時系列予測システムの構築 - seinan-gu.ac.jpkojima/bjts/bjtsforecsystem_dvi.pdf · 5.3...

1

時系列予測システムの構築Box-Jenkins手法の適用

(BJTSforecSystem.tex)

小　島　平　夫西南学院大学商学部

[email protected]

2004 年 10 月 29 日

目次

1 はじめに 3

1.1 データファイルおよび本システムを構成する RATSプログラム ch.1-1 . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 単変量時系列予測システムの構成要素 ch.E0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1 B-J時系列分析手続きの流れ ch.E0a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2 何故単変量か ch.H-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 単変量から多変量へ：為替レート変動，企業意思決定そして消費者購買行動 ch.H-1 . . . . . . . . . 41.3.1 多変量時系列モデルへの拡張 ch.H0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 データの収集そして基本統計量 ch.A1b 52.1 応用例 A：日本法人企業業種別データの収集 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 応用例 B：日本円/米ドル為替レートデータの収集 ch.2-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3 円/ドルレートのプロット ch.A4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4 円/ドルレートの基本統計量 ch.B3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 2局面から成るモデル識別 ch.E1 123.1 前半局面：定常化 ch.E1a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.1.1 時系列トレンドの種類と定常化の方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2 後半局面：自己相関に依るパラメータの導入 ch.E1b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.3 ARIMA(p, d, q), 乗法型 SARIMA(p, d, q;P,D, s,Q)時系列モデル ch.DD4d . . . . . . . . . . . . . 14

3.3.1 SARIMAモデル (4)における定数項 c の意味 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.3.2 次数 (p, d, q;P,D, s, Q) の決定と倹約の原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.4 ARMA(p, q), 乗法型 SARMA(P, s, Q)：時系列の標本自己相関，標本偏自己相関のシミュレーション図示 ch.D2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.4.1 ARMA(p, q), 乗法型 SARMA(P, s,Q)時系列モデル ch.D2a . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.4.2 SacfSpacf.prgでシミュレーション図示 ch.D2b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.4.3 SACF, SPACFによる時系列モデルの特徴：ACF, PACFの形状との比較で . . . . . . . . . 16

3.5 円/ドルレート：BJidentify er.prgによる識別 ch.E3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4 推定と診断 ch.F1 20

2 目次

4.1 モデル診断 ch.F2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.2 円/ドルレート：推定と診断 ch.F4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.2.1 AO, PSに統計的処理を施さない：BJestimate er.prgによる ch.F4a . . . . . . . . . . . . 214.3 推定において，AO, PSに適切な統計的処理を施す：AO, PSの反復的検出法 ch.F4b . . . . . . . 24

4.3.1 基本モデル：小島 (1994, pp.90-94)ch.F4b1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.3.2 干渉モデル ch.F4b2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.3.3 異常値と水準シフト検出のための反復手続き：小島 (1994, pp.117-121)ch.F4b3 . . . . . . 264.3.4 AO, PSに適切な統計的処理を施す：BJestimate erAOPS.prgによる (外側反復 1回目)ch.F4B 314.3.5 AO, PSに適切な統計的処理を施した後：外側反復 2回目以降でのモデル識別 (BJiden-

tify erAOPS.prg)；モデル推定 (BJestimate erAOPS.prg) ch.F4c . . . . . . . . . . . . . . 384.3.6 干渉モデル (44)の推定 ch.F4b55 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5 予測 ch.G1 685.1 対数系列の多期間先予測 ch.G1a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.2 原系列の多期間先予測：2つの注意すべき点 ch.G1c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.3 時系列モデルによる予測の実際 ch.G2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.3.1 二つのタイプの予測精度測定 ch.G2a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.4 円/ドルレート予測の干渉モデル (47)とモデル (15)の比較 ch.G3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.4.1 予測プログラム BJforecast er.prg：二つの予測モデルの予測精度の比較 ch.G3a . . . . . . . 735.4.2 実行結果 ch.G3b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.4.3 予測精度の比較 ch.G3c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6 PPP説に基づく為替レート予測 ch.H 786.1 何故，単変量ではなく VARモデリング？共和分？誤差修正？：PPP説との関連で . . . . . . . . . 78

6.1.1 Enders (2004) on Cointegration and Error Correction (EC) . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.1.2 Johansen(1988) on a multivariate VAR-based cointegr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.1.3 Harris (1995) on deterministic compnents in vector ECM (5.3): Intervention events

to be embodied in the vector ECM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816.1.4 MacDonald and Marsh (1994) on PPP, VAR with EC, multivariate model to test for

cointegration, and Random Walk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816.2 PPP理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836.3 実質為替レートの変動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866.4 実質為替レートの構造変化 (確定的非定常性)の時系列モデリング . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

7 おわりに 91

3

1 はじめに

1.1 データファイルおよび本システムを構成するRATSプログラム ch.1-1

Macintosh G4の Fetchで，RATSファイルをアップロードする時の「形式」に注意：

1. *.prg, *.src, *.datファイル：テキスト，として．

2. *.wksファイル：生データ，として．

これで，Windows PCで，ダウンロード後のファイルがWinRATSで正常に使える (10/28/2004)．データファイルそして本システムを構成するすべてのRATSプログラムは http://www.seinan-gu.ac.jp/ kojima/BJTS/からダウンロードできる．Windows PCでダウンロードし保存する要領は以下の通り (Windows XP使用で，IEが効率的 10/28/2004)：

1. *.prg, *.wksファイル

(a) Netscape：*.prg, *.wksファイルを右クリック→「リンクターゲットに名前を付けて保存...」→保存

(b) IE：*.prg, *.wksファイルを左クリック→保存

2. *.src ファイル：Netscape，IEいずれでも：*.src ファイルを左クリック→保存

3. *.datファイル

(a) Netscape：*.datファイルを右クリック→「リンクターゲットに名前を付けて保存...」→保存

(b) IE：*.datファイルを右クリック→「対象をファイルに保存...」→保存

本論文で取り上げる順に，為替レートデータとの関連で，時系列予測システムを構成する RATSプログラム名は以下の通り (斜字体の erを含むファイルは，為替レートデータ専用に作成されたもの)：

*.prg *.src 関連節

Stats er.prg hist.src histscatter.src 2.2/2.3/2.4 (グラフ，基本統計量)

RandSample.prg hist.src 3.4.1 (ホワイトノイズの図示)

SacfSpacf.prg bjidentCF.src 3.4.1/3.4.2 (モデル識別に有用)

BJidentify er.prg bjident.src 3.5

BJestimate er.prg bjest er.src histnew.src kolmtest.src 4.2.1

BJidentify erAOPS.prg bjident.src 4.3.5

BJestimate erAOPS.prg bjest erAOPS.src histnew.src kolmtest.src 4.3.4/4.3.5

InterventionModel er.prg bjest erIntrvModel.src 4.3.6

BJforecast er.prg bjfore1 er.src bjfore2 er.src 5.4.1/5.4.3

本論文で扱う為替レートデータファイル RF JY USD.wksについては第 2節で触れる．http://www.seinan-gu.ac.jp/ kojima/BJTS/に置いている，(為替レートに限定しない，汎用性のある)RATS

ファイルは次表の通り：

*.prg *.src

Stats.prg hist.src histscatter.src

RandSample.prg hist.src

SacfSpacf.prg bjidentCF.src

BJidentify.prg bjident.src

BJestimate.prg bjest.src histnew.src kolmtest.src

BJforecast.prg bjfore1.src bjfore2.src

4 1. はじめに

1.2 単変量時系列予測システムの構成要素 ch.E0

予測に用いられる時系列モデルを単に予測モデルと呼ぶ．

単変量時系列予測システムは大きく「過去から現時点までの情報分析」と「情報分析を踏まえた将来分析」の

二つから成る：前者は予測モデルの「識別」および「推定と診断」，後者は推定モデルによる「予測」がそれぞれ

統計的内容となっている．これらの要素は，Box and Jenkins(1976) (B-J: ボックス-ジェンキンス)が提唱した 1変量時系列分析 (B-J型 1変量時系列分析)を構成している．

1.2.1 B-J時系列分析手続きの流れ ch.E0a

B-J型 1変量時系列分析の手順は，３つの基本ステップから成っている (以下は西南学院大学商学部経営学科協議会 (2004,pp.116-127)を修正・圧縮したものである)：

ステップ 0 現時点までのデータ収集

↓ステップ 1 現時点までの情報分析＜ 1＞：識別

↓ステップ 2 現時点までの情報分析＜ 2＞：推定と診断；干渉分析も含まれる

↓ステップ 3 情報分析を踏まえた将来分析：予測

1.2.2 何故単変量か ch.H-2

単変量モデルが本論文のコアを成す．確かに，単変量時系列モデルは理論的根拠に乏しい．しかし，なおもそ

れをコアとして取り上げる主な理由は，ステップ 2で導入されることになる干渉分析 intervention analysisにある．干渉事象 intervention eventsに起因する時系列の外れ値，レベルシフトの統計分析を織り込んだ時系列モデリングが有用であることを，予測の観点から，多変量より単変量枠組みでより簡明に明示，確認することができ

る．その上で，多変量モデルで干渉分析を組み入れる試みをする；但し，困難な問題にぶつかるので，最終的に

は迂回するような分析を行うことになるが．

1.3 単変量から多変量へ：為替レート変動，企業意思決定そして消費者購買行動 ch.H-1

しかし，以下のように，為替レート時系列モデルは自ずと単変量から多変量へと拡張される．

為替レート変動は，外国通貨建ての貿易財価格に関する企業の意思決定に重要な影響を与える要因の一つであ

る：いわゆる，為替レート転嫁 exchange-rate pass-through問題である．Kojima (19??)がそのミクロ経済理論分析を行っている．他方で，国内価格と外国価格の相対的比率 (自国通貨，外国通貨のその国での購買力)が為替レートの決定要因，との仮説がある：いわゆる，PPP説である．小島 (19??)がその理論モデル分析を干渉分析intervention analysisの観点から行っている．そこで，為替レート決定のモデル (単変量，多変量いずれにしても)を考察し，そのモデルを踏まえて「予測」を行うことで，企業の経営意思決定 (特に為替レート転嫁)そして各国消費者の購買行動 (特に PPP)について，興味深い含意が導かれよう．二国の価格要因が入ってくることから，為替レート時系列モデルは自ずと単変量から多

変量へと拡張されることになる．多変量モデルについて前者はKojima (19??)に譲り，後者を本論文では触れる．

5

1.3.1 多変量時系列モデルへの拡張 ch.H0

PPP説 (構造モデル)に基づく為替レート予測を行うために VARモデリングを行い，その下で共和分，誤差修正を導入する．

2 データの収集そして基本統計量 ch.A1b

WWWホームページにおいて*.xls形式で提供のデータは，ウェブブラウザ上でそのリンクを scして保存．例：

1. キヤノン (投資家向け情報：財務情報：ヒストリカルデータ)．　

2. 財務省ウェブサイト「PRI　財務総合政策研究所　時系列データ検索メニュー」．

3. 国際通貨基金「国際金融統計」The IFS Online Service:Go visit the IFS Browser at http://www.imfstatistics.org/imf/　

(a) ここで Logon ID, Password入力 (但し，事前に有料登録が必要：詳細はこのページで Pricing Infor-mation/Subscribeをクリック；問い合わせは Contact Usで)．

(b) 但し，30日間有効の無料試用登録をすると便利．

(c) 大学研究者向けに低料金 (年間 35,000円程？？)で，CD-ROM版の毎月定期購読もできる．(公費による利用に適している．) 　

　

2.1 応用例A：日本法人企業業種別データの収集

例示の第一として，まず，財務省ウェブサイト「PRI　財務総合政策研究所　時系列データ検索メニュー」を使う：

1. 2004年 5月現在，Macintosh あるいは Windows で，InternetExplorer 5.01以上または NetscapeNavigator7.0以上を使って，財務省ウェブサイト「PRI　財務総合政策研究所　時系列データ検索メニュー」

http://www.fabnet2.mof.go.jp/

にアクセス．

2. 「法人企業統計調査　時系列データ検索メニュー」で「法人企業統計四半期別調査 (原数値)」をクリック．売上高 (当期末)時系列データ (単位百万円)を，同じ規模の三つの産業についてダウンロードするには，以下の順にクリック．

3. 最初の産業と規模選択について

(a) 「○ 1調査項目」タブ：当期末の+：損益の +：売上高 (当期末)，「(1)調査項目」：売上高 (当期末) 　

(b) 大蔵省 (法人企業統計調査：時系列データ・四半期別調査)．　

(c) 「○ 2業種：全産業，「(2)業種」：全産業　

(d) 「(3)規模」：10億円以上　

4. 次の産業と規模選択について

6 2. データの収集そして基本統計量 ch.A1b

(a) 「(1)調査項目」：同左

(b) 「○ 2業種：全産業の +：製造業，「(2)業種」：製造業　

(c) 「(3)規模」：同左　

5. 3番目の産業と規模選択について


(b) 「○ 2業種：全産業の +：製造業の +：電気機械器具，「(2)業種」：電気機械器具　

(c) 「(3)規模」：同左　

6. 列の追加ボタン



(b) 「○ 2業種：全産業の +：非製造業，「(2)業種」：非製造業　

(c) 「(3)規模」：同左　



(b) 「○ 2業種：全産業の +：非製造業の +：卸・小売業の +：小売，「(2)業種」：小売　

(c) 「(3)規模」：同左　

9. 検索：保存保存された csv 形式ファイルを Excelで開き，一旦 sales59-03.xlsとして保存 (csv 形式ファイルも，念のため，ダウンロードした時のままで適切なフォルダに入れておく)．この xlsファイルで，

(a) 先頭行に，「Original = csv形式ファイル名」

(b) 他の不要な行を削除し「1959年 7 - 9月」から始める

(c) 最左列全体を選択し，書式：セル...：ユーザ定義：yyyy.m.d．(RATS Version 5 User’s Guide, p.76をみよ．)

(d) 最左列の先頭セルに Qtrly入力．

(e) 直下のセルに 1番目のデータの四半期に相当する年月日を入力：ここでは 1959年第 3四半期なので，=DATE(1959,7,1)．

(f) 更にその下のセルに=DATE(YEAR(A2+92),MONTH(A2+92),1)と入力し，それを最後尾までコピー．(補足：月次データであれば 92ではなく 31を使う．RATS Version 5 User’s Guide, pp.75-79をみよ．)

(g) 2列目以降に産業名：All Mfg ElecMach NonMfg Retail

(h) ［xls形式は，RATSがWindows, Macで受付ず：5/14/04］そこで：

i. まず，先頭行「Original = csv形式ファイル名」を削除

ii. 次に，wks形式を選び「(...機能が失われてもいいので)はい」と答えて保存 (ファイル名＝ sales59-03.wks)．(wksについて補足：RATS Version 5 User’s Guide, pp.61-62,75-79をみよ．)その結果，sales59-03.wksは下表の通り．　

2.2. 応用例 B：日本円/米ドル為替レートデータの収集 ch.2-2 7

iii. しかし，wksファイルがWin, MacいずれのRATSでもうまく読み込めない 5/14/04 (原因不明；財務省からの csvファイルにバグ？)．そこで，テキスト (スペース区切り)形式を選び，拡張子をprnから datに修正した上で，「(...機能が失われてもいいので)はい」と答えて保存 (ファイル名＝sales59-03.dat)．その結果，sales59-03.datも下表の通り (注意：datファイルで，数値に桁区切りコンマがあってはならない！)．　

Qtrly All Mfg ElecMach NonMfg Retail

1959/7/1 2425685 1142501 166403 1283184 378031959/10/1 2513981 1183114 170763 1330867 61223... ... ... ... ... ...2003/7/1 128024886 55089797 12178295 72935089 104184422003/10/1 128735182 55741230 12047094 72993952 11103279

2.2 応用例B：日本円/米ドル為替レートデータの収集 ch.2-2

既述の国際通貨基金「国際金融統計」The IFS Online Service (無料試用登録)により例示する：

1. http://www.imfstatistics.org/imf/で Logon ID, Password入力．

2. “Retrieval Period: 1994 - 2003”直右の Changeボタンクリック．Frequency Retrieval Wizardで：

(a) Single Frequency → Monthly Frequency → Start Period: M1/1985 → End Period: M3/2004 → 表

→ SAVE

3. Country Tables → 国の選択．

4. SELECT欄で，ダウンロード対象のデータをチェック√．→ 右頭上で，+クリック→ 右隣の Retrieveボ

タンクリック→ 再度，同上の Retrieveボタンクリック

5. ダウンロード対象のデータが IFS Browser内に Excel 形式で用意される．それをクリックしてダウンロード．

6. RATS対応の Excelファイルを作成：RF JY USD.wksとして保存注意 (.xls形式はうまくいかず 6/29/04)：Stats er.prg...open data RF JY USD.xlsdata(format=xls,organization=row) 1986:1 2003:12 RF JY USD## IO19. The file does not have a valid Excel formatwksファイルで，

(a) 最左列の先頭セルにMonthly入力．

(b) 日付のセルは IFSで与えられた通りで良い．

(c) 変数名：RF JY USD

(d) ［xls形式は，RATSがMacで受付ず：6/29/04］そこで：

i. wks形式を選び「(...機能が失われてもいいので)はい」と答えて保存 (ファイル名＝RF JY USD.wks)．

ii. この wksファイルは以下の通りで，Macの RATSプログラム Stats er.prgで正常に読み込めた．　

Monthly M1 1985 M2 1985 ... M2 2004 M3 2004

RF JY USD 254.180 260.240 ... 106.548 108.623


2.3 円/ドルレートのプロット ch.A4

Stats er.prgによる実行結果．ここでの標本期間は 1985:1-2003:12と設定；2004:1-2004:3は予測期間とする．図 2から，原データ RF JY USDあるいはその 1次階差 DRF JY USDを分析するに際しては，円高不況期間

(1985:7-1986:11)の時系列構造変化を除くべきで，その後の 1987:1からを標本期間とすべきだろう；しかし，対数値 logRF JY USD，その 1次階差 DlogRF JY USDがモデリングの対象の場合，標本期間始期は 1985:1のままでよいであろう．(RATSでは，必要に応じて，smpl 1987:1 2003:12 を挿入して標本期間を変更できる．)しかし，logRF JY USDと DlogRF JY USDを図 2で 1985:1 2003:12全体見ると，急激な円高が観察される：

次表で，原データ RF JY USDについて * と記す：

1985:08 237.2100 1995:02 98.2430 1998:07 140.73401985:09 236.9500 1995:03 90.7886 1998:08 144.65501985:10 214.7300* 1995:04 83.6675* 1998:09 134.5940*1985:11 203.7200 1995:05 85.0970 1998:10 121.2980*1985:12 202.8200 1995:06 84.5295 1998:11 120.5820

これら「急激な円高」* は，外れ値 additive outlier (AO)，あるいは恒久的平均シフト permanent level shift(PS)，などと呼ばれるもので，それらの起因，内容は以下の通りである：1985:10は 1985年 9月のプラザ合意が起因；1995:04は同月に戦後最高値の円高米ドル 79円台；そして 1998:09あるいは 1998:10は (see http://www.seinan-gu.ac.jp/ kojima/hirao/apple.html)，The recent Rossian economic/financial crisis–significant depreciation ofthe currency Louvre on 8/17/98.Asia crisis (that started in July, 1997) − > Russia − > Latin America − > Indurstrial nations. Because

: The Rossian economic/financial crisis caused the sharp fall in the European (German, in particular), LatinAmerican, NYSE on 8/27-31/98 ,NYSE and GDP for 1995 on ,Asian , and Jpns stock prices on 8/28/98 .Note that the Rossian economic/financial crisis was essential ly caused by the vulnerability of the Russian

banks borrowing a huge amount from American and Eruopean banks. the Asian ecocomic crisis that startedback in 1997. [For ”Unstable Asian currencies”: Table : Highlights of yen dollar exchange rate and Jpn economy;Credit expansion and crunch (1970q1 - present); for ”Falling Stock Prices in Asia”: Plots : Recent Asian StockPrice Behavior: May, 1997 - August, 1998.]因みに，1999年 1月の欧州共通通貨ユーロの導入．AO, PSに対しては，後に統計的処理を施すことを試みる：詳細は第 2.4, 4.2節を参照．

2.4 円/ドルレートの基本統計量 ch.B3

第2.3節で指摘したように，原データRF JY USD，その1次階差DRF JY USDについては，smpl 1987:1 2003:12と設定する (従って標本の大きさは 204, 203となる)；対数値 logRF JY USD，その 1次階差 DlogRF JY USDをモデリングする際は，smpl 1985:1 2003:12のままでよい (従って標本の大きさは 228, 227となる)．但し，度数分布表，ヒストグラム作成時は，すべてのデータに共通に smpl 1987:1 2003:12と設定した．Stats er.prgによる実行結果：

2.4. 円/ドルレートの基本統計量 ch.B3 9

図 1 日本円/米ドルレート (IMF, IFS line RF)：上段＝生データ；下段＝その対数値

∗— C O M P U T E D R E S U L T S∗— Summary statiticsSeries Obs Mean Std Error Minimum MaximumRF JY USD 204 121.739242647 15.169933453 83.667500000 158.470000000Series Obs Mean Std Error Minimum MaximumDRF JY USD 203 -0.229285714 3.485597688 -13.296000000 7.550000000Series Obs Mean Std Error Minimum MaximumDLOGRF JY USD 227 -0.0037731872 0.0293944759 -0.1040125119 0.0806558131∗— Frequency table, histogram and scatter∗— %nobs = 204For RF JY USD :Endpoints of Class Intervals:bar low high counts1 83.66750 89.06397 42 89.06397 94.46043 13 94.46043 99.85690 84 99.85690 105.25336 135 105.25336 110.64983 326 110.64983 116.04630 127 116.04630 121.44276 318 121.44276 126.83923 299 126.83923 132.23569 2510 132.23569 137.63216 1511 137.63216 143.02863 1412 143.02863 148.42509 1113 148.42509 153.82156 714 153.82156 159.21802 2中略続く

Raw RF_JY_USD1985:m1 - 2003:m12

1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 200375

100

125

150

175

200

225

250

275

Logged RF_JY_USD1985:m1 - 2003:m12

1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 20034.4

4.6

4.8

5.0

5.2

5.4

5.6


図 2 外国為替市場レート (IMF, IFS line RF)：上段は生データ (日本円/米ドルレート)，下段はその対数値；右列は左列の

1 次階差．

考察を対数値 logRF JY USDの 1次階差 DlogRF JY USDに絞って，標本期間は smpl 1985:1 2003:12, (円高不況期間 1985:7-1986:11 の時系列構造変化を除いた) 1987:1 2003:12 両方を見てみる．図 2 のプロット(DlogRF JY USD)そして図 3のヒストグラム (DlogRF JY USD)とも照らして考察しよう．

RF_JY_USD

RF_JY_USD1985:m1 - 2003:m12

1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001 200375

100

125

150

175

200

225

250

275

Logged RF_JY_USD1985:m1 - 2003:m12

1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001 20034.4

4.6

4.8

5.0

5.2

5.4

5.6

First differences of RF_JY_USD: DRF_JY_USD1985:m2 - 2003:m12

1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001 2003-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

First differences of logged RF_JY_USD: DlogRF_JY_USD1985:m2 - 2003:m12

1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001 2003-0.125

-0.100

-0.075

-0.050

-0.025

-0.000

0.025

0.050

0.075

0.100

2.4. 円/ドルレートの基本統計量 ch.B3 11

図 3 RF JY USD，その 1次階差，対数値とその 1次階差：ヒストグラムと散布図；標本期間=1987:1 2003:12．(ここの散

布図には意味はない)

第 2.4節から続き∗— Inferential statiticsStatistics on Series DLOGRF JY USDMonthly Data From 1985:01 To 2003:12Observations 227 (228 Total - 1 Skipped/Missing)Sample Mean -0.0037731872 Variance 0.000864Standard Error 0.0293944759 SE of Sample Mean 0.001951t-Statistic -1.93400 Signif Level (Mean=0) 0.05436231Skewness -0.49149 Signif Level (Sk=0) 0.00267253Kurtosis 0.68640 Signif Level (Ku=0) 0.03765982Jarque-Bera 13.59517 Signif Level (JB=0) 0.00111647Minimum -0.1040125119 Maximum 0.080655813101-%ile -0.0813129299 99-%ile 0.050485159905-%ile -0.0547243706 95-%ile 0.040451201710-%ile -0.0414957821 90-%ile 0.031715848925-%ile -0.0214428401 75-%ile 0.0155029644Median -0.0009260167

Statistics on Series DLOGRF JY USDMonthly Data From 1987:01 To 2003:12Observations 204Sample Mean -0.0019992925 Variance 0.000817Standard Error 0.0285860127 SE of Sample Mean 0.002001t-Statistic -0.99894 Signif Level (Mean=0) 0.31901475Skewness -0.43653 Signif Level (Sk=0) 0.01151549Kurtosis 0.62665 Signif Level (Ku=0) 0.07253421Jarque-Bera 9.81677 Signif Level (JB=0) 0.00738442Minimum -0.1040125119 Maximum 0.080655813101-%ile -0.0787056288 99-%ile 0.050567650105-%ile -0.0524666097 95-%ile 0.0404553834

Histogram forRF_JY_USD

Class Intervals2 4 6 8 10 12 14

0

8

16

24

32

-15 -10 -5 0 5 10

80

100

120

140

160

Histogram forDRF_JY_USD


0

14

28

42

4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1

80

100

120

140

160

4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1

-15

-10

-5

0

5

10

Histogram forlogRF_JY_USD


0

12

24

36

-0.12 -0.06 0.00 0.06

80

100

120

140

160

-0.12 -0.06 0.00 0.06

-15

-10

-5

0

5

10

-0.12 -0.06 0.00 0.06

4.4

4.6

4.8

5.0

5.2

Histogram forDlogRF_JY_USD


0

9

18

27

36

45

12 3. 2局面から成るモデル識別 ch.E1

1985:1 2003:12について，負値の Skewness, 正値の Kurtosisはそれぞれ，分布が若干左に歪んでいること，尖りがあることを意味し，前者は図 3のヒストグラム (DlogRF JY USD)とも合致している．Jarque-Beraも含めて 1987:1 2003:12の方が，確率値 (Signif Level)で見て若干改善されているようだが，まだ満足にはほど遠い．その起因は，1985:1 2003:12全体で見て，第 2.3節で触れた AO, PSの存在にある．AOと PSの考察は第 4.2節で行う．

3 2局面から成るモデル識別 ch.E1

時系列予測モデルの識別は 2つの局面から成る．

1. 前半局面では，原系列 {Xt} の定常性をチェックし，非定常であれば定常化のための作業を行う．

2. 後半では，得られた定常系列に対してモデル候補 (通常複数)の選択を行う．

識別すべきモデルは定常性条件，反転可能性条件を満たさねばならない．

3.1 前半局面：定常化 ch.E1a

式 (3)の d,D, s を決定する手続きが (非定常な)原系列 {Xt} を定常化する作業となっている．経済時系列の場合，一般に原系列 {Xt} には確率的な非定常性 (例えば，トレンドの存在，季節的な変動)が観

