第十三章矩陣 P177 第一單元 1/1

1. Ans:(A)(B)(E) (C)無限多解 (D)無解 2. Ans: (1, 18, 12)

( , , ) (4, 3,1)x y z 代入

85 3 ( , , )

15

x y azy z b a b cy cz

(1, 18, 12)

3. Ans: ( , ) (3,8)a b

無限多解 1 4 ( , ) (3,8)2 6

a a bb

4. Ans:(2)(5) 原式可得唯一解為 ( , , ) (0,1,1)x y z (1)(3) (0,1,1)不為其解，故不選 (4)無限多解，也不選

第十三章矩陣 P181 第二單元 1/2

1. Ans:1 11 1

○1 +○2 25 5

55 5

A A

1 11 1

2. Ans: 14 76 30

直接乘開可得 3. Ans: 5k 由已知即 AB BA 直接乘開比較係數可得 5k

4. Ans: 4 93 1

兩式相加2 31 1

A

，兩式相減

1 12 1

B

2 2A B A A B B 4 93 1

5. Ans: 665

64 13,14,15,16,17 11, 10, 9, 8, 7 665TC

6. Ans:(A)(E) 矩陣乘法無交換率、無零因子 (B)(C)(D)不選

7. Ans: 3 41 8

22

4 4( 6) 0

1 6 1 6x x

A A x A I

1, 2x y

又 4 3 2 2 22 2 2 2 25 12 3 2 ( 7 2 )( 2 ) 2 2A A A A I A A I A A A I O A I

3 41 8

8. Ans:

2131

2 3 22

2 3 1 0,

1 1 0 1A A A A A A I

2 3

2A A A O 可知

1002=33 O A A 求式

2131

9. Ans: 1a ﹐ 1093b

第十三章矩陣 P181 第二單元 2/2

直接乘開觀察可知 2 3 2 12 , (2 ) 4 , , 2n nJ J J J J J J J

求式 7 7 7 7 2 7 3 7 4 7 5 7 6 7 70 1 2 3 4 5 6 7( )I J C I C J C J C J C J C J C J C J

7 7 7 2 7 6 70 1 2 3 7( 2 2 2 ) 1093C I J C C C C I J

註: 7 7 7 2 7 6 7 70 1 2 3 72( 2 2 2 ) (1 2) 2187C C C C C 7 7 2 7 6 7

1 2 3 72 2 2C C C C =1093

10.Ans: (1)C (2)A (3)C (4)B

2( )A B I A A B AI A A A ，同理 2B B

(1) 2 2A B A B I (2) 4 4 2 2A B A B A B I

2( )A B O A A B O A AB I ，同理 2B I

(3) 3 3 ( )A B IA IB A B (4) 4 4 2 2 2 2 2A B A A B B I I I

第十三章矩陣 P185~P186 第三單元 1/3

10 0211 0 0.22

1 10 1 0

x xy y xx y x y

1. Ans: 79

0.8 0.7 70.8 0.7(1 )0.2 0.3 1 1 9

x xx x x x

x x

2. Ans:(4)

3. Ans: (1) 13 (2)

103

(1)

1 1 10 0 0 06 6 61 0 01 2 1 2 11 0 1 , 1 12 3 2 3 2

0 0 0 11 1 1 10 033 3 3 3

(2)

10 061 21 0.1, 0.62 3

1 11 103 3

x xy y x yx y x y

4. Ans: (1)91 (2)

101

甲袋中 3 球可能有○1 2 黑 1 白○2 1 黑 2 白○3 3 白 可列表得轉移矩陣

(1)

5 2 2 5 2 20 09 9 9 9 9 904 6 2 6 4 6 2 61 ,9 9 3 9 9 9 3 9

0 11 1 1 1 1 10 0 99 3 9 9 3 9

2 白 1 紅 1 白 2 紅

2 白 0 1 12 3 0

1 紅 1 白 1 1 2 1 12 3 2 3 2

3

2 紅 0 1 22 3 1

3

中 不中 中 0.8 0.7 不中 0.2 0.3

父 母 子

父 0 0 12

母 1 0 12

0 1 0

第十三章矩陣 P185~P186 第三單元 2/3

(2)

5 2 09 9 0.34 6 2 0.69 9 3

1 1 1 0.11 109 3

x x xy y yx y x y x y

5. Ans: (1)(3)(4)(5) 依○1 捷運○2 開車○3 機車 可列表得轉移矩陣

(1) 0.8 0.3 0.3 1 0.8 0.8 0.3 0.3 0.8 0.70.1 0.5 0.1 0 0.1 , 0.1 0.5 0.1 0.1 0.140.1 0.2 0.6 0 0.1 0.1 0.2 0.6 0.1 0.16

(2)

