結び目の位置と曲面 - 駒澤大学w3c/lecture/pdf/musubime.pdf · 3.1.5 ステイト...
TRANSCRIPT
結び目の位置と曲面
小沢 誠
平成 23 年 3 月 18 日
3
目 次
まえがき 5
第 I部 予備知識 7
第 1章 多様体 9
1.1 多様体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 部分多様体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
第 2章 結び目 13
2.1 結び目の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 結び目の同値性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
第 II部 結び目の位置と曲面 15
第 3章 結び目の位置 17
3.1 正則表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.1.1 交代正則表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.1.2 正正則表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.1.3 有理タングルと代数タングル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.1.4 プレッツェル結び目とモンテシノス結び目と代数結び目 . . . . . . . . . . . . . . . . 193.1.5 ステイトとステイト曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.1.6 σ-充足正則表示と σ-等質正則表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.1.7 代数的交代正則表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 橋位置とモース位置 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
第 4章 結び目の曲面 23
4.1 ザイフェルト曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2 閉曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.3 タングル分解球面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.4 補間曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
第 5章 結び目の基本定理 25
5.1 結び目補空間定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.2 結び目双曲化定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.3 結び目特性分解定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4
第 6章 結び目の曲面に関する補題 27
6.1 基本的な 3次元多様体の中の曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276.2 本質的曲面の交わり . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296.3 ハンドル体の圧縮不可能曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296.4 結び目外部の圧縮不可能曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306.5 ロンジチュードの一意性と境界スロープの定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316.6 橋位置における閉曲面の本質的モース位置 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
第 III部 結び目補空間の本質的曲面 35
第 7章 ザイフェルト曲面 37
7.1 圧縮不可能ザイフェルト曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377.2 最小種数ザイフェルト曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377.3 ファイバーザイフェルト曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387.4 チェッカーボード曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387.5 村杉和分解定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407.6 本質的ステイト曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
第 8章 タングル分解球面 45
8.1 素分解球面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458.2 交代結び目のタングル分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458.3 自由タングル分解を持つ結び目のタングル分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458.4 ダブルトーラス結び目のタングル分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468.5 細い位置における細いレベル球面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468.6 橋分解球面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
第 9章 閉曲面 49
9.1 スモール結び目 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499.2 経線的結び目 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509.3 圧縮不可能閉曲面のウエスト . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519.4 圧縮不可能閉曲面の位数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
第 10章 閉曲面と他の曲面の関係 53
10.1 ハーケン和に関する基本的正規曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5310.2 タングル分解と圧縮不可能閉曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5310.3 経線的結び目外部の非経線的本質的曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5310.4 非自由ザイフェルト曲面と位数 0の圧縮不可能閉曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
第 11章 補間曲面 55
11.1 代表性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5511.2 共存性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5611.3 ニューワース予想 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5
まえがき
3次元空間内の自己交差のない閉曲線を結び目という。二つの結び目が 3次元空間内で自己交差をせずに移り合うとき、同値であるという。結び目理論とは、結び目の同値類に関する学問であり、位置を対象とし
た数学であるので位相幾何学の一分野とされる。与えられた二つの結び目が同値であるかどうかを判定し、
もし同値であるならばどのように変形すれば移り合うか記述することは、結び目理論の基本的問題である。
結び目が 3次元空間内で取り得る位置は無限にあるので、この結び目の同値問題が難しいことが感じられるであろう。しかし、これはまた、結び目理論の面白さでもある。
今、3次元空間が透明な粘土で出来ていると考えて、結び目はその粘土に色が着けられていると想像してみよう。このとき、結び目の変形は次のように考えられる。粘土が決して途切れないように、こねたり、伸
ばしたり、捩じったりする。この粘土の変形の過程で、色が着いた結び目も、こねられたり、伸ばされた
り、捩じられたりする。その結果、3次元空間は変形されているが依然として 3次元空間であり、その変形後の 3次元空間内には色の着いた結び目が生き残っている。このように考えてみると、結び目理論とは、色の着いた結び目を含む 3次元空間の変形であるとも見なせる。しかしながら、透明な 3次元空間は依然として 3次元空間なので、変形の痕跡は何も残らない。そこで、結び目以外にも、透明な 3次元空間に色を着けてみよう…。
本書では、結び目補空間内の曲面を扱う。空間は 3次元で結び目は 1次元であるので、その間の 2次元である曲面は結び目に関する情報を多く含んでいる。今、結び目の補空間に埋め込まれた曲面を考える。3次元空間を変形することで、結び目が変形されていくが、曲面も同時に変形されていく。従って、変形前の
結び目に対する変形前の曲面の性質は、変形後の結び目に対する変形後の曲面の性質に引き継がれる。つ
まり、ある性質を持つ曲面が結び目の補空間に存在するかしないかという結び目の性質は、結び目が取り得
る位置に関して有効な情報を与えている。
3次元空間が 2次元の平面と 1次元の直線との直積であることを利用して、結び目の標準的な位置が大きく分けて二つ与えられる。先ずは、2次元平面への射影によって得られる正則表示がある。正則表示は、結び目の図を 2次元の平面である紙に描いたものであり、結び目理論の研究において古くから用いられている。次に、2次元の平面に垂直な 1次元の直線への射影によって得られるモース位置がある。モース位置は、結び目を‘縦に’置いたものであり、極大点及び極小点を除けば、1次元の直線方向に単調となっているものである。一般に、正則表示が比較的単純な結び目を精密に扱うのに適している一方で、モース位置は
比較的複雑な結び目を大雑把に扱うのに適している。
結び目補空間に埋め込まれた曲面は、大きく四つに分類される。先ず、結び目を境界として持つ向き付け
可能な曲面であるザイフェルト曲面があり、古くから結び目理論の研究で重要な役割を果たしてきている。
次に、結び目と垂直に交わる球面であるタングル分解球面がある。特に、結び目と 2点で交わるタングル分解球面は結び目の素因子分解球面であり、4点で交わるタングル分解球面はコンウェイ球面と呼ばれ、共に結び目の標準的な分解を与える。次に、結び目と交わらない閉曲面がある。特に、種数 1の閉曲面、即ちトーラスを補空間に持つ結び目はサテライト結び目と呼ばれ、良く研究されている。最後に、結び目を非
分離的閉曲線として含むような閉曲面を補間曲面と言う。特に、種数 1の補間曲面、即ちトーラス上に含まれる結び目はトーラス結び目である。
本書では、上で述べたような位置と曲面との関係について深く扱う。
第I部
予備知識
9
第1章 多様体
1.1 多様体
定義 1.1.1 (位相多様体). 可算開基を持つハウスドルフ空間M が n次元多様体であるとは、M の各点が
Rnまたは Rn+ = {(x1, . . . , xn) ∈ Rn|xn ≥ 0}に同相な近傍を持つときをいう。ここで、Rnに同相な近傍を
持つ点からなる集合をM の内部といい、intM と表す。また、Rn+ に同相な近傍を持つ点からなる集合を
M の境界といい、∂M と表す。M がコンパクトかつ ∂M = ∅のとき、M は閉であるという。
注 1.1.2. ラドー [51]により、任意の 2次元位相多様体は、唯一の区分線形構造及び微分構造を持つことが示されている。更に、ポアンカレとケーベにより、任意の 2次元位相多様体は、唯一の幾何構造を持つことが示されている。また、モイズ [31]により、任意の 3次元位相多様体は、唯一の区分線形構造及び微分構造を持つことが示されている。更に、ペレルマンにより、任意の 3次元位相多様体は、球面とトーラス及びクラインの壺による分解後、幾何構造を持つことが示されている。
これらの結果により、3次元においては、位相多様体、区分線形多様体、微分可能多様体の間の区別はなくなり、各分野における結果を自由に使うことができる。
例 1.1.3. Sn = {(x1, . . . , xn, xn+1) ∈ Rn+1|x21 + · · ·+ x2
n + x2n+1 = 1}を n次元球面という。Snは閉 n次
元多様体である。Bn = {(x1, . . . , xn) ∈ Rn|x21 + · · · + x2
n ≤ 1}を n次元球体という。Bn は n次元多様体
であり、∂Bn = Sn−1 である。S1 をループ、B1 をアークという。
定理 1.1.4 (1次元多様体の分類). 任意の連結な閉 1次元多様体は、S1 に同相である。また、任意の連結
なコンパクト 1次元多様体は、S1 または B1 に同相である。
例 1.1.5. 2次元球面 S2内に n個の点 p1, . . . , pn を取り、互いに交わらない開近傍 U1, . . . , Un を取る。こ
のとき、S2 − (U1 ∪ · · · ∪Un)を平面的曲面といい、Pnと表す。P1をディスク、P2をアニュラス、P3をパ
ンツという。
例 1.1.6. 1次元球面の直積で得られる 2次元多様体 S1 × S1 をトーラスといい、T 2 と表す。2次元球面S2 = {(x1, x2, x3) ∈ R3|x2
1 + x22 + x3
3 = 1}の対心点 (x1, x2, x3)と (−x1,−x2,−x3)を同一視して得られる2次元多様体を射影平面といい、RP 2 と表す。
定義 1.1.7 (向き付け可能性). 2次元多様体 X が向き付け可能であるとは、X 内の任意のループ lに対し
て、N(l)がアニュラスであるときをいう。また、X が向き付け不可能であるとは、N(l)がメビウスの帯となるようなループ lが存在するときをいう。
定義 1.1.8. トーラス T 2 内に点 pを取り、開近傍 U を取る。T 2 − U を一つ穴あきトーラスという。平面
的曲面 Pg+b (g ≥ 0, b ≥ 0)の g 個の境界成分に対して、g 個の一つ穴あきトーラスの境界を同一視して得
られる閉 2次元多様体を境界成分数 b、種数 gの向き付け可能曲面といい、Fg,b と表す。
射影平面 RP 2 内に点 pを取り、開近傍 U を取る。RP 2 − U をメビウスの帯という。平面的曲面 Ph+b