察されることから，dおよび (または) Dの値を 1 (まれに 2)に設定することが多い．非定常性の検出には三通りある：

1. 原系列の非定常性はグラフの上では次のように現れる：いま，原系列 {Xt} の SACFと SPACFをプロットして，

(a) もし両方ともになだらかに減衰し，併せて (月次データの場合) 6ないし 12ヵ月毎に又は (四半期次データの場合)四半期毎に山ができていれば，d = D = 1を強く示唆している；もしそのような山がなければ，d = 1, D = 0．

(b) もし両方ともになだらかな減衰はないが，上述のような山は観察されるのであれば，d = 0,D = 1を強く示唆している；もしそのような山もなければ，d = D = 0 (この場合は原系列がホワイトノイズと考えられる)．

2. 非定常性の統計的処理 (d,D の決定：特に d = 0か d = 1か，D = 0かD = 1かの検定)として，厳密に単位根検定，季節単位根検定で行う．山本 p.229．

3. 時系列モデルが定常性の条件，反転可能性条件を満たしているかのチェックは第??節のようにも行える．

さて，原系列の標本の大きさを Tとすると，階差系列 {Wt} のデータ数 (有効標本数)は T ′ = T − d− sD で

ある．T ′ は，RATSの実行結果で “Usable Observations”と表示される．原系列が時間の経過とともにその分散が大きくなっている，または指数トレンドが確認されるような場合，自

然対数による変換をまず施しておくことが望ましい．すなわち，

X ′t = logXt (1)

とした上で，この対数系列 {X ′t} に対して上の三通りのいずれかにより非定常性問題を処理する．そしてその処

理後のWt = (1−B)d(1 −Bs)DX ′t を考察対象系列とする．

この対数変換後の Wt は，特に 1次連続階差 (d = 1，D = s = 0)とあわせれば，原系列 Xt の対前期成長率と

して経済的解釈されるし (田中計量経済学 p.162)，季節階差 (d = 0, D = 1, 月毎データでは s =12，または四半期毎データでは s =4)をとっていれば，Xt の対前年同期からの成長率と解釈できる．これらの変化率系列は通常

定常性を満たしており，特にその平均が時間を通じてほぼ一定となることが大きな特徴であろう．

3.2. 後半局面：自己相関に依るパラメータの導入 ch.E1b 13

3.1.1 時系列トレンドの種類と定常化の方法

小島 (2001,pp.7-8)より．トレンドおよびその削除による定常化の方法を整理しておく：

この準備的確認は以下の一般論に沿ったものである：時系列トレンドは，(i)それが確率的トレンドのみから成る場合，(ii)確定的トレンドと確率的トレンド両方から成る場合，(iii)確定的トレンドのみから成る場合に分けて考察できる．いずれの形を採るかによって，トレンド削除方法が異なり，以下のように，適切な方法によっての

み時系列の定常化が達成される．

(i)には，ランダムウォークモデルのなかでは，ドリフト無しのランダムウォークモデル Xt = Xt−1 + at (atはホワイトノイズ)が当てはまる．その 1次差分方程式の一般解 Xt = X0 +

∑ti=1 ai (X0 は与初期条件)におい

て∑ti=1 ai が確率的トレンドとなっており，これが非定常な要因となって Xt が時系列推移している．この場合

1次階差 (差分) Xt −Xt−1 = at は定常となり，従って階差がここでは適切な確率的トレンドの削除方法となる．

(ii)は，ランダムウォークモデルのなかでは，ドリフト付きランダムウォークモデル Xt = α+Xt−1 + at が当

てはまり，その一般解 Xt = X0 +αt+∑ti=1 ai (X0 は与初期条件)において αtが確定的トレンド，

∑ti=1 ai が確

率的トレンドとなっており，これらが Xt の非定常な要因となっている．この場合 1次階差 Xt −Xt−1 = α+ at

は定常となり，従ってここでも階差が二つのトレンドを適切に削除してくれる．

以上二つの時系列は (階差系列が定常であることから)「階差定常」と呼ばれるものである．しかし，(iii)は異なる．このモデルとしては例えばXt = X0 + αt+ at が考えられる．この 1次階差は反転不

可能な (自己回帰モデルに変換不可能な) Xt −Xt−1 = α + at − at−1 となる：明らかに階差は不適切なトレンド

削除方法となる．適切な方法はむしろ detrending である：上の回帰式を推定し得られる定常な残差 at が確定的

トレンドの無い時系列 (the detrended process)となるので，これについて更に時系列モデリングを進めることになる．このタイプの時系列は (確定的トレンド—例えば αt—からの差が定常であることから)「トレンド定常」と呼ばれるものである．

さて，複数の変数にみられるトレンドは，回帰式において変数間の線形関係を含意するような見せかけの相関，

見せかけの回帰を結果する可能性がある．これを避けるために，トレンドをその型に応じて上述のように削除し

たい．(削除前に要する)トレンドの型の判別は，トレンド定常な変数 (i ii)の場合，それがトレンド定常か否かはそのプロットから比較的容易である (但し，(i i)と (iii)の差異はプロットからのみでは判別し難いかも知れない)；しかし，階差定常の変数 (i), (ii)についてはまずそれが階差定常であるか否か統計的チェックとして単位根検定を要する．

3.2 後半局面：自己相関に依るパラメータの導入 ch.E1b

次に，識別の後半局面では，そのような定常な系列 Wt について後の第 3.3節で導く (シミュレーション実験の図 4, 5と連結した)表 1を参照して，時系列モデルの候補を選択する．具体的には，原系列 {Xt} あるいは対数系列 {X ′

t} の時系列モデルを識別するという観点からみると，原系列の SACFと SPACFのプロットに基づいて，SARIMA(p, d, q; P, D, s, Q) モデルを識別することになる；定常な系列 Wt の時系列モデルを識別するという観点からみると，その定常系列の SACFと SPACFのプロットに基づいて，定常系列の SARMA(p, q; P, Q) モデルを識別することになる．例えば，標本平均が 0 (したがって Wt = Wt )であるような，成長率系列 {Wt} について SACFと SPACFを

プロットした結果，いずれにも統計的に有意な自己相関値がどのラグについても認められなければ，p = q = P= Q = 0 なるモデルを識別することになるであろう．そのようなモデルでは，成長率は (定常な)ホワイトノイズそのものであり (図 4上左に描かれている)，したがって式 (1)で与えられる (階差前で対数変換後の) X ′

t が (非定常な)ランダムウォークに従っていると考えられることになる．成長率のモデル識別の観点からすれば，最も単純で，いわゆる倹約の原理 (the principle of parsimony)に最も

沿った形のランダムウォークモデルが他の複雑な経済時系列モデル (??)の識別の基準ともなっている．すなわち，


SACFと SPACFに統計的に有意な値が観察されれば，それは AR，MA，SAR，または SMAパラメータの必要性を強く示唆しており，もはや Wt がホワイトノイズとは考えにくくなる．

3.3 ARIMA(p, d, q), 乗法型 SARIMA(p, d, q; P, D, s, Q)時系列モデル ch.DD4d

いま，過去から現時点までの時系列 (原系列と呼ぶ) Xt が手元にあり，それにトレンドがあるとして定常性条件 (??)を満たさず，非定常であるとする (図??, ??左列に例示)．その d 次階差系列

Wt = (1 −B)dXt (2)

が定常性条件 (??), (??) を満たすとする (通常 d=1；図??, ??右列に例示)．そこで原系列の理論的な予測モデルとして，次のような「ありま ARIMA(p, d, q)」モデル

“Ap× [Xt の d 次階差] = Mq× at”

が考えられる．Iは Integratedの頭文字．又，手元の時系列 Xt にトレンドのみならず，季節変動があるとして (図??, ??左列に例示)，その (d,D) 次階

差系列 (ここで dは連続階差次数，Dは季節階差次数)

Wt = (1 −B)d(1 −Bs)DXt (3)

が定常性条件 (??), (??) を満たすとして (T ′ = T − d− sD)，原系列の理論的な予測モデルは，次のような乗法型「さりま SARIMA(p, d, q;P,D, s,Q)」モデル

“Ap,P,s× [Xt の (d,D) 次階差] = Mq,Q,s× at”

である．これは Wt を使えば式 (??)のように書け，それを書き換えた式 (??)において，Wt を (3)で置き換えてXt を明示し，次のように書ける (この表記の応用は第 5.1節で具体的に取り上げる)：

(1 −B)d(1 −Bs)DXt = c−p∑i=0

P∑j=0

Not{i=0,j=0}

φiΦj(1−B)d(1 −Bs)DXt−i−js +q∑i=0

Q∑j=0

θiΘjat−i−js. (4)

3.3.1 SARIMAモデル (4)における定数項 c の意味

式 (??)により，定数項 cをモデルに含めることのテクニカルな意味は，(3)の階差系列 Wt が平均 µ �= 0をもつ可能性を考慮するためであるが (Nelson 1973, p.174)，それでは(階差前の)原系列 {Xt} にとっての経済的な意味は何か？それは，原系列の上方ないし下方トレンドの存在にある (Nelson 1973, p.63)．逆に含めないことのテクニカルな意味は，Wt が平均 µ = 0をもつことに他ならないが，それは原系列が上方ないし下方いずれのトレンドも持たないことを含意している (Nelson 1973, p.63)．

3.3.2 次数 (p, d, q;P,D, s,Q) の決定と倹約の原理

(図??, ??左列のようにトレンドをみせる)実際の時系列 Xt に先の表 1を当てはめる際は，まず (Wt に対する前に)原系列 Xt の SACFと SPACFをプロットして，もし両方ともなだらかに減衰しているのであれば，トレンドなどがあるのでそれを取り除く必要があり，そのために階差次数 d = 1 とする．続けて，その (トレンドなどがみられない) 1次階差系列 Wt について表 1を参考にして，次数 (p, d, q;P,D, s, Q) を決めモデル識別を行うことになる．倹約の原理に従って，できるだけ小さな次数 ─より単純な予測モデル─を目指す．

3.4. ARMA(p, q),乗法型SARMA(P, s,Q)：時系列の標本自己相関，標本偏自己相関のシミュレーション図示 ch.D2 15

3.4 ARMA(p, q), 乗法型 SARMA(P, s, Q)：時系列の標本自己相関，標本偏自己相関のシミュレーション図示 ch.D2

母自己相関，母偏自己相関それぞれに対して標本自己相関，標本偏自己相関がある；時差 l の関数とみて標本自

己相関関数 (sample autocorrelation function; 以下 SACF)又は標本コレログラム，標本偏自己相関関数 (samplepartial autocorrelation function; 以下 SPACF)，という (SACF, SPACFの式は第??節で示す)．本節ではシミュレーション実験により SACF, SPACFのグラフを描く．

3.4.1 ARMA(p, q), 乗法型 SARMA(P, s, Q)時系列モデル ch.D2a

本節では，以下の RATSプログラム SacfSpacf.prgでシミュレーション実験により，図??, ??の右列のような時系列 Wt を特定の時系列モデルに従って生成し，図示された SACF, SPACFの視覚的特徴を時系列モデルと関連づける．SacfSpacf.prgは，実行結果として後掲の図 4と図 5を描き出す．この実験で SacfSpacf.prgは，標本の無作為抽出の箇所が第??節の RandSample.prgに同じであるが，Rand-

Sample.prgで図??に描かれた無作為標本 (Random Sample 1など)は，ここでは (時系列モデルの枠組みでは)ホワイトノイズと呼ばれるものである．

次節の実験で取り上げる時系列モデルは第??節で詳述されるが，要点は次の通りである：E[Wt] = µとして，平

均からの偏差を Wt =Wt−µとする．以下，平均からの偏差 Wt を用いる．一般に Wt の「あーま」ARMA(p, q)モデルは

Ap×Wt= Mq× at.

これは ARMA(p, q)と表記され，p と q はそれぞれ，Ap に含まれる AR (自己回帰)パラメータが p 個，Mq に

含まれるMA (移動平均)パラメータが q 個であることを意味する．atは，トレンドがみられないなどのいくつか

の特異な性質を持ち，純粋にランダムな動きをするホワイトノイズと呼ばれるもの．SacfSpacf.prgでは正規分布に従うホワイトノイズを扱うが，一般に確率分布は特定せず「独立で同一の分布に従う (i . i. d.)」となっている．つまり，at は分散が σ2

a の i.i.d.ホワイトノイズである．ホワイト (白色)と呼ばれる所以は，光りが白い理由はどの成分も混じっているからであり，ここの at も同様に「殆ど一様にどの波も混じっている」ことから「白色」

の冠が付く (赤池 pp.229-230)．AR(p), MA(q), ARMA(p, q)モデルはそれぞれ

Wt =p∑i=1

φiWt−i + at, (5)

Wt = at −q∑i=1

θiat−i (6)

Wt =p∑i=1

φiWt−i + at −q∑i=1

θiat−i. (7)

一般に Wt の「さーま」SARMA(P, s, Q)モデルは

AP,s×Wt =MQ,s× at.

これは SARMA(P, s, Q)と表記され，P と Q はそれぞれ，A に含まれる SAR (季節自己回帰)パラメータが P

個，M に含まれる SMA (季節移動平均)パラメータが Q 個であること，そして s は季節変動の周期 (すなわち 1季節の期間の長さ)(=月次データであれば 12, 四半期データであれば 4)，を意味する．SAR(P, s), SMA(Q,s), SARMA(P, s,Q)モデルはそれぞれ

Wt =P∑i=1

ΦiWt−is + at, (8)


Wt = at −Q∑i=1

Θiat−is (9)

Wt =P∑i=1

ΦiWt−is + at −Q∑i=1

Θiat−is. (10)

一般に Wt の乗法型「さーま」SARMA(p, q;P, s,Q)モデルは

Ap,P,s×Wt = Mq,Q,s× at.

これは乗法型 SARMA(p, q;P, s, Q)と表記され，「乗法型」はモデルが次のようなパラメータ φ,Φ そして θ,Θ の乗法形式であることを意味する：

φ(B)Φ(Bs)Wt = θ(B)Θ(Bs)at. (11)

ここで φ(B),Φ(Bs), θ(B),Θ(Bs) は，バックシフト演算子 Bの AR多項式，SAR多項式，MA多項式，SMA多項式 (φ0 = Φ0 = θ0 = Θ0 = −1)で，次のようにも表される：

φ(B) = 1−p∑i=1

φiBi, Φ(Bs) = 1−

P∑i=1

ΦiBis, θ(B) = 1−q∑i=1

θiBi, Θ(Bs) = 1−

Q∑i=1

ΘiBis.

次節の SacfSpacf.prgでは，µ = 0 と設定し Wt =Wt と仮定する．

3.4.2 SacfSpacf.prgでシミュレーション図示 ch.D2b

図 4と図 5はシミュレーションデータによる SACF, SPACFを描いている．図中の破線は ± 2× [標本自己相関，標本偏自己相関の標準誤差]である；この標準誤差は第??節で触れる．破線を越える高さの棒グラフは (5%水準で)有意な自己相関，偏自己相関である．

3.4.3 SACF, SPACFによる時系列モデルの特徴：ACF, PACFの形状との比較で

図 4と図 5の SACF, SPACFは表 1のACF, PACFの形状に概ね合致している．(ACF, PACF, SACF, SPACFについては第??節で再述する．)

表 1 時系列モデルの特徴

モデル ACF (コレログラム) 　 PACF SACF (標本コレログラム),　 SPACF

季節パラメータを含まないモデルホワイトノイズゼロ　ゼロ図 4上左AR(p) 徐々に消滅　ラグ p以降，切断図 4上央右，下左MA(q) ラグ q 以降，切断徐々に消滅図 4下央右ARMA(p, q) 徐々に消滅徐々に消滅図 5上左央季節パラメータを含むモデルSAR(P, s) s毎に突出で徐々に消滅ラグ sP 以降，切断図 5上右AR(p)×SAR(P, s) s毎に突出で徐々に消滅ラグ p + sP 以降，切断図 6左SMA(Q, s) ラグ sQ以降，切断徐々に消滅図 5下左MA(q)×SMA(Q, s) ラグ q + sQ以降，切断徐々に消滅図 6右SARMA(p, q;P, s, Q) 徐々に消滅徐々に消滅図 5下央右


図 4 シミュレーションデータによる SACF, SPACF．破線は ±２× [標本自己相関，標本偏自己相関 Fの標準誤差]．

Data (top), SACF (middle), SPACF (bottom)[Data: d (consecutive)=0, D (seasonal)=0, span (effective for D > 0)=0]

Normal, N(0,std^2), white noise with std= 0.70000

period20 40 60 80 100

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

lags0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

AR(1) with phi = 0.80000

period25 50 75 100

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

lags0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

AR(1) with phi = -0.80000

period25 50 75 100

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

lags0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00


AR(2) with phi1 phi2 = 0.70000 -0.50000

period25 50 75 100

-2.7

-1.8

-0.9

-0.0

0.9

1.8

2.7

3.6

lags0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

MA(1) with theta = 0.80000

period25 50 75 100

-2.4

-1.6

-0.8

-0.0

0.8

1.6

2.4

lags0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

MA(2) with theta1 theta2 = -0.80000 -0.80000

period25 50 75 100

-3.2

-2.4

-1.6

-0.8

-0.0

0.8

1.6

2.4

3.2

lags0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00


図 5 シミュレーションデータによる SACF, SPACF(前図からの続き)．


ARMA(1,1) with phi theta = 0.80000 -0.50000

period25 50 75 100

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

lags0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

ARMA(1,1) with phi theta = -0.80000 0.50000

period25 50 75 100

-7.5

-5.0

-2.5

0.0

2.5

5.0

lags0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

SAR(1,4) with sphi = 0.80000

period20 40 60 80 100

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

lags0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00


SMA(1,4) with stheta = -0.70000

period20 40 60 80 100

-2.4

-1.6

-0.8

-0.0

0.8

1.6

2.4

lags0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

SARMA(1,4,1) with sphi stheta = 0.80000 -0.50000

period20 40 60 80 100

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

lags0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

SARMA(1,4,1) with sphi stheta = -0.80000 0.50000

period20 40 60 80 100

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

lags0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00


図 6 シミュレーションデータによる SACF, SPACF(前図からの続き)．


AR(1)*SAR(1,4) with phi sphi = 0.80000 -0.80000

period50 100

-3.6

-2.7

-1.8

-0.9

-0.0

0.9

1.8

2.7

lags0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

MA(1)*SMA(1,4) with phi sphi = 0.80000 -0.80000

period50 100

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

lags0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

20 4. 推定と診断 ch.F1

図 7 円対ドルレート (RF JY USD)の対数値系列について SACF, SPACF プロット．破線は ±２× [標本自己相関，標本

偏自己相関の標準誤差]．

3.5 円/ドルレート：BJidentify er.prgによる識別 ch.E3

RF JY USDについて標本期間を 1985:1 2003:12と設定して，実行結果は以下の通り．第??節の図 4に戻って，実行結果の図 7と比較すれば，Logged RF JY USDの 1次階差 DlogRF JY USDの

時系列モデルは，MA(1)と識別してよいであろう：Xt = RF JY USDとして，

X′t = logXt

Wt = (1−B)X′t (12)

Wt = c + (1 − θB)at (13)

RATS表記:Wt = c + (1 + θB)at. (14)

1次の移動平均パラメータがあることで，Wt (=1次階差 DlogRF JY USD)がホワイトノイズではない，つまり，X ′t (=logRF JY USD)がランダムウォークではない，と識別されている．これは，もしかすると第??節で指摘した AOと関係しているかも知れない．この点は，次章のモデル推定・診断で考察したい．

4 推定と診断 ch.F1

モデル推定の段階にはいってまず，第??節で識別されたモデルの初期推定を行い，初期推定値の定常性 (ARパラメータの場合)/反転可能性 (MAパラメータの場合)のチェックを行う；次にこれらの条件を満たすパラメータの初期推定値を用いて (但し，RATSでは反復的推定にあたり初期値を必ずしも設定しなくてもよい)，第??節で

識別された (複数の)候補モデルの反復的推定を行う．初期推定および初期推定値の定常性/反転可能性チェックの具体的な詳細は小島 (1994,付録A.1)を参照，また，与

えられた初期推定値を用いて反復的推定がどのようなステップを踏んで行われるかについては小島 (1994,pp.11-16)に譲る．

推定されたモデルを診断した後，必要に応じてモデルの改良を施した上で再度推定し，最終的に推定の観点か

ら最適な 1つ (又は良好と判断される複数)のモデルを選ぶことになる．以下ではこの「推定，診断，改良，モデル選択」の過程を詳述する．

qt/yr

lags0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

qt/yr

lags0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

4.1. モデル診断 ch.F2 21

4.1 モデル診断 ch.F2

モデル診断では，モデル (??)のホワイトノイズ {at} が正規分布に従うという仮定 (ホワイトノイズの正規性仮定)を新たに設け，この仮定のもとで残差の分布と独立性をチェックする．

分布と独立性について一言一般に，多変量正規分布に従っている (即ち，同時分布が正規である)複数の確率変量 (ここではホワイトノイズ {at})が独立であるための必要十分条件は，それらが無相関である (即ち，同時分布の共分散行列が対角である)ことである (Ferguson 1967,p.110)．ここで注意点は，周辺分布は正規であるが同時分布は非正規であるような複数の確率変量は，たとえそれらが無相関でも独立であるとは必ずしも言えない

(Ferguson 1967,p.111)．さて，診断で確認すべき重要な点：

(i)各パラメータは統計的に有意性かどうか．(ii)パラメータ推定値は，定常性の条件，反転可能性条件を満たしているか．(iii)残差プロットに異常な動きがみられないか，周期性は存在しないか．(iv)残差の正規性は得られているか．得られていれば，更に残差系列相関が無いことを確認することにより，系列的独立性が推論できよう (上の「分布と独立性について一言」に留意)．(v)新たにパラメータを追加することによってモデルを改良する余地が残っているかどうか．倹約の原理に従ったモデル単純化の可能性はあるか．念のため第??節のモデル識別に戻ってみて，そこでの SACFと SPACFのチェックで重要な見落としはなかったか．

これらの諸点をすべてチェックする過程で多くの統計量を用いることになる．そのおのおのは第??節の実行結果で詳しく触れる．

4.2 円/ドルレート：推定と診断 ch.F4

第 3.5節で識別したMA(1)モデル (13)を推定し診断する．AO, PSに統計的処理を施さない場合，施す場合二つに分けて推定診断し，後の章で両者の予測精度を比較してみる．

4.2.1 AO, PSに統計的処理を施さない：BJestimate er.prgによる ch.F4a

実行結果 ch.F4a2 この図および実行結果 (後掲)で，左に歪んだ残差の分布は，第??節で触れた 3時点での急激な円高 (つまり AO又は PS)に起因する．(従って，AO, PSに対して適切な統計的処理を施さない限り，残差正規性は得難いであろう．)図 8 (特に残差 SACF)および下掲実行結果の診断から，以下のモデルが改良されたモデルとなる：

Wt = (1 − θ1B − θ11B11)at (15)

RATS表記:Wt = (1 + θ1B + θ11B11)at. (16)


図 8 Jpns Yen against US Dollar (RF JY USD)：上から，モデル (13)の階差系列 Wt (Monthly Data From 1985:02 To

2003:12)，モデルの残差系列，残差ヒストグラム，モデルの SCCF プロット，残差 SACF プロット．

∗— C O M P U T E D R E S U L T S∗— BJ model estimationSTART=STARTL= 2end=endL= 228(A)Box-Jenkins - Estimation by Gauss-NewtonConvergence in 6 Iterations. Final criterion was 0.0000012 < 0.0000100Dependent Variable TRANSFRMMonthly Data From 1985:02 To 2003:12Usable Observations 227 Degrees of Freedom 225Centered R**2 0.981036 R Bar **2 0.980952Uncentered R**2 0.999968 T x R**2 226.993Mean of Dependent Variable 4.8439736226Std Error of Dependent Variable 0.2005543498Standard Error of Estimate 0.0276795548Sum of Squared Residuals 0.1723854943Durbin-Watson Statistic 2.003803Q(36-1) 43.923790Significance Level of Q 0.14329078Variable Coeff Std Error T-Stat Signif*****************************************************************************∗1. CONSTANT -0.003730004 0.002511424 -1.48521 0.138886632. MA{1} 0.369112348 0.062037337 5.94984 0.00000001中略(B) Check the normality of RESIDS.中略Statistics on Series RESIDSMonthly Data From 1985:02 To 2003:12

Jpns Yen against US Dollar (RF_JY_USD : Data (top), Residuals (2nd), Resids.Histog. (3rd), SCCF (4th), Resids.SACF (bottom)[d (consecutive)= 1 , D (seasonal)= 0 ; (AR, MA)=( 0 , 1 ); (SAR, SMA)=( 0 , 0 )]

qt/yr1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003

-0.125-0.100-0.075-0.050-0.025-0.0000.0250.0500.0750.100

qt/yr

1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003-0.100-0.075

-0.050-0.025-0.0000.0250.0500.075

class intervals

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150

10

20

30

40

lags

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-1.00-0.75-0.50-0.250.000.250.500.751.00

lags

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-1.00-0.75-0.50-0.250.000.250.500.751.00

lags0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

-1.00-0.75-0.50-0.250.000.250.500.751.00

lags0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

-1.00-0.75-0.50-0.250.000.250.500.751.00

4.2. 円/ドルレート：推定と診断 ch.F4 23

修正モデル (15)の実行結果は以下の通り (残差正規性は依然として棄却されている)：

図 9 Jpns Yen against US Dollar (RF JY USD)：上から，モデル (15)の階差系列 Wt (Monthly Data From 1985:02 To

2003:12)，モデルの残差系列，残差ヒストグラム，モデルの SCCF プロット，残差 SACF プロット．

Jpns Yen against US Dollar (RF_JY_USD : Data (top), Residuals (2nd), Resids.Histog. (3rd), SCCF (4th), Resids.SACF (bottom)[d (consecutive)= 1 , D (seasonal)= 0 ; (AR, MA)=( 0 , 11 ); (SAR, SMA)=( 0 , 0 )]

qt/yr1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003

-0.125-0.100-0.075-0.050-0.025-0.0000.0250.0500.0750.100

qt/yr

1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003-0.100-0.075

-0.050-0.025-0.0000.0250.0500.075

class intervals

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150

16

32

48

lags

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-1.00-0.75-0.50-0.250.000.250.500.751.00

lags

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-1.00-0.75-0.50-0.250.000.250.500.751.00

lags0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

-1.00-0.75-0.50-0.250.000.250.500.751.00

lags0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

-1.00-0.75-0.50-0.250.000.250.500.751.00


RATS出力表 (第 4.3節でも用いる)

