Celosías isostáticas.Estructuras isostáticas de nudos articulados
Estructuras articuladas planas o celosías planasEstructuras formadas por barras articuladas en sus
extremosHipótesis:
◦ Articulaciones sin rozamiento◦ Cargas sólo en los nudos◦ Barras de directriz recta◦ Estructura y cargas en un plano
Si se cumplen estas hipótesis, las barras sólo pueden estar sometidas a esfuerzos normales.
En la práctica: articulaciones
Nudos próximos a una articulación real:
Nudos no articulados pero asimilables
La condición que, teóricamente, deben
cumplir los nudos es que los ejes de las barras
concurran en un punto o casi.
En la práctica: cargas en los nudosSe sustituyen las cargas sobre barra por las reacciones que se generan en los nudos de una barra biarticulada cambiadas de signo.
En la práctica: estructura y cargas en un planoPueden aislarse partes de una estructura 3D para
ser estudiadas en 2D. Esto implica:
◦ Que las cargas situadas fuera del plano deben trasladarse al plano y, en concreto, a los nudos.
◦ La estructura debe estar suficientemente arriostrada en la dirección perpendicular al plano considerado.
2 celosías planas paralelas
Arriostramientos superiores
En la práctica: ejemplo de traspaso de cargas
Ejemplo de puente• Las vigas sobre las que
descansará la losa transmiten su carga a los nudos inferiores.
• Carga superficial qs kN/m2,
• Ancho B• Distancia entre nudos
inferiores LCarga lineal que se llevaría
cada una de las dos celosías: q = qsxB/2 [kN/m]
Carga en cada nudo:P = qxL= qsxBL/2 [kN]
P P P P P
P/2 P/2
Uso de las celosías Todo tipo de usos Grandes vanos o grandes cargas Frente a vigas de alma llena:
◦ Ahorro de material◦ Mayor mano de obra
Tipos de celosías: vigas en celosíaSuelen actuar como un conjunto biapoyadoTienen el mismo canto en toda su longitud
Tipos de celosías: cerchasActúan
como vigas biapoyadas de canto variable
Se ajustan mejor a cargas verticales centradas o repartidas
PL/4
P/2
P/2
PL/8
P/2
P/2
Barras de una celosía: cordones y rellenoCordones:
◦ Barras alineadas en borde superior e inferior◦ Generalmente de una pieza aunque cada tramo se
considere una barra biarticulada◦ Soportan los momentos flectores del conjunto
Barras de relleno:◦ Barras entre los cordones◦ Diagonales o montantes (perpendiculares a cordón)◦ Soportan los cortantes del conjunto
Formas de generación de celosías: simples Simples de generación externa isostáticas:
◦ Parte de 2 apoyos fijos y se añaden sucesivamente 2 barras y 1 nudo
Simples de generación interna isostáticas:◦ Se parte de 1 triángulo básico y se añaden sucesivamente 2 B y 1 N◦ Se añaden finalmente apoyos isostáticos (3 reacciones no concurrentes)
Formas de generación de celosías: compuestas Celosías compuestas isostáticas:
◦ Unión de conjuntos triangulados simples y barras◦ Los conjuntos triangulados funcionan como barras◦ Formas de generación igual que en las simples◦ También pueden unirse dos conjuntos triangulados mediante 3
barras no concurrentes
Generación internaGeneración externa Unión por tres barras
Celosías complejas:◦ Cuando la forma de generación no se corresponde con las
simples ni con las compuestas
Caracterización estática y cinemática C. Estática=Grado de Hiperestaticidad GH=B+R-2N
◦ Hipoestática (GH<0 es mecanismo), Isostática (GH=0), Hiperestática (GH>0) C. Cinemática
◦ Íntimamente ligado a lo anterior◦ Caracterización del funcionamiento o no como mecanismo◦ Variante: mecanismo o conjunto hipoestático◦ Invariante: estructura isostática o hiperestática en equilibrio◦ De variación instantánea: no puede obtener el equilibrio si no se
produce un mínimo desplazamiento. Si a un nudo sólo llegan 2 barras alineadas Si todas las reacciones posibles concurren en un punto (Eq. de momentos
imposible)
FF
F
Variante Invariante Variación instantánea
Caracterización cinemática: variación instantáneaEjemplos:
◦ 2 barras alineadas en 1 nudo
◦ Reacciones concurrentes
Esfuerzos en celosías isostáticas: barras de esf. 0Existen barras de celosía que a priori podemos identificar
como elementos sin esfuerzo: barras de esfuerzo 0a) 2 barras no alineadas que concurren en un nudo sin cargab) 3 barras concurren en un nudo sin carga, estando dos de ellas alineadas.
La barra no alineada será una barra de esfuerzo 0 y puede eliminarse el nudo.
(a)
F
a
F
a
(b)
0
a
0
a
0
a
F
a
F
a
Esfuerzos en celosías isostáticas: método nudos Se basa en las ideas básicas siguientes:
1. Las barras de las celosías sólo transmiten esfuerzos axiles o normales.
2. Las fuerzas que llegan a los nudos deben estar en equilibrio.Equilibrio de fuerzas verticales: ∑FV=0
Equilibrio de fuerzas horizontales: ∑FH=0
NI
NII
RFF
NI RNII
F
Fuerzas sobre el nudo Equilibrio de vectores de fuerza planteado vectorial-gráficamente
I
II
3. Las compresiones son fuerzas que llegan al nudo y las tracciones salen
4. Si existen barras de esfuerzo 0 que se detecten a priori, estas se pueden excluir del cálculo
Método de los nudos: ejemploSe tiene una viga en celosía tipo Warren de canto L con dos tramos de longitud 2L y una carga P en cada uno de los nudos centrales superiores. Obténganse los esfuerzos en las barras.
