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“無限” 入門– 無限に近づく・無限個を比べる・無限に続く –
東京理科大学 理工学部 数学科 加塩朋和
2018年 10月 6日 (土)専修大学 松戸高等学校
模擬講義
理科大 理工 数学科 加塩朋和 “無限” 入門 10 月 6 日 1 / 22
大学/講演者紹介
東京理科大学 4 キャンパス (※ 学科再編計画あり)
基礎工学部
薬学部, 理工学部
理学部, 工学部, 基礎工学部
理学部, 工学部, 経営学部
理科大 理工 数学科 加塩朋和 “無限” 入門 10 月 6 日 2 / 22
大学/講演者紹介
東京理科大学・理工学部
数学科
物理学科
情報科学科
応用生物科学科
建築学科
先端化学科
電気電子情報工学科
経営工学科
機械工学科
土木工学科
※ 神楽坂キャンパス・理学部（一部・二部）にも数学科あり
理科大 理工 数学科 加塩朋和 “無限” 入門 10 月 6 日 3 / 22
大学/講演者紹介
東京理科大学・理工学部数学科
解析学系· · · “変化” を調べる幾何学系· · · “空間” を調べる代数学系· · · “演算” を調べる
オープンキャンパス2018Open Campus
卒業後の進路After Graduation
進路サポートCareer Guidance
進学17.5%（17人）
その他（進学・留学予定者等）11.4%（11人）
その他の製造業 2.1％（2人）
食品 1.0％（1人）
機械器具 1.0％（1人）卸売・小売業 2.1％（2人）
公務員 3.1％（3人）サービス 6.2％（6人）
情報通信業 13.4％（13人）
金融・保険 16.5％（16人）
教育関係 24.7%（24人）
電子部品 1.0％（1人）
（平成28年度実績）
就職・進学ガイダンス ■３年次後期に、就職・進学希望者向けのガイダンスを実施■本学科４年生の進路内定者から体験談などを聞ける講演会を実施
会社説明会 ■大手企業から本学科への推薦枠や説明会を実施
教職志望
公務員試験対策 ■各種ガイダンスや「国家公務員採用試験対策」などを実施
■本学大学院に「教職コース」（6年一貫教育）を設置■中学校・高等学校の校長経験者によるきめ細かい支援■本学科卒業の教員OBOGとの連携による支援
卒業生の声Voice
論理的思考力を養った数学科 理工学部数学科では、論文や資料を隅々まで読み込み、それが正しい議論をした内容なのか確かめる研究を行います。その過程で、足りない部分を自分で補い理解する力が身に付きます。数学を勉強することで身についた論理的思考は、信頼性の高いシステムを作る上で役立っていると感じています。
コミュニケーション力を育んだ部活動 金融系システムの開発は大規模なものとなります。そのため、プロジェクトを円滑に進めるには、人との積極的な関わり合いが重要となります。私は在学中、音楽系サークルに入っていましたが、そこで学んだコミュニケーション力は、今でも生きていると実感しています。NEC 金融システム開発本部 表 伊織立川研究室／2015年度卒
野田キャンパス 平成30年8月11日(土・祝)9:30～15:00
数学科イベント 学科紹介・研究室見学・大学説明会（入試/進路/学生生活）・模擬実験・模擬授業・個別進学相談などを予定
主任による学科紹介 大学院生による模擬授業＜石鹸膜の数学＞
進学相談会 in 理大祭（東京理科大学学園祭）RIDAI festival/Consulting
野田キャンパス 平成30年11月24日(土)、25日(日)(予定)
理大祭イベント 理科実験教室「サイエンス夢工房」サークル出店・芸能人企画・進路相談会などを予定※進路相談会では現役理科大生も相談受付
■入試制度（一般入試、推薦入試）
■入試相談会
入試情報（平成31年度入学 入試制度・相談会）Admission Exam/Consulting
A方式センター試験
国語数学理科外国語
B方式本学独自試験
数学理科英語
C方式センター試験＋本学独自試験併用
センター試験（国語、外国語）
および本学独自試験
（数学、理科または数学のみ）
