cd cap2 herramientas matematicas

5/24/2018 CD Cap2 Herramientas Matematicas

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C O N T R O L D I G I T A L / P R O F . S A T U R N O S A R M I E N T O

CAPITULO

2Herramientas de AnlisisA

Qu discutiremos las herramientas de anlisis, que son de sumaimportancia para el anlisis y diseo de los sistemas de control digital.

Palabras Claves

Reconstructores de datos.

Mantenedor de datos

Mantenedor de orden cero.

Mantenedor de primer orden.

Muestreo de funciones conjuntas

Transformada Z

Transformada Z Inversa

Ecuaciones en diferencia lineales.

T( )CG z

T( )ZOHG s ( )PG s

T

( )Y s( )R s ( )R z

+

( )E z ( )cU z ( )m t

( )G z

( )Y z

1


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C A P I T U L O 2 : H E R R A M I E N T A S D E A N L I S I S

2. RECONSTRUCTORES DE DATOS, TRANSFORMADA Z YECUACIONES EN DIFERENCIA LINEAL.Equation Chapter 2 Section 22.1. EL MUESTREADOR MANTENEDOR DE DATOS.En general, no es deseable aplicar una seal en forma muestreada, tal como un tren de pulsosrectangulares, directamente a una planta, debido a los componentes de alta frecuenciainherentemente presentes en la seal. Motivado a esto se inserta en el sistema, despus delmuestreador, un dispositivo llamado reconstructor de datos o mantenedor de datos. El propsito deeste dispositivo es reconstruir la seal muestreada de tal forma que se parezca lo ms posible a laseal original. En la figura 2-1 se puede ver un esquema muestreador mantenedor de datos.

antenedor0 ( )f t( )if t

*( )if t

T( )iF s*( )iF s 0 ( )F s

FIG. N 2-1: Muestreador y mantenedor de datos.

La expresin matemtica que describe al esquema de la figura 2-1 es:

[ ]00

( ) ( ) ( )KTSi HK

F s f KT e G s

=

=

old (2.1).

El primer factor de (2.1) se ve que es funcin de la seal de entrada fi(t) y del perodo de muestreo T.Este factor es la funcin muestreada ya previamente discutida El segundo factor es independiente defi(t) y se considera una funcin de transferencia. Este dispositivo ser objeto de estudio en lo quesigue.

2.2. RECONSTRUCCIN DE DATOS Y FILTRADO DESEALES MUESTREADAS.Las componentes armnicas de frecuencia ms altas en una seal muestreada f*(t), que han resultadode la operacin de muestreo, deben ser removidas antes de que la seal sea aplicada a la porcinanalgica del sistema.

En general, suele usarse un filtro paso bajo o un dispositivo de reconstruccin de datos para eliminar

estas componentes.

Uno de los filtros ms populares, en sistemas de control, es el Muestreador Mantenedor (S/H) dedatos discutido anteriormente.

El problema de reconstruccin de datos puede ser expresado como:

Dada una secuencia de nmeros, f(0), f(T), f(2T), , f(KT), , una seal de datoscontinua f(t), para todo t 0, puede ser reconstruida desde la informacin en la secuencia.

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El proceso de reconstruccin de datos puede ser considerado como un PROCESO DEEXTRAPOLACIN, ya que la seal de datos continua es reconstruida basndose en lainformacin disponible solamente en los instantes de muestreo pasados.

En general, la seal original f(t) entre dos instantes de muestreo consecutivos, KT y (K+1)T, esestimada basndose en los valores de f(t) en todos los instantes de muestreo precedentes de KT, esdecir, (KT), (K-1)T, (K-2)T, , 0; esto es, f(KT), f[(K-1)T], f[(K-2)T], , f(0).

La figura 2-2 nos permitir explicar el proceso de reconstruccin de datos.

t

( )t

T 2T 3T

[ ]( 1)K T

KT

[ ]( 1)K T+

(0)f

( )T (2 )T (3 )T

[ ]( 1)f K T

( )f KT

[ ]( 1)f K T+

( )f t*( )f t

TMantenedor

( )Kf tPlanta

+

( )r t ( )y t

FIG. N 2-2: Forma de onda y diagrama de bloque para explicar la reconstruccin de datos.

