第七节傅里叶级数 - beijing normal...

第十二章无穷级数

傅里叶级数（88） 1

第七节傅里叶级数


12.4.1 标准傅里叶级数非正弦周期函数:矩形波

ot

u

ππ−

1

1−

ππ

1, 0( )

1, 0t

u tt

− − ≤


tu sin4π

=


)3sin31(sin4 ttu +

π=


)5sin513sin

31(sin4 tttu ++

π=


)7sin715sin

513sin

31(sin4 ttttu +++

π=


)7sin715sin

513sin

31(sin4)( !++++

π= tttttu

)0,( ≠π


三角函数系的正交性：

∑ ϕ+ω+=∞

=10 )sin()(

nnn tnAAtf

1.三角级数

谐波分析

∑ ωϕ+ωϕ+=∞

=10 )sincoscossin(

nnnnn tnAtnAA

∑ ++∞

=1

0 )sincos(2 n nn

nxbnxaa

,2 00 Aa =令 ,sin nnn Aa ϕ= ,cos nnn Ab ϕ= ,xt =ω

三角级数


2.三角函数系的正交性

1, cos , sin , cos2 , sin2 ,x x x x L

π

πdcos 0,nx x

−=∫

π

πdsin 0,nx x

−=∫

三角函数系：

正交：任意两个不同的函数之积在闭区间

上的积分等于零. [-π,π]

cosnx, sinnx, !


π

πd

π0,

sin sin ,,m n

mx nx xm n−≠⎧

= ⎨=⎩

∫

π

πd

π0,

cos cos ,,m n

mx nx xm n−≠⎧

= ⎨=⎩

∫

π

πdsin cos 0.mx nx x

−=∫ ( , 1,2, )m n = L


函数展开成傅里叶级数：

问题: 1. 若能展开, 是什么? ak,bk2. 展开的条件是什么?

1.傅里叶系数

∑ ++=∞

=1

0 )sincos(2

)(k

kk kxbkxaaxf若有

.)1( 0a求π π π

π π πd d d0

1( ) [ ( cos sin )]

2 k kka

f x x x a kx b kx x∞

− − −=

= + +∑∫ ∫ ∫


,220 π⋅=a π

πd

π01 ( )a f x x

−= ∫

π π π

π π πd d d0

1 1cos sin

2 k kk ka

x a kx x b kx x∞ ∞

− − −= =

= + +∑ ∑∫ ∫ ∫

.)2( na求

π π

π πd d0( )cos cos

2a

f x nx x nx x− −

=∫ ∫π π

π πd d

1[ cos cos sin cos ]k k

ka kx nx x b kx nx x

∞

− −=

+ +∑ ∫ ∫


π

πd2cosna nx x−= ∫ ,π= na

π

πd

π1 ( )cosna f x nx x−= ∫ ),3,2,1( !=n

.)3( nb求

π

πd

π1 ( )sinnb f x nx x−= ∫ ),3,2,1( !=n

π π

π πd d0( )sin sin

2a

f x nx x nx x− −

=∫ ∫π π

π πd d

1[ cos sin sin sin ]k k

ka kx nx x b kx nx x

∞

− −=

+ +∑ ∫ ∫ ,π= nb


π

π

π

π

dπ

dπ

1 ( )cos , ( 0,1,2, )

1 ( )sin , ( 1,2, )

n

n

a f x nx x n

b f x nx x n

−

−

⎧= =⎪⎪

⎨⎪ = =⎪⎩

∫

∫

L

L

傅里叶系数：

傅里叶级数： ∑ ++∞

=1

0 )sincos(2 n nn

nxbnxaa

问题：

∑ ++∞

=1

0 )sincos(2

?)(n

nn nxbnxaaxf 条件


2.狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理)

设 )(xf 是以 π2 为周期的周期函数. 若它在一个

周期内至多有有限个第一类间断点和极值点，则

)(xf 的傅里叶级数收敛，且收敛于

2)0()0( ++− xfxf

0

1( cos sin ).

