DEIM Forum 2016 H7-1

文字列索引によるネットワーク制約下の車両軌跡の索引化

小出 智士† 田所 幸浩† 吉村 貴克†

† 株式会社 豊田中央研究所 〒 480–1192 愛知県長久手市横道E-mail: †{koide,tadokoro,yoshimura}@mosk.tytlabs.co.jp

あらまし GPSロガーなどを通じて大量に収集される車両の軌跡データを，走行経路および走行時間帯を考慮して適

切に管理することは，車両から収集されるデータを利用したアプリケーションのための基盤として重要である．本論

文では蓄積された車両軌跡データに対する，完全経路クエリと呼ばれる時空間検索を行うためのデータ構造を提案す

る．提案手法は車両が基本的には道路上のみを走行することに着目し，軌跡をグラフ辺を文字とする文字列として扱

うことで文字列パターンマッチの問題に帰着させる．さらに車両軌跡データに含まれる時間情報を取り扱うために逆

接尾辞配列を用いて，時刻情報を格納する B+木 と文字列索引である FM-index を統合する方法を提案する．提案手

法の有効性を示すために実データを用いた比較評価を行い，特に経路クエリ長が大きな場合に従来法と比較して高速

に解を得られることを確認した．

キーワード 時空間索引，ネットワーク制約軌跡，完全経路クエリ，逆接尾辞配列，FM-index

1. は じ め に

近年，自動車などの移動体から収集されるデータの量および

種類が爆発的に増大してきており，それらのデータを活用した

アプリケーション開発への期待が高まっている．そのような応

用の例としては例えば，車両軌跡データを用いてタクシードラ

イバーの経路選択行動を学習するようなスマートナビゲーショ

ン [19] や，低コストのセンサ (車載カメラなど) のデータを統

合することで地図を作成する技術 [7] などが挙げられる．この

ような技術の開発においては収集・蓄積された大量の車両軌跡

データに対して，欲しいデータを必要に応じて高速に検索し，

取り出すことができるよう適切に管理されていることが重要で

ある．車両軌跡データの検索に特有の問題として，時空間コン

テキスト (車両の走行経路および走行時間帯) を考慮した検索

が必要になるという点がある．

空間索引の多くはユークリッド空間内の点として表現される

位置情報に対して構築される．車両軌跡データにおいても通常，

位置情報は GPS ロガーなどから得られる緯度経度の座標列と

して収集される．しかしながら，自動車は基本的には道路ネッ

トワーク上のみを走行することに着目すれば，位置情報は (道

路ネットワークを有向グラフ G = (V,E) と考えた場合の) グ

ラフ辺の列として表現することができる．このような軌跡の表

現はネットワーク制約軌跡と呼ばれる．図 1に道路ネットワー

ク上を移動するネットワーク制約軌跡の例を示す．例えば，軌

跡 T0 は eab → ebc → ece → eef のように走行している．車両

の位置を緯度経度ではなく，道路リンクの列として取り扱うこ

とは多くのアプリケーション (ナビゲーションなど) にとって

最も自然なものであると考えられる．以上のことから，我々は

ネットワーク制約軌跡に対する索引化・検索の問題について考

える．

本論文では時空間コンテキストを考慮可能なクエリの中で，

最もシンプルである完全経路クエリ (Strict Path Query; SPQ)

aT0

T1

T3

T2

d fe

b c

図 1 6 つの道路リンク E = {eab, ebc, ebd, ece, ede, eef} からなる道路ネットワーク上を移動する 4 つの軌跡 (T0 ∼ T3) の例

