cf355 física moderna prof. dante mosca aulas em bibliografia básica: r. eisberg e r. resnick,...
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CF355
Física Moderna
Prof. Dante Mosca
Aulas em http://fisica.ufpr.br/CF355
Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica, (Campus).
PROGRAMA
EMENTA
Relatividade: O conceito de espaço e tempo absolutos e a dinâmica newtoniana. O princípio da relatividade de Galileu. Relatividade no esquema de Galileu-Newton. Experiências críticas. Transformações de Lorentz-Einstein. Medidas de comprimento e intervalo de tempo. Cinemática relativística. Dinâmica relativística. Equivalência entre massa e energia. Princípio de equivalência. Mecânia Quântica: Descoberta do elétron. Radiação como partícula. Matéria como onda. Modelos atômicos. Equação de Schrödinger.
PROGRAMA DE ENSINO
O conceito espaço e tempo absolutos e a dinâmica newtoniana: Nas mãos de Newton a mecânica foi fundamentada nos conceitos de espaço e tempo absolutos.
O princípio da relatividade de Galileu-Newton: Grandezas relativas e invariantes newtonianos. Transformação das equações da dinâmica de Newton.
Experiências críticas: Experiências relacionadas ao éter luminífero. Experiências sobre a propagação da luz.
Transformações de Lorentz-Einstein: Relatividade de acordo com Einstein e a universalidade da velocidade da luz. Relatividade e simultaneidade. Transformação de coordenadas do espaço-tempo. Diagramas de Minkowski. Um invariante do espaço-tempo.
Medidas de comprimento e intervalo de tempo: Observadores. Pontos eventos e suas transformações. Medidas de tempo. A contração de Lorentz. Dilatação do tempo. Observação da dilatação do tempo com raios cósmicos (mésons). Intervalo espaço-tempo e causalidade.
Cinemática relativística: Transformações de velocidades. Radiações de fontes em movimento rápido. Movimentos acelerados. O problema dos gêmeos.
Equivalência entre massa e energia: A “caixa” de Einstein e a equivalência entre massa e energia. Princípio de Equivalência.
Descoberta do elétron: Experiências de J. J. Thomson e Millikan.
Radiação como partícula: Corpo negro. Efeito fotoelétrico. Espalhamento Compton. Produção de raios X. Produção e aniquilação de pares.
Matéria como onda: difração de elétrons. Princípio da incerteza.
Modelos atômicos: Modelos de Thomson e Rutherford. Modelo de Bohr do átomode Hidrogênio.
Equação de Schrödinger: Interpretação de Born. Propriedades matemáticas. Equação independente do tempo. Quantização da energia. Poço infinito. Barreira de potencial. Tunelamento. Discussão elementar do oscilador
Programação das provas (40 % conceitual e 60 % problemas)
1ª PROVA – cinco primeiros tópicos em verde: Data 04/10/13
2ª PROVA – quatro tópicos seguintes em azul : Data .../09/13
3ª PROVA – três últimos tópicos em vermelho : Data .../09/13
Leis de Newton
Ação à distância e instantânea...
Philosophiae naturalis principia mathematica, 1687. Isaac Newton
Princípios da Mecânica de Hertzespaço, tempo e massa
F = A - B
Contact forces ?
Forças ficticias ou pseudo-forças
Gravidade artificial
ammdt
dm
dt
dm )(2 rωω
rωr
ωF
Euler Coriolis Centrífuga
Sugestão
Sugestão : Mohazzabi, P., 1999. Free fall and angular momentum. Am. J. Phys. 67: 1017-1020
Por curiosidade, considere uma bola esférica que inicia a queda livre de uma altura h = 300 m na latitude = 45 norte. Estime o desvio desconsiderando efeitos de resistência do ar, assumindo que o momento angular é conservado, lembrando que altura h << R (= 6370 km), e admitindo uma aceleração gravitacional (g = 9,8 ms-2) contante.
R.: Encontra o chão 52 centímetros para o Sul e 8 centímetros para Leste.