(h ≥ 1, b ≥ 0)の h個の境界成分に対して、h個のメビウスの帯の境界を同一視して得られる閉 2次元多様体を境界成分数 b、種数 hの向き付け不可能曲面といい、Nh,b と表す。
10 第 1章 多様体
定理 1.1.9 (2次元多様体の分類). 任意の連結な閉 2次元多様体は、Fg,0 (g ≥ 0)または Nh,0 (h ≥ 1)のいずれかに同相である。また、任意の連結なコンパクト 2次元多様体は、Fg,b (g ≥ 0, b ≥ 0)または Nh,b
(h ≥ 1, b ≥ 0)のいずれかに同相である。連結なコンパクト 2次元多様体を曲面という。
1.2 部分多様体
定義 1.2.1 (埋め込み). X を n次元多様体とし、Y をm (> n)次元多様体とする。連続写像 f : X → Y
が埋め込みであるとは、f : X → f(X)が同相写像であるときをいう。埋め込み f : X → Y が適切である
とは、f(intX) ⊂ intY かつ f(∂X) ⊂ ∂Y を満たすときをいう。
埋め込まれた多様体X ⊂ Y が点 p ∈ X において局所平坦であるとは、pの近傍 U が存在し、(U,U ∩X)が (Rm, Rn)または (Rm
+ , Rn+)に同相であるときをいう。本書では、全ての埋め込みは局所平坦であると仮
定する。
定義 1.2.2 (多様体の変形). f, g : X → Y を埋め込みとし、I = [0, 1]を単位区間とする。f と gがホモトピックであるとは、連続写像 F : X × I → Y が存在し、F |X×{0} = f かつ F |X×{1} = g
を満たすときをいう。このとき、F を f と g の間のホモトピーという。各 t ∈ I に対して、F |X×{t} = Ft
とおく。
f と gがイソトピックであるとは、f と gの間のホモトピー F : X × I → Y が存在し、各 t ∈ I に対し
て、Ft : X → Y が埋め込みであるときをいう。このとき、F を f と gの間のイソトピーという。
f と g がアンビエントイソトピックであるとは、イソトピー G : Y × I → Y が存在し、G0 = idY かつ
G1f = gを満たすときをいう。このとき、Gを f と gの間のアンビエントイソトピーという。
定義 1.2.3 (一般の位置). m次元多様体 Y に埋め込まれた ni次元多様体Xi (i = 1, 2)が横断的に交わるとは、任意の点 p ∈ X1∩X2の近傍U が存在し、(U,U ∩X1, U ∩X2)が (Rm, Rn1 ×{0}m−n1 , {0}m−n2 ×Rn2)または (Rm−1 × R+, Rn1 × {0}m−n1 × R+, {0}m−n2 × Rn2 × R+)に同相であるときをいう。
X1 と X2 が一般の位置にあるとは、X1 と X2 が n1 + n2 − m次元部分多様体で横断的に交わるときを
いう。
(R3, R2 × {0}, {0} × R2) (R3, R2 × {0}, {0}2 × R) (R3+, R × {0} × R+, {0} × R × R+)
定理 1.2.4 (一般の位置の補題). 埋め込まれた多様体 X1, X2 ⊂ Y に対して、イソトピーが存在して、X1
とX2 が一般の位置にあるようにできる。
定義 1.2.5 (モース位置). i : S3 → R4を包含写像、f : R4 → {0}3 ×Rを第 4座標への射影とし、h = f ◦ i
とおく。hを S3 の標準的なモース関数（高さ関数）という。t ∈ (−1, 1) ⊂ Rに対し、h−1(t)をレベル t
におけるレベル球面という。S3 の標準的なモース関数を扱うとき、S3 に埋め込まれた多様体は、北極点
+∞ = (0, 0, 0, 1)及び南極点 −∞ = (0, 0, 0,−1)と交わらないと仮定する。
1.2. 部分多様体 11
S3 に埋め込まれた 1次元多様体 X がモース位置にあるとは、有限個のレベル球面 Sti= h−1(ti) (i =
1, . . . , n)が存在して、次を満たすときをいう。
1. 各 iについて、X ∩ Sti は唯一の極大点または極小点 pi を含む。
2. X − {p1, . . . , pn}は各レベル球面と横断的に交わる。
S3 に埋め込まれた 2次元多様体 X がモース位置にあるとは、有限個のレベル球面 Sti = h−1(ti) (i =1, . . . , n)が存在して、次を満たすときをいう。
1. 各 iについて、X ∩ Sti は唯一の極大点または極小点または鞍点（サドル）pi を含む。
2. X − {p1, . . . , pn}は各レベル球面と横断的に交わる。
極大点 z = −x2 − y2
鞍点（サドル） z = x2 − y2
定理 1.2.6 (モースの補題). 3次元球面 S3 の標準的なモース関数 h : S3 → Rに関して、S3 に埋め込まれ
た 1次元多様体または 2次元多様体は、イソトピーにより、モース位置にあるようにできる。
定義 1.2.7 (本質的 1次元多様体). 2次元多様体 F に適切に埋め込まれたループ αが非本質的であるとは、
F 内のディスク Dで、∂D = αとなるものが存在するときをいう。αが非本質的でないとき、本質的であ
るという。
F に適切に埋め込まれたアーク αが非本質的であるとは、F 内のディスクDで、∂D = α ∪ β, α ∩ β =∂α = ∂β（βは ∂F 内のアーク）となるものが存在するときをいう。αが非本質的でないとき、本質的であ
るという。
定義 1.2.8 (圧縮不可能曲面). 3次元多様体M に適切に埋め込まれた向き付け可能曲面 F が圧縮可能であ
るとは、F がディスクのとき、∂M 内のディスクDとM 内の 3次元球体Bで、∂F = ∂Dかつ ∂B = F ∪D
となるものが存在するときをいい、F が球面のとき、M 内の 3次元球体Bで、∂B = F となるものが存在
するときをいい、その他の場合、M 内のディスク Dで、D ∩ F = ∂Dかつ ∂Dは F 内で本質的なループ
となるものが存在するときをいう。F が圧縮可能でないとき、圧縮不可能であるという。
12 第 1章 多様体
定義 1.2.9 (境界圧縮不可能曲面). 3次元多様体M に適切に埋め込まれた向き付け可能曲面 F が境界圧縮
可能であるとは、M 内のディスクDで、D ∩F = ∂D ∩F = αが F 内に適切に埋め込まれた本質的なアー
クであり、かつD ∩ ∂M = ∂D − intαが ∂M 内のアークとなるものが存在するときをいう。F が境界圧縮
可能でないとき、境界圧縮不可能であるという。
定義 1.2.10 (境界平行). 3次元多様体M に適切に埋め込まれた向き付け可能曲面 F が境界平行であると
は、埋め込み h : F × [0, 1] → M で、h(F × {0}) = F かつ h(F × [0, 1]) ∩ ∂M = h(∂F × [0, 1] ∪ F × {1})となるものが存在するときをいう。即ち、F は ∂M 内の部分曲面にイソトピックである。
定義 1.2.11 (本質的曲面). 3次元多様体M に適切に埋め込まれた向き付け可能曲面 F が本質的であると
は、F が圧縮不可能かつ境界圧縮不可能であり、境界平行でないときをいう。
注 1.2.12. 向き付け不可能曲面 F ⊂ M に関しては、向き付け可能曲面 ∂N(F )がM 内で圧縮不可能かつ
境界圧縮不可能であり、境界平行でないとき本質的であるという。
定義 1.2.13 (既約と境界既約). 3次元多様体M が既約であるとは、M 内に圧縮不可能な球面が存在しな
いときをいう。また、M が境界既約であるとは、M 内に圧縮不可能なディスクが存在しないときをいう。
定義 1.2.14 (経線的圧縮不可能曲面). M を 3次元多様体とし、T をM 内に適切に埋め込まれた 1次元多様体とする。F をM 内に適切に埋め込まれた向き付け可能曲面で、F ∩ T = ∅であるか、または T と横断
的に交わるものとする。
M 内のディスクDで、D ∩ F = ∂Dかつ |D ∩ T | = 1を満たすもののうち、∂Dが F 内で本質的である
か、または F 内のディスクD′ で |D′ ∩ T | > 1を満たすものを ∂Dが張るとき、Dを経線的圧縮ディスク
という。F が経線的圧縮ディスクを持つとき、経線的圧縮可能であるといい、F が経線的圧縮可能でない
とき、経線的圧縮不可能であるという。
F が T と 2点で交わる球面の場合、3次元球体Bが存在して、∂B = F かつ T ∩BがB内の自明なアー
クのとき、F は経線的圧縮可能であるという。
練習問題 1.2.15. F が圧縮不可能曲面であるとき、F を経線的圧縮して得られる曲面は圧縮不可能である
ことを示せ。
定義 1.2.16 (経線的本質的曲面). 3次元多様体と 1次元多様体の組 (M,T )に適切に埋め込まれた向き付け可能曲面 F が経線的本質的であるとは、F が圧縮不可能かつ経線的圧縮不可能かつ境界圧縮不可能であ
り、境界平行でないときをいう。
13
第2章 結び目
2.1 結び目の定義
定義 2.1.1. S1 の S3 への埋め込みまたはその像を結び目という。本書では、局所平坦性を仮定する。
2.2 結び目の同値性
定義 2.2.1. 二つの結び目 f : S1 → S3 と g : S1 → S3 が同値であるとは、アンビエントイソトピー
G : S3 × I → S3 が存在し、G0 = idS3 かつ G1f = gを満たすときをいう。
練習問題 2.2.2. 次の結び目が同値であることを示せ。
第II部
結び目の位置と曲面
17
第3章 結び目の位置
h : S3 → Rを標準的なモース関数とする。結び目 K は ±∞ = (0, 0, 0,±1)と交わらないようにする。S3 − {±∞}は S2 × Rと同相であるので、射影 p : S2 × R → S2 × {0}が存在する。
3.1 正則表示
射影 p : S3−{±∞} → S2に関して、Kの多重点が二重点のみであり、各二重点において p(K)が横断的に交わるとき、p(K)をKの正則射影という。p(K)の交点 xにおいて、p−1(x) = {x+, x−} (h(x+) > h(x−))とおくとき、p(x−)の近傍を削除し、p(K)に上下の情報を与えたものをK の正則表示という。
3.1.1 交代正則表示
結び目K の正則表示 K において、K に沿って進んで一周回るとき、上交差点と下交差点が交互に現れ
るものを交代正則表示という。交代正則表示を持つ結び目を交代結び目という。
練習問題 3.1.1. 任意の正則射影において、交点の上下を適当に付けることで交代正則表示が得られること
を示せ。
3.1.2 正正則表示
結び目K の正則表示 K において、向きを任意に付けたとき、どの交点の符号も正であるものを正正則表
示という。正正則表示を持つ結び目を正結び目という。
練習問題 3.1.2. 任意の正則射影において、交点の上下を適当に付けることで正正則表示が得られることを
示せ。
3.1.3 有理タングルと代数タングル
先ず、次の四つの基本タングルを用意する。
+1 −1 0 ∞
二つのタングル T1 と T2 の和 T1 + T2 および、回転 T ∗1 を次のように定義する。
18 第 3章 結び目の位置
+ =T1 T2T1 T2
和 T1 + T2
T1
*
= T1
回転 T ∗1
有理タングルは、次のように帰納的に定義される。
1. 四つの基本タングルは有理タングルである。
2. 有理タングルと ±1の基本タングルの和は有理タングルである。
3. 有理タングルの回転は有理タングルである。
有理タングルから有理数への写像 f を次のように定義する。
1. +1, −1, 0, ∞の基本タングル T に対して、f(T )はそれぞれ +1/1, −1/1, 0/1, 1/0である。
2. タングル和に関して、f(T1 + T2) = f(T1) + f(T2)である。
3. タングルの回転に関して、f(T ∗) = − 1f(T ) である。
f(T )を、有理タングル T のスロープという。スロープ p/qの有理タングルを R(p/q)で表す。
定理 3.1.3 ([7]). 有理タングルから有理数への写像 f は全単射である。即ち、境界を固定した有理タング
ルの同値類は、有理数と一対一に対応する。
代数タングルは、次のように帰納的に定義される。
1. 有理タングルは代数タングルである。
2. 代数タングルと代数タングルの和は代数タングルである。
3. 代数タングルの回転は代数タングルである。
タングル T の ‘北側’の二つの端点同士、‘南側’の二つの端点同士を繋いで得られる絡み目を T の分子と
いい、N(T )で表す。タングル T の ‘東側’の二つの端点同士、‘西側’の二つの端点同士を繋いで得られる絡み目を T の分母といい、D(T )で表す。
T1
T1
分子N(T ) 分母D(T )
有理タングル R(p/q)の分子N(R(p/q))は、2橋結び目である。
3.1. 正則表示 19
3.1.4 プレッツェル結び目とモンテシノス結び目と代数結び目
結び目 K が K = N(R(±1/q1) + · · · + R(±1/qn))と表されるとき、K をプレッツェル結び目といい、
P (±q1, . . . ,±qn)で表す。結び目 K が K = N(R(p1/q1) + · · · + R(pn/qn)) と表されるとき、K をモンテシノス結び目といい、
M(p1/q1, . . . , pn/qn)で表す。結び目K がある代数タングル T に対してK = N(T )と表されるとき、K を代数結び目という。
プレッツェル結び目とモンテシノス結び目と代数結び目の間には、{プレッツェル結び目 } ⊂ {モンテシノス結び目 } ⊂ {代数結び目 }の関係がある。
練習問題 3.1.4. プレッツェル結び目 P (−2, 3, 3)は、トーラス結び目 T (3, 4)と同値であることを示せ。
3.1.5 ステイトとステイト曲面
K を S3 内の結び目とし、D を 2 次元球面 S2 = h−1(0) 上の K の正則表示とする。S2 は S3 を二つ
の 3次元球体 B± = h−1([0,±1])に分けている。C = {c1, . . . , cn}を Dの交点から成る集合とする。写像
σ : C → {+,−}をDのステイトという。
交点を有理タングルと見たとき、スロープ +1の交点を、スロープ∞の交点に置き換える操作を +-ス
ムージングといい、スロープ 0の交点に置き換える操作を −-スムージングという。各交点 ci ∈ C に対して、符号が σ(ci) = +または −に従い、+-スムージングまたは −-スムージングをとる。このとき、S2 上
にループの集まり l1, . . . , lmを得る。これを、ステイトループという。Lσ = {l1, . . . , lm}をステイトループから成る集合とする。
各ステイトループ liは B−内で唯一のディスク diを張る。これらのディスクは互いに交わらないと仮定
して良い。各交点 cj と、cj から σ(cj)-スムージングで得られたステイトループ li, lk に対して、cj を復元
するように半捻りのバンド bj をディスク di, dk に付ける。このようにして、ディスク d1, . . . , dmとバンド
b1, . . . , bn から成る曲面を得る。これを σ-ステイト曲面といい、Fσ で表す。
b
d d
ll
S
B
B
+
-
2
ji
k
i k
jc