に着目する．これは時刻 s から t の間にクエリ経路パターン P

で走行した車両 (の ID) をすべて列挙する，という問い合わせ

である (厳密な定義については後述する) ．ただし，クエリ経路

パターン P は辺集合 E 上の記号列である．後に 3. 1節で詳し

く見るように，この完全経路クエリを素朴な方法で解こうとす

ると，経路クエリ長 |P | に比例したディスクアクセス (B+ 木

の探索) およびデータの結合 (join) が発生し，特に |P | が大きな場合について高速に解くことができない，という問題がある．

ネットワーク制約軌跡は E の要素を文字とする (時刻付き

の) 文字列であるとみなすことができる．従って軌跡に対する

検索は，ある種の文書検索の問題とみなすことができる．我々

はネットワーク制約軌跡に対する索引を全文索引を利用して構

成することを試みる．しかしながら全文索引は記号列 (道路リ

ンク列) の検索を実現するものであり，それに付随する時間的

な検索条件を考慮できない．そこで我々の提案手法では全文索

引として FM-index を用い，時刻などの情報は B+ 木に格納

する，というハイブリッド構造を採用する (図 2に提案手法の

概要を示す) ．FM-index は与えられたパターン P に対応する

�����������

���������

��������

��������

�����

������

������

�����

図 2 提案する索引構造の概要

接尾辞配列上の範囲を高速に返すことができるが，時間に関す

る情報を保持できないため，時刻を含めたクエリを実行できな

い．そこで逆接尾辞配列を用いて，空間パターンを索引化する

FM-index と時刻などを索引化する B+ 木を対応付けることで

完全経路クエリを処理する方法を提案する．この結果，ディス

クアクセスのコストが経路クエリの長さ |P | に依存しない方法を実現することができ，高速化を達成することができる．

本論文の構成は以下のとおりである．2 章では軌跡の表現お

よび問題設定を述べる．3 章ではネットワーク制約軌跡に関す

る索引，および文字列検索に関する関連研究を述べる．4 章で

は提案手法を説明する．5 章では実際のプローブカーデータを

用いた評価実験の結果を示す．6 章および 7 章では手法および

結果に関する議論および結論を述べる．なお，本研究について

の詳細は [9] を参照されたい．

2. 問 題 設 定

2. 1 軌跡表現の定義

本論文では道路ネットワークを有向グラフ G = (V,E) とし

て表す．ここでは道路ネットワークは時間とともに変化しないと

仮定する．道路ネットワーク上の車両の位置情報は 4要素からな

るタプル (d, e, tin, tout) として表現されるものとする．ただし，

dは軌跡 ID, e ∈ E は通過した道路リンク，tin, tout は軌跡 dが

道路リンク e に入った時刻および出た時刻である．ネットワー

ク制約軌跡は上記の位置情報の列 Td := {(d, ei, tini , touti )}nd−1i=0

として定義される．軌跡 Td の道路リンク列のみを取り出すた

めに，Td.e := e0e1 · · · end−1 のような表記を用いる．また，車

両はネットワーク上を連続的に動くものとする．従って ei と

ei+1 は隣接した道路リンクであるものとし，また touti = tini+1

である．

先に述べたように本論文では軌跡を文字列として扱う．従っ

て道路リンク集合 E には辞書順が定義されているとする．実

際には，この順序の設定には特に制約はなく，任意の順序を用

いてよい．

また，配列 A に対して，i 番目の要素を A[i] と表し，A[i, j)

を i番目から j−1番目までの部分配列とする．従って，上で述べ

たネットワーク制約軌跡に対しては Td.e[i, j) = ei ei+1 · · · ej−1

となる．また本論文を通して，配列などの添字は 0 から始まる

ものとする．

a

d fe

b c

P

図 3 図 1 のネットワークにおける P = ebd → ede の完全経路クエ

リ．P の最終ノードでの時刻について制約する．

2. 2 完全経路クエリ

ここでは完全経路クエリの厳密な定式化を行う．1章で述べ

たように，完全経路クエリは定性的には時刻 s から t の間にク

エリ経路パターン P で走行した車両 (の ID) をすべて列挙す

る，という問い合わせである．

定義 1. D 個の軌跡の集合 T = {Td | 0 <= d < D} を考える．問い合わせ経路 P は長さ m の E 上の配列とする:

P := p0 p1 · · · pm−1. 本論文では完全経路クエリ (Strict Path

Query) を以下のように定義する：

SPQ(P, s, t) := {d | ∃i, j : Td.e[i, j) = P ∧

s <= Td.tout[j − 1] < t}. (1)

