画像と空間周波数 2次元ディジタル信号空間周波数 2次元離...

画像と空間周波数 2次元ディジタル信号

標本化インパルス応答と点広がり関数

画像と周波数

空間周波数２次元離散フーリエ変換

画像のフィルタ処理

空間フィルタ画像の復元

��

�

��

�

�

��

��

��

��

�

��

�

標本化

標本化定理標本化周波数＞２ｘ信号の最大周波数　「ディジタル信号処理」２．３．３　参照を満たすとき，原信号を完全に再現できるそうでない場合，エイリアシングが生じる可能性がある

エイリアシングとは

��

��

標本化により異なる周波数が現れる例

図4.5　折り返し誤差の周波数領域での表現

f(x)

x

x

粗いサンプル�

x

F(f)

fF(f)

fF(f)

f

細かいサンプル�

原信号パワースペクトル

折り返し誤差

画像の標本化

33 70 51 31 30 30 33 39 45 40 40 44 45 46 49 62 67 62 52 45 37 29 34 30 20 23 44 70 84 82 82 8226 36 29 28 26 24 30 40 50 59 72 84 84 87 78 57 60 61 38 39 37 40 58 33 19 19 19 24 45 75 84 8252 53 25 28 27 30 48 67 75 82 89 104 120 126 115 92 76 84 59 27 19 28 33 29 23 22 19 19 19 28 59 8344 35 31 31 30 40 62 65 85 122 140 149 152 148 141 130 115 107 98 83 58 59 61 62 37 23 24 23 20 20 20 3827 33 36 25 30 65 99 111 129 154 170 177 176 174 170 165 158 144 133 131 121 93 79 116 112 36 25 25 24 21 22 1921 34 33 24 36 80 122 150 169 179 186 189 189 188 187 185 178 164 161 165 168 162 137 117 141 89 20 26 26 24 24 2230 32 27 32 57 116 155 166 176 186 198 201 200 197 196 187 170 182 190 189 190 175 163 152 143 132 45 25 23 25 27 2733 28 28 39 61 124 160 170 185 199 206 209 210 207 200 176 185 201 198 194 170 174 183 180 171 162 139 93 61 42 27 2833 31 31 54 82 98 151 185 199 204 208 213 214 212 198 182 201 207 204 161 157 201 199 188 180 172 168 161 146 107 31 2429 31 42 52 87 141 152 172 200 210 213 217 217 213 196 192 207 214 190 120 193 199 197 191 188 183 179 179 170 155 112 6533 49 101 133 127 158 193 199 207 218 222 225 224 214 197 195 211 220 146 122 200 193 195 200 204 201 198 198 190 181 174 16137 94 133 157 175 182 198 209 218 227 229 227 226 217 203 200 209 213 125 187 197 193 202 214 220 218 208 207 206 195 190 17527 81 140 161 177 191 201 212 222 231 235 231 227 220 211 205 203 210 203 198 200 208 213 226 239 232 218 214 214 206 199 19323 77 147 165 178 193 203 215 224 229 234 235 230 225 220 217 207 197 192 195 215 219 210 209 216 224 224 226 225 215 208 20429 59 146 166 178 193 204 215 223 224 228 227 222 222 225 225 214 194 185 191 192 196 206 201 201 203 211 223 231 224 217 21133 51 134 164 174 190 205 213 216 219 218 212 208 213 222 225 215 189 183 180 185 190 204 215 210 202 200 208 218 223 221 21028 44 107 161 170 185 200 208 212 214 209 200 202 207 210 209 200 183 193 213 201 189 205 206 210 205 176 182 201 211 213 21146 69 84 148 168 181 195 202 206 207 199 203 213 211 204 201 191 182 195 215 197 196 199 195 193 159 129 162 203 221 222 21744 90 75 116 162 179 189 197 197 187 194 215 223 216 201 198 195 188 184 192 194 206 195 189 162 152 138 130 192 219 226 22628 64 93 94 133 166 182 190 180 175 200 217 233 153 154 202 206 208 180 188 200 196 198 167 161 166 162 130 164 207 226 22833 53 82 87 123 147 170 178 172 185 201 213 173 99 191 201 208 219 201 204 204 197 186 161 162 165 168 136 166 209 223 22729 59 88 84 106 135 155 167 169 190 199 198 124 162 200 199 209 209 205 210 218 204 182 162 160 164 147 145 186 214 221 22128 38 64 88 96 116 131 146 158 186 197 175 155 200 197 199 209 219 210 206 215 211 178 152 156 158 156 183 203 212 217 21727 35 40 65 81 102 123 129 152 180 191 170 188 200 201 201 211 234 231 217 205 206 169 147 160 170 191 210 212 216 216 21727 40 50 48 74 75 122 125 143 169 184 176 190 202 200 203 211 227 236 225 213 205 189 192 207 208 216 225 222 221 219 21719 24 37 62 70 47 88 111 125 155 170 168 187 193 192 194 204 212 215 215 220 222 217 212 218 221 224 225 221 222 222 21614 18 22 40 40 37 45 74 89 123 152 156 171 182 184 184 194 201 202 210 217 223 225 221 221 222 221 218 219 218 213 20315 13 18 25 31 26 26 44 57 69 106 133 155 171 176 178 184 192 199 204 211 213 218 218 219 220 217 209 206 201 193 18515 14 16 17 30 28 26 42 52 99 115 98 108 135 162 170 176 184 189 197 204 206 206 204 207 210 208 202 192 177 173 20414 15 15 16 17 32 40 45 75 126 149 140 124 105 110 139 156 170 176 180 186 194 195 196 195 194 192 187 171 178 204 23915 15 15 15 20 43 32 20 36 75 136 166 180 170 131 95 111 140 160 168 172 180 183 182 180 179 167 143 169 228 233 236

