cfd aula 1
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EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Universidade Federal do ABC
Aula 1 Conceituação das equações
diferenciais parciais
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
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EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Porquê?
vvvvv
vvv
v
gpqTkEt
E
gpt
t
:
0
Equações de Navier-Stokes para um fluido compressível e viscoso
Conservação da massa
Conservação do momento linear (2ª Lei de Newton)
Conservação da energia (1ª Lei da Termodinâmica)
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EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Navier & Stokes
Claude-Louis Navier
• Engenheiro e Matemático. • Membro da Academia de
Ciências da França. • Criador da teoria da
elasticidade. • Um dos principais teóricos da
mecânica dos fluidos. • Seu nome está gravado na
galeria de heróis da Torre Eiffel.
Sir George Stokes
• Físico e Matemático.
• Professor de matemática em Cambridge.
• Um dos principais teóricos da mecânica dos fluidos.
• Também publicou trabalhos sobre a luz, polarização e fenômenos químicos.
• Há uma cratera na Lua com seu nome.
(1785-1836) (1819-1903)
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EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Classificação de EDPs
Linear • A variável dependente e suas derivadas mantém relações
lineares. Não há produtos entre a variável dependente e suas derivadas.
• Soluções independentes podem ser somadas para gerar uma outra solução.
Exemplo:
Onda unidimensional
x
ua
t
u
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EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Classificação de EDPs
Não-linear • Há produtos entre a variável dependente e suas
derivadas.
• Soluções independentes não podem ser somadas para gerar uma outra solução.
Exemplo:
Equação de Burgers para fluidos invíscidos
x
uu
t
u
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EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
EDPs de segunda ordem
Dada uma função f(x,y), a forma mais completa de uma EDP de segunda ordem é
02
22
2
2
GF
yE
xD
yC
yxB
xA f
fffff
Isolando os termos de segunda ordem, temos
GF
yE
xD
yC
yxB
xA f
fffff2
22
2
2
Hy
Cyx
Bx
A
2
22
2
2 fff
![Page 7: CFD Aula 1](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/55736a8fd8b42a40208b4e4c/html5/thumbnails/7.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
EDPs de segunda ordem
Assim, abstraimos os termos de ordem 1, e podemos buscar relações entre A, B, C e as derivadas segundas.
Primeiramente, definimos
dyy
dxyx
d
dyyx
dxx
d
y
x
2
22
2
2
2
fff
fff
![Page 8: CFD Aula 1](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/55736a8fd8b42a40208b4e4c/html5/thumbnails/8.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
EDPs de segunda ordem
A busca de uma solução para cada um dos termos nos leva a:
(regra de Cramer)
dydx
dydx
CBA
dyd
ddx
CHA
yx
y
x
0
0
0
0
2 f
f
f
dydx
dydx
CBA
ddx
ddydx
HBA
y
y
x
0
0
0
2
2 f
f
f
dydx
dydx
CBA
dydxd
dyd
CBH
x
y
x
0
0
0
2
2 f
f
f
![Page 9: CFD Aula 1](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/55736a8fd8b42a40208b4e4c/html5/thumbnails/9.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
EDPs de segunda ordem
Para garantir que
devemos resolver
0
0
0
dydx
dydx
CBA
022 CdxBdxdyAdy
Dividindo por dx2 0
2
C
dx
dyB
dx
dyA
As soluções desta equação são as “curvas características” do espaço físico (a,b):
A
ACBB
dx
dy
2
42
,
ba
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EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
EDPs de segunda ordem
O sistema de EDPs é, portanto, classificado segundo o valor de (B2 - 4AC):
(B2 - 4AC) < 0 elíptico
(B2 - 4AC) = 0 parabólico
(B2 - 4AC) > 0 hiperbólico
02
22
2
2
GF
yE
xD
yC
yxB
xA f
fffff
![Page 11: CFD Aula 1](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/55736a8fd8b42a40208b4e4c/html5/thumbnails/11.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Equações elípticas
• (B2 - 4AC) < 0 em todos os pontos do espaço.
