ISBN 978-957-729-808-9 不動產投資管理(四版) 林左裕 著

第三章 利率、現值、終值與年金

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本章大綱

第一節 利息的形成

第二節 單利與複利

第三節 年金

第四節 貸款之本金分期攤還

第五節 有效利率

第六節 購屋及租屋規劃

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利息的形成

利率高低的決定，即取決於金融市場中資金需求與供給間之均

衡，因此利率可說是「資金的價格」，即借款者與貸放者在資

金價格上達成協議時，便決定了均衡利率i*

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圖3.1 利率之高低取決於金融市場中資金之供需

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單利與複利(1/9)

若只對本金計算利息，未來賺得之利息不再孳生利息，稱為單

利(Simple Interest)；但若將未來賺得之利息納入本金之中計算

其利息，即所謂之「利滾利」，則稱為複利 (Compound

Interest)

單利

若小張將今日所得1,000元，以單利每年10%存入銀行，則

其一年、二年、三年後之本利和各為多少呢？

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表3.1 單利之計算（年利率10%）

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單利與複利(2/9)

第n年本利和＝P＋n×P×i＝P(1＋ni) （公式3-1）

複利

若小張將今日所得1,000元，以複利每年10%存入銀行，則

他一年、二年、三年後之本利和又各為多少呢？

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表3.2 複利之計算（年利率10%）

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單利與複利(3/9)

第n年本利和＝P(1＋i)n－1＋P(1＋i)n－1×i＝P(1＋i)n

（公式3-2）

終值與現值

終值

– 小張今將本金1,000元以10%年利率存入銀行，其十年後

可得

本利和＝1,000×(1＋10%)10＝2,593.74（元）

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單利與複利(4/9)

FVn ＝PV(1＋i)n＝PV×FVIF(i, n) （公式3-3）

其中，FVn：n期後之終值

PV：現在的金額或現值

i：每期利率

n：期數

FVIF(i, n)：終值利率因子

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單利與複利(5/9)

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單利與複利(6/9)

讀者也可自Excel軟體中之「插入」功能選擇函數中之財務

類別計算終值(FV)，即FV(Rate, Nper, Pmt, Pv, Type)。其中

，Rate：每期利率；Nper：總期數；Pmt：每期年金；Pv：

現值額度；Type：給付或收入時點，0或省略為期末，1為

期初

此例之Excel解法即為

FV(0.1, 10, 0, 1000, 0)＝－2,593.74

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單利與複利(7/9)

現值

– 小陳預計在十年後存得50萬元以供子女教育所需，則在

年利率10%的情況下，小陳目前應存入多少元呢？此即

「折現」(Discounting)的觀念，也就是將終值轉換成現

值的過程

FVn＝PV(1＋i)n

PVIF(i, n)＝現值利率因子(Present Value Interest Factor,

PVIF)，因此小陳現在即應存入

n)PVIF(i,FV]i)(1

1[FVPV nnn

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單利與複利(8/9)

查表：PVIF(10%, 10)＝0.3855

FV×PVIF(10%, 10)＝500,000×0.3855＝192,750（元）

)(750,1923855.0000,500)%01(1

1000,500PV

10元

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單利與複利(9/9)

Excel用法：

自Excel中選擇函數現值(PV)之計算，即PV(Rate, Nper, Pmt,

Fv, Type)。其中Rate：每期利率；Nper：總期數；Pmt ：每

期年金；Fv：終值額度；Type：給付或收入時點，0或省略

為期末，1為期初

此例之Excel解法即為

PV(0.1, 10, 0, 500,000)＝－192,771.64

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年金(1/8)

年金(Annuity)指的是在某一特定期間內，定期支付或領回某一

特定額度之現金流量(Payment)

契約訂定後之第一期期末開始支付或領回者，稱為普通年金

(Ordinary Annuity)；而若於契約訂定後之第一期期初即開始支

付或領回者，則稱為期初年金(Annuity Due)

普通年金及期初年金因支付或領取時點的不同，將相差一期的

時間價值

若上例小張只存五期，每期存16,000元，則由圖3.3即可明白看

出普通年金與期初年金因支付時點之不同而相差一期之時間價

值

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圖3.3 普通年金與期初年金之差異

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年金(2/8)

年金終值

假設上例中之小張於每年底存16,000元，年利率10%，則五

年後小張可領回多少？

在此例中，小張於每年底支付16,000元，屬普通年金

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圖3.4 普通年金之終值即為每期個別年金終值之總和

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年金(3/8)

普通年金之終值可以下列通式表示

FVIFA(i, n)為年金終值利率因子(Future Value Interest Factor

of Annuity, FVIFA)

查表

FVIFA(10%, 5)＝6.1051，可得

FV ＝PMT×FVIFA(10%, 5)＝16,000×6.1051

＝97,681.6（元）

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年金(4/8)

Excel用法

自Excel中選擇函數終值(FV)之計算，即FV(Rate, Nper, Pmt,

Fv, Type)

