廖寶珊紀念書院

二零零七至二零零八年度

期終考試

中四

數學科 卷一試題

班別: 日期：16 – 6 – 2008

姓名: ( ) 時限：2 小時

1. 本試卷必須用中文作答。

2. 在本封面的適當位置填上班級、姓名及學號。

3. 本試卷分三部，即甲部( 1 )、甲部( 2 )和乙部。甲( 1 )部佔 34 分、甲( 2 ) 及乙部各佔 33 分。

4. 甲部( 1 )及甲部( 2 )各題均須作答，乙部選答三題，答案須寫在本試題答題簿中預留的空位內。

如有需要，可要求派發補充答題紙，每張紙均須寫上姓名及學號。

5. 除特別指明外，須詳細列出所有算式。

6. 除特別指明外，數值答案須用真確值，或準確至三位有效數字的近似值表示。

7. 本試卷的附圖不一定依比例繪成。

參考公式

球體 表面面積 = 4 π r2

體積 = 34

π r3

圓柱 側面積 = 2 π r h 體積 = π r2 h

圓錐 側面積 = π r l

體積 = 31

π r2 h

角柱 體積 = 底面積 × 高

角錐 體積 = 31 × 底面積 × 高

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甲部( 1 ) ( 34 分) 本部各題均須作答，答案須寫在預留的空位內。

1. 化簡 343 )(

aab

，並以正指數表示答案。 (3 分)

2. 解 1614 1 =+x 。 (3 分)

3. 設 f(x) = –x3 + 2x2 + x – 4。求 f(x) 除以 x – 2 時的餘數。 (3 分)

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4. 已知 f(x) = sin(xo + 10o)，求 f(20)‧f(50) 的值，答案以根號 表示。 (3 分)

5. 解三角方程 θθθθ

cossincossin

−+ = 2，其中 。 (3 分) oo 3600

7. 圖 1 中，O為圓ABC的圓心，OBD是直線。若∠ABD = 110o，求x。 (4 分)

A

B

O

C

x

110o

圖 1

D

8. 圖 2 中，CA 和 CE 分別是圓在 B 和 D 兩點的切線，BF 是直徑，BOFE 是直線。

若∠OBD = 22o，求∠BED。 (4 分)

圖 2

E C D

A

22o

O

B

F

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9. 若 log 2 = a 及 log 3 = b，試以 a 及 b 表示 (a) log 6， (b) log15。 (4 分)

10. 求圖 3 中的 x 及 y。 (4 分)

12 cm

9 cm

x cm

yo

圖 3

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甲部( 2 ) ( 33 分) 本部各題均須作答，答案須寫在預留的空位內。 11. (a) 因式分解x3 – 4x。 (2 分)

(b) (i) 因式分解u2 – 6u + 8。 (ii) 利用(i)或其他方法，因式分解x4 – 6x2 + 8。 (2 分)

(c) 利用(a)部和(b)或其他方法，解x4 + x3 – 6x2 – 4x + 8 = 0。 (3 分)

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12. 已知 z 隨 x 正變且隨 y 反變。當 x = 12 及 y = 4 時，z = 144。

(a) 以 x 和 y 表示 z。 (3 分)

(b) 當 x = 4 及 z = 18 時，求 y 的值。 (2 分)

(c) 若 x 增加 20% 而 y 減少 10%，求 z 百分數增減。 (3 分)

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13. 圖 4 為函數 y = 8x 的圖像。

a

圖 4 (a) 寫出 a 的數值。 (1 分)

(b) 在圖 4 描繪 y = x 的草圖。 (2 分) 8log

(c) 若 0 < x < 1，求 y = x 的範圍。 (2 分) 8log

(d) 小明在圖 4 繪出函數 y = 9

864 +x 的圖像。

(i) 透過取得 y = 8x 和 y = 9

864 +x 兩個函數圖像的相交點的x坐標，可解那一方

程﹖ (ii) 利用代數方法解 (i) 的方程。

(4 分)

