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MATEMTICA

CUADERNOS PARA EL DOCENTE

Horizonte

s

Presidenta de la NacinDra. Cristina Fernndez

Ministro de EducacinProf. Alberto Estanislao Sileoni

Secretaria de EducacinProf. Mara Ins Abrile de Vollmer

Subsecretaria de Equidad y CalidadLic. Mara Brawer

Subsecretario de Coordinacin AdministrativaArq. Daniel Iglesias

Directora Nacionalde Gestin Curricular y Formacin DocenteProf. Marisa del Carmen Daz

Directora GeneralUnidad de Financiamiento InternacionalA.G. Mara Ins Martnez

rea de Educacin RuralOlga Zattera, coordinadoraViviana Fidel, coordinadora de materiales impresos

AutoresNorma Saggese, coordinadora del reaGabriela Scarfone, colaboradora autoralNoem Scaletzky, procesadora didctica

rea de produccin editorialGonzalo Blanco, coordinacinMara Celeste Iglesias, documentacin fotogrficaMario Pesci, asistencia grficaWillay Estudio, edicin, diseo y diagramacin

PROMER - Proyecto de Mejoramiento de la Eduacin RuralPrstamo BIRF 7353-ARLeonardo D. Palladino, coordinador generalMara Cavanagh, responsable de adquisiciones y contratacionesSergio Ten, especialista delegado

Ministerio de EducacinPizzurno 935, Ciudad Autnoma de Buenos Aires, ArgentinaImpreso en la ArgentinaHecho el depsito que marca la ley 11.723ISBN 978-950-00-0740-5

Agradecemos especialmente a las instituciones que han autorizado en forma gratuitala reproduccin de las imgenes y los textos incluidos en esta obra.

Cuadernos para el docente. Matemtica - Serie Horizontes - 1a ed. - Buenos Aires: Ministerio deEducacin de la Nacin, 2009.116 p.: il. ; 27x20 cm.

ISBN 978-950-00-0740-5

1. Educacin Rural. 2. Formacin Docente.CDD 371.1

Estimados docentes:

El Ministerio de Educacin de la Nacin ha realizado, durante los ltimos aos, diversasacciones para garantizar que todos, las nias, nios y jvenes que viven en las zonas ms ais-ladas de nuestro pas, tengan acceso pleno a una educacin de calidad all en los lugaresdonde viven.

Conscientes del camino recorrido y de lo que an tenemos por avanzar, nuestra gestinseguir afrontando junto con ustedes el doble desafo que esta modalidad educativa represen-ta: la permanencia de los jvenes en el lugar en que han elegido vivir, eleccin que se debesostener en una trayectoria educativa que asegure su ingreso, avance y culminacin de laescolaridad obligatoria.

La Ley de Educacin Nacional, sancionada por el Congreso Nacional el 14 de diciembrede 2006, abre nuevos retos y oportunidades para educar en la ruralidad, al constituir a la edu-cacin rural como modalidad del sistema educativo y establecer la viabilidad de determinaralternativas especficas, que resulten adecuadas a los requerimientos y caractersticas de lapoblacin que habita en contextos rurales y con ello garantizar la existencia de una propuestaeducativa que permita el cumplimiento de la obligatoriedad escolar.

Con el propsito de avanzar hacia una educacin de calidad para todos y convencidos de lanecesidad de desarrollar acciones que reconozcan las singularidades de los espacios locales,hemos desarrollado propuestas pedaggicas que se implementan de manera articulada entre laNacin y las provincias. Todas ellas contemplan el trabajo compartido de los docentes, alumnosy comunidades de una misma zona, para que todos ellos puedan planificar actividades a partir delintercambio y el consenso que representen las sentidas necesidades de cada situacin local. Porotra parte, reconociendo la potencialidad de la enseanza en instituciones de matrcula reducida,se ha pensado especialmente en los modelos de organizacin que determinan la constitucin degrupos escolares conformados por alumnos matriculados en diferentes aos de escolaridad queaprenden en el mismo espacio y al mismo tiempo. Se trata de recuperar la tradicin de la escue-la primaria en cuanto a que los plurigrados garantizan la oferta escolar en comunidad pequeasy posibilitan valorar desde la tarea docente la diversidad en el aula.

El trabajo docente en el marco de escuelas agrupadas y en el modelo de organizacin enpluriao, imponen nuevos desafos a la educacin secundaria, habida cuenta de la necesariatransformacin del nivel en todos los contextos, por la que se est trabajando denodadamen-te. Se trata de reconocer la importancia de la convivencia de formas escolares diferentes, rolesdocentes renovados, contenidos sustantivos para todos los alumnos y alumnas, resignificadosen cada contexto, a la luz de la valoracin y el reconocimiento de los saberes y necesidadeslocales.

En esa direccin se busca que este material acompae el trabajo cotidiano de los docen-tes y se propone que las orientaciones que se expresan en l se enriquezcan desde la expe-riencia de cada uno de ustedes y desde la construccin compartida en las instancias deencuentro con los colegas de escuelas cercanas.

Se espera, entonces, que las diversas propuestas que se plantean, contribuyan a mejorarlas prcticas de enseanza en las escuelas rurales de todo el pas y favorezcan la construc-cin de aprendizajes valiosos de modo de avanzar en el desarrollo de una educacin de cali-dad con igualdad de oportunidades para todos nuestros nias, nios y jvenes.

Alberto Estanislao SileoniMinistro de Educacin

NDICE

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Introduccin1. La propuesta de Matemtica en Horizontes

1. La organizacin de este Cuaderno2. Criterios de seleccin de los contenidos3. La organizacin de los contenidos4. Matemtica en Horizontes5. Orientaciones didcticas

2. Organizacin y desarrollode las secuencias didcticas1. La organizacin de secuencias de actividades en unidades de aprendizaje1.1. Las nociones geomtricas1.2. Los nmeros y las operaciones1.3. De los procedimientos locales a los procedimientos expertos: el tratamientode la proporcionalidad1.4. Las nociones de estadstica y probabilidad

2. Los contenidos bloque por bloque y unidad por unidad2.1. Las unidades del CUADERNO DE ESTUDIO 12.2. Las unidades del CUADERNO DE ESTUDIO 22.3. Las unidades del CUADERNO DE ESTUDIO 32.4. El desarrollo de una unidad didctica

3. Acerca del clculo y la calculadora

AnexoOrientaciones para la resolucin de los desafos matemticos

7Cuaderno para el docente. Matemtica

Introduccin

Este Cuaderno est destinado al equipo docente que se desempea en el Ciclo Bsicode la Educacin Secundaria Rural y en tal sentido tiene como propsito poner a su dispo-sicin los fundamentos de la propuesta, hacer explcitos los argumentos didcticos y ofre-cer orientaciones para la puesta en prctica.

Se trata de un material pensado para acompaar la tarea de los docentes, colaborandocon informacin, sugerencias y orientaciones para la toma de decisiones, por ejemplo,sobre la planificacin y organizacin del trabajo en el aula, el uso de materiales y recursos,el acompaamiento a los alumnos, el desarrollo de proyectos y otras tareas que implica lle-var adelante Horizontes.

La propuesta para el rea de Matemtica, al igual que las correspondientes a otrasreas, se orienta a cubrir los aprendizajes de una seleccin de contenidos contemplados enlos Ncleos de Aprendizajes Prioritarios (NAP) para ser trabajados durante este Ciclo, a losque podrn incorporarse otros que las autoridades provinciales, locales e institucionalesconsideren significativos.

Los contenidos y actividades toman en cuenta, tanto las particularidades de las escue-las rurales y su comunidad, como las oportunidades que debe ofrecer la Escuela Secundariaa los jvenes durante su formacin, ms all del lugar del pas donde residan. Tambin sereconoce que son los participantes del acto educativo profesores, maestros y alumnosquienes completan y definen la propuesta de enseanza durante la tarea cotidiana, en elmarco de la particular modalidad organizacional definida en cada provincia para la implemen-tacin del Ciclo Bsico de la Educacin Secundaria en mbitos rurales, segn cada reali-dad institucional, las caractersticas del grupo que conforman, su historia escolar previa, susintereses y necesidades, etctera.

Recorrer el contenido de este Cuaderno es, en cierto modo, recorrer la propuesta del readesde las primeras decisiones tomadas respecto de qu aprendern los alumnos, cmo, porqu, para qu, pasando revista a los criterios a partir de los cuales se organizan la enseanzay el aprendizaje. Desde ese marco conceptual se abordar el anlisis de propuestas concre-tas diseadas para el trabajo en el aula, se reflexionar sobre su sentido y significado y setomarn en cuenta sugerencias que puedan contribuir a la tarea de ensear.

Emprender este recorrido en paralelo con una mirada atenta sobre el contenido de losCUADERNOS DE ESTUDIO favorecer la comprensin acerca de cmo estn pensados esosmateriales, tanto desde la perspectiva de uso y aprovechamiento por parte de los alumnos,como desde las decisiones y modalidades de intervencin correspondientes del equipodocente. Los CUADERNOS DE ESTUDIO dan direccin a la tarea de alumnos y docentes. Es por

8 Cuaderno para el docente. Matemtica

eso por lo que en este material se reto-man desarrollos, propuestas, consignasque ellos contienen, para analizar losmodos en que los alumnos estarn avan-zando en su aprendizaje y qu aportesdidcticos puede ofrecer el equipodocente para un buen acompaamientoa la tarea del alumno con su CUADERNODE ESTUDIO de Matemtica.

En cuanto a lo especfico del rea, la Matemtica puede considerarse tanto una herra-mienta para el progreso social, por sus aportes al desarrollo comercial y tecnolgico y a lamodelizacin de fenmenos naturales o sociales, como una estructura formal con definicio-nes y reglas perfectamente organizadas. As, la enseanza de la Matemtica debe conside-rar simultneamente ambos aspectos: por un lado el instrumental, vinculado con la resolu-cin de situaciones en el contexto social y por otro lado, el aspecto formativo asociado aldesarrollo de estructuras lgicas de pensamiento y la transmisin de saberes culturales.