350.8 0.3 0.31 3 1 70.1 0.5 0.1 20 40 10 216 5 6 30

0.1 0.2 0.6 1 1 7130

xx xy y y Ex y x y

x y

6. Ans:(A)(B)

(A) 1det( ) 0 ( )AB AB 存在 (B) 2det(2 ) 2 detA A

(C)反例:0 01 0

A

(D)反例: cos sinsin cos

(E) 反例:1 01 1

A

7. Ans: 9 或127

沒有乘法反方陣 det 0A 3

3

1 0log 10

1 3 log2 1x

x

2 33 3x or

8. Ans: 4, 9, 3,7

由題意

17 9 2 1 2 1 7 9 4 93 4 1 5 1 5 3 4 3 7

A A

9. Ans:

131985642

1 1BYA C Y B CA

10.Ans:n=6 由已知 5 2 3 6A A A I A I 11.Ans:5

第十三章矩陣 P185~P186 第三單元 3/3

若令

2 31 10 2

a bA b

c

由題目可知 1

3 72 51 3

dA e

f

由 1 1, 2, 1, 4, 2, 1AA I a b c d e f

12.Ans: (1)

60304070....

(2) A有 2880 個， B有 660 個

(1) ，所求=0.7 0.40.3 0.6

(2) 20.7 0.4 0.61 0.52 2100

2880, 6600.3 0.6 0.39 0.48 1440

a aa b

b b

13.Ans: (1) 10

10

3 00 2

(2) 2

(1) APPB 1 =

1 1010

10

1 2 1 2 1 2 3 0 3 01 1 1 4 1 1 0 2 0 2

B

(2) 10 1 10 10 10 1B P A P A PB P 10 2 10 10

10 10 10 10

3 2 10 2 3 2 103 2 2 3 2

( , , , ) ( 1,2,2, 1)a b c d

A B

A 0.7 0.4

B 0.3 0.6

第十三章矩陣 P189 第四單元 1/2

1. Ans: 10 71 0

令矩陣

11 3 4 2 4 2 1 3 10 72 4 1 3 1 3 2 4 1 0

a b a b a bA

c d c d c d

2. Ans: (1)( 12

3 , 1 32

) (2)(1, 2) (3)( 23

, 2) (4)( 32

, 1)

(1)0 0

0 0

1 32cos150 sin150 21 1sin150 cos150 1 3

2

(2) tan 1 cos2 0,sin 2 1 cos2 sin2 2 0 1 2 1sin2 cos2 1 1 0 1 2

(3)1 2203 3

10 2 2

(4) 1 3211( , ) ( , ) 2 2

12 0 1 1x y x y y

3. Ans: 3x

11 2 3 21'( , ) L'

2 3 27x x y

P x yy x y

令 3 2 2( , ) 37 7

x y x yP L x

4. Ans: 2, 3a b

1 2 4 2 (4 1)

( 2 4 ,0 ) L0a t a a t

P t tb t bt

令

2 (4 1)' ,

0x a a t

L ty bt

可知

由( 2 ,0) : 3 4 0

2, 3(4 1, ) / /(3,1)

a L x ya b

a b

5. Ans: 1a ， 4b

1 1 1 (2 1)

(1 , 1 2 ) L3 1 2 3 ( 6)a t a a t

P t tb t b b t

令

1 (2 1)' ,

3 ( 6)x a a t

L ty b b t

可知

由( 1 , 3) 2 3

1, 4(2 1, 6) / /(1,2)

a b x ya b

a b

6. Ans: 155

直線 L 的斜率 2 3m ，所以對直線 L的鏡射矩陣為

第十三章矩陣 P189 第四單元 2/2

2

0 02 2

0 02

2 2

1 2 3 1cos30 sin301 1 2 2sin30 cos302 1 1 3

1 1 2 2

m mm mm mm m

由題意知0 0

0 0

cos30 sin30sin30 cos30

0 0

0 0

cos80 sin80sin80 cos80

=0 0

0 0

cos2 sin2cos( 50 ) sin( 50 )sin2 cos2sin( 50 ) sin( 50 )

又0 180 0 0 0 02 50 360 310 155 7. Ans:(4)

11 2 1 0 1 0 1 2 2 1

3 4 0 2 0 2 3 4 3 1A A

1 1 13 2

A

1 4 1det( 2 ) 17

3 5A A

8. Ans:12

( , ) ( 4 , )x y x y y 1 40 1

對應的矩陣為 1 4

A'B'C' = ABC | | 120 1

面積 面積

9. Ans: (1)C (2)B (3)E (4)G (5)J

(1) 1 0

( , ) ( , ) :0 1

x y x y

(2)

0 1( , ) ( , ) :

1 0x y y x

(3) 1 0

( , ) ( ,2 ) :0 2

x y x y

(4)

1 2( , ) ( 2 , ) :