ディスク diを頂点 viとみなし、バンド bj を辺 ej とみなすことで、Fσ からグラフGσ を得る。ここで、
各辺 ej は、σ(cj)と同じ符号を持つとする。グラフ Gσ を σ-ステイトグラフという。
一般に、グラフはブロックと呼ばれる連結かつ切断頂点を持たない部分グラフに分解される。
3.1.6 σ-充足正則表示と σ-等質正則表示
正則表示 Dが σ-充足であるとは、Gσ がループを持たないときをいう。正則表示 Dが σ-等質であると
は、Gσ の各ブロックについて全ての辺が同じ符号を持つときをいう。
20 第 3章 結び目の位置
正ステイト σ+を、全ての jについて σ+(cj) = +を満たすステイトと定義する。同様に、負ステイト σ−
を全ての j について σ−(cj) = −を満たすステイトと定義する。ザイフェルトステイト σを、結び目の向きに従ったスムージングで定まるステイトと定義する。Fσ は、
通常のザイフェルト曲面である。
正則表示Dが等質であるとは、Dがザイフェルトステイト σに対して、σ-等質であるときをいう。Dは
自動的に σ-充足であることに注意する。なぜなら、σ-ステイト曲面 Fσ は向き付け可能であり、従ってGσ
はループを持たないからである。
正則表示 Dが半充足であるとは、Dが正ステイト σ+ または負ステイト σ− に対して、σ-充足であるときをいう。Dは自動的に σ±-等質であることに注意する。なぜなら、全ての jについて σ±(cj) = ±を満たすからである。
正則表示 Dが充足であるとは、Dが正ステイト σ+ 及び負ステイト σ− の両方に対して、σ-充足であるときをいう。Dは自動的に σ±-等質であることに注意する。なぜなら、全ての jについて σ±(cj) = ±を満たすからである。
例 3.1.5. Dを 4交点 c1, c2, c3, c4を持つ 8の字結び目の正則表示とする。σ-ステイト曲面を作る為、例えば σ(c1) = σ(c2) = −かつ σ(c3) = σ(c4) = +とする。σ-ステイトグラフ Gσ はループを持たず、各ブ
ロックの全ての辺は同じ符号を持つので、Dは σ-充足かつ σ-等質である。ここで、Gσ のブロック分解は、
Fσ の村杉分解に対応していることに注意する。
c c
c
c
d
dd
l
l
l
b b
b
b
diagram σstate -stateloops surface
σ-ステイト曲面作成の例
v
v
v
e e
e e
- -
+ +
-stateσ
v
v
v
e e
e e
- -
+ +
v
blocksgraph
σ-ステイト曲面に対応する σ-ステイトグラフとブロック分解
3.1. 正則表示 21
d
dd
b b
b
b
-state
d
d
b b
dd
b
b
σ surface
ブロック分解に対応する村杉分解
例 3.1.6. 正正則表示Dに対して、ステイト σが存在して、σ-充足かつ σ-等質となる。実際、全ての cj に
対し、ステイト σを σ(cj) = +、即ち正ステイト σ+とすれば良い。または、σを標準的ザイフェルト曲面
Fσ が得られるようなステイト、即ちザイフェルトステイト σとしても良い。ここで、これらのステイト σ+
と σは正正則表示では一致することに注意する。
例 3.1.7. 無駄な交点を持たない交代正則表示Dに対して、二つのステイト σ1, σ2が存在し、Dは i = 1, 2に関して σi-充足かつ σi-等質となる。実際、σ1 = σ+（または σ1 = σ−）かつ σ2 = σとすれば良い。
3.1.7 代数的交代正則表示
2次元球面 S2 = h−1(0)上に、連結な 4正則グラフ Gをとる。Gの頂点を代数タングルに置き換えるこ
とで、結び目または絡み目 K の正則表示 K を得る。各代数タングル (B, T )を、(B, T )のスロープが正、負、0、∞に従って、それぞれスロープ 1, −1, 0, ∞の有理タングルに置き換える。この結果得られる正則表示を基本であるといい、K0と表す。正則表示 K が代数的交代であるとは、基本正則表示 K0が交代で
あるときをいう。結び目または絡み目K が代数的交代であるとは、K が代数的交代正則表示を持つときを
いう。
代数的交代正則表示 K 基本正則表示 K0
22 第 3章 結び目の位置
以上で述べた正則表示のクラスに対して、包含関係から導かれるハッセ図を描くと次のようになる。
結び目正則表示の包含関係によるハッセ図
3.2 橋位置とモース位置
標準的なモース関数 h : S3 → Rに関して、結び目 K がモース位置にあるとは、有限個のレベル球面
Sti = h−1(ti) (i = 1, . . . , n)が存在して、各 iについて X ∩ Sti は唯一の極大点または極小点 pi を含み、
X − {p1, . . . , pn}は各レベル球面と横断的に交わるときをいう。ri ∈ R (i = 1, . . . , n + 1)を、ri < ti < ri+1 (i = 1, . . . , n)を満たすように選ぶ。レベル球面 Sri = h−1(ri) (2 ≤ i ≤ n)が太い球面であるとは、|Sri−1 ∩ K| < |Sri ∩ K|かつ |Sri ∩ K| >
|Sri+1 ∩K|を満たすときをいう。レベル球面 Sri = h−1(ri)が細い球面であるとは、|Sri−1 ∩K| > |Sri ∩K|かつ |Sri ∩ K| < |Sri+1 ∩ K|を満たすときをいう。
定義 3.2.1. 結び目K が橋位置にあるとは、K が hに関してモース位置にあり、細いレベル球面を持たな
いときをいう。即ち、唯一の太いレベル球面である橋分解球面を持ち、それがK の極大点全てと極小点全
てを分離している。
定義 3.2.2. 結び目K の幅 w(K)を
w(K) = minK
n∑i=2
|Sri ∩ K|
で定義する。ここで、minはK の全てのモース位置に関してとる。
結び目K が細い位置であるとは、それが w(K)を実現しているときをいう。
23
第4章 結び目の曲面
結び目K の補空間に埋め込まれた曲面 F の中で、∂F = K、F ∩K = ∅、F t K、F ⊃ K のいずれかを
満たすものが基本的である。これらは、それぞれザイフェルト曲面、閉曲面、タングル分解球面、補間曲面
と呼ばれる。下記の定義にあるように、基本的な結び目及び絡み目の性質が曲面によって定められている。
4.1 ザイフェルト曲面
向き付け可能曲面 F で、∂F = K を満たすものをK のザイフェルト曲面という。
定義 4.1.1. 結び目が種数 0のザイフェルト曲面、即ちディスクを張るとき、K は自明であるという。
4.2 閉曲面
閉曲面 F で、F ∩ K = ∅を満たすもの、即ち F ⊂ S3 − K であるもののうち、S3 − K 内で圧縮不可能
なものを圧縮不可能閉曲面という。
定義 4.2.1. 絡み目 Lが種数 0の圧縮不可能閉曲面、即ち球面を補空間に含むとき、Lは分離的であるとい
う。結び目K が種数 1の圧縮不可能閉曲面、即ちトーラスを補空間に含むとき、K はサテライトであると
いう。
4.3 タングル分解球面
閉曲面 F で、F t K を満たすもののうち、F −K が圧縮不可能な球面であり、F ∩E(K)が境界平行なアニュラスでなければ、F はK の本質的タングル分解球面であるという。ここで、|F ∩ K|/2をタングル分解のストリング数という。
定義 4.3.1. 結び目K が本質的 1-ストリングタングル分解を持つとき、K は合成であるという。結び目K
の本質的 2-ストリングタングル分解球面を、本質的コンウェイ球面という。
4.4 補間曲面
閉曲面 F で、F ⊃ K を満たすもののうち、F −K が連結かつ圧縮不可能であり、F ∩E(K)が境界平行なアニュラスでなければ、F はK の補間曲面であるという。
定義 4.4.1. 結び目K が種数 1の補間曲面、即ちトーラスに含まれるとき、K はトーラス結び目であると
いう。
定理 4.4.2 ([56]). 結び目が、自明でもサテライトでもトーラスでもないとき、双曲結び目である。
25
第5章 結び目の基本定理
5.1 結び目補空間定理
定理 5.1.1 ([16]). 二つの結び目が同値である為の必要十分条件は、それらの補空間が同相であることである。
5.2 結び目双曲化定理
定理 5.2.1 ([56]). 任意の結び目は、自明な結び目かトーラス結び目かサテライト結び目かまたは双曲結び目である。
5.3 結び目特性分解定理
結び目 K は、サテライト結び目でないときシューベルト的単純という。3次元多様体M と 1次元多様体 T の組 (M,T )がコンウェイ的単純であるとは、(M,T )内に本質的コンウェイ球面が存在しないときをいう。
定理 5.3.1 ([6]). 任意のシューベルト的単純な結び目 (S3, K)に対して、次を満たす一意的な曲面G ⊂ S3
が存在する:
(a) Gの成分は互いに平行でない経線的圧縮不可能コンウェイ球面である;
(b) S3−Gの各閉包成分N について、組 (N,K ∩N)はコンウェイ的単純かまたはモンテシノス対である;
(c) Gからどの成分を取り除いても、性質 (b)は満たされない。
ここで、(M,T )がモンテシノス対であるとは、下図の球面のいくつかを有理タングルで埋めて得られる多様体対である。
27
第6章 結び目の曲面に関する補題
6.1 基本的な3次元多様体の中の曲面
定理 6.1.1及び 6.1.4は、3次元球面及び 3次元球体には圧縮不可能な曲面が存在しないことを述べている。一般に、圧縮不可能な曲面は簡単な 3次元多様体には入り難く、複雑な 3次元多様体には入り易い。
定理 6.1.1. 3次元球面内に適切に埋め込まれた曲面は圧縮可能である。
Proof. 先ず、3次元球面 S3 は ∂S3 = ∅であるから、S3 内に適切に埋め込まれた曲面 F も ∂F = ∅、即ち閉曲面であることに注意する。S3の標準的なモース関数を h : S3 → Rとする。定理 1.2.6より、F は hに
関してモース位置にあるとして良い。
もし、F が鞍点を持たなければ、F は極大点と極小点を一つずつ持つ球面である。この場合、ジョルダ
ンの閉曲線定理によって、F の任意の正則点 pに関して h−1(h(p))∩F はレベル球面上のループであり、二
つのディスク領域に分けている。このことから、F は S3 を二つの 3次元球体に分けていることが分かり、圧縮可能である。
以下、F が鞍点を持つと仮定する。
F の鞍点において、レベル球面との交わりで生じるループのうち、二つのループが接するが、それらの
いずれも F 上で本質的であるとき、鞍点は本質的であるという。
p
R
q
F
pは非本質的、qは本質的
今、F に非本質的な鞍点が存在したとし、最も内側の非本質的な鞍点を pとする。即ち、pで接する二つ
のループ l1と l2のうち、少なくとも一方のループ（例えば l1とする）に対して F 上のディスクDが存在
して、∂D = l1 かつ intDが他の鞍点を含まないものとする。intDは鞍点を含まないので、唯一の極大点または極小点を含む。一般性を失うことなく、intDは極大点 qを含むとする。よって、Dは h−1([h(p), 1))内で、pを含むレベル球面 h−1(h(p))上のディスクD′ に平行である。
28 第 6章 結び目の曲面に関する補題
このとき、二つの場合 l2 ∩ intD′ = ∅または l2 ⊂ D′が考えられる。先ず、後者の場合 l2 ⊂ D′の場合を
考えよう。Dの極大点 pから北極点+∞への hに関して単調なアーク αで、α∩F は F の極大点のみから
成るものをとる。今、α ∩ F の各極大点における F 内の近傍を αに沿って+∞を超えるようイソトープする。この操作で、F の極大点、極小点および鞍点は変化しないことに注意しよう。極大点 pの F 内におけ
る近傍が+∞を超えたので、DはディスクD′′ = h−1(p)− intD′へ h−1([h(p), 1))内で平行となっている。よって、このディスクD′′ に関して、前者の場合 l2 ∩ intD′′ = ∅に帰着される。次に、前者の場合 l2 ∩ intD′ = ∅を考えよう。D は h−1([h(p), 1))内でディスク D′ に平行であるから、
D ∪D′は h−1([h(p), 1))内の 3次元球体Bを張る。BはD′ × I の構造を持つことに注意する。Bの直積構
造に沿ってDからD′へ F をイソトープする。ここで、intB ∩ F も直積構造に沿ってイソトープしている
ことに注意する。このとき、Dの極大点または極小点と、鞍点 pが解消される。以上の操作により、F の
鞍点は全て本質的であるとして良い。
F の全ての鞍点は本質的であるので、あるレベル球面 S で、S ∩ F の成分のうち本質的なループを含む
ものが存在する。（例えば、本質的な鞍点の直ぐ近くのレベル球面を取れば良い。）S ∩ F の成分のうち、S
上で最も内側の本質的ループを lとし、lに対応する最も内側のディスクをDとする。このとき、intD ∩F
の成分は全て F 内で非本質的なループであることに注意する。更に、intD ∩F の成分のうち、D上で最も
内側のループを l0とし、l0に対応する最も内側のディスクをD0とする。l0は F 内で非本質的であるから、
F 内のディスク D′0 で、∂D′
0 = l0 を満たすものが存在する。Dから D0 を取り除き、代わりに D′0 を貼り
付ける。この操作で、intD ∩ F の成分、少なくとも l0、が取り除かれた。以下、同様にこの操作を繰り返
すことで、|intD ∩ F | = 0を得る。故に、D ∩ F = ∂F かつ ∂Dは F 内で本質的なループであるので、D
は F の圧縮ディスクである。
定理 6.1.1からアレキサンダーの定理が得られる。
系 6.1.2 ([3]). 3次元球面内に埋め込まれた 2次元球面は、3次元球面を二つの 3次元球体に分ける。
アレキサンダーの定理は、一般の閉曲面へ拡張される。
系 6.1.3. 3次元球面内に埋め込まれた曲面は、3次元球面を二つの部分多様体に分ける。従って、向き付け可能である。
定理 6.1.4. 3次元球体内に適切に埋め込まれた曲面は圧縮可能である。
Proof. 3次元球体 B3 内に適切に埋め込まれた曲面 F が、∂F = ∅ならば、B3 ⊂ S3 であることから、定
理 6.1.1より、F は圧縮可能である。
以下、∂F = ∅と仮定する。∂F の成分のうち、∂B3 内で最も内側のループを lとし、lが ∂B3 内で張る
最も内側のディスクをDとする。このとき、D ∩ F = ∂Dである。もし、∂Dが F 内で本質的なループな
らば、F は圧縮可能である。他方、∂Dが F 内で非本質的なループならば、F はディスクであり、B3内で
境界平行であるので、圧縮可能である。
次の定理は、互いに交わらない曲面の枚数の有限性を示している。1929年にクネーザーが球面の集まりに関して示した後、ハーケンが 1961年に圧縮不可能曲面の集まりに関して一般化したので、クネーザー-ハーケンの有限性定理と呼ばれる。
定理 6.1.5 ([27], [18]). M を既約かつ境界既約な 3次元多様体とする。このとき、整数 c(M)が存在して、任意の k > c(M)枚の互いに交わらない圧縮不可能かつ境界圧縮不可能な曲面の集まり S = {S1, . . . , Sk}に対して、ある二つの曲面 Si と Sj が平行となる。
しかし、後述するように、曲面同士の交差を許せば、一般に無限に多くの圧縮不可能曲面を含み得る。