Vácuo ...
Standard Model
graviton
HHiggs
0 ~125
Campos de força
http://cnx.org/aboutus/
http://en.wikipedia.org/wiki/Strong_interaction
Experimento de Michelson-Morley(1881 e reprise 1887)
Comprimento de Coerência
http://en.wikipedia.org/wiki/Coherence (physics)
Tempo de Coerência
Quanto uma onda é monocromática ...
12
Coerência e pulsos
Formam um pulso se são fixas as fases (coerentes)
Luz solar
Luz branca com fase e amplitude variáveis.
Interferência de pulsos de onda
1 2
3 = < 1 + 2 >
Grau de coerência ...
30 km/s
Sem mudança !
Domínios de validade
Relatividade Especial
Segundo postulado (invariabilidade de c): A luz se propaga no vácuo com uma velocidade constante c que independe dos estados de movimento do corpo emissor e do observador.
Primero postulado (princípio da relatividade):As leis físicas devem ser as mesmas em todos os referênciais inerciais.
Einstein, Albert (1905), "Zur Elektrodynamik bewegterKörper", Annalen der Physik 322 (10): 891–921.
Relatividade
http://fr.wikipedia.org/wiki/Transformation_conforme
z
z z2
Há diferença entre medir e observar ?Um observador « vê » realmente ?
A velocidade da luz ser finita insere o passado no instante da observação ?
?
Introdução aos Princípios da Relatividade
O « ver » é determinado pela luz que chega ao observador em um
dado momento.
A forma e o volume de um corpo
dependem de como a luz emitida chega
até o « observador ».
As equações de transformação de Galileu
Válidas para baixas velocidades
S S’
y y’
x x’
x’vt
x
evento
v
Invariância da velocidade da luz no vácuo e em todos os referenciais inerciais
As equações de Transformação de Lorentz
Válidas para qualquer velocidade fisicamente possível.
S S’y y’
x x’
x’vt
x
evento
v
Lorentz, Hendrik Antoon (1892), "La Théorie electromagnétique de Maxwell et son application aux corps mouvants at the Internet Archive", Archives néerlandaises des sciences exactes et naturelles 25: 363–552
Transformações de Lorentz e Princípio da Relatividade
Registrando um evento
4 coordenadas: 3 espaciais 1 temporal
Eventos: colisão entre duas partículas, acender de uma lâmpada, passagem de um pulso luminoso, evolução de uma vida, ...
Relatividade: determina as relações entre as coordenadas atribuídas a um mesmo evento por 2 observadores se movendo um em relação ao outro.
Diagrama do cone de luz de Minkowski (observador sob alta aceleração)
21 /l l l
Quando um evento é Relativístico ...
Exercício:
Mostre que:
Substituindo c por – c :
Então a transformação de Lorentz dilata (contrai) o espaço-tempo (x,y,ct) por um
fator na direção do plano x = +ct (x = –ct ) ?
distorção relativística
P. A. Tipler, & R. A. Llewellyn, Fisica Moderna 3a Ed., LTC
A relatividade da simultaneidade
Não simultâneo
Simultâneo
Não simultâneo
Tempo próprio e comprimento próprioTempo próprio é decorrido entre dois acontecimentos, como medido por um relógio que passa através de ambos os eventos. Depende não apenas os eventos, mas também do movimento do relógio entre os eventos.
Um relógio acelerado mede um menor tempo decorrido entre dois acontecimentos do que o medido por um relógio não acelerado (inercial) entre os mesmos dois eventos: "paradoxo dos gêmeos".
Compimento próprio é o medido em um sistema de referência inercial em que os eventos são simultâneos. Então, se os dois eventos ocorrem em lados opostos de um objeto, o comprimento próprio é o comprimento do objeto medido por um observador que está em repouso em relação ao objeto.