新グローバル方式
英語の資格・検定試験および
本学独自試験（数学）
推薦指定校・公募制
面接等
※平成30年度から新グローバル方式、公募制推薦を開始しました。※他にも帰国子女・外国人留学生のための入試も実施しています。
※詳細な情報は本学Web（入試情報）でご確認ください。
期間・場所 9月から12月まで 札幌、仙台、東京、大阪、福岡ほか全国各地 ※事前申込制の会場有り
内 容 本学の入試アドバイザーによる本学の教育・研究についての説明
平成 28年度 主な就職先（大学院生含む）【メーカー】VSN、イセ食品、グローブライド、パナソニック、ブシロード 【金融】みずほフィナンシャルグループ、大和証券、朝日生命保険、あおぞら銀行、ファイナンシャルブレインシステムズ、群馬銀行、三井住友銀行、第四銀行、SMBCコンシューマーファイナンス、カブドットコム証券、住信 SBI ネット銀行、太陽生命保険、明治安田生命保険、日新火災海上保険 【商社】グッドライフOS 【流通】イオンリテール 【サービス】アクセンチュア、ジェイエイシージャパン、ステップ（藤沢市）、テクノプロ（テクノプロ・デザイン社）、パソナ、栄光、SBIホールディングス 【IT・情報処理】JIEC、エヌジェーケー、ジーダット、ワークスアプリケーションズ、日本ビジネスエンジニアリング、ANAシステムズ、NECソリューションイノベータ、TIS（ITホールディングス）、テラインターナショナル、OZsoft、日興システムソリューションズ、日立ハイシステム２１、NTTデータ・ファイナンス・ソリューション 【情報（通信・マスコミ）】ジュピターテレコム（J:COM）、日本電気（NEC）、東日本電信電話（NTT東日本）【官公庁・団体】国税庁 税務署（国税専門官）、千葉県 八街市職員、防衛省 陸上自衛隊 【教育機関】中学・高校教員多数
研究室紹介Laboratory
先輩たちの声Voice
整列や関数の列に対してその極限を考えることができます。解析学は、この極限の概念を用いて、変化する量を観察し研究する学問です。
解 析 学 系
広く図形をどう捉えるかに関係するのが幾何学ですが、必ずしも見える物だけを扱うわけではなく、もっと広く物の見方や考え方にも及びます。
幾 何 学 系
廣瀬研究室 指導教員 廣瀬 進 教授
【研究分野】低次元トポロジー
大橋研究室 指導教員 大橋 久範 講師
【研究分野】射影幾何学、複素幾何学
馬場研究室 指導教員 馬場 蔵人 講師
【研究分野】微分幾何学
田中研究室 指導教員 田中 真紀子 教授
【研究分野】微分幾何学
足し算や掛け算など、演算の性質に注目して、実数や複素数、ベクトルなどの構造を体系的に調べるのが代数学です。－（マイナス）に－を掛けるとなぜ＋（プラス）になるのか。小学校以来の疑問に代数学は答えを与えます。
代 数 学 系
青木研究室 指導教員 青木 宏樹 准教授
【研究分野】保型形式とその周辺
八森研究室 指導教員 八森 祥隆 准教授
【研究分野】整数論
加塩研究室 指導教員 加塩 朋和 講師
【研究分野】整数論
小松研究室 指導教員 小松 亨 講師
【研究分野】整数論
伊藤研究室 指導教員 伊藤 浩行 教授
【研究分野】代数幾何学、応用代数学
側島 基宏松本 雄也
【研究分野】偏微分方程式
【研究分野】整数論、代数幾何学
大森 俊明田神 慶士若狭 恭平
【研究分野】大域解析学、幾何解析学
【研究分野】位相幾何学
【研究分野】偏微分方程式論
嘱 託 助 教
相木研究室 指導教員 相木 雅次 講師
【研究分野】偏微分方程式
立川研究室 指導教員 立川 篤 教授
【研究分野】変分問題、非線形偏微分方程式
平場研究室 指導教員 平場 誠示 教授
【研究分野】確率論、確率過程論
松本研究室 指導教員 松本 和子 教授
【研究分野】多変数複素関数論
山崎研究室 指導教員 山崎 多恵子 教授
【研究分野】偏微分方程式論
牛島研究室 指導教員 牛島 健夫 准教授
【研究分野】非線形放物型偏微分方程式と数値解析
poles on the line x＝0.5The Riemann zeta function………
