certamen 2 - 2014-1 - pauta (con puntajes)
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Universidad Tecnica Federico Santa MaraDepartamento de MatematicaCasa Central - Valparaso
Pauta Certamen #2 Mat-0241er Semestre 2014 - Lunes 16 de Junio
1. Considere la curva C descrita por x = 6 sin 4t, y = 4 cos 2t, z = 4t,pi
2 t pi y el campo vectorial ~F definido
como
~F (x, y, z) =
(x
(x2 + y2 + z2)4,
y
(x2 + y2 + z2)4,
z
(x2 + y2 + z2)4
).
(i) Es el campo vectorial ~F irrotacional?.
(ii) Calcule el trabajo efectuado del campo ~F sobre la curva C.
Solucion:
(i) Para el campo vectorial ~F el rotacional del campo ~F es
F = (yP zN,xP + zM,xN yM)
donde M(x, y, z) =x
(x2 + y2 + z2)4, N(x, y, z) =
y
(x2 + y2 + z2)4y P (x, y, z) =
z
(x2 + y2 + z2)4. Luego los
valores de cada componente son
yP zN = 8zy(x2 + y2 + z2)5
8zy(x2 + y2 + z2)5
= 0 2 PUNTOS
xP + zM = 8zx(x2 + y2 + z2)5
+8zx
(x2 + y2 + z2)5= 0 2 PUNTOS
xN yM = 8yx(x2 + y2 + z2)5
8yx(x2 + y2 + z2)5
= 0 2 PUNTOS
con lo cual se obtiene que F = ~0, as el campo vectorial es irrotacional. 5 PUNTOS(ii) Como el campo es irrotacional una solucion al problema es construir el potencial del campo, el cual es un
campo escalar f tal quef = ~F ,
luego es necesario resolver el sistema de ecuaciones diferenciales.
f
x=
x
(x2 + y2 + z2)4= f(x, y, z) = 1
6(x2 + y2 + z2)3+ (y, z)
derivando respecto a y e integrando se tiene
f
y=
y
(x2 + y2 + z2)4+ y =
y
(x2 + y2 + z2)4= (y, z) = (z),
es decir
f(x, y, z) = 16(x2 + y2 + z2)3
+ (z),
derivando respecto a z e integrando
f
z=
z
(x2 + y2 + z2)4+ (z) =
z
(x2 + y2 + z2)4= (z) = k, k R
luego para cada k R tenemos una funcion potencial, la cual es
f(x, y, z) = 16(x2 + y2 + z2)3
+ k, 8 PUNTOS
de esta formaC
~F d~r =C
f d~r = f(0, 4, 4pi) f(0,4, 2pi) = 16
(1
(16 + 4pi2)3 1
(16 + 16pi2)3
)6 PUNTOS
1
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2. Un alambre C se enrolla sobre el manto del cilindro x2 + y2 = 1 de forma tal que la altura z = z() satisfacela ecuacion diferencial z = z con condiciones iniciales z(0) = 1 y z(0) = 0, donde (r, , z) son las respectivascoordenadas cilndricas del punto.
(i) Calcule la longitud del alambre C si [0, 2pi].(ii) Obtenga la masa del alambre C si la densidad en cada punto es (x, y, z) = x2 + y2 + z2
Solucion:
(i) Primero es necesario obtener la parametrizacion de la curva C, para esto se resuelve la ecuacion diferencialz = z la cual tiene como solucion
z() = C1e + C2e
,
al imponer la condicion z(0) = 1 se obtiene que C1+C2 = 1. Y al imponer z(0) = 0 se obtiene que C1C2 = 0,
lo cual se traduce en que C1 = C2 =12 , as
z() = cosh , 5 PUNTOS
lo cual permite concluir que la parametrizacion de la curva C que describe al alambre es
x() = cos ,
y() = sin , [0, 2pi]z() = cosh , 8 PUNTOS
Con lo anterior la longitud del alambre es
longC =
C
ds 4 PUNTOS
=
2pi0
(x())2 + (y())2 + (z())2d
=
2pi0
sin2 + cos2 + sinh2 d
=
2pi0
1 + sinh2 d
=
2pi0
cosh d = sinh 2pi 2 PUNTOS
(ii) La masa del alambre viene determinada por
longC =
C
fds 4 PUNTOS
=
2pi0
f(cos , sin , cosh )
(x())2 + (y())2 + (z())2d
=
2pi0
(1 + cosh2 ) cosh d = sinh 2pi +
2pi0
(1 + sinh2 ) cosh d
= 2 sinh 2pi +sinh3 2pi
32 PUNTOS
2
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3. Hallar el trabajo del campo vectorial ~F (x, y, z) =
(y
(x 1)2 + y2 ,1 x
(x 1)2 + y2 , z x+ y)
sobre la curva C
interseccion de las superficies S1 y S2, definidas como
S1 : |x|+ |y| = a, S2 : z + x = 4a, si a > 1
Solucion: Aplicamos el Teorema de Stokes, luego obtenemos el rotacional del campo ~F , el cual es ~F = (1, 1, 0)3 PUNTOS , de esta forma
C
~F d~r C
~F d~r =
S
~F nd, 4 PUNTOS
donde C es la curva que encierra a la singularidad x = 1, y = 0 ubicada en el plano z + x = 4a, tal curva esta
descrita como (x 1)2 + y2 = 2 y z = 4a x 3 PUNTOS . Ademas S es la superficie parametrizada mediante(x, y) = (x, y, 4ax) con (x, y) D = {(x, y) R2/ |x|+ |y| 4a, (x 1)2 + y2 2}, la cual tiene como vectorunitario n =
(12, 0, 1
2
)3 PUNTOS .
