1. SADRŽAJ

2. UVOD

3. ČEBIŠEVLJEVI POLINOMI

3.1. Generatrisa Čebiševljevih polinoma

Posmatrajmo funkciju G datu sa

(1.1 )G ( t )= 1−t2

1−2 tx+t 2 (−1≤x ≤1)

gdje je t kompleksna promjenljiva.

Stavimo li x=cos θ, funkcija G dobija oblik

1−t2

1−2 t cosθ+ t2=−1+ 1

1−t eiθ+ 1

1−t e−iθ

U okolini tačke t=0 u disku |t|<1 važi razvoj

(1.2 ) 1−t 2

1−2t cosθ+t 2=−1+∑

n=0

+∞

t ne inθ+∑n=0

+∞

tn e−niθ

¿1+2∑n=1

+∞

t ncos nθ

¿1+2∑n=1

+∞

t ncos (n∙arc cos x )

Definišimo funkciju T n sa

(1.3 ) 1−t 2

1−2 tx+t2=∑n=0

+∞

εnTn ( x )t n ,

gdje je ε 0=1 i ε n=2 (n≥1 ). Dokazaćemo da je T n polinom po x stepena n. Iz (1.2 ) i (1.3 )

izlazi

(1.4 )T n (x )=cos (n ∙arc cos x )

Dokažimo najprije formulu

(1.5 ) cosna=∑k=0

[n /2 ]

(−1 )k nn−k (n−kn )2n−2k−1 cosn−2k a (n≥1 )

Pođimo od Moivreove formule

cos na+isinna=(cos a+isin a )n=∑ν=0

n

(nν) iνcosn−ν a sin νa

Izjednačavanjem realnih dijelova dobijamo

cos na=∑ν=0

[n /2]

(−1 )ν ( n2ν )cosn−2ν a sin2ν a.

Zamjenom sin2a=1−cos2a posljednja formula postaje

cos na=∑ν=0

[n /2]

(−1)ν ( n2 ν)cosn−2 νa∑r=0

ν

(−1)r (νr )cos2 ra

= ∑ν=0

[n /2 ]

∑r=0

ν

(−1)ν +r( n2ν )(νr )cosn−2(ν−r)a

Koeficijent uz cosn−2k a u dvostrukoj sumi koja se javlja na desnoj strain

posljednje relacije je

(−1)k∑ν=k

[n/2]

( n2ν)( νν−k )=(−1)k∑ν=k

[n /2 ]

( n2ν )(νk )Prema tome, da bismo dokazali (5), dovoljno je provjeriti sljedeći identitet:

(1.6 )∑ν=k

[n /2 ]

( n2ν )(νk)= nn−k (n−kk )2n−2k−1(k=0 ,1 ,…, [n/2 ])

Označimo sa A(n , k) sumu na lijevoj strani u (1.6). Kako je

xk

(1−x )k+1 =∑ν=k

+∞

(νk) xν (|x|<1 ),

stavljajući x2 umjesto x, dobijamo razvoj

(1.7 ) x2k

(1−x2 )k+1=∑ν=k

+∞

(νk) x2ν

Iskoristimo i identitet

(1.8 )(1+ 1x )n

=∑r=0

n

(nr ) 1xr

.

Množenjem (1.7) i (1.8) dobijamo:

f (x)=(1+x )n−k−1

xn−2k (1−x )k+1 =∑ν=k

+∞

(νk ) x2ν ∙∑r=0

n

(nr ) 1xr

.

Odavde slijedi da je A(n , k) slobodni član u razvoju funkcije f po stepenima

od x koji konvergira za 0<|x|<1.

S druge strane je

f (x)= 1xn−k

(1+x)n−k−1 xk

(1−x )k +1 =1xn−k

∑ν=0

n−k−1

(n−k−1ν ) xν ∙∑

r=k

+∞

(rk )xr.Slobodni član A(n , k) je koeficijent uz xn−k u proizvodu

( ∑ν=0

n−k−1

(n−k−1ν ) xν)(∑r=k

+∞

(rk) xr), tj.A (n , k )=∑

ν=k

n−k

(n−k−1ν−1 )(νk ).

Kako je

(n−k−1ν−1 )(νk )= ν

n−k (n−kk )(n−2kν−k ),

dobijamo

(1.9) A (n , k )= 1n−k (n−kk )∑

ν=k

n−k

ν (n−2kν−k )= 1

n−k (n−kk )∑r=0

n−2 k

(r+k )(n−2kr )

Diferenciranjem identiteta

xk (1+x )n−2k=∑r=0

n−2k

(n−2kr )xr+k

dobijamo

(k+ (n−k ) x ) xk−1 (1+x )n−2k−1=∑r=0

n−2k

(r+k )(n−2kr )xr+k−1.

