De l’enseignement dispensé au lycée, onacquiert trop souvent la conviction queles mathématiques sont figées: elles semblent

avoir été façonnées pour l ’essentiel aux XVIIe etXVIIIe siècles, avant de se cristalliser. Ainsi,Gauss (1777-1855), avec les seules connaissancesdont il disposait à 20 ans, se jouerait de tous lesexercices mathématiques de nos cours de termi-nale scientifique actuels. Cette par ticularité nes’étend pas aux disciplines telle la biologie, dontles exercices de niveau identique laisseraientDarwin (1809-1882) perplexe…

Ce recours à un savoir ancien n’est pas unemauvaise façon de procéder : il fournit de bonnesbases classiques, préliminaire presque indispen-sable à un travail innovant, ainsi que des qualitésde raisonnement solides. Mais dans ces condi-tions, comment imaginer qu’il reste des choses àdécouvrir en mathématiques ? Dès lors, la surpriseest de taille pour le grand public lorsque l’InstitutClay de mathématiques dévoile, le 24 mai 2000,une liste de « problèmes du millénaire » : septénigmes mathématiques non résolues, dontchacune est mise à prix à un million de dollars !

Un monde envahi de problèmes ouvertsCette annonce « coup de poing » met un peu plusen lumière la discipline, déjà sous le feu des projec-teurs (l’an 2000 avait été désigné année interna-tionale des mathématiques par l ’UNESCO), etrévèle à tous ce dont les mathématiciens ont uneconscience aiguë : leur monde est envahi deproblèmes ouverts, en attente de solution depuisun an, un siècle ou un millénaire. Les mathéma-ticiens sont ainsi pris dans une gigantesque toile

Ces problèmes quiles mathématiciensEn 1900 et en 2000, des mathématiciens ont dressé une liste des problèmes les plus importants de leur temps. Ils espéraient ainsi guider les chercheurs du siècle, voire du millénaire, à venir...

4

RubriqueMathématiquesCédric VILLANI

dossier_74_p004006_avantpropos_GJ1512.xp 16/12/11 10:41 Page 4

défientAVANT-PROPOS

de problèmes, petits ou grands, précisémentformulés ou vaguement ébauchés, examinés parune poignée de chercheurs ou par plusieurs milliersd’entre eux, et qui les obsèdent pendant unejournée, une nuit, ou une vie.

Ce n’est pas la première fois qu’on tente d’éta-blir la liste des pr oblèmes les plus impor tants.En 1900, le mathématicien allemand DavidHilbert (1862-1943) a énoncé 23 grandsproblèmes ouverts, afin de guider les mathéma-ticiens du siècle à v enir. Lors de son inter ven-tion au Congrès de Paris, intitulée Sur les problèmesfuturs des mathématiques, il a développé cettenotion de problème, si centrale en mathéma-tiques (voir Qu’est-ce qu’un bon problème ?, parÉ. Ghys, page 64).

Peut-on mesurer le progrès mathématiqueen fonction du nombre de problèmes résolus ?Cela n’aurait aucun sens : chaque problème résolufait surgir dix nouvelles interrogations. Et si laliste de l’Institut Clay est plus cour te que cellede Hilbert, ce n’est pas parce qu’il restait moinsde problèmes à résoudre, mais parce qu’avec unmillion de dollars en jeu, on se devait d’être plusprudent sur la sélection ! En effet, certains desproblèmes formulés par Hilbert ont été résoluspresque immédiatement ; pour éviter que l’his-toire ne se répète – et que l’argent de Landon Clayne fonde trop –, on n’a donc conservé, pour la

5

liste du millénaire, que des problèmes de premièreimportance et de première difficulté.

Beaucoup de mathématiciens pensaient qu’au-cune de ces énigmes ne serait résolue avant plusieursdécennies. C’était sans compter le génie de GrigoriPerelman, un mathématicien russe connu pour sesremarquables contributions à la géométrie noneuclidienne. À la stupéfaction générale, il annonçaen 2003 avoir résolu un des problèmes de la liste,et non le moindre : la presque centenaire conjec-ture de Poincaré, emblématique de la topologie(voir Géométriser l’espace : de Gauss à Perelman, parÉ. Ghys, page 56).