6.2. 本質的曲面の交わり 29
6.2 本質的曲面の交わり
次の定理 6.2.1は、本質的曲面を扱う上で最も基本的な定理であり、本書の至る所で使用される。証明手順を理解し、切り貼り論法を自由に扱えるようになって欲しい。
定理 6.2.1. M を既約かつ境界既約な 3次元多様体とし、F1と F2をM 内に適切に埋め込まれた圧縮不可
能かつ境界圧縮不可能な曲面とする。このとき、F1と F2のイソトピーで、F1 ∩ F2の各成分はループまた
はアークであり、F1 内でも F2 内でも本質的であるようにできる。
Proof. 定理 1.2.4より、F1と F2は一般の位置にあるとして良い。よって、F1 ∩ F2は 1次元多様体、即ちループ及びアークから成る。F1 と F2 のイソトピーの下で、|F1 ∩ F2|を最小にとる。先ず、F1 ∩ F2のループ成分のうちで、F1内で非本質的なものが存在したとする。αを F1内で最も内側
のループとし、δを F1 内のディスクで、∂δ = αを満たすものとする。このディスク δは、δ ∩ F2 = ∂δを
満たすので、F2の圧縮不可能性から、∂δは F2内で非本質的なループでなければならない。よって、F2内
のディスク δ′で、∂δ′ = αを満たすものが存在する。ここで、δは最も内側のディスクであるので、intδはF2 と交わらないが、δ′ は F1 と交わる可能性があることに注意する。
これら二枚のディスク δと δ′から 2次元球面 S = δ ∪ δ′が作られる。M の既約性から、M 内の 3次元球体 B で、∂B = S を満たすものが存在する。もし、intB ∩ F2 = ∅の場合、B に沿った δ′ から δへのイソ
トピーで、F1 ∩ F2 のループ成分 αを除去することができる。これは、|F1 ∩ F2|の最小性に矛盾する。他方、B ⊃ F2の場合、定理 6.1.4に矛盾する。故に、F1 ∩F2の全てのループ成分は、F1内で本質的である。
同様に、F2 内でも本質的であることが証明できる。
次に、F1 ∩ F2のアーク成分のうちで、F1内で非本質的なものが存在したとする。αを F1内で最も外側
のアークとし、δを F1内のディスクで、∂δ = α∪β（βは ∂F1内のアーク）を満たすものとする。このディ
スク δは、δ ∩ F2 = ∂δかつ δ ∩ ∂M = β を満たすので、F2 の境界圧縮不可能性から、αは F2内で非本質
的なアークでなければならない。よって、F2内のディスク δ′で、∂δ′ = α ∪ β′（β′は ∂F2内のアーク）を
満たすものが存在する。ここで、δは最も外側のディスクであるので、intδは F2と交わらないが、δ′は F1
と交わる可能性があることに注意する。
これら二枚のディスク δと δ′ からディスクD = δ ∪ δ′ が作られる。M の境界既約性から、M 内の 3次元球体 Bで、∂B = D ∪D′（D′は ∂M 内のディスク）を満たすものが存在する。もし、intB ∩ F2 = ∅の場合、Bに沿った δ′から δへのイソトピーで、F1 ∩ F2のアーク成分 αを除去することができる。これは、
|F1 ∩F2|の最小性に矛盾する。他方、B ⊃ F2の場合、定理 6.1.4に矛盾する。故に、F1 ∩F2の全てのアー
ク成分は、F1 内で本質的である。同様に、F2 内でも本質的であることが証明できる。
系 6.2.2. 結び目の種数は連結和に関して加法的である。即ち、g(K1#K2) = g(K1) + g(K2)が成り立つ。
6.3 ハンドル体の圧縮不可能曲面
定理 6.1.4は、次の定理 6.3.1に拡張される。ハンドル体内の本質的曲面は、ディスクのみであることが分かる。
定理 6.3.1. ハンドル体内の圧縮不可能曲面は、境界圧縮可能であるかまたは本質的なディスクである。
Proof. V を種数 g (g ≥ 0) のハンドル体とし、F を V 内の圧縮不可能曲面とする。定理 6.1.4より、g = 0である。{D1, . . . , Dg}を V のメリディアンディスクシステムとし、D = D1 ∪ · · · ∪ Dg とおく。
定理 1.2.4より、F とDは一般の位置にあるとして良い。よって、F ∩ Dは 1次元多様体、即ちループ及びアークから成る。F のイソトピー及び {D1, . . . , Dg}の取り換えの下で、|F ∩ D|を最小にとる。
30 第 6章 結び目の曲面に関する補題
ある i (1 ≤ i ≤ g)に対して、F ∩ Di にループ成分が存在したとする。αを Di 内で最も内側のループ
とし、δをDi 内のディスクで、∂δ = αを満たすものとする。このディスク δは、δ ∩ F = ∂δを満たすの
で、F の圧縮不可能性から、∂δは F 内で非本質的なループでなければならない。よって、F 内のディスク
δ′ で、∂δ′ = αを満たすものが存在する。ここで、δ は最も内側のディスクであるので、intδ は F と交わ
らないが、δ′ は Di と交わる可能性があることに注意する。これら二枚のディスク δ と δ′ から 2次元球面S = δ ∪ δ′が作られる。ハンドル体 V は 3次元球面 S3に埋め込めるので、系 6.1.2より、V は既約である。
V の既約性から、V 内の 3次元球体 Bで、∂B = Sを満たすものが存在する。Bに沿った δ′から δへのイ
ソトピーで、F ∩ Di のループ成分 αを除去することができる。これは、|F ∩ D|の最小性に矛盾する。故に、F ∩ Dにループ成分は無いことが分かった。
次に、ある i (1 ≤ i ≤ g)に対して、F ∩ Di にアーク成分が存在したとする。
αをDi 内で最も外側のアークとし、δをDi 内のディスクで、∂δ = α ∪ β（β は ∂Di 内のアーク）を満
たすものとする。このディスク δは、δ ∩ F = ∂δ ∩ F = αかつ δ ∩ ∂M = ∂δ ∩ ∂M = β を満たしている。
もし、αが F 内で本質的なアークならば、F は境界圧縮可能であり、結論の一つを得る。
他方、αが F 内で非本質的なアークだとすると、F 内のディスク δ′で、∂δ′ = α∪β′（β′は ∂F 内のアー
ク）を満たすものが存在する。F ∩ Dはループ成分を含まないので、δ′ ∩ Dは（αを含む）アーク成分の
みから成る。δ′ ∩ D のアーク成分のうちで、δ′ 内で最も外側のアークを α′ とする。ここで、α′ はある j
(1 ≤ j ≤ g)に対して、α′ ⊂ Dj である。δ′′ を δ′ 内のディスクで、∂δ′′ = α′ ∪ β′′（β′′ は ∂F 内のアーク）
を満たすものとする（α′ = αのとき、δ′′ = δ′ かつ β′′ = β′ となる）。
もし、β′′ が ∂V − ∂D内で非本質的ならば、δ′′ はDj 内の部分ディスクへ平行である。この場合、F の
イソトピーで、|F ∩ D|を減らすことができ、|F ∩ D|の最小性に矛盾する。従って、β′′は ∂V − ∂D内で
本質的である。このとき、Dj を α′ で切り開き、δ′′ のコピーを二枚貼り合わせることで、二つのメリディ
アンディスクD′j とD′′
j を得る。メリディアンディスクシステム {D1, . . . , Dg}からDj を除き、D′j または
D′′j のいずれかを取り入れたものは、再びメリディアンディスクシステムとなる。この新しいメリディアン
ディスクシステムに対し、|F ∩D|は（少なくとも α′の分）削減されている。これは、|F ∩D|の最小性に反する。
最後に、|F ∩D| = 0、即ち F ∩D = ∅の場合を考える。V をメリディアンディスクシステム {D1, . . . , Dg}で切り開いて得られる 3次元球体を V ′とする。F ⊂ V ′であるので、定理 6.1.4より、F は V ′内では圧縮
可能である。F がディスクの場合、V ′内で境界平行であるが、F は V 内では圧縮不可能であるので、V 内
では境界平行でない。即ち、F は本質的なディスクであり、結論の一つを得る。F が球面の場合、V ′内の 3次元球体 Bで、∂B = F となるものが存在する。B ⊂ V であるので、F は V 内で圧縮可能な球面となり、
F の圧縮不可能性に矛盾する。F がディスクでも球面でもない場合、V ′内のディスクDで、D ∩ F = ∂D
かつ ∂Dは F 内で本質的なループとなるものが存在する。D ⊂ V であるので、F は V 内で圧縮可能とな
り、F の圧縮不可能性に矛盾する。
練習問題 6.3.2. 定理 6.3.1の証明において、“メリディアンディスクシステム {D1, . . . , Dg}からDj を除
き、D′jまたはD′′
j のいずれかを取り入れたものは、再びメリディアンディスクシステムとなる”ことを示せ。
6.4 結び目外部の圧縮不可能曲面
定理 6.4.1. 結び目外部内の圧縮不可能曲面は、境界圧縮不可能であるかまたは境界平行なアニュラスで
ある。
Proof. K を S3内の結び目とし、F をK の外部 E(K) = S3 − intN(K)内に埋め込まれた圧縮不可能曲面とする。F の圧縮不可能性から、∂F は ∂E(K)内で本質的なループから成ることに注意する。従って、∂F
6.5. ロンジチュードの一意性と境界スロープの定義 31
は ∂E(K)上で互いに平行なループ l1, . . . , ln であり、∂E(K)をいくつかのアニュラス A1, . . . , An に分け
ている。
今、F が境界圧縮可能であると仮定して、F が境界平行なアニュラスであることを導こう。DをF の境界圧
縮ディスクとする。即ち、D∩F = ∂D∩F = αはF 内で本質的なアークであり、D∩∂E(K) = ∂D−intα = β
は ∂E(K)内のアークである。このとき、ある iに対し、β ⊂ Ai である。
もし、βが Ai内で非本質的なアークならば、Ai内のディスクD′で、∂D′ = β ∪ β′（β′は ∂Ai内のアー
ク）を満たすものが存在する。βから β′へD′に沿ったDのイソトピーで、∂D ⊂ F とできる。αは F 内
で本質的なアークであったので、∂Dは F 内で本質的なループである。D ∩ F = ∂Dを満たしているので、
Dは F の圧縮ディスクであり、F の圧縮不可能性に矛盾する。
他方、β が Ai 内で本質的なアークであるとする。このとき、Ai − intN(β) = A′i はディスクとなる。D
に平行な二枚のディスクをA′iに貼り付けることで、ディスクD′を得る。D′ ∩ F = ∂D′を満たすので、F
の圧縮不可能性から、∂D′ は F 内で非本質的なループでなければならない。従って、F 内のディスク D′′
で、∂D′′ = ∂D′ を満たすものが存在する。よって、F はアニュラスである。また、E(K)は S3 内の連結
な部分多様体であるので、定理 6.1.2より、既約である。よって、球面D′ ∪D′′は、E(K)内で 3次元球体を張る。従って、F は境界平行なアニュラスである。
系 6.4.2. ソリッドトーラス内の圧縮不可能曲面は、本質的なディスクであるかまたは境界平行なアニュラ
スである。
Proof. 定理 6.3.1より、ソリッドトーラス内の圧縮不可能曲面は、境界圧縮可能であるかまたは本質的なディスクである。一方、定理 6.4.1において自明な結び目を取れば、ソリッドトーラス内の圧縮不可能曲面は、境界圧縮不可能であるかまたは境界平行なアニュラスであることが分かる。従って、ソリッドトーラス
内の圧縮不可能曲面が境界圧縮不可能な場合、本質的なディスクであり、境界圧縮可能な場合、境界平行な
アニュラスである。
6.5 ロンジチュードの一意性と境界スロープの定義
定理 6.5.1 (ロンジチュードの一意性). F1 と F2 を結び目 K のザイフェルト曲面とし、i = 1, 2 に対しF ′
i = Fi ∩ E(K)とおく。このとき、∂F ′1 と ∂F ′
2 は ∂E(K)上でイソトピックである。
Proof. F ′1 と F ′
2 のイソトピーで、|∂F ′1 ∩ ∂F ′
2|を最小にとる。もし、|∂F ′1 ∩ ∂F ′
2| = 0ならば、∂F ′1 と ∂F ′
2
は ∂E(K)上でイソトピックである。以下、|∂F ′1 ∩ ∂F ′
2| > 0と仮定する。A = ∂E(K) − intN(∂F ′1)とお
く。|∂F ′1 ∩ ∂F ′
2|の最小性から、∂F ′2 ∩Aの各成分は A内で本質的なアークである。従って、F ′
1及び F ′2に
向きを付けたとき、∂F ′1及び ∂F ′
2にも誘導された向きが付くが、∂F ′2は F ′
1に対し全ての点で同じ向きに交
わっている。F1 ∩ F2 のあるアーク成分を αとし、αの近傍N(α)内の F ′1 及び F ′
2 を考察しよう。
F2
F1
32 第 6章 結び目の曲面に関する補題
図から、N(α, F ′1)には、F ′
1から誘導された向きが ∂F ′1に一致しているが、N(α, F ′
2)には、F ′2から誘導
された向きが ∂F ′2と一致していないことが分かる。これは、F2が向き付け可能であることに反する。実際、
αが ∂F ′2 上で張るアークを α′ とするとき、N(α ∪ α′, F ′
2)はメビウスの帯であることからも分かる。
定義 6.5.2 (境界スロープ). 結び目K のザイフェルト曲面 F に対して、∂(F ∩E(K))の ∂E(K)上のイソトピー類をロンジチュードという。また、∂E(K)上の本質的なループでN(K)内にディスクを張るものの∂E(K)上のイソトピー類をメリディアンという。
∂E(K)上の本質的ループ αは、メリディアンmとロンジチュード lを用いて、α = pm + qlと表せる。
l = 0のとき有理数 p/qに対応させ、l = 0のとき {1/0}を対応させることで、∂E(K)上の本質的ループのイソトピー類と、Q ∪ {1/0}が 1対 1に対応する。結び目 K の外部 E(K)に埋め込まれた境界を持つ本質的曲面 F に対して、∂F のループ成分 αに対し
て、p/q ∈ Q ∪ {1/0}が定まる。この p/qを F の境界スロープという。
B(K)をK の全ての境界スロープからなる集合とする。
定理 6.5.3 ([20]). 任意の結び目K について、B(K)は有限集合である。
定理 6.5.4 ([10]). 任意の結び目K について、B(K)は少なくとも二つの要素を含む。
6.6 橋位置における閉曲面の本質的モース位置
次の定理から、結び目の橋数の加法性、サテライト結び目とコンパニオン結び目の橋数の関係、ウエスト
及び代表性と橋数の不等式、自明な結び目の橋位置の一意性が従う。本書でのメインの一つである。
S3 の標準的なモース関数を h : S3 → Rとする。F ∩ K = ∅または F ⊃ K を満たす閉曲面 F が、hに関してモース位置にあるとする。F の鞍点におい
て、レベル球面との交わりで生じるループのうち、二つのループが接するが、それらのいずれも F 上で本
質的であるとき、鞍点は本質的であるという。
F t K を満たす閉曲面 F が、hに関してモース位置にあるとする。F の鞍点において、レベル球面と
の交わりで生じるループのうち、二つのループ l1, l2 が接している。F 上のディスク Dで、∂D = li かつ
|D ∩K| ≤ 1を満たすものが存在するとき、鞍点は非本質的であるといい、非本質的でないとき鞍点は本質的であるという。
定理 6.6.1. K を橋位置にある結び目とし、F を閉曲面で F ∩K = ∅または F t K または F ⊃ K を満た
