表示如下：

( ) Rr

GMrV +=λϕ ,, （6-1）

R 為擾動位， λϕ ,,r 為地心距、地心緯度、經度。

121

圖 6-1 衛星追蹤衛星之幾何關係

如圖 6-1 中，SST任務兩衛星S1、S2同處一軌道面，相距數百公里，其間

RR(Range Rate)為[Seeber, 1993]

1212eX&& =ρ (6-2)

1212 XXX&&& −= 為 S1、S 2 兩衛星相對速度向量

ρ12

12

1212

XXXXXe =

−−

= 為 S1對 S 之單位向量 (6-3) 2

對（6-2）式作時間微分，則得相對距離加速度，即相對速度的變化（Range

Rate Rate）簡稱 RRR[Reigber, 1987]：

ρ&& = 12X&& 12e + 12X

&12e& (6-4)

由於

122

( )( ) 111212

112

112

12

1112

21

1212

)(

−−

−−−−−

⋅=⋅−=

−=+⋅⋅−=⋅

=

ρρρ

ρρρρρρρ

CeX

XXXX

Xdtd

dtXd

e

&&

&&&

&&

(6-5)

其中

1212 eXC ⋅−= ρ&&

將（6-5）式代入（6-4）式得

122121212

11212

2121212

11212121212

))()((

))(()(

−

−−

⋅−+=

⋅−+=−+=

ρρ

ρρρρρ

&&&&

&&&&&&&&&&&&

XeX

eXXeXeXXeX (6-6)

其中

1212 XXX&&&&&& −=

為S2對S1之相對加速度向量， 12ρ&& 則為S1與S2間之視線（Line of Sight）方向

加速度分量。GRACE的直接觀測量為 ρ& ，精度達 10-6 m/sec， ρ&& 則可由數值微分

方法自 ρ& 求得。

SST 的基本原理是建立地球重力場參數與觀測量 ρ& 或 ρ&& 之間的關係，通常將

展開的球諧係數 nmC 、 nmS 視為參數 nβ ，則依據兩衛星之初始向量推出近似值0X 、 0X& 、 、 ，而重力場參數近似值 ，因此 0ρ& 0ρ&& 0nβ

nnn βββ ∆+=0 ，n = 1, 2, 3,…, N

將(6-2)式線性化得

βββ

ββ

ρρρ ∆⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂⋅+

∂∂⋅=∆⋅

∂∂

=−=∆nn

nn

eXXeeX 1212121212120 )( &

&&&&& (6-7)

(6-7)式中

123

nnnnn

XXXXeβ

ρβρρ

βρββ ∂∂⋅+

∂∂⋅=

∂∂

=∂∂

=∂∂ −

−− 121

1

121211212 )()(

=nn

XXβ

ρβρ

∂∂⋅+

∂∂⋅ −

−121

1

12 (6-8)

(6-8)式右邊中第一項

T

n

T

nn

XXX )()()1( 1222

12

1

12 βρρ

βρρ

βρ

∂∂

⋅⋅−=∂∂

⋅⋅−⋅=∂∂⋅ −−

−

=-n

TT

T

n

T XXXXXXXXβ

ρβ

ρ∂∂

⋅⋅−=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂ −−− 12

1221

1212122

21

121212

2 2)(21)(

=-n

T XXeβ

ρ∂∂

⋅⋅− 1212122 (6-9)

將 (6-9)式代入(6-8)得

n

T

n

XXeeβ

ρρβ ∂

∂−=

∂∂ −− 12

12122112 )( = )( 11212

1 −− ⋅⋅− ρρ

ρ eXT

n

Xβ∂

∂ 12

=( )112121 −− ⋅⋅− ρρ ee T

n

Xβ∂

∂ 12 (6-10)

(6-10)代入(6-7)式之第二項，則

n

T

n

XeeXeXβ

ρρβ ∂

∂−=

∂∂ −− 121

12121

1212

12 )(&& = )( 1212

1 eX ρρ && −−n

Xβ∂

∂ 12 =n

XCβ

ρ∂∂⋅− 121 (6-11)

(6-11)式代入(6-7)式得

nnn

XCXe ββ

ρβ

ρ ∆⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂⋅+

∂∂⋅=∆ − 1211212

&& (6-12)