C
~F d~r = 2pi
0
~F (1 + cos t, sin t, 4a 1 cos t) ( sin t, cos t, sin t)dt 5 PUNTOS
=
2pi0
(1
sin t,1
cos t, 4a 1 cos t 1 cos t+ sin t
) ( sin t, cos t, sin t)dt
=
2pi0
(1 + 2 sin2 t) dt = 2pi + pi2mientras que
S
~F nd =
S
(12, 0,
12
) (1, 1, 0)d 5 PUNTOS
=
D
dA = 2a2 pi2
de esta forma C
~F d~r = 2a2 2pi 2 PUNTOS
3
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4. Considere el solido definido como
={
(x, y, z) R3 / |y| 1 + z2, 0 7z y + 9, 1 x 1} ,donde el borde de es denotado por y corresponde a una superficie cerrada orientada respecto a la normalexterior, ademas se puede considerar compuesta por una superficie superior S1, una superficie inferior S2 y unasuperficie lateral S3.
(i) Para el campo vectorial ~F definido como
~F (x, y, z) = (2x y, x+ 4z 6, 1 + 2z).Determinar el flujo a traves de la superficie S3 orientada respecto a la normal exterior.
(ii) Sean C1 y C2 las correspondientes fronteras de las superficies S1 y S2 recorridas en sentido anti horario respectoa la normal exterior a . Encuentre R tal que
S3
( ( ~G)
) n d =
C1
~G d~r,
donde n es la normal unitaria exterior a sobre S3, ~G un campo vectorial de clase C2 sobre un abierto quecontiene a y si ademas se sabe que ~G es ortogonal a todo punto del vector tangente de la curva C2.
Solucion:
(i) Como es una superficie cerrada se puede aplicar el Teorema de Gauss al campo ~F , asiS
~F nd =
S1
~F n1d +
S2
~F n2d +
S3
~F n3d =
~FdV,
la divergencia de este campo es ~F = 4, asi
4dV =
11
10
1+z21z2
4dydzdx+
11
21
1+z27z9
4dydzdx = 36,
de esta forma solo resta calcular calcular los flujos respecto a las normal exterior en las superficies S1 y
S2. 4 PUNTOS
Flujo sobre la superficie superior S1: Esta superficie esta parametrizada mediante 1(x, y) =(x, y, 9+y7
)con
(x, y) D1 = {(x, y) R2/ 1 x 1, 2 y 5} y el vector normal exterior viene dado defido porn1 =
(0, 17 , 1
)con n1 = n1/||n1|| 4 PUNTOS
S1
~F n1d =
D1
(2x y, x 6 + 4(9 + y)
7, 1 +
2(9 + y)
7
)(
0,17, 1
)dA
=
11
52
(181 7x+ 10y
49
)dA = 56.
Flujo sobre la superficie inferior S2: Esta superficie esta parametrizada mediante 1(x, y) = (x, y, 0) con(x, y) D2 = {(x, y) R2/ 1 x 1, 1 y 1} y el vector normal exterior viene dado defido porn2 = (0, 0,1) con n2 = n2/||n2|| 4 PUNTOS
S2
~F n2d =
D2
(2x y, x 6, 1) (0, 0,1)dA = 4.
Luego el flujo sobre la superficie S3 esS3
~F n3d = 16 3 PUNTOS
(ii) Aplicaremos el Teorema de Gauss al campo ~F = ~G, asiS1
~F n1d +
S2
~F n2d +
S3
~F n3d =
( ~F )dV,
4
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se sabe que la divergencia del rotacional es cero si el campo es de clase C2, luegoS1
~F n1d +
S2
~F n2d +
S3
~F n3d = 0, 3 PUNTOS
aplicando el Teorema de Stokes se tiene queC1
~F d~r +C2
~F d~r +
S3
~F n3d = 0, 3 PUNTOS
como ~F = ~G es ortogonal a todo punto del vector tangente de la curva C2 se tiene queC2
~F d~r = 0,luego
C1
~F d~r +
S3
~F n3d = 0,
asi reemplazando ~F se tiene que = 1, luegoS3
( ~G
) n3d =
C1
( ~G
) d~r 4 PUNTOS
5