すものとする。このとき、F 及びK のイソトピーで、F が本質的モース位置にあるようにできる。
Proof. K = ∅の場合、定理 6.1.1の証明で示した通りである。F ∩K = ∅または F ⊃ K の場合も、定理 6.1.1の証明と同様に F の鞍点が全て本質的であることを示す
ことができる。
今、F に非本質的な鞍点が存在したとし、最も内側の非本質的な鞍点を pとする。即ち、pで接する二つ
のループ l1と l2のうち、少なくとも一方のループ（例えば l1とする）に対して F 上のディスクDが存在
して、∂D = l1 かつ intDが他の鞍点を含まないものとする。intDは鞍点を含まないので、唯一の極大点または極小点を含む。一般性を失うことなく、intDは極大点 qを含むとする。よって、Dは h−1([h(p), 1))内で、pを含むレベル球面 h−1(h(p))上のディスクD′ に平行である。
このとき、二つの場合 l2 ∩ intD′ = ∅または l2 ⊂ D′ が考えられる。後者の場合は、定理 6.1.1の証明と同様に、前者の場合に帰着できる。
6.6. 橋位置における閉曲面の本質的モース位置 33
鞍点 pと F の極大点を繋ぐ F −K 内の単調なアーク αをとる。先ず、Bを垂直に縮めることでDをD′
の下の領域までイソトープし、Dの極大点と鞍点 pをキャンセルさせる。次に、縮めたBを αに沿ってイ
ソトープし、再び橋位置を復元する。
C 1
B
D
D' p
α
B p
α
D'
D
D'
D
B
F t K の場合を考えよう。F の最も内側の非本質的な鞍点 pにおいて、レベル球面との交わりで生じる
ループのうち、接している二つのループを l1, l2とする。一般性を失うことなく、唯一の極大点 qを含み p
以外の鞍点を含まない F 上のディスクDで、∂D = l1かつ |D ∩K| = 1を満たすものが存在するとして良い。よって、Dは h−1([h(p), 1))内で、pを含むレベル球面 h−1(h(p))上のディスク D′ に平行である。こ
のとき、二つの場合 l2 ∩ intD′ = ∅または l2 ⊂ D′ が考えられるが、定理 6.1.1の証明と同様に、後者の場合は前者の場合に帰着できる。
Dは h−1([h(p), 1))内でディスクD′に平行であるから、D ∪D′は h−1([h(p), 1))内の 3次元球体Bを張
る。点D ∩K を含むK 内の単調なアーク αに対して、Bの内側から外側へ局所的に向きを付ける。もし、
αが hに関して上昇なアークならば、Bの直積構造D′ × I に沿ってDからD′へ F をイソトープできる。
このとき、Dの極大点と鞍点 pが解消される。もし、αが hに関して下降なアークならば、図のような操
作により、上昇なアークに変形できる。
第III部
結び目補空間の本質的曲面
37
第7章 ザイフェルト曲面
7.1 圧縮不可能ザイフェルト曲面
定理 7.1.1 ([26]). 任意の二つの圧縮不可能ザイフェルト曲面 F と S に対して、圧縮不可能ザイフェルト
曲面の列 F = F0, F1, . . . , Fn = S で、各 i (1 ≤ i ≤ n)に対して、Fi は Fi−1 と内部で交わらないものが存
在する。
任意のザイフェルト曲面に対して、可能な限り圧縮することで圧縮不可能なザイフェルト曲面が得られる
ので、次の系が従う。
系 7.1.2. 任意の二つのザイフェルト曲面 F と Sに対して、ザイフェルト曲面の列 F = F0, F1, . . . , Fn = S
で、各 i (1 ≤ i ≤ n)に対して、Fi は Fi−1 と内部で交わらないものが存在する。
定義 7.1.3 (絡み数). K を向き付けられた結び目とし、C を K と交わらない向き付けられたループとす
る。このとき、K と C との絡み数 lk(K,C)を次のように定義する。F を K のザイフェルト曲面とする。
F はK から誘導される向きを持つとする。C が F と横断的に交わるようにイソトープする。C と F との
代数的交点数を lk(K,C)と定義する。
定理 7.1.4. 絡み数は、ザイフェルト曲面の取り方に依らない。
Proof. F と F ′ をK のザイフェルト曲面とする。系 7.1.2より、F ∩ F ′ = K と仮定して良い。このとき、
F ∪ F ′は S3内の閉曲面であるから、系 6.1.3より S3を二つの部分多様体 V1と V2に分ける。従って、F ′
の向きを逆にして得られる向き付けられた閉曲面 F ∪ F ′ と C との代数的交点数は 0である。即ち、F に
よる絡み数 lkF (K,C)と F ′ による絡み数 lkF ′(K,C)の差は 0であるから、lkF (K,C) = lkF ′(K,C)を得る。
7.2 最小種数ザイフェルト曲面
定理 7.2.1 ([53],[26]). 任意の二つの最小種数ザイフェルト曲面 F と Sに対して、最小種数ザイフェルト曲
面の列 F = F0, F1, . . . , Fn = S で、各 i (1 ≤ i ≤ n)に対して、Fi は Fi−1 と内部で交わらないものが存在
する。
定理 7.2.2 ([53]). 任意のザイフェルト曲面 F に対して、ザイフェルト曲面の列 F = F0, F1, . . . , Fn = S
で、各 i (1 ≤ i ≤ n)に対して、Fi は Fi−1 と内部で交わらず、g(Fi−1) > g(Fi)を満たすものが存在する。
定理 7.2.3 ([13]). ザイフェルト曲面がディスク分解可能ならば、最小種数である。
定理 7.2.4 ([14]). 非分離的交代絡み目の標準的ザイフェルト曲面はディスク分解可能である。従って、最小種数である。
38 第 7章 ザイフェルト曲面
7.3 ファイバーザイフェルト曲面
結び目K のザイフェルト曲面 F がファイバーザイフェルト曲面であるとは、E(K)− intN(F )が F × I
と同相であるときをいう。ファイバーザイフェルト曲面を持つ結び目をファイバー結び目という。
定理 7.3.1. ファイバー結び目は唯一の圧縮不可能ザイフェルト曲面を持つ。特に、ファイバーザイフェル
ト曲面は一意的である。
Proof. F をファイバー結び目Kのファイバーザイフェルト曲面とし、F ′をKの任意の圧縮不可能ザイフェ
ルト曲面とする。F ′のイソトピーにより、N(K)内においては、F ∩F ′ = Kと仮定して良い。F ∩E(K)及びF ′∩E(K)を、それぞれ同じ記号F 及びF ′で表す。E(K)− intN(F ) = F ×Iのモース関数を h : F ×I → I
とする。定理 1.2.6より、F ′は hに関してモース位置にあるとして良い。F ′のイソトピーの下で、F ′の極
大点及び鞍点の個数を最小にとる。
定理 6.1.1と同様の議論により、F ′ の鞍点は本質的であるとして良い。また、F ′ の圧縮不可能性、及び
F ′の極大点及び鞍点の個数の最小性により、F ′は極大点及び極小点を持たないか、又は、F に平行である
ことが従う（[44, Lemma 3.2]）。従って、F ∩ F ′ = ∅の場合、F ′ は F に平行であるから、圧縮不可能ザイフェルト曲面は一意的であり、
ファイバー曲面 F にイソトピックである。
F ∩ F ′ = ∅の場合、F ′ ∩ (F × I)の各成分（で ∂F ′ を含まないもの）は極大点及び極小点を持たないこ
とから、F × {0}と F × {1}を繋ぐものに限る。よって、F ′ 上のループ C で、C と F との代数的交点数
が 0でないものが存在する。一方、C は F ′ 上のループであるから、C のイソトピーで C ∩ F ′ = ∅とできるので、C と F ′との代数的交点数は 0である。従って、lkF (K,C) = 0及び lkF ′(K,C) = 0となり、定理7.1.4に矛盾する。
次の定理はハーラー予想（[19]）の解決を与えた。
定理 7.3.2 ([15]). 任意のファイバー絡み目は、自明な結び目から、ホップバンドのプランビングとデプランビングの系列により得られる。
7.4 チェッカーボード曲面
定理 7.4.1 ([4], [30], [43]). K を交代結び目または分離不可能な絡み目、K をK の既約かつ素な交代正則
表示とする。このとき、K から得られるチェッカーボード曲面は本質的である。
Proof. F を K から得られる二つのチェッカーボード曲面のうちの一つとする。F は必ずしも向き付け可能
であるとは限らないことに注意する。実際、K が結び目の場合は、K から得られる二つのチェッカーボー
ド曲面のうち少なくとも一つは向き付け不可能である。
F が本質的であることを示す為には、∂N(F ) ∩ E(K)が圧縮不可能かつ境界圧縮不可能であることを示せば良い。
先ず、∂N(F )∩E(K)が圧縮可能だと仮定して、Dを圧縮ディスクとする。正則表示 K を含む 2次元球面 S2 から、N(F )を除いたディスク領域を、R = R1 ∪ · · · ∪ Rn とおく。Dのイソトピー及び取り換えの
下で、|D ∩ R|を最小にとる。αをD ∩ Rに関してD上の最も外側のアークとし、δを対応するD上の最
も外側のディスクとする。β = ∂δ − intαとおく。このとき、K の交代性より、ループ ∂δ = α ∪ β は、図
のようになる。
7.4. チェッカーボード曲面 39
�À �¿�À
�¿�Â
D F
B
Bi
j
これは、K が素であることに反する。
次に、∂N(F )∩E(K)が境界圧縮可能だと仮定する。∂N(F )∩E(K)は圧縮不可能であるから、定理 6.4.1より、∂N(F )∩E(K)は境界平行なアニュラスである。従って、∂N(F )はトーラスであり、N(F )はソリッドトーラスであるので、F はアニュラスか又はメビウスの帯である。K は既約であるから、F がアニュラ
スか又はメビウスの帯である為には、K は (2, n)-トーラス結び目または絡み目の n交点の正則表示でなけ
ればならない。また、K の既約性より、|n| ≥ 2である。故に、∂N(F )∩E(K)は本質的であるが、これは仮定に矛盾する。
40 第 7章 ザイフェルト曲面
7.5 村杉和分解定理
F を絡み目K を境界とする曲面とする。S3を二つの 3次元球体B1, B2に分解する球面 Sで、F ∩ Sが
一枚のディスクであるものが存在したとする。i = 1, 2について、Fi = F ∩Biとおく。このとき、F は F1
と F2に村杉分解されたといい、F = F1 ∗ F2と表す。逆に、F は F1と F2からディスク F ∩ Sに沿って村
杉和で得られたという。
ガバイは、村杉和が自然な幾何的操作であることを示した。
定理 7.5.1 ([12]). F = F1 ∗ F2 をザイフェルト曲面とする。
1. F1 と F2 が圧縮不可能ならば、F は圧縮不可能である。
2. F1 と F2 が最小種数ならば、F は最小種数である。
3. F1 と F2 がファイバーならば、F はファイバーである。
ガバイの定理は向き付け不可能曲面に拡張されている。
定理 7.5.2 ([47]). もし、F1 と F2 が本質的ならば、F = F1 ∗ F2 も本質的である。
Proof. 補間曲面 F = F ×∂I が本質的であることを示す。[43, Claim 9]により、F、F1及び F2は、それぞ
れ F ×I、F1×I 及び F2×I 内で圧縮不可能かつ境界圧縮不可能であることに注意する。
Cを、F ×I の外側での F に対する圧縮ディスクとする。E = S − int(F ∩S)とおく。CとEは一般の位
置にあるとして良く、C ∩Eの成分数は全ての圧縮ディスク C の下で最小であるとする。もし、C ∩E = ∅ならば、C は F1 又は F2 の圧縮ディスクである。そうでなければ、C ∩ E はアーク α1, . . . , αp から成り、
δ1, . . . , δqをC上のα1∪· · ·∪αpによって分離されたディスクとする。各アークαkに対して、∂αk = a+k ∪a−
k
とおく。部分アークN(a±k ; ∂C)はディスク F ∩ S及び F − S上を走る。このとき、F ∩ Sから F − Sへ走
るように a±k に矢印を付ける。図 7.1を見よ。
S
B
B
ak+
ak
+k
N(a ;k+ �Ý ak
-
dl
a
C)
1
2 C
F
ka
dlCE
図 7.1: a±k の矢印と、αk によって誘導された向き
主張 7.5.3. 最も外側のアーク αk 及び相当する最も外側のディスク δl に対して、a±k における両方の矢印
は δl の外側へ向かう。（図 7.1の右側のように。）
Proof. 一般性を失うことなく、δl ⊂ B1 と仮定して良い。
先ず、a±k における両方の矢印が δlの内側へ向かうと仮定する。（図 7.2を見よ。）F ∩S上で a+
k と a−k を
繋ぐアーク α′k が存在し、ループ αk ∪ α′
k は B2内でディスク δ′l を張る。このとき、C ∩Eの成分数は最小
であると仮定したので、B2 へ向けて拡張されたディスク δl ∪ δ′l は F1 の圧縮ディスクである。
7.5. 村杉和分解定理 41
次に、a±k における一つの矢印が δl の内側へ向かい、もう一つの矢印が δl の外側へ向かうと仮定する。
（図 7.3を見よ。）同様に、F ∩ S 上で a+k と a−
k を繋ぐアーク α′k が存在し、ループ αk ∪ α′
k は B2内でディ
スク δ′l を張る。このとき、C ∩Eの成分数は最小であると仮定したので、B2へ向けて拡張されたディスク
δl ∪ δ′l は F1 の境界圧縮ディスクである。
いずれの場合も、矛盾を得る。
S kα
kα '
+ak ak-
B
B
1
2
図 7.2: a±k における両方の矢印が δl の内側へ向かう
S kα
kα '
+ak ak-
B
B
1
2
図 7.3: a±k における一つの矢印が δl の内側へ向かい、もう一つの矢印が δl の外側へ向かう
C 上のグラフ Gを次のように構成する。各部分ディスク δl を頂点 vl に対応させ、もし二つの相当する
部分ディスクが C ∩Eの共通のアーク αk を持つならば、二つの頂点を辺 ek で繋ぐ。任意のアーク αk は δ
を分離するので、Gは木であることに注意する。主張 7.5.3により、最も外側のアークの端点における両方のアークは相当する最も外側のディスクから外側へ向かうので、相当する最も外側の辺に向きを自然に付
けることができる。ek のこの向きを、αk によって誘導された向きと呼ぶ。図 7.1を見よ。Gの頂点が深さ xを持つとは、xより少ない深さを持つ全ての頂点を削除した後で、それが次数 1又は 0
になるときをいう。ここで、xは自然数である。最も外側の部分ディスクに相当する頂点は、深さ 1であると定める。図 7.4において、各頂点の深さが図示されている。
42 第 7章 ザイフェルト曲面
1
2
3
4
1
3
21 1
C G
図 7.4: C 上の C ∩ E と、相当するグラフ G
主張 7.5.4. Gの任意の辺は誘導された向きを持ち、全ての頂点は外側へ向かう向きを持つ辺を持つ。
Proof. vlの深さに関する帰納法で証明する。深さ 1の場合、主張 7.5.3で示している。次に、主張 7.5.4がxより少ない深さを持つ頂点について成り立つと仮定し、vlが深さ xを持つとする。N<x(vl)を、vlに隣接