Un mtodo comnmente usado para reconstruir datos a partir de sus muestras es el mtodo deEXTRAPOLACIN POLINOMIAL. Este mtodo consiste en lo siguiente:

Usando una expansin en series de potencia (expansin en series de Taylor) de la seal f(t)en el intervalo entre los instantes de muestreo KT y [(K+1)T] se puede generar unaaproximacin de la seal f(t) a partir de sus muestras.

De acuerdo a lo anterior la aproximacin es escrita como:

(2 )(1) 2( )( ) ( ) ( ) ( )[ ] [ ] ...

2!K

f KTf t f t f KT f KT t KT t KT = + + + (2.2).

Donde:

( ) ( )( ) 1,2,...

n

nn

t KT

d f tf KT ndt

=

= = (2.3).

fK(t) es definida como la versin reconstruida de f(t) para el Ksimo perodo de muestreo, es decir,

( ) ( ) ( 1)Kf t f t KT t K < + T (2.4).

De esta manera fK(t) denota la salida del mantenedor de datos.

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En vista de que f(t) entra al mantenedor de datos solamente en forma muestreada, los valores de lasderivadas no son conocidos. A pesar de esto las derivadas pueden ser aproximadas por unaDIFERENCIA HACIA ATRS(Backward Diference).

La primera derivada se aproxima as:

[(1)1

( ) ( ) [( 1) ]]f KT f KT f K TT

= (2.5).

La segunda derivada se aproxima as:

(2) (1) (1)1( ) ( ) [( 1) ]f KT f KT f K TT

= (2.6).

Aqu:

[(1) 1

[( 1) ] [( 1) ] [( 2) ]]f K T f K T f K TT = (2.7).

Sustituyendo (2.5) y (2.7) en (2.6) se tiene:

[(2 ) 21

( ) ( ) 2 [( 1) ] [( 2) ]]f KT f KT f K T f K TT

= + (2.8).

La aproximacin para la tercera derivada ser:

{ }(3)1

( ) 3 [( 1) ] 3 [( 2) ] [( 3) ]f f KT f K T f K T f K TT

= + (2.9).

OBSERVACIONES 2-1:

a. Ntese que las derivadas requieren el uso de valores pasados.b. La segunda derivada de f(t) en t=KT ha sido expresada en trminos de f(KT) y los valores

muestreados en dos instantes de muestreo precedentes.

c. De ser necesario se puede expresar cualquier derivada de alto orden en trminos de los valoresmuestreados pasados de f(KT).

d.

En general, mientras ms alto sea el orden de la derivada a ser aproximada, mayor ser el nmerode pulsos de retardo requeridos (mayor ser el nmero de valores pasados requeridos). Paraaproximar la f(n)(KT) se requieren n+1 nmero de pulsos de datos retardados.

e. El dispositivo de extrapolacin que hemos estado describiendo consiste esencialmente de unaserie de retardos de tiempo, y en teora el grado de precisin del estimado de la funcin detiempo f(t), durante el intervalo de tiempo de (KT) a [(K-1)T], depende del nmero de retardos.

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f. En sistemas de control los dispositivos reconstructores no son de tan alto grado por dos razonesfundamentales:

La dificultad de implementacin fsica y su alto costo que de esto se deriva.

El efecto adverso que se deriva de los retardos de tiempo sobre la estabilidad de los sistemasde control de lazo cerrado. En sistemas de control los retardos son contrarios a la estabilidad.

Basndose en (2.2), para generar f(t) a partir de sus muestras, se pueden definir diferentesreconstructores de datos, y dicha definicin depender del orden de aproximacin que se desee. Estosignifica que dependiendo de los trminos que se usen de (2.2) se tendrn reconstructores de ordencero (si se usa solo el primer termino), de primer orden (si se usa solo los dos primeros trminos), detercer orden (si se usa solo los tres primeros trminos) y as sucesivamente.

Mientras mayor sea el orden del reconstructor ms fiel ser la seal reconstruida con la original, perotal como se puede ver de (2.2) mayor tambin sern los retrasos originados.

De acuerdo a lo anterior se discutirn dos reconstructores o mantenedores de datos: el de orden ceroy el de primer orden.