Dehn twist presentations for the automorphism groupof Klein‘s quartic curve（by S. Hirose）
専門性を極めた数学教師を目指して教員（埼玉県立） 吉澤 一成加塩研究室／2016年度卒
大学では数学を極めるとともに教職についても深く学びたいと思っていました。理科大はそれが両立しており、教員採用試験のサポートも充実しています。春からは埼玉県の教師として働くことになりますが、専門を深く学んだからこその授業づくりをしていきたいと考えています。
充実した学生生活をみずほ銀行 石川 楓牛島研究室／2016年度卒
大学生は勉強がとにかく大変そう、というイメージがあるかもしれません。しかし多くの理科大生は忙しい中でも自分の時間をうまく使い、いろんな事に挑戦しています。部活動、アルバイトや趣味に没頭する事も自分たちの工夫次第。東京理科大学は勉強以外の多くの事を学べる大学だと思います。
数学科は面白い理工学研究科 数学専攻 修士課程 小野 孝寛青木研究室／2015年度卒
数学科は複数の意味で面白いです。大学院の同期・先輩方も、数学科の先生方も、とても個性が強く面白い人達ばかりで話題に困ることがありません。もちろん、数学も面白いです。数学という学問の感覚を会得し、その面白さに気付いたとき、もう戻れなくなります。
Q and AFrequently Asked Questions
─ 大学の数学ってどんなの？高校との違いは？
大学の数学では高校で勉強した内容をもう一度
定義から厳密に見直します。厳密で単純な論理を柔軟に組合わせた論証によって、様々な数学の理論を大学で学ぶことができます。
─ 教師になるためにはどうすれば良いでしょうか？
─ 理工学部（野田）と理学部（神楽坂）の数学科の違いは何ですか？
まずは教職課程を履修して教員免許状を取得す
ることが必要になります。その後、中学・高校の教員採用試験で採用されることで教師になることができます。理工学部数学科の教師は専門（数学）に強い教師として伝統と実績があります。
野田の数学科は、理工学部の中にあって、応用ま
で視野に入れた数学をめざしています。また、少人数の演習やセミナー形式（3年前期から）による対話型教育に力を入れています。
理科大 理工 数学科 加塩朋和 “無限” 入門 10 月 6 日 4 / 22
目次
今日は 3 つ (か 2 つ) の “無限” にまつわる話を紹介します.
極限· · · 限り無く近づく素数の濃度· · · 無限個を比べる循環小数・連分数· · · 限り無く続く
理科大 理工 数学科 加塩朋和 “無限” 入門 10 月 6 日 5 / 22
数列の “極限”
収束 = (何かに) 限り無く近づく, 極限 = 何に近づくか.
例えば 1, 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, . . . は, 極限 0 に収束している.
定義無限数列 a1, a2, . . . , an, . . . が, ある値 a に 限り無く近づく とき
{an}n=1,2,3,... は a に 収束 する,
{an}n=1,2,3,... の 極限 は a,
limn→∞
an = a,
an → a (n → ∞).
などと書く.
理科大 理工 数学科 加塩朋和 “無限” 入門 10 月 6 日 6 / 22
数列の “極限”
無限小数も有限小数の 極限 です. 例えば
0.33333 . . . = 13 .
(0.33333 . . . = 0.3(1 + 0.1 + 0.01 + · · · )a=0.1= 0.3 ∗ 1
1−0.1=0.30.9 = 1
3)
0.99999 . . . = 1.(0.99999 . . . = 0.9(1 + 0.1 + 0.01 + · · · ) a=0.1
= 0.9 ∗ 11−0.1 = 0.9
0.9 = 1)
等比級数の和の極限
|a| < 1 なら 1 + a+ a2 + a3 + · · · = 11−a .
(すなわち 1 + a+ a2 + a3 + · · ·+ an → 11−a).