此例之Excel解法即為

FV(0.1, 5, －16,000, 0)＝97,681.6

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年金(5/8)

年金現值

年金現值指的是現在支付或領回一金額，未來之特定期間

內每一期可領回或需支付多少，亦即未來期間內各期年金

之總現值

舉例而言，若小王工作數年後，決定再回到學校修習財金

系學士學位，如果財金系每年之學費約為10萬元（假設於

每年底支付），預計四年可畢業，則小王目前手上應有多

少錢才足以負擔未來四年的學費呢？

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年金(6/8)

– PMT表每期之年金金額；i為每期利率；n為總期數。

則普通年金之現值可以下列通式表示

PVIFA(i, n)為年金現值利率因子(Present Value Interest

Factor of Annuity, PVIFA)

查表：年金現值利率因子PVIFA(10%, 4)＝3.1699可得

PV＝PMT×PVIFA(10%, 4)＝100,000×3.1699

＝316,990（元）

n)PVIFA(i,PMT

]i)i(1

1i)(1[PMT

]i)(1

1[PMTPV

n

n

n

1ttni,

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年金(7/8)

Excel用法

此例之Excel解法為

PV(0.1, 4, －100,000, 0)＝316,986.54

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年金(8/8)

永續年金

一種特殊年金，其沒有到期日或期限，我們稱之為永續年

金(Perpetuity)。其現值卻可由等比級數之和，即如前述之

年金現值一般計算而得

永續年金之現值為

i

PMT

]i)(1

1

i)(1

1

i)(1

1[PMTPV

n21i,

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貸款之本金分期攤還(1/13)

我們常見的情況是貸款購物後「本金的分期攤還」

(Amortization)，這種付款方式可解釋為「現在借若干金額（即

現值），未來某期間內每期應償還多少錢（即年金）」的意

涵，恰與年金現值的概念相反

實際演練

假設小陳剛買了一輛賓士轎車，總價300萬元，自備100萬

元，向銀行貸款200萬元，年利率12%（即月利率1%），

分二年（二十四個月）每月平均攤還。試問小陳未來二十

四個月內每個月應還多少？

)(89.146,94

2432.21

1000,000,2

4)PVIFA(1%,2

12,000,000PMT

元

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貸款之本金分期攤還(2/13)

– 貸款之平均攤還因子恰為年金現值因子之倒數，此因子

稱為貸款常數(Loan Constant, LC)或不動產抵押貸款常

數(Mortgage Constant, MC)，即在特定的利率及貸款期

限下，目前每借1元，未來每期應攤還的貸款支付額。

可察覺貸款常數與年金現值因子之乘積為1，即互為倒

數

n)MC(i,PVn)PVIFA(i,

1PVPMT

)94,140(

0.047072,000,000MC(1%,24)PVPMT

元

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貸款之本金分期攤還(3/13)

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表3.3 分期平均償還貸款之運算

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貸款之本金分期攤還(4/13)

– 在第二十期支付的情形為

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貸款之本金分期攤還(5/13)

實際演練

若王太太日前購買豪宅一戶，價值1,400萬元，王太太自備

400萬元，其餘1,000萬元自銀行貸款，利率為每年10%，於

三十年內按月平均攤還，計三百六十期，則(1)王太太每期

應付多少以償還貸款？(2)又在第十年底時（即第一百二十

期），王太太當期應支付之利息、本金及尚欠款多少？(3)

此時王太太累計共支付了多少利息及本金？(4)到期末還清

時共支付了多少利息？(5)若王太太在第十年底時，想向原

銀行借一筆「理財型房貸」重新修繕，則她最多可借得多

少？

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貸款之本金分期攤還(6/13)

Ans:

查表除了攜帶不便之外，若現有的表查不到給予的利率或

期數時，便只能回歸原始之計算方式或借重電腦，同時長

期後的每期利息、本金及貸款餘額的計算亦複雜冗長。不

過，使用財務計算機即可有效地解決上述問題

可自附錄表五查得年利率為10%（月利率則為10% /12＝

0.8333%），三十年（三百六十個月）時之貸款常數

MC(0.8333%, 360)＝0.00878，因此王太太未來三百六十個

月內每月應支付

PMT＝PV×MC(0.8333%, 360)

＝10,000,000×0.00878＝87,800（元）

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貸款之本金分期攤還(7/13)

由於第一百二十個月時應支付之利息、本金及貸款餘

額計算複雜，因此我們以計算機代勞

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貸款之本金分期攤還(8/13)

貸款餘額的計算除了使用計算機外，亦可應用財務上的概

念，將未來欠款期間內的未償還（年金）額，求得當時之

年金現值，此例即為求每月本利償額87757.16元在未來所

餘二百四十期之年金現值，如圖3.6之現金流量所示

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圖3.6 貸款餘額即為未來未償還年金

之現值

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貸款之本金分期攤還(9/13)

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貸款之本金分期攤還(10/13)

若欲求算某一期間內之本利償還情形，則PM2需輸入比

PM1大的值。如此例

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貸款之本金分期攤還(11/13)

