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CCuuaaddrrii lláátteerrooss
Matemática
11ºº AAññoo CC oo rr rr ee cc cc ii óó nn yy aa dd aa pp tt aa cc ii óó nn ::
PP rr oo ff .. MM aa rr íí aa dd ee ll LL uu jj áá nn MM aa rr tt íí nn ee zz PP rr oo ff .. MM óó nn ii cc aa NN aa pp oo ll ii tt aa nn oo
DD pp tt oo .. dd ee MM aa tt ee mm áá tt ii cc aa
CC óó dd .. 11 11 00 77 -- 11 55
P O L I T E C N I C O 1
En todo paralelogramo, las diagonales se bisecan
En todo paralelogramo, los lados opuestos son congruentes
1.1. PARALELOGRAMO
Definición
Los paralelogramos gozan de las siguientes propiedades
PROPIEDAD 1
PROPIEDAD 2
Observación:
El punto de intersección de las diagonales es centro de simetría, ¿por qué?
PROPIEDAD 3
Demuestra las Propiedades 1, 2 y 3.
o
En todo paralelogramo, los ángulos opuestos son congruentes
Un paralelogramo es un cuadrilátero con sus lados opuestos paralelos
Los Cuadriláteros
Matemática
P O L I T E C N I C O 2
Si los lados opuestos de un cuadrilátero son congruentes, entonces es un paralelogramo
Propiedades recíprocas
Las propiedades anteriores, enuncian las condiciones necesarias de
los cuadriláteros que son paralelogramos. ¿Serán suficientes? Es
decir, si un cuadrilátero cumple con alguna de esas condiciones, el
mismo,¿será paralelogramo?
Actividad Nº 1:
Traza un cuadrilátero abcd con lados opuestos congruentes.
Sugerencia: Para su construcción convendrá trazar primero dos lados
consecutivos ab y bc , luego con la herramienta “Compás” traza dos
circunferencias de radio ab y bc con centros en c y a respectivamente.
En la intersección de ambas se encuentra el punto d.
Comprueba que se trata de un paralelogramo
PROPIEDAD 4
Actividad Nº2:
Traza los segmentos bdac y tales que se bisequen en un
punto o ¿Qué tipo de cuadrilátero resulta?
Prueba moviendo alguno de los vértices, ¿qué puedes
concluir?
PROPIEDAD 5 Si las diagonales de un cuadrilátero se bisecan,
entonces el mismo es un paralelogramo
¿Qué significa que sea necesario y suficiente?
Un ejemplo: El tomar 2l de agua diaria es una condición necesaria para tener una buena salud. Ahora, claro está que sólo de agua no vive el hombre. es decir que no es una condición suficiente. Investiga “Condición necesaria y suficiente” en Wikipedia y escribe un par
de ejemplos cotidianos.
TEC (GeoGebra) Podrás usar el comando “Compás”
Justifica esta construcción
TEC (GeoGebra) Recurre a “Relación entre dos objetos”
P O L I T E C N I C O 3
Actividad Nº 3: Traza un cuadrilátero con ángulos opuestos congruentes.
Sugerencia: Para su construcción, previamente prueba que si en un cuadrilátero los ángulos opuestos son congruentes, entonces sus ángulos consecutivos son suplementarios.
PROPIEDAD 6
CONDICIONES NECESARIAS Y SUFICIENTES
De las propiedades 1 y 4 resulta: En símbolos:
abcd paralelogramo adbcdcab
De las propiedades 2 y 5 resulta: En símbolos:
abcd paralelogramo odboocao
De las propiedades 3 y 6 resulta: En símbolos:
Si los ángulos opuestos de un cuadrilátero son congruentes entonces es un paralelogramo.
Un cuadrilátero, es paralelogramo si y sólo si los ángulos opuestos son congruentes
Un cuadrilátero, es paralelogramo si y sólo si las diagonales se bisecan
Un cuadrilátero, es paralelogramo si y sólo si los lados opuestos son congruentes
Los Cuadriláteros
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abcd paralelogramo
dbca
Otra propiedad importante: En símbolos:
abcd paralelogramo cd//abcdab
Verifica usando el GeoGebra esta Propiedad y luego demuéstrala.
Problemas
1) Demuestra que las bisectrices de dos ángulos opuestos de un paralelogramo son
paralelas.
2) Demuestra que las bisectrices de dos ángulos consecutivos de un paralelogramo son perpendiculares.
3) Si x e y son los puntos medios de los
lados opuestos de paralelogramo abcd y
oacxy , ¿será o punto de intersección
de las diagonales? Justifica tu respuesta.