P
a
P
a
2L
a 4L
a
L
a
1. Obtener las reacciones
P
a
P
a
3L
a 4L
a
L
a
RV1
a
RV3
a
RH1
a L
a
1
a
2
a
3
a
4
a 5
a
6
a
7
a
∑Fv=0 RV1+RV3-P-P=0 ∑FH=0 RH1 =0 ∑M1=0 RV3·4L-P·3L-P·L=0 RV1=P ; RV3=P Estas reacciones son evidentes. Una estructura simétrica debe tener reacciones simétricas.
2. Eliminar barras de esfuerzo 0
PP
P P
0
00
0
1 2 3
4
5 6
7
Método de los nudos: ejemplo (continuación)
3. Planteamos equilibrio en nudosNudo 1
Usando los resultados de 1: Nudo 5
P
a
Nudo 1
a N15
a N12
a
45º
a -P
a
-P √2
a P
a
Solución nudo 1
a
P
a
Nudo 5
a N56
a 45º
a
Solución nudo 5
a 45º
a N52
a
-P √2
a
P
a
P
a -P √2
a
𝑁12+𝑁 15𝑐𝑜𝑠45 °=0𝑃+𝑁15𝑠𝑒𝑛45 °=0 }𝑁15=−𝑃 √2
𝑁 12=𝑃
𝑁56+𝑁 52𝑐𝑜𝑠45 °+𝑃√2𝑐𝑜𝑠45 °=0
𝑃√2𝑠𝑒𝑛45 ° −𝑃−𝑁 52𝑠𝑒𝑛45 °=0 }𝑁56=−𝑃𝑁52=0
0
a 0
a
0
a
0
a -P
a +P
a
+P
a
-P √2
a
-P √2
a
0
a
0
a
0
a 0
a
0
a
0
a -P
a +P
a
+P
a
-P √2
a
-P √2
a
De modo simplificado:
a 0
a
0
a
3. Dibujamos el resultado final de los esfuerzos normales• En este caso tenemos en cuenta que los esfuerzos normales en una
estructura simétrica deben ser simétricos
Esfuerzos en celosías isostáticas: método RitterMétodo de las secciones o de Ritter:
◦ Se corta la estructura por 1 sección y se plantea equilibrio en el trozo aislado Obtener las reacciones y eliminar barras de esfuerzo 0 Aislar un trozo de celosía cortando un máximo de 3 barras (3 incógnitas
de axiles). Las 3 barras no pueden concurrir en un mismo punto. Hay casos donde se pueden cortar más de 3 barras y llegar a la solución igualmente (si hay varias concurrentes).
Plantear 3 ecuaciones de equilibrio en el trozo aislado. Plantear varios equilibrios de momentos con respecto a puntos por los que pasen 1 o 2 incógnitas de esfuerzo
P
a 0
a
0
a
P
a
V
a
R
a
H
a V
a
H
a
N1
a N2
a N3
a
A
a
B
a
∑MA=0 → N3
∑MB=0 → N1
∑FV=0 → N2
Considerar barras de esfuerzo 0 y obtener
reacciones
Método de las secciones
Métodos para vigas en celosíaSe asimila la viga en celosía con una barra
sometida a flexiónHipótesis:
◦ Los cordones soportan el momento flector◦ Las barras de relleno soportan el cortante
S
MS
VS
MS
VS
NcordS
NcordI
Ndiag
αh
Cordón sup compr. e inf. tracc.
Vigas en ceosía: N de los cordones Ncord=MS/h
Pero si sabemos que el esfuerzo debe ser constante entre cada dos nudos ¿Qué momento tomamos si la sección que consideramos está entre 2 nudos?◦ Para esto debemos fijarnos en el punto que usaríamos en Ritter.
NcordS
a
MA
a
A
a B
a NcordI
a
Ndiag
a
Para obtener NcordS por Ritter plantearíamos equilibrio de momentos respecto a B, por tanto:
NcordS= MB/h
MB
a
Para obtener NcordI por Ritter plantearíamos equilibrio de momentos respecto a A, por tanto:
NcordI= MA/h
Obsérvese que en este ejemplo NcordS es mayor que NcordI, lo que contrarresta la componente horizontal hacia la derecha de Ndiag.
Vigas en celosía: N de las diagonales La única fuerza con componente en la dirección del
cortante es el esfuerzo en la diagonal. Ndiag=Vs/senα
Compresión
Tracción
Tracción
Compresión
Signo del cortante: depende de dirección de la diagonal
Vigas en celosía: cálculo de desplazamientosCálculo aproximado de desplazamientos asimilando a vigas de alma llena.
Aproximar el momento de inercia total I al 75% del de los cordones
I=0,75·Icordones
Aplicando Steiner y despreciando el momento de inercia respecto a su eje:
Icordones=2·[I0+A(h/2)2]≈2A(h/2)2
Así, pueden usarse tablas, p. ej.
Consideraciones sobre diseño de celosías Las cargas sobre barra deben trasladarse a nudos
◦ Después de resolver téngase en cuenta el diagrama de M y V
Barras comprimidas esbeltas: PANDEO◦ Las barras comprimidas deben ser lo más cortas posible
VIGA PRATT: diagonales traccionadas. BIEN
VIGA HOWE: diagonales comprimidas. MAL
V
Estructuras articuladas espaciales Simples de generación
externa◦ Se parte de 3 apoyos fijos◦ Se añaden 3B+1N
Simples de generación interna◦ Se parte de tetraedro básico◦ Se añaden 3B+1N◦ Se añaden apoyos (6 reacciones)
Hiperestaticidad: GH=B+R-3N
Ry
a
Rx
a
Rz
a