6.2 線性化建立觀測量與未知數關係

本研究係利用(6-12)式以 GRACE 觀測量 Range Rate 推求地球重力場

124

式中 0ρρρ &&& −=∆

nnn βββ ∆+=0 n = 1, 2, 3,……, N

本文模擬之 GRACE 資料是以 OSU91A 為近似值，而 EGM96 為觀測量，即

0121212 ρρρ &&& −=∆

式中

12ρ& 係利用 EGM96 地位係數模擬兩顆 GRACE 衛星之 Range Rate 為觀測量。

012ρ& 係利用 OSU91A 地位係數模擬兩顆 GRACE 衛星之 Range Rate 為近似值。

令

β ：為待求之地位係數，即 β =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

nm

nm

SC

, ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

∆

∆=∆

nm

nm

SC

β

0β ： β 的近似值,本研究假設為 OSU91A 之地位係數

：β∆ 0β 的改正數，即 βββ ∆+= 0

1212 VVV −= 兩顆衛星的相對速度向量

1212 XXX −= 兩顆衛星的相對位置向量

12 XX −=ρ 兩顆衛星的距離

12e ρρ1212 XXX =−= 兩顆衛星的相對位置單位向量

1212 eVT=ρ& 兩顆衛星的距離變化

則（6-12）式以向量表示如下：

125

ββ

ρρρ ∆∂∂

=−=∆ )( 12120 VeTT&&& (Residual Range Rate)

ββ

ρρβ

∆⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂⋅−⋅+

∂∂⋅= − T

TT

T XeVVe 121212112

12 )( & （6-13）

[ ]nmnmT SSSSSCCCCCCC ......... 32312221323130222120=β

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

i

i

i

i

ZYX

X , 2,1=i

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

i

i

i

i

ZY

X

V&

&

&

, 2,1=i 表示 GRACE-A、GRACE-B 衛星

將衛星位置、速度表達為克卜勒元素的函數，以向量表示為：

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡)()(

sVsX

VX

i

i

i

i :, kk SSSS ∆=∆= 為克卜勒元素的擾動，k = 1, 2……, 6。

kS 順序為 MIea ,,,,, ωΩ ， 順序為kS∆ MIea ∆∆∆Ω∆∆∆ ,,,,, ω 其定義為：

長半徑：a

離心率：e

軌道傾角： I

近地點幅角：ω

昇交點赤經：Ω

平近點角：M

為建立衛星位置及速度與地位係數之線性化關係，將兩顆衛星相對位置及相對速

度對地位係數之偏導數，分別為：

TTTTTTT

SSXS

SXXXX

βββββ ∂∂

⋅∂∂

−∂∂

⋅∂∂

=∂∂

−∂∂

=∂∂ 1

1

12

2

21212 （6-14）

TTTTTTTS

SVS

SVVVV

βββββ ∂∂

⋅∂∂

−∂∂

⋅∂∂

=∂∂

−∂∂

=∂∂ 1

1

12

2

21212 （6-15）

126

其中

i

iiiiii

iiiiii

iiiiii

Ti A

AAAAAA

AAAAAA

AAAAAA

MZZZ

IZ

eZ

aZ

MYYY

IY

eY

aY

MXXX

IX

eX

aX

SX

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

Ω∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

Ω∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

Ω∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂

363534333231

262524232221

161514131211

ω

ω

ω

矩陣 （6-16）

i

iiiiii

iiiiii

iiiiii

Ti B

BBBBBB

BBBBBB

BBBBBB

MZZZ

IZ

eZ

aZ

MYYY

IY

eY

aY

MXXX

IX

eX

aX

SV

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

Ω∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

Ω∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

Ω∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂

363534333231

262524232221

161514131211

&&&&&&

&&&&&&

&&&&&&

ω

ω

ω

矩陣 （6-17）

式中 表示 GRACE-A、GRACE-B 衛星。 2,1=i

（6-16）及（6-17）式為衛星位置及速度對克卜勒元素之偏導數，其推導過

程及表達式見 6.3 節。

又（6-14）及（6-15）式中， TiS

β∂∂

， 2,1=i 為 GRACE-A、GRACE-B，係衛

星在某一時刻之克卜勒元素對地位係數之偏導數，為了建立克卜勒元素擾動與地

位係數之關係，首先考慮 GRACE 衛星高度及軌道離心率，吾人可將（6-1）式

擾動位表示成克卜勒元素之函數[Kaula, 1966][Reigber, 1989]。

即 （6-18） ∑∑∑ ∑= = = −=

=K

n

n

m

n

p

Q

QqnmpqRR

2 0 0

式中

( ) ( ) ( )θω ,,,1 Ω= + MSeGIFaGMa

R nmpqnpqnmpnne

nmpq （6-19）

K 為球諧展開最高階，本研究 K=70；Q 值與軌道離心率有關，對近乎圓形軌

道而言，可令 Q 值為 1 [Balmino, 1994]。

127

又 TSβ∂∂

≒ TS

β∂∆∂

將（6-19）式擾動位以克卜勒元素擾動表示如下：

3,2,1, =∆ jS j for Iea ∆∆∆ ,,

βθωα ∆=Ω=∆ ∑∑∑ ∑= = = −=

10

2 0 0

),,,( CMSSK

n

n

m

n

p

Q

Qqnmpq

jnmpqj （6-20）

而

6,5,4, =∆ jS j for M∆∆∆Ω ,, ω

∑∑∑ ∑= = = −=

∗ ∆=Ω=∆K

n

n

m

n

p

Q

Qqnmpq

jnmpqj CMSS

2 0 0

20),,,( βθωα （6-21）

所以 CCCS

Tj =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

∂

∆∂20

10

β （6-22）

（6-20）（6-21）式中

( ) ( ) ([ ]θωθω −Ω++−+−⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−=Ω