∗— C O M P U T E D R E S U L T S中略(A)Box-Jenkins - Estimation by Gauss-NewtonConvergence in 7 Iterations. Final criterion was 0.0000037 < 0.0000100Dependent Variable TRANSFRMMonthly Data From 1985:02 To 2003:12Usable Observations 227 Degrees of Freedom 225Centered R**2 0.981603 R Bar **2 0.981521Uncentered R**2 0.999969 T x R**2 226.993Mean of Dependent Variable 4.8439736226Std Error of Dependent Variable 0.2005543498Standard Error of Estimate 0.0272630176Sum of Squared Residuals 0.1672362285Durbin-Watson Statistic 1.954515Q(36-2) 24.774498Significance Level of Q 0.87632979Variable Coeff Std Error T-Stat Signif*****************************************************************************∗1. MA{1} 0.3430948547 0.0609216294 5.63174 0.000000052. MA{11} 0.2092140716 0.0624985945 3.34750 0.00095571中略(B) Check the normality of RESIDS.中略Statistics on Series RESIDSMonthly Data From 1985:02 To 2003:12Observations 227Sample Mean -0.0024686445 Variance 0.000734Standard Error 0.0270898900 SE of Sample Mean 0.001798t-Statistic -1.37298 Signif Level (Mean=0) 0.17111928Skewness -0.43935 Signif Level (Sk=0) 0.00726358Kurtosis 0.70307 Signif Level (Ku=0) 0.03325086Jarque-Bera 11.97820 Signif Level (JB=0) 0.00250592中略Studentized Range = 6.35765(C) SCCF Check: Large SCCF at a lag l < 0 below suggests the AR term at l, whose value is close to that SCCF. 中略Ljung-Box Q-StatisticsQ(1 to 20) = 56.1869. Significance Level 0.00000833Q(-20 to -1)= 18.3203. Significance Level 0.43474601Q(-20 to 20)= 272.0368. Significance Level 0.00000000(D) SACF Check: Large resids SACF at a lag l below suggests the MA term at l, whose value is close to negative of that SACF.Ljung-Box Q-StatisticsQ(20) = 16.0372. Significance Level 0.58995251中略******************************************************************************∗Under the null hypothesis of a NORMAL distribution for RESIDS ∗with Mean -0.002 and St. Deviation 0.027 ∗* * The corrected KOLMOGOROV-SMIRNOV Statistic is : 0.038 ∗* * At sig. level 0.05and for T = 227 the tabulated critical value is: 0.059 ∗******************************************************************************∗

4.3 推定において，AO, PSに適切な統計的処理を施す：AO, PSの反復的検出法 ch.F4b

修正モデル (15)によっても，残差正規性は依然として棄却されている．やはり AO, PSに適切な統計的処理を施す必要が示唆される．そこで以下，小島 (1994, pp.90-94,117-121; 2001, pp.14-16) に沿って統計分析を進める(次章では，小島 (1990, pp.85-86,89,98-99; 1994, p.121)に沿って，AOと PSの統計的処理が予測精度に与える効

4.3. 推定において，AO, PSに適切な統計的処理を施す：AO, PSの反復的検出法 ch.F4b 25

果を測定することになる)．

4.3.1 基本モデル：小島 (1994, pp.90-94)ch.F4b1

いま，{Zt} が変則的動きをまったく含まない時系列を表し，(11)に同じ SARIMA(p, d, q;P,D, s, Q)モデルに従うとする．すなわち

φ(B)Φ(Bs)Wzt = θ(B)Θ(Bs)at

ここで，Wzt = Wzt − µ，µ は Wzt の期待値，Wzt = (1 −B)d(1 −Bs)DZt．このモデルは定常性と反転可能性条件を満足したものであると仮定する．

4.3.2 干渉モデル ch.F4b2

次に，変則を含むであろう観測時系列 {X′t} (これは，第 3.1節の式 (1)の表記に従って，対数変換後の系列)が

観測不能な {Zt} とは次のような干渉モデルに従った関係にあると仮定する (Box, et al. 1994, ch. 12; RATS UG,pp.277-280)．

X′t =

m∑k=1

ωdk

{νk(B)ξ

(dk)t

}+Zt (17)

これは，階差変換後の表現では

Wt =m∑k=1

ωd′k

{νk(B)ξ′(d

′k)

t

}+Wzt (18)

ここで，Wt は式 (3)によって求められる X ′t の階差変換後系列，m = {X ′

t} に含まれる変則性の総数，dk＝ k 番

目の変則の発生時点 (これは階差前の X ′t に適用される)，ωdk = k 番目の変則の初期インパクトの大きさで (ωd′

k

も同様)，ξ(dk)t ＝ 1 (t = dk のとき); = 0 (t �= dk のとき)，そして d′

k = dk − d− sD (これは階差後の Wt に適用

される)，ξ′(d′

k)t = (1 −B)d(1 −Bs)Dξ(dk)

t ．

式 (17)と (18)の νk(B) は k 番目の変則がどのようなタイプかによって次のような異なる構造をもつとする．

(1)　AO

もし k 番目の変則が AOならば，νk(B) = 1 (19)

である．これを m = 1とした (17)に代入すれば

X ′t = Zt, t �= dk

Xdk= ωA,dk

+ Zdk, t = dk

(20)

ωA,dk はAOの初期インパクトを表す．この AOの形状は小島 (1994, p.92, 図 4.1パネルＡ)に描かれている．

(2)　 IO

もし k 番目の変則が IOであれば，νk(B) = ψ(B) (21)

ここで

ψ(B) =∞∑i=0

ψiBi ( ψ0 = 1)


は，基本モデル (11)を誤差ショック形式 (the random-shock form) Wzt = ψ(B)at と書き換えたときの ψ 重みで

ある (第??章の式 (66)を参照)．(21)を，m = 1とした (17)に代入して

X ′t = Zt, t < dk

X′dk+i = ωI,dk

ψi + Zdk+i, i = 0, 1, ...(22)

ここで ωI,dkは IOの初期インパクトで，これは IOの場合イノベーション系列 {at} のAOであるので，IOモデ

ルは

Wzt = ψ(B){at + ωd′

kξ′(d′

k)t

}(23)

とも与えられることに留意したい．

IOが観測時系列 (t ≥ dk について)に及ぼす影響は， ψi (i = 1, 2, ...) の値にも依存しており，それらの大きさによってさまざまな IOの形状が考えられる．IOが，以下で定義する２つの水準シフトに似た様相を呈することに特に留意したい．小島 (1994, p.92, 図 4.1パネル B)をみよ．

(3)　 2つの水準シフト：PSとTS

変則的な動きがもしずれ (水準シフト)の場合，２つの型，恒久的なずれ (permanent level shift; 以下 PS)および一時的なずれ (transient level shift; 以下TS)を区別する．もし k 番目の変則が PSならば (|B| < 1 と仮定して)，

νk(B) =1

1−B=

∞∑i=0

Bi (24)

これを (17)に代入すれば (m = 1として)，IOと同じ (22)の第１式が成り立つと同時に，(22)の第２式においてψi = 1とした

X′dk+i = ωP,dk

+Zdk+i, i = 0, 1, ... (25)

が得られる (ωP,dk は PSの初期インパクト)．時点 dk で生じたずれの大きさ ωP,dk が，その後恒久的に続いてい

るような時系列の構造変化を PSは表している (小島 (1994, p.92, 図 4.1パネルC)をみよ)．もし k 番目の変則が TSならば，

νk(B) =1

1− δB=

∞∑i=0

(δB)i (26)

ここで，0 < δ < 1なる制約があって，TSが観測時系列 (t > dk について)に及ぼす影響は時とともに指数的に弱くなってゆき，X は限りなく Z に近づいてゆく．すなわち，(26)を (17)に代入すれば (m = 1として)，IOと同じ (22)の第１式が成り立つと同時に，

Xdk+i = ωT,dkδi +Zdk+i, i = 0, 1, ... (27)

が得られる (ωT,dkは TSの初期インパクト)．小島 (1994, p.92, 図 4.1パネル D)がこのような TSを描いている．

4.3.3 異常値と水準シフト検出のための反復手続き：小島 (1994, pp.117-121)ch.F4b3

前章のモデル (17)または (18)において変則 (すなわち平均のシフト)の総数 m およびその発生時点 dk (または d′

k)は未知である．この節ではそれらの統計的探索手続きを詳述する．この手続きは外側と内側の２つのループから成っており，４つの変則 AO，IO，PS，TSをそれぞれ A, I,P, T と略記する．


外側反復

〈1〉　 (対数変換後)観測時系列 {X′t} (t = 1, ...,N) において平均シフトがまったく生じていないと仮定する．す

なわち，SARIMAモデル (11)において Zt = X′t (階差変換後ではWzt = Wt) と仮定して，その時系列について

(11) を同定，推定，診断する．適切と診断された推定モデルのパラメータ推定値，残差系列 {at} および残差分散 {σ2

a} はステップ〈3〉, 〈5a〉で用いるが，ここで Zt と残差系列の逆予測 (t = 0,−1,−2, ...,−(V − 1)) を行う (以下，小島 1994,pp.11-14)：

小島 (1994)で筆者作成の推定プログラムでは，Marquardt(1963)の非線型最小 2乗推定アルゴリズムがコアとなっている．このアルゴリズムに組み込まれた重要な概念の 1つに，Box and Jenkinsによって初めて提案された逆予測または後方予測 (back-forecasting)がある (RATSでは逆予測は使われていない：Tom Maycock, 7/15/04；RATS, RM, pp.19-20, UG, p.212参照)．この概念は，MAモデル推定時の初期値 (the starting values)設定問題に対する一解決法として考え出されたものである．この逆予測に基づく計算手続きを以下整理しておく．

同定された K個のパラメータを含む K次の初期推定値ベクトルを β0 = (φ0,θ0,Φ0,Θ0) とする．ここで φ, θ, Φ, Θ はそれぞれ同定された AR，MA，SAR，SMAパラメータのみを含んだベクトルで，ゼロベクトルもあり得る．しかし以下においては表記の単純化のために，すべてのパラメータを

含むと仮定する (すなわち，K = p + q + P + Q; p, q, P,Q ≥ 1)．この初期推定値ベクトル β0 のもとで定常で反転可能と判断された階差系列 {Wt} について，乗法

型 SARMAモデル (11)を次のようなステップを踏んで推定する．

(1)　後方計算：後方モデルによる後方漸化式後方モデル (backward model)を

φ(F )Φ(F s)Wt = θ(F )Θ(F s)et (28)

と表現する．ここで φ(F ) = −∑pi=0 φiF

i, Φ(F s) = −∑Pi=0ΦiF

is, θ(F ) = −∑qi=0 θiF

i, Θ(F s) =−

∑Qi=0ΘiF

is, F iWt = Wt+i，そして et は i.i.d.誤差項である．この後方モデル (28)に対して，(11)は前方モデル (forward model)とも呼ばれ，前方モデルで生成される Wt は，同様にこの後方モデル

でも生成される．この推定手続き (1)でのポイントは，後方モデル (28)を標本期間以前の逆予測のために用いることである．

(1a)　後方モデルについて W = (W1, ..., Wn), γ0 = (β0,W ) と表記して，次の計算を行う．t ≤ 0および t ≥ n− (p+ sP ) + 1 については

E[et

∣∣γ0]= 0; (29)

t = 1, ..., n− (p+ sP ) については

E[et

∣∣γ0]= Wt −

p∑j=1

φ0jWt+j −

P∑j=1

Φ0j Wt+js +

p∑j=1

φ0j

P∑k=1

Φ0kWt+j+ks

+q∑j=1

θ0jE

[et+j

∣∣γ0]+

Q∑j=1

Θ0j E

[et+js

∣∣γ0]

−q∑j=1

θ0j

Q∑k=1

Θ0kE

[et+j+ks

∣∣γ0]. (30)

(1b)　後方漸化式 (backward recursion) (29)と (30)の結果を用いて，標本期間以前の観測値 (thepresample observations)Wt, t = 0,−1,−2, ...を次のように逆予測する．式 (30)より，t = 0,−1,−2, ...


については (ただし，(29)に留意せよ)，

E[Wt

∣∣γ0]=

p∑j=1

φ0jE

[Wt+j

∣∣γ0]+

P∑j=1

Φ0jE

[Wt+js

∣∣γ0]

−p∑j=1

φ0j

P∑k=1

Φ0kE

[Wt+j+ks

∣∣γ0]+ E

[et

∣∣γ0]

−q∑j=1

θ0jE

[et+j

∣∣γ0]−

Q∑j=1

Θ0j E

[et+js

∣∣γ0]

+q∑j=1

θ0j

Q∑k=1

Θ0kE

[et+j+ks

∣∣γ0]. (31)

いま，t ≤ −V について (V > 0)，E

[Wt

∣∣γ0]≈ 0 (32)

が得られたとしよう．このとき，Wt の逆予測値 E[Wt

∣∣γ0]の数はV個 (t = 0,−1,−2, ....,−(V − 1))

求められたことになる：このV=Qzero - 1 (第??節の RATSプログラム bjest erAOPS.src，第??節のRATS出力表 Aで)．求められた (標本期間以前の)逆予測観測値が初期値として用いられて，次のステップで残差の計算

が行われる．

(2)　前方計算：前方モデルにより残差を計算するための前方漸化式前方モデル (11)により，各時点 t = 1 − V, ...,−1, 0, 1, 2, ..., n の残差を計算する (t = 1− V, ...,−1, 0 の残差は，特に逆予測残差と呼ばれる)．ここで，t = 0,−1,−2, ..., 1− V については逆予測観測値の式 (31)を用い，t = 1, 2, ..., nについては (標本期間内の)観測値を用いる．前方漸化式 (forward recursion)は，t ≤ −V については， (32)により

E[at

∣∣γ0]≈ 0; (33)

1− V ≤ t ≤ 0 については，

E[at

∣∣γ0]= E

[Wt

∣∣γ0]−

p∑j=1

φ0jE

[Wt−j

∣∣γ0]−

P∑j=1

Φ0jE

[Wt−js

∣∣γ0]

+p∑j=1

φ0j

P∑k=1

Φ0kE

[Wt−j−ks

∣∣γ0]+

q∑j=1

θ0jE

[at−j

∣∣γ0]

+Q∑j=1

Θ0jE

[at−js

∣∣γ0]−

q∑j=1

θ0j

Q∑k=1

Θ0kE

[at−j−ks

∣∣γ0]; (34)

1 ≤ t ≤ n については，

E[at

∣∣γ0]= Wt −

p∑j=1

φ0jWt−j −

P∑j=1

Φ0j Wt−js +

p∑j=1

φ0j

P∑k=1

Φ0kWt−j−ks

+q∑j=1

θ0jE

[at−j

∣∣γ0]+

Q∑j=1

Θ0jE

[at−js

∣∣γ0]

−q∑j=1

θ0j

Q∑k=1

Θ0kE

[at−j−ks

∣∣γ0]. (35)

〈2〉　ステップ〈5〉で必要な臨界値 C を設定する．一般に 3 ≤ C ≤ 4 (竹内・大橋 1981；Tiao 1985；Tsay 1988)．(具体的な設定法については後述の留意事項 (ii)をみよ.)


内側反復

〈3〉　前ステップ (ステップ〈1〉または〈5a〉)で得られた残差系列，残差分散およびパラメータ推定値を用いて，４つの各変則性について次の尤度比検定統計量 λit (i = A, I,P, T ) をすべての時点 t = 1, 2, ..., n (ここでn = N − d− sD)について求める．

λit =ωitρitσa

ここで ωit は (変則の型が i の)初期インパクト ωit の近似最尤推定量である (各 i の ωit と ρit そして λit の詳

細については下記留意事項 (i)をみよ)．〈4〉　各 i＝ A, I,P, T について λit max = max{|λit| : t = 1, 2, ..., n} を求め，次に k 番目の変則候補について，

λk = max{λit max : i＝A, I, P, T} とする．候補の型は AO，IO，PSまたは TSのいずれかとなっており，その発生時点は，モデル (17)では dk = t max + d+ sD，モデル (18)では d′k = t max となる．〈5a〉　もし λk ≥ C ならば，k 番目の変則が時点 d′k = t max で検出されたことになる．そして：

• モデル (17)または (18)に従って，新たに k 番目の変則についての調整を施した時系列 X∗t を，その変則の

タイプを考慮して次のように作成する．

X∗t = X′

t − ωdk

{νk(B)ξ

(dk)t

},

dk = t max + d+ sD (t = 1, ...,N) (36)

• さらに，(λk ≥ C である限り)この新しい X∗t に対してステップ〈1〉のモデルとパラメータ推定値をそのま

ま適用して，この時系列について残差系列および残差分散を新たに計算され (以前に求めた逆予測がここの計算で必要となろう)，ステップ〈3〉に戻って内側反復を続ける (外側反復には未だ戻らない)．例示：表 2の外 1で，内 2−内 5．

〈5b〉　もし λk < C であるとき，k 番目の候補は，結局，統計的に有意な変則としては判定されず，時点

d′k = t max では変則的な動きはまったく発生していないことになる．但し：

• 内側反復が 1回目であれば：

– 残差系列の正規性が未だ得られていないのなら，C の値を少し小さくし，内側反復を続ける．例示：

表 2の外 1で，内 1から内 2へ．

– 残差系列の正規性が確認できているなら，内側反復および外側反復ともに終了したことを意味し，検

出手続きはここで終了．例示：表 2の外 5で，内 1．

• 内側反復が 2回目以降であれば：

– C の値をこれ以上小さくすることはせず内側反復を一旦終了させ，検出手続きをさらに続けて次に外

側反復のステップ〈1〉に戻る (そこでは X ′t として上の X∗

t を用いることになる)．例示：表 2の外 1で，内 5．

反復手続きの留意事項

(i) ステップ〈3〉の λit は，小島 (1994)の 3.2.2節と 3.3節 (3)で示した単純で実用的な検定統計量そのものである (AOの場合，それは小島 (1994)の (3.36)であった)．ここの ωit は，小島 (1994)第 3章の表記では，i = A

のとき ∆A に，i = I のとき ∆I に相当する．そこで，λit は各 i について次のように求められる．

i＝ A については

ωAt =1ρ2At

at −

n−t∑j=1

πjat+j

, ρ2

At = 1 +n−t∑j=1

π2j , (37)

ωAn = an. (38)


ここで πj は，(11)の反転形式 (the inverted form) π(B)Wzt = at における π(B) = −∑∞j=0 πjB

j の π 重み

(π0 = 0)である．一般に，季節項を除いたARIMA(p, d, q)モデルについて ϕ(B) = φ(B)(1−B)d = −∑p+di=0 ϕiB

i

(ここで ϕ0 = −1)として，ϕ(B) = θ(B)π(B) により π 重みは次を反復的に解くことによって求められる (Box,et al.(1994, ps.99,107)みよ)：

πj = 0, j < 0,

ϕj = 0, j > p+ d,

πj = θ1πj−1 + · · ·+ θqπj−q + ϕj, j > 0.

第 4.2.1節の修正モデル (15)については，p = 0, d = 1, q = 11 (但し θ2, ..., θ10 = 0)，そして (ϕ(B) = (1 −B) =−

∑1i=0 ϕiB

i なので) ϕ1 = 1;更に，ϕj = 0, j > 1 なので，

πj = θ1πj−1 + θ11πj−11 + ϕj , j > 0.

従って，

π1 = 1− θ1 (39)

πj =

{θ1πj−1, j = 2, ...,10

θ1πj−1 + θ11πj−11, j = 11, ..., n− d′k.(40)

注意：RATS表記では θi が −θi に変わる；RATSプログラムではこの点を留意のこと．式 (40)に，第 4.2.1節の修正モデル (15)についての出力表からの θ1 = 0.34309, θ11 = 0.20921 を代入する．因みに，以下すべての i について ωin = an.)i＝ I については

ωIt = at, ρIt = 1. (41)

i = P のときは

ωPt =1ρ2Pt

at −

n−t∑j=1

ηj at+j

, ρ2

Pt = 1 +n−t∑j=1

η2j . (42)

ここで η 重みは η(B) = −∑∞j=0 ηjB

j に含まれており，その値は関係式 η(B) = π(B)/(1 −B) を満たすように決まる．すなわち，η0 = −1, ηj = πj + ηj−1, j ≥ 1．i = T のときは P のときと同様に

ωTt =1ρ2Tt

at −

n−t∑j=1

ηjat+j

, ρ2

Tt = 1 +n−t∑j=1

η2j . (43)

ただし，η 重みは 4.2.2節の式 (26)の δ を含む関係式 η(B) = π(B)/(1−δB)を満たす．すなわち，η0 = −1, ηj =πj + δηj−1, j ≥ 1．さて，λit の分子に含まれる ωit の分散 σ2

ω は

σ2ω =

σ2a

ρ2it

.

小島 (1994)より：ここで ρ2it は各 i について上に与えられている通りで，それを用いれば，例えば i = A のとき

σ2ω が，AR(p)モデル (3.1)と (3.3)を仮定する 3.2.2節で求めた σ2

∆Aに一致し，i = I のときは 3.3節 (3)で求め

た σ2∆Iに一致することが容易に確認できる．

(ii) ステップ〈2〉において C は，まず第１回目の外側反復で 4.0と設定するが，内側反復第１回目で，もしこの値では変則が１つも検出されない場合は小さくして 3.5 (必要なら更には 3.25)とし，内側反復 2回目以降を行


う．２回目の外側反復以降は前回の C 以下の値をとることになろう (表 2をみよ)．C のとるべき最小値を 3.0以上のどの値にすべきかの判断は，残差系列の正規性が初めて確認されたときに行い，最小値はそのときの C の値

とする (表 2をみよ)．Box, et al. (1994, p.472)も述べているように，一般に C = 3.0, 3.5, 4.0 .(iii) 小島 (1994)では，型判別の統計的意思決定ルールについて 3.5節でベイズ分析を行った．上の反復的型判

別手続きのステップ〈3〉で注意すべき点は，t = n ではすべての i について共通な λin = an/σa が得られ，した

がってその時点では変則の型判別は不可能ということである．

(iv) 最終外側反復ステップ〈1〉で計算された X∗t はモデル (11)または (17)での (観測不能な)理論的 Zt の推

定値にほかならない．

ところで，µ = 0 とした (11)の誤差ショック形式を (17)に代入すると，

X′t =

m∑k=1

ωdk

{νk(B)ξ

(dk)t

}+

θ(B)Θ(Bs)/φ(B)Φ(Bs)(1 −B)d(1−Bs)D

at. (44)

反復検出終了後に，この形の干渉モデルを，ωdk, k = 1, 2, ...,m，および時系列パラメータ φ, θ, Φ, Θ のすべて

について同時推定することになる．この際パラメータの初期値として，反復手続きで得られたすべての ωdkおよ

び最終外側反復のステップ〈1〉で得られた時系列パラメータ推定値を用いるのである (このような同時推定は第4.3.6節で行う)．(v) 反復手続きの帰結である干渉モデル (44)は，果たして変則を検出する前のモデルに比べてより優れたモデルと言えるであろうか．この問題は，第 5, 5.3節で行うような標本期間外予測の精度の観点から検討することができる．種々の時系列について変則の検出が確かに時系列モデルの予測精度改良に貢献しているという報告が，

残差分散の基準を用いた Tiao(1985)とTsay(1986, 1988)，l 期先予測誤差の基準によったChen and Tiao (1990)らによってなされている．これらの予測パフォーマンスの考察は第 5.4節で行う．

4.3.4 AO, PSに適切な統計的処理を施す：BJestimate erAOPS.prgによる (外側反復 1回目)ch.F4B

AO, PSの検出を行うので，BJestimate erAOPS.prgで skipDetect=1と設定．


RATS出力表A*— C O M P U T E D R E S U L T S— BJ model estimationSTARTL (=1983:1, as specified by calendar 1983 1 12 in BJestimate erAOPS.prg) = 1ENDL (=2004:3, as specified by allocate 2004:3 in BJestimate erAOPS.prg) = 255print / SERIES ;* / = smpl, right above @BJEST erAOPS in BJestimate erAOPS.prg(Note that / is NOT= STARTL - ENDL!!):ENTRY RF JY USD1985:01 254.18001985:02 260.2400中略2003:11 109.19602003:12 107.9350STARTL = STARTL+DIFFS+ARS+SPAN*(SDIFFS+SAR):START=STARTL= 2 (=1983:2)end=ENDL= 255 (=2004:3)compute ENDL=ENDL-fprd:ENDL= 252 (=2003:12)∗ When backasting is required (o.w., not needed):compute STARTL=STARTL+eprdSTARTL= 26 (=1985:2)(A)Box-Jenkins - Estimation by Gauss-Newton中略 (表注：第 4.2.1 節末尾の，BJestimate er.prg の RATS 出力表に同じ．但し，standard err. of estimate SQUARED を計算する自作のプログラムの正しさをチェックするため，以下を追加：— Resid variance (=standard err. of estimate SQUARED = %SEESQ): RATS, RM,p.198;UG,p.146): 7.43272e-04∗ < Computations by Hirao:Sum of Squared Residuals = 0.16724ENDL-(STARTL-1) - numparam (= resids. Degrees of Freedom)= 225standard err. of estimate SQUARED = 7.43272e-04standard err. of estimate = 0.02726∗ > )∗— Backcasting TRANSFRM (Tom Maycock of Estima 7/15/2004):t = 1,2,...,T (smpl STARTL-das ENDL):ENTRY TRANSFRM1985:01 5.5380426774541985:02 5.561604282165中略2003:11 4.6931444326032003:12 4.681529194087t = T, T-1,...,2,1: (表注：以下，暫く，時間指標 ENTRY は無視；その順序のみ意味あり．)ENTRY TRANSFRM1985:01 4.6815291940871985:02 4.693144432603中略2003:11 5.5616042821652003:12 5.53804267745412 backcasts of TRANSFRM: (表注：直上 2003:12 5.538042677454 の続き．)Entry TRANSFRM2004:01 5.53884018426682004:02 5.53606603558552004:03 5.54085006889352004:04 5.53540027076192004:05 5.54054854659732004:06 5.53853567584382004:07 5.53952943861122004:08 5.53136449447732004:09 5.52497158956972004:10 5.52638335312462004:11 5.52466972428322004:12 5.5246697242832 (表注：=直上 2004:11 と同じ値．)Reverting the series back into its original order:ENTRY TRANSFRM1985:01 5.5246697242831985:02 5.524669724283中略2004:11 4.6931444326032004:12 4.681529194087Store the backcasts in period up to 1984:12: (表注：ここから，時間指標 ENTRY は意味あり．図 11 上パネルに，1985:1 以降の観測値とともに図示．)ENTRY TRANSFRM1984:01 5.524669724283 (表注：ENTRY=13 [1983:01 が ENTRY=1]；逆予測値の始まり．)1984:02 5.5246697242831984:03 5.526383353125中略1984:12 5.538840184267 (表注：ENTRY=24；逆予測値の終わり．)1985:01 5.538042677454 (表注：ENTRY=25；現実値の始まり．)1985:02 5.561604282165 (表注：ENTRY=26．)中略2003:11 4.6931444326032003:12 4.681529194087 (表注：ENTRY=252；現実値の終わり．)


RATS出力表A (続き)

* Check when first-order differenced TRANSFRM backcasts die out to zero (表注：モデル (13) の階差系列 Wt が 1 次階差．図 10 に図示．)(For backcasts dying out, see Box and Jenkins 19876, pp.212-220):The latest dTRANSFRM, printed at the bottom below, is the VERY FIRST backcast:ENTRY DTRANSFRM1984:01 NA1984:02 0.000000000000 (表注：t=-11．)1984:03 0.001713628841 (表注：t=-10．)1984:04 -0.001411763555中略1984:12 0.002774148681 (表注：t=-1．)1985:01 -0.000797506813 (表注：t=0；= TRANSFRM の，1985:01 5.538042677454 マイナス 1984:12 5.538840184267．)Extreme Values of Series ZS (表注：DTRANSFRM の 1984:02 0.0 が 1985:01 -0.0007975 から何番目かを調べる．)Monthly Data From 1983:01 To 1983:12Minimum Value is 0.00000000000 at 1983:12 Entry 12Maximum Value is 0.00816494413 at 1983:08 Entry 8Qzero = 12 (表注：DTRANSFRM の 1984:02 0.0 が 1985:01 -0.0007975 から遡って 12 番目．)%beta(1)= 0.34309%beta(2)= 0.20921STARTL= 26ENDL= 252resids(STARTL)= 0.02356resids(ENDL-1), (ENDL)= 0.00675 -0.00819%nobs for resids = 227numr=endl - startl + 1 = Number of residuals computed = 227%SEESQ (the standard error of estimate SQUARED:its SQRT is displayed earlier and used below: RATS RM, p.198; UG, p.146) = 7.43272e-04sqrt( adjSEESQ )(the standard error of estimate, displayed earlier and used below: RATS RM, p.198; UG, p.146) = 0.0272611 (=Qzero-1) backcast residuals, 1984:3 (-10) - 1985:1 (0):ENTRY RESIDS1983:01 0.000000000000 (表注：ENTRY=1．)中略1984:02 0.000000000000 (表注：ENTRY=14 [=STARTL−Qzero]；t=-11；1985:01 から遡って 12 番目 (=Qzero)；ここから以前は RESIDS=0．)1984:03 0.001713628841 (表注：ENTRY=15；t=-10；RESIDS の逆予測式は下記．)1984:04 -0.001999700793中略1984:12 0.0053069401801985:01 -0.002618290683 (表注：ENTRY=25；t=0；ここまで RESIDS の逆予測．)1985:02 0.023561604711 (表注：ENTRY=26；t=1．)1985:03 -0.014289678621中略2003:11 0.0067479378602003:12 -0.008190791508Plotting for smpl STARTL-das-num bkcasts ENDL(表注：図 11 上パネルに図示．)ENTRY TRANSFRM1984:01 5.5246697242831984:02 5.524669724283中略2003:11 4.6931444326032003:12 4.681529194087ENTRY RESIDS1984:01 0.0000000000001984:02 0.0000000000001984:03 0.001713628841中略1984:12 0.0053069401801985:01 -0.0026182906831985:02 0.0235616047111985:03 -0.014289678621中略2003:11 0.0067479378602003:12 -0.008190791508

表注：RESIDSの逆予測式はRATS表記の式 (16)に依る：t = −10,−9, ...,−1, 0 [=ENTRY 15, ...,25=1984:03,...,1985:01] として，

Wt = TRANSFRMt − TRANSFRMt−1

at =Wt − θ1at−1 − θ11at−11.