2.2.1. RECONSTRUCTOR DE ORDEN CERO Zero Order Hold).En el rea de control de procesos se prefiere usar mantenedores de bajo orden por razones de costo ycomplejidad de construccin, as como por razones de estabilidad ya que en control los retrasos afectanfuertemente la estabilidad del sistema.

Debido a esto, en control, frecuentemente se utiliza el primer trmino de (2.2) para aproximar f(t) duranteel intervalo de tiempo KT t < [(K+1)T], es decir,

( ) ( )Kf t f KT= (2.10).

El dispositivo que realiza este tipo de extrapolacin es conocido como EXTRAPOLADOR DEORDEN CERO ya que el polinomio usado es de orden cero. Tambin se le conoce comoMANTENEDOR DE ORDEN CERO (ZOH), ya que este mantiene el valor del valor muestreadof(KT) para KTt < [(K+1)T] hasta que el prximo muestreo f[(K+1)T] se realice.

2.2.1.1. FUNCIN DE TRANSFERENCIA DEL ZOH.La F.T. del ZOH se deriva haciendo uso de la funcin impulsiva de la figura 2-3:

Sea fi(t) la funcin impulsiva de entrada al ZOH:

( ) ( )if t t= (2.11).

Sea f0(t) la respuesta impulsiva de salida del ZOH:

0 ( ) ( ) ( )f t u t u t T= (2.12).

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Donde representa el escaln unitario.( )u t

Aplicando T.L. a (2.12) tenemos:

0

1 TSeF

S S

= (2.13).

Sabiendo que la T.L. del impulso es:

( ) 1iF s = (2.14).

De (2.13) y (2.14) se obtiene la F.T. del ZOH

0 ( ) 1( )( )

TS

ZOH

i

F s eG s

F s S

= = (2.15).

0 ( )f t( )if t *( )if t

T( )iF s*( )iF s 0 ( )F s

1

( )( )i tf t impulso unitario= =

t

.)a

1

0 ( )f t

t

.)b

T

( )ZOHG s

.)c

FIG. N 2-3: Respuesta impulsiva del ZOH.

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*( )f t

tT 3T 5T

.)a

0 ( )f t

tT 3T 5T

2

T

( )f t

Valor medio

.)b

FIG. 2-4: Entrada - Salida del reconstructor de datos de orden cero.

2.2.2. RECONSTRUCTOR DE PRIMER ORDEN First Order Hold).Para estudiar el reconstructor de primer orden tomamos los dos primeros trminos de la serie de potenciahallada para fK(t) en (2.2):

(1)( ) ( ) ( ) ( )[ ] [( 1) ]Kf t f t f KT f KT t KT KT t K T= = + < + (2.16).

Aqu la primera derivada de f(KT) en t=KT es:

(1) ( ) [( 1)( )]f KT f K T

f KT

T

= (2.17).

Sustituyendo (2.17) en (2.16) tenemos:

( ) [( 1) ]( ) ( ) ( ) [ ] [( 1) ]K

f KT f K Tf t f t f KT t KT KT t K T

T

= = + < + (2.18).

(2.18) muestra que la salida de un FOH entre dos instantes de muestreo consecutivos es una funcinrampa. La pendiente de la rampa es igual a la diferencia de f(KT) y f[(K-1)T].

2.2.2.1. FUNCIN DE TRANSFERENCIA DEL FOH.Para derivar la F.T. del FOH hacemos uso de la respuesta impulsiva de la figura N 2-5. De ella tenemos:

Sea fi(t) la funcin impulsiva de entrada al FOH:

( ) ( )if t t= (2.19).

Sea f0(t) la respuesta impulsiva de salida del FOH:

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0

2( ) 1( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )

t t Tf t u t u t u t T u t T u t T t T u t T

T T T

= + + + (2.20).

Aplicando T.L. a (2.20) tenemos:

[2

2

01 1 1( ) ( )

TS

ZOHTS e TS F s G s

T S T

+ += =

] (2.21).

De (2.14) y (2.21) se obtiene la F.T. del FOH:

[2

20 ( ) 1 1 1( ) ( )( )

TS

FOH ZOH

i

F s TS e TS G s G s

F s S S T

+ += = =

] (2.22).