すなわち，完全経路クエリ SPQ(P, s, t) は部分的に P とい

うパターンで走行し，かつ P の最後のリンク pm−1 を通過し

終えた時刻が s と t の間に含まれるような T の軌跡を抽出するようなクエリである．

再び図 1 の例に戻って説明する．クエリ経路パターン

P = ebd → ede および [s, t) = [18, 25) の場合，SPQ(P, s, t)

は道路リンク ede を出た時刻，すなわち交差点ノード e での時

刻が [18, 25) の間にある軌跡に対応する (図 3)．なお，時刻の

制約の仕方としては P 全体が [s, t) に含まれる，すなわち P

の最終ノードのみではなく，最初のノード (先の例ではノード

b) の時刻も制約する，というクエリも考えられる．実際，関連

研究 [10] ではそのようなクエリのみを考えている．4. 6 節で示

すように，我々の方法は簡単な拡張によってそのようなクエリ

にも対応できることを強調しておく（注1）．

3. 関 連 研 究

3. 1 ネットワーク制約軌跡の索引付け

ネットワーク制約軌跡に対する索引構造の研究としてはFNR-

tree [5] がある．これは道路リンクごとに車両が該当の道路リン

ク上に存在した時間区間を R木で管理するという索引構造であ

る．ここでは時空間矩形クエリを対象にしており，完全経路ク

（注1）：ただし両者の結果は非常に似通っている場合がほとんどであるため，厳

密に時間幅を限定したい場合を除いてはあまりメリットはなく，より高速に解く

ことができる我々の定義 (1) で十分である．

エリのような経路に関するクエリは明示的には考慮されなかっ

た．Vieira らによって提案された索引構造 [17] は FNR-tree と

類似の構造を用いるが，対象とするクエリの範囲が拡張されて

いる．具体的には，フレキシブルパターンクエリ (FPQ) と呼

ばれる完全経路クエリを含むクエリを定義し，FPQ に対する

IJP (Index-Join Pattern) アルゴリズムが提案された．しかし，

IJP アルゴリズムは文書検索に対する転置インデックスと類似

のアルゴリズムであり，クエリ長 |P | に比例するディスクアクセスおよびマージが発生し，完全経路クエリに対しては高速で

あるとは言えない（注2）．

Krogh らは完全経路クエリを初めて明示的に定義し，その索

引構造を提案した [10]．この論文では大別して二種類のアルゴ

リズムが提示されている．一つは完全経路クエリに対して厳密

な結果を返す，IJP アルゴリズムに類似のアルゴリズムである．

従って，クエリ長 |P | に比例するディスクアクセスおよびマージ操作が発生する．もう一つは近似アルゴリズムであり，ディ

スクアクセスが |P | に依存しない検索を実現する．しかし，この方法は軌跡に対するハッシュ関数を定義する方法であり，検

索結果にはハッシュの衝突に起因する誤検出が含まれる可能性

がある．本研究では Krogh らの手法では実現できない，ディ

スクアクセスが |P | に非依存，かつ厳密な結果を返すことができる手法を提案する．

3. 2 文字列索引

文字列におけるパタンマッチングは多くの既存研究がある．

ここでは本研究で用いる接尾辞配列および FM-index に関連す

る話題について述べる．

接尾辞配列は文字列処理にとって重要なデータ構造であり，

文字列 T の接尾辞を辞書式順序で並び替えたときの接尾辞の

ソート前の順序 (添字) として定義される．接尾辞を並び替え

たことで，以下のよく知られた重要な性質が得られる：任意の