以下，これまでの出力表 Aに関連する図二つを描く：


図 10 表 2 の外 1 - 内 1：TRANSFRM 1 次階差の 12

逆予測値 (いつゼロに収束するか，確認)．

図 11 表 2の外 1 - 内 1：上パネル=TRANSFRMの逆

予測値，観測値：下パネル=残差の逆予測値，実測値．


12 backforecasted first-order differences, based on 12 TRANSFRM backcasts and the earliest observed TRANSFRM:When do the backcasts die out to zero, toward back in the presample period? (See Box and Jenkins 19876, pp.212-220)

Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec Jan1984

-0.006

-0.003

0.000

0.003

0.006

0.009DTRANSFRM

TRANSFRM: Backcasts (1984:1-1984:12) and Sample-period (1985:1-2003:12) obs.

mo/yr1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003

4.4

4.6

4.8

5.0

5.2

5.4

5.6

Residuals: Backcasts (1984:1-1985:1) and Sample-period (1985:2-2003:12) residuals

mo/yr1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003

-0.100

-0.075

-0.050

-0.025

-0.000

0.025

0.050

0.075


*===== To detect additive outlier (AO) and permanent level shift (PS):— inner round = 1For AO:lambdatNA NA NA NA NANA NA NA NA NANA NA NA NA NANA NA NA NA NANA NA NA NA NA0.2769 0.6182 0.5687 0.0810 0.80940.3822 1.1262 2.9294 1.7421 0.19240.1461 1.3182 1.2412 1.8236e-03 0.97252.0326 2.2399 0.6540 1.3179 0.84420.8213 0.5831 0.7008 0.6494 0.03940.8828 0.5701 0.8864 0.1457 1.43100.1781 0.7685 1.1826 0.5245 0.32300.2210 0.1572 0.4279 0.4001 0.07320.9348 0.9733 0.4894 1.0089 0.19060.3831 0.6923 0.9585 1.0481 1.01960.8532 0.1892 1.4361 0.8415 0.64191.3787 1.3096 1.0886 0.7813 1.02331.8461 1.0428 1.0922 1.6533 1.72801.2485 1.0601 0.3029 1.3731 0.11600.0300 1.5312 2.6174 1.9393 0.48110.5885 1.0784 1.1580 1.1369 0.06780.4729 0.3345 0.1613 0.1423 1.33841.2449 4.0475e-03 0.2147 0.2937 0.37430.5948 0.0504 0.9848 0.9459 0.85031.6550 1.3494 1.0325 1.0956 1.10121.3010 1.1963 1.1458 0.3872 0.16110.1952 0.7953 2.0870 1.7804 0.95691.1424 0.9495 0.4566 1.2334 1.04550.3812 9.6098e-03 0.4203 0.0605 0.49260.5430 0.6912 2.3620 1.0545 0.33731.0455 0.2044 1.3485 0.7351 0.79931.4458 1.1309 0.1579 0.3273 0.93351.2619 0.7786 0.3852 0.8909 0.22100.1358 0.2972 0.6881 0.2715 1.23151.5285 2.3358 0.9584 0.4829 0.14680.0172 0.4514 1.2198 0.8639 0.13500.3640 0.5102 0.3379 0.3022 0.45771.0796 1.2616 1.7123 0.9115 2.35930.9588 0.2213 1.2081 0.4536 0.39560.8222 1.0395 0.6424 0.8718 0.29210.2532 0.1619 0.3653 0.5426 0.38490.9176 0.1626 1.2645 1.4160 1.31410.7135 0.2802 0.9303 0.8256 0.61140.2856 1.3182 1.5349 0.6523 0.55300.3543 0.4185 0.5978 0.5466 1.44241.2515 1.1567 0.0867 0.5106 0.60721.1115 1.5327 1.1909 1.2623 1.71211.0632 1.3039 1.4163 0.7359 0.93271.2642 1.0787 1.2750 1.5026 1.38260.9261 0.6020 0.8740 0.1350 0.91650.3888 0.3004 NA NA NANA NA NA NA NANA NA NA NA NANA NA NA NA NANA NA NA NA NANA NA NA NA NANA NA NA NA NANA NA NA NA NANA NA NA NA NANA NA NA NA NAlambdat(t):中略 [注：( 25 ) 1985:01 NA]中略( 33 ) 1985:09 2.92944 (表注：1985:10 が第 2.3 節の*に合致しているが．)中略( 42 ) 1986:06 2.23986中略( 98 ) 1991:02 2.61735中略( 148 ) 1995:04 2.36197 (表注：第 2.3 節の*に合致．)中略( 172 ) 1997:04 2.33582 (表注：これはアジア通貨危機と関連か？)中略( 190 ) 1998:10 2.35927 (表注：第 2.3 節の*に合致．)中略Extreme Values of Series ZSMonthly Data From 1985:02 To 2003:12Minimum Value is 0.00182361144 at 1986:03 Entry 39Maximum Value is 2.92944113279 at 1985:09 Entry 33lmax 2.92944tmax 33omegat(tmax) = 0.04400



For PS:lambdat etaNA NA NA NA NANA NA NA NA NANA NA NA NA NANA NA NA NA NANA NA NA NA NA0.6949 0.2380 0.7820 0.1563 0.28991.0456 0.4150 1.4432 3.3902 0.51580.1984 0.0427 2.1323 0.0844 0.08141.6860 1.6677 2.0279 0.9489 1.22550.1673 1.1877 0.2256 0.9306 0.14080.0759 1.3807 0.4400 1.0225 1.26291.0982 0.8043 0.4636 1.4876 0.62220.0893 0.2754 0.0161 0.6899 0.02970.1504 1.3918 0.2140 0.5935 1.07110.7567 0.1246 1.0177 0.5637 1.16570.5166 0.8912 1.2034 1.1661 0.22231.2814 0.9935 1.1672 0.6288 0.66031.0281 2.0179 0.2973 1.5048 1.22311.6280 0.4319 1.3172 1.8169 0.44860.6401 0.5905 1.9359 2.3826 0.81720.0234 0.9476 0.8318 1.0788 0.79700.6852 0.0950 0.4569 0.1907 0.42551.7827 0.2713 0.2780 0.6323 0.14780.4697 0.5116 0.5947 1.0302 0.53060.8724 1.8582 0.3682 1.3353 0.47231.3447 0.8019 1.1719 0.7186 0.07980.3456 0.0236 1.3358 2.1077 0.82990.7489 1.1359 0.4307 1.1840 0.85100.8740 0.2450 0.2609 0.4326 0.33270.4800 1.3759 2.5163 1.3808 0.35910.1974 1.9224 1.5852 0.6397 0.57320.7456 1.6399 0.2259 0.0345 0.57450.9657 1.1163 0.1683 0.8039 0.66610.3014 0.0773 0.4132 0.7222 1.17010.8617 1.6602 2.1938 0.6125 0.18420.4263 0.3980 0.3468 1.6658 0.24040.0177 0.5829 0.2590 0.8165 0.31781.0731 0.7081 1.3735 1.4518 2.95570.9369 0.6450 1.0102 0.9832 0.23470.4180 0.9386 0.7765 0.2835 1.15500.6730 0.2553 0.0118 0.5910 0.30430.9393 0.5746 0.8429 1.2435 1.09291.0754 0.1018 0.5641 0.9708 0.39140.6174 1.0887 1.0862 1.4462 0.37000.5424 0.0421 0.7327 0.2536 1.15541.2243 0.8405 1.0678 0.9251 0.08350.9178 0.9148 1.6122 0.3513 1.72981.0929 0.6599 1.4897 0.8450 0.36721.1705 0.8940 0.8739 1.2157 1.24711.0190 0.4988 0.4878 0.9447 1.16670.3316 0.3004 NA NA NANA NA NA NA NANA NA NA NA NANA NA NA NA NANA NA NA NA NANA NA NA NA NANA NA NA NA NANA NA NA NA NANA NA NA NA NANA NA NA NA NAlambdat eta(t):中略 [注：( 25 ) 1985:01 NA]( 34 ) 1985:10 3.39019 (表注：第 2.3 節の*に合致．)( 99 ) 1991:03 2.38260( 148 ) 1995:04 2.51630 (表注：第 2.3 節の*に合致．)( 190 ) 1998:10 2.95575 (表注：第 2.3 節の*に合致．)中略Extreme Values of Series ZSMonthly Data From 1985:02 To 2003:12Minimum Value is 0.01179139143 at 1999:11 Entry 203Maximum Value is 3.39019433354 at 1985:10 Entry 34lmax eta 3.39019tmax eta 34omegat eta(tmax eta) = -0.08401lmaxk = max(lmax,lmax eta) = 3.39019Crit = 4.00000

lmaxk = max(lmax,lmax eta) = 3.39019がCrit=4.0を下回るので，Critを 3.25に下げて，再度内側反復を試みる：出力表 Bに続く．RATS出力表 B (出力表 A末尾で “Crit = 3.25”とした続き)


lmaxk = max(lmax,lmax eta) = 3.39019Crit = 3.250000— Adjusted residuals for Adj. series (表注：それぞれ図 12 下，央パネルにプロット．)Variance for adjusted residuals for Adj. series (=standard err. of estimate SQUARED: RATS, RM,p.198;UG,p.146):∗ <Computations by Hirao:Sum of Squared Residuals = 0.15882ENDL-(STARTL-1) - numparam (= resids. Degrees of Freedom)= 225standard err. of estimate SQUARED = 7.05886e-04(standard err. of estimate = 0.02657 )∗ > Statistics on Series RESIDSMonthly Data From 1985:02 To 2003:12Observations 227Sample Mean -0.0022274511 Variance 0.000698Standard Error 0.0264155174 SE of Sample Mean 0.001753t-Statistic -1.27046 Signif Level (Mean=0) 0.20522612Skewness -0.31841 Signif Level (Sk=0) 0.05170584Kurtosis 0.30308 Signif Level (Ku=0) 0.35873158Jarque-Bera 4.70462 Signif Level (JB=0) 0.09514889中略Editing data file ”residsBJEST 2.rat”(表注：図 12下パネルにプロット．)RESIDS 1985:02 - 2003:12 MonthlyRESIDSMonthly Data From 1985:02 To 2003:12==================================================================1985:01 (表注：ここにスペース 1 つ) 0.02356160 -0.01428968 -0.02237705中略Editing data file ”AdjSrs er.rat” (表注：AO, PS 調整済みのデータを保存；図 12央パネルにプロット．)TRANSFRM 1985:01 - 2003:12 MonthlyTRANSFRMMonthly Data From 1985:01 To 2003:12==================================================================1985:01 5.53804268 5.56160428 5.55539847 5.52811871中略Go back to INNER loop < 3 >: current round = 1 next round = 2.

RATS出力表C (出力表 Bの続き)

*— inner round = 2For AO:lambdat中略Extreme Values of Series ZSMonthly Data From 1985:02 To 2003:12Minimum Value is 0.00457394499 at 1992:04 Entry 112Maximum Value is 2.68536416838 at 1991:02 Entry 98lmax 2.68536tmax 98omegat(tmax) = -0.03930For PS:lambdat eta中略Extreme Values of Series ZSMonthly Data From 1985:02 To 2003:12Minimum Value is 0.01183520509 at 1988:03 Entry 63Maximum Value is 3.03300841695 at 1998:10 Entry 190lmax eta 3.03301tmax eta 190omegat eta(tmax eta) = -0.07324lmaxk = max(lmax,lmax eta) = 3.03301Crit = 3.25000Current round of the INNER loop = 4If both of the current OUTER and INNER loops are very first ones,then Crit should be made smaller to try the inner loop again. See Kojima (1994, p.120).Otherwise, the inner loop terminates, andthe detection procedure continues with the next round of the outer loop < 1 >using the most recent AdjSrs er.rat.


図 12 表 2の外 1 - 内 2：Jpns Yen against US Dollar (RF JY USD)：上=調整前の対数値；央=調整後の対数値；下=調

整後対数値について求められた残差 (必要に応じて逆予測値を用いる)．

4.3.5 AO, PSに適切な統計的処理を施した後：外側反復2回目以降でのモデル識別(BJidentify erAOPS.prg)；

モデル推定 (BJestimate erAOPS.prg) ch.F4c

識別 (外側反復 2回目)

外側反復 1回目でのモデル識別は，AO, PSに適切な統計的処理を施こす前に，第 3.5節で BJidentify er.prgによって行われた．ここの 2回目以降では，AO, PSに適切な統計的処理が施こされたデータについて BJiden-tify erAOPS.prgがモデル識別を行う：表 2の外 2以降．

実行結果図 13に基づき (第 3.5節の図 7と比較せよ)，外側反復 1回目で使われた (第 4.2.1節での，AO, PSに適切な統計的処理を施こす前の)推定モデル (15)と同じとする．

推定，診断 (外側反復 2回目)

実行結果まず，現時系列に AO, PSが存在しないと仮定して，モデル (15)について，BJestimate erAOPS.prg(skipDetect=1と設定), bjest erAOPS.srcによる推定，診断を行う (skipDetect=1の時，逆予測の作業は行わずモデル推定，診断に絞る)．表 Dと図 14をみよ．

inner_round= 1 : TRANSFRM Series before Further Adjusted

mo/yr1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003

4.4

4.6

4.8

5.0

5.2

5.4

5.6

TRANSFRM Series Adjusted for Permanent Level Shift

mo/yr1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003

4.4

4.6

4.8

5.0

5.2

5.4

5.6

Residuals for TRANSFRM Series Adjusted for AO or PS Above

mo/yr1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003

-0.100

-0.075

-0.050

-0.025

-0.000

0.025

0.050

0.075


図 13 表 2 の外 2：モデル識別．

モデル (15)の RATS出力表 D

Adjusted, Logged RF_JY_USD : Data (top), SACF (middle), SPACF (bottom)[d (consecutive)= 0 , D (seasonal)= 0 , span (effective for D > 0)= 0 ]

qt/yr1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001 2003

4.48

4.64

4.80

4.96

5.12

5.28

5.44

5.60

lags0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

[d (consecutive)= 1 , D (seasonal)= 0 , span (effective for D > 0)= 0 ]

qt/yr1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001 2003

-0.125

-0.100

-0.075

-0.050

-0.025

-0.000

0.025

0.050

0.075

0.100

lags0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00


*— C O M P U T E D R E S U L T S— BJ model estimation中略STARTL = STARTL+DIFFS+ARS+SPAN*(SDIFFS+SAR):START= 1STARTL= 2 (=1983:2)end= 255ENDL= 255 (=2004:3)compute ENDL=ENDL-fprd:ENDL= 252 (=2003:12)When backasting is required (o.w., not needed):compute STARTL=STARTL+eprdSTARTL= 26 (=1985:2)(A)Box-Jenkins - Estimation by Gauss-NewtonConvergence in 7 Iterations. Final criterion was 0.0000039 < 0.0000100Dependent Variable TRANSFRMMonthly Data From 1985:02 To 2003:12Usable Observations 227 Degrees of Freedom 225Centered R**2 0.980759 R Bar **2 0.980674Uncentered R**2 0.999971 T x R**2 226.993Mean of Dependent Variable 4.9250213378Std Error of Dependent Variable 0.1909868490Standard Error of Estimate 0.0265506924Sum of Squared Residuals 0.1586113354Durbin-Watson Statistic 1.948887Q(36-2) 26.637488Significance Level of Q 0.81175437Variable Coeff Std Error T-Stat Signif*****************************************************************************∗1. MA{1} 0.3346756743 0.0607357693 5.51036 0.000000102. MA{11} 0.2323897206 0.0623786103 3.72547 0.00024656中略— Resid variance (=standard err. of estimate SQUARED = %SEESQ): RATS, RM,p.198;UG,p.146): 7.04939e-04中略Statistics on Series RESIDSMonthly Data From 1985:01 To 2003:12Observations 227 (228 Total - 1 Skipped/Missing)Sample Mean -0.0022109608 Variance 0.000697Standard Error 0.0263990547 SE of Sample Mean 0.001752t-Statistic -1.26184 Signif Level (Mean=0) 0.20830573Skewness -0.31016 Signif Level (Sk=0) 0.05807048Kurtosis 0.34754 Signif Level (Ku=0) 0.29260322Jarque-Bera 4.78205 Signif Level (JB=0) 0.09153586中略Studentized Range = 6.00561(C) SCCF Check: Large SCCF at a lag l ¡ 0 below suggeststhe AR term at l, whose value is close to that SCCF.中略Ljung-Box Q-StatisticsQ(1 to 20) = 60.6793. Significance Level 0.00000159Q(-20 to -1)= 20.0684. Significance Level 0.32898172Q(-20 to 20)= 278.6290. Significance Level 0.00000000後略

表 Dと図 14を診断の結果，φ8 を追加した次をモデル候補として考える (表 Eと図 15みよ)：

(1 − φ8B8)Wt = (1 − θ1B − θ11B

11)at (45)

RATS表記: (1 − φ8B8)Wt = (1 + θ1B + θ11B

11)at. (46)


図 14 表 2 の外 2：モデル (15)の推定，診断．

モデル (45)の RATS出力表 E

(Adj.) TRANSFRM for RF_JY_USD : Resids.(top l), Resids.Histog.(top r), SCCF(bottom l), Resids.SACF(bottom r)[d (consecutive)= 1 , D (seasonal)= 0 ; (AR, MA)=( 0 , 1 ); (SAR, SMA)=( 0 , 0 )]

mo/yr1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001 2003

-0.100

-0.075

-0.050

-0.025

-0.000

0.025

0.050

0.075

class intervals1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0

16

32

48

lags-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00


*— C O M P U T E D R E S U L T S— BJ model estimation中略SSTARTL = STARTL+DIFFS+ARS+SPAN*(SDIFFS+SAR):START= 1STARTL= 10 (=1983:2)end= 255ENDL= 255 (=2004:3)compute ENDL=ENDL-fprd:ENDL= 252 (=2003:12)When backasting is required (o.w., not needed):compute STARTL=STARTL+eprdSTARTL= 34 (=1985:2)(A)Box-Jenkins - Estimation by Gauss-NewtonConvergence in 7 Iterations. Final criterion was 0.0000046 < 0.0000100Dependent Variable TRANSFRMMonthly Data From 1985:10 To 2003:12Usable Observations 219 Degrees of Freedom 216Centered R**2 0.971247 R Bar **2 0.970981Uncentered R**2 0.999971 T x R**2 218.994Mean of Dependent Variable 4.9034931888Std Error of Dependent Variable 0.1567202425Standard Error of Estimate 0.0266972821Sum of Squared Residuals 0.1539528922Durbin-Watson Statistic 1.947184Q(36-3) 25.073766Significance Level of Q 0.83719816Variable Coeff Std Error T-Stat Signif*****************************************************************************∗1. AR{8} 0.1376866756 0.0681118612 2.02148 0.044463912. MA{1} 0.3281212245 0.0624762573 5.25193 0.000000363. MA{11} 0.2168194959 0.0640769814 3.38373 0.00084905中略— Resid variance (=standard err. of estimate SQUARED = %SEESQ): RATS, RM,p.198;UG,p.146): 7.12745e-04中略Statistics on Series RESIDSMonthly Data From 1985:01 To 2003:12Observations 219 (228 Total - 9 Skipped/Missing)Sample Mean -0.0018445864 Variance 0.000703Standard Error 0.0265101456 SE of Sample Mean 0.001791t-Statistic -1.02970 Signif Level (Mean=0) 0.30429390Skewness -0.32233 Signif Level (Sk=0) 0.05310746Kurtosis 0.35746 Signif Level (Ku=0) 0.28796244Jarque-Bera 4.95828 Signif Level (JB=0) 0.08381519中略Studentized Range = 5.76810(C) SCCF Check: Large SCCF at a lag l ¡ 0 below suggeststhe AR term at l, whose value is close to that SCCF.中略Ljung-Box Q-StatisticsQ(1 to 20) = 58.9383. Significance Level 0.00000157Q(-20 to -1)= 18.3404. Significance Level 0.36767930Q(-20 to 20)= 271.3254. Significance Level 0.00000000後略

図 14, 15の比較で，φ8 が有意 (表E)であることから SCCFについて明かに，図 15のモデル (46)に改善がみられる．しかし他方，表D, Eの比較では，Resid variance (=standard err. of estimate SQUARED = %SEESQ=σ2

a)と Jarque-Beraの Signif Level (JB=0)について表Dのモデル (15)の方が若干だが良好と言える；表 Dで，σ2

aは

表 2外 1-内 2の σ2a より小さくなっている；他方，表 Eで，Monthly Data From 1985:10 To 2003:12に伴う残差

Degrees of Freedomの減が σ2a を増やし，その結果，表 2外 1-内 2の σ2

a より大きくなってしまっている．最終的

には，倹約の原理とも併せて，φ8 を追加しない (15)を採用することにしよう．



外側反復 2：内側反復 1

AO, PSの検出を行うにあたり (RATSで, skipDetect=0と設定)，外側反復 1最後の出力表 Cで “lmaxk =max(lmax,lmax eta) = 3.03301”であったので，ここ外側反復 2ではCをまず 3.0と設定しよう (RATSで, Cirt=3.0と設定)．モデル (15)を用いるので，π 重みの計算について bjest erAOPS.srcに修正は不要である．


mo/yr1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001 2003

-0.100

-0.075

-0.050

-0.025

-0.000

0.025

0.050

0.075

class intervals1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0

10

20

30

40

lags-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00


RATS出力表 F*— C O M P U T E D R E S U L T S— BJ model estimation中略：出力表 D に同じ— Backcasting TRANSFRM (Tom Maycock of Estima 7/15/2004):t = 1,2,...,T (smpl STARTL-das ENDL):ENTRY TRANSFRM中略t = T, T-1,...,2,1:ENTRY TRANSFRM中略12 backcasts of TRANSFRM:Entry TRANSFRM中略Reverting the series back into its original order:ENTRY TRANSFRM中略Store the backcasts in period up to 1984:12:ENTRY TRANSFRM中略Check when first-order differenced TRANSFRM backcasts die out to zero(For backcasts dying out, see Box and Jenkins 19876, pp.212-220):The latest dTRANSFRM, printed at the bottom below, is the VERY FIRST backcast:ENTRY DTRANSFRM1984:01 NA1984:02 0.0000000000001984:03 0.0017642788811984:04 -0.0014947645301984:05 0.0069340114421984:06 0.0092481032741984:07 -0.0011388047561984:08 0.0023219117641984:09 -0.0057628635951984:10 0.0059242753981984:11 -0.0054603982311984:12 0.0030506020601985:01 -0.001399995434Extreme Values of Series ZSMonthly Data From 1983:01 To 1983:12Minimum Value is 0.00000000000 at 1983:12 Entry 12Maximum Value is 0.00924810327 at 1983:08 Entry 8Qzero = 12%beta(1)= 0.33468%beta(2)= 0.23239STARTL= 26ENDL= 252resids(STARTL)= 0.02356resids(ENDL-1), (ENDL)= 0.00643 -0.00759%nobs for resids = 227 numr=endl - startl + 1 = Number of residuals computed = 22711 (=Qzero-1) backcast residuals, 1984:3 (-10) - 1985:1 (0):ENTRY RESIDS1983:01 0.0000000000001983:02 0.0000000000001983:03 0.0000000000001983:04 0.0000000000001983:05 0.0000000000001983:06 0.0000000000001983:07 0.0000000000001983:08 0.0000000000001983:09 0.0000000000001983:10 0.0000000000001983:11 0.0000000000001983:12 0.0000000000001984:01 0.0000000000001984:02 0.0000000000001984:03 0.0017642788811984:04 -0.0020852257551984:05 0.0076318857781984:06 0.0066938967551984:07 -0.0033790891661984:08 0.0034528107091984:09 -0.0069184353481984:10 0.0082397074131984:11 -0.0082180278661984:12 0.0058009760771985:01 -0.0033414410141985:02 0.0235616047111985:03 -0.014091309219中略Plotting for smpl STARTL-das-num bkcasts ENDLENTRY TRANSFRM中略ENTRY RESIDS中略


RATS出力表 F (続き)

*===== To detect additive outlier (AO) and permanent level shift (PS):— inner round = 1For AO:中略Extreme Values of Series ZS Monthly Data From 1985:02 To 2003:12Minimum Value is 0.00344407738 at 1992:04 Entry 112Maximum Value is 2.73059238084 at 1991:02 Entry 98lmax 2.73059tmax 98omegat(tmax) = -0.03984For PS:中略Extreme Values of Series ZSMonthly Data From 1985:02 To 2003:12Minimum Value is 0.00159046899 at 1998:01 Entry 181Maximum Value is 3.06323602622 at 1998:10 Entry 190lmax eta 3.06324tmax eta 190omegat eta(tmax eta) = -0.07362lmaxk = max(lmax,lmax eta) = 3.06324Crit = 3.00000— Adjusted residuals for Adj. seriesVariance for adjusted residuals for Adj. series (=standard err. of estimate SQUARED: RATS, RM,p.198;UG,p.146):∗ < Computations by Hirao:Sum of Squared Residuals = 0.15200ENDL-(STARTL-1) - numparam (= resids. Degrees of Freedom)= 225standard err. of estimate SQUARED = 6.75540e-04(standard err. of estimate = 0.02599 )∗ > Statistics on Series RESIDSMonthly Data From 1985:02 To 2003:12Observations 227Sample Mean -0.0020039816 Variance 0.000669Standard Error 0.0258557074 SE of Sample Mean 0.001716t-Statistic -1.16775 Signif Level (Mean=0) 0.24413772Skewness -0.21749 Signif Level (Sk=0) 0.18388299Kurtosis 0.18901 Signif Level (Ku=0) 0.56708592Jarque-Bera 2.12742 Signif Level (JB=0) 0.34517207中略Editing data file ”AdjSrs er2.rat”中略Go back to the next round of INNER loop < 3 >: current round = 1 next round = 2— inner round = 2For AO:中略Extreme Values of Series ZSMonthly Data From 1985:02 To 2003:12Minimum Value is 0.00300565199 at 1992:04 Entry 112Maximum Value is 2.78910864712 at 1991:02 Entry 98lmax 2.78911tmax 98omegat(tmax) = -0.03984For PS:中略Extreme Values of Series ZSMonthly Data From 1985:02 To 2003:12Minimum Value is 0.00000000000 at 1998:10 Entry 190Maximum Value is 2.65351399623 at 1995:04 Entry 148lmax eta 2.65351tmax eta 148omegat eta(tmax eta) = -0.06243lmaxk = max(lmax,lmax eta) = 2.78911Crit = 3.00000Current round of the INNER loop = 2If both of the current OUTER and INNER loops are very first ones,then Crit should be made smaller to try the inner loop again. See Kojima (1994, p.120).Otherwise, the inner loop terminates, andthe detection procedure continues with the next round of the outer loop < 1 > using the most recent AdjSrs er2.rat.


