数理生物学演習

第10回　セル・オートマトン  

本日の目標

•  パターンを作る  

•  セル・オートマトン  

•  ライフゲーム  

セルオートマトン  （CA:Cellular  Automaton）

•  生命現象によく見られる”自己組織化”を表現するために作られたモデル

•  格子状に並ぶ数値（セル）を、局所的ルールの下で変化させ続ける

•  単純さの割に面白い結果が出るので、プログラムの練習にはうってつけ！

セル・オートマトン　Cellular  Automaton

セルの“状態”を，局所的なルールに従い更新してゆくことで，“計算”を行う離散的なモデル

1次元セル・オートマトン

仮定

•  セルが１次元的に並んでいる•  セルは状態“0”または“1”のいずれかをもつ•  セルは自身と近傍の状態により次のステップでの状態が決まる

ある時間でのセルの状態 時間発展を記録していく

初期条件と境界条件について

� 初期条件時間発展するシステムを計算する場合、「初期値の決め方」を考える必要がある。CAの場合、中央だけ「1」か、あるいは全部ランダムに割り振るなどすれば良い。

� 境界条件空間構造のあるシステムを計算する場合、「端の値の決め方」を考える必要がある。CAの場合、両端を常に「0」か、あるいは右端と左端が隣接しているという扱いにすれば良い。 周期境界条件

と呼ばれる。 （イメージ→）

1次元セル・オートマトン

状態“1”

状態“0”

遷移ルール(2近傍)

自分が状態０で、左隣が状態０で、右隣が状態０なら次は状態０になる。

i

i+1

時間

場所

j j-1 j+1

例１

i

i+1

時間

場所

j j-1 j+1

自分が状態０で、左隣が状態０で、右隣が状態１なら次は状態１になる。

1次元セル・オートマトン

状態“1”

状態“0”

遷移ルール(2近傍)

1 0 0 1 1 1 0 0

1×27+0×26+1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+0×20=178 ルール178

•  一次元セルオートマトンのルールにはすべて名前が付いている

•  ルールを次のような表に書いたとき、次の時刻の内部状態を並べると二進数になっている。これを十進数に直したものがルールの名前になる。

•  隣り合う３つのセル（2x2x2）の状態によって次のセルの状態が決まる。８個の場合について、0か1か決めるので2^8=256通りのルールが考えられる。

ウルフラムのクラス Wolfram  (1983)

クラス1セルの状態がすべて同じになり，変化が起こらない．

クラス2安定したパタンに落ち着き変化が周期的になる．

クラス3全体がランダムに振る舞う．

ただし，決定論的．

クラス4あるときは規則的なパタンを示し，あるとき

はランダムに振る舞う．

複雑系 カオスリミットサイクル平衡点

秩序安定

無秩序不安定

クラス4で“複雑さ”が最大になる生命現象はここにあるのかも？

ライフゲーム　Conway’s  Game  of  Life

2次元のセル・オートマトンの特殊な場合

かなり，色々なパタンが観察できる

仮定

•  各セルは状態“生”と“死”をもつ•  誕生，生存，死亡のプロセスを経て，“生”と“死”の状態を更新する

•  ８近傍のセルの状態により次の状態がきまる•  遷移ルールは誕生，維持，過疎，過密の４つ

８近傍中ちょうど３つが“生”ならば次のステップで“生”

誕生 過疎

過密 維持

８近傍中ちょうど2つが“生”ならば次のステップで更新なし

８近傍中“生”が１つ以下ならば次のステップで“死”

８近傍中“生”が４つ以上ならば次のステップで“死”

ライフゲームにみられるパタン

固定物体  still  life

振動子  oscillators

銃  guns

長寿  methuselahs　

ブリンカー

ブロック グライダー銃

ダイハード

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1次元セルオートマトン

//9-­‐1.    1次元セル・オートマトン

#include  <stdio.h>    int  main(void){      int  t,i;      int  cell[100];      int  tempcell[100];        FILE  *fp;      fp=fopen("CA.txt","w");        //配列の初期化

for(i=0;i<100;i++){          cell[i]=0;          tempcell[i]=0;      }        //初期条件

cell[50]=1;      for(i=0;i<100;i++){          fprinX(fp,"%d  ",cell[i]);      }      fprinX(fp,"\n");                    

         for(t=;t<100;t++){    //一番左,セル0    if(cell[99]==1){      if(cell[0]==1){      f(cell[1]==1){      tempcell[0]=1;      }      if(cell[1]==0)  {      tempcell[0]=0;      }    }      if(cell[0]==0){      if(cell[1]==1){      tempcell[0]=1;      }      if(cell[1]==0)  {      tempcell[0]=1;      }    }    }                      

   if(cell[99]==0){    if(cell[0]==1){      if(cell[1]==1){    tempcell[0]=0;    }    if(cell[1]==0)  {      tempcell[0]=0;    }    }    if(cell[0]==0){    if(cell[1]==1){      tempcell[0]=1;      }    if(cell[1]==0)  {    tempcell[0]=0;    }    }  }                              

 //中

for(i=1;i<99;i++){    if(cell[i-­‐1]==1){    if(cell[i]==1){    if(cell[i+1]==1){    tempcell[i]=1;    }    if(cell[i+1]==0)  {    tempcell[i]=0;    }    }    if(cell[i]==0){    if(cell[i+1]==1){    tempcell[i]=1;    }    if(cell[i+1]==0)  {    tempcell[i]=1;    }    }    }

関数ruleの定義

あまり賢い関数の定義の仕方ではない．余裕のある人はもっと優れた実装方法を考えてみてください．

1次元セルオートマトン

         

 if(cell[i-­‐1]==0){    if(cell[i]==1){    if(cell[i+1]==1){    tempcell[i]=0;    }    if(cell[i+1]==0)  {    tempcell[i]=0;    }    }    if(cell[i]==0){    if(cell[i+1]==1){    tempcell[i]=1;    }    if(cell[i+1]==0)  {    tempcell[i]=0;    }    }    }    }  