光受容体による網膜像の標本化（サンプリング）は，

解像度の限界を決めるエイリアシングを引き起こす

視覚系のサンプリング間隔

中心窩での錐体間距離：約5μｍ

網膜上に細かい縞を映すことができれば，エイリアシングを見ることができる。

エイリアシングの観察記録　通常は眼球光学系のぼけのために，エイリアシングを生じさせるような細かい縞が網膜に映ることはない。

Illusion contest��

http://illusionoftheyear.com/cat/top-10-finalists/2012/ �



画像と周波数




インパルス応答と点広がり関数

単位インパルス

単位インパルス応答

€

δ(n)

€

h(n)

€

y(n) = x(k)h(n − k))k=−∞

∞

∑

= h(k)x(n − k))k=−∞

∞

∑

任意の入力x(k)に対する応答y(n)

€

x(n)

€

y(n) = x(k)h(n − k)k=−∞

∞

∑

x(k)に対する応答y(k)

€

x(0)h(n)

0 1 2 3

€

x(1)h(n −1)

€

x(2)h(n − 2)

n

点光源点広がり関数（レンズのボケなど）

=２次元インパルス応答

入力画像出力画像

点広がり関数

２次元インパルス応答

２次元インパルス

€

y(n1,n2) =k2 =−∞

∞

∑ h(k1,k2)x(n1 − k1,n2 − k2))k1 =−∞

∞

∑

=k2 =−∞

∞

∑ x(k1,k2)h(n1 − k1,n2 − k2))k1 =−∞

∞

∑

任意の入力x(k1, k2)に対する応答y(n1, n2)

x(k1, k2)

y(n1, n2)



画像と周波数




信号は，三角関数（複素指数関数）で表現できる

画像も２次元の三角関数（複素指数関数）で表現できる

€

cos(ω1n1 +ω2n2)e− jω1n1e− jω 2n2

€

ω2 = 0

€

ω2

€

ω1

画像の空間周波数２次元の周波数表現1

€

ω2

€

ω1

２次元正弦波とその周波数表現2

画像パワースペクトル

€

€

€

€

GaborWavelet: 大阪大学�大澤研InverseFFT2D: 大阪大学�大澤研�

２次元離散フーリエ変換

€

X(k1,k2) = x(n2 = 0

N2−1

∑n1 = 0

N1−1

∑ n1,n2)WN1

k1n1WN2

k2n2

k1 = 0 ~ N1 −1, k2 = 0 ~ N2 −1

WN1= exp − j 2π

N1

%

& '

(

) * , WN2

= exp − j 2πN2

%

& '

(

) *

€

x(n1,n2) =1

N1N2

X(n2 = 0

N2−1

∑n1 = 0

N1−1

∑ k1,k2)WN1

−k1n1WN2

−k2n2

n1 = 0 ~ N1 −1, n2 = 0 ~ N2 −1

逆変換

N1, N2データ数�（N1 x N2の画像）x:画像，�X:周波数特性�

画像の周波数成分（振幅の大きさ）

２次元離散フーリエ変換の性質

€

a1x1(n1,n2) + a2x2(n1,n2)↔ a1X1(k1,k2) + a2X2(k1,k2)

€

x1(n1,n2)x2(n1,n2)↔ X1(k1,k2)X2(k1,k2)

€

y(n1,n2) = h(p2 = 0

N2−1

∑p1 = 0

N1−1

∑ p1, p2)x((n1 − p1)N1,(n2 − p2)N2

)

↔Y (k1,k2) = H(k1,k2)X(k1,k2)

「ディジタル信号処理」12.3参照 12.3.2　２次元離散フーリエ変換の性質

線形性

分離性

循環たたみこみ

€

N(m) :mをNで割ったあまり

循環たたみこみ線形たたみこみ

€

x(n)

€

y(n) = x(k)h(n − k)k=−∞

∞

∑

€

x(0)h(n − 0))

€

x(1)h(n −1)

€

x(2)h(n − 2)

単位インパルス応答

€

h(n)

0 1 2 3

€

yc (n) = x(k)h(n − k)Nk= 0

N

∑

€

x(0)h(n − 0))

€

x(1)h(n −1)

€

x(2)h(n − 2)

€

x(N −1)h(n − (N −1)))= x(N −1)h(n +1))€

x(N − 2)h(n − (N − 2)))= x(N −1)h(n + 2))