実行結果図 19に基づき (先の図 13とほぼ同じ)，外側反復 2回目で使われたモデル (15)が再度識別される．


実行結果まず，現時系列に AO, PSが存在しないと仮定して，モデル (15)について，BJestimate erAOPS.prg(skipDetect=1と設定), bjest erAOPS.srcによる推定，診断を行う (skipDetect=1の時，逆予測の作業は行わずモデル推定，診断に絞る)．表Gと図 20をみよ．


図 16 表 2の外 2：TRANSFRM 1 次階差の 12 逆予測

値 (いつゼロに収束するか，確認)．

図 17 表 2の外 2：上パネル=TRANSFRM の逆予測値，

観測値：下パネル=残差の逆予測値，実測値．

モデル (15)の RATS出力表 G



-0.006

-0.004

-0.002

0.000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.010DTRANSFRM


mo/yr1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003

4.48

4.64

4.80

4.96

5.12

5.28

5.44

5.60


mo/yr1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003

4.48

4.64

4.80

4.96

5.12

5.28

5.44

5.60


mo/yr1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003

-0.100

-0.075

-0.050

-0.025

-0.000

0.025

0.050

0.075


図 18 表 2の外 2 - 内 1：Jpns Yen against US Dollar (RF JY USD)：上=更なる調整前の対数値；央=更なる調整後の対

数値；下=調整後対数値について求められた残差 (必要に応じて逆予測値を用いる)．

*— C O M P U T E D R E S U L T S— BJ model estimation中略STARTL = STARTL+DIFFS+ARS+SPAN*(SDIFFS+SAR):START= 1STARTL= 2 (=1983:2)end= 255ENDL= 255 (=2004:3)compute ENDL=ENDL-fprd:ENDL= 252 (=2003:12)When backasting is required (o.w., not needed):compute STARTL=STARTL+eprdSTARTL= 26 (=1985:2)(A)Box-Jenkins - Estimation by Gauss-NewtonConvergence in 7 Iterations. Final criterion was 0.0000039 < 0.0000100Dependent Variable TRANSFRMMonthly Data From 1985:02 To 2003:12Usable Observations 227 Degrees of Freedom 225Centered R**2 0.980391 R Bar **2 0.980304Uncentered R**2 0.999973 T x R**2 226.994Mean of Dependent Variable 4.9454530745Std Error of Dependent Variable 0.1851033945Standard Error of Estimate 0.0259776683Sum of Squared Residuals 0.1518388318Durbin-Watson Statistic 1.934457Q(36-2) 24.975863Significance Level of Q 0.87007040Variable Coeff Std Error T-Stat Signif*****************************************************************************∗1. MA{1} 0.3057838551 0.0612132848 4.99538 0.000001182. MA{11} 0.2462897400 0.0628482756 3.91880 0.00011810中略— Resid variance (=standard err. of estimate SQUARED = %SEESQ): RATS, RM,p.198;UG,p.146): 6.74839e-04中略


mo/yr1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003

4.48

4.64

4.80

4.96

5.12

5.28

5.44

5.60


mo/yr1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003

4.48

4.64

4.80

4.96

5.12

5.28

5.44

5.60


mo/yr1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003

-0.100

-0.075

-0.050

-0.025

-0.000

0.025

0.050

0.075



表 Gと図 20を診断すると，φ8 を追加した次をモデル候補として考えられるが，先の外側反復 2で指摘した方針に従い，ここでもこの追加モデルは考慮しない．


AO, PSの検出を行うにあたり (RATSで, skipDetect=0 と設定)，外側反復 2最後の出力表 Fで “lmaxk =max(lmax,lmax eta) = 2.78911”であったので，ここ外側反復 3ではCを 2.7と設定しておく (RATSで, Cirt=2.7；本来 3.0以上が望ましいが)．


qt/yr1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001 2003

4.48

4.64

4.80

4.96

5.12

5.28

5.44

5.60

lags0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

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-1.00

-0.75

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0.25

0.50

0.75

1.00

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-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00


qt/yr1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001 2003

-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

lags0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

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-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00



RATS出力表H


mo/yr1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001 2003

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

class intervals1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0

16

32

48

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-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

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-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00


*— C O M P U T E D R E S U L T S— BJ model estimation中略：出力表 G に同じ— Backcasting TRANSFRM (Tom Maycock of Estima 7/15/2004):t = 1,2,...,T (smpl STARTL-das ENDL):ENTRY TRANSFRM中略t = T, T-1,...,2,1:ENTRY TRANSFRM中略12 backcasts of TRANSFRM:Entry TRANSFRM中略Reverting the series back into its original order:ENTRY TRANSFRM中略Store the backcasts in period up to 1984:12:ENTRY TRANSFRM中略Check when first-order differenced TRANSFRM backcasts die out to zero(For backcasts dying out, see Box and Jenkins 19876, pp.212-220):The latest dTRANSFRM, printed at the bottom below, is the VERY FIRST backcast:ENTRY DTRANSFRM1984:01 NA1984:02 0.0000000000001984:03 0.0017641487961984:04 -0.0015388912981984:05 0.0075577985951984:06 0.0098260464811984:07 -0.0010804908851984:08 0.0023123082131984:09 -0.0059629712361984:10 0.0059788378611984:11 -0.0057568991381984:12 0.0030838578971985:01 -0.001824417655Extreme Values of Series ZSMonthly Data From 1983:01 To 1983:12Minimum Value is 0.00000000000 at 1983:12 Entry 12Maximum Value is 0.00982604648 at 1983:08 Entry 8Qzero = 12%beta(1)= 0.30578%beta(2)= 0.24629STARTL= 26ENDL= 252resids(STARTL)= 0.02356resids(ENDL-1), (ENDL)= 0.00625 -0.00716%nobs for resids = 227 numr=endl - startl + 1 = Number of residuals computed = 22711 (=Qzero-1) backcast residuals, 1984:3 (-10) - 1985:1 (0):ENTRY RESIDS1983:01 0.0000000000001983:02 0.0000000000001983:03 0.0000000000001983:04 0.0000000000001983:05 0.0000000000001983:06 0.0000000000001983:07 0.0000000000001983:08 0.0000000000001983:09 0.0000000000001983:10 0.0000000000001983:11 0.0000000000001983:12 0.0000000000001984:01 0.0000000000001984:02 0.0000000000001984:03 0.0017641487961984:04 -0.0020783395181984:05 0.0081933212651984:06 0.0073206611181984:07 -0.0033190308641984:08 0.0033272142651984:09 -0.0069803796411984:10 0.0081133252581984:11 -0.0082378230131984:12 0.0056028511751985:01 -0.0035376790871985:02 0.0235616047111985:03 -0.013410571596中略Plotting for smpl STARTL-das-num bkcasts ENDLENTRY TRANSFRM中略ENTRY RESIDS中略






RATS出力表 I



-0.006

-0.004

-0.002

0.000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.010DTRANSFRM


mo/yr1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003

4.48

4.64

4.80

4.96

5.12

5.28

5.44

5.60


mo/yr1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08




*===== To detect additive outlier (AO) and permanent level shift (PS):— inner round = 1For AO:中略Extreme Values of Series ZS Monthly Data From 1985:02 To 2003:12Minimum Value is 0.00908431713 at 2001:12 Entry 228Maximum Value is 2.73990244224 at 1991:02 Entry 98lmax 2.73990tmax 98omegat(tmax) = -0.03985For PS:中略Extreme Values of Series ZSMonthly Data From 1985:02 To 2003:12Minimum Value is 0.02345489065 at 2002:02 Entry 230Maximum Value is 2.68719213394 at 1995:04 Entry 148lmax eta 2.68719tmax eta 148omegat eta(tmax eta) = -0.06369lmaxk = max(lmax,lmax eta) = 2.73990Crit = 2.70000— Adjusted residuals for Adj. seriesVariance for adjusted residuals for Adj. series (=standard err. of estimate SQUARED: RATS, RM,p.198;UG,p.146):∗ < Computations by Hirao:Sum of Squared Residuals = 0.15048ENDL-(STARTL-1) - numparam (= resids. Degrees of Freedom)= 225standard err. of estimate SQUARED = 6.68801e-04(standard err. of estimate = 0.02586 )∗ > Statistics on Series RESIDSMonthly Data From 1985:02 To 2003:12Observations 227Sample Mean -0.0018488884 Variance 0.000662Standard Error 0.0257372852 SE of Sample Mean 0.001708t-Statistic -1.08233 Signif Level (Mean=0) 0.28025806Skewness 0 22274 Signif Level (Sk=0) 0 17352132


mo/yr1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003

4.48

4.64

4.80

4.96

5.12

5.28

5.44

5.60

TRANSFRM Series Adjusted for Additive Outlier

mo/yr1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003

4.48

4.64

4.80

4.96

5.12

5.28

5.44

5.60


mo/yr1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08


RATS出力表 I (続き)

*— inner round = 2For AO:Extreme Values of Series ZSMonthly Data From 1985:02 To 2003:12Minimum Value is 0.00912523606 at 2001:12 Entry 228Maximum Value is 2.60845690773 at 1998:08 Entry 188lmax 2.60846tmax 188omegat(tmax) = 0.03776For PS:Extreme Values of Series ZSMonthly Data From 1985:02 To 2003:12Minimum Value is 0.02356053964 at 2002:02 Entry 230Maximum Value is 2.69929618269 at 1995:04 Entry 148lmax eta 2.69930tmax eta 148omegat eta(tmax eta) = -0.06369lmaxk = max(lmax,lmax eta) = 2.69930Crit = 2.70000Current round of the INNER loop = 2If both of the current OUTER and INNER loops are very first ones,then Crit should be made smaller to try the inner loop again. See Kojima (1994, p.120).Otherwise, the inner loop terminates, andthe detection procedure continues with the next round of the outer loop < 1 > using the most recent AdjSrs er.rat.


実行結果図 24に基づき (これも当初の図 13とほぼ同じ)，外側反復 2回目で使われたモデル (15)が再度識別される．


実行結果まず，現時系列に AO, PSが存在しないと仮定して，モデル (15)について，BJestimate erAOPS.prg(skipDetect=1と設定), bjest erAOPS.srcによる推定，診断を行う (skipDetect=1の時，逆予測の作業は行わずモデル推定，診断に絞る)．表 Jと図 25をみよ．



モデル (15)の RATS出力表 J


qt/yr1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001 2003

4.48

4.64

4.80

4.96

5.12

5.28

5.44

5.60

lags0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

-1.00

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-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00


qt/yr1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001 2003

-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

lags0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00


*— C O M P U T E D R E S U L T S— BJ model estimation中略STARTL = STARTL+DIFFS+ARS+SPAN*(SDIFFS+SAR):START= 1STARTL= 2 (=1983:2)end= 255ENDL= 255 (=2004:3)compute ENDL=ENDL-fprd:ENDL= 252 (=2003:12)When backasting is required (o.w., not needed):compute STARTL=STARTL+eprdSTARTL= 26 (=1985:2)(A)Box-Jenkins - Estimation by Gauss-NewtonConvergence in 7 Iterations. Final criterion was 0.0000039 < 0.0000100Dependent Variable TRANSFRMMonthly Data From 1985:02 To 2003:12Usable Observations 227 Degrees of Freedom 225Centered R**2 0.981107 R Bar **2 0.981023Uncentered R**2 0.999974 T x R**2 226.994Mean of Dependent Variable 4.9456286068Std Error of Dependent Variable 0.1851315959Standard Error of Estimate 0.0255033925Sum of Squared Residuals 0.1463451812Durbin-Watson Statistic 1.953182Q(36-2) 27.670829Significance Level of Q 0.76999252Variable Coeff Std Error T-Stat Signif*****************************************************************************∗1. MA{1} 0.3369693872 0.0595230135 5.66116 0.000000052. MA{11} 0.2894384953 0.0615311972 4.70393 0.00000445中略— Resid variance (=standard err. of estimate SQUARED = %SEESQ): RATS, RM,p.198;UG,p.146): 6.50423e-04中略Statistics on Series RESIDSMonthly Data From 1985:01 To 2003:12Observations 227 (228 Total - 1 Skipped/Missing)Sample Mean -0.0019344396 Variance 0.000644Standard Error 0.0253729469 SE of Sample Mean 0.001684t-Statistic -1.14868 Signif Level (Mean=0) 0.25190428Skewness -0.24998 Signif Level (Sk=0) 0.12665898Kurtosis 0.24383 Signif Level (Ku=0) 0.46029766Jarque-Bera 2.92645 Signif Level (JB=0) 0.23148845Minimum -0.0803649116 Maximum 0.0743973131中略Studentized Range = 6.09950(C) SCCF Check: Large SCCF at a lag l ¡ 0 below suggeststhe AR term at l, whose value is close to that SCCF.中略Ljung-Box Q-StatisticsQ(1 to 20) = 60.1476. Significance Level 0.00000194Q(-20 to -1)= 18.6089. Significance Level 0.41627030Q(-20 to 20)= 270.9647. Significance Level 0.00000000(D) SACF Check: Large resids SACF at a lag l below suggeststhe MA term at l, whose value is close to negative of that SACF.中略Ljung-Box Q-StatisticsQ(20) = 15.0580. Significance Level 0.65797971後略

表 Jと図 25を診断すると，やはり φ8 を追加した次をモデル候補として考えられるが，先の外側反復 2で指摘した方針に従い，ここでもこの追加モデルは考慮しない．




AO, PSの検出を行うにあたり (RATSで, skipDetect=0 と設定)，外側反復 3最後の出力表 Iで “lmaxk =max(lmax,lmax eta) = 2.69930”であったので，ここ外側反復 4ではCを 2.7と設定しておく (RATSで, Cirt=2.7)．


mo/yr1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001 2003

-0.100

-0.075

-0.050

-0.025

-0.000

0.025

0.050

0.075

class intervals1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0

10

20

30

40

lags-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00


RATS出力表K*— C O M P U T E D R E S U L T S— BJ model estimation中略：出力表 J に同じ— Backcasting TRANSFRM (Tom Maycock of Estima 7/15/2004):t = 1,2,...,T (smpl STARTL-das ENDL):ENTRY TRANSFRM中略t = T, T-1,...,2,1:ENTRY TRANSFRM中略12 backcasts of TRANSFRM:Entry TRANSFRM中略Reverting the series back into its original order:ENTRY TRANSFRM中略Store the backcasts in period up to 1984:12:ENTRY TRANSFRM中略Check when first-order differenced TRANSFRM backcasts die out to zero(For backcasts dying out, see Box and Jenkins 19876, pp.212-220):The latest dTRANSFRM, printed at the bottom below, is the VERY FIRST backcast:ENTRY DTRANSFRM1984:01 NA1984:02 0.0000000000001984:03 0.0018402985721984:04 -0.0016199738121984:05 0.0076574379111984:06 0.0122925163831984:07 -0.0018395495961984:08 0.0035117656371984:09 -0.0075597739481984:10 0.0072141774841984:11 -0.0073539235731984:12 0.0038398431581985:01 -0.002684177992Extreme Values of Series ZSMonthly Data From 1983:01 To 1983:12Minimum Value is 0.00000000000 at 1983:12 Entry 12Maximum Value is 0.01229251638 at 1983:08 Entry 8Qzero = 12%beta(1)= 0.33697%beta(2)= 0.28944STARTL= 26ENDL= 252resids(STARTL)= 0.02356resids(ENDL-1), (ENDL)= 0.00560 -0.00636%nobs for resids = 227 numr=endl - startl + 1 = Number of residuals computed = 22711 (=Qzero-1) backcast residuals, 1984:3 (-10) - 1985:1 (0):ENTRY RESIDS1983:01 0.0000000000001983:02 0.0000000000001983:03 0.0000000000001983:04 0.0000000000001983:05 0.0000000000001983:06 0.0000000000001983:07 0.0000000000001983:08 0.0000000000001983:09 0.0000000000001983:10 0.0000000000001983:11 0.0000000000001983:12 0.0000000000001984:01 0.0000000000001984:02 0.0000000000001984:03 0.0018402985721984:04 -0.0022400980941984:05 0.0084122823921984:06 0.0094578347411984:07 -0.0050265503721984:08 0.0052055592361984:09 -0.0093138880541984:10 0.0103526726341984:11 -0.0108424573251984:12 0.0074934193591985:01 -0.0052092309211985:02 0.0235616047111985:03 -0.014145352775中略Plotting for smpl STARTL-das-num bkcasts ENDLENTRY TRANSFRM中略ENTRY RESIDS中略






RATS出力表 L

*===== To detect additive outlier (AO) and permanent level shift (PS):— inner round = 1For AO:中略Extreme Values of Series ZS Monthly Data From 1985:02 To 2003:12Minimum Value is 0.00520243885 at 1998:11 Entry 191Maximum Value is 2.63262225473 at 1998:08 Entry 188lmax 2.63262tmax 188 omegat(tmax) = 0.03576For PS:中略Extreme Values of Series ZSMonthly Data From 1985:02 To 2003:12Minimum Value is 0.00120757782 at 1998:03 Entry 183Maximum Value is 2.71206023285 at 1995:04 Entry 148lmax eta 2.71206tmax eta 148omegat eta(tmax eta) = -0.06103lmaxk = max(lmax,lmax eta) = 2.71206Crit = 2.70000— Adjusted residuals for Adj. seriesVariance for adjusted residuals for Adj. series (=standard err. of estimate SQUARED: RATS, RM,p.198;UG,p.146):∗ < Computations by Hirao:Sum of Squared Residuals = 0.14156ENDL-(STARTL-1) - numparam (= resids. Degrees of Freedom)= 225standard err. of estimate SQUARED = 6.29161e-04(standard err. of estimate = 0.02508 )∗ > Statistics on Series RESIDSMonthly Data From 1985:02 To 2003:12Observations 227Sample Mean -0.0017691135 Variance 0.000623Standard Error 0.0249646376 SE of Sample Mean 0.001657t-Statistic -1.06769 Signif Level (Mean=0) 0.28680155Skewness -0.23706 Signif Level (Sk=0) 0.14747726Kurtosis 0.30916 Signif Level (Ku=0) 0.34916584Jarque-Bera 3.03022 Signif Level (JB=0) 0.21978406中略Go back to the next round of INNER loop < 3 >: current round = 1 next round = 2



-0.0100

-0.0075

-0.0050

-0.0025

0.0000

0.0025

0.0050

0.0075

0.0100

0.0125DTRANSFRM


mo/yr1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003

4.48

4.64

4.80

4.96

5.12

5.28

5.44

5.60


mo/yr1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003

-0.100

-0.075

-0.050

-0.025

-0.000

0.025

0.050

0.075




RATS出力表 L (続き)


mo/yr1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003

4.48

4.64

4.80

4.96

5.12

5.28

5.44

5.60


mo/yr1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003

4.48

4.64

4.80

4.96

5.12

5.28

5.44

5.60


mo/yr1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003

-0.10

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08




*— inner round = 2For AO:Extreme Values of Series ZSMonthly Data From 1985:02 To 2003:12Minimum Value is 0.00542928925 at 1992:05 Entry 113Maximum Value is 2.77627109098 at 1997:04 Entry 172lmax 2.77627tmax 172omegat(tmax) = 0.03709For PS:Extreme Values of Series ZSMonthly Data From 1985:02 To 2003:12Minimum Value is 0.00000000000 at 1995:04 Entry 148Maximum Value is 2.64189857275 at 1998:09 Entry 189lmax eta 2.64190tmax eta 189omegat eta(tmax eta) = -0.05847lmaxk = max(lmax,lmax eta) = 2.77627Crit = 2.70000— Adjusted residuals for Adj. seriesVariance for adjusted residuals for Adj. series (=standard err. of estimate SQUARED: RATS, RM,p.198;UG,p.146):∗ < Computations by Hirao:Sum of Squared Residuals = 0.14061ENDL-(STARTL-1) - numparam (= resids. Degrees of Freedom)= 225standard err. of estimate SQUARED = 6.24954e-04(standard err. of estimate = 0.02500 )∗ > Statistics on Series RESIDSMonthly Data From 1985:02 To 2003:12Observations 227Sample Mean -0.0019324844 Variance 0.000618Standard Error 0.0248684015 SE of Sample Mean 0.001651t-Statistic -1.17080 Signif Level (Mean=0) 0.24291399Skewness -0.23046 Signif Level (Sk=0) 0.15908168Kurtosis 0.34067 Signif Level (Ku=0) 0.30225324Jarque Bera 3 10711 Signif Level (JB=0) 0 21149513


mo/yr1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003

4.48

4.64

4.80

4.96

5.12

5.28

5.44

5.60

TRANSFRM Series Adjusted for Additive Outlier

mo/yr1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003

4.48

4.64

4.80

4.96

5.12

5.28

5.44

5.60


mo/yr1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003

-0.10

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08


RATS出力表 L (続き)

*— inner round = 3For AO:Extreme Values of Series ZSMonthly Data From 1985:02 To 2003:12Minimum Value is 0.00668194511 at 1998:01 Entry 181Maximum Value is 2.69163059091 at 1998:08 Entry 188lmax 2.69163tmax 188omegat(tmax) = 0.03583

For PS:Extreme Values of Series ZSMonthly Data From 1985:02 To 2003:12Minimum Value is 0.00801606138 at 1999:03 Entry 195Maximum Value is 2.65077577506 at 1998:09 Entry 189lmax eta 2.65078tmax eta 189omegat eta(tmax eta) = -0.05847lmaxk = max(lmax,lmax eta) = 2.69163Crit = 2.70000Current round of the INNER loop = 3If both of the current OUTER and INNER loops are very first ones,then Crit should be made smaller to try the inner loop again. See Kojima (1994, p.120).Otherwise, the inner loop terminates, andthe detection procedure continues with the next round of the outer loop < 1 > using the most recent AdjSrs er.rat.


実行結果図 30に基づき (これも当初の図 13とほぼ同じ)，外側反復 2回目で使われたモデル (15)が再度識別される．


実行結果まず，現時系列に AO, PSが存在しないと仮定して，モデル (15)について，BJestimate erAOPS.prg(skipDetect=1と設定), bjest erAOPS.srcによる推定，診断を行う (skipDetect=1の時，逆予測の作業は行わずモデル推定，診断に絞る)．表Mと図 31をみよ．



モデル (15)の RATS出力表M


qt/yr1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001 2003

4.48

4.64

4.80

4.96

5.12

5.28

5.44

5.60

lags0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00


qt/yr1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001 2003

-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

lags0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00



*— C O M P U T E D R E S U L T S— BJ model estimation中略STARTL = STARTL+DIFFS+ARS+SPAN*(SDIFFS+SAR):START= 1STARTL= 2 (=1983:2)end= 255ENDL= 255 (=2004:3)compute ENDL=ENDL-fprd:ENDL= 252 (=2003:12)When backasting is required (o.w., not needed):compute STARTL=STARTL+eprdSTARTL= 26 (=1985:2)(A)Box-Jenkins - Estimation by Gauss-NewtonConvergence in 7 Iterations. Final criterion was 0.0000039 < 0.0000100Dependent Variable TRANSFRMMonthly Data From 1985:02 To 2003:12Usable Observations 227 Degrees of Freedom 225Centered R**2 0.980702 R Bar **2 0.980617Uncentered R**2 0.999976 T x R**2 226.994Mean of Dependent Variable 4.9736957764Std Error of Dependent Variable 0.1769674074Standard Error of Estimate 0.0246381600Sum of Squared Residuals 0.1365837585Durbin-Watson Statistic 1.957323Q(36-2) 27.431790Significance Level of Q 0.77999042Variable Coeff Std Error T-Stat Signif*****************************************************************************∗1. MA{1} 0.3441620487 0.0587360889 5.85946 0.000000022. MA{11} 0.3193090379 0.0610122854 5.23352 0.00000038中略— Resid variance (=standard err. of estimate SQUARED = %SEESQ): RATS, RM,p.198;UG,p.146): 6.07039e-04中略Statistics on Series RESIDS


mo/yr1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001 2003

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

class intervals1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0

14

28

42

lags-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00



AO, PSの検出を行うにあたり (RATSで, skipDetect=0と設定)，外側反復 4最後の出力表 Lで “lmaxk =max(lmax,lmax eta) = 2.69163”であったので，ここ外側反復 5ではCを 2.7と設定しておく (RATSで, Cirt=2.7)．表 Nより，〈5b〉に従ってここで検出手続きが完了する．表 2にこれまでの検出の流れが要約されている．但し，C を更に小さく設定し (2.5など)，AO, PSを検出することは可能である：おそらく，それらの追加的な

AO, PSも，後の出力表Oでみるように，統計的に有意となるであろう (従って第 5.4節での予測精度向上に貢献するであろう)；しかし，これまで検出された AO, PSは円ドルレートの突出した動きの幾つかに対応しており，ここで留めておく．

RATS出力表N前略 (表 M と重複；逆予測の計算)===== To detect additive outlier (AO) and permanent level shift (PS):— inner round = 1For AO:Extreme Values of Series ZSMonthly Data From 1985:02 To 2003:12Minimum Value is 0.00227194434 at 1997:04 Entry 172Maximum Value is 2.69598739779 at 1986:06 Entry 42lmax 2.69599tmax 42omegat(tmax) = 0.03445For PS:Extreme Values of Series ZSMonthly Data From 1985:02 To 2003:12Minimum Value is 0.00144094612 at 1996:11 Entry 167Maximum Value is 2.64212581023 at 1998:09 Entry 189lmax eta 2.64213tmax eta 189omegat eta(tmax eta) = -0.05630lmaxk = max(lmax,lmax eta) = 2.69599Crit = 2.70000Current round of the INNER loop = 1If both of the current OUTER and INNER loops are very first ones,then Crit should be made smaller to try the inner loop again. See Kojima (1994, p.120).Otherwise, the inner loop terminates, andthe detection procedure continues with the next round of the outer loop < 1 > using the most recent AdjSrs er.rat.