4) H) abcd paralelogramo
dcfb
abde
T) fbde
Realiza la demostración
5) H) decf paralelogramo
acbc
T) perímetro paralelogramo decf = bc2
Realiza la demostración
Un cuadrilátero, es paralelogramo si y sólo si posee un par de lados opuestos congruentes y
paralelos
d y c a x b d f c
a e b
a
e
b
d
c f
P O L I T E C N I C O 5
6) H) xyzt paralelogramo
taby
T) tbya paralelogramo Realiza la demostración.
7) Sabiendo que xc es mediana del cbd
y que ,ˆˆ bdadbe , demuestra que abed es un paralelogramo 1.2. TRAPECIO Definición 1.2.1 TRAPECIO ISÓSCELES Definición
En símbolos:
cdab
cdab
adbc
//
//
abcd trapecio isósceles
Observación A cualquiera de los lados paralelos se le llama base del trapecio isósceles.
Un trapecio que tiene el par de lados no paralelos congruentes se llama trapecio isósceles
a d
c b
t a z
x b y
e
b
a c
d
x
Un trapecio es un cuadrilátero que posee al menos un par de lados opuestos paralelos
Los Cuadriláteros
Matemática
P O L I T E C N I C O 6
(3) (4) (5) (3)
Propiedades:
(I) En un trapecio isósceles, los ángulos de la base son congruentes. (II) En un trapecio isósceles, las diagonales son congruentes.
Demostraremos la propiedad I.
H) abcd trapecio isósceles, adbc //
T)
cbda y
D) Completa las proposiciones y así obtendrás la demostración
Trazamos abcm// , entonces abcm es un paralelogramo. ¿Por qué?.............
Luego:
dmccdcm
cdab
cmab
2
1 isósceles
da
dmca
ddmc
(6))(Por
Ya demostramos que: (*)
da
cb
day
dcba
Rdc
Rba
(*).............en........ internosconjugadosser por 2
....................... en internosconjugadosser por 2
(1)………………………………………………………………………
(2)………………………………………………………………………
(3) Propiedad transitiva
(4)……………………………………………………………………….
(5) En todo triángulo, a lados congruentes se opones ángulos congruentes
(6) Ángulos correspondientes en …………………………………………
P O L I T E C N I C O 7
Problemas
8) Demuestra la Propiedad II 9) Demuestra que si un trapecio posee el par de ángulos de una base congruentes,
entonces el trapecio es isósceles.
10) En el paralelogramo abcd donde adbc // , sea el punto m del lado ad y
perteneciente a la bisectriz del ángulo interior
b . Sabiendo que
ab 2 ,
demuestra que el cuadrilátero bmdc es un trapecio isósceles.
1.3. BASE MEDIA
BASE MEDIA DE UN CUADRILÁTERO
Consideremos la siguiente definición: Simbólicamente:
p punto medio de ab
pq base media del abcd
q punto medio de cd
Construye la otra base media
Base Media de un cuadrilátero es el segmento determinado por los puntos medios de dos lados opuestos
b p
a
d
q
c
Los Cuadriláteros
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P O L I T E C N I C O 8
BASE MEDIA DE UN PARALELOGRAMO En el caso particular que el cuadrilátero es un paralelogramo pueden demostrarse que:
H) abcd es un paralelogramo
mn base media
T) dcmnabmn//// ;
D) Completando las proposiciones obtendrás la
demostración
abcd es un paralelogramo bcad// (1)
mn base media
(3) 2
1 de
(2) 2
1 de
....................................
...................
bcn
admdadm
De (1) ;(2) y (3) ncmd// por ser mitades de lados opuestos de un paralelogramo.
ncmd//
mdcn es un…………………… pues
……………………………………………………………………………………..
mdcn paralelogramo dcmn//
//mn ……....
// ………..
a
m
b
n
c d
La base media de un paralelogramo es paralela y congruente con los lados opuestos del paralelogramo
P O L I T E C N I C O 9
abcd paralelogramo dcab//
BASE MEDIA DE UN TRAPECIO Cuando el cuadrilátero es un trapecio puede demostrarse que:
H) abcd es trapecio con cdab//
mn base media
T) mncdab //// ; 2
cdabmn
Completa las proposiciones para demostrar el teorema. Previamente efectuaremos una construcción auxiliar:
por n trazamos una recta S paralela a ad y llamamos qS ab
y rS dc
Comparamos los triángulos crnnqb
y
bqn cnrqnb ˆˆ por ...........................
y rcnnbq ˆˆ por ........................... cnrnqb
pues .............
crn
ncbn por ........................... .........................................................................................................................................