En la figura 2-5 se puede ver la seal de entrada, un impulso unitario, la seal de salida, una onda semitriangular de ancho 2T, y el D.B. representativo del muestreador y el FOH.

1

( )( )i tf t impulso unitario= =

t

.)a

1

0 ( )f t

t

.)b

2

T

2T

1

( )FOHG s0 ( )f t( )if t

*( )if t

T( )iF s*( )iF s 0 ( )F s

.)c

FIG. N 2-5: Respuesta impulsiva del FOH.

En la figura 2-6 se pueden ver las formas de onda del mantenedor de primer orden. La entrada, unafuncin muestreada cualquiera, la salida, una onda semi triangular.

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T 2T 3T 4T

0( )f t

Entrada al muestreador

Salida del muestreador

.)b

*( )f t

tT 2T 3T

.)a

FIG. N 2-6: Entrada - Salida del reconstructor de datos de primer orden.

2.3. MUESTREO DE FUNCIONES CONJUNTASPara cualquier tres funciones arregladas as , o de esta forma , la

transformada muestreada ser:

*( ) ( ) ( )A s B s X s= ( ) ( ) ( )A s B s X s=

[ ]** * * *( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A s B s X s A s B s X s = =

* (2.23).

[ ] [ ]* * *( ) ( ) ( ) ( ) *( )A s B s X s A s BX s= =

(2.24).

2.4. TRANSFORMADA Z.Si analizamos la expresin dada para la transformada muestreada, la cual reproducimos a continuacin:

*

0

( ) ( ) KTS

K

F s f KT e

=

= (2.25).

podemos observar que esta contiene un trmino exponencial, KTSe , el cual revela la dificultad para usar latransformada de LAPLACE en el tratamiento general de sistemas de datos muestreados, ya que la funcinde transferencia en cuestin no ser de forma algebraica como sucede en sistemas de datos continuos.Debido a esto se hace necesario definir la transformada tal como sigue:Z

Si en la expresin (2.25) hacemos:

TSZ e= (2.26).

Donde

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1nS L

T= Z (2.27).

Aqu S y Z son variables complejas que se relacionan mediante (2.26).En consecuencia tendramos que:

* *

0

1[ ] ( ) [ ( )] ( )TS

Kn

KZ e

F S L Z F z f t f KT ZT

==

= = = = (2.28).

Aqu es la transformada( )F z de *( )f t y es el operador de transformada Z. La frasetransformada Zser abreviada por lo general como T.Z.

La expresin (2.28) es la definicin de la transformada , herramienta fundamental usada para el manejode los sistemas de datos muestreados.

En la definicin de la transformada de una funcin de tiempo f(t), donde t 0, consideramossolamente los valores muestreados de f(t), es decir, f(0), f(T), f(2T), f(3T), , donde T es el perodo de

muestreo.

Desarrollando (2.28) se obtienen las muestran de f(t) en cada instante de muestreo:

(2.29)( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 20

( ) 0 2 3 ...K

K

F z f KT Z f f T Z f T Z f T Z

=

= = + + + 3 +

La transformada de una funcin de tiempo f(t), donde t 0, o de una secuencia de valores f(KT),

donde (enteros positivos incluyendo el cero) y T es el perodo de muestreo, puede ser escrita de lasiguiente manera:

K Z+

a) Para una funcin de tiempo f(t), donde f(t) 0 t < 0.( ) [ ( )] [ ( )] ( ) K

K

F z f t f KT f KT Z

=

= = = (2.30).

Obsrvese que en (2.30)T aparece en forma explicita.

Un ejemplo que ilustra lo que se desea plantear es: considere la secuencia ( ) KTf KT e = vlida para todo

K=0, 1, 2, 3, , con como una constante. La T.Z. de f(KT) es: 1 1Te Z = ( )T

ZF z

Z e luego (2.30) y (2.31) tienen un valor finito. Este valor de Z por definicin cae en la regin de

convergencia (R.C.) del plano Z. La serie converge.