4.3.6 干渉モデル (44)の推定 ch.F4b55

検出手続き完了に続いて，干渉モデル (44)の構築そして推定に進むことになる．表 2によれば，m = 5;dk, k =1, 2, ..., 5はそれぞれ 1985:10 (34), 1998:10 (190), 1991:02 (98), 1995:04 (148), 1997:04 (172); ωdk

, k = 1, 2, ..., 5は初期インパクトの値; 式 (24)により νk(B) = 1

1−B , k = 1, 2, 4; 式 (19)により νk(B) = 1, k = 3, 5 となっている．そこで干渉モデルは以下のように定式化される：

X ′t = ωd1

{1

1−Bξ(d1)t

}+ ωd2

{1

1−Bξ(d2)t

}+ ωd3

{1ξ(d3)t

}+ ωd4

{1

1−Bξ(d4)t

}+ ωd5

{1ξ(d5)t

}

+1− θ1B − θ11B

11

1−Bat. (47)

ここで：

k = 3, 5 : ωdk

{1ξ(dk)t

}=

{0, t �= dk,

ωdk , t = dk,(48)

k = 1, 2, 4 : ωdk

{1

1−Bξ(dk)t

}= ωdk

{ ∞∑i=0

Biξ(dk)t

}= ωdk

{ξ(dk)t + ξ

(dk)t−1 + ...

},

=

{0, t = dk + i, i = −1,−2, ...

ωdk, t = dk + i, i = 0, 1, 2, ...

(49)


表 2 日本円対米ドル (RF JY USD)：AOと PSの反復的検出a (1985年 1月–2003年 12月)外側内側臨界値初期 Jarque-Bera RATS 出力表；

反復反復 (C) b 時点型c インパクトd σ2ae (Signif Level (JB=0)) 図

1 7.43272e-04f 11.97820(0.00250592)

表 A；図 7, 9- 11

1 4.0 統計的に有意な変則検出されず；C を 3.25gと設定同上；同上

2h 3.25 1985 : 10(34)

iPS −0.08401 7.05886e-04j 4.70462

(0.09514889)表 A, B；同上，図 12

3 3.25 統計的に有意な変則検出されず；C を 3.0kと設定表 C

2 7.04939e-04 4.78205(0.09153586)

表 D；図 13, 14

1 3.0 1998 : 10(190)

PS −0.07362 6.75540e-04 2.12742(0.34517207)

表 F；図 16-18

2 3.0 統計的に有意な変則検出されず；C を再度 3.0と設定表 F

3 6.74839e-04 2.08821(0.35200682)

表 G；図 19, 20

1 2.7 1991 : 02(98)

AO −0.03985 6.68801e-04 2.47077(0.29072265)

表 H, I；図 21-23

2 2.7 統計的に有意な変則検出されず表 I

4 6.50423e-04 2.92645(0.23148845)

表 J；図 24, 25

1 2.7 1995 : 04(148)

PS −0.06103 6.29161e-04 3.03022(0.21978406)

表 K, L；図 26-28

2 2.7 1997 : 04(172)

AO 0.03709 6.24954e-04 3.10711(0.21149513)

表 L；図 29

3 2.7 統計的に有意な変則検出されず表 L

5 6.07039e-04 1.58774(0.45209161)

表M；図 30, 31

1 2.7 統計的に有意な変則検出されず表 N

aこの表で適用されている反復的検出法については第 4.3節をみよ．bRATS 出力表 A では，Critと表記．臨界値の最小値 (ここでは 2.7)は，最終回目の外側反復ステップ〈1〉での残差が正規

分布をしていると判断される最大値となっている (臨界値を更に小さく設定すれば，更に追加的な AO,PS が検出されるであろうが)．

cPS，AO はそれぞれ恒久的水準シフト，加法的異常値を表す．d初期インパクトは (17) または (18)の ω で，その計算式は反復手続きの留意事項 (i)に示されている．e外側反復時は AO, PS検出前の残差分散 (= the “standard error of estimate,” as displayed in the RATS output, の二

乗)；内側反復時は AO, PS検出直後の残差分散．逆予測残差は考慮外．f第 4.2.1 節の，修正モデル (15)の RATS 出力表の “standard error of estimate”の二乗：(0.0272630176)2．g表 A 末尾の lmaxk = max(lmax,lmax eta) = 3.39019 より小さい値．h右列の結果は RATS 出力表 A, Bより．iEntry 1=1983:1, as specified by calendar 1983 1 12 in BJestimate erAOPS.prg.jステップ〈5a〉で計算した，図 12 最下の調整済み残差系列の残差分散．k表 C 末尾の lmaxk = max(lmax,lmax eta) = 3.03301 より小さい値．


RATS表記でも ω(の符号)は上式に同じとなっている (RATS RM, pp.18-21)．

RATSプログラム：InterventionModel er.prg, bjest erIntrvModel.src

干渉モデル (47)を推定する．X ′tは，AO, PS調整を施す前の原データRF JY USDの対数値を表すので，ここ

の推定では，(AO, PS調整を施すことのないプログラム BJestimate er.prgと同じ calendar, allocate, open, dataに戻って) RF JY USDに戻ることに注意したい；InterventionModel er.prg, bjest erIntrvModel.src はそのように作成されている．

実行結果

干渉モデル (47)のRATS出力表Oで，すべての AO, PSが 1%未満でも有意である：特に，プラザ合意の翌月1985:10に検出された ps34が際立っている；符号，大きさも表 2と整合している．それでは，干渉モデル (47)は果たしてモデル (15)と比較したとき，予測精度は改善されているのであろうか．

これは第 5.4節の課題となっている．


干渉モデル (47)の RATS出力表 O

*— C O M P U T E D R E S U L T S— Intervention model estimation中略STARTL = STARTL+DIFFS+ARS+SPAN*(SDIFFS+SAR):START=STARTL= 2end=ENDL= 228startv (表注：干渉モデル (47)推定の際の初期値を表示；最初の二つはモデル (15) の RATS出力表 M における MA{1} と MA{11} の推定値；残りは表 2 の初期インパクトとなっている．)0.3442 0.3193 -0.0840 -0.0736 -0.0398-0.0610 0.0371(A)Box-Jenkins - Estimation by Gauss-NewtonConvergence in 7 Iterations. Final criterion was 0.0000087 < 0.0000100Dependent Variable TRANSFRMMonthly Data From 1985:02 To 2003:12Usable Observations 227 Degrees of Freedom 220Centered R**2 0.984982 R Bar **2 0.984572Uncentered R**2 0.999974 T x R**2 226.994Mean of Dependent Variable 4.8439736226Std Error of Dependent Variable 0.2005543498Standard Error of Estimate 0.0249106766Sum of Squared Residuals 0.1365191983Durbin-Watson Statistic 1.963048Q(36-2) 28.065673Significance Level of Q 0.75306881Variable Coeff Std Error T-Stat Signif*****************************************************************************∗1. MA{1} 0.347647470 0.060624720 5.73442 0.000000032. MA{11} 0.323655523 0.062646406 5.16639 0.000000533. N PS34{0} -0.083835189 0.021451246 -3.90817 0.00012382 (表注：N は RATS RM, pp.18-21の表記で，numerator の義；{0}はラグ 0 の義．)4. N PS190{0} -0.070662115 0.022011228 -3.21028 0.001524325. N AO98{0} -0.043044043 0.012907219 -3.33488 0.001001436. N PS148{0} -0.064797537 0.021667641 -2.99052 0.003102167. N AO172{0} 0.037270141 0.012911377 2.88661 0.00428220中略

RATS出力表O (続き)

68 5. 予測 ch.G1

RESIDSMonthly Data From 1985:01 To 2003:12=====================================================1985:01 NA 0.02356160 -0.01439695 -0.02227470中略2003:09 -0.04442781 -0.02364588 0.00494839 -0.00577985(B) Check the normality of RESIDS.Histogram for series: RESIDSEndpoints of Class Intervals:bar low high counts1 -0.07987 -0.06943 12 -0.06943 -0.05898 33 -0.05898 -0.04853 34 -0.04853 -0.03808 85 -0.03808 -0.02764 106 -0.02764 -0.01719 357 -0.01719 -0.00674 358 -0.00674 0.00370 419 0.00370 0.01415 2510 0.01415 0.02460 2811 0.02460 0.03505 2712 0.03505 0.04549 513 0.04549 0.05594 514 0.05594 0.06639 015 0.06639 0.07683 1— Resid variance (=standard err. of estimate SQUARED = %SEESQ): RATS, RM,p.198;UG,p.146): 6.20542e-04∗ < Computations by Hirao:Sum of Squared Residuals = 0.13652ENDL-(STARTL-1) - numparam (= resids. Degrees of Freedom)= 220standard err. of estimate SQUARED = 6.20542e-04standard err. of estimate = 0.02491∗ > Statistics on Series RESIDSMonthly Data From 1985:01 To 2003:12Observations 227 (228 Total - 1 Skipped/Missing)Sample Mean -0.0017217929 Variance 0.000601Standard Error 0.0245171279 SE of Sample Mean 0.001627t-Statistic -1.05809 Signif Level (Mean=0) 0.29114221Skewness -0.15306 Signif Level (Sk=0) 0.34966544Kurtosis 0.26243 Signif Level (Ku=0) 0.42679931Jarque-Bera 1.53773 Signif Level (JB=0) 0.46353935Minimum -0.0798722914 Maximum 0.0752828074中略Median -0.0026445167Studentized Range = 6.32844(C) SCCF Check: Large SCCF at a lag l < 0 below suggeststhe AR term at l, whose value is close to that SCCF.中略Ljung-Box Q-StatisticsQ(1 to 20) = 59.8390. Significance Level 0.00000006Q(-20 to -1)= 16.9131. Significance Level 0.20330534Q(-20 to 20)= 242.7127. Significance Level 0.00000000(D) SACF Check: Large resids SACF at a lag l below suggeststhe MA term at l, whose value is close to negative of that SACF.中略Ljung-Box Q-StatisticsQ(20) = 15.9412. Significance Level 0.25231945後略

5 予測 ch.G1

モデル同定の段階で原系列に自然対数変換を施すことの経済的意味を第 3.1節で述べたが，予測のステップでは対数変換については留意すべき点がでてくる．

5.1. 対数系列の多期間先予測 ch.G1a 69

図 32 干渉モデル (47)の推定．

5.1 対数系列の多期間先予測 ch.G1a

いま，(1)の対数変換後系列 X′t について条件付期待値を

X ′T (l) ≡ E

[X ′T+l

∣∣IT ](50)

と定義する：ここで T は予測基準時点 (the forecast origin)，l は 1, 2, 3, ... の値をとり，IT はその予測基準時

点までに入手可能なすべての情報を表す．

1. この条件付期待値 X ′T (l) は，時点 Tから向こう l 期先の X ′ の予測を表し，それは最小平均 2乗誤差 (the

minimum mean squared error; 以下MMSE)予測であることが容易に示される．

2. また，(50)は標本期間内の各 T = 1, ...,N − l については標本期間内予測を与え，T = N に設定すれば標

本期間外予測となる．

モデル識別および推定を対数変換後系列 {X ′t} に対して行ったとしよう (これは第??, ??章で例示した)．l 期先

予測では，まず X ′T (l) を推定モデル SARIMA(p, d, q;P,D, s, Q) に基づいて求める；第??, 3.3節の表記に沿って，

その計算結果は (詳細は小島 1994,pp.17-18)：

X ′T (l) = c−

p∑i=0

P∑j=0

d∑k=0

D∑m=0

Not{i=0,j=0,k=0,m=0}

φiΦj(−1)k+m(d

k

)(D

m

)[X ′T+l−i−js−k−ms

]

Jpns Yen against US Dollar (RF_JY_USD) : Resids.(top l), Resids.Histog.(top r), SCCF(bottom l), Resids.SACF(bottom r)[d (consecutive)= 1 , D (seasonal)= 0 ; (AR, MA)=( 0 , 11 ); (SAR, SMA)=( 0 , 0 )]

mo/yr1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001 2003

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

class intervals1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0

14

28

42

lags-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

lags0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

70 5. 予測 ch.G1

+q∑i=0

Q∑j=0

θiΘj [aT+l−i−js] . (51)

ここで：(n

r

)=

n!r!(n− r)!

；一般に

(1 −B)d(1 −Bs)DX ′t =

d∑k=0

D∑m=0

(−1)k+m(d

k

)(D

m

)X ′t−k−ms (52)

=1∑k=0

1∑m=0

(−1)k+mX′t−k−ms for d = D = 1 (53)

が成り立つことを利用；更に

[X ′T+l−u

]=

{X′T+l−u, l ≤ u について

X ′T (l− u), l > u について

(54)

[aT+l−u] =

{aT+l−u = X ′

T+l−u − X ′T+l−u−1(1), l ≤ u について

0, l > u について.(55)

(55)の上式は 1期先予測誤差にほかならない．基準時点 T における l 期先予測 X ′T (l)は，基準時点までのデータ

により求められる．(予測には，【パラメータ固定に依る予測】と【パラメータ更新に依る予測】があるが，これらは第 5.3.1節で取り上げる．)(51)を，階差式 (??)と (??) (RATSでは式 (??)と表記)について書くと，

X ′T (l) = −

8∑i=0

0∑j=0

1∑k=0

1∑m=0

i �=1,3,4−7;Not{i=0,j=0,k=0,m=0}

φiΦj(−1)k+m(1k

)(1m

) [X ′T+l−i−4j−k−4m

]

+0∑i=0

1∑j=0

θiΘj [aT+l−i−4j ] . (56)

上式を項別に，(??), (53), (55) にも留意しつつ書き換えると (下の第一式は表記を若干簡略化しているが，Not{i = 0, j = 0, k = 0, m = 0}に留意)：

第 1項 = −∑i

φiΦ0

∑k

∑m

(−1)k+m[X ′T+l−i−0−k−4m

]= −φ0Φ0

{(−1)0+1

[X′T+l−0−0−0−4

]+ (−1)1+0

[X′T+l−0−0−1−0

]+ (−1)1+1

[X′T+l−0−0−1−4

]}−φ2Φ0

{(−1)0+0

[X′T+l−2−0−0−0

]+ (−1)0+1

[X′T+l−2−0−0−4

]+(−1)1+0

[X ′T+l−2−0−1−0

]+ (−1)1+1

[X ′T+l−2−0−1−4

]}−φ8Φ0

{(−1)0+0

[X′T+l−8−0−0−0

]+ (−1)0+1

[X′T+l−8−0−0−4

]+(−1)1+0

[X ′T+l−8−0−1−0

]+ (−1)1+1

[X ′T+l−8−0−1−4

]}=

[X ′T+l−4

]+

[X ′T+l−1

]−

[X ′T+l−5

]+φ2

{[X ′T+l−2

]−

[X′T+l−6

]−

[X ′T+l−3

]+

[X′T+l−7

]}+φ8

{[X ′T+l−8

]−

[X′T+l−12

]−

[X′T+l−9

]+

[X ′T+l−13

]}; (57)

第 2項 = θ0Θ0 [aT+l−0−0] + θ0Θ1 [aT+l−0−4]

= −Θ1 [aT+l−4] . (58)

但し，RATSでは，θ0 = 1＝Θ0 としたモデルの推定を行うので (第??節で触れた)，l 期先予測 (56)の第 2項 (58)は以下のように書き直される：

第 2項 = Θ1 [aT+l−4] . (59)

5.2. 原系列の多期間先予測：2つの注意すべき点 ch.G1c 71

第??節では，RATSプログラムの実行結果として，上の予測式 (57), (59)の構造がパラメータ推定値を用いて表示されることになる：そこで，予測式 (57), (59)の正しさが確認される．さて，l = 1 のとき，(54)と (55)により，

X ′T (1) = X ′

T−3 +X ′T −X ′

T−4

+φ2

{X ′T−1 −X′

T−5 −X′T−2 +X ′

T−6

}+φ8

{X ′T−7 −X′

T−11 −X ′T−8 +X′

T−12

}−Θ1aT−3. (60)

l = 2, 3 では，

X ′T (2) = X ′

T−2 + X ′T (1) −X ′

T−3

+φ2

{X ′T −X ′

T−4 −X ′T−1 +X′

T−5

}+φ8

{X ′T−6 −X′

T−10 −X ′T−7 +X′

T−11

}−Θ1aT−2. (61)

X ′T (3) = X ′

T−1 + X ′T (2) −X ′

T−2

+φ2

{X ′T (1)−X′

T−3 −X′T +X′

T−4

}+φ8

{X ′T−5 −X′

T−9 −X′T−6 +X ′

T−10

}−Θ1aT−1. (62)

Nelson (1973,p.195)に類例あるので参照のこと．

5.2 原系列の多期間先予測：2つの注意すべき点 ch.G1c

次に，式 (51)–(55)に基づいて (対数変換前の)原系列 {Xt} の予測を行う (式 (1)を想起したい)．

原系列予測で注意すべき点の第 1 原系列は Xt = exp(X′t) が成り立つが，原系列の l 期先予測は XT (l) ≡

E[exp (XT+l)

∣∣IT ]�= exp

{X ′T (l)

}となる．

正しくは，(対数変換後の) X′t が正規分布に従う，つまり Xt が対数正規分布に従う，と仮定すると，原系列の

l期先予測はXT (l) = exp

{X′T (l) + (1/2)Var

[X ′T+l

∣∣IT ]}. (63)

(63)において，X ′T+l の条件付分散は対数系列の l期先予測誤差 bT (l) = X′

T+l− X′T (l)の分散 (原系列については，

l期先予測誤差 = XT+l − XT (l) の分散 (Nelson,pp.161-163))に等しい：Var[X′T+l

∣∣IT ]= Var [bT (l)]．ここで：

bT (l) =l−1∑i=0

ψiat−i ( ψ0 ≡ 1); (64)

その分散「l期先予測誤差の分散」は

Var [bT (l)] = σ2a

l−1∑i=0

ψ2i . (65)

第 5.3.1節でみるように，この l期先予測誤差の分散は，モデルの予測精度を測定する上で重要な役割を果たす；理論は山本 pp.78-80，多変量について理論は山本 ps.217,219をみよ．上の 2式で ψ 重みは，SARIMAモデルを次の誤差ショック形式 (the random-shock form)

wt =∞∑i=0

ψiat−i (66)

72 5. 予測 ch.G1

に書き換えたときのパラメータで，誤差学習係数とも呼ばれる．また，l = 1 としたとき，式 (64)により 1期先予測は bT (1) = at となり，(65)により Var [bT (1)] = σ2

a となることに留意したい．

原系列予測で注意すべき点の第 2 予測の信頼区間について X ′T と XT とでは違いが生じる．

X ′T (l)± k

√Var [bT (l)] を対数変換後の X ′

T+l についての信頼区間とすると，原系列 XT+l についてその信頼区

間は，

exp{X′T (l)± k

√Var [bT (l)]

}. (67)

X ′T+l の信頼区間は対称的であるが，XT+l のそれ (67)は非対称な区間となっている．Nelson(1973,161-165)を

みよ．

5.3 時系列モデルによる予測の実際 ch.G2

本節では，第??節で推定の観点から良好とされた二つの予測モデル (??), (??) (RATSでは式 (??), (??)と表記)間で，予測精度に関する比較を行いたい．但し，(??)の方が，残差の自己相関に関わる Q統計量確率値について比較すると，より良いモデルであろうと考えられた．この予想が予測の結果にも反映されるのか，調べよう．

5.3.1 二つのタイプの予測精度測定 ch.G2a

推定段階で得られた予測モデルによって「標本期間外予測」を行う。その際二つのタイプの予測精度を測定す

る：【パラメータ固定に依る予測】及び【パラメータ更新に依る予測】．前者では，現時点まで (標本期間内)のデータを用いて推定されたパラメータをそのまま固定しておき，原系列の将来 (標本期間外)について予測する．予測精度は事前 (つまり現時点で，将来のデータ入手前)にチェックすることになる．他方，後者では，予測精度は事後 (つまり将来が現実となってそのデータ入手後)にチェックする．

予測基準時点でパラメータ固定に依る予測：事前に予測精度を測る現時点では将来はあくまでも未知なので，現

時点で (つまり事前に)は予測モデルの精度は将来の「予測誤差の標準誤差」によって測ります。予測値は「点」予測 (平均)と考えられることから，(将来の)現実値はおそらくその周辺に落ち着くであろう；この周辺の広さを示す指標が，予測誤差の標準誤差と呼ばれる；これは式 (65)の平方根である．これを使うと，広さ (幅)を持った予測である「区間」予測は

• 「点予測値 ±2×予測誤差の標準誤差」

となる (区間予測は図??と図??で例示される)．従って，(事前に)この標準誤差が小さいほど，(将来の)現実値が予測値により近くなることが期待でき，そのような予測モデルを特定できるよう予測精度をチェックする．(因みに予測誤差=現実値 −予測値であるが，事前には現実値は未知なので予測誤差の標準誤差は現時点までのデータを使って推定された残差分散と AR, MAパラメータ値を使って求められる．)

予測基準時点以降パラメータ更新に依る予測：事後に予測精度を測る将来が現実となって，その現実値が入手

後 (つまり事後的に)予測モデルの精度をチェックするのであれば，まず単純な予測精度の指標として上記の予測誤差の絶対値の大きさが挙げられる (これは図??と図??で例示されている)．事後的予測精度の少し複雑な測り方としては，パラメータを再推定するところの「逐次更新」予測による方法

がある．逐次更新予測とは，将来の 1期先のデータを追加してあたかもそれが現時点と考えてモデルのパラメータを推定し直し，残された (1期分短くなった)将来の予測をするもの．例えば，現時点を 2004年第４四半期とすると，まずこれまでのデータのみで推定，予測し，次に 2005年第 1四半期のデータが入手できたとしてそれも加えて現時点と見なしモデルの再推定そして将来 (2005年第 2四半期以降)の再予測，といったサイクルを繰り返す。推定区間が 1期づつ広がりパラメータが再推定されることになる．

5.4. 円/ドルレート予測の干渉モデル (47)とモデル (15)の比較 ch.G3 73

ここの予測精度は，(将来の)現実値を実際に使って予測誤差を求めるという意味で事後的なものとなる．そのような精度の指標として，平均誤差 (ME=Mean Error)，平均絶対誤差 (MAE=Mean Abs Error)，平均 2乗誤差の平方根 (RMSE=Root Mean Squared Error)そして Theil’s U統計量を計算する．具体的には：

• l 期先ME=l 期先予測誤差 (=現実値 −予測値)の平均値 (これが有意に非ゼロならば予測に過大又は過少の偏り)，

• l 期先MAE=l 期先予測誤差絶対値の平均値，

• l 期先 RMSE=l 期先予測誤差 2乗の平均値の正平方根，

• l 期先 Theil’s 統計量=上の l 期先 RMSE/従属変数に変化無しと予測するナイーブモデルの l 期先 RMSEは，単位から自由な統計量で (RMSEは単位に依存)，1より大きい実現値⇒モデルはナイーブなモデルより予測精度が悪いと判断する (Doan,p.14-256)，

である (計算過程の詳細は実行結果のところで述べる)．これらがより小さい値のモデルが望ましい．

5.4 円/ドルレート予測の干渉モデル (47)とモデル (15)の比較 ch.G3

第 4.2.1, 4.3.6節それぞれのモデル (15)と干渉モデル (47)を予測精度について比較する．

5.4.1 予測プログラムBJforecast er.prg：二つの予測モデルの予測精度の比較 ch.G3a

第??節とは随所で異なる (修正改善された)プログラムとなっている．

5.4.2 実行結果 ch.G3b

モデル (15)

74 5. 予測 ch.G1

RATS出力表 Z

*— C O M P U T E D R E S U L T S— Model I:Box-Jenkins - Estimation by Gauss-Newton中略 (第 4.2.1 節末尾のモデル (15)出力表に同じ)Forecasting equation (BJEQ in BOXJENK above):Dependent Variable RF JY USDVariable Coeff (表注：以下については干渉モデル (47) の出力表 Zを参照)****************************************1. RF JY USD{1} 1.00000000002. Mvg Avge{1} 0.34309485473. Mvg Avge{11} 0.2092140716ENTRY RF JY USD1985:01 5.538042677454中略2004:03 4.687883171448ENTRY RESIDS1985:02 0.023561604711 中略2003:12 -0.008190791508Multistep-ahead forecasts of transformed: (表注：式 (51)による予測値；これを元に将来予測値がグラフ化される)Entry RF JY USD2004:01 4.68232670089972004:02 4.67955255221842004:03 4.6843365855264Decomposition of Variance for Series RF JY USDStep Std Error RF JY USD1 0.027263018 100.0002 0.045651545 100.0003 0.058522260 100.000Upper limit - Lower limitENTRY ULINTVL2004:01 11.785764023472004:02 19.698018918352004:03 25.39532394488*—Entry RF JY USD2004:01 4.68232670089974.66825765485832004:02 4.67472553491064.66859558783822004:03 4.67740641491834.6878831714483Box-Jenkins - Estimation by Gauss-NewtonConvergence in 7 Iterations. Final criterion was 0.0000047 < 0.0000100Dependent Variable RF JY USDMonthly Data From 1985:02 To 2004:01中略Entry RF JY USD2004:03 4.67598558906294.6878831714483Box-Jenkins - Estimation by Gauss-NewtonConvergence in 7 Iterations. Final criterion was 0.0000049 < 0.0000100Dependent Variable RF JY USDMonthly Data From 1985:02 To 2004:03中略Forecast Statistics for Series RF JY USDStep Mean Error Mean Abs Error RMS Error Theil U N.Obs1 0.001909751 0.011289115 0.011574567 0.85619 32 0.006811757 0.012941704 0.014624901 0.87997 23 0.010476757 0.010476757 0.010476757 1.64885 1

干渉モデル (47) RATS出力表 Z (続き)


*— Model II: Intervention modelBox-Jenkins - Estimation by Gauss-NewtonConvergence in 7 Iterations. Final criterion was 0.0000087 < 0.0000100Dependent Variable RF JY USDMonthly Data From 1985:02 To 2003:12中略 (第 4.3.6節の出力表 O に同じ)Forecasting equation (BJEQ in BOXJENK above):Dependent Variable RF JY USDVariable Coeff (表注：以下についてはこの表末尾で解説)****************************************1. RF JY USD{1} 1.0000000002. PS34 -0.083835189 (表注：第 4.3.6節の表 O とは表記が若干異なる)3. PS34{1} 0.0838351894. PS190 -0.0706621155. PS190{1} 0.0706621156. AO98 -0.0430440437. AO98{1} 0.0430440438. PS148 -0.0647975379. PS148{1} 0.06479753710. AO172 0.03727014111. AO172{1} -0.03727014112. Mvg Avge{1} 0.34764747013. Mvg Avge{11} 0.323655523ENTRY RESIDS (表注：第 4.3.6 節の出力表 O に同じ)1985:02 0.023561604711中略2003:12 -0.005779847063Multistep-ahead forecasts of transformed: (表注：式 (72) による予測値 (検証済み 7/29/04)；これを元に将来予測値がグラフ化される)Entry RF JY USD2004:01 4.68479136705152004:02 4.68051105964332004:03 4.6890735631531Decomposition of Variance for Series RF JY USDStep Std Error RF JY USD1 0.024910677 100.0002 0.041803602 100.0003 0.053614741 100.000Upper limit - Lower limitENTRY ULINTVL2004:01 10.794541630142004:02 18.050933477272004:03 23.36764365974*—中略Forecast Statistics for Series RF JY USDStep Mean Error Mean Abs Error RMS Error Theil U N.Obs1 0.000365776 0.011388251 0.012018727 0.88905 32 0.005686421 0.011853990 0.013147336 0.79106 23 0.006701651 0.006701651 0.006701651 1.05472 1

表注 (“Variable Coeff”について)：第 5.1節の (50)-(51)の形にするために，まず，干渉モデル (47)の両辺に1−Bを掛けて次のように書き直す：

(1 −B)X′t = (1 −B)

[ωd1

{1

1−Bξ(d1)t

}+ ωd2

{1

1−Bξ(d2)t

}+ ωd3

{1ξ(d3)t

}

+ ωd4

{1

1−Bξ(d4)t

}+ ωd5

{1ξ(d5)t

}]+ (1 − θ1B − θ11B

11)at

=[ωd1

{1

1−B

(ξ(d1)t − ξ(d1)

t−1

)}+ ωd2

{1

1−B

(ξ(d2)t − ξ(d2)

t−1

)}+ ωd3

{ξ(d3)t − ξ(d3)

t−1

}

+ ωd4

{1

1−B

(ξ(d4)t − ξ(d4)

t−1

)}+ ωd5

{ξ(d5)t − ξ(d5)

t−1

}]+ (1 − θ1B − θ11B

11)at. (68)

76 5. 予測 ch.G1

ここで (第 4.3.6節の (48), (49)参照)，

k = 3, 5 : ωdk

{ξ(dk)t − ξ

(dk)t−1

}=

0, t �= dk and t− 1 �= dkωdk , t = dk

−ωdk, t− 1 = dk

(69)

k = 1, 2, 4 : ωdk

{1

1−B

(ξ(dk)t − ξ

(dk)t−1

)}= ωdk

ξ(dk)t =

{0, t �= dk

ωdk, t = dk.