−

+

mMqpnpnS

CMS

nm

nmnmpq 22cos),,,( )

( ) ( ) ([ ]θω −Ω++−+−⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

−

+

mMqpnpnC

S

nm

nm22sin ) (6-23)

( ) ( ) ([ ]θωθω −Ω++−+−⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−=Ω

−

+

∗ mMqpnpnS

CMS

nm

nmnmpq 22sin),,,( )

( ) ( ) ([ ]θω −Ω++−+−⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

−

+

mMqpnpnC

S

nm

nm22cos ) （6-24）

係數 以 j

nmpqα MIea ,,,,, ωΩ 順序為[Hwang, 2001]：

128

)2(21 qpnGFab npqnmpnmpq +−=α

][ pnqpneGFeeb npqnmpnmpq 2)2()1(

)1( 2/122/122 +−+−−−=α

][2/12

3

)1(sincos)2(

eImIpnGFb npqnmpnmpq −

−−=α (6-25)

2/124

)1(sin eIGF

b npqnmpnmpq −′

=α

]npqnmpnpqnmpnmpq GFeIIGF

eeb ′

−−′⎢

⎣

⎡ −= 2/12

2/125

)1(sincos)1(α

⎢⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤+−−′

−−+=

nmpqnpqnpqnpqnmpnmpq

nqpnGGeeGnFb

ψα

&)2(3)1()1(2

26

其中

θ為格林威治視恒星時

++nmnm SC and 為 n-m 是偶數的完全正規化球諧係數

−−nmnm SC and 為 n-m 是奇數的完全正規化球諧係數

nmpF 為完全正規化傾角函數

)(eGnpq 為離心率函數

且

( ) ( )( ) ( )

( )∑

∑∑

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−−−⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−

−=

−

==−

−−

c

kc

sm

s

t

ttn

tmn

nmp

ctpsm

cstmn

ism

tmntntitniF

21

cos!2!!2

sin!2200

22

2max

（6-26）

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

2int mnk

( )kpt ,minmax =

129

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )⎪⎪⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−±≠+−

−±=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′−+

−

−=

∑

∑∞

=

−′

=

′−+

−

npqQP

npqed

pndpnd

n

eeG

k

knpqknpqk

nq

p

d

pnd

n

npq

2 when ,1

2when ,2

2222

1

11

0

22

1

0

22

5.02

βββ

⎩⎨⎧

≥−≤

=′2 if ,2 if ,

nppnnpp

p （6-27）

211 ee−+

=β （6-28）

( ) ( )∑=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ′+′−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−′

=h

r

rr

npqkqpne

rrhnp

P0 2

2!122

β （6-29）

( )∑′

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ′+′−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−′′−

=h

r

r

npqkqpne

rrhp

Q0 2

2!

12β

（6-30）

⎩⎨⎧

≥−≤

=′2 if ,2 if ,

npqnpq

q

⎩⎨⎧

′′+

=0 if ,0 if ,

qkqqk

h

⎩⎨⎧

′

=′0 if ,0 if ,

qqkqk

h

ne

nmpq aanb )(

ψ&= (6-31)

3aGMn = (6-32)

)()2()2( θωψ &&&&& −Ω++−+−= mMqpnpnnmpq (6-33)

eG

GI

FF npqnpqnmp

nmp∂

∂=′

∂∂

=′

, (6-34)

(6-33)式中 為格林威治視恆星時約等於平均地球自轉速度 7.292115×10θ& -5 rad

s-1， 由下列式子計算： ,, M&&ω Ω&

130

Iae

aCn e 2222

220 cos

)1(23−

=Ω&

)cos51()1(4

3 2222

220 I

aeaCn e −

−=ω& (6-35)

)1cos3()1(4

3 222/32

220 −

−−= I

aeaCnnM e&

其中 為二階帶諧係數(約-0.00108263)。 20C

最後，將（6-17）、（6-18）及（6-22）式之 A、B、C 矩陣代入（6-14）、（6-15）

式中得

11221

1

12

2

21212 CBCBSSVS

SVVVV

TTTTTTT −=∂∂

⋅∂∂

−∂∂

⋅∂∂

=∂∂

−∂∂

=∂∂

βββββ （6-36）

11221

1

12

2

21212 CACAS

SXS

SXXXX

TTTTTTT−=

∂∂

⋅∂∂

−∂∂

⋅∂∂

=∂∂

−∂∂

=∂∂

βββββ （6-37）

再將（6-36）、（6-37）式代入（6-13）式，可得

βρρβρρ

βρρρ

∆⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−∆⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