部分文字列パターン P が T に出現する位置は接尾辞配列 SA

上の連続した範囲 SA[sp, ep) として与えられる．

FM-index は Ferragina らによって提案された全文索引であ

り，圧縮された文字列上での高速なパタンマッチを可能にす

る [4]．これは Tbwt[j] = T [SA[j]− 1] で定義される Burrows-

Wheeler 変換 [2] をウェーブレット木 [6]（注3）に格納すること

で得られるデータ構造である．この索引構造を用いると与え

られたパターン P に対して，上で述べた文字列 T に出現す

る P の対応する接尾辞配列上の範囲を文字列長 |T | に依存しない O(|P | log σ) の時間で求めることができる．ここで σ

はアルファベット集合のサイズであり，我々の問題設定におい

ては道路リンク集合のサイズ |E| となる．また空間複雑性は

（注2）：文書検索における転置インデックスでは典型的にはポスティングリスト

が文書 ID 順に並んでいるため，高速なマージが可能である [13]．一方で IJP

アルゴリズムでは時刻に関する B+ 木の索引で絞り込んだ複数のリストをマー

ジするため，ソートが必要になる点も非効率である．

（注3）：本研究で取り扱うアルファベット集合は道路リンク集合 E であり，通常

|E| は数万～数百万である．これは自然言語の場合よりもかなり大きい．今回は大きなアルファベット集合に対しても適用可能なポインタのないウェーブレット

木 [3] を用いた．

|T | log σ + o(|T |) ビットであり，元のテキストと同程度のサイズで元のテキストと索引の両方を格納できる．このサイズは

データ圧縮することで，同等の検索機能を持ったまま，さらに

小さくすることができることが知られている [8], [12]．接尾辞

配列および FM-index を含む文字列索引の話題については，例

えば [20] が詳しい．

3. 3 XMLドキュメントに対するパス検索

経路およびそれに付随する属性を検索する関連技術として

XML ドキュメントに対するパス検索の技術が挙げられる．例

えば Yoshikawa らによる XRel [18] では RDB を用いて XML

文書を索引化し，パス検索を実現している．その構造は非常に

柔軟であり，様々な属性とパスを同時に取り扱うことができる．

また原理的には (XMLパスを車両経路と読み替えることで) 完

全経路クエリに対しても適用可能である．しかしながら XRel

では文書内に存在するパスの全ての接頭辞を格納するため，極

めて多種類の接頭辞が出現し得る車両経路データに対して適用

することはあまり効率的でないと考えられる．

一方で XML 文書のような構造化文書に対するデータ構造は

(例えば加速度や画像など，時間以外の要素を含む) 本研究で対

象とするデータよりも複雑な属性で構成される現実の車両デー

タの格納や検索などを考慮する場合に役立つ可能性があること

を強調しておく．

4. 提 案 手 法

4. 1 前 処 理

通常，位置情報データは GPS ロガーなどから得られる

緯度経度座標として与えられるため，これを適切に前処理

し，ネットワーク制約軌跡表現を得る必要がある．本研究で

は，隠れマルコフモデルに基づくマップマッチング手法 [14]

を用いて緯度経度を道路リンクの列に変換した．これによ

り，緯度経度座標 (x1, y1), (x2, y2), · · · に対応する道路リンク列 e1, e2, · · · が得られる．この際，ei と ei+1 が隣接した