S a b q m n d r c
b a
n m
d c
El segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos de un trapecio es paralelo a los otros dos lados y congruente con su semisuma
Los Cuadriláteros
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P O L I T E C N I C O 10
nrqn
rcbqcnrnqb por ......................................................
aqrd es un paralelogramo por construcción
m punto medio de ad por H
mn es ......................................
n punto medio de qr por
De aqdr mn// mnaq
// dr siendo aq
// cr de donde
(Aquí se demuestra la primera parte de la Tesis) Además
rccdmndrmn
bqabmnaqmn
cdabmn 2
(se demuestra la segunda parte de la tesis) BASE MEDIA DE UN TRIÁNGULO Si se extiende la definición de base media de un cuadrilátero para un triángulo resulta:
(1)
(1)
cdabmn ////
..................mn
Base Media de un triángulo es el segmento que posee como extremos los puntos medios de dos lados
TEC (GeoGebra)
P O L I T E C N I C O 11
La base media respecto a un lado del triángulo, es paralela y congruente con la mitad del mismo
Dibuja un triángulo y construye la base media respecto a uno de los lados y mide ambos segmentos. Mueve cualquier vértice de dicho triángulo, ¿puedes encontrar alguna regularidad?
PROPIEDAD
Vamos a demostrarla
H)
media base mp
abc
T)
acmp
acmp
2
1
//
D) Trazo abR// por el punto p, tacR ; luego trazo acA // por el punto b,
qRA .
Por construcción: abqt es un ………………………… (*) atbq
Comparamos:
)( qp y (**)
por ...................
por ..........
datopor
pttcbqtpcbqp
qbp
bpq
bp
tcp
y
bqp
.......
...................
acmp
atat
abqtmpqt
abm
//
//
(5))(por mp y mp
amoparalelogrdel media base es )(por de medio punto p
datopor de medio punto
Por (1)
Por (2) Por (3)
Por (4)
Los Cuadriláteros
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De (*) y (**) y por propiedad transitiva:
acmpmpacatmpatactcat2
122 )(
(1)……………………………….
(2)………………………
(3) Elemento homólogo
(4) La base media de un paralelogramo es paralela e igual a la base
(5)………………………………………………………………..
Problemas
11) Calcula la medida de la base media mn , en cada caso a) b)
12) Calcula x e y si bcpqmn ////
a)
13) r, s y t son puntos medios de los lados del cba
cuyos lados miden:
Por (5)
5
m n 12 15
m n 8
b s r c a t
Sabiendo que:
mn base media qap
pq base media cba
c
b
n m
a
8 q p
x
y
21
x
mn base media pbcq
n m
c b
p q
12
b)
P O L I T E C N I C O 13
Toda recta paralela a un lado de un triángulo trazada por el punto medio de otro de los lados, interseca al
tercer lado en el punto medio de éste.
cmabycmbccmac 453223 ,
Halla el perímetro del tsr
14) Si x, y, t son puntos medio de los lados acybcab , respectivamente del
cba
, demuestra que xyct es un paralelogramo 15)
ACTIVIDAD Nº4
Construye el triángulo
abc , ubica el punto m, punto medio del lado ab y
traza la recta R paralela al lado ac que pasa por m. Busca el punto de
intersección de R con el lado bc y mide los segmentos mc y bm . Mueve
cualquier vértice del triángulo. ¿Qué puedes conjeturar?
PROPIEDAD
A continuación demostraremos la propiedad
e, f, g y h son los puntos medios de
los lados consecutivos de un cuadrilátero no convexo de la figura. ¿Será efgh un paralelogramo?. Justifica tu respuesta.
TEC (GeoGebra)
a
c
b
d e f
g h
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H)
RmacR
m
ab de medio punto
,//
T) bc medio punto n
D) Trazamos mnarbqabqr ////// y mnqb y mnra son
paralelogramos, con lo que:
nqrnrnammbnq
Ahora comparemos los triángulos nrcnqb
y
...............por ...................
por
................por.......
ncbncrnbqn
bnq
nqrn
nqb
crn
y
bqn
................
(1)……………………………………………….. ………………………………………………. (2)………………………………………………..
Problemas
16) Prueba que el segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos de un trapecio biseca a las dos diagonales.
Por (1) Por (2)
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Las diagonales del rectángulo son congruentes
Si un paralelogramo tiene sus diagonales congruentes es un rectángulo
17) Sea abcd un paralelogramo, e y f los puntos medios de los lados opuestos
cdyab respectivamente. Demuestra que fbyde dividen a la diagonal ac
en tres segmentos congruentes. 2 PARALELOGRAMOS PARTICULARES Paralelogramos particulares son el rectángulo, el rombo y el cuadrado. 2.1 RECTÁNGULO Definición:
Demuestra que el rectángulo abcd es un CUADRILÁTERO EQUIÁNGULO
Veamos una propiedad importante de los rectángulos:
PROPIEDAD Efectúa su demostración
Propiedad recíproca
Un rectángulo es un paralelogramo con un ángulo recto
a d
c b
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o Las diagonales del rombo son perpendiculares.