Z r=< luego (2.30) y (2.31) no tendrn un valor finito y estas no podrn ser definidas. Este valor de

Z por definicin cae en la regin de divergencia (R.D.). La serie no converge.

b)

Z r= luego (2.30) y (2.31) pueden o no converger dependiendo de la secuencia f(KT) o f(K).c)2.8. REPRESENTACIN DE F(z) EN EL PLANO Z.Sea la funcin de transferencia siguiente:

1 2

1 2

( )( )...( )( )( )

( ) ( )( )...( )

m

n

z z z z z zN zF z K K m n

D z z p z p z p

= =

Aqu p1, p2, , pn y z1, z2, , zm son llamados polos y ceros, respectivamente, de F(z). Estos valorespueden ser reales o complejos.

(2.37).

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Los smbolos x y o son usados para representar en el plano Z los polos y ceros de una funcin detransferencia respectivamente.

Imj Z

FIG. N 2-9: Representacin en el plano Z de los

ReZ

2

3p

1p 1z 2z

p

polos y ceros de una funcin de transferencia.

OBSERVACIN 2-2:

La localizacin de polos y ceros en el plano Z determina la caracterstica de la respuesta en el

.

Sea f(t) = u(t) la funcin escaln unitario, la cual es conocida desde el curso de teora de control o control

tiempo de f(t).

2.9. TRANSFORMADA Z DE FUNCIONES ELEMENTALES.2.9.1 FUNCIN ESCALN UNITARIO.continuo. La T.Z. de f(t) es:

[ ]1

( ) ( ) Z

F z u tS

= = =

1Z

NITARIA.

(2.38).

2.9.2.FUNCIN RAMPA USea f(t)= t la funcin rampa unitaria, la cual es conocida desde el curso de teora de control o controlcontinuo. La T. Z. de f(t) es:

[ ](

2

1( )

TZF z t

S Z

= = = )

21

IAL.

(2.39).

2.9.3.FUNCIN POLINOMSea

0 0( ) es unaKf K a= {K 0, 1, 2, ... constantea K

=

La T

< (2.40).

.Z. de f(K) es:

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[ ]( ) ( )F z f K= = K Z

aZ a

= (2.41).

2.9.4.FUNCIN EXPONENCIAL.Sea ( ) atf t e= la funcin exponencial, la cual es conocida desde el curso de teora de control continuo.La T. Z. de f(t) es:

[ ]= =( ) ( ) at aTZ

F z f t eZ e

=

(2.42).

2.9.5.FUNCIN SENO.. La T. Z. de f(t) es:Sea f(t)= Sin(wt) la funcin seno

[ ] [ ]

sin( )Z wt2( ) ( ) ( ) 2 cos( ) 1F z f t sin wt Z Z wt= = = + (2.43).

2.9.6.FUNCIN COSENO.La T. Z. de f(t) es:Sea f(t)= Cos(wt) la funcin coseno.

[ ] [ ] 2( ) ( ) cos( ) 2 cos( ) 1F z f t wt

Z Z wt= = =

+

2 cos( )Z Z wt (2.44).

2.10. PROPIEDADES Y TEOREMAS DE LA T.Z..f(t) tiene T.Z. y que f(t) =

0 para todo t < 0. Las propiedades y teoremas aqu dadas no sern demostradas. Dichas demostraciones

(2.45).

2.10.2 PROPIEDAD DE LINEALIDAD D

Para las definiciones de estas propiedades y teoremas de la T.Z., se asumir que

pueden ser encontradas en cualquier libro de texto.

2.10.1. PROPIEDAD DE LA MULTIPLICACIN POR UNA CONSTANTE.Si F(Z) es la T.Z. de f(t), entonces se tiene que:

[ ( )] [ ( )] ( ) es una consaf t a f t aF z a = = tante

E LA TRANSFORMADA Z.

Si g(K) y h(K) son transformables en Z y y son escalares, entonces f(K) = g(K) +h(K)

tambin es transformable en Z:

( ) [ ( )] ( )F z f K G z H = = + (2.46).

Aqu G(z) y H(z) son las T.Z. de g(K) y h(K) respectivamente.

( )z

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2.10.3 PROPIEDAD DE LA MULTIPLICACIN POR Ka .

(2.47).

2.10.4. TEOREMA DE Tntonces se establece que:

Sea F(z) la T.Z. de f(K), entonces la T.Z. de ( )Ka f K ser:

1( ) [ ( )] ( )KF z a f K F a Z= =

RASLACIN REAL.