道路リンクでない，ということが起こり得る．これは主に緯

度経度座標の時刻の間隔が大きい時に発生する．これを修

正する方法としては例えば，半教師付き学習の枠組みを用い

て (ei, ei+1) → (ei, ei+1/n, ei+2/n, ei+(n−1)/n, ei+1) のように

ギャップを埋める方法がある [11]．本研究ではマップマッチン

グアルゴリズム [14]の仮定に基づき，このようなギャップを最

短経路で補間した．

時刻に関しては軌跡の経路に沿って GPS の点が射影された

点の距離を用いて線形補間することで，tin および tout を得た．

4. 2 移動パターンの索引化

ネットワーク制約軌跡の集合 T = {Td | 0 <= d < D} を考える．ここでは空間的な移動パターンのみの索引化について述

べる．軌跡 d の移動パターン Td.e に対して，順序を反転させ

た配列を Rd := reverse(Td.e) とする．既に述べたように，こ

れは道路リンク集合 E 上の文字列 (文書) とみなすことがで

きる．そして得られた文書集合 {Rd} を特殊文字 $ を用いて

結合した文字列を 軌跡文字列 Y := R0$R1$ · · · $RD−1$ と定

義する．ただし，$ は道路リンク集合 E に含まれるどの道路

リンクよりも辞書式順序が小さいものとする．図 1 の例では

Y = eefeceebceab$eefedeebdeab$eefedeebd$eefede$ となる．こ

の軌跡文字列に対して FM-index を構築する．このようにして

構築された索引を提案手法における空間索引と位置づける．

3. 2節で述べたように，この FM-index は与えられたパター

ン P に対応する接尾辞配列上の範囲 [sp, ep) を高速に返すこ

とができる．軌跡文字列 Y の接尾辞配列を SA[0, |Y |) とする．このとき，P を反転させた文字列 Prev := reverse(P ) に対応

する接尾辞配列上の範囲を [sp′, ep′) とすると SA[sp′, ep′) は

元の軌跡文字列 Y 上で Prev が出現する位置のリストを過不足

なく表している．このことより以下の補題が成り立つ．

補題 1. 軌跡文字列 Y に対して長さ m のクエリ経路パ

ターン P を反転させた Prev に対応する接尾辞配列上の範

囲を R(Prev) := [sp′, ep′) とする．このとき，j ∈ R(Prev) と

Y [SA[j], SA[j] +m) = Prev は同値である．

ここで，接尾辞配列 SA の逆関数である逆接尾辞配列

ISA を考える．すなわち，任意の 0 <= j <= |Y | に対してISA[SA[j]] = j である．このとき，補題 1 を j = ISA[i],

SA[j] = i を用いて書き換えることで以下が成り立つ．

命題 1. 軌跡文字列 Y に対して長さ m のクエリ経路パ

ターン P を反転させた Prev に対応する接尾辞配列上の範

囲 R(Prev) := [sp′, ep′) とする．このとき，ISA[i] ∈ R(Prev)

と Y [i, i+m) = Prev は同値である．

この命題が示唆するのは，もし Prev に対応する範囲 R(Prev)

を予め知っており (これは FM-index で高速に求められる) ，そ

の上で位置 i の ISA[i] を sp′ <= ISA[i] < ep′ のようにチェッ

クすれば，位置 i が Prev にマッチするかどうか (したがって

逆順で見た時に P にマッチするかどうか) を一つのスカラー

値に関する不等式で判定できるということである．提案手法の

キーとなるアイデアは，この ISA[i] の値を時刻や軌跡 ID を

格納するディスク上のデータベースに格納するということであ

る．これにより走行した経路パターンとそれ以外のデータが紐

付けられ，高速な検索が可能になる．以下の節ではこれらにつ

いて詳細に説明する．

4. 3 時刻情報の索引化

議論を簡単にするために，時刻その他の情報は表 1 のような

テーブルに格納されているものとする．このテーブルには図 1

で用いたものと同じ 4つの軌跡に対応するデータが格納されて

いる．各行は 2. 1節で定義したタプル (d, e, tin, tout) に対応し

ており，軌跡 ID d, 道路リンク ID e, 時刻 tin, tout の他に i,

ISA[i] の列を持っている．ここで i は軌跡文字列 Y 中の位置

に対応し，ISA[i] は Y の逆接尾辞配列（注4）の i 番目の値であ

（注4）：この例では，道路リンク集合 E 上の順序をリンク添字の辞書式順序で定

義している．例えば ebc < ede である．

表 1 軌跡 ID，時刻情報，逆接尾辞配列などを格納するテーブルの構

造．(e, tout) のペアに対して B+ 索引を構築する．格納された

4 つの軌跡は図 1 の例に対応する．

i d e tin tout ISA[i]