• Uma EDP elíptica não tem curvas características reais.
• Uma perturbação se propaga instantaneamente em todas as direções.
Exemplos:
• Equação de Laplace
• Equação de Poisson
02
2
2
2
yx
ff
),(2
2
2
2
yxfyx
ff
Espaço de
soluções
Condições de
contorno
![Page 12: CFD Aula 1](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/55736a8fd8b42a40208b4e4c/html5/thumbnails/12.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Equações parabólicas
• (B2 - 4AC) = 0 em todos os pontos do espaço.
• O domínio de soluções é um espaço aberto.
• Apenas uma solução (uma curva característica).
Exemplos:
• Condução de calor em uma dimensão
• Difusão viscosa
2
2
x
T
t
T
a
2
2
y
u
t
u
Espaço de
soluções
Condições de
contorno
Condições de
contorno
Condições Iniciais
![Page 13: CFD Aula 1](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/55736a8fd8b42a40208b4e4c/html5/thumbnails/13.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Equações hiperbólicas
• (B2 - 4AC) > 0 em todos os pontos do espaço.
• Uma EDP hiperbólica tem duas curvas características reais.
• Tradicionalmente resolvida pelo método das características.
Exemplo:
• Equação de onda de segunda ordem
2
22
2
2
xa
t
ff
Espaço de
soluções
Espaço de
soluções
Condições de
contorno
Condições de
contorno
Condições Iniciais
Condições Iniciais
![Page 14: CFD Aula 1](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/55736a8fd8b42a40208b4e4c/html5/thumbnails/14.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Exemplo 1
Classificar a EDP
0)1(2
2
2
22
yxM
ff
Potencial de velocidade em
duas dimensões
Solução:
10)1( 2 CBMA
02
22
2
2
GF
yE
xD
yC
yxB
xA f
fffff
)1(44 22 MACB
![Page 15: CFD Aula 1](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/55736a8fd8b42a40208b4e4c/html5/thumbnails/15.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Interpretação física
Um corpo se movendo em um fluido.
M < 1 M = 1 M > 1
elíptica parabólica hiperbólica
)1(44 22 MACB
subsônico transsônico supersônico
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EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
EDPs típicas em CFD
Equação de Laplace
Equação de Poisson
Condução de calor
Difusão viscosa
Equação de onda
Equação de Burgers
02
2
2
2
yx
ff
),(2
2
2
2
yxfyx
ff
2
2
2
2
y
T
x
T
t
Ta
2
2
y
u
t
u
2
22
2
2
x
ua
t
u
x
uu
t
u
![Page 17: CFD Aula 1](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/55736a8fd8b42a40208b4e4c/html5/thumbnails/17.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
SISTEMA DE EDPS DE PRIMEIRA ORDEM
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EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Classificação de um sistema de EDPs de primeira ordem
Considere o sistema
0
0
24321
14321
y
vb
y
ub
x
vb
x
ub
t
v
y
va
y
ua
x
va
x
ua
t
u
Chamando
2
1
43
43
21
21][][
bb
aaB
bb
aaA
v
u
Teremos
0][][
yB
xA
t
É bem mais simples, mas as
variáveis são matrizes e vetores
![Page 19: CFD Aula 1](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/55736a8fd8b42a40208b4e4c/html5/thumbnails/19.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Interpretando
• Se [A] tiver autovalores reais e distintos, o sistema é hiperbólico em t e x.
• Se [A] tiver autovalores complexos, o sistema é elíptico em t e x.
• Se [B] tiver autovalores reais e distintos, o sistema é hiperbólico em t e y.
• Se [B] tiver autovalores complexos, o sistema é elíptico em t e y.