Proof.
1 + a+ a2 + a3 + · · ·+ an = 1−an+1
1−a と 11−a の差
11−a − 1−an+1
1−a = an+1
1−aは, n → ∞ のとき限り無く 0 に近づく.
理科大 理工 数学科 加塩朋和 “無限” 入門 10 月 6 日 7 / 22
素数の “個数”
1 と自分自身以外に正の約数を持たない自然数を 素数 と呼びます.
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, . . . } ⊃ P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, . . . }
|N| = ∞ (|A| は集合 A の要素の個数). |P| ?= ∞
Proof.
もし |P| = k < ∞ なら P = {p1, p2, . . . , pk} と書ける. このとき
p1 ∗ p2 ∗ · · · ∗ pk + 1
は, どの素数 pi で割っても 1 余る. これ以上 “分解” できないから素数.これは p1 ∼ pk より大きい素数となり矛盾.
素数はどれくらい多いか？
理科大 理工 数学科 加塩朋和 “無限” 入門 10 月 6 日 8 / 22
素数の “個数”
1 ∼ 10 のうち, 素数は 2, 3, 5, 7 の 4 個.1 ∼ 100 のうち, 素数は 2, 3, 5, . . . , 83, 89, 97 の 25 個.1 ∼ 1000 のうち, 素数は 2, 3, 5, . . . , 983, 991, 997 の 168 個.1 ∼ 10000 のうち, 素数は 2, 3, 5, . . . , 9949, 9967, 9973 の 1229 個.
n 以下の素数の個数を π(n) と書くことにする. π(10) = 4, π(100) = 25,π(1000) = 168, π(10000) = 1229, lim
n→∞π(n) = ∞.
素数定理 (ガウス, リーマン, アダマール, ドゥ・ラ・ヴァレ・プーサン)
limk→∞
kπ(10k)
10k= 0.4342944819 . . . すなわち π(10k) ≒ 0.4342944819...∗10k
k .
例えば「 いちがい
一垓 以下の素数の個数」は
π(1020) = 2220819602560918840 ≒ 2171472409516259138.誤差 49347193044659702 個, 2.2%
なお 0.43429 . . . = log10 e (数 II) であり, 通常は π(x) ∼ x
loge xと書く.
理科大 理工 数学科 加塩朋和 “無限” 入門 10 月 6 日 9 / 22
素数の “個数”
素数定理の精密化は, 未解決問題 リーマン予想 と関係する.
1 + 12 + 1
3 + 14 + 1
5 + 16 + 1
7 + 18 + 1
9 + 110 + 1
11 + 112 + 1
13 + 114 + · · ·
= 1+ 121+ 1
31+ 1
22+ 1
51+ 1
2131+ 1
71+ 1
23+ 1
32+ 1
2151+ 1
111+ 1
223+ 1
131+ 1
2171+· · ·
= (1+ 121+ 1
22+· · · )(1+ 1
31+ 1
32+· · · )(1+ 1
51+ 1
52+· · · )(1+ 1
71+ 1
72+· · · ) · · ·
= 11− 1
2
∗ 11− 1
3
∗ 11− 1
5
∗ 11− 1
7
∗ · · · (∵ 等比級数の和の極限 )
= 11− 1
2
∗ 11− 1
3
∗ 11− 1
5
∗ · · · ∗ 11− 1
pk
< ∞. (もし P = {2, 3, 5, . . . , pk} なら)
一方で
1+ 12 +
13 +
14 +
15 +
16 +
17 +
18 +
19 +
110 +
111 +
112 +
113 +
114 +
115 +
116 + · · ·
∨1+ 1
2 +14 +
14 +
18 +
18 +
18 +
18 +
116 +
116 +
116 +
116 +
116 +
116 +
116 +
116 + · · ·
= 1 + 12+
24+
48+
816 + · · · = 1 + 1
2 + 12 + 1
2 + 12 + · · · = ∞
[1 + 12 + 1
3 + 14 + · · · は収束しない] ことが |P| = ∞ の別解を与える!!!