Za x=1 je

n ∙2n−2 k−1=∑r=0

n−2 k

(r+k )(n−2kr ).

Zamjenom u (1.9) dobijamo

A (n , k )= nn−k (n−kk )2n−2k−1

,

čime je (1.6) dokazano i samim tim i (1.5).

Iz (1.4) I dokazane formule (1.5) slijedi

(1.10 )T n ( x )=∑k=0

[ n/2]

(−1)k nn−k (n−kk )2n−2k−1 xn−2k (n≥1 ) iT 0 ( x )=1

tj.

T n ( x )=12n∑k=0

[ n/2] (−1)k (n−k−1 )!k ! (n−2k )!

(2 x )n−2k (n=1 ,2 ,…) iT 0 (x )=1

Polinomi (1.10) zovu se Čebiševljevi polinomi. Funkcija G, data sa (1.1),

naziva se generatrisa Čebiševljevih polinoma.

Dokazali smo formula (1.10) pod uslovom |x|≤1, jer smo stavili x=cos θ.

Međutim, ona važi i u slučaju ako je |x|>1, kao i za svako kompleksno x.

3.2. Čebiševljeva diferencijalna jednačina

Ako stavimo

(2.1 ) y=cos (narccos x )

poslije diferenciranja dobijamo

(2.2 ) y '= n

√1−x2sin (narccos x ),

(2.3 ) y ' '= nx

(1−x2)√1−x2sin (narccos x )− n2

1−x2 cos (narccos x )

Ako eliminišemo cos ¿ i sin ¿ iz (2.1.), (2.2) i (2.3), dolazimo do jednakosti

(2.4 ) (1−x2) y ' '−x y'+n2 y=0.

Ovo je Čebiševljeva diferencijalna jednačina. Jedno njeno partikularno

rješenje je polinom T n, a drugo

(2.5 )U n ( x )=sin (narccos x ) .

Do Čebiševljeve diferencijalne jednačine (2.4) možemo takođe doći ako u

jednačini

d2 yd t2

+n2 y=0

izvršimo smjenu x=cost .

3.3. Čebiševljeva funkcija druge vrste

Funkcija x→U n(x ) zove se Čebiševljeva funkcija druge vrste. Primjenom

formule

sinna=2n−1sin a ∑k=0

[(n−1)/2 ]

(−1)k (n−k−1k ) 1

22k cosn−2k−1a (n≥1 ) ,

Koja se može dokazati istom metodom kao i formula (1.5), funkciji U n može se dati

oblik

U n ( x )=2n−1 √1−x2 ∑k=0

[ (n−1 )/2]

(−1 )k (n−k−1k ) 1

22k xn−2k−1 (n≥1 ) ,U n ( x )=0.

Generatrisa za U n je funkcija

x→1

1−2 tx+t 2= 1

√1−x2 ∑n=1

+∞

Un(x )tn−1 (|t|<1;|x|≤1 ) .

Nekoliko prvih Čebiševljevih funkcija druge vrste su:

U 0 ( x )=0 ,U1 ( x )=√1−x2 ,U2 ( x )=√1−x22 x ,U3 ( x )=√1−x2 ( 4 x2−1 ) ,U 4 ( x )=√1− x2 (8 x3−4 x) ,

U5 ( x )=√1−x2 (16 x4−12x2+1 ) .

3.4. Rekurentne relacije Čebiševljevih funkcija

Pođimo od identiteta

cos (n+1 )a+cos (n−1 )a=2cos nacosa

i stavimo a=arccos x . Tada dobijamo

(4.1 )T n+1 ( x )=2x T n ( x )−T n−1 ( x ) (−1≤ x ≤1 ) .

Lijeva i desna strana relacije (4.1) su polinomi čije su vrijednosti jednake za

svako x∈ [−1,1 ]. Prema tome, takođe važi jednakost (4.1) za svako x (realno ili

imaginarno).

Relacija (4.1) može poslužiti za obrazovanje Čebiševljevih polinoma. Zaista,

polazeći od T 0 ( x )=1 iT 1 (x )=x , iz (4.1), dobijamo

T 2 ( x )=2 x2−1.

Za n=2 formula (4.1) daje

T 3 (X )=2 xT 2 ( x )−T 1 ( x )=2x (2x2−1 )−x=4 x3−3 x .