Si f(t) = 0 para todo t < 0 y f(t) tiene transformada Z, F(z), e

a) Retardo de la funcin en el tiempo por KT perodos de muestreos:[ ( )] ( )Kf t KT Z F z

= (2.48).

b) Adelanto de la funcin :en el tiempo por KT perodos de muestreos1KK K 0

[ ( )] ( ) ( )K

f t KT Z F z F KT Z=

+ =

(2.49).

Aqu K pertenece a los enteros positivos incluyendo el cero.

JA.

] (2.50).

2.10.6. TEOREMA DEL VALOR INICIAL.

2.10.5. TEOREMA DE TRASLACIN COMPLESea F(z) la T.Z. de f(t), entonces la T.Z. de ( )ate f t ser:

0

[ ( )] ( ) [K

e f t e f KT Z F e Z

=

= =at aKT K aT

Si F(z) es la T.Z. de f(t) y si el lim ( )F z , entonces el valor inicial de f(0) es:z

=(0) lim ( )z

f F z

lor inicial es til para chequear el clculo de la T.Z. de posibles muchos casos

(2.51).

El teorema del va errores. En

f(0) es conocido y un chequeo del valor inicial por el puede fcilmente detectar un error en F(z)

a condic

Suponga que F(z) es la T.Z. de f(K), donde f(K) = 0 para todo K < 0, y que todos los polos de F(z) caendentro del circulo unitario, con la posible excepcin de un polo simple en Z = 1, entonces el valor final def(K) puede ser hallado mediante la siguiente expresin:

lim ( )F zz

si este existe. Esto debe considerarse siempre como un in necesaria pero no suficiente.

2.10.7. TEOREMA DEL VALOR FINAL.

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1lim ( ) lim[(1 ) ( )]f K Z F z=

1K Z

.I.) nos permite hallar la secuenc de una funcin

(2.52).

2.11.TRANSFORMADA Z INVERSA.La transformada Z inversa (T.Z ia de tiempo f(t) o f(K)F(z) dada.

Las siguientes observaciones deben ser tomadas en cuenta a la hora de hallar la T.Z.I. de una secuencia

eo.

T.Z.I. de F(z) nos dar una f(t) en los instantes de muestreo, pero no dir nada de los valores de f(t)

er la misma f(KT).

o mediante algunos de los siguientesmtodos:

a)b)

o de expansin en fracciones parciales.

in.

dos anteriormente, solamente trataremos aqu los dos primeros, haciendoivisin directa.

2.11.1. MTODO DE LA DIVISIN DIRECTA.En este mtodo se obtiene la T.Z.I. expandiendo F(z) en una serie infinita de potencias de Z -1. En este

te:

la sido dada la rescribimos como una raznde polinomios en Z .

c) Indicamos los valores de f(t) o f(K) para diferentes instantes de muestreo.

A la expresin (2.52) se le conoce como el Teorema del Valor Final de la T.Z.

dada:

a) Para una F(z) dada, la T.Z.I. de F(z) nos dar solo la secuencia de tiempo f(t) en los instantes demuestr

b) La T.Z.I. de F(z) dar una nica f(K), pero no dar una nica f(t).c) La

en entre instantes de muestreo. Esto significa que muchas funciones de tiempo diferentes de f(t)pueden ten

La T.Z.I. de una funcin puede hallarse por medio de tablas de T.Z.I.

Mtodo de la divisin directa.

Mtodo computacional.

c) Mtodd) Mtodo de la integral de inversDe los cuatro mtodos citahincapi en el mtodo de la d

caso los coeficientes de la serie infinita que se obtiene representan los valores de la funcin en los instantesde muestreo. El mtodo consiste en lo siguien

a) Analizamos la funcin F(z) y dependiendo como esta hal-1

b) Luego dividimos el numerador entre el denominador, tal como una divisin normal de polinomios.

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2.11.2. MTODO COMPUTACIONAL.Se pueden usar paquetes tipo CAD tales como Program CC V5.0 o Matlab V6.5, los cuales poseen

IALES.in en fracciones parciales de una funcin en Z. El

mtodo que discutiremos aqu es el ms sencillo y requiere que todos los trminos en la expansin en

comandos sencillos y fciles de aplicar que permiten hallar la T.Z.I. de una determinada funcin.