2 n nna a nx b nx

∞

=

= + +∑证略。


注意：函数展开成傅里叶级数的条件很弱！

解

例 1 以 π2 为周期的矩形脉冲的波形 , 0 π

( ), π 0

m

m

E tu t

E t≤


).(, xfkx 收敛于时当 π≠ 和函数图象为 π

πd

π1 ( )cosna u t nt t−= ∫

π

π

dπ

dπ

0

0

1 ( )cos

1 cos

m

m

E nt t

E nt t

−= −

+

∫

∫ ),2,1,0(0 !== nπ

πd

π1 ( )sinnb u t nt t−= ∫

π

πd d

π π0

0

1 1( )sin sinm mE nt t E nt t−= − +∫ ∫

ot

u

ππ−

mE−

mE


)cos1(2 π−π

= nnEm ])1(1[2 nm

nE

−−π

=

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

=−=π−=

!

!

,2,1,2,0

,2,1,12,)12(

4

kkn

kknkEm

∑∞

=

−π−

=1

)12sin()12(

4)(n

m tnnEtu

),2,,0;( !π±π±≠+∞


注意：对于非周期函数,如果函数只在区间

上有定义,且满足狄氏充分条件,也可展开

成傅氏级数.

)(xf

],[ ππ−

作法:

π π π( 2 ) ( ) ( ) ( , )T F x f x= = −周期延拓

)]0()0([21

+π−+−π ff端点处收敛于


例 2 将函数⎩⎨⎧

π≤≤


π

πd

π1 ( )cosna f x nx x−= ∫

π

πd d

π π0

0

1 1( )cos cosx nx x x nx x−

= − +∫ ∫

2

2 (cos π 1)π

nn

= − ]1)1[(22 −−π= nn

π

πd

π01 ( )a f x x

−= ∫

π

πd d

π π0

0

1 1( )x x x x−

= − +∫ ∫ π,=


⎪⎩

⎪⎨⎧

==

=−=π−

−=

!

!

,2,1,2,0

,2,1,12,)12(

42

kkn

kknk

π

πd

π1 ( )sinnb f x nx x−= ∫

π

πd d

π π0

0

1 1( )sin sinx nx x x nx x−

= − +∫ ∫ ,0=

∑∞

=

−−π

−π

=1

2 )12cos()12(14

2)(

nxn

nxf

)( π≤≤π− x

所求函数的傅氏展开式为


利用傅氏展开式求级数的和

∵ f (x) =| x |= π2−4π

1(2n−1)2

cos(2n−1)xn=1

∞

∑ , | x |≤ π.

,0)0(,0 == fx 时当π2

8= 1+ 1

32+152+!

σ = 1+ 122+132+142+!,

,61

41

21

2222 !+++=σ

= 1σ

σ 0 = 1−122+132−142+!,

再设


∵σ =σ 1+σ 22

12

π ,3 24σ

σ∴ = =21 σσσ +=

2π ,6

=

0 12σ σ σ= −2π .12

= 注意：为2-级数.

σ

1 22 ,4 4

σ σσσ

+= =


奇、偶函数的傅里叶级数：

(1)当周期为 π2 的奇函数 )(xf 展开成傅里叶级数时,它的傅里叶系数为： 0 ( 0),na n= ≥

π

dπ 02 ( )sin ( 1).nb f x nx x n= ≥∫

定理

( 2) 当周期为 π2 的偶函数 )(xf 展开成傅里叶级数时, 它的傅里叶系数为： 0 ( 1),nb n= ≥

πd

π 02 ( )cos ( 0).na f x nx x n= ≥∫


证 ,)()1( 是奇函数设 xfπ

πd

π1 ( )cosna f x nx x−= ∫ 0= ),3,2,1,0( !=n

奇函数

πd

π 02 ( )sinf x nx x= ∫

),3,2,1( !=n

同理可证(2)

π

πd

π1 ( )sinnb f x nx x−= ∫

偶函数

证毕.


如果 )(xf 为奇函数, 傅氏级数

nxbn

n sin1∑∞

=

称为正弦级数.