理科大 理工 数学科 加塩朋和 “無限” 入門 10 月 6 日 10 / 22
素数の “個数”
リーマンゼータ関数 ζ(s) = 1 +1
2s+
1
3s+
1
4s+
1
5s+
1
6s+
1
7s+ · · ·
には 素数の情報 が隠されている. 例えば
ζ(1) = 1 + 12 + 1
3 + 14 + 1
5 + 16 + 1
7 + · · · = ∞ ⇒素数は無限個存在する.
さらに ζ(s) = 0 の “複素数” 解 (数 II) と, 素数定理の精密化が関係する.
: z =1
|ζ(x+ y√−1)|
の 3 次元グラフ.
ζ(s) = 0 となる s = x+ y√−1 で上に突き出ている. これらが “一列に
並んでいる” ≒ リーマン予想 は 100万ドルの懸賞問題.理科大 理工 数学科 加塩朋和 “無限” 入門 10 月 6 日 11 / 22
無限小数・連分数
(無限)小数
0.50000000 . . .= 12
0.33333333 . . .= 13
0.18518518 . . .= 527 有理数
———————————————————————————–1.41421356 . . .=
√2
3.14159265 . . .= π 無理数定義
“整数
0 以外の整数” を 有理数 と呼び, 有理数でない数を 無理数 と呼ぶ.
定義ある桁以降, 同じ並びがずっと繰り返される小数を 循環小数 と呼ぶ.
理科大 理工 数学科 加塩朋和 “無限” 入門 10 月 6 日 12 / 22
無限小数・連分数
有理数 ⇔ 循環小数 (または有限小数).
(有理数 ⇐ 循環小数).
例えば 0.185185185 . . .
= 0.185 + 0.000185 + 0.000000185 + · · ·= 185
1000 + 1851000000 + 185
1000000000 + · · ·= 185
1000
(1 + 1
1000 + 110002
+ 110003
+ · · ·)
= 1851000
11− 1
1000
= 185999 = 5
27 .
※ (⇒) は “合同式” (大学 2, 3 年目くらいで習う) を用いて証明できる.
理科大 理工 数学科 加塩朋和 “無限” 入門 10 月 6 日 13 / 22
無限小数・連分数
実数の中で “一番簡単なもの” が有理数. その “簡単さ” は小数展開の循環 としても現れた.無理数でも “比較的簡単なもの” は, 別の形で “循環” している.
定義
整数係数方程式 anxn + an−1x
n−1 + · · ·+ a1x+ a0 = 0 (a0, . . . , an は整数) の解を 代数的数 と呼ぶ.また, 最小で n 次整数係数方程式の解となる数を n 次無理数 と呼ぶ.
√2,√5, 1 +
√3 · · · 2 次無理数: x2 − 2, x2 − 5, x2 − 2x− 2
3√2 · · · · · · · · · · · · · · · 3 次無理数: x3 − 2
代数的数でない数 (π など) は 超越数 と呼ばれる.
2 次無理数も “循環” する.
理科大 理工 数学科 加塩朋和 “無限” 入門 10 月 6 日 14 / 22
無限小数・連分数
定義
有限連分数 a0 +1
a1 +1
a2 +1
. . . an−1 +1
an
無限連分数 a0 +1
a1 +1
. . . an−1 +1
an +1
. . .
循環連分数 無限連分数で a1, a2, . . . , an, . . . が (途中から) 循環するもの.
※ 連分数のなかでも [正則連分数] と呼ばれるもの.理科大 理工 数学科 加塩朋和 “無限” 入門 10 月 6 日 15 / 22
無限小数・連分数
例
1 +1
2=
3
2= 1.5
1 +1
2 +1
2
= 1 +1
5
2
= 1 +2
5=
7
5= 1.4
1 +1
2 +1
2 +1
2
= 1 +1
2 +1
5
2
= 1 +1
2 +2
5
= 1 +1
12
5
= 1 +5
12=
17
12= 1.4166 . . .
1 + 12+ 1
2+ 1
2+12
= 1+ 12+ 1
2+ 152
= 1+ 12+ 1
2+25
= 1+ 12+ 1
125
= 1+ 12+ 5
12
= 1 + 12912
= 1 + 1229 = 41
29 = 1.4137 . . ..