2.11.3. MTODO DE EXPANSIN EN FRACCIONES PARCHay varias metodologas para ejecutar una expans

fracciones parciales sean fcilmente reconocibles en la tabla de pares de transformada Z . Supongamos queF(z) tiene la siguiente forma:

0 1 1( ) ,m mF z m n= que el orden de Q

Usando el teorema de los residuos reproducimos la Ec. (1.10) dada en el capitu

*

1( ) ( )

1en los polosF s residuos de F

= (1.10).

que (s). Partiendo de estodefiniremos dos situaciones generales.

2.12.1.PARA CUANDO NO HAY RETARDOS DE TIEMPO.lo 1:

( )

( )

T S

de F

e

(2.64).

Como se sabe de (1.10) se derivaron dos casos, los cuales fueron establecidos en (1.11) y en (1.12).

Si en (1.10) sustituimos TSe por Z tendremos:

( )

( ) ( )T

en los polos

de F

ZF z residuos de F

Z e

=

Si cambiamos en (2.64) la variable por la variable S tendremos:

( )

( ) ( )TS

en los polosd e F s

F z residuos de F sZ e

=

(2.66).

Z (2.65).

Si asumimos que F(s) tiene polos en S1, S2, , Sm, entonces de (2.65) se derivan dos casos:

a) Cuando hay polos simples se tiene que:( ) ( )

i

i i TS

S p

ZK S p F sZ e =

=

b) Cuando hay polos mltiples de multiplicidad rjse tiene que:

( ) 1( ) ( )

1 !

j

j

j

j jr TS

j S p

K S p F sZ er dS

=

=

11 j

rrd Z

(2.67).

19


20/24


2.12.2.PARA CUANDO H MPO.Aqu se considera que f(t) es retrazada un nmero entero de perodos de muestreo. Partiendo de la Ec. (1-

AY RETARDOS DE TIE

13) dada en el capitulo 1 se tiene que:

1

1

( )

( ) ( ) ( )KTS K

en los polosde F s

ZF z e F s Z residuos de F s = =

udiar los sistemas discretos. Esta nos

1 TSZ e (2.68).

Las ecuaciones en diferencias lineales en los sistemas de tiempo discreto son la contra parte de lasecuaciones diferenciales lineales en los sistemas de tiempo continuo. De acuerdo a esto las E.E.D.L. esuno de los mtodos que se usa, en el dominio del tiempo, para est

permitir encontrar la salida de un sistema de tiempo discreto desde una secuencia de entrada conocida.

la secuencia de entrada de nmeros uKen una

K ecuacin en diferencia:

detiempo u(k-2).

su miembro derechotrminos pasados de la secuencia de salida yk.

2.13.1.REPRESENTACIN DE LA E.E.D.L. USANDO GRFICOS DE FLUJO DE

La solucin para (2.68) es la misma que la dada para (2.65).

2.13.ECUACIONES EN DIFERENCIAS LINEALES (E.E.D.L.).

Supongamos que el sistema de tiempo discreto transformasecuencia de salida y de acuerdo a cierta formula recursiva o

( ) ( ) 2 ( 1) 3 ( 2) 0,1,2,3,...y k u k u k u k k= + + = (2.69)

Podemos preguntarnos que nos dice (2.69).La respuesta es:

(2.69) nos dice que se forma el k-simo miembro de la secuencia de salida y(k) adicionado la entradapresente u(k), ms 2 veces la entrada previa u(k-1) y ms 3 veces la entrada retardada en 2 unidades

Una E.E.D.L. que describe un sistema tal como (2.69) tambin pudiera contener en

SEALES.

Supongamos que se desea representemos en GFS la ecuacin (2.69).La representacin deseada se muestraen la figura N 2-10.

20


21/24


Unidad

de

retardo

Unidad

de

retardo

12

3

( )u k ( 1)u k ( 2)u k

+ +

+

( )y k

FIG. N 2-10: Representacin de una E.E.D.L. usando G.F.S.

2.13.2.REPRESENTACIN DE LA E.E.D.L. USANDO DIAGRAMA DE BLOQUES.Suponga que se desea representar la siguiente E.E.D.L. usando D.B.:

( ) ( ) ( 1) 0,1,2,3,...y k u k y k k= + = (2.70)

La representacin queda como se indica en la figura N 2-11.