0 0 eef 18 23 13

1 0 ece 12 18 9

2 0 ebc 9 12 6

3 0 eab 5 9 5

4 — $ — — 3

5 1 eef 19 22 16

6 1 ede 13 19 12

7 1 ebd 10 13 8

8 1 eab 6 10 4

9 — $ — — 2

10 2 eef 16 19 15

11 2 ede 11 16 11

12 2 ebd 8 11 7

13 — $ — — 1

14 3 eef 9 15 14

15 3 ede 15 21 10

16 — $ — — 0

る．従って，表 1 の e-列は Y に一致する．

このテーブルの道路リンク e と道路リンクを出た時刻 tout の

二つの列のペア (e, tout) に対して，B+ 木 を用いて索引化して

おく．このような構造化はネットワーク制約軌跡のための索引

化の手法として FNR-tree [5] や Vieira らの研究 [17]，Krogh

らの研究 [10] で用いられているものと本質的には同じである．

ただし，既存研究では逆接尾辞配列 ISA の値は格納されてい

ない（注5）．

Vieira らが提案した IJP アルゴリズムでは，はじめにパター

ン P = p0 p1 · · · pm−1 に含まれる各 pj に対して，道路リンク

ID e が pj に一致する軌跡 IDのリストを (必要があれば時刻

tout に関する条件を考慮して) m = |P | 個のリストを抽出する．これは (e, tout) 上に構築された索引によって比較的高速に実行

できる．その後，転置インデックスにおける文書検索と同様の

方法で |P | 個のリストの共通部分を取ることで解を得る．この方法では B+ 木 の探索回数が最大で |P | となるので，大きな|P | を持つクエリでは明らかに非効率である．また |P | 個の各リストは軌跡 ID順にソートされていないため，リストの結合

にも大きなコストがかかってしまうという問題がある．

4. 4 完全経路クエリのためのアルゴリズム

本研究ではテーブルに追加された逆接尾辞配列の値を用い

て効率的な探索を行う．完全経路クエリ SPQ(P, s, t) を考え

る．まず P の反転文字列 Prev に対して，4. 2 節で構築し

た軌跡文字列 Y の FM-index を用いて接尾辞配列上の範囲

（注5）：Krogh らの方法 [10] では ISA の代わりに軌跡から計算されるハッシュ

値を格納することで近似的な検索を可能にする．提案手法はこのハッシュ値の

フィールドを逆接尾辞配列に取り替えることで厳密な検索を実現するものとみな

すことができる．

R(Prev) = [sp′, ep′) を求める．次に 4. 3 節で定義したテーブ

ルに対して，

• 道路リンク ID e がクエリ経路パターン P の最後の道路

セグメント pm−1 と一致し，

• 時刻 tout が s <= tout < t を満たし，

• sp′ <= ISA[i] < ep′ を満たす

ような行の軌跡 IDを取り出す．最初の二つの e および tout に

関する条件は前節で説明した B+ 木 の索引によって高速に実

行可能である．それらのデータの中で最後の条件を満たすもの

が SPQ(P, s, t) の解である．この最後の条件は後述するよう

に，空間的な経路パターンのマッチングに対応している．この

方法を表 1 (tbl とする) に対する SQL として表現すると以下

のように非常にシンプルになる：

SELECT d FROM tbl WHERE e = pm−1 AND s <= tout < t AND

sp′ <= ISA < ep′ ;

次節でこの方法が正しいことを示すが，ここでは表 1 の例

を用いて説明する．2. 2 節で用いた P = ebd → ede および

[s, t) = [18, 25) の例について再度考えてみる．まず，Prev に

対応する接尾辞配列上の範囲は [sp′, ep′) = [11, 13) となる (具

体的な計算は省略する) ．次に P の最後の要素である ede を

走行し，かつ tout が [18, 25) に含まれる要素を取り出す．その

結果，i = 6 行目および，i = 15 行目が抽出される．i = 6 の

とき，ISA[6] = 12 ∈ [11, 13) なので，この行 (軌跡 ID d = 1)