如果 )(xf 为偶函数, 傅氏级数

nxaan

n cos2 10 ∑+

∞

=

称为余弦级数.


例 3 设 )(xf 是周期为 π2 的周期函数 ,它在),[ ππ− 上的表达式为 xxf =)( ,将 )(xf 展开成

傅氏级数. 解所给函数满足狄利克雷充分条件.

2)0()0( +π−+−π ff

收敛于2

)( π−+π= ,0=

),())12(( xfkxx 处收敛于在连续点 π+≠

在点处不连续.

(2 1)π, =0, 1, 2,x k k= + ± ± L

,2)()12( 为周期的奇函数是以时 ππ+≠ xfkx∵


π−

π

ππ− π2π− 2π− 3 π3x

y

0

和函数的图象

π−

π

ππ− π2π− 2π− 3 π3x

y

0

函数的图象

),2,1,0(,0 !==∴ nan


πd

π 02 ( )sinnb f x nx x= ∫

πd

π 02 sinx nx x= ∫π+−

π= 02 ]

sincos[2nnx

nnxx

π−= nncos2 ,)1(2 1+−= n

n),2,1( !=n

)3sin312sin

21(sin2)( !−+−= xxxxf

1

1

( 1)2 sin .n

nx nx

n

+∞

=

−= ∑

),3,;( !π±π±≠+∞


)5sin514sin

413sin

312sin

21(sin2 xxxxxy +−+−=

xy =

观察两函数图形


例 4 将周期函数 tEtu sin)( = 展开成傅氏级数,其中E是正常数. 解所给函数满足狄利克雷充分条件, 在整个

数轴上连续.

,)( 为偶函数tu∵

,0=∴ nbπ

dπ0 02 ( )a u t t= ∫

t

)(tu

0 π π2π−π− 2

E

πd

π 02 sinE t t= ∫

4 ,πE

=

),2,1( !=n


πd

π 02 ( )cosna u t nt t= ∫

πd

π 02 sin cosE t nt t= ∫

πd

π 0[sin( 1) sin( 1) ]E n t n t t= + − −∫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

=π−

−=

12,0

2,]1)2[(

42

kn

knkE

当

当),2,1( !=k

π

0

cos( 1) cos( 1)π 1 1E n t n t

n n+ −⎡ ⎤

= − +⎢ ⎥+ −⎣ ⎦)1( ≠n


πd

π1 02 ( )cosa u t t t= ∫

πd

π 02 sin cosE t t t= ∫ ,0=

4 1 1 1 1( ) ( cos 2 cos4 cos6 )π 2 3 15 35Eu t t t t= − − − −L

)( +∞


12.4.2 正弦级数和余弦级数非周期函数的周期性开拓

).(2,],0[)(

xFxf

函数

为周期的延拓成以上定义在设 ππ

,0)(

0)()(

⎩⎨⎧


奇延拓: )()( xfxg −−=

⎪⎩

⎪⎨⎧


偶延拓: )()( xfxg −=

⎩⎨⎧


例 5 将函数 )0(1)( π≤≤+= xxxf 分别展开成正弦级数和余弦级数. 解 (1)求正弦级数. ,)( 进行奇延拓对 xf

πd

π 02 ( )sinnb f x nx x= ∫

πd

π 02 ( 1)sinx nx x= +∫)coscos1(2 π−ππ−

π= nnn

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−

=+π

⋅π=

!

!

,6,4,22

,5,3,122

nn

nn当

当

)0( π


(2)求余弦级数. ,)( 进行偶延拓对 xfπ

dπ0 02 ( 1)a x x= +∫ ,2+π=

πd

π 02 ( 1)cosna x nx x= +∫

)1(cos22 −ππ= nn ⎪⎩

⎪⎨⎧

=π

−

==

!

!