Ovaj postupak možemo dalje produžiti. Ako jednakost (4.1) napišemo u

obliku

(4.2 ) xT n ( x )=12

(T n+1 ( x )+T n−1 (x ) )

i pomnožimo sa x, dobijamo

x2T n (x )=12

( xT n+1 ( x )+x T n−1 ( x ) ) ,

što na osnovu (4.2) postaje

x2T n (x )= 1

22 (Tn+2 ( x )+2Tn ( x )+Tn−2 ( x ) ) .

Nastavljajući ovaj postupak, dolazimo do jednakosti

xmT n ( x )= 12m

∑k=0

m

(mk )T|n+m−2 k| (x ) ,

gdje indeks Čebiševljevog polinoma pod sumom uzimamo sa apsolutnom

vrijednošću, zbog toga što m može biti veće od n.

Identitet

sin (n+1 )a+sin (n−1 )a=2 sinnacosa

dovodi do rekurentne relacije

U n+1 ( x )=2 xU n ( x )−U n−1 ( x ) (n≥1 ) .

Za izvode Čebiševljevih funkcija važe jednakosti

ddxT n ( x )= n

√1−x2U n ( x ) , d

dxU n ( x )= −n

√1−x2T n ( x ) .

Veza između Čebiševljevih polinoma I njihvih izvoda data je jednakošću

(4.3 )T n ( x )=12 ( 1n+1

ddxT n+1 ( x )− 1

n−1ddxT n−1 (x )) (n≥2 ) .

Ista jednakost važi i za Čebiševljeve funkcije druge vrste. Ove jednakosti se

koriste pri izračunavanju integrala Čebiševljevih funkcija.

Ako u Čebiševljevim funkcijama za nezavisnu promjenljivu uzmemo

Čebiševljev polinom, dobijamo

T n (Tm ( x ) )=T mn (x ) ,U n (T m ( x ) )=Umn (x ) ,

što se dokazuje korišćenjem jednakosti (1.4) i (2.5).

3.5. Nule Čebiševljevih polinoma

Dokazaćemo da polinom T n ima n različitih realnih nula i da one sve leže u

intervalu (−1 ,1 ). Posmatrajmo najprije funkcije

(5.1 ) x→cos (narccos x )

Kako je

cos (narccos x )=0⇔narc cos x=π2

+kπ (k=0 , ±1 , ±2 ,… ) ,

tj.

arccos x=(2k+1 ) π2n⇔x=cos (2k+1 ) π

2n( k=0 , ±1 ,±2 ,… ) ,

sve nule funkcije (6.1) date su formulom

(5.2 ) xk=cos (2k+1 ) π2nk=(0 ,1 ,…,n−1 )

Bez teškoće zaključujemo da je xn=xn−1 , xn+1=xn−2 ,…

Kako je T n (n>0 ) polinom stepena n, sve njegove nule takođe su određene

formulom (5.2).

3.6. Ortogonalnost Čebiševljevih polinoma

Bez teškoće možemo dokazati formula

∫0

π

cosmt cosnt dt={ 0 (m≠n ) ,π2

(m=n≠0 ) ,

π (m=n=0 ) ,

gdje su m in cijeli brojevi.

Ako izvršimo smjenu promjenljive t=arccos x, navedena formula postaje

∫−1

1

T m ( x )Tn ( x ) 1

√1−x2dx={ 0 (m≠n )

π2

(m=n≠0 )

π (m=n=0 )

Dakle, funkcije x→T m ( x ) i x→T n ( x ) su ortogonalne u intervalu (−1 ,1 ) sa

težinom x→1/√1−x2.

Polazeći od formule

∫0

π

sinmt sinnt dt={ 0 (m≠n ) ,π2

(m=n≠0 ) ,

0 (mn=0 ) ,

dolazimo do osobine ortogonalnosti Čebiševljevih funkcija druge vrste:

∫−1

1

Um ( x )U n ( x ) 1

√1−x2dx={ 0 (m≠n )

π2

(m=n≠0 )

0 (mn=0 )

3.7. Čebiševljev problem

Primjetimo da se teorema 1 može formulisati opštije. Naime važi

Teorema 3. ZasvakipolinomPn(x) = xn+a1xn-1+...+an sarealnimkoeficijentimapostojinejednakost

(7.5) max Pn(x) ≥2- n+1

−1≤x ≤1

Jednakostvažiu(7.5)akoisamoakoje

Pn(x) =2- n+1Tn(x),

gdjejeTn(x)Čebiševljevpolinom.