∆⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+−=∆

−⋅

−

−

11T

12T

121

1T1222

T12

T12

12

T12

1122T

12T

121

1122T12

)(e)(e

))(()(e

CAeVBCAeVB

CACAeVCBCB

&&

&&

β∆= H （6-38）

6.3 軌道坐標與慣性坐標之轉換及其偏導數

在 6.2 節中公式（6-16）及（6-17）係衛星在慣性坐標系之位置及速度對克卜勒元素之偏導數，其推導過程如下：

首先說明克卜勒軌道坐標與慣性坐標之轉換，圖 6-2 及（6-39）式係表示衛星 m在克卜勒坐標系坐標（ px ， py ）與克卜勒元素之關係，（6-40）式為衛星在克卜

勒坐標系之速度（ ， ）。 px& py&

131

克卜勒軌道坐標及速度以克卜勒元素表示如下

( )

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅−

−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

0sin1

cos2 Eea

eEa

zyx

rp

p

p

p （6-39）

圖 6-2 克卜勒軌道面坐標系

ae px

pyE fr

m

Yp

Xp

( )

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⋅⋅⋅−

−⋅⋅−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

0

1coscos1

sincos1

2eEEe

a

EEe

a

zyx

r

p

p

p

pµ

µ

&

&

&

& （6-40）

式中

( ) 3,cos1 anEeµ

=⋅− Mean angular velocity ar =

GM=µ 圖 2-7 所示克卜勒軌道元素與慣性坐標系之關係，可將克卜勒軌道坐標及

速度

由

轉換至慣性坐標系，其轉換公式如（6-41）、（6-42）式：

( ) ( )MeariPXZYX ⎤⎡

p

I

,,,, ⋅Ω==⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

ω （6-41）

132

( ) ( MeariPVZYX

p

I

,,,, &&

&

&

⋅Ω==⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ω ) （6-42）

因此，衛星慣性坐標及速度對克卜勒元素之偏導數如（6-43）至（6-46）式，即 6.2 節之公式（6-16）、（6-17）式。

( ) S ,, ii

p

i Sr

iPSX

∂

∂⋅Ω=

∂∂ ω 為 a, e, M （6-43）

S ipii

rSP

SX

⋅∂∂

=∂∂

為 Ω, w, i （6-44）

( )i

p

i Sr

iPSV

∂

∂⋅Ω=

∂∂ &,, ω （6-45）

pii

rSP

SV &⋅

∂∂

=∂∂ （6-46）

式中

( )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡Ω−Ω+Ω−Ω+ΩΩΩ−Ω−Ω−Ω

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡Ω−ΩΩΩΩ−Ω

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ΩΩΩ−Ω

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−−−−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡Ω−Ω−−Ω−Ω−

=

−−Ω−==Ω

iiiiii

iii

iiii

iicis

iiii

iiii

RiRRPiP

coscossinsinsinsincoscoscoscossinsinsincoscoscossin

sinsincoscossinsincossincossincoscos

1000cossin0sincos

cossin0sincoscoscossin

sinsincossin

1000cossin0sincos

cossin0sincos0001

1000cossin0sincos

1000)cos()sin(0)sin()cos(

)cos()sin(0)sin()cos(0

001

1000)cos()sin(0)sin()cos(

)()()(,, 313

ωωωωωωωωωω

ωωωω

ωωωω

ωωωω

ωω

= （6-47） ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

333231

232221

131211

PPPPPPPPP

S , iiS

P∂∂

為 Ω, w, i，其偏導數推導如下

133

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅Ω⋅⋅Ω−⋅Ω−⋅⋅Ω−⋅Ω⋅Ω⋅⋅Ω−⋅Ω⋅⋅Ω−⋅Ω−

=Ω∂∂

000sinsincoscossinsincossincossincoscossincoscoscoscossinsinsincoscoscossin

iiiiii

P ωωωωωωωω

= （6-48） ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−−

000131211

232221

PPPPPP

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅−⋅⋅⋅Ω−⋅Ω−⋅⋅Ω+⋅Ω−⋅⋅Ω+⋅Ω−⋅⋅Ω−⋅Ω−