,5,3,14,6,4,20

2 nn

n

当

当

ππ 2 24 1 11 1 (cos cos 3 cos5 )

2 3 5x x x x+ = + − + + +L

)0( π≤≤ x

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

x


1+= xy

)7cos715cos

513cos

31(cos41

21 222 xxxxx +++π

−+π

=+


播放

1.基本概念；

2.傅里叶系数；

3.狄利克雷充分

条件；

4.非周期函数的

傅氏展开式；

5. 傅氏级数的意义——整体逼近

12.4.3 小结与思考题


1.基本概念；



条件；


傅氏展开式；




1.基本概念；



条件；


傅氏展开式；


小结与思考题


1.基本概念；



条件；


傅氏展开式；




1.基本概念；



条件；


傅氏展开式；


小结与思考题


播放

1.基本概念；



条件；


傅氏展开式；



a. 只有周期函数才能展成傅氏级数;

6、基本内容: 奇函数和偶函数的傅氏系数;正弦

级数与余弦级数;非周期函数的周期性延拓;

7、需澄清的几个问题.(误认为以下三情况正确)

b. 在上展成周期为的傅氏级数惟一; 2π[0,π]

c. 在上连续且只有有限个间断点时傅氏

级数处处收敛于 . ( )f x[ π,π]−


思考题

若函数 )()( xx ψϕ =− ，问： )(xϕ 与 )(xψ 的傅里叶系数 na 、 nb 与 nα 、 nβ ),2,1,0( !=n 之间有何关系？


思考题解答

π

πd

π1 ( )cosna x nx xϕ−= ∫

π

πd

π1 ( )cos( ) ( )t nt tϕ

−= − − −∫

π

πd

π1 ( )cosx nx xϕ

−= −∫

π

πd

π1 ( )cosx nx xψ

−= ∫ nα= ),2,1,0( !=n


π

πd

π1 ( )sinnb x nx xϕ−= ∫

π

πd

π1 ( )sin( ) ( )t nt tϕ

−= − − −∫

π

πd

π1 ( )sinx nx xϕ

−= − −∫

π

πd

π1 ( )sinx nx xψ

−= − ∫ nβ= − ),2,1( !=n

,nna α= .n nb β= −


思考题

[ π, π]−使函数成为上 ( ) ( )F t f At B= +

的函数。应如何选择常数，才能 ,A B

设函数是在闭区间上有定义 [ , ]a b( )f x

有定义的函数.


思考题解答

π , π ,B A a B A b− = + =

即 , .2π 2b a b aA B− += =

π , π ,B A b B A a− = + =

即 , .2π 2a b a bA B− += =


一、设周期为 π2 的周期函数 )(xf 在 π,π[ )− 上的表达式

为π

π,, 0,

( ) ( 0)., 0

bx xf x a b

ax x− ≤ >⎨≤


三、设 )(xf 是周期为 π2 的周期函数,它在 ),[ ππ− 上的表达

式为

π π, π ,2 2

π π( ) , ,2 2

π π, π.2 2

x

f x x x

x

⎧− − ≤ < −⎪⎪⎪

= − ≤


一、π( ) ( )4

f x a b= −

π

1

21

[1 ( 1) ]( ) ( 1) ( )cos sinn n

n

b a a bnx nxn n

−∞

=

⎧ ⎫− − − − ++ +⎨ ⎬

⎩ ⎭∑

π( (2 1) , 0, 1, 2, )x n n≠ + = ± ± L .

二、1.π ππ e e

π π 211 1 1 ( 1)( ) cos2 1

n

nf x nx

n

− −∞

=

+ − − −= +

+∑

πe

π 211 ( 1) 1 ( 1)[ ]sin

1

n n

n

n nxn n

−∞

=

− + − − −+ +

+∑ ( π πx− < < ).

课堂练习题答案

2. π,ππ1

1

2( ) ( 1) sin ( )nn

f x nxn

∞+

=

= − −∑ .