(70)

さて式 (68)は t = T + lについて，

X′T+l = X′

T+l−1 +[ωd1

{1

1−B

(ξ(d1)T+l − ξ(d1)

T+l−1

)}+ ωd2

{1

1−B

(ξ(d2)T+l − ξ(d2)

T+l−1

)}+ ωd3

{ξ(d3)T+l − ξ(d3)

T+l−1

}

+ ωd4

{1

1−B

(ξ(d4)T+l − ξ(d4)

T+l−1

)}+ ωd5

{ξ(d5)T+l − ξ(d5)

T+l−1

}]+ (1 − θ1B − θ11B

11)at; (71)

そこで (50)のように期待値をとると，

X ′T (l) =

[X ′T+l−1

]+

[ωd1

{1

1−B

(ξ(d1)T+l − ξ

(d1)T+l−1

)}+ ωd2

{1

1−B

(ξ(d2)T+l − ξ

(d2)T+l−1

)}+ ωd3

{ξ(d3)T+l − ξ

(d3)T+l−1

}

+ ωd4

{1

1−B

(ξ(d4)T+l − ξ(d4)

T+l−1

)}+ ωd5

{ξ(d5)T+l − ξ(d5)

T+l−1

}]− θ1 [aT+l−1]− θ11 [aT+l−11] . (72)

ここで：T + l− 1 > dk なので，ξ(dk)T+l = 0 = ξ(dk)

T+l−1；そして，第??節で触れたように移動平均部分は，RATSでは θ1 [aT+l−1] + θ11 [aT+l−11])のように表記されることに注意．結局，上式右辺のパラメータ値がこの順に (まず

[X ′T+l−1

]の 1;ωdk ,−ωdk , k = 1, ...,5;最後にθ1, θ11)，出力表

の “Variable Coeff”で表示されているのである．そして ξ(dk)T+l = 0 = ξ

(dk)T+l−1 であることから，実質は大カギ括弧

内を除いた式で “Multistep-ahead forecasts of transformed”の将来予測対数値が計算され，それを基に図 33が描かれる (検証済み 7/29/04)．

補足：実際，上式は，第 5.1節の (50)-(51)を，階差式 (12)と干渉モデル (47)について書いたものに同じである：

X′T (l) ≡ E

[X ′T+l

∣∣IT ]= (1 −B)

[ωd1

11−B

ξ(d1)T+l + ωd2

11−B

ξ(d2)T+l + ωd3ξ

(d3)T+l + ωd4

11−B

ξ(d4)T+l + ωd5ξ

(d5)T+l

]

−0∑i=0

0∑j=0

1∑k=0

0∑m=0

Not{i=0,j=0,k=0,m=0}

φiΦj(−1)k+m(1k

)(0m

)[X ′T+l−i−0j−k−0m

]

+11∑i=0

0∑j=0

i �=2−10

θiΘj [aT+l−i−0j ] . (73)

上式を項別に，(??), (53), (55)にも留意しつつ書き換えると (Not{i = 0, j = 0, k = 0,m = 0}にも留意)：

第 1項 = 0;

第 2項 = −φ0Φ0

∑k

(−1)k[X ′T+l−k

]= −φ0Φ0(−1)1

[X ′T+l−1

]=

[X ′T+l−1

]; (74)

第 3項 = θ0Θ0 [aT+l−0] + θ1Θ0 [aT+l−1] + θ11Θ0 [aT+l−11]

= −θ1 [aT+l−1]− θ11 [aT+l−11] . (75)


5.4.3 予測精度の比較 ch.G3c

事前に予測精度を測る：予測基準時点でパラメータ固定に依る予測パラメータ固定に依る将来予測は図 33にプロットされている．

1. “Decomposition of Variance” ：対数変換後系列 X ′T+l について，l ヶ月先予測誤差の標準誤差によって比

較をすると，すべての l = 1, 2, 3 で干渉モデルの方が小さい．

2. “Upper limit - Lower limit” ：原系列についての信頼区間の幅で比較すると，ここでもすべての l = 1で干渉モデルの方が小さい．

図 33 円対ドル為替レート (RF JY US)：原系列の現実値 RF JY US，予測基準時点でパラメータ固定に依る予測値

JYUSD FRCSTそして区間予測の幅 UPPER, LOWER．

事後に予測精度を測る (1)：予測基準時点でパラメータ固定に依る予測

1. 原系列でみたときの図 33：

(a) パラメータ固定に依る予測をもとに，事後的に予測と現実を比較すると，両モデルともにすべての lヶ

月先 (ステップ)で過大予測となっている：2004年 1月の予測は特にそう；しかし 2, 3月では予測誤差が狭まっていく．

Out-of-Sample Forecasts of Raw (Unlogged) Data (RF_JY_USD): 2004:m1 to 2004:m3Model I (left) vs. Model II (right)

Model I

mo/yr

J F M A M J J A S O N D J F M2003

95

100

105

110

115

120

125RF_JY_USDJYUSD_FRCST_IUPPER_ILOWER_I

Model II: Intervention model

mo/yr

J F M A M J J A S O N D J F M2003

95

100

105

110

115

120

125RF_JY_USDJYUSD_FRCST_IIUPPER_IILOWER_II

78 6. PPP説に基づく為替レート予測 ch.H

事後に予測精度を測る (2)：予測基準時点以降パラメータ更新に依る予測

1. “Forecast Statistics”：

(a) 平均誤差 (ME=Mean Error)は干渉モデルの方が小さい．

(b) 平均絶対誤差 (MAE=Mean Abs Error)，平均 2乗誤差の平方根 (RMSE=Root Mean Squared Error)と Theil’s U統計量は，l = 1を除いて干渉モデルの方が小さい；但し，両モデルともに，l = 3のTheil’s U統計量が 1より大きいので，RMSEがナイーブな (つまり，水平な変化の無い)予測より大きい．

総合的判断期待していた通り，干渉モデル (47)の方が予測精度のより高い結果となった．つまり，AO, PSの検出が予測精度のより高い結果をもたらすことが確認される．

ところで，第 4.3.5節の「外側反復 5：内側反復 1」において，「但し，C を更に小さく設定し (2.5など)，AO,PSを検出することは可能である：おそらく，それらの追加的な AO, PSも，後の出力表 Oでみるように，統計的に有意となるであろう (従って第 5.4節での予測精度向上に貢献するであろう)；しかし，これまで検出された AO, PSは円ドルレートの突出した動きの幾つかに対応しており，ここで留めておく．」つまり，干渉モデルによる更なる予測精度向上は，外側反復 5での C を更に小さく設定することで実現できるかも知れない．但し，

Tsay (1998, p.12)に留意しておきたい：The effect of the identified disturbances on point forecasts is negligibleprovided that the forecast origin is not too close to the disturbances.

6 PPP説に基づく為替レート予測 ch.H

PPP説 (為替レート決定の，最も単純な構造モデル)のもとで，VARモデリング下で共和分，誤差修正を導入する．

6.1 何故，単変量ではなくVARモデリング？共和分？誤差修正？：PPP説との関連で

6.1.1 Enders (2004) on Cointegration and Error Correction (EC)

Cointegration

* p.322: Economic theorists and ecnometricians use the term ’equilibrium’ in different ways. Former: equil.=an equality between desired and actural transactions. Latter:

• equil.= any long-run relationship among nonstationary varaibles. The equil. relationship may be causal,behavioral, or simply a reduced-form relationship among similarly trending variables.

• Cointegration refers to a LINEAR (NOT nonlinear) combination of I(d) variables (d > 0).

• Cointegration does NOT require that the long-run relationship be generated by market forces or by thebehavioral rules of individuals. pp.325-8: Cointegrated variables share common stochastic trends: Stockand Watson (1988).

• A lack of cointegration implies no long-run equil. among the variables, so that they can WANDERarbitrari ly FAR FROM EACH OTHER! A lack of cointegration implies, too, rank(β) (= the number ofcointegrating vectors) =0.

* pp.323-6: Cointegrated vs noncointegr. variables illustrated: Worksheets 6.1 vs 6.2.

6.1. 何故，単変量ではなく VARモデリング？共和分？誤差修正？：PPP説との関連で 79

Equil. Error and EC

* p.328: Cointegrated variables: Their time paths are influenced by the extent of any ”deviation from long-runequil. (= equl. error: pp.321-2).” [pp.321-2: A set of economic variables are (hence the system is) in long-runequl. when β1x1t + ·+ βnxnt = 0; equl. error, et = β′xt with β being a n× 1 conintegrating vector.] After all,if the system is to return to long-run eqil., the movements of at least some of the varaibles must respond to themagnitude of the disequil., et.

• p.329: The dynamic model implied above is one of error correction. An error-correction model: Theshort-term dynamics, like ∆xt, of the variables in the system are influenced by the deviation from equil.,et, which involves long-term variables like xt. [Long-run equil. is attained when et(= β′xt) = 0.]

• p.329: The essential point is that the error-correction representation necessitates that the two variables becointegrated of order CI(1, 1). p.333: The Granger representation theorem: For any set of I(1) variables,error correction and cointegration are equivalent representations.

* pp.329-30: two-variable, n-variable models. The key feature of the n-variable dynamic model (6.13) is thepresence of the matrix π:

• If all the elements of π=0, i.e., there is no error-correction representation, (6.13) is simply a traditionalVAR in first differences.

• If one or more of the elements of π differs from 0, i.e., there is an error-correction representation, theshort-run variables do respond to the previous period’s equil error: The omission of the error-correctionrepresentation will entail a misspecification error.

* pp.330-335: A good way to examine the relationship between cointegration and error correction is to studythe progerties of the simple VAR model ....

• p.333: A cointegrated system can be viewed as a restricted form of a general VAR model.

• p.333: Very important: We can use the rank of the cointegrating vector π to determine whether or notvairables are cointegrated.

• pp.333-4: Weakly exgenous: ....

• p.335: The main point here is that there are two important ways to test for cointegration: (1) The Engle-Granger (1987) methodology seeks to determine whether the residuals of the equi. relationship are sta-tionary (see pp.335-347); (2) The Johansen (1988) methodology determines the rank of π (see pp.347-372).

6.1.2 Johansen(1988) on a multivariate VAR-based cointegr.

The Johansen (1988) methodology as summarized by Enders:* pp.347-8: The Engle-Granger (1987) methodology is single-eq. based; therefore, its defects are ...* p.348: The Johansen (1988) procedure relies heavily on the relationship between the rank of a matrix

and its characteristic roots. Remember the procedure is nothing more than a multivariate generalization ofDickey-Fuller test.* pp.349-52: A drift term to allow for the possibility of a linear time trend; a constant term/an intercept in

the cointegrating relationship.

• pp.344-5: Unless there are compelling reasons to omit the constant, the recommended practice is toINCLUDE an intercept term in the equilibrium regression.


• p.344 on PPP: Absolute PPP: The intercept = 0. Relative PPP: The intercept �=0.

* p.352: If the variables in xt are not cointegrated, the rank of π is zero and all of the cahracteritic roots willequal zero.* p.355: To test for the presence of an intercept in the cointegrating vector as opposed to the unrestircted

drift, estimate ...* pp.355-7: To test other restrictions on the cointegrating vector, Johansen lets π = αβ′; how to determine

α, β; once α,β are determined, testing various restrictions on α,β is straightforward ....* pp.357-8: Lag length tests; Granger causality tests for a cointegrated system.* pp.358-9: To difference or not to do so:

• If the actual d.g.p. is given by the cointegrated system of (6.54), then the VAR entirely in first differencesis misspecified since it excludes the long-run equil. relationships among the variables that are containedin πxt−1.

• Why not, then, simply estimate all VARs in levels? The answer is that it is indeed PREFERABLE touse the FIRST DIFFERENCES IF the I(1) variables are NOT cointegrated. It is, therefore, important toproperly determin wheher the I(1) variables are cointegrated. If they are not, then estimate the systemin first differences; if they are, work with the error-correction model.

* pp.359-60: Cointegration test with I(2) variables.* pp.360-2: Multiple cointegrating vectors

• p.323: If xt has n nonstationary components, there may be as many as n − 1 linearly independentcointegrating vectors.

• If the rank(π) exceeds one, it is not straightforward to interpret the cointegrating vectors, for any linearcombination of the vectors is also a cointegrating vector (→p.323: and hence it may not be possible toidentify the behavioral relationships from what may be reduced-form relationships).

* pp.362-6: Four steps to be used when implementing the Johansen procedure.* pp.366-72: General-to-specific modeling.

• pp.366-7: The general-to-specific approach is a compromise between a pure error correction model anda traditional regr.-based approach. ... The ADL is extremely general. ... The essential point is thatan error-correction model is embedded within the autoregressive distributed lag (ADL); as such,appropriately restricting the ADL yelds an error-corr. model. ... We can write the error-correction model,(6.64) and (6.65) in the exact form as the reparameterized ADL, (6.63)

• p.368 on weak exogeneity:

∆yt = αy(yt−1βzt− 1) + eyt (76)

∆zt = αz(yt−1βzt− 1) + ezt (77)

if zt does NOT respond to the discrepancy from the long-run equil. relationship yt−1βzt− 1, i.e., the speedof adjustment αz = 0 and therefore (p.334) yt does all of the adjustment, then it is weakly exogeneous.The practical importance is that this wealky exogenous variable zt does NOT experience the type offeedback that necessitates the use of VAR. ... The fact that αz = 0 means that ...

That zt is NOT weakly exogenous is equivalent to αz �= 0.

• pp.368-72 on actual application of the genera-to-specific approach:

• pp.370-2 on weak exogeneity again:

6.1. 何故，単変量ではなく VARモデリング？共和分？誤差修正？：PPP説との関連で 81

6.1.3 Harris (1995) on deterministic compnents in vector ECM (5.3): Intervention events to beembodied in the vector ECM

* p.117: In particular, it is important to spend some time in (i)..., (ii)..., (i ii)....* p.81: Testing for the iclusion of the deterministic compnents is undertaken jointly with testing for conte-

gration rank.* ps.81, 88: Including (short-run) interventions and shocks will affect the underlying distribution

of test statistics, such that .....

• CATS in RATS, ps.4, 8, 15-16, 18-19, 66, 68, 86: Including intervention dummies does complicate theprocedure, for the Monte Carlo experiment IS required to compute the associated critical values.

• → intervention dummiesを含めなくてもよい分析：disturbance-contaminated series vs. dist.-freeseriesの比較？

* pp.81-86: The PPP model illustrated for (5.3): Johansen and Juselius (1992). The problems associatedwith sepcifying the elemnts in Dt.

• pp.83-5: Restrict Dt to include only seasonal dummies and an intercept?

• pp.82-6: the outlier/interventions problem and non-normality of resids. Testing for weak exogeneityof the variables containing outliers and or interventions: If they are so, then ... ps.83, 86, 98-104.

* pp.95-7: constant and trend components as the deterministic variables; critical values.

• p.96: the constant is generallly needed to account for the units of measurement of the variables.

* pp.104-110 on testing for linear hypotheses on cointegration relations: pp.109-110 for the PPP relatinship.* pp.110-6 on testing for unique cointegration vectors: pp.114-6 for the PPP relatinship.* pp.116-7 on joint tests of restircitons on α (the speed-of-adjustment parameters), β (a matrix of lon-run

coefficients such that ... p.79 ...): pp.115-117 for the PPP relatinship.

6.1.4 MacDonald and Marsh (1994) on PPP, VAR with EC, multivariate model to test for

cointegration, and Random Walk

Multivariate model to test for cointegration * p.23: the simplest structural model of exhange ratedetermination, namely PPP.* p.30: Strong-form PPP=there is at least one cointegrating vector between er and relative prices, and

the proportionality restirctions are satisfied;Weak-form PPP=er and relative prices are cointegrated (there are NO restrictions on the cointe-

grating vector), and the proportionality restirctions are NOT satisfied because the price series are NOT thetrue price series due to measurement error and because transportation costs are incurred.* p.33: We believe that a better basis for examining the number of unit roots in a vector of vairables is given

byh the multivariate cointergration methodology of Johansen.

• Harris (1995, p.72): Testing for cointegration using a single eq. is problematic. ... there seems littleadvantage in staring from the single eq. model. Rather, the multivariate VAR approach developed byJohansen (1988) is the more obvious place to begin testing for cointegration. ...

• Harris, p. 77: the deficiencies of the single eq. cointegration approach.


• Harris, p. 77, and CATS in RATS, p.2: a vector error-correction model (VECM). RATS, UG, p.332:the error correction form of the VAR; a VAR in error correction form.

• Harris, p. 79, and RATS, UG, p.332: If π in the VECM is zero, ...; if it is not zero, ...; if non-zero π hasfull-rank or zero-rank, ...an uninteresting case; if non-zero π has less than full rank (i.e., reduced rank),... an interesting case.

* p.33: A 12th-order lag in the underlying VAR, containing a constant and 12 seasonal dummmies, is usedto ensure residual whiteness and account for any seasonality not captured by the seasonal dummies.

• Harris (1995, p.81): Set the appropriate lag-length of the VAR to ensure that the residudals are Gaussian(i.e., they do not suffer from autocorrelation, non-normality, etc.).

* p.34: The multivariate cointegration test results, Table 2, suggest that the weak-form version of

PPP finds considerable supporet from the data.* p.35: The existence of weak-form PPP for many currency/price combinations means that an error-

correction representation must exist for these combinations.

• CATS in RATS, p.34: ... Note how strongly the PPP relation seems to be present in all (five) eqs.

Single-equation model to predict out of sample * pp.35-6: The geneal-to-specific methodology(Hendry et al 1984) is used to obatin a parsimonious dynamic eq. (a dynamic ECM eq. — a SINGLE eq., NOT a vector modfor each exch. rate and then use this eq. to construct out-of-sample predictions for the exh. rate which wethen compare to the performance of the random walk model. ... Can the simplest of structural models, namlelyPPP, do any better?

• Enders (2004, pp. 366-372) on the geneal-to-specific modeling.

• pp. 39-40: Each (single) dynamic ECM eq. is estimated by OLS; many tests are involved ... Hirao: Howto estimate the single ECM eq. by RATS/CATS?? (The ECT instruction is for a VAR; For ECT, seeRATS, UG, pp.332-333.)

• p. 42: It looks like the out-of-sample forecasts are computed using RATS’ theil instruction.

• Why not forecasting by the vector ECM/VAR??

• pp.25-29, 44: The question ”If the PPP outperforms the random walk in an out-of-sample forecastingcontext, then what?” is NOT investigated at all. Hirao: Would that mean the PPP is better than Roll’s(1979) efficient markets view of PPP (EMPPP)? — See also MacDonald and Marsh (1999, pp.50-56)

6.2. PPP理論 83

6.2 PPP理論

本節および次節で基幹となる理論は為替レートの長期理論としてのPPP説であるが，その創始者はCassel(1916)である．彼も含めて，過去，その PPP説の実証モデリングに向けて数多くの計量経済学的および時系列的接近が試みられてきた．しかし PPP説が純粋に貨幣的な理論であるがゆえに，これらの PPP分析またはテストは最近に至るまで実物的要因をほとんど無視するという傾向が強く，この点は PPP研究分野での残された重要な課題の１つとなっている．

そこでこの節では，PPP理論を統計的に時系列モデリングしつつ，実体的変化に伴って生じる時系列的構造変化が，実は PPP分析のなかにどのように組み込めるのかを明らかにしよう．PPP説のそのような新たな時系列モデリングでは，時系列論での研究，特に，第 3章と第 4章で考察された時

系列水準のずれおよび異常値モデル，Fuller(1976)に始まる単位根検定，そして最近の Engle and Granger(1987;以下 E-G) が提案している均衡誤差と共和分の概念，これらすべてが融合してゆく展開をみせるということが明らかにされるであろう．

ここで留意しておきたいことは，過去の PPPの時系列テストでは既に Fullerと E-Gは核を成しているであるが，しかしそのようなテストでは時系列構造変化が無視されており，第 3章と第 4章の諸概念が依拠されることはほとんどなかった点である．

以下に提案される新たな融合の過程で，PPP理論についてはその絶対的および相対的形式をCasselに従って定義しておきつつ，彼によっては明示されていない実質為替レートの概念に焦点を絞ることにする．

また，時系列論では特に水準シフトと異常値の導入について，第 3 章と第 4 章にあわせて Perron andVogelsang(1992; 以下 P-V)の成果も加味しつつモデリングを試みる．

(1)　Casselの理論

PPP理論を最初に主張し，同時にデータによってその仮説の実証的根拠を示したのは Casselであった．PPP理論の原型である彼の交換理論は次のような簡潔なものである．

２国 F と H 間の交換比率とは，例えば F 国の通貨価値を H 国の通貨で表現したものであるが，そもそも F

国通貨が H 国で価値をもつためには，それが F 国自身での購買力を表していなければならない．したがって，

F 国の通貨の価格を H 国の通貨で表示した交換比率は F 国の購買力に概ね比例することになる．換言すれば，

その交換比率は，F 国の一般物価水準には反比例し，H 国のそれには比例することになり，結局２国間の交換比

率は両国の物価水準の比率によって決まる．

そこで，この交換理論で主張されているような２国間の理論的交換比率 (すなわち名目の均衡交換比率または均衡名目レート)をいま PE (これは PPP rate of exchangeの略記)とすると，

PE =PH

PF(78)

ここで PH と PF はそれぞれ自国および外国の一般物価水準を表す (上添え字 H と F はそれぞれ自国通貨建

て，外国通貨建てを意味する)．そして現実に観測される交換比率である名目為替レートを NE (nominal rate ofexchangeの略記 )とする．ここで，NE と PE は自国 (例えば H 国)の通貨で計った外国 (例えば F 国)通貨の価格，つまり自国にとって直接表示の名目為替レート，である．

Casselの理論が現実の名目レートについて成り立つということを絶対的PPP理論として数学的に表現すると，単に

NE = PE (79)

この等号が成り立てば，(5.1)により自国通貨で計った外国通貨の価格である NE は外国の PF には反比例し，

自国の PH に比例するところの交換比率となる．つまり絶対的 PPP理論は

PFNE

PH= 1 (80)


とも表現され，NE を用いて自国通貨で表示した外国物価水準は自国の物価水準に等しい，という関係式となる．

(ただし，式 (5.3)の右辺が１以外の定数をとるような絶対的 PPP理論も考えられる．これについては後述の相対的 PPP理論の中で触れる.)Casselは彼の交換理論をテストする際に，物価についてはその絶対的水準ではなく，基準時点からの変化率としての物価指数を用いているので，実は絶対的 PPP理論よりも弱い関係としての相対的 PPP理論をテストし

ている．この，より弱い交換理論が成立するような理論的交換比率を再び PE で表すと，それは絶対水準表現の

(5.1)に沿った形の次式を満たす．PEtPE0

= cPHt /PH0PFt /P

F0

(81)

ここで c は定数，t (> 0) は時間，0は基準時点を表す．観測される交換比率 NE についてこの相対的理論が成り立つということは次のように表記される．

NEtNE0

=PEtPE0

(82)

この右辺に (5.4)を代入して書き換えると，

(NEt/NE0)PFt /PF0

PHt /PH0= c (83)

したがって，相対的 PPP理論が名目レート NE について成り立つということは，NE を用いた自国通貨建ての

外国インフレ率と自国インフレ率との比 (相対価格)が時間を通じて一定であると主張することにほかならない．ここで，Casselでは明示的には触れられていない概念であるが，時点 t での実質為替レート REt を，式 (5.6)の左辺の比率を用いて第 2章の実質レート測定式 (2.1)に同じく次のように定義する．

REt ≡(NEt/NE0)PFt /P

F0

PHt /PH0(84)

(NE が直接表示となっているので RE も自国通貨の直接表示である.) このとき名目レート NE について相対

的 PPP理論が成り立つということは式 (5.6)と定義式 (5.7)により，どの時点 t についても

REt = c (85)

が成り立つということにほかならない． PE の変化率の式 (5.4)右辺の定数 c は実は時不変な長期均衡実質為替

レート値なのである.さて，基準時点は現実の名目レート NE0 が理論的レート PE0 に一致する時点として選ばれている．式

(5.4)–(5.8)を基準時点のみに適用できる形に書き換えると，それぞれ

PE0 = cPH0PF0

(5.4′)

NE0 = PE0 (5.5′)

NE0PF0

PH0= c (5.6′)

RE0 ≡ NE0PF0

PH0(5.7′)

RE0 = c (5.8′)

基準時点での実質為替レート RE0 がとる値 c は，理論的 (均衡)実質為替レートと解釈される．ここで留意すべきことは，基準時点において絶対的 PPP理論が定数 c までは成立している (holds only up to a multiplicativeconstant c)と仮定している点である (しかし，後の 5.1.2節 (2)のように，もし c = 1と特定すれば，基準時点において絶対的 PPP理論 (5.3)に帰着することになる)．

6.2. PPP理論 85

t > 0については式 (5.7)によって実質為替レート REt が求められ，REt が RE0 から乖離していれば (5.8)の条件が満たされなくなり，現実の NE の動きは相対的 PPP説で主張されている均衡名目レート PE から乖離し

ていることになる (変動レート制期間に実際そのような乖離が観察されてきた)．さて，相対的 PPPを Casselとは異なる接近で実証テストするために，データは彼と同じだが，テスト基準と