En los distintos documentos curriculares provistos por el Ministerio de Educacin de laNacin y los de las jurisdicciones, la referencia al rea de Matemtica no se limita slo aenunciar los contenidos, sino que se plantea claramente un enfoque sobre su enseanza queretoma las lneas de las investigaciones ms recientes en el campo de la didctica. Segnestas renovadas perspectivas se considera que el nudo central de la formacin matemticaes la resolucin de problemas. Esta concepcin constituye una preocupacin para muchosdocentes, an cuando sus propuestas de enseanza puedan diferir. En ocasiones, se entien-de por resolver un problema slo la posibilidad de acertar con los clculos necesarios pararesolverlo. En cambio, desde esta perspectiva didctica se reconoce la resolucin de proble-mas como una actividad mental compleja en la que no se trata solamente de calcular unarespuesta numrica; es un proceso mucho ms amplio que consiste en la identificacin delproblema inmerso en una masa de informacin, el reconocimiento de la situacin a la quepueden aplicarse mtodos matemticos, la bsqueda de la tcnica adecuada para resolver-lo y, al llegar a una solucin, poder explicitar el modo en que se lo ha resuelto.Posteriormente, es fundamental la tarea del docente para institucionalizar los descubrimien-tos de los alumnos y otorgar entidad de conocimiento matemtico a los procedimientos uti-lizados y a las relaciones descubiertas. As, los saberes en juego quedan habilitados para suposterior utilizacin como herramientas en la resolucin de nuevos problemas.

Los tipos de experiencias proporcionadas por los docentes desempean un papelimportante en cuanto a la amplitud y a la calidad del aprendizaje. La comprensin de ideasmatemticas se puede alcanzar a lo largo de la escolarizacin si se compromete a los alum-nos activamente en tareas y experiencias diseadas para que profundicen y relacionen suspropios conocimientos.

1.La propuestade Matemticaen HORIZONTES

1. La organizacin de este Cuaderno

El objetivo de este material es explicitar la propuesta pedaggico-didctica y el enfoquedel rea que sustenta los CUADERNOS DE ESTUDIO del rea de Matemtica. Para ello se ha ele-gido una modalidad que permite mostrar, de modo directo y a travs de algunos ejemplos,cmo estn organizados y de qu manera est pensada la propuesta de enseanza. Se hanseleccionado algunas unidades de los tres CUADERNOS DE ESTUDIO por conformar bloquestemticos. A partir de estos bloques de unidades se irn sealando algunas decisiones quefueron tomadas en relacin con los contenidos y su enseanza. A medida que se presentenestos aspectos se destacarn las caractersticas de la organizacin didctica, de la propues-ta de enseanza, los contenidos de Matemtica seleccionados, el enfoque del rea que seadopt y algunas sugerencias y modos posibles de intervencin docente. Se ofrecen orien-taciones generales, aunque siempre con referencias concretas a las actividades planteadasa los alumnos en los CUADERNOS DE ESTUDIO.

Tal como fue ya explicado se considera a la unidad didctica como organizadora de latarea en el aula. En el interior de cada unidad, las actividades no se presentan sueltas odesconectadas sino que se articulan en una secuencia didctica de acuerdo con un eje. Suubicacin y contenido cobran sentido en el marco de la propuesta de enseanza. Los temasque se incluyen en cada unidad estn pensados para ser desarrollados, aproximadamente,en dos semanas. No obstante, algunos temas que constituyen bloques temticos y cuyaenseanza requiere mayor tiempo, pueden desplegarse en ms de una unidad; por lo tanto,necesitarn desarrollarse en un tiempo ms prolongado.

El modo de abordaje de este Cuaderno destinado a los docentes se apoya en la decisinde vincular los marcos tericos con la prctica concreta en el aula. De manera que, a medidaque se avanza en las explicaciones, se ir ejemplificando con las actividades de las unidadesde los CUADERNOS DE ESTUDIO. En algunos casos, se incluir la actividad completa y en otros,slo una seleccin que permitir indicar a qu actividad o parte de ella se est aludiendo. Enesos casos se la podr consultar en su totalidad en el material de los alumnos.

Adems de la explicacin del enfoquede enseanza y de los ejemplos presenta-dos, se incluye tambin un apartado conuna serie de actividades para realizar con lacalculadora. Se ha decidido dedicarle unlugar especial porque, adems de ser unaherramienta para facilitar las operaciones, lacalculadora es un excelente medio para pro-poner problemas. Por otra parte, liberaimportante cantidad del tiempo que los

Cuaderno para el docente. Matemtica10

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alumnos usualmente dedican a hacer clculos con lpiz y papel, para destinarlo a lo querealmente se considera que es aprender Matemtica, es decir, comprender las operacionesy sus propiedades, apreciar los conceptos de estimacin y aproximacin y de este modoconcentrarse en la resolucin de un problema y no en los clculos asociados a la situacin.

Finalmente, se presentan algunas orientaciones para la resolucin de los Desafos mate-mticos que se encuentran al final de cada unidad de los CUADERNOS DE ESTUDIO. El objetivo deofrecer estos desafos es proponer a los alumnos una coleccin de situaciones problemticasabiertas, que no necesariamente estn vinculadas con los temas tratados en la unidad. Puedencontener relatos, juegos, curiosidades, adivinanzas o rompecabezas que constituyen ejerciciosinnovadores. Por un lado, tienen rasgos comunes con los problemas que se abordan en las uni-dades: una incitacin al ensayo, la exploracin, la reflexin sobre posibilidades, la eleccin deestrategias y la progresiva profundizacin. Por otro lado, se trata de enunciados suficientemen-te flexibles para proponerlos a alumnos de diferentes edades sin que pierdan su atractivo.

2. Criterios de seleccin de los contenidos

Los contenidos del rea Matemtica contemplados para todo el ciclo en Horizonteshan sido seleccionados a partir de los Ncleos de Aprendizajes Prioritarios (NAP) aproba-dos por el Consejo Federal de Educacin. Se han abordado todos los ejes de contenido delos NAP: Nmeros y operaciones, Geometra y Medida, lgebra, Probabilidad y Estadstica,aunque no han sido desarrollados exhaustivamente.

Algunas unidades que responden a un eje comn se han agrupado en bloques temti-cos, tal como se puede observar en el cuadro de organizacin de los contenidos que se pre-senta en el apartado 3.

Por ejemplo: En las cuatro primeras unidades del CUADERNO DE ESTUDIO 1, el eje longitudinales el tratamiento de la proporcionalidad. En el CUADERNO DE ESTUDIO 2, las unidades 13: lgebra I, 14: lgebra II y15: Funciones, introducen a los alumnos en el tratamiento del lgebra. En el CUADERNO DE ESTUDIO 3 las unidades 11: Ecuaciones, 12: Funciones II, 13:Sistemas, 14: Sistemas de inecuaciones y 15: Funciones III, retoman los conocimientosadquiridos y las recrean con un enfoque funcional.

Finalmente, una lectura horizontal de las unidades temticas permite observar que desdeel CUADERNO DE ESTUDIO 1 y hasta el 3, algunos contenidos presentan una organizacin espi-ralada en cuanto a la amplitud y la profundidad de su tratamiento.

La propuesta de Matemtica en Horizontes

Por ejemplo: la unidad 5 del CUADERNO DE ESTUDIO 1, que introduce las pri-meras nociones de Estadstica, se corresponde con la unidad 5 de Probabi-lidad enel CUADERNO DE ESTUDIO 2 y en el CUADERNO DE ESTUDIO 3 se retoma el trata-miento estadstico de datos con mayor nivel de profundidad.Lo mismo puede sealarse con relacin a la unidad 9 del CUADERNO DE ESTUDIO 1que aborda la simetra y se corresponde con la unidad 9 del CUADERNO DE ESTUDIO2, sobre homotecia y semejanza y en el CUADERNO DE ESTUDIO 3, con la propiedadfundamental de la semejanza. Estas vinculaciones podrn observarse en el cuadro deorganizacin de contenidos, en el apartado siguiente.

En esta propuesta, y siempre que la seleccin de contenidos lo per-mita, se respeta esta organizacin espiralada en cuanto al tratamiento deun mismo eje con diferentes niveles de amplitud y profundidad. El objeti-vo es facilitar la tarea del docente a cargo de un aula mltiple compartidapor alumnos de diferentes edades y matriculados en distintos aos deescolaridad.

En sntesis, los tres criterios sealados para la seleccin de conteni-dos la relacin con los NAP, la constitucin de bloques temticos y lahorizontalidad, permiten poner de relieve los criterios didcticos implica-dos en su desarrollo.


13La propuesta de Matemtica en Horizontes

ORGANIZACIN DE CONTENIDOS DE CUADERNOS DE ESTUDIO 1, 2 Y 3 DE HORIZONTES

3. La organizacin de los contenidos

En cada uno de los CUADERNOS DE ESTUDIO, los contenidos seleccionados han sido orga-nizados en diecisis unidades cuyos ttulos se presentan en el siguiente cuadro.

UNIDAD

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CUADERNO DE ESTUDIO 1

Uso de los nmeros

Proporcionalidad directa

Relaciones no proporcionales

y proporcionalidad inversa

Escalas, mapas y planos

Estadstica

Tringulos

Cuadrilteros

Cuerpos y figuras

Simetra

Medicin de ngulos

Medicin de peso

y capacidad

reas en cuerpos y figuras

Equivalencia de figuras

El nmero ,

circunferencia y crculo

Polgonos

Poliedros


Nmeros enteros

Nmeros racionales

Potenciacin y radicacin.

Notacin cientfica

Introduccin a la combinatoria,

estrategias de conteo

Probabilidad

Movimientos

Simetra en cuadrilteros

ngulos, posiciones relativas

Homotecia y semejanza

Relacin pitagrica

Volumen y rea

Relaciones mtricas en figuras

lgebra I, ecuaciones,

inecuaciones

lgebra II,

frmulas de regularidades

Funciones

Lugares geomtricos


Matemtica cotidiana

Progresiones y sucesiones

Potenciacin y radicacin

Funciones I

Estadstica

Trigonometra I

Trigonometra II

Operaciones directas

e inversas

Propiedad fundamental

de la semejanza

Teorema de Tales

Ecuaciones

Funciones II

Sistemas

Sistemas de inecuaciones

Programacin lineal

Funciones III

Nmeros reales

En el cuadro se han sealado con sombreados ciertos bloques de unidades con la fina-lidad de destacarlos para facilitar la lectura de las posteriores observaciones, vinculadas conla seleccin y organizacin de los contenidos.

La mirada global del ciclo brinda, adems, un panorama de conjunto que resultar muytil para tomar decisiones de planificacin en cada ao y en la organizacin del pluriao.

Observe la organizacin de los contenidos que se presenta en el cua-dro y realice una lectura en paralelo con la lectura del ndice de los

CUADERNOS DE ESTUDIO correspondientes.

El propsito es que identifique en el cuadro: los contenidos previstos para cada CUADERNO DE ESTUDIO y su organizacinen unidades; qu otras asociaciones existen entre los temas, adems de las que han sidosealadas como ejemplos de bloques.

A partir de la lectura del ndice de cada CUADERNO DE ESTUDIO tendr unaaproximacin a las actividades de la unidad. Puede completar este primerpanorama recorriendo una unidad de cada CUADERNO DE ESTUDIO para tomarcontacto con las secuencias, tipos de consignas, diferentes formatos textuales,orientaciones y otros desarrollos que dan cuenta del tratamiento de los conte-nidos, de cmo se va guiando el trabajo de los alumnos, de los procesos en losque se los involucra y lo que se espera de ellos.