A relatividade do tempo
D
v t
O fator de Lorentz e o parâmetro de velocidade
Fator de Lorentz Parâmetro de velocidade (% c)
Portanto:
(dilatação temporal)
VerificaçãoUma pessoa está de pé ao lado dos trilhos de uma estrada de ferro quando é surpreendida pela passagem de um trem relativístico. No interior de um dos vagões, um passageiro dispara um pulso de laser em direção à parte traseira do vagão. (a) A velocidade do pulso medida pela pessoa que está do lado de fora do trem é maior, menor, ou igual à velocidade medida pelo passageiro? (b) O tempo que o pulso leva para chegar à extremidade posterior do vagão, medido pelo passageiro, é o tempo próprio? (c) A relação entre o tempo medido pelo passageiro e o tempo medido pela pessoa que está do lado de fora é dada por: ?
Verificação
(a) lembrem-se do 2o. Postulado:
“A velocidade da luz no vácuo tem o mesmo valor c em todas das direções e em todos os referenciais inerciais.”
Portanto as velocidades são todas iguais.
(b) Não, pois os 2 eventos não acontecem nas mesmas coordenadas espaciais
(c) Não, pois não se trata do tempo próprio.
Exercícios e ProblemasO tempo médio de vida de múons estacionários é de 2,2 s. O tempo médio de vida dos múons de alta velocidade produzidos pelos raios cósmicos é de 16 s no referencial da Terra. Determine a velocidade em relação à Terra dos múons produzidos pelos raios cósmicos.
Tempo próprio
Exercícios e Problemas
A relatividade das distâncias
Em repouso: coordenadas das extremidades
Em movimento: simultaneamente (em nosso ref.)
(observador em repouso A)
(observador em movimento B)
A
Bv
?
A contração das distâncias
(contração das distâncias)
Comprimento próprio
Exercícios e Problemas
(a) Uma pessoa seria capaz, em princípio, de viajar da Terra até o centro da galáxia (que está a cerca de 23000 anos-luz de distância) em um tempo de vida normal? Explique por quê, levando em conta a dilatação dos tempos ou a contração das distâncias. (b) Com que velocidade constante a pessoa teria que viajar para fazer a viagem em 30 anos (tempo próprio)?
Exercícios e Problemas
(b)
Para pares de eventos
O referencial S’ está se movendo com velocidade v em relação ao referencial S.
VerificaçãoAs figuras abaixo mostram três situações nas quais um referencial x’y’ e um referencial xy estão em movimento relativo ao longo da direção comum dos eixos x e x’, como indica o vetor velocidade associado a um dos referenciais. Em cada situação, se tomarmos o referencial x’y’ como estacionário, o parâmetro v das equações anteriores será um número positivo ou negativo?
S
S’y
y’
x
x’
v
S S’y
y’
x
x’
v
S
S’y
y’
x
x’v
(a)
(b)
(c)v v > 0> 0 v v > 0> 0
v <v < 0 0
Algumas conseqüências
Simultaneidade
Dois eventos simultâneos em locais diferentes em S’:
Já em S:
Algumas conseqüências
Dilatação dos tempos
Dois eventos no mesmo local e em ocasiões diferentes em S’:
Já em S:
Algumas conseqüências
Contração das distâncias
Medidas simultâneas em S:
Como:
Exercícios e Problemas
Um astronauta parte da Terra e viaja com uma velocidade de 0,99c em direção a estrela Vega, que está a 26 anos-luz de distância. Quanto tempo terá passado, de acordo com os relógios da Terra, (a) quando o astronauta chegar a Vega e (b) quando os observadores terrestres receberem a notícia de que o astronauta chegou a Vega? (c) Qual é a diferença entre o tempo de viagem de acordo com os relógios da Terra e o tempo de viagem de acordo com o relógio de bordo?