=∂∂

0sinsincossin0sincoscoscossincoscoscossinsin0sincossincoscoscoscossinsincos

ωωωωωωωωωω

ωii

iiii

P

= （6-49） ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

000

3132

2122

1112

PPPPPP

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅

=∂∂

iiiiii

iii

iP

sincoscossincoscoscoscossincossinsincos

cossincossinsinsinsinsin

ωωΩωΩωΩΩωΩωΩ

= （6-50） ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

636261

535251

434241

PPPPPPPPP

而 iS , i

p

Sr∂

∂為 a, e, M，其偏導數推導如下：

在克卜勒方程式 中 Eccentric Anomaly（E）是隱函數，所以先處理 E 對 M、e 之偏導數。

EeME sin+=

因為 ， EeEM sin−=

所以ra

EeMEEe

EM

=−

=∂∂

⇒−=∂∂

cos11cos1 （6-51）

令

rEa

EeE

dedE

EdedEEedEEedeE

dEEfde

efdf

EefEeEM

sincos1

sinsin)cos1(

0)1cos(sin

0

),(0sin

=−

==>

=−=>=−+⋅

=∂∂

+∂∂

=

==+−

134

ax

eEax pp =−=∂

∂cos （6-52）

ay

eEay pp =−=∂

∂ 2/12 )1(sin （6-53）

EeEaa

EeEEaa

dedEEaa

eEaa

ex p

cos1sin

cos1sinsin

sin

)cos(

2

−⋅

−−=

−⋅−−=

⋅−−=

∂∂

+−=∂

∂

（6-54）

而由 2/12 )1(sin eEay p −=

所以

)1(sin

)1(sin

2

22

2222

eay

Ea

eEay

p

p

−=

−=

代入上式

得 ( ) )1()1(cos1 22

2

2

ery

aeEea

ya

ex ppp

−−−=

−−⋅−−=

∂

∂ （6-55）

( )

)1(

)1)(cos1()(cos

)cos1)(1(cos

)cos1)(1(coscoscos

cos1cos

1)1(sin

cos1sincos)1()1(sin

cos)1(2)1(21sin

)sin()1()1(sin

2

2

2

2

22

22/12

2/122/12

2/122/12

2/122/12

eryx

eEeaeEay

EeeeEy

EeeEeEEeey

EeE

eeeEa

EeEEaeeEae

dedEEaeeeEa

eEae

eeEa

ey

pp

p

p

p

p

−

⋅=

−−−

=

−−−

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−++−=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−+

−−

−=

−−+−−=

⋅−+−⋅−⋅⋅=

∂∂

−+∂−∂

=∂

∂

−

−

（6-56）

135

nx

er

ayeEe

yeEe

eEaEe

Ea

ME

Ex

Mx

pp

p

pp

&=

−

−=

−−

−=

−−

−−=

−−=

∂∂

⋅∂

∂=

∂

∂

2

2

2

2

1

1)cos1(

1)cos1(

1sincos11sin

（6-57）

ny

reaxea

reaEa

EeaeEaEe

eEaMEeEa

ME

Ey

My

p

p

pp

&=

⋅+⋅−=

−⋅⋅=

−−

=

−−

=

∂∂

−=

∂∂

⋅∂

∂=

∂

∂

)()1(

)1(cos)cos1()1(cos

cos1)1(cos

)1(cos

2/12

2/12

2/122

2/12

2/12

（6-58）

公式（6-52）至（6-58）可整理成下式

( )( )

( )

( ) ⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

=∂

∂

ny

eryx

ay

nx

ery

aax

Meayx

pppp

ppp

T

Tpp

&

&

2

2

2

1

1,,,

（6-59）

衛星在克卜勒軌道面的速度對克卜勒元素的偏導數推導如下：

136

ax

Eea

Ea

Ee

aE

ax

p

p

2

)cos1(2

)sin(

cos1

)21(sin 2

3

&

&

−=

−

−=

−

−⋅⋅−=

∂

∂−

µ

µ

（6-60）

ay

ay pp

2&& −

−=∂

∂ （6-61）

( )]1sin1

)(cos2[)(

]sin)(cos2[)(

])sin1(cos2[)(

)]cos(sincoscos2[)(

]sincos2cos2[

])cos1(

sin)cos1(

)cos1(cos2[

])cos1(

sincos1

cos2[cos1

sin

])cos1(

sin)cos1(

sin)cos1(

cossin)cos1(

sin)cos1(

cos[

)]sincos()cos1(sin)cos1(

cos[

])cos1()cos1(sincos)cos1[(

])cos1(sin)(sin)cos1[(

])cos1([sin

2

222

22

22

22

2222

222

2

22

22

22

2

2

2

2

2

2

2

21

11

1

aeEa

ee

aeEa

rax

EeeErax

eEeErax

EEeEeErax

EeEeErax

EeaEea

EeaEeEax

EeEe

EeE

EeE

a

EeE

EeEe

EeEE

EeE

EeE

a

eEEeEEeE

eE

EeE

a

eEeEeE

eEEEe

a

eEeE

eEEe

a

EeEeae

x

p

p

p

p

p

p

p

−⋅−

+−

=

+−=

−−−=

+−−=

−−=

−−

−−

=

−−

−−−=

−−−

−+

−−−=

∂∂

+−−−∂∂

−−=

∂−∂

−−∂∂

−−=

∂−∂

+∂

∂−−=

−∂∂

−=∂

∂

−

−−

−−

−

&

&

&

&

&

&

&

µ

µ

µ

µ

µ

µ

])(1

2[)( 222

ay

ee

ax

rax ppp −

+= & （6-62）

137

eEeEEe

eEeE

eEeEe

ra

a

EeEEEeeE

EeEeE

eEeEe

ra

a

eEEeEeE

eEeEeeEEe

Eea

eEeeE

eeEEe

Eeaey p

∂∂

−+∂∂

−−−

−−=

−−−+

−−−

−

−−=

∂∂

+−−−

∂∂

−−−−−−

=

∂−∂

−−∂

−∂−

−=

∂

∂

−

2/122

2

2

22

2

2

2

2/12

2/122/122

2/122

2

)1(sincos1sin1cos)cos1[()(

]cos1

sinsincos1cos

)cos1

sin1sin1cos)(cos1[()(

)]sincos()1(cos

))1(sin)2()1(21)(coscos1[(

)cos1(1

])cos1()1(cos)1(cos)cos1[()cos1(

1

µ

µ

µ

µ&

])(cos[1

1)(

])cos1(

)1(sincos)(cos[11

1)(

]cos1sin)1()(cos[cos

11)(

]cos1

)1(sincoscoscoscos[1

1)(

])1(coscos1

sin)1(sin)1(

)cos)(cos1([)(

])1(sincos1cos

2

2

2

2222

2

2

22

2

2

2222222

2

2

2/1222/122/12

2

2/1222

ry

Exer

an

EeaeEa

aEeEa

aera

a

EeEeeEE

era

a

EeeEEeEEeEe

era

a

eEEe

EeEe

EeEera

a

eEeEEeeE

pp −

−=

−−

−−

−=

−−

−−−

=

−−

−−++−−

=

−+−

−−−

−−=

∂∂

−−−+

µ

µ

µ

µ

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

−=

−+−

=

2

2

2

2

2

2

2

11

1)(

])([1

1)(

eay

rx

eran

ry

ax

exer

an

pp

ppp

（6-63）

138

p

pp

xran

EeaeEaa

aa

EeeE

a

EeEeEEe

a

EeEeEEeE

Eea

EeEEEe

a

EEe

E

Eea

ME

Ex

Mx

3

33

3

3

223

2

1

)(

)cos1()(cos1

)cos1()(cos

]sincos[cos)cos1(

)cos1(sinsin)cos1(cos

cos1

))cos1((sincos1

)cos1

sin(

cos1

−=

−−

−=

−−

−=

−−−

−=

−⋅⋅−−

−

−=

−∂∂

−

−=

∂−

∂

−

−=

∂∂

∂

∂=

∂

∂

−

µ

µ

µ

µ

µ

µ

&&

（6-64）

( )

p

pp

yran

EeaeEaa

aa

EeeE

a

EeEEeEEeE

Eee

a

EeEeEEeE

Eee

a

EeEEEe

ea

ME

Ey

My

3

33

23

3

2

2

2

2

2

12

)(

)cos1(1sin1

)cos1(1sin

])cos1(

sincossincossin[cos1

1

)cos1(sincos)cos1(sin

cos11

))cos1((coscos1

1

−=

−−

−=

−−

−=

−−−−

−−

=

−+⋅−−−

−−

=

−∂∂

−−

=

∂∂

∂

∂=

∂

∂

−

µ

µ

µ

µ

µ

&&

（6-65）

139

將（6-47）至（6-58）式代入（6-43）及（6-44）式，並將iS

X∂∂

按 Miea ,,,,, ωΩ 順

序排列，則得（6-16）式 A 矩陣各元素之形式，即

ayP

axP

aXA PP ⋅⋅=∂∂

= 121111 ＋

)1()1( 21222

1112 eryxP

eryaP

eXA PPP

−⋅+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−⋅=∂∂

=

ppPP yPxPyixiiXA ⋅+⋅=⋅⋅⋅Ω+⋅⋅⋅Ω=∂∂

= 424113 cossinsinsinsinsin ωω

PP yPxPXA ⋅−⋅−=Ω∂∂

= 222114

PP yPxPXA ⋅−⋅=∂∂

= 111215 ω

raexea

Per

ayPMXA PP

)()1(

)1(

2

1221116+−

⋅+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−−⋅=

∂∂

=

ayP

axP

aYA PP ⋅⋅=∂∂

= 222121 ＋

)1()1( 22222

2122 eryxP

eryaP

eYA PPP

−⋅+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−⋅=∂∂

=

ppPP yPxPyixiiYA ⋅+⋅=⋅⋅⋅Ω−⋅⋅⋅Ω−=∂∂

= 525123 cossincossinsincos ωω

PP yPxPYA ⋅+⋅=Ω∂∂

= 121124

PP yPxPYA ⋅−⋅=∂∂

= 212225 ω

raexea

Per

ayPMYA PP

)()1(

)1(

2

2222126+−

⋅+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−−⋅=

∂∂

=

ay

Pax

PaZA pp ⋅+⋅=∂∂

= 323131

)1()1( 2322

2

3132 eryx

Per

yaP

eZA ppp

−⋅+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−−⋅=

∂∂

=

140

pppp yPxPyixiiZA ⋅+⋅=⋅⋅+⋅⋅=∂∂

= 626133 coscossincos ωω

034 =Ω∂∂

=ZA

pp yPxPZA ⋅−⋅=∂∂

= 313235 ω

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ +−⋅+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