はアルゴリズムによって抽出される．一方，i = 15 のとき，

ISA[15] = 10 /∈ [11, 13) なので，この行 (軌跡 ID d = 3) は

アルゴリズムによって抽出されない．すなわち，d = 1 のみが

SPQ(P, s, t) の解として抽出されることになる．実際，d = 3

の軌跡は ede を [18, 25) に通過するものの，ebd → ede という

経路を走行していない．また，軌跡 ID d = 2 は ebd → ede の

ように走行しているものの，ede を出た時刻が 16 /∈ [18, 25) な

のでやはりマッチしていない．したがって，提案アルゴリズム

は正しい結果を返していることがわかる．

4. 5 提案手法の性質

本節では提案手法が持ついくつかの性質を示す．はじめに，

アルゴリズムの正しさを示す．

性質 1. (結果の厳密性) 4. 4 節で示したアルゴリズムは厳密な

SPQ(P, s, t) の解を返す．

Proof. 4. 4 節で示したテーブルに対する三つの検索条件のう

ち，最初の二つにマッチする集合を U とする．条件の設定の仕方

から，SPQ(P, s, t)は明らかに U に包含される．U に含まれる

軌跡のうちで SPQ(P, s, t) に含まれないものがあるとするなら

ば，それは pm−1 以前に走行した経路パターンが p0 p1 · · · pm−2

にマッチしないような軌跡である．そのような false positives

を取り除くために sp′ <= ISA[i] < ep′ の条件を用いている．実

際，この条件にマッチすることは命題 1より Y [i, i+m) = Prev

と等価なので，U に対して sp′ <= ISA[i] < ep′ でフィルタリ

ングしたものは SPQ(P, s, t) と等しいことが言える．

また，以下の性質はアルゴリズムの手続きより自明である．

性質 2. (ディスクアクセス)提案アルゴリズムは任意の経路パ

ターン P および時間幅 [s, t) に対して，(e, tout) を索引化する

B+ 木を一度だけ探索する．

この性質は 4. 3節で述べた IJP アルゴリズムが |P | 回の探索を必要とすることと対照的である．また，Krogh らによる近

似検索アルゴリズム [10] は (|P | に依存しない) 二度の B+ 木

の探索で近似的な結果を返すものである．一方，提案手法は

• 厳密な結果，

• |P | に依存しない B+ 木 の探索回数，

を両立することができる．

性質 3. (時間複雑性) 提案手法の時間複雑性は O(|P | log |E|+log |Y |+ |U |) である．ただし U は性質 1 の中で定義したもの

である．

ここで |P | log |E| の項は FM-index の検索に対応し，これは

メモリ内で実行されるため極めて高速であるため，実験の章で見

るように，実践的には所要時間の |P |-依存性は生じない．なお，log |Y |+ |U | は B+木に関する時間複雑性である．一方で，IJP

アルゴリズムの時間複雑性はおおよそ O(|P | log |Y |+ |P | · |U |)である．ただし，|P | log |Y | の項は B+ 木の |P | 回の探索に対応し，|P | · |U | の項はマージに対応する．

4. 6 その他のクエリの取り扱い

提案した索引構造を用いて，これまでに扱ってきた完全経路

クエリとは別のクエリも取り扱うことが可能である．例えば，

Krogh らによって提案されたオリジナルの完全経路クエリの定

義は以下のように本論文のものとわずかに異なる [10]：

SPQ′(P, s, t) := {d | ∃i, j : Td.e[i, j) = P ∧

s <= Td.tin[i] ∧ Td.t

out[j − 1] < t}. (2)