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14. 圖 5 所示為 y = a sin x + b cos x 由 0º ≤ x ≤ 360º 間的圖像。

圖 5 (a) 利用圖 5，求 x = 0º 和 x = 90º 時 y 的值。 (1 分) (b) 由此求 a 和 b 的值。 (2 分) (c) 求 – 2 sin x + 3 cos x + 1 的極大值和極小值。 (3 分) (d) 試在圖 5 加上適當的直線，解方程 10 sin x – 15 cos x + 10 = 0，其中 0º ≤ x ≤ 360º。 (3 分)

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乙部（33 分）

本部選答三題，每題 11 分﹐答案須寫在預留的空位內。

15. 設 。 82)2(94)( 23 ++−+−= kxkkxkxxf

(a) 證明 除以 時的餘數是 4。 (2 分) )(xf 2−x(b) 已知 除以 時的餘數為 –50。 )(xf 1+x

(i) 求 k 的值，由此求 除以)(xf 2−x 的商式。 (5 分) (ii) 利用(a)部及(b)(i)部的結果，解方程 4)( =xf 。 (2 分)

(c) 求 除以 時的餘數。 (2 分) [ ]2)1( −xf 2−x

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16. 沖泡某種中國茶時，若其他因素不變，一杯茶的質量取決於茶葉泡在水裏的時間 t 秒及水的溫度 x℃。有建議以這種茶葉沖泡出來的茶的質量可用如下的指標 Q 來量度：

Q = 25 000 + F 其中 F 由兩部分組成，一部分隨 x 及 t 而聯變，另一部分隨 t 的平方而正變。Q 的值愈大，表示茶的質量愈好。 已知當 t = 40 及 x = 85 時，Q = 35600；又當 t = 65 及 x = 75 時，Q = 32475。

(a) 証明 。 (5 分) 24525000 txtQ −+=

(b) (i) 若水溫為 82℃，茶葉泡在水中 45 秒，求 Q 的值。 (1 分) (ii) 若水溫 78℃，能否藉改變茶葉泡在水中時間以達至(b)(i)中 Q 的值？

簡釋你的答案。 (2 分) (c) 設水溫為 80℃。利用配方法求茶葉需泡在水中多久方可使所泡得的茶質量最好。(3 分)

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17.

圖 6(a)

在圖 6(a) 中，ABC是一個直角三角形，∠B是直角。AB = 4 cm和BC = 16 cm。P、Q和R分別位於AB、BC和CA上，使AP = x cm、PR//BC 和 ∠PRQ = 90°。設陰影部分的面積是y cm2。

(a) 證明 。 (4 分) 3282 2 +−= xxy

(b) 圖 6(b) 所示為 在3282 2 +−= xxy 40 ≤≤ x 間的圖像。利用該圖像並加上適當的線，求

(i) 陰影部分的最小面積及對應的 x 值； (2 分)

(ii) 當陰影部分的面積小於ΔABC 面積的1613

時 x 值的範圍。 (3 分)

(c) 已知函數 代表 ΔPQR 的面積。圖 6(b) 亦顯示 的圖像。 228)( xxxf −= )(xfy =

說明 的圖像怎樣經過兩種變換後，可以變成 的圖像。 3282 2 +−= xxy )(xfy =

(2 分)

圖 6(b)

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18. 圖 7(a) 中，AP、AQ 為圓在 P、Q 的切線。一直線通過 A 與圓相交於 B 及 C，另一直線通過Q 平行於 AC 與圓相交於 R。PR 與 BC 相交於 M。

圖 7(a)

(a) 證明 (i) M、P、A、Q 共圓； (3 分)

(ii) MR = MQ。 (3 分) (b) 若∠PAC = 20° 及 ∠QAC = 50°，求 ∠QPR 及 ∠PQR。 (4 分) (c) 在圖 7(b) 中，由 M 至 RQ 的垂線與 RQ 相交於 H。簡釋為什麼 MH 平分 RQ。

(1 分)

圖 7(b)

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- 試卷完 -

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