Celosías isostáticas.Estructuras isostáticas de nudos articulados

Estructuras articuladas planas o celosías planasEstructuras formadas por barras articuladas en sus

extremosHipótesis:

◦ Articulaciones sin rozamiento◦ Cargas sólo en los nudos◦ Barras de directriz recta◦ Estructura y cargas en un plano

Si se cumplen estas hipótesis, las barras sólo pueden estar sometidas a esfuerzos normales.

En la práctica: articulaciones

Nudos próximos a una articulación real:

Nudos no articulados pero asimilables

La condición que, teóricamente, deben

cumplir los nudos es que los ejes de las barras

concurran en un punto o casi.

En la práctica: cargas en los nudosSe sustituyen las cargas sobre barra por las reacciones que se generan en los nudos de una barra biarticulada cambiadas de signo.

En la práctica: estructura y cargas en un planoPueden aislarse partes de una estructura 3D para

ser estudiadas en 2D. Esto implica:

◦ Que las cargas situadas fuera del plano deben trasladarse al plano y, en concreto, a los nudos.

◦ La estructura debe estar suficientemente arriostrada en la dirección perpendicular al plano considerado.

2 celosías planas paralelas

Arriostramientos superiores

En la práctica: ejemplo de traspaso de cargas

Ejemplo de puente• Las vigas sobre las que

descansará la losa transmiten su carga a los nudos inferiores.

• Carga superficial qs kN/m2,

• Ancho B• Distancia entre nudos

inferiores LCarga lineal que se llevaría

cada una de las dos celosías: q = qsxB/2 [kN/m]

Carga en cada nudo:P = qxL= qsxBL/2 [kN]

P P P P P

P/2 P/2

Uso de las celosías Todo tipo de usos Grandes vanos o grandes cargas Frente a vigas de alma llena:

◦ Ahorro de material◦ Mayor mano de obra

Tipos de celosías: vigas en celosíaSuelen actuar como un conjunto biapoyadoTienen el mismo canto en toda su longitud

Tipos de celosías: cerchasActúan

como vigas biapoyadas de canto variable

Se ajustan mejor a cargas verticales centradas o repartidas

PL/4

P/2

P/2

PL/8

P/2

P/2

Barras de una celosía: cordones y rellenoCordones:

◦ Barras alineadas en borde superior e inferior◦ Generalmente de una pieza aunque cada tramo se

considere una barra biarticulada◦ Soportan los momentos flectores del conjunto

Barras de relleno:◦ Barras entre los cordones◦ Diagonales o montantes (perpendiculares a cordón)◦ Soportan los cortantes del conjunto

Formas de generación de celosías: simples Simples de generación externa isostáticas:

◦ Parte de 2 apoyos fijos y se añaden sucesivamente 2 barras y 1 nudo

Simples de generación interna isostáticas:◦ Se parte de 1 triángulo básico y se añaden sucesivamente 2 B y 1 N◦ Se añaden finalmente apoyos isostáticos (3 reacciones no concurrentes)

Formas de generación de celosías: compuestas Celosías compuestas isostáticas:

◦ Unión de conjuntos triangulados simples y barras◦ Los conjuntos triangulados funcionan como barras◦ Formas de generación igual que en las simples◦ También pueden unirse dos conjuntos triangulados mediante 3

barras no concurrentes

Generación internaGeneración externa Unión por tres barras

Celosías complejas:◦ Cuando la forma de generación no se corresponde con las

simples ni con las compuestas

Caracterización estática y cinemática C. Estática=Grado de Hiperestaticidad GH=B+R-2N

◦ Hipoestática (GH<0 es mecanismo), Isostática (GH=0), Hiperestática (GH>0) C. Cinemática

◦ Íntimamente ligado a lo anterior◦ Caracterización del funcionamiento o no como mecanismo◦ Variante: mecanismo o conjunto hipoestático◦ Invariante: estructura isostática o hiperestática en equilibrio◦ De variación instantánea: no puede obtener el equilibrio si no se

produce un mínimo desplazamiento. Si a un nudo sólo llegan 2 barras alineadas Si todas las reacciones posibles concurren en un punto (Eq. de momentos

imposible)

FF

F

Variante Invariante Variación instantánea

Caracterización cinemática: variación instantáneaEjemplos:

◦ 2 barras alineadas en 1 nudo

◦ Reacciones concurrentes

Esfuerzos en celosías isostáticas: barras de esf. 0Existen barras de celosía que a priori podemos identificar

como elementos sin esfuerzo: barras de esfuerzo 0a) 2 barras no alineadas que concurren en un nudo sin cargab) 3 barras concurren en un nudo sin carga, estando dos de ellas alineadas.

La barra no alineada será una barra de esfuerzo 0 y puede eliminarse el nudo.

(a)

F

a

F

a

(b)

0

a

0

a

0

a

F

a

F

a

Esfuerzos en celosías isostáticas: método nudos Se basa en las ideas básicas siguientes:

1. Las barras de las celosías sólo transmiten esfuerzos axiles o normales.

2. Las fuerzas que llegan a los nudos deben estar en equilibrio.Equilibrio de fuerzas verticales: ∑FV=0

Equilibrio de fuerzas horizontales: ∑FH=0

NI

NII

RFF

NI RNII

F

Fuerzas sobre el nudo Equilibrio de vectores de fuerza planteado vectorial-gráficamente

I

II

3. Las compresiones son fuerzas que llegan al nudo y las tracciones salen

4. Si existen barras de esfuerzo 0 que se detecten a priori, estas se pueden excluir del cálculo

Método de los nudos: ejemploSe tiene una viga en celosía tipo Warren de canto L con dos tramos de longitud 2L y una carga P en cada uno de los nudos centrales superiores. Obténganse los esfuerzos en las barras.