Comment les mathématiciensrésolvent-ils les énigmes ?Comment G. Perelman, en sept ans de travail soli-taire et secret, a-t-il vaincu l’une des plus grandesénigmes mathématiques du siècle? Chaque cher-cheur a sa propre théorie sur le processus desolution, qui se déroule selon d’infinies variantes.On n’en a que peu de témoignages dir ects, àl’exception notable de celui de H enri Poincaré(1854-1912) : dans ses écrits autobiographiques,le mathématicien évoque des illuminations quiont surgi de façon inattendue après une longuepériode d’imprégnation. Pour ma part, je distingueaussi plusieurs périodes : une première phase,longue, où l’on est plongé dans l’obscurité totale ;puis une deuxième, où s’allume une lueur faibleet diffuse, qui laisse entrevoir quelque chosed’intéressant ; et enfin, c’est l’illumination, lemoment où l’on comprend, rédige, recoupe, publieet partage avec ses pairs le résultat.

Bien sûr, on reste la plupart du temps bloquéà la première ou à la deuxième étape. Et dans les

de Cédric VILLANI,professeur de mathématiques à l’Université de Lyon, directeurde l’Institut Henri Poincaré(CNRS/UPMC), et lauréatde la médaille Fields en 2010.

Imag

es.c

om/C

orbi

s

LE CHEMIN DES MATHÉMATICIENS est pavé de multiplesproblèmes, grands et petits. Hilbert, en 1900, etl’Institut Clay, en 2000, ont tenté d’établir la liste des plus importants. La plupart des problèmes de Hilbertsont aujourd’hui résolus, au moins en partie, tandisqu’un seul de ceux de l’Institut Clay a été « vaincu ».

© V

alér

ie T

ouch

ant-L

anda

is

dossier_74_p004006_avantpropos_GJ1512.xp 16/12/11 10:41 Page 5

6 LES GRANDS PROBLÈMES MATHÉMATIQUES © POUR LA SCIENCE

cas où l’on atteint la troisième, ce moment intenseest inéluctablement suivi d’une légère dépression,où l’on se dit qu’« après tout, c’était si facile »…

Les problèmes ont accompagné toute monhistoire personnelle en mathématiques. Àl’époque du collège, ceux sur la géométrie du

triangle m’ont passionné et m’ont permis d’exercermon sens de la démonstration. A près les exer-cices d’étudiants, dont le professeur connaissaitla réponse, sont venus les problèmes de recherche,les plus motivants, ceux dont personne ne saita priori s’ils ont une solution : d’abord ceuxque m’a posés mon directeur de thèse, puisceux que je me suis posés moi-même ou quiont surgi au hasard de rencontres. Celles-ci m’ontparfois apporté l’étincelle nécessaire à la résolu-tion d’un problème qui m’était familier : certainesidées de base de mes travaux sur la productiond’entropie par les collisions dans un gaz (voir Leséquations de l’irréversibilité, par C. Mouhot,page 106) sont ainsi issues d’un travail communavec Giuseppe Toscani, de l’Université dePavie, en Italie. Dans d’autres cas, ces rencontresm’ont fourni un problème que j’ignorais, maisdont je connaissais tous les ingrédients néces-saires à la résolution.

Quoi qu’il en soit, à la fin, le problème et sasolution forment un tout : ce n’est qu’à la lumièrede la solution et de ses enseignements que l’onpeut déterminer si l ’on était face à un « bonproblème », et évaluer son importance. Encela, une énigme de mathématiques r essembleun peu à celle d’un roman policier. L’intérêt d’untel roman n’est pas seulement l’identification ducoupable, mais aussi la façon dont on pr ouveirréfutablement sa culpabilité, autrement dit leraisonnement qui permet de le confondre ; demême, dans un problème mathématique, ladémonstration de la solution doit apporter sonlot d’enseignements.