0 0


線形たたみこみ

単位インパルス応答入力画像

循環たたみこみのデータの扱い線形たたみこみのデータの扱い


線形たたみこみ

単位インパルス応答入力画像

あまり気にならないことも多い

周期性

共役性

€

x * (n1,n2)↔ X * (N1 − k1,N2 − k2)

実数の信号では，

€

x(n1,n2) = x * (n1,n2)

€

X(k1,k2) = X * (N1 − k1,N2 − k2)X(k1,k2) = X(N1 − k1,N2 − k2)∠X(k1,k2) = −∠X(N1 − k1,N2 − k2)

€

X(k1 + p1N1,k2 + p2N2) = X(k1,k2)は，任意の整数

€

p1, p2

２次元離散フーリエ変換の性質「ディジタル信号処理」12.3参照 12.3.2　２次元離散フーリエ変換の性質

* 複素共役

対称性

周期性

対称性

€

x * (n1,n2)↔ X * (N1 − k1,N2 − k2)

実数の信号では，

€

x(n1,n2) = x * (n1,n2)

€

X(k1,k2) = X * (N1 − k1,N2 − k2)X(k1,k2) = X(N1 − k1,N2 − k2)∠X(k1,k2) = −∠X(N1 − k1,N2 − k2)

€

X(k1 + p1N1,k2 + p2N2) = X(k1,k2)

は，任意の整数

€

p1, p2

周期性，対称性を証明しておくこと

２次元離散フーリエ変換

€

X(k1,k2) = x(n2 = 0

N2−1

∑n1 = 0

N1−1

∑ n1,n2)WN1

k1n1WN2

k2n2

k1 = 0 ~ N1 −1, k2 = 0 ~ N2 −1

WN1= exp − j 2π

N1

%

& '

(

) * , WN2

= exp − j 2πN2

%

& '

(

) *

€

x(n1,n2) =1

N1N2

X(n2 = 0

N2−1

∑n1 = 0

N1−1

∑ k1,k2)WN1

−k1n1WN2

−k2n2

n1 = 0 ~ N1 −1, n2 = 0 ~ N2 −1

逆変換

出席確認1

画像をみて，エイリアシングや歪みなど，実際と異なる見え方を経験した例などがあればのべよ。その他，授業の内容について疑問，感想などでもよい。



画像と周波数




€

y(n1,n2) = h(p2 = 0

N2−1

∑p1 = 0

N1−1

∑ p1, p2)x((n1 − p1)N1,(n2 − p2)N2

)

↔Y (k1,k2) = H(k1,k2)X(k1,k2)


空間フィルタリング：インパルス応答関数による畳み込み周波数領域でかけ算

２次元フィルタ（空間フィルタ）平滑化フィルタ

€

h(n1,n2) =19

1 1 11 1 11 1 1

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

周波数特性フィルタ

出力画像入力画像

２次元フィルタ（空間フィルタ）先鋭化フィルタ

€

h(n1,n2) =

0 −1 0−1 5 −10 −1 0

#

$

% % %

&

'

( ( (



２次元フィルタ（空間フィルタ）

€

h(n1,n2) =

−1 2 −1−1 2 −1−1 2 −1

#

$

% % %

&

'

( ( (




€

h(n1,n2) =

−1 −1 −12 2 2−1 −1 −1

#

$

% % %

&

'

( ( (




€

h(n1,n2) =

−1 0 1−1 0 1−1 0 1

#

$

% % %

&

'

( ( (



特定の周波数を抽出するフィルタ

filter (周波数領域) filtered image

入力画像

周波数特性

出力画像

入力画像

周波数特性

画像復元　劣化の原因が分かっているときは周波数領域の除算で復元可能

€

y(n1,n2) = h(n2 = 0

N2−1

∑n1 = 0

N1−1

∑ p1, p2)x((n1 − p1)N1,(n2 − p2)N2

)

↔Y (k1,k2) = H(k1,k2)X(k1,k2)

X(k1,k2) =Y (k1,k2) /H(k1,k2)

周波数特性入力画像

出力画像フィルタの周波数特性

€

Y (k1,k2) = H(k1,k2)X(k1,k2)

周波数特性フィルタ画像

復元画像除算後の周波数特性

€

X '(k1,k2) =Y (k1,k2) /H(k1,k2)

復元可能

€

Y (k1,k2) = X(k1,k2)H(k1,k2) + N(k1,k2)X '(k1,k2) =Y (k1,k2) /H(k1,k2) − N(k1,k2) /H(k1,k2)

€

N(k1,k2) ノイズn(n1,n2)のフーリエ変換

ノイズのため，画像復元時にノイズが生じる


復元画像

€

X '(k1,k2) =Y (k1,k2) /H(k1,k2) − N(k1,k2) /H(k1,k2)除算後の周波数特性

ノイズ,Nが加わると復元ができない


復元画像高周波削除後の　除算後の周波数特性

高周波を削除してノイズの影響削減

出席確認2

画像をそこに含まれる周波数あるいは特徴の大きさを考えて見たことがあれば述べよ。その他，授業の内容について疑問，感想などでもよい。

画像と空間周波数 2次元ディジタル信号 空間周波数 2次元離...

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