する頂点で xより少ない深さを持つものから成る集合とする。Gはサイクルを持たないので、N<x(vl)における任意の頂点は、vl へ向かう向きを持つ辺を持つ。一般性を失うことなく、δl ⊂ B1 と仮定する。
vlが、xより少ない深さを持つ全ての頂点を削除した後で、次数 0になる場合、δlの B2へ向けて拡張さ
れたディスク δ′l は F1 の圧縮ディスクである。
vl が、xより少ない深さを持つ全ての頂点を削除した後で、次数 0になる場合、vl を N<x(vl)以外の頂点へ繋ぐ辺を ek とし、αk を相当するアークとする。先ず、a±
k における両方の矢印が δlの内側へ向かうと
仮定する。このとき、δlのB2へ向けて拡張されたディスク δ′lは F1の圧縮ディスクである。次に、a±k にお
ける一つの矢印が δl の内側へ向かい、もう一つの矢印が外側へ向かうと仮定する。このとき、δl の B2 へ
向けて拡張されたディスク δ′l は F1 の境界圧縮ディスクである。
いずれの場合も、矛盾を得る。故に、ekは αkによって誘導された向きを持ち、vlは外側へ向かう向きを
持つ辺を持つ。
Gは木であるから、主張 7.5.4は矛盾を導く。故に、F は圧縮不可能である。初等的な切り貼り論法によ
り、K は非分離的であることが分かる。もし、F が境界圧縮可能ならば、定理 6.4.1により、それは境界平行なアニュラスである。従って、F は非本質的なアニュラスまたはメビウスの帯であり、F1 と F2 のいず
れか一方は非本質的なアニュラスまたはメビウスの帯でなければならない。これは、F1 と F2 が本質的で
あることに反する。
定理 7.2.4より、交代正則表示から得られる標準的ザイフェルト曲面は最小種数であるから、定理 7.5.1より、それらの村杉和で得られる標準的ザイフェルト曲面も最小種数であることが分かる。
定理 7.5.5 ([9]). K を等質結び目、Dを K の等質正則表示とする。Dから得られる標準的ザイフェルト
曲面は最小種数である。
7.6 本質的ステイト曲面
定理 7.6.1 ([47]). Dを結び目K の正則表示とする。もし、あるステイト σに関して、Dが σ-充足かつ σ-等質ならば、σ-ステイト曲面 Fσ は本質的である。
7.6. 本質的ステイト曲面 43
Proof. 正則表示Dがあるステイト σに関して、σ-充足かつ σ-等質であると仮定する。このとき、σ-ステイトグラフGσは、ループを持たず、各ブロックの全ての辺が同じ符号を持つ、極大なブロックG1, . . . , Gnに
分解される。F1, . . . , Fnを、G1, . . . , Gnに対応する σ-ステイト曲面とする。このとき、各 iに関して、Gi
はループを持たず、ブロック分解は極大であるから、境界 ∂Fi は既約かつ素な交代正則表示を表す。定理
7.4.1より、各 iに関して Fi は本質的であり、定理 7.5.2より、F も本質的である。
45
第8章 タングル分解球面
8.1 素分解球面
定理 8.1.1 ([29]). 交代結び目の素分解球面は、交代正則表示を含む球面と 1本のループで交わるようにイソトープできる。
定理 8.1.2 ([42]). 正結び目の素分解球面は、正正則表示を含む球面と 1本のループで交わるようにイソトープできる。
8.2 交代結び目のタングル分解
定理 8.2.1 ([29]). 交代結び目の本質的コンウェイ球面は、交代正則表示を含む球面と高々2本のループで交わるようイソトープできる。特に、2本のループで交わる場合は、正則表示の変形により、1本のループで交わるようにできる。
図 8.1:
8.3 自由タングル分解を持つ結び目のタングル分解
タングル (B, T )が自由であるとは、外部 E(T ) = B − intN(T )がハンドル体のときをいう。今、二つの自由 2-ストリングタングル (B1, T1) と (B2, T2) を貼り合わせて得られる結び目 (S3,K) =
(B1, T1)∪ (B2, T2)を考えよう。(B1, T1)と (B2, T2)の両方が自明な場合、K は 2橋結び目であり、少なくとも一方が自明な場合、K はトンネル数 1の結び目である。(B1, T1)と (B2, T2)の両方が非自明な場合は、本質的 2-ストリング自由タングル分解を持つ結び目である。
定理 8.3.1 ([17]). トンネル数 1の結び目は、任意の nについて、本質的 n-ストリングタングル分解を持たない。
46 第 8章 タングル分解球面
定理 8.3.2 ([38], [39]). 本質的 2-ストリング自由タングル分解を持つ結び目は、n = 2について、本質的 n-ストリングタングル分解は一意的であり、n = 2について、本質的 n-ストリングタングル分解を持たない。
8.4 ダブルトーラス結び目のタングル分解
定理 8.4.1 ([40]). 種数 2のヒーガード曲面上のダブルトーラス結び目の素分解球面及び本質的コンウェイ球面は、ヒーガード曲面と 1本のループで交わるようにイソトープできる。
8.5 細い位置における細いレベル球面
トンプソンは、細い位置と本質的タングル分解との間に画期的な関係を見出した。これは、3次元多様体論におけるシャーレマン-トンプソンの一般化されたヒーガード分解の結び目理論版と言えよう。
定理 8.5.1 ([55]). 細い位置にある結び目が橋位置でなければ、本質的タングル分解球面を持つ。
ウーは最も細いレベル球面が本質的であることを示し、トンプソンの結果を拡張した。
定理 8.5.2 ([61]). 細い位置にある結び目の最も細いレベル球面は、本質的タングル分解球面である。
Proof. 一般性を失うことなく、P = h−1(0)が最も細いレベル球面であり、h−1([0,∞))内に圧縮ディスクD
が存在すると仮定して良い。このとき、DはK ∩h−1([0,∞))を二つの部分 αと βに分離する。[61, Lemma2]または [57, Lemma 3.2]に従って、αまたは β を縮めて伸ばすことで、Dは hに関して唯一つの極大点
を持つとして良い。
P は細いレベル球面であるから、一般性を失うことなく βが極小点を持つとして良い。P ′を βに関する
最も細いレベル球面、即ち、β の極大点 pと極小点 qの間にある細いレベル球面であるかまたは P に平行
な球面で、領域 h−1([0, h(r)])において βとの交点数が最小であるものとする。ここで、rは βの最も高い
極小点である。P ′ を含む領域をそれぞれ R = h−1([h(p), h(q)])または h−1([0, h(q′)])とおく。ここで、q′
は β の最も低い極小点である。
もし、α∩R = ∅ならば、|K∩P ′| < |K∩P |であり、これはP が最も細いレベル球面であることに反する。
そうでなければ、Rの上に位置する αの部分を R内へ垂直にイソトープする。この結果、w(K ′) < w(K)（かつ trunk(K ′) ≤ trunk(K)）となる。ここで、ftはこのイソトピーで、K ′ = f1(K)である。これは、K
が細い位置にあることに反する。
8.6 橋分解球面
標準的モース関数 h : S3 → R に関して、結び目 K が橋位置にあるとする。即ち、全ての極大点と
全ての極小点を分離する唯一の太いレベル球面である橋分解球面 S = h−1(0) を持つとする。このとき、B1 = h−1([0, +∞)、B2 = h−1([0,−∞)、Ti = K∩Biとおくと、Kは橋分解 (S3,K) = (B1, T1)∪S (B2, T2)を持つ。
(S3, K)の二つの橋分解 (B1, T1)∪S (B2, T2)と (B′1, T
′1)∪S′ (B′
2, T′2)が同値であるとは、一方を他方へ移
す S3 の向きを保つ同相写像が存在するときをいう。
結び目K と橋分解球面 Sの交点において、局所的に極大点と極小点を一つずつ増やす変形を安定化とい
う。このとき、得られた結び目K ′ をK から安定化されているという。
結び目の二つの橋分解が安定同値であるとは、有限回の安定化の後、同値であるときをいう。
8.6. 橋分解球面 47
S
K
定理 8.6.1 ([5], [22]). 結び目の任意の二つの橋分解は安定同値である。
定理 8.6.2により、n ≥ 2に対して、自明な結び目の n-橋分解は安定化の逆操作により局所的に橋数を減らすことができる。また、1-橋分解は一意的であるので、自明な結び目の n-橋分解は任意の nについて一
意的であることが分かる。
定理 8.6.2 ([36], [23], [48]). 自明な結び目の任意の非最小橋分解は安定化されている。
系 8.6.3. n-橋分解を持つ結び目K が自明な結び目である為の必要十分条件は、橋分解球面と 1本のループで交わる球面でK を含むものが存在することである。
定理 8.6.2は、2-橋結び目及びトーラス結び目に拡張されている。
定理 8.6.4 ([37], [54]). 2-橋結び目の任意の非最小橋分解は安定化されている。
定理 8.6.5 ([50]). トーラス結び目の任意の非最小橋分解は安定化されている。
定理 8.6.5より、任意の nに対して、トーラス結び目の n-橋分解は一意的であることが分かる。従って、次が成り立つ。
系 8.6.6. n-橋分解を持つ結び目Kがトーラス結び目である為の必要十分条件は、橋分解球面と 2本のループで交わるトーラスでK を含むものが存在することである。
上記の定理は、鏡像を除いて、橋分解が一意的であることを示しているが、一般には勿論橋分解は一意的
でない。実際、バーマン（[5]）とモンテシノス（[32]）はそれぞれ合成結び目と素な結び目で少なくとも二つの同値でない最小橋分解を持つものが存在することを示している。
定理 8.6.7 ([8]). 双曲結び目の n-橋分解は各 nに対し有限個である。
橋分解が最小ならば、安定化されていないことは明らかである。定理 8.6.2、8.6.4、8.6.5は、それぞれ自明な結び目、2-橋結び目、トーラス結び目について、逆が成り立つことを示している。
問題 8.6.8. 任意の非最小橋分解は、安定化されているか？
結び目K の橋分解 (B+, T+) ∪F (B−, T−)が弱可約であるとは、F − K の B± − T± における圧縮ディ
スクの組D± が存在し、D+ ∩ D− = ∅を満たすときをいう。そうでない場合、強既約であるという。
定理 8.6.9 ([24], [58]). もし結び目の橋位置が弱可約ならば、安定化されているか、または結び目外部に経線的境界スロープを持つ本質的曲面が存在する。
49
第9章 閉曲面
9.1 スモール結び目
結び目K の外部 E(K)内の任意の圧縮不可能閉曲面 F が境界平行のとき、K はスモールであるという。
これまで、極僅かの結び目しかスモールであることが知られていない。
定理 9.1.1 ([59],[21],[35],[33]). トーラス結び目、2-橋結び目、長さ 3のモンテシノス結び目、2-ツイストトーラス結び目はスモールである。
問題 9.1.2. スモール結び目を特徴付けよ。
定理 9.1.3. トーラス結び目はスモールである。
Proof. K を非自明なトーラス結び目とし、T を K を含む自明なトーラスとする。T は E(K)を二つのソリッドトーラス V1 と V2 に分離している。
先ず、アニュラスA = T ∩E(K)が圧縮不可能かつ境界圧縮不可能であることを示す。もし、AがE(K)内で圧縮可能ならば、Aを圧縮して得られる 2枚のディスクが存在する。これは、K が非自明であること
に反する。また、Aが E(K)内で境界圧縮可能ならば、定理 6.4.1より、Aは境界平行なアニュラスであ
る。一般性を失うことなく、Aが V1側へ境界平行だとすると、K の外部 E(K)は V2と同相である。V2は
ソリッドトーラスであるから、これはK が非自明であることに反する。
F を E(K)内の圧縮不可能閉曲面とする。定理 6.2.1より、F と Aは本質的なループのみで交わるとし
て良い。F のイソトピーで、|F ∩ A|を最小にとる。このとき、Fi = F ∩ Viは、Vi内で圧縮不可能である。もし、Fiが Vi内で圧縮可能だったとし、Dを圧
縮ディスクとすると、F の圧縮不可能性から、∂Dは F 内でディスクD′を張る。Dは Fiの Vi内での圧縮
ディスクであるから、D′ ∩ A = ∅である。D′ ∩ Aの各成分は、D′ 内の非本質的なループであるので、F
内でも非本質的である。しかし、これは F と Aが本質的なループのみで交わることに反する。
定理 6.4.2より、Fiの各成分は Vi内で境界平行なアニュラスである。Fiの成分のうちで、最も外側のア
ニュラスを Ai とする。もし、Ai が A内のアニュラスへ平行ならば、|F ∩ A|の最小性に反する。従って、Aiは ∂E(K) ∩ Viを含むアニュラスへ平行であり、∂A1 = ∂A2である。よって、F = A1 ∪A2は E(K)内で境界平行なトーラスである。
50 第 9章 閉曲面
補題 9.1.4 ([44, Lemma 3.4]). (B, T )を有理タングル、F をB − T 内の経線的本質的曲面とする。このと
き、F は T の二つのストリングを B 内で分離するディスクである。
結び目補空間内に、経線的本質的曲面が存在しなければ、スモールである。よって、次の定理から、2-橋結び目がスモールであることが従う。
定理 9.1.5. 2-橋結び目補空間内には、経線的本質的曲面が存在しない。
Proof. K を 2-橋結び目とし、(S3,K) = (B1, T1) ∪S (B2, T2)を自明な 2-ストリングタングル分解とする。ここで、S は 2-橋分解球面である。
F を (S3, K)内の経線的本質的曲面とする。定理 6.2.1より、F と Sは本質的なループのみで交わるとし
て良い。F のイソトピーで、|F ∩ S|を最小にとる。Fi = F ∩Biとおくとき、F が経線的本質的であることと |F ∩ S|の最小性より、Fiは (Bi, Ti)内で経線
的本質的であることが分かる。従って、補題 9.1.4より、Fi は Ti の二つのストリングを Bi 内で分離する
ディスクから成る。これは、F がK の成分を分離する球面であることを示し、K が結び目であることに反
する。
9.2 経線的結び目
結び目K の補空間 S3 −K 内の圧縮不可能閉曲面 F に対し、ディスクDが存在して、D ∩F = ∂Dかつ
DとK は 1点で交わるとき、F を経線的圧縮可能であるといい、Dを経線的圧縮ディスクという。結び目
K の補空間 S3 − K 内の任意の圧縮不可能閉曲面 F が経線的圧縮可能のとき、K は経線的であるという。
スモール結び目K の補空間 S3 −K 内の圧縮不可能閉曲面 F は、∂N(K)に平行なもののみであるから、スモール結び目は経線的である。これまで、スモール結び目以外に、数多くの結び目が経線的であることが
示されている。
定理 9.2.1 ([28],[29],[1],[35],[2],[45]). 3-ブレイド結び目、交代結び目、擬交代結び目、モンテシノス結び目、トーラス的交代結び目、代数的交代結び目は経線的である。
ここで、トーラス的交代結び目は、交代結び目、擬交代結び目、モンテシノス結び目を含むクラスであ
り、代数的交代結び目は、代数結び目、交代結び目を含むクラスである。
次のメナスコによる定理の証明を紹介しよう。
定理 9.2.2 ([29]). 交代結び目は、経線的である。
Proof. K を交代結び目とし、S2上に交代正則表示を持つとする。K の各交点 ciにおいて、小さい 3次元球体 Biを挿入し、K が (