4. Matemtica en Horizontes

A lo largo de los tres CUADERNOS DE ESTUDIO se puede observar una fuerte presencia decontenidos geomtricos. Esta determinacin no es casual; obedece a que las ideas geom-tricas son tiles para representar y resolver problemas tanto en otras reas de la Matemticacomo en situaciones del mundo real. En la vida cotidiana usamos diariamente conocimien-tos matemticos, muchas veces sin darnos cuenta de ello. Por ejemplo, cuando estimamoslas dimensiones de una chacra, cuando guardamos en una alacena los alimentos envasa-dos o los libros en una biblioteca tratando de potenciar el uso del espacio. Por otra parte,la Geometra es mucho ms que un conjunto de definiciones: es describir con precisin, cla-sificar y comprender las relaciones entre objetos de dos y tres dimensiones razonando sobrelas propiedades que los definen, utilizar modelos geomtricos para representar y explicar


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relaciones numricas y algebraicas en el arte, las ciencias y la vida diaria. La Geometra con-tribuye a la formacin matemtica de los alumnos desde los primeros aos de la escolari-dad. Por esta razn en Horizontes se intenta ofrecer a alumnos y docentes unidades conactividades secuenciadas y recursos apropiados para que, con el apoyo de los docentes, losestudiantes puedan adquirir habilidad para describir e interpretar el entorno fsico que losrodea y desarrollar su razonamiento espacial.

Los nios, desde pequeos estn en condiciones de observar y describir en formaespontnea una diversidad de figuras e intuir sus propiedades. Cmo puede aprovechar laescuela estos conocimientos espontneos? Desde el comienzo de la escuela primaria, losalumnos, por ejemplo, observan en la prctica que los rectngulos son apropiados paraconstruir embaldosados porque tienen cuatro ngulos rectos. Ms adelante, con el acom-paamiento del docente, sern capaces de conjeturar acerca de los rectngulos que siem-pre tienen diagonales congruentes y que se cortan en su punto medio.

Estas crecientes posibilidades de razonamiento a lo largo de la formacin matemticade un sujeto fueron estudiados por Pierre y Marie Van Hiele quienes las describieron segndiferentes niveles que van desde el razonamiento intuitivo de los nios del Nivel Inicial hastael formal y abstracto de los estudiantes de las Facultades de Ciencias. De acuerdo con elmodelo de Van Hiele:

el nivel 1 es denominado nivel de reconocimiento o visualizacin; el nivel 2, de anlisis; el nivel 3 de clasificacin o abstraccin; el nivel 4 de deduccin, el nivel 5 del rigor.

Esta clasificacin en niveles puede orientar la tarea docente, ya que si el alumno esguiado por experiencias educativas adecuadas, se favorece su avance a travs de los nive-les de razonamiento, empezando como todos con el reconocimiento de figuras (nivel 1),progresar luego hacia el descubrimiento de las propiedades de las figuras y hacia el razo-namiento informal acerca de estas figuras y sus propiedades (niveles 2 y 3) y culminar conun estudio riguroso de Geometra axiomtica (niveles 4 y 5). Cada nivel se construye sobreel anterior y no se corresponde exactamente con los ciclos de escolaridad; el desarrollo delos conceptos espaciales y geomtricos coincide con una secuencia desde planteamientosinductivos y cualitativos, hacia formas de razonamiento cada vez ms deductivas y abstrac-tas. En particular conviene sealar que el nivel de deduccin se va construyendo a lo largode toda la escuela secundaria en tanto que el nivel superior, el del rigor, en general slo esalcanzado por quienes se dedican especficamente al estudio de la Matemtica.

Se puede ver as que en Horizontes, la organizacin interna de los contenidos deMatemtica propone que los alumnos logren un creciente grado de abstraccin.


5. Orientaciones didcticas

Las secuencias de actividades propuestas para cada una de las unidades constituyensituaciones de enseanza que promueven:

Momentos de trabajo individual y organizacin del aula en pequeos gruposde aprendizajeEs preciso considerar que en todo proceso de aprendizaje escolar hay momentos de tra-bajo colectivo y momentos de trabajo individual. La produccin tambin vara: hay pro-duccin colectiva, de pequeos grupos y produccin individual. Conviene sealar que eltrabajo colectivo o grupal no es igual a la suma de los trabajos individuales, sino que esotra instancia, nueva y original. Por otra parte, el trabajo en grupos promueve relacionesde convivencia escolar, contribuye a mejorar las condiciones de socializacin de losalumnos y constituye un factor determinante de valiosos aprendizajes.

El desarrollo de la autonoma del alumnoSe propician situaciones de aprendizaje que promuevan la capacidad de los jvenesde ejercer iniciativa, de no aceptar ciegamente lo que se le ofrece, sino plantear yplantearse interrogantes, defender sus convicciones, buscar respuestas por s mis-mos, criticar, verificar.

El intercambio entre el docente y los alumnosLa presencia del docente con sus intervenciones es condicin necesaria para los apren-dizajes de los alumnos, tanto en el momento de planear la tarea y prestar su apoyo sifuera necesario, como en el de coordinar una puesta en comn, en momentos determi-nados, en los que cada pequeo grupo tiene la posibilidad de compartir con sus paresun momento de reflexin sobre la tarea realizada.

La utilizacin del juego como recurso para el aprendizajeEn el caso de esta propuesta de enseanza, se trata de juegos estructurados segnpautas, normas tcitas o explcitas en las que los participantes pueden innovar siempreque haya consenso sobre las nuevas reglas. Uno de los aspectos ms relevantes deluso de este recurso consiste en que los alumnos aprenden a sostener discusiones racio-nales acerca de un juego de base matemtica. Despus pueden trasladar esas condi-ciones de racionalidad escucharse, argumentar razonando para defender sus ideasa otras reas en las que las conclusiones no resultan auto correctoras, como en el casodel saber matemtico, sino que estn influidas por situaciones familiares, estilos cultu-rales o sociales diversos.

La sistematizacin de la informacin y la elaboracin de generalizacionesSe llevan a cabo a travs de puestas en comn de las producciones individuales y de lospequeos grupos de trabajo, coordinadas por el docente.


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El tratamiento creciente de los contenidos temticosSe proponen situaciones que van desde la observacin de las propiedades de los obje-tos del entorno, a los aspectos ms ligados con la dimensin disciplinar.

Cada una de las orientaciones anteriores juega un papel importante enel desarrollo de la propuesta didctica. Le sugerimos que busque en las

actividades de los tres CUADERNOS DE ESTUDIO del alumno algn ejemplo decada una de ellas. Una vez ubicada la actividad y la consigna, puede realizar elejercicio de anotar qu intervenciones docentes le parece que podrn favore-cer esta perspectiva adoptada.

A modo de ejemplo se plantean algunas preguntas vinculadas con los momen-tos de trabajo individual y organizacin del aula en pequeos grupos de apren-dizaje para orientar su reflexin: Qu indicaciones o consignas puede aportar para propiciar que en el traba-jo grupal se realice un real intercambio de argumentos entre los alumnos? De qu modo destacar y mostrarles a los alumnos que en el trabajo en gru-pos se puede producir una idea nueva y diferente de la que cada uno sus inte-grantes posee por separado?

La actividad que se propuso es una primera aproximacin a los CUADERNOS DE ESTUDIO paracomenzar a conocer sus caractersticas. A medida que realice una lectura ms completa y pro-fundice el anlisis de las unidades, podr retomar estas primeras anotaciones y reconsiderarlas.


2.Organizaciny desarrollode las secuenciasdidcticas

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1. La organizacin de secuencias de actividadesen unidades de aprendizaje

En la organizacin de las unidades se han tenido en cuenta las sucesivas etapas queconstituyen momentos o fases del proceso de aprendizaje y la centralidad del conocimien-to geomtrico. Interesa destacar que desde la perspectiva de Horizontes, el aprendizaje dela Matemtica es un proceso complejo muy distinto de la adquisicin de los algoritmos porun ejercicio de la memoria. En el aprendizaje se pueden presentar obstculos, errores derazonamiento, de estimacin o de clculo, avances y retrocesos que a veces el docentesanciona. Sin embargo, en lugar de sancionarlos, estos errores que presentan los chicospueden ser aprovechados por el docente porque son reveladores de las estrategias de losalumnos que muchas veces sorprenden por su originalidad.

Una verdadera situacin problemtica obliga al alumno a superar una dificultad pormedio de un nuevo aprendizaje, ya se trate de una simple transferencia, de una generaliza-cin o de la construccin de un conocimiento totalmente nuevo (Perrenoud).

En estos CUADERNOS DE ESTUDIO, las situaciones de aprendizaje se incluyen en unasecuencia didctica en la que cada situacin es una etapa de una progresin que constitu-ye una unidad de aprendizaje.

La organizacin de esas unidades tiene como objetivo favorecer el pasaje del alumno atravs de los distintos momentos de desarrollo de su razonamiento mediante la presenta-cin de actividades significativas que estn a su alcance. Las secuencias didcticas de lasunidades de Matemtica presentan actividades que apuntan a procesos cognitivos diferen-tes y que responden, en general, a una serie de momentos o fases.

Se trata de: Actividades que apuntan a brindar informacin en las que se pone en discusincierto material que contribuye a clarificar el contexto de trabajo. Actividades que apuntan a una orientacin dirigida proporcionando material pormedio del cual el alumno aprende las principales nociones del campo de conocimien-to que se est explorando. El material y las nociones que se trabajarn, fueron selec-cionadas en funcin del nivel de razonamiento de los alumnos. Actividades que contribuyen a la explicitacin de los resultados encontradospor los alumnos. Los orienta en el proceso de apropiacin del lenguaje matemticopertinente a travs de intercambios y discusiones en clase, conducidos por el docente. Actividades de orientacin libre, que proporcionan al alumno materiales con variasposibilidades de uso. El docente puede dar diferentes instrucciones, segn su conoci-miento sobre los alumnos, que les permitirn diversas formas de actuacin. Actividades de integracin en las cuales se invita a los alumnos a reflexionar sobresus propias acciones, que realizaron en las fases anteriores. De este modo el estu-

Cuaderno para el docente. Matemtica

21Organizacin y desarrollo de las secuencias didcticas

diante tiene la posibilidad de adquirir una nueva red de relaciones cada vez ms ampliaque se conecta con la totalidad del dominio explorado. Este nuevo nivel de conocimien-to, adquirido a travs del desarrollo de la unidad, es la base para continuar con el estu-dio de las unidades siguientes.