三、 nxnnn

xfn

n

sin]2

sin2)1([)(1

2

1

∑∞

=

+ ππ

+−

=

),2,1,0,)12(( !±±=π+≠ nnx

四、 nxnnn

xf n sin]2)2()1[(4)( 32

3∑ −π

−−π

=

)0( π


12.4.3 任意傅里叶级数

,2lT =∵ .2lTπ

=π

=ω∴

定理

式为则它的傅里叶级数展开定理的条件

满足收敛的周期函数设周期为

,)(2 xfl

0

1

( 0) ( 0) π π( ) ( cos sin ),2 2 n nn

af x f x n x n xs x a bl l

∞

=

− + += = + +∑

)sincos(2 10 xnbxnaa n

nn ϖω∑

∞

=

++

代入傅氏级数中


为其中系数 nn ba ,1 π( )cos d , ( 0,1,2, )

l

n l

n xa f x x nl l−

= =∫ L1 π( )sin d , ( 1,2, )

l

n l

n xb f x x nl l−

= =∫ L

,)()1( 为奇函数如果 xf 则有

1

( 0) ( 0) π( ) sin ,2 nn

f x f x n xs x bl

∞

=

− + += =∑

0

2 π( )sin d ,l

nn xb f x x

l l= ∫其中 ),2,1( !=n


,)()2( 为偶函数如果 xf 则有

0

1

( 0) ( 0) π( ) cos ,2 2 nn

af x f x n xs x al

∞

=

− + += = +∑

0

2 π( )cos dl

nn xa f x x

l l= ∫其中 ),2,1,0( !=n

证 ,lxz π=令 lxl ≤≤− ,π≤≤π−⇒ z

),()()( zFlzfxf =π

=设 .2)( 为周期以 πzF

0

1( ) ( cos sin ),

2 n nna

S z a nz b nz∞

=

= + +∑


0

1

π π( ) ( cos sin )2 n nna n ns x a x b x

l l

∞

=

= + +∑

π

π

π

π

1 ( )cos d ,π1 ( )sin d .π

n

n

a F z nz z

b F z nz z

−

−

=

=

∫

∫

其中

1 π( )cos d ,

1 π( )sin d .

l

n l

l

n l

na f x x xl l

nb f x x xl l

−

−

=

=

∫

∫

其中

)()( xfzFlxz =π=∵


例 6 设 )(xf 是周期为 4的周期函数,它在 )2,2[−

上的表达式为⎩⎨⎧


2

0

1 πsin d2 2n

nb k x x= ⋅∫ )cos1( π−π= nnk

,,6,4,20

,5,3,12

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=π=

!

!

n

nnk

当

当

)25sin

51

23sin

31

2(sin2

2)( !+π+π+π

π+=∴

xxxkkxf

),4,2,0;( !±±≠+∞


例 7 将 ( )( ) 10 5 15f x x x= − < < 展开成傅氏级数.

解 ,10−= xz作变量代换5 15x< < ,55


),2,1,0(,0 !== nan5

0

2 π( )sin d5 2n

n zb z z= −∫,10)1(

π−=

nn ),2,1( !=n

,5

sin)1(10)(1∑∞

=

π−π

=n

n znn

zF ( 5 5).z− < <

∑∞

=

−π−

π=−∴

1)]10(

5sin[)1(1010

n

n

xnn

x

1

10 ( 1) πsin ,π 5

n

n

n xn

∞

=

−= ∑ (5 15).x< <

x

( )S zy

5− 50 1510g g gg


另解 15

5

1 π(10 )cos d5 5n

na x x x= −∫

15

5

1 π(10 )sin d5 5n

nb x x x= −∫

15 15

5 5

π 1 π2 cos d cos d5 5 5n nx x x x x= −∫ ∫ ,0=

15

0 5

1 (10 )d5

a x x= −∫ ,0=

10( 1) ,π

n

n= − ( 1)n ≥

∑∞

=

π−π

=−=1 5

sin)1(1010)(n

n

xnn

xxf故

)155(


以 2l 为周期的函数的傅里叶级数为

0

1

π π( ) ( cos sin ),2 n nna n x n xf x a b

l l

∞

=

= + +∑1 π( )cos d , ( 0);

l

n l

n xa f x x nl l−

= ≥∫1 π( )sin d , ( 1).

l

n l

n xb f x x nl l−

= ≥∫

10.3.4 复数形式的傅里叶级数


代入欧拉公式 i ie ecos ,2

t t

t−+

=i ie esin ,2i

t t

t−−

=

0

1

π π( ) ( cos sin )2 n nna n x n xf x a b

l l

∞

=

= + +∑π π π πi i i i0

1e e e e

2 2 2

n x n x n x n xn nl l l l

n

a a ib∞ − −

=

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦∑

π πi i0

1

i ie e .