⋅−⋅=

∂∂

=r

aexeaP

er

yaP

MZA pp

)(1

1

2

3223136

將公式（6-47）至（6-50）及（6-60）至（6-65）式代入（6-45）及（6-46）式，

並將iS

V∂∂

按 Miea ,,,,, ωΩ 順序排列，則得 6.2 節（6-17）式 B 矩陣各元素之形式，

即

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=

∂∂

=a

yP

ax

PaXB pp

22 121111&&&

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−⋅+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

∂∂

=)1(11

2 2

222

212

2

2

2

1112 eay

rx

ra

enP

ay

ee

ax

raxP

eXB ppppp&&

pppp yPxPyixiiXB &&&&&

⋅+⋅=⋅⋅⋅Ω+⋅⋅⋅Ω=∂∂

= 424113 cossinsinsinsinsin ωω

pp yPxPXB ⋅−⋅−=Ω∂∂

= 222114 &&

pp yPxPXB &&&

⋅−⋅=∂∂

= 111215 ω

pp yranPx

ranP

MXB ⋅

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−⋅+⋅

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−⋅=

∂∂

=3

12

3

1116

&

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=

∂∂

=a

yP

ax

PaYB pp

22 222121&&&

( )⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

−⋅+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅=

∂∂

= 2

222

222

2

2

2

2122 1112

eay

rx

ra

enP

ay

ee

ax

raxP

eYB ppppp&&

141

pppp yPxPyixiiYB &&&&&

⋅+⋅=⋅⋅⋅Ω−⋅⋅⋅Ω−=∂∂

= 525123 cossincossinsincos ωω

pp yPxPYB &&&

⋅+⋅=Ω∂∂

= 121124

pp yPxPYB &&&

⋅−⋅=∂∂

= 212225 ω

pp yranPx

ranP

MYB ⋅

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−⋅+⋅

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−⋅=

∂∂

=3

22

3

2126

&

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=

∂∂

=a

yP

ax

PaZB pp

22 323131&&&

( )⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

−⋅+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅=

∂∂

= 2

222

232

2

2

2

3132 1112

eay

rx

ra

enP

ay

ee

ax

raxP

eZB ppppp&&

pppp yPxPyixiiZB &&&&&

⋅+⋅=⋅⋅+⋅⋅=∂∂

= 626133 coscossincos ωω

034 =Ω∂∂

=ZB&

pp yPxPZB &&&

⋅−⋅=∂∂

= 313235 ω

pp yranPx

ranP

MZB ⋅

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−⋅+⋅

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−⋅=

∂∂

=3

32

3

3136

&

6.4 求解地位係數

在 6.2 節中公式（6-38）為觀測量與未知數之線性關係，若共有 n 個時刻之

RR 觀測量，則可得觀測方程式：

1, −=∑∆=+ PHvL L oσβ （6-66）

其中 P 為權矩陣， β∆ 之最小二乘解則為：

PLHPHH TT 1)( −=∆β （6-67）

142

β∆ 之協變方矩陣為：

120 )(ˆˆ

−∆ =Σ PHH

Tσβ （6-68）

unPvvT

−=20σ̂ （6-69）

u為 β∆ 未知數個數。在軌道或大地參數(geodetic parameter)的求解過程中，由

於資料無法分布全球(polar gap)及混疊(aliasing effect)問題，會造成法方程式奇

異，因此常需要對未知參數加以約制條件 [Reigber, 1989]。吾人可以透過適當的

權 (weight) 組成條件方程，再與原始觀測方程式一起平差求解未知參數。在最

近許多求解重力的研究中，常使用修改過的Kaula[1966]地位模式變方

(variances)，如（5-32）式，即假設LX 為某地位模式之觀測量，則權矩陣為：

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

XPP

P0

0l

其中， )1( 2

nX diagP σ= ，是由 組成的對角線矩陣。在此，吾人假設

L 與 L

2/1 nσ

X 為非相關的觀測量，因此其非對角元素為’零’。

（6-40）式即可寫成