Unidad

de

retardo

+

( )y k

( )u k

FIG. 2-11: Representacin en D.B. de una E.E.D.L.

2.13.3.SOLUCIN DE E.E.D.L.Hay tres formas bsicas para resolver una E.E.D.L. las cuales son:

21


22/24


Aproximacin clsica: Consiste en encontrar una solucin complementaria y una solucin particular.La suma de ambas soluciones forma la solucin general.

Una E.E.D.L. como la siguiente:

1 2

( ) ( 1) ( 2) ... ( ) ( )n

y k b y k b k b y k n u k+ + + + = (2.71)

se le conoce como E.E.D.L. no homognea. Si el miembro derecho de (2.71) es cero entonces a (2.71) sele conoce E.E.D.L. homognea.

La solucin complementaria es aquella que se encuentra a partir de la homognea y se denota como .

La solucin particular es aquella que se encuentra a partir de la ecuacin no homognea y se denota como

. La solucin total de la E.E.D.L. ser . La aproximacin clsica no ser objeto de

estudio para nosotros.

( )hy

( )py ( ) ( ) ( )G hy y y= + p

Usando un computador digital: Este forma de solucin consiste en usar un computador digital y unprograma determinado o una herramienta tipo CAD. Supngase que se desea encontrar m(k) para lasiguiente ecuacin:

( ) ( ) ( 1) ( 1)m k e k e k m k k = 0

(2.72)

Aqu e(k) se expresa como:

1( )

0

k parese k

k impares

=

(2.73)

Se asume que e(-1) = 0 y m(-1) = 0.

Si evaluamos manualmente la E.E.D.L. dada en (2.72) se obtendrn los siguientes valores comosolucin:

Para k = 0 m(0) = 1Para k = 1 m(1) = -2Para k = 2 m(2) = 3Para k = 3 m(3) = -4Para k = 4 m(4) = 5Para k = 5 m(5) = -6.

..

Un programa que resuelva la ecuacin (2.72) puede ser hecho usando MATLAB. El programa sepresenta a continuacin:

22


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[ ]

mkmenos1 = 0;

ekmenos1 = 0; Inicializan el proceso secuencial

ek = 1;

for k = 0 : 20

mk = ek-ekmenos1-mkmenos1;

k,mk

mkmenos1 = mk;

ekmenos1 = ek;

ek = 1-ek;

end

Lazo

En el programa anterior se asumen las siguientes notaciones:

mkmenos1 m(k-1)

mk m(k)

ekmenos1 e(k-1)

ek e(k)

Si usamos MATLAB para resolver (2.72),empleando el programa anterior, encontraremos como solucinlos mismos valores que se encontraron cuando se realiz la evaluacin en forma manual.

Usando Transformada Z: Esta forma de solucin consiste en aplicar transformada Z a la E.E.D.L.con el fin de despejar M(z) y posteriormente emplear la divisin directa para hallar los valores desolucin de la E.E.D.L.

Aplicando T.Z. a (2.72) tenemos:

1( ) ( )

1

Zz E

Z

=

+ z (2.74)

Aplicando T.Z. a (2.73) tenemos:

( ) ( )

2 22 4

2 2

1( ) 1 ...

1 1 1

Z ZE z Z Z

Z Z Z Z

= + + + = = =

+ 1

(2.75)

Sustituyendo (2.75) en (2.74) tenemos:

( ) ( )

2 2

2

1 1( )

1 1 1 1 1 2

Z Z Z Z ZM z

Z Z Z Z Z Z Z

= = =

+ + + +

2

2 1+ (2.76)

23


24/24


24

Si expandimos M(z) en serie de potencia mediante divisin directa tendremos la solucin:

1 2 3 4 5( ) 1 2 3 4 5 6 ....M z Z Z Z Z Z = + + + (2.77)

Los coeficientes de las potencias de Z en (2.77) representan la solucin de la E.E.D.L., es decir, son los

valores de m(k). Obsrvese que estos valores son los mismos que se encontraron mediante la evaluacinmanual y mediante el programa hecho con MATLAB.

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