Es importante aclarar que estos diferentes tipos de actividades no sepresentan obligatoriamente en todas las secuencias, sino que conformandistintas propuestas de organizacin para la enseanza del tema de unaunidad. La propia dinmica de la tarea didctica, en algunas circunstan-cias, requiere la inclusin de algunas y no de otras.

Es conveniente que el docente resuelva con anterioridad las activida-des de los CUADERNOS DE ESTUDIO. De este modo, podr realizar una refle-xin antes de cada clase acerca de las orientaciones que deber proponera sus alumnos para que puedan resolver esas actividades o de la necesi-dad de aprendizajes previos que necesita promover. Dado que algunaspodrn resultar ms sencillas que otras, es muy importante que el docentepueda decidir en qu actividades debera intervenir para apoyar los apren-dizajes de los alumnos y de qu maneras diferentes podra hacerlo. Esimportante recordar que los alumnos deben intentar resolver solos los pro-blemas. Tambin por esta razn, se destaca la conveniencia de anticipar lalectura para disponer de estrategias de trabajo y de intervencin docenteen los casos en que las actividades presenten alguna dificultad.

1.1. Las nociones geomtricas

La organizacin de las secuencias de actividades que se proponen en cada unidad estfuertemente determinada por el contenido temtico seleccionado.

Dada la importancia de los conocimientos geomtricos y su vinculacin con la prcticacotidiana es importante que los nios, en los primeros aos de su escolarizacin, desarrollendestrezas de visualizacin a travs de experiencias que les permitan manipular distintos obje-tos geomtricos a su alcance.

Los alumnos del Segundo Ciclo generalmente dominan las nociones de posicin relativacomo arriba, detrs, cerca, entre, a la derecha, a la izquierda y pueden usar cuadrculas paralocalizar objetos y medir la distancia entre puntos situados en rectas horizontales o verticales.Estas experiencias iniciales facilitan luego el abordaje en el plano de las coordenadas rectan-gulares, que son de gran utilidad para resolver problemas de lgebra.

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En la escuela secundaria, cuando los alumnos estudian temas como la semejanza y lacongruencia deberan aprender a utilizar el razonamiento deductivo y tcnicas para probar susconjeturas acerca de situaciones espaciales. Por ejemplo, en este nivel, se propone un recur-so geomtrico como la recta numrica, que brinda una interpretacin de los nmeros natura-les y puede utilizarse ms tarde para representar operaciones con otros tipos de nmeros.Adems constituye el soporte para la construccin de la nocin de lnea de tiempo indispen-sable en el rea de Ciencias Sociales.

Tambin al abordar el estudio de la proporcionalidad, la Geometra ofrece innumerablesejemplos que permiten el estudio de correspondencias crecientes, decrecientes, proporcio-nales y no proporcionales. Por ejemplo, el estudio de la variacin entre la base y la altura delos rectngulos del mismo permetro.

Analice a modo de ejemplo de esta perspectiva, el estudio de la varia-cin entre la base y la altura de los rectngulos del mismo permetro.

Puede consultarlo en el CUADERNO DE ESTUDIO 1, pgina 40.

Las ideas geomtricas tambin facilitan el estudio de las mediciones. Los nios pequeosempiezan por comparar y ordenar objetos en la etapa en que la longitud es el centro de laatencin utilizando expresiones cualitativas como: ms largo y ms corto. A medida que avan-zan en estas experiencias la incorporacin de la nocin de medida lleva al uso de fraccionespara continuar con el estudio del permetro, el rea y el volumen.

En el CUADERNO DE ESTUDIO 1, unidad 1, se propone la exploracin del cam-bio de los atributos de un objeto y cmo afecta a ciertas medidas, por ejemplo, sepa-rando y agrupando de otra forma las piezas de una figura para que adviertan quepuede cambiar el permetro, pero no cambia el rea.



Esta idea se puede ampliar explorando cmo puede variar la superficie total deun prisma recto rectangular sin modificar su volumen, tal como se observa en elCUADERNO DE ESTUDIO 1, unidad 12, actividad 4.

1.2. Los nmeros y las operaciones

La opcin elegida toma la Geometra como eje del desarrollo de los contenidos, sin dejarde lado el manejo de los nmeros naturales y fraccionarios.

En la resolucin de los problemas geomtricos, los alumnos podrn mostrar su capacidad para: usar diferentes formas de representacin de los nmeros; establecer relaciones entre ellos al realizar operaciones; aplicar propiedades de la adicin y multiplicacin; calcular con fluidez y hacer estimaciones razonables.

En esta serie de cuadernos se puede notar una progresin en el uso de los nmeros. Enel CUADERNO DE ESTUDIO 1 los nmeros se usan en la resolucin de problemas; en el CUADERNODE ESTUDIO 2 se consideran las propiedades estructurales de los conjuntos de nmeros ente-ros y racionales y el CUADERNO DE ESTUDIO 3 culmina con la presentacin del conjunto de losnmeros reales y su caracterstica de completitud.

Es importante sealar que ciertas nociones como la proporcionalidad se abordan en rela-cin con la resolucin de problemas desde los primeros aos de escolaridad y se generalizan,consolidan y formalizan progresivamente a lo largo de toda la trayectoria escolar del estudian-te. Por esa razn hemos elegido para comentar ms adelante y con mayor profundidad, unaunidad del CUADERNO DE ESTUDIO 1 en la que, junto con la reflexin acerca de los nmeros ylas operaciones, el eje de contenido temtico es la proporcionalidad.

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1.3. De los procedimientos locales a los procedimientos expertos:el tratamiento de la proporcionalidad

Al analizar el tratamiento que se le da en la escuela a la proporcionalidad se puede apre-ciar que en un principio se la utiliza como una herramienta til y mucho ms adelante comouna funcin. De tal modo, los alumnos ms jvenes se enfrentan a numerosos problemas queresuelven apoyndose implcitamente en las propiedades de la proporcionalidad:

la idea de tantas veces ms o tantas veces menos (si compro el triple de objetos,pagar el triple) es una de las propiedades de linealidad que usan con mayor frecuenciaaunque no la hayan aprendido en la escuela; el coeficiente de proporcionalidad es puesto en juego particularmente en los casos enlos que se vinculan dos magnitudes de la misma naturaleza como en el caso de las mez-clas (cinco vasos de agua por cada uno de jarabe) o en la ampliacin y reduccin defiguras a escala (las dimensiones en el papel son cien veces ms pequeas que en larealidad). En la escuela, aprendern luego cmo simbolizar el coeficiente de proporcio-nalidad y cmo operar con l.

En el CUADERNO DE ESTUDIO 1, unidad 3, actividad 4 y despus de haberexplorado diversas relaciones en tablas y grficos, los alumnos abordan la nocin decoeficiente o constante de proporcionalidad.


Al finalizar la escuela primaria, la nocin de proporcionalidad est ligada a ciertotipo de razonamiento contextualizado, apoyado por alguna de las dos propieda-des recin mencionadas: crecimiento lineal y constante de proporcionalidad.


Un concepto se va formando a medida que los sujetos van descubriendo qu tienen encomn todos los elementos que pertenecen a una clase. Vale decir que advierten aquello quees comn y luego pueden discernir qu objetos no cumplen con las condiciones necesariaspara pertenecer a esa clase. Por eso, en el trabajo con la proporcionalidad tambin es nece-sario presentar a los alumnos situaciones en las que el aumento en las dos variables en juegono sea proporcional, es decir situaciones de crecimiento no proporcional.

En los Cuadernos, el tratamiento de la proporcionalidad pone en evidencia que, desde unprincipio, los alumnos pueden resolver situaciones de proporcionalidad poniendo en juegoprocedimientos locales y personales, como lo hacan en la escuela primaria. Poco a poco, apartir del estudio de las proporciones numricas y de la construccin del significado del coe-ficiente de proporcionalidad, esos procedimientos locales se irn generalizando y sern reem-plazados por otros procedimientos expertos.

Desde esta perspectiva didctica, el reconocimiento de una situacin de proporcionalidad noes condicin previa a su resolucin, sino que interviene en el curso de su tratamiento. Del mismomodo, surgen situaciones que ponen en juego las nociones de porcentaje, velocidad, escala obien medicin con cambio de unidades. Los problemas son resueltos con relacin al sentido dela situacin, utilizando el mismo tipo de razonamiento y limitndose a los datos disponibles.

A lo largo de los CUADERNOS DE ESTUDIO, se desarrolla un tratamiento sistemtico de la pro-porcionalidad y de sus aplicaciones considerando progresivamente procedimientos generales(por ejemplo, el clculo de porcentajes) que se apoyan en procedimientos locales y persona-les que, como hemos dicho, los alumnos han utilizado en la escuela primaria y ms adelanteson reemplazados por otros procedimientos expertos.

Por ejemplo, el estudio de la funcin lineal en el CUADERNO DE ESTUDIO 3,unidad 4, proporciona un marco algebraico para el tratamiento de situaciones deproporcionalidad.

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El lector encontrar en la tercera parte de este Cuaderno otros ejemplos paradiferenciar procedimientos locales y personales de procedimientos expertos que se adquie-ren en la escuela, en la resolucin de los desafos 6 de la unidad 9 y 3 de la unidad10, ambas del CUADERNO DE ESTUDIO 3.

1.4. Las nociones de estadstica y probabilidad

La unidad 5 de cada uno de los tres CUADERNOS DE ESTUDIO forma parte de una secuen-cia de actividades relacionadas con conceptos de estadstica y probabilidad que introducen alos alumnos en la toma de decisiones en situaciones en las que slo se dispone de datosvariables y afectados por la incertidumbre.

Histricamente la estadstica y la probabilidad nacieron como una necesidad de explicar laevolucin de poblaciones a lo largo del tiempo y manejar datos numricos con espritu crti-co. Sin embargo conviene que los alumnos no se concentren nicamente en problemas des-criptivos, sino tambin que traten problemas dinmicos de poblaciones con comportamientoaleatorio caracterizado por el azar.

El abordaje de este tipo de problemas es una excelente oportunidad para que compren-dan cmo se aplica la matemtica tanto a la resolucin de problemas diversos econmi-cos, geogrficos, sociales y de otras reas del conocimiento como a los juegos de azar.

Desde la escuela primaria se estimula a los alumnos para que lean, interpreten y utilicendiversas formas de representacin de datos (listados, tablas, cuadros, diagramas, grficos).A lo largo de los tres aos de este ciclo se va profundizando el uso de estos recursos, en par-ticular en el dominio estadstico, ya que el anlisis crtico de la informacin comunicada porlos medios a travs de esos soportes es muy importante en la formacin de los jvenes.Como ciudadanos responsables deben ser lectores crticos de la informacin que suministranlos medios mediante grficos, escalas y porcentajes.