PLHPPHH x1)( +=∆β TT − （6-70）

而其變方協變方則為

120 )(ˆˆ

−∆ +=Σ x

T PPHHσβ （6-71）

其實 RR 並非只是地位之函數，亦含有其他引力如 N-body、日月引力、海

潮、固體潮引力等。必須扣除這些擾動力，而使（6-13）式為一正確函數式。非

引力部分將利用衛星上之加速度儀（accelerometer）量出而在資料處理時預扣此

項。但在本研究中係利用模擬資料，並無此問題。

143

6.5 高階及共振效應

在本研究中僅處理 Keplerian 線性擾動理論，由於高階的擾動並非地位係數

的線性函數，本研究並未直接計算高階的擾動，又當 nmpqψ& 接近 0 時，會產生共

振情形，即Mnmpq

&

&ψ < 0.01 時(6-25)式的係數會變的相當大，因此在本研究中當

Mnmpq

&

&ψ < 0.01 時，吾人令其係數 ，因此對以上二種情形，吾人可以下列

簡單的經驗公式[Colombo,1984]來處理高階擾動及共振效應：

0=inmpqα

(6-72) +++++=∆ utauauauaa iiiii cos2sinsincos 4321012ρ&

2982

72

65 sincossin tatautautautaiiiii ++++

式中 t 為自參考時刻起算之時間，當然這些參數也會吸收部分初始狀態向量

及力模式誤差。至於選擇多少個參數，應視實際計算測試而定，本研究選擇 10

參數及 5 參數分析。

6.6 GRACE 資料及計算結果分析

本研究分析之資料為利用交大研發之軌道積分程式，模擬兩顆 GRACE 衛星

7 天軌道資料，自 2002 年 10 月 4 日至 2002 年 10 月 11 日，每分鐘一筆資料（如

圖 6-3），以 OSU91A 重力場資料為近似重力場作軌道積分，並求得兩顆衛星之

距離變化率(range rate)為近似距離變化率，再以 EGM96 重力場作軌道積分，並

求得兩顆衛星之距離變化率作為觀測量。模擬步驟及數據如下：

克卜勒元素 GRACE-A GRACE-B

長半徑(km) 6855.225 6855.225

離心率 0.002602 0.002602

軌道傾角 89.009 89.009

昇交點赤經 328.097 328.097

144

近地點角 146.783 146.783

平近點角 141.064 143.064

（ a）利用 OSU91A 重力場係數積分得 GRACE-A、GRACE-B 之慣性坐標

( ) 000000 ,,,,, ZYXZYX &&&

即得 t, 0202

01

01 ,,, XXXX

&& 並計算參考之 range rate

))((01

02

01

020

102

012

012

012 XX

XXXXeX−−

−=⋅= &&&&ρ

= [ ] [ ]20

102

201

02

201

02

01

02

01

02

01

020

102

01

02

01

02

)()()(,,,,

ZZYYXXZZYYXXZZYYXX−+−+−

−−−−−− &&&&&& （6-73）

（b）利用 EGM96 地位係數積分得 GRACE-A、GRACE-B 之慣性坐標

),,,,,( ZYXZYX &&&

即得 t, 2211 ,,, XXXX&& 並計算觀測之 range rate

))((12

1212121212 XX

XXXXeX−−

−== &&&&ρ

=(2

122

122

12

121212121212

)()()(

),,(),,

ZZYYXX

ZZYYXXZZYYXX

−+−+−

−−−−−− &&&&&& （6-74）

（c）計算殘餘 range rate (residual RR)

0121212 ρρρ &&& −=∆

（d）組成觀測量

t, 2222221111111212 ,,,,,,,,,,,,, ZYXZYXZYXZYX &&&&&&&& ρρ∆

模擬之 GRACE-B 在前 GRACE-A 在後，兩顆衛星在一天當中相距 240

145

km~300 km如圖 6-4。由圖 6-5可知兩顆衛星在一天當中，其距離變化率在-1.5 m/s

~2.5 m/s 之間，且具有相當規律的變化，此乃是受到 的影響。利用 OSU91A

地位係數計算兩衛星之距離變化率 當近似值，以 EGM96 地位係數計算兩衛

星之距離變化率

2J

012ρ&

12ρ& 當觀測量，其二者之差異（ 12ρ&∆ ）如圖 6-6 之紅色曲線（真

值），其差異仍有受 影響之規律趨勢，藍色部分是利用本文開發之理論預估之

殘餘距離變化率（Predict Residual Rate,理論值），一天當中約 8 小時在振幅與頻

率方面有相當程度與真值較吻合，其它時段振幅與頻率較不吻合，由於衛星 Mean

Anomaly 變化相當大，嘗試從 Mean Anomaly 著手解決頻率問題，振幅問題應從

數值解決（

2J

nmpqψ& 值太小）。

為解決高階擾動及共振效應，本文以經驗公式，利用 5 參數及 10 參數來修

正殘餘之距離變化率，其修正後殘餘距離變化率之振幅與理論值吻合程度均較

未修正前吻合程度為佳，且以 10 參數修正較 5 參數修正為佳，如圖 6-6、圖 6-7。

圖 6-3 模擬的 GRACE-A 衛星七天的軌跡

146

圖 6-4 模擬一天 GRACE-A 和 GRACE-B 兩衛星的距離

圖 6-5 利用 EGM96 地位係數模擬之 GRACE-A、GRACE-B 軌道之距離變化率（range rate, 12ρ& ）

147

圖 6-6 利用 EGM96 和 OSU91A 地位係數模擬之 GRACE-A、GRACE-B軌道之距離變化率差異（residual range rate, 12ρ&∆ ）與本文理論預估之距離變化率差異的比較

圖 6-7 利用經驗公式 10 參數、5 參數修正 residual range rate 與修正前之比較

148