0][][
yB
xA
t
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EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Sistema em regime
Chamando
O sinal de H=R2-4PQ determinará a natureza do sistema:
0][][
yB
xA
t
23
23
41
41
bb
aa
bb
aaRBQAP
H<0 elíptico H=0 parabólico H>0 hiperbólico
![Page 21: CFD Aula 1](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/55736a8fd8b42a40208b4e4c/html5/thumbnails/21.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Exemplo 2
Classifique o sistema de EDPs
0
0
y
u
x
v
y
v
x
u
Solução:
Reescrevemos o sistema na forma onde
0
yB
xA
01
10
10
01BA
v
uq
![Page 22: CFD Aula 1](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/55736a8fd8b42a40208b4e4c/html5/thumbnails/22.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Exemplo 2
Reconhecendo que o sistema está e regime (d/dt=0)
Calcula-se
H=R2-4PQ H=-4
011
10
00
1111
RQP
O sistema é elíptico.
![Page 23: CFD Aula 1](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/55736a8fd8b42a40208b4e4c/html5/thumbnails/23.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Exemplo 2b
Mesmo problema, com outra solução...
0
0
y
u
x
v
y
v
x
u
Solução:
Definimos yx nBnAT ][][][
yx nnT
01
10
10
01][
xy
yx
y
y
x
x
nn
nn
n
n
n
nT
0
0
0
0][
![Page 24: CFD Aula 1](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/55736a8fd8b42a40208b4e4c/html5/thumbnails/24.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Exemplo 2b
O determinante de [T] vale
Desejamos que [T]=0, então
22
yx nnT
xy
yx
nn
nnT ][
022 yx nn 01
2
x
y
n
n
O que significa que é imaginário.
x
y
n
n
O sistema é elíptico.
![Page 25: CFD Aula 1](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/55736a8fd8b42a40208b4e4c/html5/thumbnails/25.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Exemplo 3
Classifique o sistema de EDPs
0
0
0
y
p
y
vv
x
vu
x
p
y
uv
x
uu
y
v
x
u
Solução:
Reescrevemos o sistema na forma onde
0
yB
xA
10
00
010
00
10
001
v
vB
u
uA
p
v
u
q
![Page 26: CFD Aula 1](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/55736a8fd8b42a40208b4e4c/html5/thumbnails/26.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Calculamos
Exemplo 3
yx nBnAT ][][][
yy
y
y
x
xx
x
nvn
vn
n
un
nun
n
T
0
00
00
00
0
00
][
vvnun
nvnun
nn
T
yx
xyx
yx
0
0
0
][
Assim, 22
yxyx
yxyyyxxx
nnvnunT
vnunnnvnunnnT
![Page 27: CFD Aula 1](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/55736a8fd8b42a40208b4e4c/html5/thumbnails/27.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Exemplo 3
Queremos que 022 yxyx nnvnunT
Dividindo por 3
xn
012
2
u
n
nv
n
n
x
y
x
y
De onde obtemos duas condições:
v
u
n
n
x
y 1
x
y
n
n
O sistema é elíptico. O sistema é hiperbólico.
O sistema é misto hiperbólico/elíptico.
![Page 28: CFD Aula 1](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/55736a8fd8b42a40208b4e4c/html5/thumbnails/28.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
SISTEMA DE EDPS DE SEGUNDA ORDEM
![Page 29: CFD Aula 1](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/55736a8fd8b42a40208b4e4c/html5/thumbnails/29.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Sistemas de segunda ordem
Em muitas ocasiões as equações de Navier-Stokes podem resultar em EDPs de segunda ordem:
• Termos viscosos da equação do momento
• Termo de condução de calor da equação de energia
O método mais fácil de classificação consiste em reduzir a ordem das equações e trabalhar como se fossem EDPs de primeira ordem.