o Las diagonales del rombo son bisectrices de los ángulos opuestos.
o Si las diagonales de un paralelogramo son perpendiculares, el paralelogramo es un rombo.
o Si las diagonales de un paralelogramo son bisectrices de los ángulos opuestos , el paralelogramo es un rombo
Efectúa su demostración
2.2 ROMBO
Definición
bcabEn figura la
Demuestra que un rombo es un CUADRILÁTERO EQUILÁTERO
Veamos una propiedad importante de los rombos:
PROPIEDADES Efectúa las demostraciones correspondientes
Propiedades recíprocas
Un rombo es un paralelogramo con dos lados consecutivos congruentes
d
c
b
a
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Efectúa las demostraciones correspondientes
2.3 CUADRADO
Definición:
Completa: Un cuadrado es un rectángulo porque ..................................................................... Un cuadrado es un rombo porque............................................................................
Veamos un diagrama que muestre la relación de inclusión entre los conjuntos
T = {trapecios} P = {paralelogramos} R = {rectángulos} B = {rombos} C = {cuadrados}
Un cuadrado es un cuadrilátero regular
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SINTESIS
Problemas
18) Demuestra cada una de las siguientes proposiciones: a) Todo rombo es un paralelogramo b) Un rectángulo es un trapecio c) Un cuadrado es un paralelogramo d) Algunos paralelogramos son rombos e) Todos los cuadrados son rombos f) Las diagonales de un cuadrado se bisecan
NOMBRE CUADRILÁTERO PARALELOGRAMO
CON:
RECTÁNGULO
equiángulo un ángulo recto
PROPIEDADES DE LAS DIAGONALES
-Se bisecan mutuamente
-Son congruentes
ROMBO
equilátero dos lados consecutivos
congruentes
-Se bisecan mutuamente -Son perpendiculares -Bisecan a los ángulos opuestos
CUADRADO equilátero y equiángulo
un ángulo recto y dos lados consecutivos congruentes
-Se bisecan mutuamente -Son congruentes -Son perpendiculares -Bisecan los ángulos
opuestos
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g) Las rectas que incluyen a las diagonales de un rombo son eje de simetría del mismo
19) Responde y justifica: a. Un cuadrilátero que tenga un par de lados consecutivos congruenes, ¿es
un rombo? b. Un cuadrilátero que tenga dos ángulos rectos, ¿es un rectángulo?
20) Utilizando el software GeoGebra, dibuja:
a) Un rombo que no sea cuadrado b) Un paralelogramo con diagonales perpendiculares c) Un cuadrilátero con diagonales perpendiculares y congruentes. d) Un trapecio isósceles con un ángulo recto.
21)
22) Si en la figura del problema anterior d; e y f son puntos medios de los lados
ab ; bc y ac respectivamente y dbef es un rombo, ¿debe ser
cba
necesariamente isósceles?. Justifica la respuesta.
23) Demuestra que la recta que une los puntos medios de los lados de un rectángulo es eje de simetría de la figura.
H) d punto medio de ab
e punto medio de bc
f punto medio de ac
ab= bc T) dbef rombo Realiza la demostración.
b
d e
a f c
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24) Demuestra cada propuesta con respecto al dibujo de la derecha:
H) abcd paralelogramo
e, f, g y h puntos medios de los lados. T) efgh paralelogramo
25) (Para trabajar con GeoGebra) Considera un cuadrado abcd y en él determina los puntos m, p, q y r de
modo que
amdrcqbp
raqdpcmb
y
Demuestra que mpqr es un cuadrado
26) Demuestra que un paralelogramo inscripto en una circunferencia con diagonales perpendiculares es un cuadrado
e
b f c
g a
h
d
d q c p r a m b
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AUTOEVALUACIÓN
1) En la figura es ,, adecadfb
ecfbyedaf
Demuestra que fdae
.
2) En el paralelogramo abcd traza las perpendiculares a la diagonal ac desde b y d y llama r y s a los respectivos pies de tales perpendiculares. Demuestra que rdsb es un paralelogramo.
3) Demuestra que los segmentos que unen los puntos medios de los lados
opuestos de un cuadrilátero se bisecan mutuamente.
4) Sean x, y, z y t los puntos medios
de los lados del rombo abcd. Demuestra que xyzt es un rectángulo.
5) En un paralelogramo abcd con abad , la bisectriz a corta a bc en g y la
del b interseca a ad en h. Demuestre que abgh es un rombo.
BIBLIOGRAFIA
Apunte “El Universo de los cuadriláteros” Hinrichsen-Buschiazzo-Cattaneo Impreso en el instituto Politécnico 1985
Geometría Serie Awli - Clemens - Editorial Addison Wesley Longman –Impreso en Mexico - Año 1998
f e a b c d
d y c z x a t b