2 2 2

n x n xn n n nl l

n

a a b a b∞ −

=

⎡ ⎤− += + +⎢ ⎥

⎣ ⎦∑


),3,2,1( !=nπ πi i

01

( ) e e .n x n xl l

n nn

f x C C C∞ −

−=

⎡ ⎤= + +⎢ ⎥

⎣ ⎦∑

,20

0aC =令 i ,

2n n

na b

C−

=i,

2n n

n na b

C C−+

= =

πi( ) e ,

n xl

nn

f x C∞

=−∞

= ∑πi1 ( )e d , ( 0, 1, 2, )

2

n xll

n lC f x x n

l−

−= = ± ±∫ L

（傅氏系数的复数形式）

（傅氏级数的复数形式）

于是


例 8 设 )(xf 是周期为 2的周期函数,它在 )1,1[− 上的表达式为 ( ) e xf x −= ,将其展成复数形式的傅氏级数.

解 1 i π

1

1 e e d2

x n xnC x

− −

−= ⋅∫

1 (1 i π)

1

1 e d2

n x x− +−

= ∫1

2 2

1 1 i π [e cos π ecos π]2 1 π

n n nn

−−= − ⋅ −+

2 2

1 i π( 1) sinh1,1 π

n nn−

= −+


i π2 2

1 i π( ) ( 1) sinh1 e ,1 π

n n x

n

nf xn

+∞

=−∞

−= − ⋅

+∑

),2,1,0,12( !±±=+≠ kkx

于是


小结与思考题

2、利用变量代换求傅氏展开式;

3、求傅氏展开式的步骤：

(1) 画图验证是否满足狄氏条件(收敛域,奇偶性);

(2) 求出傅氏系数;

(3) 写出傅氏级数,并注明它在何处收敛于 ).(xf

1、以 2l 为周期的傅氏系数;


4、傅氏级数的复数形式 πi

( ) e ,n xl

nn

f x C∞

=−∞

= ∑

πi1 ( )e d , ( 0, 1, 2, )2

n xll

n lC f x x n

l−

−= = ± ±∫ L

注意：傅里叶级数的两种形式，本质上一样．

复数形式较简洁且只用一个算式计算系数．

傅氏系数的复数形式


一、设周期为2的周期函数 )(xf 在一个周期内的表达式为

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧


三、将函数

π π,2 2( )

π 3ππ ,2 2

x xf x

x x

⎧− ≤ ≤⎪⎪

= ⎨⎪ − ≤ ≤⎪⎩

展开成

傅里叶级数 .

里叶级数．

展开成复数形式的傅．试将表达式为

上的的周期函数，它在是周期为四、设

) ( ) ( ) 1 , 1 [ 2 ) (

x f e x f x f

x - = -


课堂练习题答案

一、 +π

−=4

)(xf

∑∞

= ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

ππ

π−

+ππ

π

+π−−

122 sin

2cos21

cos]2sin2)1(1[

n

n

xnn

n

xnn

n

n

),2,1,0,212,2( !±±=+≠≠ kkxkx .


lxnn

nllxf nn

π−−−

ππ

+= ∑∞

=

cos])1(12

cos2[124

)(1

22

)0( lx ≤≤ .

三、 ∑∞

=

π−−

−π=

12 )]2

)(12cos[()12(

14)(n

xnn

xf

)0( lx ≤≤ .

二、 )0(sin2

sin14)(1

22 lxlxnn

nlxfn

≤≤π

⋅π

π= ∑

∞

=

；

π2

( 1) (1 π)( ) sinh1e .1 ( π)( 2 1, 0, 1, 2, )

nin x

n

inf xnx k k

∞

=−∞

− −=

+

≠ + = ± ±

∑L

四、

第七节 傅里叶级数 - beijing normal...

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