2. Los contenidos bloque por bloque y unidad por unidad

En este apartado se realizarn comentarios ms especficos acerca de los contenidoscorrespondientes a cada uno de los CUADERNOS DE ESTUDIO. Estas reflexiones sobre el mate-rial brindan nuevos recursos que se pueden aplicar a la planificacin y a la definicin de lasestrategias para el trabajo en el aula.

En cuanto a la organizacin interna de los CUADERNOS DE ESTUDIO, se presentan en formageneral las decisiones curriculares y didcticas tomadas en las distintas unidades, con unaexplicacin ms detallada sobre las unidades que toman como eje la iniciacin al lgebra ylas funciones a lo largo de los tres Cuadernos.



Luego se presentarn, a modo de ejemplo, algunos comentarios sobre la unidad 3 delCUADERNO DE ESTUDIO 1 en el apartado El desarrolllo de una unidad didctica. A medida quese exponen las actividades de la unidad se incluyen observaciones que explican la perspecti-va terica desde la cual se ha decidido incluir los conceptos. Tambin se irn destacando losdiversos formatos de texto y las fases de la secuencia didctica que ya fueron anteriormen-te explicitadas. Las observaciones y comentarios sobre esta unidad, podrn ser transferidasa otras unidades de los CUADERNOS DE ESTUDIO.

2.1. Las unidades del CUADERNO DE ESTUDIO 1

En el siguiente cuadro analtico se despliegan las diecisis unidades en las que est organizadosu desarrollo. Una lectura exploratoria muestra que han sido abordados los cuatro ejes que organi-zan los NAP: nmeros y operaciones, Geometra y medida, lgebra, Probabilidad y estadstica.

UNIDAD TTULO CONTENIDO

1 Nmero y operaciones Cmo se usan los nmeros?El significado de las operaciones.El uso de la calculadora elemental.Operaciones con fracciones, expresiones decimales.Jerarqua de las operaciones.

2 Proporcionalidad Correspondencias numricas.La proporcionalidad directa.

3 Proporcionalidad inversa Correspondencias numricas, uso de tablas y grficos.Razones y proporciones. Relaciones de proporcionalidad inversa.Coeficiente de proporcionalidad inversa.Figuras geomtricas de la misma rea y distinta forma.Relaciones crecientes y decrecientes no proporcionales.

4 Escalas en mapas Escalas en:y planos - Relaciones de correspondencia de uno a uno y de uno a ms de uno.

- Representacin grfica y representacin numrica.- Construccin e interpretacin de planos.- Lectura e interpretacin de mapas.Porcentaje en:- La relacin porcentual como fraccin.- Los casos de las correspondencias porcentuales menores a 100 yde las mayores a 100.La resolucin de clculos empleando la calculadora.

5 Estadstica Moda.Frecuencia relativa.El promedio y la media.Representaciones grficas.Organizacin de datos.


6 Tringulos Clasificacin de tringulos segn la medida de sus lados.Clasificacin de tringulos segn la medida de sus ngulos.Propiedad triangular.

7 Cuadrilteros Construccin a partir de sus diagonales.Propiedades.Caracterizacin de cuadrilteros.Diagonales y romboides.

8 Cuerpos y figuras Clasificacin de cuerpos geomtricos: polidricos y redondos.Elementos de los cuerpos geomtricos: aristas, caras, vrtices.ngulos diedros, triedros y poliedros.Poliedros regulares.Relacin de Euler.

9 Simetra Transformaciones en el plano: simetras.Eje de simetra. Determinacin de los ejes de simetra en figurasgeomtricas.Orientacin de los puntos de un plano, convenciones de sentido:sentido horario y sentido antihorario.Invariantes en una simetra. Reglas y algoritmos para dibujar imge-nes simtricas.Composicin de simetras. Rotaciones.

10 Medida de ngulos ngulos. Representacin y elementos.Medida de ngulos.Pares de ngulos complementarios, suplementarios y consecutivos. Pares de ngulos adyacentes, interiores y exteriores de un polgono.Bisectriz.

11 Medicin de volumen, Medidas de capacidad y volumen.capacidad y peso Relacin entre volumen, capacidad y peso.

Medidas justas, medidas aproximadas.

12 Permetros y reas Permetro de figuras y cuerpos.en cuerpos y figuras planas reas en cuerpos y figuras.

13 Equivalencia de figuras Embaldosados.Unidades de rea.Frmulas para calcular el rea de algunos cuadrilteros.Teselaciones.

14 La circunferencia Elementos de la circunferencia y el crculo.y el crculo El nmero pi ( ).

15 Polgonos Elementos y clasificacin de polgonos.Polgonos regulares.

16 Poliedros Elementos de los poliedros.Propiedades de los poliedros.


La construccin del concepto de proporcionalidad

Una lectura rpida del CUADERNO DE ESTUDIO 1 le permitir observar que en las primerasunidades se parte de los nmeros y las operaciones para abordar luego el concepto de pro-porcionalidad que no slo es fundamental en el rea de matemtica sino en todas las disci-plinas cientficas. De tal modo, las primeras cuatro unidades pueden considerarse como unnico bloque temtico vinculado con la construccin del concepto de proporcionalidad que,como otros, no se adquiere en unas pocas semanas de clase, sino que va evolucionando alo largo de la vida de un sujeto.

En la primera unidad, en relacin con el eje nmeros y operaciones, se intenta que losalumnos revisen sus concepciones acerca del significado de las operaciones que ya conocendesde la escuela primaria para que el concepto de proporcionalidad que subyace en las ope-raciones multiplicativas sea interpretado sin dificultades en las unidades siguientes. En cuan-to al aprendizaje del clculo, el desarrollo actual de la tecnologa facilita el acceso a instru-mentos de clculo que se han instalado progresivamente en la vida cotidiana. A veces, la dis-ponibilidad de las calculadoras, pone en duda el valor de la enseanza del clculo con lpiz ypapel; pero tambin se considera necesaria su aplicacin en la resolucin de problemas sig-nificativos y el desarrollo de habilidades de clculo mental y aproximado, que sirven de anti-cipacin y control a la ejecucin de las operaciones con calculadora.

Seguramente los alumnos ya han realizado algn reconocimiento de situaciones propor-cionales. El propsito de este bloque es que revisen sus concepciones acerca de cmo serelacionan las cantidades estableciendo correspondencias y que puedan distinguir las relacio-nes de proporcionalidad de aquellas que no lo son. Finalmente, que distingan entre las rela-ciones de proporcionalidad, aquellas que son de proporcionalidad directa de las que son deproporcionalidad inversa.

Si bien slo se hace aqu una aproximacin al concepto de funcin es probable que estepunto de vista resulte novedoso. Se trata de hacer explcitos tres aspectos caractersticos delas funciones: dependencia, variacin, y correspondencia.

En el tratamiento funcional de la proporcionalidad, la dependencia indica que cadavalor de una variable (dependiente) est en ntima e indestructible relacin con valoresde la otra variable (independiente). El trmino variacin se refiere a la diferencia que enun sentido u otro pueden experimentar las variables consideradas. Por ltimo, hablar decorrespondencia significa la existencia de una relacin entre los elementos de uno o msconjuntos.

La estadstica y la Geometra

El creciente inters por utilizar la informacin que proviene de los medios masivos decomunicacin y que ha sido procesada segn mtodos estadsticos, es tambin un objetivoescolar y constituye otro eje de la organizacin del CUADERNO DE ESTUDIO 1. La unidad 5 intro-duce a los alumnos en aprendizajes significativos: recoger datos, organizar los propios y losajenos, y representarlos en grficos y diagramas que resulten tiles a la hora de analizar algu-nos mtodos, de hacer inferencias y tomar decisiones a partir de ellos ya sea en cuestionesvinculadas con los negocios, la investigacin o la vida cotidiana.

Para comprender las ideas estadsticas fundamentales, los alumnos deben trabajar direc-tamente con datos. A medida que progresen en su organizacin encontrarn nuevas ideas yprocedimientos sobre nmeros, lgebra, medida y Geometra. Trabajar con el anlisis dedatos y la probabilidad ofrece a los estudiantes una forma natural de conectar la Matemticacon otras asignaturas y con las experiencias de la vida cotidiana. De ese modo pueden com-prender el sentido de formular encuestas, estudios de informacin y experimentacin, yaprender que algunos problemas dependen de las hiptesis que se establezcan y tienen cier-to grado de incertidumbre.

Los procesos de medida

Las unidades 6 a 16 estn dedicadas a la Geometra y los procesos de medida.

Desde los gemetras griegos hasta los nios de hoy, los instrumentos de trazado geom-trico regla, escuadra y comps han permitido representar ideas, pensar sobre ellas, con-cebir los desplazamientos y las transformaciones sobre una geometra casi concreta que, sinembargo, permite pensar en operaciones an sin necesidad de realizarlas.

A medida que se trabaja sobre representaciones, los alumnos desarrollan sus posibilida-des de generar conjeturas, analizarlas con sus compaeros y poner en juego, de maneraconsciente, los conocimientos adquiridos. As se darn cuenta de que al hacer una medicinexperimental siempre se trabaja con un error, que depende de los instrumentos que se pue-dan utilizar. Este conocimiento los ayudar en el momento de efectuar mediciones, a elegirentre los elementos disponibles, aquellos que se adecuen a los fines deseados.


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En el desarrollo de estas unidades el docente encontrar ejerciciosde consolidacin y prctica de lo aprendido y tambin juegos o problemasque promueven nuevos aprendizajes y que pueden compartir grupos dealumnos que no cursen el mismo ao de estudios.

Para organizar los conocimientos sobre los cuerpos geomtricos es muy importanteexperimentar directamente con materiales concretos, por eso es recomendable la confec-cin del formaedro sugerida en la unidad 6. Las observaciones conducirn a expresar lasideas, revisando y ampliando el vocabulario especfico: cuerpo, figura, poliedro, cara, vr-tice, arista, cspide, poliedro, poliedro regular, pirmide, prisma, cono, cilindro, esfera,circunferencia, crculo, radio, dimetro, base, altura. A los trminos anteriores hay queagregar ngulo diedro, plano, recta, semirrecta, cuyo significado no se puede mostrarconcretamente, sino que es necesario imaginarlos pensando en extender sin lmites unmodelo material.

Cuando en las actividades se sugiere a los alumnos la manipulacinde materiales, por ejemplo, las piezas de un rompecabezas como el tan-grama o de rectngulos de determinadas condiciones, se trata de favore-cer la construccin de conceptos. Lo importante es que el uso de estosmateriales motive a los estudiantes a describir sus acciones con palabras.Es necesario promover esta situacin, pidindoles que expliquen sus pro-cedimientos ya sea por escrito o de modo verbal. Esta necesidad decomunicar un procedimiento exige al alumno volver sobre sus pasos ypensar de nuevo en el camino seguido, en definitiva, reflexionar acerca desu propio proceso de aprendizaje.

