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固体力学特論
１学期 火曜日 3,4限
金属材料の強さ
静的強さ
静的荷重による材料の引張り，圧縮，せん断，曲げ
引張り試験：静的荷重によって行われる試験で，もっとも広く使われている
炭素鋼の応力ひずみ
σ
ε
σy0 σu:引っ張り強さ
降伏応力
JIS試験片
弾塑性体の応力ひずみ
一軸引張りを受ける材料
O~A：σとεは線形関係
もとに戻れる
A~B：σとεは非線形関係
もとに戻れる
B~：σとεは非線形関係
もとに戻れない
Aを比例限という
Bを弾性限という
・A・B
・C
ε
σ
O
弾性
塑性
弾塑性体の応力ひずみ
載荷により、応力がσy0を超える
弾性域を超えて、塑性域に入る（剛性の低下）
除荷すると
弾性ひずみεeは解消
塑性ひずみεpは残る
再び載荷すると
次の降伏応力σysまで弾性的E
σy0
εPε
σ
O
E
σys
εe
弾塑性構成式
弾性構成式
弾塑性構成式
塑性ひずみを降伏条件を使って決める必要がある
剛性は弾性構成式と一致
e
klijkl
p
klklijklij CC
jkiljlikklijijkl
klijklij
C
C
弾塑性体の圧縮と引張り
おおよその金属材料では、
引張ったときの塑性応力σytと圧縮による塑性応力σycはほぼ同じになる
しかし、塑性変形を加えた後に逆方向に載荷すると
|σｙｔ|＞|σysc|となれる材料が多い
これをバウシンガー効果という
σysc
εO
σyt
σ
ε
σ
降伏条件の一般化
降伏応力
応力状態で定まる関数fを定義する。
f（σij,k1,k2・・・）,kは材料定数
f<0:弾性
f=0：塑性とする
等方性の材料であれば、方向によらない
f(I1,I2,I3,k1,k2・・・)やf(J1,J2,J3,k1,k2・・・)などで定義できる
一軸引張り変形の一般化
金属材料の降伏応力が、静水圧I1にはほとんど依存しないことを利用して、
f（J2、k）が提案された
f=J2-k2=0となると降伏する
これをvon Misesの降伏条件という
「偏差応力の第2不変量がk2となると材料が降伏する」
降伏条件f=0となる面を主応力空間で表したものを降伏曲面と呼ぶ
ijijJ 2
12
Von Misesの降伏曲面
ベクトル|ON|の大きさ
座標は となるため，
),,(M )3()2()1(
)3()2()1(
3
1nOMON
σ(1)
)(N )3()2()1(
3
1,
3
1,
3
1n
O σ(2)
σ(3)
a,a,a3
1
3P,P,P,PN
3
1aa
3
13
)3()2()1(
)3()2()1(
2
Von Misesの降伏曲面
ベクトルNMの成分
ベクトルNMの大きさは
よって，J2-k2=0となる面は，
ONを軸として，半径 2kの面
),,(M )3()2()1(
)3()2()1(
)3()2()1(
,,
P,P,P,,ONOMNM
σ(1)
)(N )3()2()1(
3
1,
3
1,
3
1n
O σ(2)
σ(3)
2
2)3(2)2(2)1( J2NM
√
他の降伏条件
最大主応力（σ1> σ2> σ3）最大の主応力σ1がσyに達したときに降伏する
最大せん断応力（Trescaの理論）最大せん断応力Tmaxが純粋せん断（ねじりの荷重）おける降伏点kに達したときに降伏する
単純引張りの場合の降伏条件に適用するとk=σy/2の関係がある
k2/31max
y31
他の降伏条件
最大主応力，Trescaの理論，von Misesの理論
それぞれの初期の降伏曲面を重ねて書く
σ(3)=0として曲面を作成
試験をすると，最大せん断応力
とMisesの中間にくることが多い
σ(1)
σ(2)
トレスカ
最大主応力
von Mises
等方硬化則
降伏曲面の形が塑性変形の進行に伴って変化する
Misesの降伏関数f（J2、k）
降伏曲面は硬化によって大きさを変えるがその位置は変えない
バウシンガー効果は模擬できない
εO
σy0
σ
-σy0
σy1
-σy1
移動硬化則
降伏曲面は，硬化によってその大きさを変えないが，中心位置の移動を生じる バウシンガー効果を定量的に表すことができる
O
σy0
σ
2σ0
σy0
複合硬化則
硬化によってその大きさの変化と中心位置の移動を生じる
等方硬化と移動硬化の両方を再現できる
パラメーターの決め方が難しい
第7回目問題
1. 引張り試験の結果，降伏応力σyが得られた．von Misesの降伏条件に従う時のkを決定せよ
2. 以下の量を計算せよ
,2
1
2
1I
I,I
Iijij
2
ii2
ij
2ii1
ij
1