して時間を通じて実質為替レートが一定であるかどうかの基準を採用すると，彼の標本期間中の各時点 t の実質

レートは表 5.1のようになる．この表の最終欄は，厳密には式 (5.8)が成立しているとは言えないことを示している．しかし名目レート NEt/NE0 に比べると，試算された実質為替レートの変動はわずかであり，1915年の１年間を通じてほぼ一定であったと考えてよいのではないか．したがってこの短い期間でさえ，スウェーデンと英国

との間では相対的 PPP説がほぼ成り立っていた，すなわち現実の名目レート NE が理論的レート PE とほぼ同

じ動きをしていたであろう，と推察される．さらには，このほぼ一定な実質レートの値としてその標本平均を用

いるとすると，式 (5.4)において c = 18.23を代入し，表 5.1のデータを用いれば各月 t について理論的交換比率

の変化率 PEt/PE0 を求めることができ，その計算結果は Cassel(p.63)の “Theoretical rate of exchange”とほとんど一致していることが容易に確認できる．

(2)　内外生産性および価格差の測定との関係均衡名目為替レートの変化率 PEt/PE0 は，時不変の実質為替レート値 c を用いて式 (5.4)によって常に算出できるのであるが，それは２国間の価格差および生産性格差問題の考察において極めて重要な役割を果たす．

例えば，式 (5.4)によって試算される均衡名目レート PE は産業別または国全体の，2国間労働生産性の格差を試算する際に用いられる．すなわち，国全体［産業別］の労働生産性を，時間当たり生産性＝国内総生産［産

業別生産］/(就業者数×労働時間)で測定すると，分子の国内総生産と産業別生産を共通の通貨で表示する際に，(理論的)２国間名目レート PE を用いるのである．国内総生産については例えば OECD (the Organization forEconomic Co-operation and Development)試算の GDP(Gross Domestic Product)ベースの PE で変換するこ

とになろうが，業種毎の生産性の比較では厳密には業種別に製品の平均的な理論レートを計算することになろう．

さて，共通の通貨単位で表示する際に，現実の２国間名目レート NE ではなく，式 (5.4)によって試算される理論レートで各国生産性を変換しようとするのはなぜか．

Casselの交換理論の本質は，自国に通貨表示の外国通貨の価格を表す PE が外国通貨の，その国での購買力に

概ね比例 (外国［自国］物価の動きには反比例［比例］)しているという発想にある．したがって，その PE から

NE が乖離している，例えば NE < [>]PE (すなわち，相対的 PPPの不成立)のとき，現実の市場で決まる為替レートは外国通貨のその国での購買力を過小［過大］評価していることになる．t = 1990年についてみると，対米ドル円名目為替レートは NEt/NE0 = 144.79 < PEt/PE0 = 189 (経済企画庁 1992, p.352, 表 3-7-4)．この大きさの乖離は t =1989年についても観察されており，労働生産性の日米間の格差測定に違いをもたらしている．また，1989年の日本の国全体の時間当たり生産性を 100として，米国のそれはこの NE を用いれば 109，他方適正な均衡レート PE によれば 162と算出されている．つまり，現実の為替レート NE が米国ドルの米国に

おける購買力を過小評価しているために，それによる米国の生産性はより適正な PE によるそれより低くなって

しまっている．米国ドルの購買力を正しく反映しているという意味で適正な米国の生産性は，NE ではなく PE

で評価されたものであろう．

ところで，(5.4)の両辺を NEt/NE0 で除すと

PEt/PE0

NEt/NE0= c

PHt /PH0(NEt/NE0)PFt /P F0

(86)

上式右辺は自国通貨表示の内外価格差 (内外インフレ率差)であり，それは (定数 c を除けば)，左辺の２つの名目レート変化率の差に等しい．すなわち，２国間の内外価格差は現実の名目為替レートが理論的名目レートからど

の程度乖離しているかによって測定されるのである．もし式 (5.5)が成り立っていれば (換言すれば，実質為替レートについて (5.8)が成立していれば)，両レートの乖離はなく，したがって (5.9)により内外価格差は発生していないことになる．

内外価格差の時間的推移は式 (5.9)の左辺によって試算されることになるが，この内外価格差問題については次


節で再び触れることにする．

6.3 実質為替レートの変動

相対的 PPP理論では基準時点は極めて重要な時点である．まず，その時点に限って絶対的 PPP理論が成立している．次に，その時点の実質為替レートの値は式 (5.4)右辺の c であり，基準時点以後の実質為替レート REt

がそれから乖離していれば，そのことは現実の NE が相対的 PPP理論に基づく PE から乖離した動きをしてい

ることを意味する．以下では，この基準時点での実質レートからの乖離について２つのコンテクストのもとで考

察する．

(1)　Cassel交換理論の厳密なコンテクスト

現実の変動的な経済環境においては，REt は時不変な値 c をとり続けるのではなく，各時点で異なった推移を

示すことになるが (表 5.1の最終欄をみよ)，これはつまり各時点 t で式 (5.5)が厳密には成立していない (相対的PPP説の不成立)ということであり，式 (5.9)で表現すれば，内外価格差が発生していることを意味している．つまり，実質為替レートの時変性の起因は内外価格差発生の背景ともなっているのである．

さて，内外価格差 (または内外インフレ率格差)の起因を考察するうえで，貿易財と非貿易財の区別が重要である．基準時点 0から時点 t までに経済構造の変化が生じるとき，特に貿易財と非貿易財間の相対価格，貿易財間

の相対価格，さらに非貿易財間の相対価格，それぞれに変化が起こり，内外価格差が発生することになる．

まず，経済成長率の高い国 (5.1.1節の記号で自国 H )では，サービスを中心とする非貿易財の，工業製品等の貿易財に対する相対価格が上昇トレンドを示す傾向にあり，これはその自国通貨の実質的増価傾向を意味す

る．これは，日本をその自国 H と考えた場合，その高度成長期を通して式 (5.7)で定義された (直接表示)対米ドル円実質為替レート REt が下落していったこと (式 (5.7)において NE を自国通貨の間接表示とすれば，

REt ≡ PFt /P

F0

(NEt/NE0)PHt /P

H0も間接表示となり，REt は上昇)と整合している．このような REt の低下トレンドは，

相対的 PPP理論からの乖離の１つのパターンとして図 5.1のパネル A1に描かれている．次に，貿易財に限ってみても，国際的な裁定が不完全な現実において (例えば日本の)輸出企業は，国内向けと

輸出品間で価格差別を行っている．PH と PF がそれぞれ特定財の国内出荷価格と輸出価格を表すとすると，現

実には式 (5.6)の等号は成り立っていない．このような価格差別の背景としては，例えば 1985年プラザ合意以降の急激な円高 (NE の顕著な下落)時期を

みてみると，日本輸出企業の為替転嫁率の低さ (いわゆる市場に応じた価格づけ (pricing to market; 以下 PTM)行動の積極さ)があり，それは結局実質為替レート (5.7)の時変性の起因ともなっているであろう．これは図 5.1のパネル B2に例示されている．パネル B2では，ある時点で名目レート NE に急低下 (自国通貨の急激な増価)が生じているが，しかしそれ以降その低下分すべてを輸出企業が輸出価格 PF の上昇に反映させるような価格行

動をとらないために，NE の低下の大部分が RE の低下 (自国通貨の実質増価)となってしばらくの期間表れる様相を呈している．この自国の実質為替レートの増価は国内向け製品の需要を減少させ，その価格 PH (式 (5.7)の分母)に下落圧力がかかる．(その後国内価格が徐々に下落するに従い，RE は再び上昇し始め，長期均衡水準 c

に回帰することになろう.) もし為替転嫁率が 100% であった (すなわち PTM行動を一切とらない)ならば，NE

の低下分すべてが PF の上昇となって現れ，RE は一時的な増価なしに均衡水準 c を継続して維持していたであ

ろう．(日本輸出企業の為替転嫁率の低さについては，付録 A.12 (第 6章付論 4)でそのミクロ経済学的基礎を提示しているので参照せよ.)貿易財間の相対価格，特に輸入財と輸出財との相対価格 (つまり交易条件)は，実質為替レートの定義式 (5.7)

と整合させれば，次のように輸入価格 PM の変化率と輸出価格 PX のそれとの比として定義できる．

TTt ≡PMt/PM0

PXt/PX0(87)

6.3. 実質為替レートの変動 87

TT の上昇［低下］は交易条件の悪化［向上］を意味する．TT の恒久的上昇は，原油 (輸入財)と工業製品 (輸出財)間に第１次オイルショック時に生じたし，その低下が 1986年に生じている．交易条件にそのような恒久的な変化が生じるとき，実質為替レートに変動がもたらされるかも知れない．すな

わち，自国 (例えば 1973–1974年における産油国または燃料節約型の小型自動車生産国)の交易条件が恒久的に向上すれば，自国通貨の名目レートの増価 (すなわち NE の下落)ないしは自国物価水準 PH の上昇を通じて，実

質レートが恒久的に増価 (すなわち RE が低下)することになろう．図 5.1のパネル B3がこのような RE の恒久

性をもった変動を描いている．

最後に，Casselの厳密なコンテクストでは相対的 PPP理論の不成立は現実の NE について式 (5.8)が成り立たないことであるから，図 5.1のパネル B1のようにある一定の範囲内に限られた実質為替レートの小さな動きについても厳密な意味では相対的 PPP理論からの乖離が生じていることになる．しかし，先の３つのパネル A1，B2と B3に比較して，パネル B1のこの小さな変動は現実の確率的な経済環境

のもとでは偶然変動として生じる性質のものと捉えることもできる．つまり，確率的コンテクストで相対的 PPP理論を提示し直すとすれば，パネル B1に描かれた RE の動きは長期的にはこの理論と整合的，と考えるのであ

る．実際この立場は Casselが実証の際にとっているもので (表 5.1の最終欄についての解釈をみよ)，次項ではこの統計学的接近，特に E-Gのコンテクストにおける相対的 PPP理論の時系列モデリングを試みることにする．

(2)　 E-Gの長期的時系列コンテクスト：単位根と共和分

以下では他の研究と同様に，式 (5.4)で cが明示されていない相対的PPP理論を用いる．(通常，式 (5.4), (5.6),(5.8)において便宜上 c＝１と設定されている．ただしそのように特定すること，および任意の c �=１を仮定することは，基準時点における絶対的 PPP説について異なる含意をもつ．5.1.1節をみよ.)いま

Zt = logREt, Y1t = logNEtNE0

, Y2t = logPFtPF0

, Y3t = logPHtPH0

とし，３次列ベクトル yt = (Y1t, Y2t, Y3t)′ および α = (1, 1,−1)′ とすると，定義式 (5.7)により相対的 PPP説(5.8)は

α′yt = 0 (88)

式 (5.11)は E-Gが定義した長期恒常的均衡にほかならず，３変数 Y1t, Y2t, Y3t より成る経済システムが長期均衡

にあることを表している．

他方，このシステムが不均衡状態にあるとき，

Zt = α′yt ( �= 0) (89)

を均衡誤差 (E-Gの意味での不均衡)と呼ぶ．式 (5.8)が成立していないとき (すなわち REt �= 1 のとき)，REt は基準時点における均衡値から乖離した値

をとることになり，REt は時不変でなくなる．Casselの交換理論の枠組みにおいて，厳密に解釈すれば (上の (1)項をみよ)，式 (5.12)の均衡誤差 Zt (すなわち時点 t の実質為替レート対数値)は，長期均衡式 (5.11)として表現された相対的 PPP説からの乖離を表していることになる．いま，Yit, i = 1, 2, 3がすべて非定常過程に従う，例えば，単位根検定の結果，各 Yit は１次階差が (弱)定常過程である (すなわち，integrated of order 1: Yit ∼ I(1), i = 1, 2, 3)とする．そして式 (5.12)の均衡誤差 Zt に単

位根検定を施した結果について２つの場合を考える．

まず，これら３つの変数が，共和分ベクトル α を通して長期的に密接に連動している (換言すれば，長期的には名目レート Y1t が内外インフレ率格差 Y2t − Y3t に対応した動きをしている)としよう．発生するであろう実物的ショックは単に一時的な性質のものと考えるのである．このときシステムの均衡誤差は Zt ∼ I(0) となり，Zt

がゼロ値から大きく乖離してしまうことはほとんどなく，むしろゼロ水準を頻繁にクロスする定常な推移をみせ

る (すなわち，長期均衡 (5.11)が頻繁に達成されるような動きをする)．これは，図 5.1のパネル B1にみられるよ


うな，実質レート REt が長期均衡レート c (= 1) の周りを限られた狭い範囲で変動する場合にほかならない．そこで，「相対的 PPP説が長期的に成立」を統計的 (時系列論的)に表現し直せば，「式 (5.12)についてもし均衡誤差Zt が Zt ∼ I(0) ならば，E-Gの意味で相対的 PPP説が成立している」となろう．次は，(非定常な)３変数の長期的推移が打ち消しあうようなことがなく，互いに乖離してしまう (例えば，名目

レートの分散が内外インフレ率格差のそれと大きく異なっている)ような場合である．ここでは発生する実物的ショックが恒久的な影響を及ぼしていると考え，Zt ∼ I(1) としよう．すなわち，「均衡誤差 Zt は非定常で広い範

囲で動き回り，ゼロ水準の周りで推移することはほとんどなく，E-Gの意味で長期的には相対的 PPP説は成立していない」と表現しよう．図 5.1のパネルA1にこのような REt の動きが描かれている．

(a)　均衡誤差の時系列モデリング

上にみた第１の場合「E-Gの意味で相対的 PPP理論が成立している」は，式 (1.28)の誤差ショック形式で次の定常な時系列モデルとして表せる．

Zt =T (B)P (B)

at (90)

ここで，均衡誤差 Zt は前章 4.2.1節の基本モデル (4.41)の，変則を含まない時系列に相当し，(5.13)はその式(4.41)に沿えば，d＝D＝ s＝ 0, µ＝ 0 とおいたものである．そして T (B) と P (B) はそれぞれ定常性条件を満たす自己回帰フィルター，反転可能性条件を満たす移動平均フィルターである．

第２の場合「E-Gの意味で相対的 PPP理論の不成立」には次の非定常なモデルを想定する．

Zt =T (B)

(1 −B)P ∗(B)at (91)

ここで P ∗(B) も定常性の条件を満たすフィルターである (ここでも式 (4.41)に沿えば，d＝D＝ s＝ 0, µ＝ 0)．このモデルの特徴は自己回帰フィルター P (B) = (1 −B)P ∗(B) について単位根が存在することである．もし P∗(B) = T (B) = 1 ならば，(5.14)は Zt についてドリフトなしのランダムウォークモデルとなり，確率

的トレンドをもった Zt を表現することになる．

また，もし右辺に定数項が含まれていれば，それはドリフト付のランダムウォークモデルとして１次の確定的

トレンドをもつ Zt を表現し，図 5.1パネル A1は実はこの１次確定トレンドをもった動きを描いている．(b)　財の相対価格との関連さて，PPP理論からの乖離 (誤差)の背景として，その乖離の大部分が，貿易財間の相対価格の変動による場

合，あるいは貿易財と非貿易財間または非貿易財自身間の相対価格の変動による場合，の２つが考えられよう．こ

れら２つの (乖離の)源泉には大きな違いがある．前者の，貿易財間の相対価格の変動は限定された大きさだが，後者の非貿易財間 (または貿易財と非貿易財間)のそれは非有界な大きさとなり得る．すなわち，これら相対価格の変動の起因となっているのは，実物的ショック

であるが，前者 [後者]においてはそのショックは一時的 [恒久的]性質のものと言える．したがって，前者 [後者]に起因する PPP説からの誤差は [非]有界となり，実質為替レートはマーチンゲールと

は異なる [に似た]推移をみせることになろう．結局，前者 [後者]に適切な時系列モデリングは (5.13) [(5.14)]と考えることができる．

6.4 実質為替レートの構造変化 (確定的非定常性)の時系列モデリング

前節の時系列論的コンテクストでは，Fullerと E-Gの提唱した諸概念がその核を成している．しかしそれらは図 5.1パネル A1と B1に描かれたモデルに限定されており，他のパネルに描かれているような，実物的要因と深く関わりあう構造変化を含む時系列に対しては，彼らの概念のみでは不十分な PPP分析となる．種々の実体的側面をも組み込んだより完全な時系列的 PPP分析には，第 3章と第 4章で提示した諸概念を新たに導入することが極めて有用である．

そこで本節では，相対的 PPP説において貨幣的側面と実体的側面の融合が，時系列モデルのどのような数理的特定化で達成されるかを図 5.1をもとに明らかにしよう．

6.4. 実質為替レートの構造変化 (確定的非定常性)の時系列モデリング 89

(1)　実質為替レート時系列における水準シフトと異常値の導入

図 5.1のパネル B1は定常な時系列モデル (5.13)によって，またパネル A1は単位根に特徴づけられた時系列モデル (5.14)によって，表現されることを前節で述べた．しかし他のパネル A2，A3，B2，そして B3 に描かれている REt の非定常な動き (構造変化)については，図 4.1で描かれているような，時系列水準シフトとイノベーションの異常値の存在を考慮した時系列モデリングが適切であろう．この種の非定常性についてここでは３つの

タイプに焦点を絞るが，それらにおいて実質レート時系列モデル (5.13)または (5.14)が式 (4.41)の特別な場合に相当し，そして構造変化を内包する時系列モデルとしては前章の干渉モデル (4.42)が適用される．非定常性の起因となる (構造変化としての)変則を含む実質為替レートを (第 1章の表記に従って対数変換後の)

Xt で表し，ここでは単純化のために干渉モデル (4.42)において m = 1 (すなわち変則が１つのみ，時点 d で発生している)と設定する．すなわち

Xt = ωU,jd{νU,j(B)ξ(d)

t

}+ Zt (92)

ここで，ω と ν の下添え字 U は構造変化が生じている時系列の種類を指し，j は構造変化のタイプを表す．U と

j の組み合せを以下３つ考察する．

(a)　 U ＝Xt, j = P：実質レートに恒久的ずれ PSが生じている場合ωX,Pd が時点 d で実質為替レートに生じた PSの初期インパクトを表し，νX,P (B) がその PSに適用される多

項式で，式 (4.49)と同一であるとすると，(5.15)は (4.47)の第１式と (4.50)に同じ表現

Xt =

T (B)P (B)

at, t < d

ωX,Pd +T (B)P (B)

at, t ≥ d(93)

となる．(5.16)の標本関数は，P (B) として (5.13)のそれが当てはまれば図 5.1のパネル B3 (ただし図では PSが複数時点で生じている)のように描かれ，(5.14)の P (B) が当てはまればパネル A3のようになろう．後者 (パネル A3)については，(5.14)の P (B) = (1 − B)P ∗(B) を (5.15)に代入すると (式 (4.49)に同じく

νX,P (B) = 1/(1 −B) であるので)，

(1 −B)Xt = ωX,Pdξ(d)t +

T (B)P∗(B)

at

=

T (B)P ∗(B)

at, t �= d

ωX,Pd +T (B)P ∗(B)

at, t = d(5.16′)

つまり実質レートの成長率 (1 −B)Xt の観点からすれば，(5.14)が当てはまる図 5.1パネル A3はその成長率に時点 d で AOが発生しているモデルと解釈できることになる (AOについては 4.2.2節 (1)項をみよ)．

(b)　 U = at, j = P：イノベーション系列に PSが生じている場合これは第 4章では考察しなかったケースで，いま ωa,Pd が時点 d でイノベーション系列に生じた PSの初期

インパクト，νa,P (B) = T (B)P (B)νX,P (B) (ここで νX,P (B) = 1/(1−B))，δ

(d)t =

{0, t < d1, t ≥ d

，そして (4.2.2節

(2)項に同じく) ψ が時系列モデルの誤差ショック形式の重みを表すとすると，(5.15)は

Xt =T (B)P (B)

{ωa,Pdδ

(d)t + at

}

= ωa,Pd

∞∑j=0

ψjδ(d)t−j +

T (B)P (B)

at

=

T (B)P (B)

at, t < d

ωa,Pd

i∑j=0

ψj +T (B)P (B)

at, t = d+ i, i = 0, 1, 2, ...(94)


と書き換えられる．P (B) として (5.13)のそれが当てはまれば，(5.17)の標本関数は図 5.1のパネル B2のように描かれ，(5.14)のそれが当てはまれば，パネルA2のようになろう．後者 (パネル A2)については P (B) = (1 −B)P ∗(B) を (5.15)に代入するにあたり，νa,P (B) = T (B)

P ∗(B)νX,P (B)

そしてモデル (5.14)の誤差ショック形式の ψ∗(B) = T (B)P ∗(B) を用いると，

(1 −B)Xt =T (B)P∗(B)

{ωa,Pdξ

(d)t + at

}

=

T (B)P∗(B)

at, t < d

ωa,Pdψ∗i +

T (B)P∗(B)

at, t = d+ i, i = 0, 1, 2, ...(5.17′)

これは，実質レートの成長率に対応するイノベーションに IOが時点 d で生じているモデルにほかならず，実質レート成長率の IOモデルとなっている (IOについては 4.2.2節 (2)項をみよ)．

(c)　 U = at, j = I：イノベーション系列に IOが生じている場合最後に，Xt のイノベーション系列に異常値が発生していれば

Xt =T (B)P (B)

{ωa,Idξ

(d)t + at

}

= ωa,Id

∞∑j=0

ψjξ(d)t−j +

T (B)P (B)

at

=

T (B)P (B)

at, t < d

ωa,Idψi +T (B)P (B)

at, t = d+ i, i = 0, 1, 2, ...(95)

再び P (B) として (5.13)のそれが当てはまれば，(5.18)の標本関数は図 5.1のパネル B2のように描かれ，(5.14)のそれが当てはまれば，パネル A2のような動きになろう．後者 (パネルA2)については P (B) = (1−B)P ∗(B)を (5.15)に代入，νa,P (B) = T (B)

P∗(B) (= ψ∗(B)) に留意して，

(1−B)Xt =T (B)P ∗(B)

[ωa,Id

{(1 −B)ξ(d)

t

}+ at

]

= ωa,Id

∞∑j=0

ψj{ξ(d)t−j − ξ

(d)t−j−1

}+

T (B)P ∗(B)

at

=

T (B)P∗(B)

at, t < d

ωa,Id( ψ∗i+1 − ψ∗i ) +

T (B)P∗(B)

at, t = d+ i, i = 0, 1, 2, ...(5.18′)

以上３つ (a)–(c)のうちで現実に発生し検出される非定常な実質為替レート変動が，具体的にどのような実体的経済要因によるものかを特定するには，その発生時点前後に観察される内外の経済環境や金融情勢の特異な変化，

金融・財政政策の変更や各国の国際協調行動などの，厳密な年代的考察が加えて必要である．相対的 PPP説の時系列分析は，統計的干渉モデル (4.15)を構築すると同時に，発生した実質レート時系列構造変化の実体的な背景を歴史的に探ってゆく，という研究方法がとられて初めて完結した実証ということができる．そのような実証を

本章では 5.3節と 5.4節で試みることにする．(2)　干渉モデル (5.15)の応用：相対的 PPP理論のテストに向けて時系列論の枠組みで相対的 PPP理論のテストを行うにあたって，帰無仮説は「E-Gの意味で長期的には相対的

PPP説が不成立」であり，式 (5.14)のように表現される (これは単位根仮説である)．他方，対立仮説は「E-Gの意味で長期的には相対的 PPP説が成立している」であり，式 (5.13)がこれに相当する．つまり，均衡誤差 Zt (実質為替レート REt の対数値)の確率過程が単位根の存在によって特徴づけられるか否かによって相対的 PPP理論をテストする，という検定法をとるのである．この検定法に従えば，図 5.1のパネルA1が帰無仮説を，パネル B1が対立仮説を描いている．

91

この従来の検定法に干渉モデル (5.15)を組み込むとき，新しい検定法のポイントは，そのモデルに含まれる時系列の時点 d 以降の構造変化部分 (右辺第１項)を，構造変化を含む Xt の確定部分とみなし，仮説検定はこの

確定部分を取り除いた後の確率過程 T (B)P (B)at の構造をテストする，という点にある．

この新たな検定法に従えば，干渉モデル (5.16)，(5.17)そして (5.18)ではすべて自己回帰フィルター P (B) に単位根が存在しないという理由で，図 5.1パネル B3と B2は対立仮説が採択される場合を描いていることになる．他方，干渉モデル (5.16′)，(5.17′)そして (5.18′)はパネルA3，A2に描かれ，帰無仮説が棄却できない場合である．結局，干渉モデル (5.15)に従った相対的PPP理論のテスト手続きは２段階を踏むことになる．まず，水準シフトまたは異常値を検出し，(確定部分としての)それを原系列から取り除いた，変則調整済みの(disturbance-adjusted)系列 X∗

t を作成する．次に，この系列 X∗t について単位根検定 (式 (5.13)か (5.14)の判別)を行う．

かくして相対的 PPP説のテストにおいて，変則調整済みの系列 X∗t は極めて重要な役割を果たすことになる．

そこで次節では，この種の系列を作成するための反復的手続きを詳述することにしよう．

7 おわりに

単変量予測システムについては，会話型のメニュー選択式を整備すべき：RATS Version 6から，よりユーザフレンドリーなシステム開発が可能．単変量予測システムの概説も含めた，メニュー選択のマニュアルも作成すべき．

参考文献[1] 小島平夫, 為替レート変動の時系列分析, 牧野書店 (1994).

[2] Box, G. E. P. and G. M. Jenkins, Time Series Analysis: Forecasting and Control, Revised Edition, Holden-Day(1976).

[3] Box, G. E. P., G. M. Jenkins and G. C. Reinsel, Time Series Analysis: Forecasting and Control, Third Edition,Prentice-Hall (1994).

[4] Doan, T. A., RATS User’s Manual, Version 4, Estima(1992).

[5] Enders, W., Applied Econometric Time Series, John Wiley & Sons (1995).

[6] Granger, C. W. J. and P. Newbold, “Spurious Regressions in Econometrics,” Journal of Econometrics, 2, 111–120(1974).

[7] Hsu, D.-A., “Tests for Variance Shift at an Unknown Time Point,” Applied Statistics, 26, 279–284 (1977).

[8] Hsu, D.-A., “Detecting Shifts of Parameter in Gamma Sequences with Applications to Stock Price and Air TrafficFlow Analysis,” Journal of American Statistical Association, 74, 31–40 (1979).

[9] Mills, T. C., “Estimating Trend Growth Rates of the U.K. Monetary Aggregates,” Journal of Forecasting, 10,269–283 (1991).

[10] Sims, C. A., “Macroeconomics and Reality,” Econometrica, 48, 1–48 (1980).

[11] Tiao, G. C. and G. E. P. Box, “Modeling Multiple Time Series with Applications,” Journal of American StatisticalAssociation, 75, 802–816(1981).

[12] Tsay, R. S., “Outliers, Level Shifts, and Variance Changes in Time Series,” Journal of Forecasting, 7, 1–20 (1988).

[13] Wichern, D. W., R. B. Miller and D.-A. Hsu, “Changes of Variance in First-Order Autoregressive Time SeriesModels — With an Application,” Applied Statistics, 25, 248–256 (1976).

時系列予測システムの構築 - seinan-gu.ac.jpkojima/bjts/bjtsforecsystem_dvi.pdf · 5.3...

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