Exercícios e Problemas
(a) No mesmo referencial inercial:
(b) Supondo que seja enviado um sinal de rádio, este viaja a c de volta:
(c) Temos que calcular o tempo próprio:
A relatividade das velocidades
S S’
y y’
x x’
v
u’ no ref. S’
u no ref. S
Partícula emite 2 sinais, logo:
A relatividade das velocidades
Dividindo:
Ou:
Fazendo:
Temos:
(transformação relativística das velocidades)
Perguntas
As naves A e B da figura abaixo estão em rota de colisão; as velocidades indicadas foram medidas no mesmo referencial. A velocidade da nave Aem relação a nave B e maior que 0,7c, menor que 0,7c ou igual a 0,7c.
AB
0,4c 0,3c
S (do observador inicial) S’ (nave B)
y y’
x x’
v
u’ no ref. S’
u no ref. S (nave A)
Precisamos calcular u’:
A
B
0,4c
0,3c
Como u = 0,4c e v = -0,3c:
Efeito DopplerPara o som:
v
Efeito Doppler para a luz
(fonte e detector se afastando)
Freqüência própria
Apenas a freqüência muda. Importante apenas veloc. entre fonte e detector
(fonte e detector se aproximando)
De acordo com o 2o Postulado:
“A velocidade da luz no vácuo tem o mesmo valor c em todas das direções e em todos os referenciais inerciais.”
Exercícios e Problemas
Uma espaçonave está se afastando da Terra a uma velocidade de 0,20c. Uma fonte luminosa na popa da nave parece azul (=450 nm) para os passageiros. Que cor teria a fonte para um observador terrestre que estivesse assistindo à partida da nave?
Comp. de onda próprio
(fonte e detector se afastando)
Amarelo-esverdeado
O efeito Doppler para a luz
Na astronomia, se a velocidade radial for pequena se pode usar comoaproximação razoável :
Ou:
Comp. de onda próprio
Deslocamento Doppler
v
v
VerificaçãoA figura mostra uma fonte que emite luz de freqüência própria f0 enquanto se move para a direita com velocidade c/4 em relação ao referencial S. A figura também mostra um detector de luz, que mede uma freqüência f>f0 para a luz detectada. (a) O detector esta se movendo para a esquerda ou para a direita? (b) A velocidade do detector em relação ao referencial S é maior que c/4, menor que c/4 ou igual a c/4?
c/4fontedetector
S
vv>>cc/4/4
Efeito Doppler transversal
D
PS
(efeito Doppler transversal)
Dilatação dos tempos:
Como T=1/f:
Outra versão do Slide 31 …
Usando um quadrivetor invariante no formalismo de Minkowski…
Construção de uma Dinâmica Relativística
Definições de velocidades usuais:
Transformações usando equações do Slide 51 :
Portanto
O que ocorre fora do eixo x de deslocamento ?
pois
Então
Similarmente,
Transformação das velocidades
Transformação da velocidade em versão vetorial
De acordo com o Slide 68:
Dividindo numerador e denominador por temos:
Admitindo uma variação de velocidade ao longo do eixo x de deslocamento temos :
O que ocorre fora do eixo x de deslocamento ?
As regras de transformação da Relatividade são diferentes da Mecânica Clássica. Podemos, portanto, esperar que muitas outras quantidades sejam afetadas.
Uma delas é a massa que deve ser transformada se introduzindo o conceito de massa relativística.
Transformação das acelerações
Massa relativística e massa de repouso
O conceito de "massa" é definida de duas maneiras diferentes na Relatividade.
A massa de repouso é definida como uma quantidade invariável que é a mesma para todos os observadores em todos os sistermas de referência.
A massa relativista é dependente da velocidade relativa do observador. Qualquer partícula que tem uma massa de repouso, energia cinética e momento não pode ser acelarada sem o aumento de sua massa relativísta.
A massa de repouso, massa invariante, massa intrínseca ou massa própria é uma característica da energia total e do momento de uma partícula, sendo a mesma em todos os referenciais relacionados por transformações de Lorentz.
Massa relativística
Massa de um objeto movendo em relação a um observador:
Logo (ver situação no Slide 69)
Como
Simplificando
Relatividade GeralPrincípio da Equivalência
(massa incercial) . (aceleração) = (massa gravitacional) .(intensidade do campo gravitacional)
Então, a gravidade é uma pseudo-força experimentada por um observador em um sistema de referência não-inercial (acelerado).