⋃i ∂Bi) ∪ (S2 −
⋃i Bi)上に含まれるようにする。このとき、K ∩Bi = K ∩ ∂Bi
は、2本のアーク Ti から成る。
F を S3 − K 内の圧縮不可能閉曲面とする。定理 6.1.4と同様の証明で、次の補題を得る。
補題 9.2.3. F ∩ Bi は、Ti の 2本のアークを分離する互いに平行なディスクから成るとして良い。
F のイソトピーの下で、|F ∩⋃
i Bi|が最小であると仮定する。更に、この仮定の下で、|F ∩ (S2 −⋃
i Bi)|が最小であると仮定する。定理 6.2.1と同様の証明により、次の補題を得る。
補題 9.2.4. F は、S2 −⋃
i Bi の各領域において、異なる Bi を繋ぐアークのみから成る。
S3 − (S2 ∪⋃
i Bi)の各成分の閉包で得られる 3次元球体をB+, B−とおく。定理 6.1.4より、次の補題を得る。
9.3. 圧縮不可能閉曲面のウエスト 51
補題 9.2.5. F ∩ B± はディスクのみから成る。
補題 9.2.3、9.2.4、9.2.5により、F の S2 ∪⋃
i Biに関する位置が定まった。これより、S± = ∂B±とお
くとき、F ∩ S± はループから成ることが分かる。次の補題が本質的である。
補題 9.2.6 (交代性補題). F ∩ S± のループに沿って進むとき、Bi は左右交代に現れる。
今、F ∩ S± のループの中で、S± 上最も内側のループを lとする。交代性補題より、lは同じ Bi に戻っ
てくることが従う。この時、二つの場合がある。
1. lは、Bi の同じ側に戻ってくる。
2. lは、Bi の反対側に戻ってくる。
補題 9.2.5より、lは B± 内でディスク δを張ることに注意する。
1の場合、δは S±上へ平行なので、δの一部をイソトープして、F ∩Biのディスクを 2枚取り除くことができる。これは、|F ∩
⋃i Bi|の最小性に反する。
2の場合、∂δ ∩ ∂Biの 2本のアークを含む、F ∩Biのディスクを δ′とする。δは S±上へ平行なので、ア
ニュラス δ ∪ δ′ に対して、経線的圧縮ディスクが存在する。故に、F は経線的圧縮可能である。
9.3 圧縮不可能閉曲面のウエスト
結び目K のウエストを次のように定義する。
waist(K) = maxF∈F
minD∈DF
|D ∩ K|
ここで、F は S3 −K 内の全ての圧縮不可能閉曲面からなる集合、DF は F の S3内の全ての圧縮ディスク
からなる集合とする。自明な結び目K に対しては、waist(K) = 0であると定める。結び目K が経線的である必要十分条件は、waist(K) = 1であることである。結び目K のトランクを次のように定義する。
trunk(K) = minh∈H
maxt∈R
|h−1(t) ∩ K|
ここで、Hは全ての標準的モース関数 h : S3 → Rからなる集合とする。
定理 9.3.1 ([46]). 結び目K に対して、waist(K) ≤ trunk(K)3
が成り立つ。
9.4 圧縮不可能閉曲面の位数
経線的結び目K の補空間内の圧縮不可能閉曲面 F に対して、経線的圧縮ディスクDが存在するが、∂D
とK の絡み数は ±1である。即ち、F 上のループでK との絡み数が 0でないものが存在する。正結び目で経線的結び目でないものが存在するが、正結び目はこの経線的結び目が持つ性質を継承する。
定理 9.4.1 ([42]). K を正結び目、F を S3 − K 内の圧縮不可能閉曲面とする。このとき、F 上のループ l
で、lk(l,K) = 0となるものが存在する。
例 9.4.2. 二重化結び目K の補空間内には圧縮不可能トーラス F が存在する。F 上の任意のループとK と
の絡み数は 0であるので、二重化結び目は正結び目でないことが分かる。
53
第10章 閉曲面と他の曲面の関係
10.1 ハーケン和に関する基本的正規曲面
定理 10.1.1 ([60]). 結び目 K に対して、有限個の圧縮不可能ザイフェルト曲面 {S1, . . . , Sn} と有限個の閉圧縮不可能閉曲面 {Q1, . . . , Qn} が存在して、任意の圧縮不可能ザイフェルト曲面 S はハーケン和
S = Si + a1Q1 + · · · + amQm (a1, . . . , am ≥ 0)として表される。
系 10.1.2 ([60]). 結び目が無限に多くの異なる圧縮不可能ザイフェルト曲面を持つならば、結び目補空間内に圧縮不可能閉曲面が存在する。
従って、スモール結び目の圧縮不可能ザイフェルト曲面は有限個である。
系 10.1.3. 結び目Kに対して、無限に多くの異なる圧縮不可能ザイフェルト曲面F1, F2, F3, . . .で、g(F1) =g(F2) = g(F3) = · · · を満たすものが存在するならば、結び目補空間 S3 − K 内に圧縮不可能トーラスが存
在する。即ち、K はサテライト結び目である。
系 10.1.4. 結び目K に対して、無限に多くの異なる圧縮不可能ザイフェルト曲面 F1, F2, . . .で、g(F1) <
g(F2) < g(F3) < · · · を満たすものが存在するならば、結び目補空間 S3 − K 内に種数 2以上の圧縮不可能曲面が存在する。
10.2 タングル分解と圧縮不可能閉曲面
定理 10.2.1 ([11]). 結び目の外部内に境界スロープが経線的である本質的曲面が存在するならば、本質的閉曲面が存在する。
従って、スモール結び目は本質的タングル分解を持たない。
10.3 経線的結び目外部の非経線的本質的曲面
経線的結び目は、次の性質を持つ。結び目 K の外部 E(K)に埋め込まれた曲面 F が自由であるとは、
E(K) − intN(F )の各成分がハンドル体からなるときをいう。
定理 10.3.1 ([46]). K を経線的結び目とする。このとき、K の外部に埋め込まれた任意の圧縮不可能かつ
境界圧縮不可能曲面で、境界スロープが有限のものは自由である。
Proof. 経線的結び目K の外部 E(K)内に埋め込まれた圧縮不可能かつ境界圧縮不可能曲面 F で、境界ス
ロープが有限であり、自由でないものが存在したとする。このとき、E(K)を F で切って得られる成分の
うち少なくとも一つはハンドル体ではない。その成分の境界を可能な限り圧縮することで、E(K) − F 内
に圧縮不可能閉曲面 S が得られる（[41, Lemma 2.2]）。K が経線的結び目であるので、S と E(K)のメリディアンを繋ぐアニュラス Aが存在する。Aは F と横断的に交わるとし、|A ∩ F |が最小であると仮定する。以下のように、初歩的な切り貼り論法で、|A ∩ F | = 0を示す。
54 第 10章 閉曲面と他の曲面の関係
A∩F のループ成分が存在したとし、αをA内の最も内側のループ、δを対応するA内の最も内側のディ
スクとする。. F は圧縮不可能であるから、αは F 内でディスク δ′を張る。このとき、δ′を δへ移動させ
る F のイソトピーにより、|A∩ F |を減らすことができるので、矛盾である。次に、A∩ F にアーク成分が
存在したとし、αを A内の最も外側のアーク、δを対応する A内の最も外側のディスクとする。F は境界
圧縮不可能であるから、αは F 内でディスク δ′を張る。このとき、δ′を δへ移動させる F のイソトピーに
より、|A ∩ F |を減らすことができるので、矛盾である。故に、A ∩ F = ∅を得る。ところが、A ∩ ∂E(K)のループが E(K)のメリディアンであるから、これは
F の境界スロープが無限である（即ち経線的である）ことを意味する。
10.4 非自由ザイフェルト曲面と位数0の圧縮不可能閉曲面
定理 10.4.1 ([41]). 結び目K が非自由な圧縮不可能ザイフェルト曲面 F を持つ為の必要十分条件は、結び
目補空間 S3 − K 内に位数 0の圧縮不可能閉曲面 S が存在することである。
55
第11章 補間曲面
11.1 代表性
K を結び目とし、F をK を含む閉曲面とする。組 (F,K)の代表性を
r(F,K) = minD∈DF
|∂D ∩ K|
と定義する。ここで、DF は S3内における F の全ての圧縮ディスクからなる集合とする。F が球面で、K
が自明な結び目の場合、r(F,K) = 1と定める。結び目K の代表性を
r(K) = maxF∈F
r(F,K)
と定義する。ここで、F はK を含む全ての閉曲面からなる集合とする。
自明な結び目K に対して、r(K) = 1である。非自明な結び目K に対して、圧縮不可能ザイフェルト曲
面 S が存在するので、F = ∂N(S)とおけば、r(F,K) = 2である。従って、r(K) ≥ 2が成り立つ。代表性は、橋数を下から制限する。
定理 11.1.1 ([48]). 結び目K に対して、r(K) ≤ b(K)が成り立つ。
例 11.1.2. (p, q)型トーラス結び目K (0 < p < q)と、K を含む自明なトーラス F に対して、r(F,K) = p
であるので、p ≤ r(K)が成り立つ。一方、b(K) = pであるから、定理 11.1.1より、r(K) = pであること
が分かる。
例 11.1.3. 2-橋結び目K に対して、2 ≤ r(K) ≤ b(K) = 2より、r(K) = 2であることが分かる。
問題 11.1.4. r(K) = b(K)を満たす結び目を特徴付けよ。
定理 11.1.5 ([49]). 代数結び目K に対して、r(K) ≤ 3が成り立つ。
定理 11.1.6 ([49]). (p, q, r)型プレッツェル結び目 K に対して、r(K) = 3であるための必要十分条件は、(p, q, r) = ±(−2, 3, 3)または ±(−2, 3, 5)である。
予想 11.1.7. 交代結び目K に対して、r(K) = 2が成り立つ。
代表性は、タングル分解と密接に関係する。
定理 11.1.8 ([48]). 結び目K に対して r(K) = nならば、k < nに関して本質的 k-ストリングタングル分解を持たない。
系 11.1.9. 任意の合成結び目K に対して、r(K) = 2である。また、本質的コンウェイ球面を持つ結び目K に対して、r(K) ≤ 4が成り立つ。
定理 11.1.10 ([48]). F を S3 に埋め込まれた閉曲面とする。このとき、任意の nに対して、r(F,K) ≥ n
を満たす結び目K が存在する。
56 第 11章 補間曲面
11.2 共存性
11.3 ニューワース予想
予想 11.3.1 ([34]). 任意の非自明な結び目K に対して、F ∩E(K)が連結かつ本質的であるようなK を含
む閉曲面 F が存在する。
定理 11.3.2 ([47]). もし結び目 K が、ザイフェルトステイト σ 以外のステイト σ に関して、σ-充足かつσ-等質ならば、K はニューワース予想を満たす。特に、充足結び目はニューワース予想を満たす。
注 11.3.3 ([47]). ロルフセンの結び目表（[52]）において、819, 10124, 10128, 10134, 10139, 10142
を除く全ての 10 交点の結び目は、ザイフェルトステイト σ と異なる正または負ステイト σ に関
して、σ-充足かつ σ-等質である。また、ホステ–ティスルスウェイトの結び目表（[25]）において、K11n93, K11n95, K11n118, K11n126, K11n136, K11n169, K11n171, K11n180, K11n181を除く全ての 11交点の結び目は、ザイフェルトステイト σと異なる正または負ステイト σに関して、σ-充足かつ σ-等質である。更に、10134, 10142, K11n93, K11n95, K11n136, K11n169, K11n171, K11n180, K11n181は本質的向き付け不可能チェッカーボード曲面を張ることが確認できる。（III 型のライデマイスター移動
が必要な場合がある。）
定理 11.3.4. K を (p, q, r)型プレッツェル結び目 (|p|, |q|, |r| ≥ 2)とする。このとき、K が本質的プレッ
ツェル曲面を張るための必要十分条件は、(p, q, r) = ±(−2, 3, 3), ±(−2, 3, 5)を満たすことである。
注 11.3.5. (p, q, r) = ±(−2, 3, 3), ±(−2, 3, 5)のとき、K はそれぞれ ±(3, 4)型及び ±(3, 5)型トーラス結び目である。
定理 11.3.6. 10交点以下の結び目は、ニューワース予想を満たす。
Proof. 注 11.3.3より、819, 10128, 10134, 10139, 10142 を除く 10交点以下の結び目は、向き付け不可能なσ±-ステイト曲面を張る。故に、ニューワース予想を満たす。
819 は (3, 4)型トーラス結び目であるので、ニューワース予想を満たす。10128, 10134, 10139は正結び目であるので、σ+-ステイト曲面は向き付け可能であり、これらの曲面は使
うことができない。ところが、これらの結び目は、それぞれクロスキャップ数 4, 3, 2の本質的向き付け不可能曲面を張ることが観察できる。
10142も正結び目である。これは (−4, 3, 3)型プレッツェル結び目でもあり、向き付け不可能なプレッツェル曲面を張る。定理 11.3.4より、この曲面は本質的であるので、ニューワース予想を満たす。
以上で述べたニューワース予想を満たす全ての結び目は、トーラス結び目を除き、本質的向き付け不可能
曲面を張ることが分かっている。このことから、以下の予想が強く期待される。
予想 11.3.7. 双曲結び目は、本質的向き付け不可能曲面を張る。
57
関連図書
[1] C. Adams, J. Brock, J. Bugbee, T. Comar, K. Faigin, A. Huston, A. Joseph and D. Pesikoff, Almostalternating links, Topology Appl. 46 (1992) 151–165.
[2] C. Adams, Toroidally alternating knots and links, Topology 33 (1994) 353–369.
[3] J. W. Alexander, On the subdivision of a 3-space by a polyhedron, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 10
(1924) 6-8.
[4] R. J. Aumann, Asphericity of alternating knots, Ann. of Math. 64 (1956), 374–392.
[5] J. S. Birman, On the stable equivalence of plat representations of knots and links, Canad. J. Math.28 (1976) 264–290.
[6] F. Bonahon and L. Siebenmann, New Geometric Splittings of Classical Knots, and the Classificationand Symmetries of Arborescent Knots, 2010.http://www-bcf.usc.edu/˜fbonahon/Research/Preprints/BonSieb.pdf