P

a

P

a

2L

a 4L

a

L

a

1. Obtener las reacciones

P

a

P

a

3L

a 4L

a

L

a

RV1

a

RV3

a

RH1

a L

a

1

a

2

a

3

a

4

a 5

a

6

a

7

a

∑Fv=0 RV1+RV3-P-P=0 ∑FH=0 RH1 =0 ∑M1=0 RV3·4L-P·3L-P·L=0 RV1=P ; RV3=P Estas reacciones son evidentes. Una estructura simétrica debe tener reacciones simétricas.

2. Eliminar barras de esfuerzo 0

PP

P P

0

00

0

1 2 3

4

5 6

7

Método de los nudos: ejemplo (continuación)

3. Planteamos equilibrio en nudosNudo 1

Usando los resultados de 1: Nudo 5

P

a

Nudo 1

a N15

a N12

a

45º

a -P

a

-P √2

a P

a

Solución nudo 1

a

P

a

Nudo 5

a N56

a 45º

a

Solución nudo 5

a 45º

a N52

a

-P √2

a

P

a

P

a -P √2

a

𝑁12+𝑁 15𝑐𝑜𝑠45 °=0𝑃+𝑁15𝑠𝑒𝑛45 °=0 }𝑁15=−𝑃 √2

𝑁 12=𝑃

𝑁56+𝑁 52𝑐𝑜𝑠45 °+𝑃√2𝑐𝑜𝑠45 °=0

𝑃√2𝑠𝑒𝑛45 ° −𝑃−𝑁 52𝑠𝑒𝑛45 °=0 }𝑁56=−𝑃𝑁52=0

0

a 0

a

0

a

0

a -P

a +P

a

+P

a

-P √2

a

-P √2

a

0

a

0

a

0

a 0

a

0

a

0

a -P

a +P

a

+P

a

-P √2

a

-P √2

a

De modo simplificado:

a 0

a

0

a

3. Dibujamos el resultado final de los esfuerzos normales• En este caso tenemos en cuenta que los esfuerzos normales en una

estructura simétrica deben ser simétricos

Esfuerzos en celosías isostáticas: método RitterMétodo de las secciones o de Ritter:

◦ Se corta la estructura por 1 sección y se plantea equilibrio en el trozo aislado Obtener las reacciones y eliminar barras de esfuerzo 0 Aislar un trozo de celosía cortando un máximo de 3 barras (3 incógnitas

de axiles). Las 3 barras no pueden concurrir en un mismo punto. Hay casos donde se pueden cortar más de 3 barras y llegar a la solución igualmente (si hay varias concurrentes).

Plantear 3 ecuaciones de equilibrio en el trozo aislado. Plantear varios equilibrios de momentos con respecto a puntos por los que pasen 1 o 2 incógnitas de esfuerzo

P

a 0

a

0

a

P

a

V

a

R

a

H

a V

a

H

a

N1

a N2

a N3

a

A

a

B

a

∑MA=0 → N3

∑MB=0 → N1

∑FV=0 → N2

Considerar barras de esfuerzo 0 y obtener

reacciones

Método de las secciones

Métodos para vigas en celosíaSe asimila la viga en celosía con una barra

sometida a flexiónHipótesis:

◦ Los cordones soportan el momento flector◦ Las barras de relleno soportan el cortante

S

MS

VS

MS

VS

NcordS

NcordI

Ndiag

αh

Cordón sup compr. e inf. tracc.

Vigas en ceosía: N de los cordones Ncord=MS/h

Pero si sabemos que el esfuerzo debe ser constante entre cada dos nudos ¿Qué momento tomamos si la sección que consideramos está entre 2 nudos?◦ Para esto debemos fijarnos en el punto que usaríamos en Ritter.

NcordS

a

MA

a

A

a B

a NcordI

a

Ndiag

a

Para obtener NcordS por Ritter plantearíamos equilibrio de momentos respecto a B, por tanto:

NcordS= MB/h

MB

a

Para obtener NcordI por Ritter plantearíamos equilibrio de momentos respecto a A, por tanto:

NcordI= MA/h

Obsérvese que en este ejemplo NcordS es mayor que NcordI, lo que contrarresta la componente horizontal hacia la derecha de Ndiag.

Vigas en celosía: N de las diagonales La única fuerza con componente en la dirección del

cortante es el esfuerzo en la diagonal. Ndiag=Vs/senα

Compresión

Tracción

Tracción

Compresión

Signo del cortante: depende de dirección de la diagonal

Vigas en celosía: cálculo de desplazamientosCálculo aproximado de desplazamientos asimilando a vigas de alma llena.

Aproximar el momento de inercia total I al 75% del de los cordones

I=0,75·Icordones

Aplicando Steiner y despreciando el momento de inercia respecto a su eje:

Icordones=2·[I0+A(h/2)2]≈2A(h/2)2

Así, pueden usarse tablas, p. ej.

Consideraciones sobre diseño de celosías Las cargas sobre barra deben trasladarse a nudos

◦ Después de resolver téngase en cuenta el diagrama de M y V

Barras comprimidas esbeltas: PANDEO◦ Las barras comprimidas deben ser lo más cortas posible

VIGA PRATT: diagonales traccionadas. BIEN

VIGA HOWE: diagonales comprimidas. MAL

V

Estructuras articuladas espaciales Simples de generación

externa◦ Se parte de 3 apoyos fijos◦ Se añaden 3B+1N

Simples de generación interna◦ Se parte de tetraedro básico◦ Se añaden 3B+1N◦ Se añaden apoyos (6 reacciones)

Hiperestaticidad: GH=B+R-3N

Ry

a

Rx

a

Rz

a