                 

   

 //一番右,99    if(cell[98]==1){    if(cell[99]==1){    if(cell[0]==1){    tempcell[99]=1;    }    if(cell[0]==0)  {    tempcell[99]=0;    }    }    if(cell[99]==0){    if(cell[0]==1){    tempcell[99]=1;    }    if(cell[0]==0)  {    tempcell[99]=1;    }    }    }                          

       if(cell[98]==0){    if(cell[99]==1){    if(cell[0]==1){    tempcell[99]=0;    }    if(cell[0]==0)  {    tempcell[99]=0;    }    }    if(cell[99]==0){    if(cell[0]==1){    tempcell[99]=1;    }    if(cell[0]==0)  {    tempcell[99]=0;    }    }    }                          

     /*-­‐-­‐-­‐-­‐情報の更新と出力-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐*/          for(i0;i<100;i++){              cel[i]=tempcell[i];              fprinX(fp,"%d  ",cell[i]);          }          fprinX(fp,"\n");          /*-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐情報の更新と出力ここま

で-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐*/      }        fclose(fp);      return  0;  }

続き

ルール178

周期境界条件

 “端”同士が張り合わされていると考える．

プログラムを組むときも，この部分の処理は注意！

固定端

 “端”の値を与えて，変動しないとする．

例えば，この端で常に状態“0”

エクセルのヒント

１．データを貼付けた後、列の幅を調整してセルを正方形にする

表の左上の角を押して  全選択をする

列AとBの間を  ダブルクリック

ズームアウトして全体像を見る

•  示する

この数字を35に変更

条件付き書式で値が「1」のセルだけ強調表示する

あとはOKを押す

ライフゲーム

ライフゲームのプログラムを組んでみてください．

9-­‐2.

•  境界条件は周期を採用してください•  格子のサイズは50×50で作ってください．

やるべきこと•  初期条件の設定•  状態遷移ルールの実装•  境界条件の処理•  結果の出力

８近傍中ちょうど３つが“生”ならば次のステップで“生”

誕生 過疎

過密 維持

８近傍中ちょうど2つが“生”ならば次のステップで更新なし

８近傍中“生”が１つ以下ならば次のステップで“死”

８近傍中“生”が４つ以上ならば次のステップで“死”

二次元配列

�  と宣言すると8個のint型変数 　  が作られる �  for(i=0;i<2;i++){

for(j=0;j<4;j++){ を使って初期化する

int x[2][4];x[0][0] x[0][1] x[0][2] x[0][3] x[1][0] x[1][1] x[1][2] x[1][3]

　 0 1 2 … n-2 n-1

0 　 　 　 　 　 　1 　 　 　 　 　 　2 　 　 　 　 　 　… 　 　 　 　 　 　

m-2 　 　 　 　 　 　m-1 　 　 　 　 　 　

データ型  配列名[m][n];

n個

m個

m×n個のデータ型変数が作られる ただし、要素の番号は0から始まる

※データ型…intとかdoubleのこと

配列名[m-2][2] という名前の データ型変数

ライフゲーム（ヒント）

         //配列の初期化

for(i=0;i<50;i++){        for(j=0;j<50;j++){          cell[i][j]=0;          tempcell[i][j]=0;      }  }      //初期条件

for(i=0;i<50;i++){              for(j=0;j<50;j++){  

 if(i+j<50){      cell[i][j]=1;    }    }  

}    for(i=0;i<50;i++){    for(j=0;j<50;j++){  

       fprinX(fp,"%d  ",cell[i][j]);      }  

   fprinX(fp,"\n");    }  

   

   ・・・・・・・・・・・      

       for(i=1;i<49;i++){  for(j=1;j<49;j++){  live=0;  //８近傍の様子を確認

 if(cell[i-­‐1][j-­‐1]==1){    live++;    }    if(cell[i-­‐1][j]==1){    live++;    }    if(cell[i-­‐1][j+1]==1){    live++;    }    if(cell[i][j-­‐1]==1){    live++;    }    if(cell[i][j+1]==1){    live++;    }    if(cell[i+1][j-­‐1]==1){    live++;    }    if(cell[i+1][j]==1){    live++;    }  

 if(cell[i+1][j+1]==1){    live++;    }        //セルi,jの次の状態の決定

if(live<=1){    tempcell[i][j]=0;    }    if(live==2){    tempcell[i][j]=cell[i][j];    }    if(live==3){    tempcell[i][j]=1;    }    if(live>=4){    tempcell[i][j]=0;    }  }  }    

いろいろな初期配置を試してみましょう

境界の部分は自分で行列を書いて確認しましょう

ライフゲーム

エクセルを使ってアニメーションを表現しますが、 ちょっと設定が複雑なので、あらかじめファイルを用意しておきました。 ↓のページへ行き、”課題用エクセルファイル”をクリックして ダウンロードしてください。 http://bio-math10.biology.kyushu-u.ac.jp/~haenoh/CompBio2015 そのあと、”出力結果”のシートに結果を貼付けてください。

お知らせ

• 次回は6/29(月)です

ライフゲーム

50

50

i=1〜48, j=1〜48はヒントにあるやり方で出来る。

i=0,  j=0  

i=0,  j=49  

i=49,  j=49  

i=49,  j=49  

i=0,    j=1〜48

i=1〜48,    j=49

スクリーンショットの取り方

1)  shia  +  command  +  4  を同時押し

2)  撮りたい範囲をドラッグする

3)  デスクトップにファイルが出来ているはず