![Page 30: CFD Aula 1](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/55736a8fd8b42a40208b4e4c/html5/thumbnails/30.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Classificação de um sistema de EDPs de segunda ordem
Um fluido incompressível bidimensional em regime:
2
2
2
2
2
2
2
2
Re
1
Re
1
0
y
v
x
v
y
p
y
vv
x
vu
y
u
x
u
x
p
y
uv
x
uu
y
v
x
u
![Page 31: CFD Aula 1](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/55736a8fd8b42a40208b4e4c/html5/thumbnails/31.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Classificação de um sistema de EDPs de segunda ordem
Chamando
Temos que
Temos ainda que
y
uc
y
vb
x
va
by
v
x
u
y
a
yx
v
x
v
y
x
b
yx
v
y
v
x
2
2
0
y
a
x
b
0
y
b
x
c
Da mesma maneira:
![Page 32: CFD Aula 1](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/55736a8fd8b42a40208b4e4c/html5/thumbnails/32.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Classificação de um sistema de EDPs de segunda ordem
O novo sistema de EDPs fica:
vbuay
p
y
b
x
a
vcubx
p
y
c
x
b
y
a
x
c
y
a
x
b
y
v
x
u
cy
u
Re
1
Re
1
0
0
0
Tem mais equações, mas é de
primeira ordem
![Page 33: CFD Aula 1](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/55736a8fd8b42a40208b4e4c/html5/thumbnails/33.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Classificação de um sistema de EDPs de segunda ordem
Este sistema pode ser escrito na forma vetorial como
onde
Cy
QB
x
QA
vbua
vcub
c
CB0
0
0
1
0
0
0
0
0
0Re
1
0
0
0
0
Re1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0Re
1
0
1
0
0
Re1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
A
p
c
b
a
v
u
Q
![Page 34: CFD Aula 1](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/55736a8fd8b42a40208b4e4c/html5/thumbnails/34.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Classificação de um sistema de EDPs de segunda ordem
Com este sistema, teremos
![Page 35: CFD Aula 1](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/55736a8fd8b42a40208b4e4c/html5/thumbnails/35.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Classificação de um sistema de EDPs de segunda ordem
Agora podemos calcular | T |:
0Re
1 2222 yxy nnnT
022 yx nn
01
2
x
y
n
n
1x
y
n
n
O sistema é elíptico.
![Page 36: CFD Aula 1](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/55736a8fd8b42a40208b4e4c/html5/thumbnails/36.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Exemplo 4
As equações que governam o movimento de um escoamento inviscido e unidimensional são conhecidas como equações de Euler. Assumindo-se que o fluido é um gas perfeito, o sistema de EDPs é
Classifique este sistema de EDPs.
0
01
0
2
x
ua
x
pu
t
p
x
p
x
uu
t
u
x
u
xu
t
![Page 37: CFD Aula 1](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/55736a8fd8b42a40208b4e4c/html5/thumbnails/37.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Exemplo 4
O sistema pode ser reescrito como
onde
ua
u
u
A
p
uQ
20
10
0
0
x
QA
t
Q
![Page 38: CFD Aula 1](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/55736a8fd8b42a40208b4e4c/html5/thumbnails/38.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Exemplo 4
Os autovalores deste sistema são obtidos de (veja a aula 1b)
0
0
10
0
2
ua
u
u
0
0)(1
22
2
auu
auuu
13
2
1
u
au
u
O sistema é hiperbólico.
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CONDIÇÕES INICIAIS E DE CONTORNO
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Condições iniciais e de contorno
As condições inidiais e/ou de contorno permitem que as soluções de EDPs se transformem em soluções únicas, contrapondo-se a funções genéricas.
Uma condição inicial é aquela na qual a variável dependente tem um determinado valor em algum estado inicial.
Uma condição de contorno é aquela na qual a variável dependente ou sua derivada devem satisfazer em algum ponto do domínio da EDP.
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Seja X(x) uma função no intervalo a x b.
As quatro condições de contorno possíveis são:
Condições de contorno Em inglês: boundary
conditions
Dirichlet
Neumann
Mista
Robin (periódica)
0)(
0)(
bX
aX
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Exercícios
• Problemas 1.13 do Hoffmann “Computational Fluid Dynamics Vol.I”