※ 無限連分数は増減を繰り返しながら , 収束することが示せる.
理科大 理工 数学科 加塩朋和 “無限” 入門 10 月 6 日 16 / 22
無限小数・連分数
例
1 + 12+ 1
2+ 1
2+ 1
2+ 1
2+ 1
2+12
=577
408= 1.4142156862 . . .
1 + 12+ 1
2+ 1
2+ 1
2+ 1
2+ 1
2+ 1
2+ 1
2+ 1
2+ 1
2+ 1
2+ 1
2+ 1
2+12
=275807
195025= 1.4142135623 . . .
実は, 無限連分数 1 +1
2 +1
2 +1
2 +. . .
の極限は√2.
理科大 理工 数学科 加塩朋和 “無限” 入門 10 月 6 日 17 / 22
無限小数・連分数
1 +1
2 +1
2 +1
2 +. . .
?=
√2
しながら, ある値 a に収束する. このとき
1 +1
2 +1
2 +1
2 +. . .
= 1 +1
1 + 1 +1
2 +1
2 +. . .
⇒ a は x = 1 +1
1 + xの解. (⇔ x = 2+x
1+x ⇔ x(1 + x) = 2 + x ⇔ x2 = 2)
しかも a > 1 > 0.理科大 理工 数学科 加塩朋和 “無限” 入門 10 月 6 日 18 / 22
無限小数・連分数
定理2 次無理数 ⇔ 循環連分数
例√2 = 1 +
1
2 +1
2 +. . .
,√3 = 1 +
1
1 +1
2 +1
1 +1
2 +. . .
,
√5 = 2 +
1
4 +1
4 +. . .
,√6 = 2 +
1
2 +1
4 +1
2 +1
4 +. . .
, . . .
理科大 理工 数学科 加塩朋和 “無限” 入門 10 月 6 日 19 / 22
無限小数・連分数
[2 次無理数 ⇐ 循環連分数]
a0 +1
a1 +1
. . . an−2 +1
an−1 +1
an + x
= a0 +1
a1 +1
. . . an−2 +1
an−1(an + x) + 1
an + x
= a0 +1
a1 +1
. . . an−2 +1
an−1an + 1 + an−1x
an + x
= a0 +1
a1 +1
. . . an−2 +1
A + Bx
C + Dx
= a0 +1
a1 +1
. . . an−2 +C + Dx
A + Bx
= a0 +1
a1 +1
. . .an−2(A + Bx) + C + Dx
A + Bx
= a0 +1
a1 +1
. . .(an−2A + C) + (B + D)x
A + Bx
= a0 +1
a1 +1
. . .A′ + B′x
C′ + D′x
= · · · =“x の 1 次式”
“x の 1 次式”の形.
理科大 理工 数学科 加塩朋和 “無限” 入門 10 月 6 日 20 / 22
無限小数・連分数
[2 次無理数 ⇐ 循環連分数].
x =1
a1 +1
. . .1
an +1
a1 +1
. . .1
an +. . .
=1
a1 +1
. . .1
an + x
=A+Bx
C +Dx
⇒ Cx+Dx2 = A+Bx ⇒ Dx2 + (C −B)x−A = 0.
※ [2 次無理数 ⇒ 循環連分数] の証明は, 卒業研究レベル.
理科大 理工 数学科 加塩朋和 “無限” 入門 10 月 6 日 21 / 22
無限小数・連分数
2 次無理数 ⇔ 循環連分数
n 次無理数 version (n ≥ 3) は未解決問題.超越数 version ？？？
以下は当研究室修士 1年の吉崎彪雅君が高校時代に見つけた式です:
22√
2−√2 = 3.0614674589 . . .
23
√2−
√2 +
√2 = 3.1214451522 . . .
24
√2−
√2 +
√2 +
√2 = 3.1365484905 . . .
2
√の個数
√√√√√2−
√√√√2 +
√2 +
√2 +
√2 +
√2 + · · · → π.
理科大 理工 数学科 加塩朋和 “無限” 入門 10 月 6 日 22 / 22