Organizacin y desarrollo de las secuencias didcticas

32Cuaderno para el docente. Matemtica


En el cuadro que se presenta a continuacin se despliegan los contenidos de las diecisisunidades correspondientes al CUADERNO DE ESTUDIO 2.

UNIDAD TITULO CONTENIDO

1 Nmeros enteros Contar en dos sentidos.

El orden de los nmeros enteros.

Las operaciones con nmeros enteros.

Valor absoluto.

2 Nmeros racionales Qu son los nmeros racionales?

Caractersticas de los nmeros racionales. Densidad.

Valor absoluto y operaciones con nmeros racionales.

3 Potenciacin y radicacin Potenciacin con exponente natural.

Las propiedades de la potenciacin.

La radicacin.

Qu es la raz cuadrada?

Notacin cientfica Notacin cientfica para nmeros muy grandes o muy pequeos.

4 Combinatoria y estrategias Combinatoria.

de conteo Los diagramas arbolares en la combinatoria.

Combinaciones.

Permutaciones. Cambios en el orden.

5 Probabilidad Clculo de probabilidades.

Imposible 0, seguro 1.

Situaciones y experimentos.

6 Transformaciones Transformaciones en el plano.

geomtricas Movimientos: traslaciones y rotaciones.

Simetras.

7 Cuadrilteros y simetra Caractersticas de los cuadrilteros.

Cuadrilteros simtricos.

Ejes de simetra, bases medias, mediatriz.

Figuras ubicadas en diferentes cuadrantes.

8 ngulos, posiciones Rectas en el plano.

relativas ngulos formados por dos rectas secantes.

ngulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una secante.

9 Ms transformaciones: Qu es la homotecia?

homotecia y semejanza Imgenes homotticas.

El centro y la razn de homotecia.

La semejanza.

Homotecias, semejanzas y smbolos.


10 La relacin pitagrica Un rompecabezas.

La demostracin de Leonardo.

Aplicaciones de la relacin pitagrica.

Las ternas de nmeros pitagricos.

11 Volumen y reas Volumen de un cuerpo.

de prismas y pirmides Superficie lateral y total.

Clculo del volumen de prismas y pirmides.

12 Relaciones mtricas Relaciones mtricas en polgonos.

ngulos exteriores e interiores de un polgono.

La relacin urea.

13 lgebra I Ecuaciones e inecuaciones.

El lgebra como instrumento.

Expresiones algebraicas equivalentes.

14 Algebra II Ecuaciones de primer grado con una incgnita.

(Ecuaciones de primer Del lenguaje coloquial al lenguaje algebarico.

grado e identidades) Identidades algebraicas.

15 Funciones Imgenes y dominio de una correspondencia.

Qu correspondencias son funciones?

Funciones definidas por frmulas.

16 Lugar geomtrico Espacios geomtricos.

Definicin grfica y simblica de espacios geomtricos.

Lugares geomtricos: circunferencia, bisectriz,

mediatriz, base media.

La lectura de los ttulos de las tres primeras unidades anticipa que los contenidos han sidoseleccionados poniendo especial nfasis en que los alumnos se inicien en el conocimientoformal de los conjuntos de nmeros enteros y racionales y su representacin sobre la rectanumrica. El avance en la comprensin conceptual de los nmeros racionales les permitirsuperar las resoluciones mecnicas de clculo con fracciones y apreciar la densidad del con-junto de los racionales como su caracterstica esencial.

Los contenidos que se abordan en las unidades 4 y 5 estn vinculados con la organiza-cin de datos. Esta serie se inici en la unidad 5 de Estadstica del CUADERNO DE ESTUDIO 1y prepara a los alumnos para retomar y ampliar las nociones de Estadstica en la unidad 5 delCUADERNO DE ESTUDIO 3. El objetivo es que puedan razonar estadsticamente y desarrollar lashabilidades necesarias para llegar a ser no slo consumidores inteligentes sino sobre todo,ciudadanos bien informados capaces de tomar decisiones bien fundamentadas.

A partir de la unidad 6, los temas de Geometra estn imbricados con la introduccin al lge-bra que ser contenido especfico de la unidad 13 y con los problemas de medicin que se pre-sentan constantemente en la vida diaria. Se trata de que los alumnos analicen las caractersticas

y las propiedades de las figuras geomtricas de dos y tres dimensiones y desarrollen razona-mientos matemticos sobre relaciones mtricas. Tambin, que localicen y describan relacionesespaciales mediante coordenadas geomtricas y otros sistemas de representacin y apliquenmovimientos y simetras al anlisis y la resolucin de problemas espaciales. Se espera que losestudiantes avancen en la produccin y validacin de conjeturas sobre relaciones y propiedadesgeomtricas, desde las argumentaciones empricas hacia otras ms generales.

A travs de las actividades que se les proponen en este Cuaderno, los alumnos deberancomprender lo que significa que en una transformacin geomtrica se conserve la distancia y laforma, como ocurre en las traslaciones, las rotaciones y la simetra y cmo las homotecias per-miten ampliar o reducir el tamao de las figuras originales conservando su forma.

Dado que la escuela es transmisora de bienes culturales que la sociedad fue construyen-do a lo largo de siglos y conservan su vigencia hasta hoy, se presenta el caso de la propie-dad pitagrica en la unidad 10, cuyas aplicaciones son innumerables.

El bloque de lgebra

Como se seal en el inicio, las unidades 13, 14 y 15 del CUADERNO DE ESTUDIO 2 confor-man un bloque temtico. Todos los documentos curriculares vigentes destacan la importan-cia de capacitar a los estudiantes en una introduccin al lgebra de modo tal que los ayudeal reconocimiento, uso y anlisis de expresiones algebraicas y variaciones, funcionales o no,en sus diferentes representaciones y en situaciones diversas.

La aproximacin al lgebra que se propone en este proyecto es partir de problemas y resol-verlos poniendo en acto el procedimiento algebraico que implica pasar del enunciado verbal a lapuesta en ecuacin. Este paso del lenguaje coloquial al lenguaje algebraico es precisamente laescritura de ecuaciones que aparecen entonces como un medio adecuado para la resolucin deproblemas y el clculo literal como el medio para accionar en la bsqueda de las soluciones.

La resolucin de las ecuaciones necesita del conocimiento de un cierto nmero de reglasde clculo literal que los alumnos construyen a medida que analizan las situaciones que seles presentan. Apropiarse paulatinamente del lenguaje del lgebra implica, por ejemplo, dejarde considerar al signo = como una seal para realizar alguna operacin e interpretarlo comoun indicador de equivalencia y equilibrio entre los dos miembros de una igualdad. Es un pro-ceso que lleva tiempo y no se alcanza en un ao de estudio sino que se va consolidando amedida que el alumno llega a la comprensin de lo que representan los smbolos y cmo semanejan las operaciones algebraicas. Si bien los alumnos han utilizado antes en la aritmticala mayora de los smbolos del lgebra, ampliar su nuevo significado no se logra de un dapara otro. Por esta razn en el CUADERNO DE ESTUDIO 2, se retoman las cuestiones del lge-bra y las funciones en varias unidades.



En muchas ocasiones, en la escuela se inicia a los alumnos en los conceptos de ecuaciny solucin de una ecuacin mediante definiciones formales. Muchos libros de texto tambin eligeneste camino. Sin embargo, tambin se observa en muchos casos un reiterado fracaso en el apren-dizaje. Esta observacin conduce a pensar en la necesidad de buscar otros caminos en la ensean-za para que los alumnos se aproximen al tratamiento algebraico de los problemas. Las publicacio-nes de los investigadores y las experiencias de otros colegas dan fundamento a la propuesta quese ha desarrollado en estos materiales con relacin a la enseanza del lgebra y las funciones.

Por ejemplo, para retomar los conocimientos de lgebra y Geometra desde una nuevaperspectiva, la ltima unidad del CUADERNO DE ESTUDIO 2 se refiere al concepto de lugar geo-mtrico que es un conjunto de puntos que satisfacen una condicin determinada que puedeexpresarse mediante una ecuacin.

En el proceso de aprendizaje del lgebra se suelen presentar dos problemas que son inversos: encontrar el lugar geomtrico que corresponde a los puntos que satisfacen a la ecuacin; dado un lugar geomtrico, hallar la ecuacin que lo representa.

Un lugar geomtrico puede ser una recta, una lnea curva, un plano, una superficie curvaTeniendo en cuenta que los objetos matemticos son entes puramente conceptuales y que seconciben como resultado de abstraer las propiedades comunes de determinados objetos o deidentificar sus regularidades, en los CUADERNOS DE ESTUDIO se intenta que los alumnos reco-rran un camino de elaboracin de esos procesos de abstraccin y generalizacin. Esto implicadisear secuencias de actividades con la graduacin requerida para que el estudiante puedatransitar a lo largo de su escolaridad por crecientes niveles de generalizacin.


Atendiendo siempre a que la construccin de un concepto es un proceso lento de aproxi-maciones sucesivas hacia formas de razonamiento de complejidad creciente, en esteCuaderno, como en los anteriores, se pueden distinguir bloques de contenidos temticos queabarcan varias unidades.

Las tres primeras contienen aproximaciones a la teora de los nmeros. Algunos de los temas delas unidades que siguen parecern ms abstractos, como los modos de razonar en trminos esta-dsticos, las nociones de trigonometra, la dependencia funcional entre variables, el aprendizaje dellenguaje algebraico. Una caracterstica de estos contenidos es el desarrollo de la capacidad de reco-nocer particularidades y generalizaciones en un proceso determinado. Esta capacidad se promuevecon la introduccin sucesiva de modelos simples de situaciones que permitan pasar, por ejemplo, dela proporcionalidad a la relacin funcional ms general y la Geometra mtrica. De ah la importanciadel pasaje de la aritmtica al lgebra y que se insista en la equivalencia de los lenguajes verbal, sim-blico y grfico con el uso de diagramas de rbol, tablas y coordenadas.

El siguiente cuadro muestra los contenidos analticos de las unidades del CUADERNO DEESTUDIO 3 con el que culmina Horizontes.

UNIDAD TTULO CONTENIDO

1 Matemtica cotidiana Medidas y porcentajes.

Proporcionalidad en el clculo de jornales y pago de servicios.

Prstamos y crditos, nocin de inters, comisin y descuento.

2 Sucesiones y progresiones Sucesiones, trmino general. Suma de n trminos de una progre-

sin aritmtica. Sucesin de Fibonacci.

Progresiones geomtricas. Suma de n trminos.

Inters compuesto. Deudas.

Anlisis de la tendencia en las sucesiones.