Objetos em queda livre seguem geodésicas do espaço-tempo. O que percebemos como a "força" da gravidade é resultado de não sermos capazes de seguir essas geodésicas do espaço-tempo, porque a resistência mecânica da matéria nos impede de fazê-lo.
Transformação da massa
Obs.1: Se então
Obs.2: Energia relativística
Unidades práticas
Unidade de massa atômica:
Elétron-volt:
c2:
Energia total (supondo Epot=0)
“A energia total E de um sistema isolado não pode mudar.”
Energia cinética
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0
0.5
1.0
1.5
K (
MeV
)
v/c
K=mc2(-1)
K=(mv2)/2
Momento e energia cinética
Ou:
mc2
pc
E
mc2
Ksen =
cos = 1/
Verificação
(a) A energia cinética de um elétron de 1 GeV é maior, menor ou igual a de um próton de 1 GeV? (b) Repita o item (a) para a energia total.
(a) igual, pois o termo “de … GeV” significa de energia cinética.
(b) Energias de repousoElétron: 511 keV , Próton: 938 MeVComo a energia total é:
Eeletron < Eproton
Exercícios e Problemas
O tempo de vida médio dos múons em repouso é de 2,20 s. As medidas dos múons produzidos em um acelerador de partículas mostram que eles têm um tempo de vida de 6,90 s. Determine (a) a velocidade, (b) a energia cinética e (c) o momento destes múons no referencial do laboratório. A massa de um múon é de 207 vezes maior que a do elétron.
Sabemos:
(a)
(b)
(c)
Ou então:
Energia de repouso
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0
0.5
1.0
1.5
K
(M
eV
)
v/c
K=mc2(-1)
K=(mv2)/2
Energia cinética
Momentum relativístico
Quadri-momentum
Momentum relativístico e energia relativística
Usamos a intercorrelação entre o momentum relativístico e a energia relativística para obter a transformação do momentum:
onde (ver situação no Slide 21):
Transformação relativística do momentum e da energia
Transformação relativística do momentum
A Força
Sendo
Logo
Como
Então
Exercício :
Mostre que:
Transformação relativística da força
Dividindo numerador e denominador por temos:
Substituindo:
Em versão vetorial
De acordo com Slide 94
Transformação da força em versão vetorial
Exercício:
Mostre que para uma determinada força atuando sobre uma partícula temos:
a)
b)
c) Se F é paralela a v, então F = F’.
Exercício:
a) É razoável falar em massa inercial longitudinal e transversal ?
b) O par de forças de ação e reação ao longo da mesma direção em sentidos opostos e com igual módulo da Mecânica Clássica prevalece na Mecânica Relativística ?
Alguns aspectos importantes a serem considerados na formulação da Eletrodinâmica
Invariância da carga elétrica :
Massa relativística :
Momentum relativístico :
Contração do volume :
Observações experimentais
Formalismo de Minkowski
Formulação de quadrivetores
Definição do produto escalar: invariante
Norma de um quadrivetor
Exemplo:
Quadri-momentum
Conforme visto no Slide 94
Linhas de campo elétrico e magnético de uma carga positiva em movimento uniforme conforme um observador estacionário !
EQ BQ
Campos de uma carga em movimento
EQ BQ
Campos de uma carga em movimento « lento »
Q
Q
‘
‘
No entanto, temos :
Sendo
Direção radial
Direção azimutal
Linhas de campo elétrico de uma carga elétrica deslocando com velocidade = v/c.
Os pontos nas superfícies das esferas "imaginárias" estacionáriasindicam onde emergem as linhas de campo elétrico.
Ou seja, a densidade de pontosindica a intensidade do campo.
O campo elétrico deixa de ser isotrópico!
Não há campo magnético atrás ou a frente !