Nejednakost (7.5) zove se Čebeševljeva nejednakost i ima široke primjene u

matematici.

P. Turan je dokazao nejednakost koja je oštrija od (7.5). Njegov rezultat

glasi:

Za svaki polinom Pn(x) = xn+a1xn-1+...+an sa realnim koeficijentima, važi

nejednakost

(7.6) max Pn(x) ≥2- n+1exp(1

2π∫−π

π

log|Pn(eix)|dx ¿ .

−1≤x ≤1

Nejednakost (7.6) svodi se na (7.5) za sve polinome Pn(x) čije nule leže u disku x≤1, jer je tada ∫

−π

π

log|Pn (e ix )|dx=0.

Ako polinom Pn(x) ima nule x1,...,xn takve da je

x1≥ x2≥....≥xk>1≥ xk+1 ≥...≥xn,tada je 1

2π∫−π

π

log|Pn(eix)|dx=∑j=1

k

logxj Zbog toga se (7.6) može predstaviti u obliku

(7.7) max Pn(x) ≥2- n+1∏j

xj . −1≤x ≤1 xj>1 Iz izloženog se vidi da u (7.6) važi jednakost ako i samo ako je Pn(x)= 2- n+1Tn(x).

4. ZADACI I PROBLEMI

Zadatak1:

Dokazatijednakost

(1) ddxT 2n ( x )=4n∑

k=0

n−1

T 2k+1 ( x ) .

Dokaz. Izvod Čebiševljevog polinoma T 2n ( x ) može se izraziti pomoću odgovarajuće

Čebiševljeve funkcije druge vrste, tj.

(2 ) ddxT2n ( x )= 2n

√1−x2U 2n ( x ) .

Sabiranjem trigonometrijskih jednakosti

sin 2nθ−sin (2n−2 )θ=2cos (2n−1 )θ sinθ

sin (2n−2 )θ−sin (2n−4 )θ=2cos (2n−3 )θ sin θ

⋮

sin 2θ=2cosθ sinθ

dobijamo

sin 2nθ=2sin θ ∙∑k=0

n−1

T 2k+1 (x ) ,

što smjenom u (2) daje jednakost (1).

Zadatak2:

Dokazatidaje

∫−1

1

T n ( x )2dx=1− 14 n2−1

Dokaz.

∫−1

1

T n ( x )2dx=∫0

π

cos2nt sin t dt=12∫

0

π

(1+cos2nt )sin t dt

¿1+ 14∫

0

π

(sin (2n+1 ) t−sin (2n−1 ) t )dt

¿1− 1

4 x2−1.

Zadatak3:

Odreditipolinomoblikaa x2+bx+1(aIbrealnibrojevi)kojinajmanjeodstupaod

nulenasegmentu[−1 ,1 ].

Dokaz. Koeficijente a i b treba tako odrediti da

max−1≤x ≤1

|a x2+bx+1|

bude najmanji. Za x=0 je ax2+bx+1=1 ma kakvi bili a i b. Prema tome, 1 je

najmanja moguća vrijednost za posmatrano odstupanje. Ta vrijednost je dostignuta

ako je, na primjer, a=b=0. Da bismo našli opšte rješenje, primjetimo da b mora biti

jednako nuli, jer polinom a x2+bx+1 u tački x=0 mora imatimaksimum. Iz istog

razloga je a≤0. Najzad, za x=1 mora biti a x2+bx+1≥−1 ,tj . a≥−2. Dakle, opšte

rješenje je a x2+1 (−2≤a≤0 ).

5. Čebiševljev

Čebiševljev (Пафнутий Львович Чебышёв) (1821. – 1894.) je ruski

matematičar. Rođen je u plemićkoj porodici. Čebiševljev je

rođen sa invaliditetom lijeve noge. 1832. porodica se

preselila u Moskvu i roditelji su za njegovo obrazovanje

unajmili najboljeg privatnog učitelja. Čebiševljev već tada

pokazuje zainteresovanost za algebra i euklidsku

matematiku. Upisuje studije matematike i fizike i posvećuje

se istraživačkom radu.

Čebiševljev je dao veliki doprinos na poljiva numeričkih

metoda, vjerovatnoće i algebra. Danas imamo Čebiševljeve polinome,

aproksimaciju, Čebiševljev filter.

6. LITERATURA

1. D. S. Mitrinović “Uvod u specijalne funkcije”, Beograd, 1975.

2. “Numerička matematika”, Beograd, 2002.