3 Potenciacin y radicacin Potenciacin en N y Q: revisin de operaciones combinadas y pro-

piedades (con exponente entero).

Propiedades de la potenciacin: exploracin y justificacin.

Radicacin en Q: definicin, ejemplos.

Propiedades de la radicacin en Q: exploracin.

4 Funciones El lenguaje de las funciones: definicin, notacin.

Frmulas, tablas Imagen y contraimagen de un elemento. Dominio y codominio.

y grficos funcionales Sistemas de ejes cartesianos, tablas y diagramas de flechas.

Funcin lineal: definicin. Pendiente. Ordenada al origen.

5 Estadstica Trminos estadsticos: poblacin, muestra, variables, frecuencia

absoluta y relativa.

Valores centrales: promedio, moda y mediana.

Histogramas.

Estudio de la dispersin: varianza. Desviacin tpica.

6 Trigonometra I Razones trigonomtricas de un ngulo agudo: seno, coseno

Razones trigonomtricas y tangente. Clculo aproximado. Uso de calculadora.

de un ngulo agudo Clculo de las razones trigonomtricas de

de un tringulo rectngulo ngulos particulares.

Resolucin de tringulos rectngulos.

ngulos de elevacin y depresin.

7 Trigonometra II Generacin de ngulos positivos y negativos.

(Funciones trigonomtricas Razones trigonomtricas en los 4 cuadrantes. Signo de las funciones.

de ngulos en un sistema Tringulos oblicungulos.

de ejes cartesianos) Medida de un ngulo en radianes.

8 Operaciones directas e inversas Operaciones directas. Propiedades, reversibilidad. Elemento neu-

tro y absorbente. Asociatividad, conmutatividad, distributividad.

Operaciones inversas: resta, divisin, radicacin.



9 Propiedad fundamental Propiedad de los lados y de los ngulos de dos polgonos semejantes.

de la semejanza Tringulos semejantes. Propiedad fundamental de semejanza de pol-

gonos. Criterio de semejanza de tringulos. Aplicacin a la resolucin

de problemas. Razn entre las reas de dos polgonos semejantes.

10 Teorema de Tales Razones entre segmentos.

Propiedades de los segmentos determinados por tres o ms para-

lelas cortadas por dos transversales.

Teorema de Tales. Aplicaciones. Semejanza de tringulos.

11 Ecuaciones Identidades.

Ecuaciones lineales completas: resolucin, distintos caminos.

Ecuaciones equivalentes. Reglas.

Ecuaciones que no tienen solucin.

Resolucin de ecuaciones con la calculadora.

12 Funciones II Funcin creciente. Funcin decreciente. Funcin constante.

Ceros de una funcin.

Grficos. Frmula de una funcin lineal. Problemas

Rectas paralelas y perpendiculares.

Grficas de funciones trigonomtricas.

13 Sistemas Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incgnitas.

Distintos mtodos de resolucin.

Resolucin grfica y analtica.

14 Sistemas de inecuaciones Inecuaciones. Representacin grfica de semiplanos.

Programacin lineal. Restricciones. Polgono de soluciones posi-

bles. Optimizacin de la funcin objetivo.

15 Funciones III Funciones cuadrticas. Parbolas. Cambios en los valores de los

parmetros de las curvas de una misma familia.

Sistemas de representacin: enunciado verbal, tabla de valores, ley

algebraica y grfico de la funcin.

Expresin polinmica, cannica y factorizada.

16 Nmeros reales Nmeros racionales: no peridicos y peridicos. Nmeros irracio-

nales: radicales, ,, . Representacin de radicales sobre la rectareal. Clculo de la raz cbica de un nmero. Completitud del con-

junto de los nmeros reales

Las actividades de la unidad 1 tienen como propsito que los alumnos adquieran el baga-je esencial de la matemtica cotidiana que los acompaar en su vida presente y futura. Unaidea central es que reconozcan la importancia de la matemtica en cuestiones de la vida coti-diana: calcular un descuento, entender la caducidad de un medicamento, revisar los recibosde los servicios elementales, comparar precios en funcin de la capacidad de los envases, dis-tinguir entre dos hechos probables cul es el que tiene mayor probabilidad de ocurrir, elaborar


un presupuesto mensual de gastos, calcular la diferencia entre el dinero que presta un bancoy el que se le devuelve y muchas otras situaciones que se pueden presentar en la vida de cual-quier persona.

La Matemtica se usa a diario tanto en las compras, traslados, pago de transportes, pagode servicios esenciales, como en la divisin de un gasto entre varias personas, la recaudacinde dinero para un gasto grupal o el clculo del tiempo que se tarda para llegar a un destino. Lasnecesidades cotidianas a las que se hace referencia se vinculan con los procedimientos de con-tar, localizar, medir, disear y explicar, haciendo un uso prctico de los aprendizajes escolares.

En la unidad 2 se inicia el estudio de las sucesiones y progresiones a partir de poner enprctica una ley de formacin o bien por el camino inverso, es decir deduciendo la ley de forma-cin a partir de la presentacin de los trminos de una sucesin. El clculo de las sumas y pro-ductos en las progresiones se aplica luego a la resolucin de problemas y los clculos de inters.

El estudio de las operaciones de potenciacin y radicacin iniciado en la unidad 3 delCUADERNO DE ESTUDIO 2 se retoma en la unidad 3 del CUADERNO DE ESTUDIO 3. En este nivelno se trata de desarrollar demostraciones rigurosas, sino de que los alumnos se vean en lanecesidad de utilizar letras al referirse a regularidades y propiedades vlidas para cualquiernmero. Este paso al lenguaje algebraico muestra que el lgebra puede considerarse, inicial-mente, como una generalizacin de la aritmtica.

Ms adelante, en la unidad 8 se exploran y analizan en general las operaciones inver-sas, y en carcter de tales, se establecen relaciones entre las reglas de accin que surgende las propiedades de cada una y que rigen la operatoria cuando se trabaja con una sola ope-racin o con varias de ellas. Se le ha dado un tratamiento especial a los procedimientos uti-lizados en el caso de las operaciones combinadas, para volver sobre el orden jerrquico delas operaciones, que es un tema tratado desde el CUADERNO DE ESTUDIO 1 y amerita ser revis-to y profundizado.

Es probable que los alumnos se sorprendan al descubrir que si bien el resultado de unadivisin entre nmeros racionales es equivalente al producto que se obtiene multiplicando eldividendo por el inverso del divisor; en smbolos: m n = m x 1, el nmero 0 no tiene inver-so y ninguna divisin con divisor 0 puede resolverse.

n

Los procedimientos estadsticos

Tambin en el CUADERNO DE ESTUDIO 3, la unidad 5 se refiere a estadstica. Esta horizontali-dad en la seleccin de los temas de las unidades tiene como propsito facilitar la tarea deldocente a cargo de un aula mltiple. Como en los casos anteriores, las actividades propuestastienen por objetivo que los alumnos puedan interpretar crticamente la informacin presentada


en tablas y grficos que aparece en libros y peridicos; calcular y comunicar informacin num-rica de manera adecuada y aplicar conocimientos matemticos a otras ciencias como lasCiencias Sociales y las Ciencias Naturales. Los datos numricos con los que trabaja la estads-tica provienen de una gran diversidad de fenmenos de la vida social, poltica y econmica, cuyaenumeracin sera interminable. La informacin cuantitativa que ofrecen los datos procesados ylo que estos conceptos estadsticos facilitan es la organizacin de esa informacin cuantitativaresumindola, caracterizndola, tipificndola, disponindola de forma que pueda ser comparadacon otras informaciones provenientes de datos masivos.

En la vida cotidiana de los alumnos, los conceptos estadsticos aparecen aplicados a cues-tiones diversas. Desde el punto de vista de la didctica, todos estos elementos en los que laestadstica ya est presente en su uso civil, forman parte tambin de las experiencias de losalumnos. Por otra parte, en el terreno de la inferencia estadstica, los fenmenos son mscomplejos y de naturaleza abstracta, ya que ataen a la posibilidad de obtener conocimientoa partir de la observacin de las caractersticas de casos. No es el objetivo que los alumnossean expertos en estadstica. Basta con el manejo de tablas de doble entrada, todo tipo dediagramas y el conocimiento de los contenidos clsicos de estadstica descriptiva como lasmedidas de centralizacin y dispersin.

Geometra y nociones de trigonometra

Las unidades 6 y 7 constituyen un bloque en el que se presentan contenidos de trigono-metra. El propsito de la unidad 6 es que los alumnos descubran las razones trigonom-tricas y las apliquen a la resolucin de tringulos en situaciones reales. En la unidadsiguiente se ampla el estudio de las relaciones trigonomtricas en los tringulos a losngulos situados en los cuatro cuadrantes. Tambin se espera que los estudiantes profun-dicen sus conocimientos de lgebra al establecer relaciones entre las razones trigonom-tricas de un ngulo agudo y utilicen el lenguaje adecuado para expresarlas. El uso de cal-culadoras brindar una posibilidad de clculo inmediato de las razones trigonomtricas y lasoperaciones con ellas. Para descubrir la constancia de estas razones se construyen nue-vos tringulos semejantes al primero. De este modo reaparece aqu un concepto estudia-do en la unidad de semejanza del CUADERNO DE ESTUDIO 2 que es el de la proporcionalidadde los lados. Este momento puede ser considerado como de evaluacin del aprendizaje deese concepto. Este trabajo llevar a destacar que las razones trigonomtricas no depen-den de los lados del tringulo, sino de la amplitud del ngulo.

En este bloque los alumnos trabajan sobre aspectos clave de la Geometra en cuanto a laelaboracin de modelos y procesos de descripcin, clculo, representacin y argumentacin.La Geometra es un lugar temtico adecuado para observar que mediante el trabajo con lasrepresentaciones los conceptos se reorganizan constantemente y se reestructuran en redescada vez ms amplias y ms ricas.

En la unidad 9 del CUADERNO DE ESTUDIO 2 los alumnos trabajaron sobre homotecias y lle-garon a definir el concepto geomtrico de semejanza. Una homotecia es una trasformacingeomtrica que, a partir de un punto fijo, multiplica todas las distancias por un mismo factorde modo que a partir de una figura original se obtiene una imagen que tiene la misma formaque la original. Esta conservacin de la forma est vinculada con el concepto de semejanzaque los alumnos abordarn en esta unidad 9. El concepto de semejanza es ms amplio queel de homotecia. En este ltimo, las figuras se pueden agrandar o achicar pero su posicinqueda rgidamente determinada por un punto (centro) y un nmero (razn). En cambio lasemejanza es independiente de la posicin que ocupen las figuras. Presenta un aspecto msdinmico que la homotecia. Las figuras pueden estar en posiciones muy distintas y seguirnsiendo semejantes aunque, adems de ampliaciones y reducciones, se les apliquen diversascombinaciones de movimientos que las desplacen en el plano a cualquier posicin.