Equipotenciais de uma carga em movimento
Ação e Reação
Em (a) e (b) é descita a interação entre as cargas Q e q.
Efeito relativístico
Transformação dos campos elétrico e magnético
Uma carga Q com uma velocidade v imersa numa região imersa em campos
E e B conforme um referencial S está subletida a uma força :
Esta força medida num referencial inercial S’ movendo a uma velocidade com relação ao referencial S é dada por:
Se tivermos:
Então
Um elétron de 10 GeV.
Obtenha o fator de Lorentz e a velocidade.
1
Questões e
Problemas
1) Determine a razão entre velocidades v1 : v2 : v3 : v4 que corresponde a razão entre fatores de Lorentz 1 : : 3 : 4 igual a 1,01 : 10 : 100 : 1000
2) (a) Determine a energia total de um eletron de 2,489 MeV. (b)Determine o fator de Lorentz desse eletron. (c) Quanto mais lento que aluz está esse elétron?
3) Large Hadron Collider (LHC) do CERN, é o maior acelerador de partículas existente no mundo. Um de seus principais objetivos é obter dados sobre colisões de feixes de prótons a uma energia de 7 TeV. (a) Determine a massa relativística desses prótons.(b) Determine a energia em joules envolvida na colisão de 14 TeV.
4) Dois eventos ocorrem no mesmo local e ao mesmo tempo para um observador.(a) Ele será simultâneo para todos os demais observadores? (b) Ele irá ocorrer no mesmo local para todos os demais observadores?
5) Itaipu gera energia eleétrica usando a passagem d´água através das turbinas que giram o eixo de um gerador. De acordo com o conceito da equivalência massa-energiao aparecimento da energia elétrica pode ser identificada com a diminuiçao da massa em algum lugar? Se verdade, onde?
6) Se a carga elétrica variar 1 parte em 109 com a velocidade do elétron. Estime o valorda carga elétrica que seria observada numa esfera de cobre de raio 1 m inicialmentedescarregada após ser aquecida à 100 oC.
7) Encontre a velocidade de uma parícula que leva dois anos a mais que luz parapercorrer uma distância de 10 anos-luz.
8) Um avião supersônico voa em Mach 3 por 12 horas.Por qual fator o relógio doavião ficará atrasado em relação ao rel´sgio de um observador em Terra?
9) Um eletron com = 0,999 987 move-se no interior de um tubo de comprimento3 metros num laboratório. (a) Determine quanto mais lento que a luz está o elétron.(b) Qual o comprimento do tubo no referencial do elétron?
10) Um próton aproxima-se da Terra ao longo do eixo do polo Norte com uma velocidade 0,8c e outro com velocidade 0,6c em direção ao polo Sul. Determine avelocidadde relativa entre esses dois prótons.
11) Dois satélites mantém em órbita da Terra a uma velocidade de 20000 km/h. Seeles circulam em sentidos opostos, qual será a diferença entre a velocidade relativa deles seguindo-se a transformação de Galileu e a transformação de Lorentz?
12) Qual o trabalho necessário para levar um eletron a velocidade de 0,5c? E a 0,9c?
13) O consumo de enrgia elétrica no Brasil em 2012 foi aproximadamente 450 TW.hDetermine a massa equivalente.
14) Determine o momento cinético de um proton de modo que sua energia total seja 10 vezes a sua energia de repouso.
15) Explique o significado de massa própria, comprimento próprio e tempo próprio.
16) Descreva o experimento de Michelson e Morley. Explique o significado desseexperimento para a Fisica Moderna.
17) Enuncie os dois postulados de Einstein na Relatividade Especial.
18) Quanto rápido e em que direção deve se mover uma galáxia para um comprimento de onda de 550 nm (verde) observado numa galáxia estacionária aparecer deslocado para 450 nm (azul) (a "blue-shift")?
19) Dertermine a massa longitudinal e a massa transversal mencionadas no slide 101
20) Discuta a validade de cada uma das três Leis de Newton da Mecânica Clássica naRelatividade Restrita.