在第一至一百二十期間內累計償還的本金額即為期初之貸款額

減去在第一百二十期的貸款餘額，即

∑PRN＝10,000,000－9,093,801.93＝906,198.07

而同期間內累計償還的利息額即為此期間內償還的總額度，減

去此期間內之累積本金額，即

∑INT＝87,757.16×120－906,198

＝9,624,661

與計算機所得結果相同

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貸款之本金分期攤還(12/13)

到期末（三百六十期）止，王太太總共支付的本利償額為

360×87,757＝31,592,520（元）

扣除分期攤還的本金總額1,000萬元，王太太支付的利息總

額為：

31,592,520 10,000,000＝21,592,520（元）

「理財型房貸」嚴格的定義為銀行可依借款人累計已還的

本金額度，以低於信用貸款利率，但高於原購屋貸款利率

借給原借款人，故王太太在第十年底至多可借得約90.6萬

元之理財型房貸。

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貸款之本金分期攤還(13/13)

將上例每期支付之本金及利息，依期數描繪成圖3.7。圖3.7

表示貸款1,000萬元，年利率為10%，三十年內按月平均攤

還貸款下每月之償還額，並將其分解為利息及本金部分

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圖3.7 貸款1,000萬元，年利率10%，三十年內按月平均攤還之每月償還額、利息及本金支出

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有效利率(1/5)

在小陳的例子中，其貸款年利率為12%，每月複利的情況下，

小陳貸款之有效年利率(Effective Annual Rate, EAR)為

(1＋1%)12－1＝12.68%

若小陳的貸款是每季或每半年複利一次的話，其貸款有效年利

率又為多少呢？

因此在每季複利下，小陳貸款之有效年利率為

EAR＝(1＋3%)4－1＝12.55%

若每半年複利一次，則每半年利率12%/2＝6%，每年複利二次

，則小陳貸款之有效年利率為

EAR＝(1＋6%)2－1＝12.36%

可知同一期間內，複利時間單位愈短，複利次數愈多，其有效

利率愈大

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表3.4 年利率12%在不同複利時間單位下之有效年利率

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有效利率(2/5)

有效年利率(EAR)之通式為

k%為契約訂定之年利率

m為一年內之複利次數

1)m

k%1(EAR m

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有效利率(3/5)

實際演練

老張以儲蓄多年之積蓄500萬元在鄉下買了一棟透天厝，若

他預計此地段之不動產投資報酬率可達每年10%，則老張

這棟房子何時可增值為1,000萬元？

Ans

這是一個很基本的現值與終值之間關係的概念。依題意，

在每年10%之投資報酬率之下，求解終值為現值二倍之年

限，即

FV＝2PV＝PV×(1＋10%)n

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有效利率(4/5)

2＝(1.1)n 求n

以試誤法逼近，得：

(1.1)7＝1.95

(1.1)8＝2.14

再用內插法，設x年後恰可增值為二倍，即

化簡得

19x＝138

x＝7.26（年）

即老張此棟透天厝在7.26年後，可增值為1,000萬元

14.22

295.1

8x

x7

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有效利率(5/5)

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購屋及租屋規劃(1/4)

常用來評估購屋或租屋的方法為「年成本法」及「淨現值法」

(Net Present Value, NPV)，後者較為複雜，且對未來的房價漲

跌也需精確地預期才會有準確的結果

年成本法

顧名思義，「年成本法」即為租屋與購屋之間所需支出的

成本比較，在暫不考慮未來房價漲跌及自有住屋之心理面

滿足的情形下，選擇成本較低的方式達成居住的需求

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購屋及租屋規劃(2/4)

租屋需考慮的相關成本或因素通常為

– 每年租金

– 押金之機會成本利息（如銀行之定存利率）

– 每年綜合所得稅中房租支出之列舉扣除額（最高12萬

元）

購屋的每年相關成本或考慮因素則為

– 貸款利息支出（為貸款額乘以貸款年利率）

– 期初自備款之機會成本（如銀行之定存利率）

– 房屋稅及土地稅

– 綜所稅中房貸利息支出之扣除額（最高30萬元）

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購屋及租屋規劃(3/4)

淨現值法

淨現值之介紹

CF1～n為未來各期現金流量

CF0為期初投入自有資本

k為自有資本必要報酬率

– 對評估投資專案而言，通常NPV＞0，表示投資此方案

之現金收益之淨現值為正，可接受此投資專案

0n

n

2

21 CF]K)(1

CF

K)(1

CF

K)(1

CF[NPV

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購屋及租屋規劃(4/4)

租屋（支出）之淨現金流量之現值總和＝每期租金×年金現

值利率因子＋期初押金－到期退還押金之折現值

購屋之淨現金流量之現值總和（正值為收益，負值為支出

）＝期末售屋淨所得之現值（含扣除當時之貸款餘額）－

期初購屋自備款－貸款期間每期所還利息及本金償額之折

現值

以上可能影響之變數為未來租金變動、房價變動（增貶值

）與利率變動之趨勢