El bloque de funciones

El propsito que gua la organizacin de las unidades del CUADERNO DE ESTUDIO 3 es quelos alumnos profundicen y avancen en el estudio algebraico de funciones que iniciaron en losCuadernos anteriores. En la unidad 4 y en la 12 se plantea la revisin del vocabulario espe-cfico indispensable para retomar el tema en las unidades siguientes y en el bloque constitui-do por las unidades 13, 14 y 15.

Una de las preocupaciones prioritarias del abordaje de los distintos temas seleccionadospara estas unidades es que los conceptos que se desarrollarn cobren sentido al vincularsecon el lenguaje cotidiano utilizado generalmente por los alumnos. Este vocabulario puedeestar algunas veces identificado con un concepto matemtico y otras no. En lo cotidiano, eluso de la palabra ecuacin, es poco frecuente. Sin embargo muchas veces se puede emple-ar una ecuacin para expresar una relacin numrica, aun sin tener conciencia de ello. Porejemplo, al decir que la edad de Anala es la mitad que la de Beatriz, se habla en trminosde relaciones, pero no se explicita la simbolizacin equivalente: porque nadie hace unrecorrido algebraico para expresar lo que le resulta obvio; en cambio, cuando el problema escomplejo la representacin simblica es muy ventajosa y por ello conviene que los alumnosvivencien las ventajas de la simbolizacin algebraica.

La estrategia de resolucin de problemas es fundamental en la educa-cin matemtica y posibilita su incidencia en otras reas del conocimiento,pero tambin son propias de la accin matemtica las estrategias que de-sarrolla el propio proceso de elaboracin de modelos: la experimentacin, laprediccin, la confrontacin, la deteccin de fenmenos dependientes.


a = b2


Ante situaciones como el espacio recorrido por un mvil o el estiramiento de un resortesegn la fuerza que se le aplica, entre otros, los cientficos analizan cmo se vinculan lasvariables en juego y buscan frmulas matemticas que describan las relaciones que tienenalguna regularidad. Cuando la relacin se caracteriza por una velocidad de cambio constan-te, se est en presencia de un modelo lineal: en matemtica se lo define como funcin line-al porque su representacin es una lnea recta.

Ms adelante, en la unidad 13, se estudian fenmenos que dependen de ms de unavariable y se corresponden con sistemas lineales que pueden o no tener solucin algebraica.Cuando se incorporan funciones con condiciones restrictivas representadas por inecuacioneslos puntos correspondientes al sistema forman polgonos funcionales cuya solucin es nece-sario optimizar mediante el procedimiento matemtico denominado programacin lineal.

El estudio de las funciones cuadrticas complementa el trabajo ya iniciado en unidadesanteriores sobre las funciones matemticas ms importantes. En este caso, este estudioresulta de inters no slo en matemtica, sino tambin en fsica y en otras reas del cono-cimiento. Son ejemplos de relaciones cuadrticas, entre otras, la trayectoria de una pelotalanzada al aire y la que describe una catarata al caer desde lo alto de una montaa. La opor-tunidad de poder examinar a travs de una sucesin, las grficas de una familia de curvasde acuerdo con los diversos valores de un parmetro, ofrece un campo experimental para laimaginacin, ya sea que el alumno la realice en forma individual o con un pequeo grupo.

Seguramente el docente puede seleccionar un conjunto numeroso deactividades relacionadas con este tema, como la aplicacin de las distintasfrmulas, pero desde esta unidad didctica se hace hincapi en el concep-to de funcin cuadrtica y de su respectiva representacin grfica, la par-bola, para diferenciarla de la otra familia de funciones ya estudiada: la de lasfunciones lineales y sus respectivas representaciones grficas: las rectas.

En la actividad 3 de la unidad 13 aparecen las tres formas de escribir una funcin cuadr-tica: polinmica, factorizada o cannica. El tiempo que puede asignrsele a la enseanza deestos temas es una decisin del docente a cargo del grupo, y depender no slo del tiempoque haya estimado previamente, sino tambin de la disponibilidad de textos adecuados y dela destreza que hayan alcanzado sus alumnos en los procedimientos algebraicos.

En cuanto al lgebra, los smbolos tienen muchas ventajas sobre las palabras como mediopara escribir las ideas matemticas, pero la eleccin de los smbolos no es absoluta ni defi-nitiva y en cada momento depende de las convenciones que se hayan establecido en el pro-ceso, lento pero enriquecedor, de la construccin de las nociones algebraicas.

Es conveniente aclarar que para conducir esta lnea de trabajo, el docen-te tiene que ser flexible y estar atento para saber cundo y de qu modo inter-venir. A veces para alentar a los alumnos a travs de preguntas o comentariospertinentes y otras, guardando silencio ante alguna pista falsa, dando tiempoa los alumnos a darse cuenta solos de que esa pista no lleva a ninguna parte.

2.4. El desarrollo de una unidad didctica

En este apartado se toma como soporte la unidad 3 del CUADERNO DE ESTUDIO 1 que formaparte del bloque temtico referido a la enseanza de la proporcionalidad para ejemplificarcmo se desarrollan las secuencias didcticas en Matemtica y para exponer algunos comen-tarios acerca de la labor del docente en la progresin de los aprendizajes de los alumnos.

Si bien el ttulo de la unidad es Proporcionalidad inversa, para la construccin de este con-cepto es necesario que los alumnos hayan afianzado previamente las nociones de razones yproporciones, que iniciaron en unidades anteriores en los casos de proporcionalidad directa.As podrn establecer, deducir y analizar las caractersticas de las correspondencias de pro-porcionalidad inversa que implican la aplicacin de esas nociones.

A medida que se presentan las actividades, se incluyen notas que explican la perspectivaterica desde la cual se han enfocado los conceptos de la disciplina. Tambin se irn desta-cando los diversos formatos de texto y las fases de la secuencia didctica que ya fueron ante-riormente explicitadas.

En las unidades de los CUADERNOS DE ESTUDIO, la explicacin de los contenidos se realiza atravs de diferentes tipos de textos. A su vez, las consignas y las distintas referencias a lostextos se indican a travs de conos que guan a los alumnos en su proceso de aprendizaje,con los cuales se irn familiarizando a medida que avancen en la resolucin de las actividades.

Teniendo en cuenta que la educacin es en esencia un proceso inter-personal, en muchas oportunidades se les menciona la necesidad de com-parar sus producciones con las de otros compaeros y conversar con eldocente acerca de las conclusiones a las que arribaron. En tales circuns-tancias, el enseante puede facilitar los aprendizajes de los alumnos sinimponer sus conocimientos matemticos. Reexaminar de forma colectivala progresin llevada a cabo facilita una revisin reflexiva y ayuda a losalumnos a tomar conciencia de las estrategias que pusieron en prcticapara que queden disponibles ante nuevas situaciones problemticas.



En particular, el propsito de esta unidad es que los alumnos revisen sus concepcionesacerca de cmo se relacionan las cantidades, establezcan correspondencias inversamenteproporcionales y las distingan de las que slo son decrecientes pero no proporcionales.

Para ello se abordan los siguientes contenidos: correspondencias numricas, uso de tablas y grficos; razones y proporciones; relaciones de proporcionalidad inversa, coeficiente de proporcionali-dad inversa; figuras geomtricas de la misma rea y distinta forma; relaciones crecientes y decrecientes no proporcionales.

Cuando un nio sabe que por cada planta de tomates se colocan tres caas ata-das y encuentra que para un surco de 5 plantines necesita 15 caas, pone en juegouna relacin de proporcionalidad directa que le hace corresponder a cada elementodel primer conjunto (plantines de tomates) tres elementos del segundo (caas).

El establecimiento de relaciones de proporcionalidad directa pone en juegodiversos conceptos. Al efectuar operaciones de multiplicacin y divisin ya comien-zan a utilizarse estas relaciones. Se reconoce que as como 2 veces 7 es 14, para elproducto 6 x 7, que tiene como resultado 42, se emplea implcitamente la relacinque hace corresponder al triple de 2, el triple de 14. Esta es una de las propiedadesde la proporcionalidad directa.

En cambio, cuando observamos una germinacin de semillas de maz, pode-mos apreciar en su crecimiento que, si bien siempre a ms das le corresponde msaltura, y que durante algunos das ese crecimiento es proporcional al tiempo trans-currido, luego deja de variar proporcionalmente. Esto significa que esta correspon-dencia entre el crecimiento y el tiempo transcurrido es una relacin creciente, perono es una relacin de proporcionalidad directa.

Este ejemplo muestra que la tan esgrimida frase a ms, ms y a menos, menos no cons-tituye un criterio suficiente para asegurar la proporcionalidad directa. Si bien es una condicinnecesaria, no resulta suficiente porque para que exista proporcionalidad directa deben darseadems otras condiciones.

Unidad 3 del CUADERNO DE ESTUDIO 1. Proporcionalidad inversa

Las distintas actividades de la unidad se proponen: poner a los alumnos en situacin de experimentar los conceptos con recursos mate-riales o estableciendo relaciones entre los datos de los problemas; hallar e identificar los pares ordenados de una correspondencia; poner de relieve la diferencia entre funciones inversamente proporcionales y aquellasque slo son decrecientes; contribuir a la reelaboracin de los conceptos de permetro y rea de una figura; ejemplificar las propiedades de la relacin de proporcionalidad inversa, trabajando endistintos marcos: numrico, grfico, geomtrico, fsico; emplear las diversas representaciones de una relacin para extraer conclusiones sobresus propiedades.

Todas las unidades comienzan con un texto en negrita que anticipa al alumnocules son las ideas o ejes que encontrar en los temas de la unidad. Es interesanterecordarle que preste atencin siempre a este tipo textos en los que se anticipan tam-bin los objetivos del trabajo en el aula.


Tanto los alumnos como los docentes encontrarn aqu buenas orientacionespara las tareas propuestas.


Tal como se expres anteriormente, el tratamiento de los contenidoscomienza siempre por lo que los alumnos conocen y se desarrolla respe-tando un grado creciente de complejidad. Por esta razn, la primera acti-vidad en todas las unidades, recupera informacin considerada previa yque ya ha sido elaborada por los alumnos en otras unidades o aos esco-lares y que resulta fundamental para el contenido que se quiere ensear.En particular en este caso la actividad 1 posibilita revisar la comprensinde los temas trabajados en la unidad anterior y evaluar los aprendizajesalcanzados en cuanto a proporcionalidad directa. Por tanto, constituye unabuena oportunidad de intervencin docente para que los alumnos vincu-len los contenidos ya estudiados con los propios de esta unidad.

En esta actividad se prop

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