Chaque jour, des milliers de démonstrationssont élaborées par des mathématiciens. Lesproblèmes résolus, plus ou moins importants etplus ou moins techniques, ont des retentissementsdivers, allant parfois jusqu’à faire les gros titres desjournaux. Des ouvrages de vulgarisation en popu-larisent certains, tels le grand théorème de Fermat,démontré en 1994 par le mathématicien anglaisAndrew Wiles, alors à l’Université de Princeton,

aux États-Unis, et la conjecture de Poincaré(voir Anthologie des grandes résolutions, page 112).Ces grandes résolutions font rêver, non seulementla communauté scientifique par les nouv eauxconcepts mis en jeu et la réorganisation desdomaines qui en résulte, mais aussi la sociétéentière par l’aventure humaine sous-jacente. Ainsi,la conjecture de Poincaré a inspiré le créateur dehaute couture Issey Miyake.

Malgré cela, nous n’avons découvert quequelques îlots de connaissance au milieu d ’unocéan d’inconnu. Nous savons si peu de choses !Ce n’est pas un discours pessimiste, au contraire :cette rareté ne rend que plus précieux le sav oiraccumulé, et plus unique aussi chaque nouv ellevictoire face à l’inconnu. Loin d’être découragéspar l’ampleur du travail restant, les chercheurs ypuisent leur force et leur motivation.

Résistance utileRésoudre un problème peut prendre un tempsconsidérable. Mais même pendant qu’elles résis-tent, les énigmes mathématiques jouent souventun rôle fondamental, en inspirant des théoriesnouvelles. Ainsi le grand théorème de Fermata motivé l’exploration de branches entières dela théorie des nombres, et la conjecture dePoincaré a accompagné l ’histoire de toute latopologie au XXe siècle, donnant lieu à tr oismédailles Fields.

Si l’on demande à un mathématicien quelest le plus grand problème mathématique dumonde, il citera probablement l’hypothèse deRiemann (voir L’hypothèse de Riemann, par P. Meieret J. Steuding, page 8). Formulée par le mathé-maticien allemand Bernhard Riemann (1826-1866) il y a plus de 150 ans, elle résiste toujoursà nos tentatives de démonstration, tel un sommetinaccessible. Ce dossier commencera donc parcette énigme, qui figure aussi bien sur la liste deHilbert en 1900 que sur celle de l’Institut Clayen 2000. On évoquera ensuite d’autres problèmesprésents sur l’une ou l’autre de ces listes emblé-matiques, avant de s ’intéresser à quelquesproblèmes qui n’y figurent pas, mais qui se révé-leront peut-être plus importants, qui sait ? Tellesolution inattendue d’une énigme en apparencesecondaire pourrait être déterminante pour unecommunauté spécialisée de chercheurs ou pourl’ensemble des mathématiciens.

Nous conclurons ce dossier par quelques réso-lutions célèbres, qui ont fait rêver des générationsde mathématiciens : celles des équations algé-briques de haut degré, du grand théorème deFermat, de la conjecture de Poincaré… Ces aven-tures humaines et scientifiques éblouissantes – etrares, au plus une par décennie ! – ont marquéà jamais l’histoire des mathématiques. �

livres• A. BELLOS, Alex au pays deschiffres : Une plongée dansl'univers des mathématiques,Robert Laffont, 2011.

• D. O’SHEA, Grigori Perelmanface à la conjecture de Poincaré,Belin, 2007.

• U. BOTTAZZINI, Poincaré.Philosophe et mathématicien,Belin-Pour la Science, 2002.

• S. SINGH, Le dernier théorèmede Fermat, Hachette Littérature,1999.

• R. SORTAIS et Y. SORTAIS, La géométrie du triangle,Hermann, 1997.

• H. POINCARÉ, Science et méthode, Flammarion, 1947(disponible surjubilotheque.upmc.fr).

internet• www.claymath.org/millennium/

• www.poincare.fr

Même pendant qu’elles résistent, les énigmes mathématiques jouentsouvent un rôle fondamental, en inspirant des théories nouvelles.

dossier_74_p004006_avantpropos_GJ1512.xp 16/12/11 10:41 Page 6