[7] J. H. Conway, An enumeration of knots and links and some of their algebraic properties, in “Compu-tational Problems in Abstract Algebra”, (D. Welsh, Ed.), pp. 329-358, Pergamon Press, New York,1970.
[8] A. Coward, Algorithmically detecting the bridge number of hyperbolic knots, arXiv:0710.1262.
[9] P. R. Cromwell, Homogeneous links, J. London Math. Soc. (2) 39 (1989), 535–552.
[10] M. Culler and P. B. Shalen, Bounded, separating incompressible surface in knot manifolds, Invent.Math. 84 (1984) 537–545.
[11] M. Culler, C. McA. Gordon, J. Luecke and P. Shalen, Dehn surgery on knots, Ann. Math. 125 (1987)237–300.
[12] D. Gabai, The Murasugi sum is a natural geometric operation, Contemp. Math. 20 (1983), 131–143.
[13] D. Gabai, Foliations and genera of links, Topology 23 (1984) 381–394.
[14] D. Gabai, Genera of the alternating links, Duke Math. J. 53 (1986) 677–681.
[15] E. Giroux and N. Goodman, On the stable equivalence of open books in three-manifolds, Geometry& Topology 10 (2006) 97–114.
[16] C. Gordon and J. Luecke, Knots are Determined by their Complements, J. Amer. Math. Soc. 2
(1989), 371–415.
[17] C. McA. Gordon and A. W. Reid, Tangle decompositions of tunnel number one knots and links, J.Knot Theory and its Ramification 4 (1995) 389–409.
58 第 11章 補間曲面
[18] W. Haken, Ein Verfahren zur Aufspaltung einer 3-Mannigfaltigkeit in irreduzible 3-Mannigfaltigkeiten, Math. Zeit. 76 (1961) 427–467.
[19] J. Harer, How to construct all fibered knots and links, Topology 21 (1982) 263–280.
[20] A. Hatcher, On the boundary slopes of incompresible surfaces, Pacific J. Math. 99 (1982) 373–377.
[21] A. Hatcher and W. Thurston, Incompressible surfaces in 2-bridge knot complements, Invent. Math.79 (1985), 225–246.
[22] C. Hayashi, Stable equivalence of Heegaard splittings of 1-submanifolds in 3-manifolds, Kobe J. Math.15 (1998) 147–156.
[23] C. Hayashi and K. Shimokawa, Heegaard splittings of the trivial knot, J. Knot Theory Ramifications7 (1998) 1073–1085.
[24] C. Hayashi and K. Shimokawa, Thin position of a pair (3-manifold, 1-submanifold), Pacific J. Math.197 (2001) 301–324.
[25] J. Hoste and M. Thistlethwaite, The Hoste-Thistlethwaite Table of 11 Crossing Knots, inhttp://katlas.math.toronto.edu/wiki/The Hoste-Thistlethwaite Table of 11 Crossing Knots.
[26] O. Kakimizu, Finding disjoint incompressible spanning surfaces for a link, Hiroshima Math. J. 22
(1992) 225–236.
[27] H. Kneser, Geschlossene Flachen in dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten, Jahresbericht der Deut.Math. Verein 28 (1929) 248–260.
[28] M. T. Lozano and J. H. Przytycki, Incompressible surfaces in the exterior of a closed 3-braid I,surfaces with horizontal boundary components, Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 98 (1985) 275–299.
[29] W. Menasco, Closed incompressible surfaces in alternating knot and link complements, Topology 23
(1984) 37–44.
[30] W. Menasco and M. Thistlethwaite, The classification of alternating links, Ann. Math. 138 (1993),113–171.
[31] Edwin E. Moise, Affine Structures in 3-Manifolds: V. The Triangulation Theorem and Hauptver-mutung, Ann. of Math. 56 (1952), 96–114.
[32] J. M. Montesinos, Minimal plat representations of prime knots and links are not unique, Canad. J.Math. 28 (1976) 161–167.
[33] K. Morimoto, Essential surfaces in the exteriors of torus knots with twists on 2-strands, preprint.
[34] L. Neuwirth, Interpolating manifolds for knots in S3, Topology 2 (1964) 359–365.
[35] U. Oertel, Closed incompressible surfaces in complements of star links, Pacific J. Math. 111 (1984)209–230.
[36] J.-P. Otal, Presentations en ponts du nœud trivial, C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 294 (1982)553–556.
11.3. ニューワース予想 59
[37] J.-P. Otal, Presentations en ponts des nœuds rationnels, Low-dimensional topology (Chelwood Gate,1982), 143–160, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 95, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1985.
[38] M. Ozawa, Uniqueness of essential free tangle decompositions of knots and links, KNOTS ’96 (Tokyo),231–238, World Sci. Publishing, River Edge, NJ, 1997.
[39] M. Ozawa, On uniqueness of essential tangle decompositions of knots with free tangle decompositions,in Proc. Appl. Math. Workshop 8, ed. G. T. Jin and K. H. Ko, KAIST, Taejon (1998) 227–232.
[40] M. Ozawa, Tangle decompositions of double torus knots and links, J. Knot Theory Ramifications 8
(1999) 931–939.
[41] M. Ozawa, Synchronism of an incompressible non-free Seifert surface for a knot and an algebraicallysplit closed surface in the knot complement, Proc. Amer. Math. Soc. 128 (2000) 919–922.
[42] M. Ozawa, Closed incompressible surfaces in the complements of positive knots, Comment. Math.Helv. 77 (2002) 235–243.
[43] M. Ozawa, Non-triviality of generalized alternating knots, J. Knot Theory and its Ramifications 15
(2006), 351–360.
[44] M. Ozawa, Morse position of knots and closed incompressible surfaces, J. Knot Theory and itsRamifications 17 (2008) 377–397.
[45] M. Ozawa, Rational structure on algebraic tangles and closed incompressible surfaces in the comple-ments of algebraically alternating knots and links, Topology and its Applications 157 (2010) 1937–1948.
[46] M. Ozawa, Waist and trunk of knots, Geometriae Dedicata 149 (2010) 85–94.
[47] M. Ozawa, Essential state surfaces for knots and links, to appear in J. Austral. Math. Soc.
[48] M. Ozawa, Bridge position and the representativity of spatial graphs, arXiv:0909.1162.
[49] M. Ozawa, The representativity of pretzel knots, arXiv:0911.2979.
[50] M. Ozawa, Non-minimal bridge positions of torus knots are stabilized, arXiv:1006.1026.
[51] T. Rado, Ueber den Begriff der Riemannschen Flache, Acta Litt. Scient. Univ. Szegd 2 (1925),101–121.
[52] D. Rolfsen, Knots and Links, AMS Chelsea Publishing, 2003.
[53] M. Scharlemann and A. Thompson, Finding disjoint Seifert surfaces, Bull. London Math. Soc. 20
(1988) 61–64.
[54] M. Scharlemann and M. Tomova, Uniqueness of bridge surfaces for 2-bridge knots, Math. Proc.Cambridge Philos. Soc. 144 (2008) 639–650.
[55] A. Thompson, Thin position and bridge number for knots in the 3-sphere, Topology 36 (1997) 505–507.
60 第 11章 補間曲面
[56] W. P. Thurston, Three dimensional manifolds, Kleinian groups and hyperbolic geometry, Bull. Amer.Math. Soc. 6 (1982) 357–381.
[57] M Tomova, Compressing thin spheres in the complement of a link, Topology and its Appl. 153 (2006)2987–2999.
[58] M. Tomova, Thin position for knots in a 3-manifold, J. Lond. Math. Soc. (2) 80 (2009) 85–98.
[59] C. M. Tsau, Incompressible surfaces in the knot manifolds of torus knots, Topology 33 (1994) 197–201.
[60] R. Wilson, Knots with infinitely many incompressible Seifert surfaces, J. Knot. Theory Ramifications17 (2008) 537–551.
[61] Y.-Q. Wu, Thin position and essential planar surfaces, Proc. Amer. Math. Soc. 132 (2004) 3417–3421.