0 1x y x y y

(5) 1 0

( , ) ( ,2 ) :2 1

x y x x y

第十三章矩陣 P190~P191 試題觀摩 1/3

1. Ans: 1

2 1 1 1 2 7 41 1 2 1 6 7x x xy x

Ay y y xy

2, 3 2 1x y x y

2. Ans: 2

題意可知 det 0 2A x

3. Ans: 2 33 2

或2 33 2

令a b

Ac d

0 1 0 11 0 1 0

A A

,a d b c ，即a b

Ab a

又 2 5 1212 5

A

2 2 52, 3

2 12a b

a bab

A

2 33 2

或2 33 2

4. Ans:(4)

1 1det 1det

a bA A A

c aA

1 2det( ) det(2 ) 2 det( ) 4A A A A

5. Ans: (1)(2)(4)

A 為鏡射矩陣 1A A ，又 1( )AB I B A I A

(1) 2( ) ( )AB A A A A A BA (2) ( )A B A A O (3) B A 為鏡射矩陣 (4) AB I

6. Ans:(2)(4)(5) (1) 直接展開 AB BA (2) 2 2 2A I A B BA (3) 2 3 11 3 6 5, ,A I B I A B A B A A

(4) 12 7AB A A (5) 2 15 15( )A I ABA AB A

7. Ans:(B)(C)(D)

由已知0 0

0 0

1 1 1 1 0 1 cos90 sin901 1 1 1 1 0 sin90 cos90

A A

A 為旋轉矩陣、 2A I 、 4A I

8. Ans:(C)(D)(E)

(A)反例:0 0 10 0 00 0 0

A B

(B) 3det(2 ) 2 det( )A A (C) 1 1A AB A AC B C

9. Ans: (2,5, 4) 由右矩陣可知 1, 3, 2z y x 帶回左矩陣 ( , , )a b c (2,5, 4)

10.Ans:1

第十三章矩陣 P190~P191 試題觀摩 2/3

令

3 2010 22 2011 32 2012 5

A

，由題意可知 1

a b cA d e f

g h i

由 1 2010 2011 2012 1AA I d e h

11.Ans:140

共有 5 球(2 白 3 紅)，A 箱中 2 球可能為○1 2 白○2 1 白 1 紅○3 2 紅 可列表得轉移矩陣

10 061 212 31 103 3

10 06 0.11 21 0.62 3

1 1 1 0.31 103 3

x x xy y yx y x y x y

200 0.1 150 0.6 100 0.3 140E

12.Ans:(1)(3)(5)

(1) 當 t 1 時， 1

1 1 1 2det 0

4 2 2 7M 方程式恆恰有一組解

(2) 當 t 3 時， 3det 0M 方程式無解或無限多組解

(3)(4)(5) 當 t 0 時， 0

0 1 1 2 0 43 2 0 4 3 14

M

0det 12 0M 且 10

14 41( )3 012

M

=

10| |M 1

12 且 1

0

1 12 4

xM y

y

13.Ans: (1)

3 14 21 14 2

(2) 10023

a ﹐ 10013

b (3)68.75%

12

1 14 2

( ) ( )

1 1( ) ( )2 2

3 1 1 1( ) ( )4 2 4 2

a

a b

A a B b

a a b

a b a b

3 14 2(1)1 14 2

(2)

2 23 12 13 34 2 ,

1 1 2 2 3 34 2 3 3

a b

為穩定狀態 10023

a ﹐ 10013

b

A B

A 34

12

B 14

12

第十三章矩陣 P190~P191 試題觀摩 3/3

(3)

113 1 3 3 1 31 164 2 4 4 2 4

1 1 0 1 1 1 1 54 2 4 4 2 4 16

, = 所求= 1116 68.75%

14.Ans: (1)

52

53

53

52

(2)12562

(3)

10

051

(4)

21)

51(

21

21)

51(

21

21)

51(

21

21)

51(

21

1010

1010

(1) 2 1 12 3( + ) ( + )5 5

a a b 偶 偶 奇 奇 ; 2 1 13 2( + ) ( + )5 5

b a b 偶 奇 奇 偶

2 35 5A=3 25 5

(2)

22 3 2 625 5 5 1253 2 3 635 5 5 125

所求=12562

(3) 1P AP

10

051

(直接乘開)

(4) 1 10 1 10( )P AP P A P 101( ) 0

50 1

10

10 11( ) 050 1

A P P

21)

51(

21

21)

51(

21

21)

51(

21

21)

51(

21

1010

1010

15.Ans:(2)(4)

(1)(2)(3) 乙袋中一球可能為○1 白○2 紅 可列表得轉移矩陣

2 13 31 23 3

2 1 213 3 3

1 2 0 13 3 3

P(白)= 23

、P(紅)= 13

又穩定狀態時，

2 13 31 2 1 13 3

x xx x

12

x P(白)= P(紅)

(4)(5) 乙袋中一球可能為○1 白○2 紅 可列表得轉移矩陣

1 12 21 12 2

21 1 112 2 2

1 1 0 12 2 2

，又穩定狀態時，

1 12 21 1 1 12 2

x xx x

12

x P(白)= P(紅)