すなわち，本論文の定義 (1) では P の最後の道路リンクを出

た時刻のみを制約するのに対して，Krogh らによる定義 (2) で

は P 全体を出入りした時刻を制約する．式 (2) の時刻の条件

は式 (1) よりも厳しいため，SPQ′(P, s, t) ⊂ SPQ(P, s, t) が

成立することがわかる．従って，まず SPQ(P, s, t) を提案手法

によって求めておき，次に道路リンク p0 を時刻 [s, t) 内に通

過した軌跡 IDを求め，最後にそれらを適切に結合 (join) する

ことで SPQ′(P, s, t) を求めることができる．この方法では p0

に関する処理においても B+ 木を探索する必要があるため，合

計 2 回の B+ 木の検索が発生し，我々の完全経路クエリのアル

ゴリズムよりも約二倍遅くなる．

また，二つの経路 P1, P2 およびワイルドカードを表す経路

P∗ に対して P1P∗P2 にマッチする経路の検索なども IJP アル

ゴリズムの考え方と提案手法の考え方を組み合わせることで実

現可能である．

図 4 マップマッチングに利用した地図 (ローマ市内，リンク数 56653)．

色はデータの分布を示している．

4. 7 索引の構築

最後に，提案した索引の構築方法について説明する．まず，

4. 1節の方法に従って，車両軌跡データを前処理する．得られ

たネットワーク制約軌跡に対して軌跡文字列 Y を構成し，接

尾辞配列 SA を例えば [15] の方法を用いて計算する．この接

尾辞配列を用いて FM-index を構築することができる．同時に

SA から逆接尾辞配列 ISA を定義通りに計算し，表 1 のよう

に B+ 木を構築することで提案した索引を構築することができ

る．

5. 実 験

5. 1 データセット

イタリアのローマ市内を走行したプローブカーデータ [1] を

用いて実験を行った．このデータセットにはおよそ 320 台のタ

クシープローブの 2014年 2月の走行履歴であり，GPS のサン

プリングレートは平均 7 秒である．このデータを 4. 1 節で述べ

た隠れマルコフモデルによるマップマッチングの方法を用いて

前処理し，ネットワーク制約軌跡の集合 T を得た．このデータには 130,000 を超える数の軌跡が含まれており，軌跡文字列の

長さはおよそ 12,000,000 となった．なお，道路ネットワーク

としては 56653 本の有向エッジからなる OpenStreetMap（注6）

のデータを用いた (図 4)．

5. 2 実 装

提案手法および IJP アルゴリズム (Kroghらの厳密手法と同

等のもの) による比較を行う．すべての手法は C++ によって実

装し，g++ version 4.6.3 (-O3 オプション)によりコンパイルを

行った．ただし，ディスク上の B+ 木 としては sqlite3 を用い

た．すべての実験結果は Intel Xeon W5590 CPU (3.33 GHz,

8 コア)，8 GB のメモリを搭載した Ubuntu Linux (12.04) 上

で実行した．

（注6）：www.openstreetmap.org

5. 3 結 果

軌跡集合 T から長さ |P | = 2, 5, 10, 20 の走行パターンをラ

ンダムサンプリングし，500 個のクエリ走行パターン P を作成

した．時間制約 [s, t) に関しては 2014-02-01 0:00 から，7 日

間，30日間の 2 パターンのクエリに関して実験を行った．図

5 は 500 個のランダム軌跡クエリに対する平均応答時間を示し

ている．横軸にはクエリ走行パターンの長さ |P | をとっている．本論文における完全経路クエリの定義は Krogh らによるオリジ

ナルの定義と異なるため，4. 6節で述べた，提案手法を応用した

方法によってオリジナルの完全経路クエリに要した所要時間も

同時に示している (図 5 内 “Proposed (Original definition)”)．

我々の完全経路クエリの定義による結果は “Proposed (Our

definition)” として図 5に示した．

図 5 からは，提案手法においては |P | が増加しても所要時間が増加しないのに対し，IJP アルゴリズムでは |P | に従って処理時間がほぼ線形に増加することがわかる (図 5 中 “IJP

(Original definition)”)．この IJP アルゴリズムの結果は 3. 1

節で述べたように，各 pi ∈ P に対して B+ 木 を |P | 回探索する必要があることに起因する．また，この増加量の傾きは 4. 5

節で述べたように，log |Y |+ |U | に比例するので，データが大きくなると提案手法との差はより大きくなると考えられる．

一方で提案手法のクエリ処理時間は |P | と共に増加することはないが，このことは以下のように説明できる．提案手法の時間

複雑性は O(|P | log |E|+log |Y |+ |U |) であったが，|P | log |E|の項は FM-index の検索 (接尾辞配列上の範囲 [sp′, ep′) を求

めるアルゴリズム) にかかるものである．これはメモリ上で処

0

50

100

150

200

5 10 15 20

Q uery length: |P |

Ave

rag

e q

ue

ry t

ime

(m

s)

Quer y Interval: [s ,t)

30days

7days

Method

IJ P (Original de!nition)

P ropos ed (Original definition)

P ropos ed (Our de!nition)

図 5 完全経路クエリに対する所要時間 (ミリ秒, 500 クエリの平均)

0.00

0.05

0.10

5 10 15 20

Query length: |P|

Ave

rage

que

ry ti

me

(ms)

図 6 軌跡文字列 Y に関する FM-index に対して接尾辞配列上の範

囲を求めるのに要した時間 (ミリ秒, 500 クエリの平均)

理されるために，ディスクアクセスの発生する B+ 木の探索に

かかる時間と比較してほとんど無視できる程度のものである．

このことを示すために，FM-index の検索に実際に要した処理

時間を図 6 に示す．この結果より，FM-index の検索に要する

時間は |P | に比例して大きくなるものの，高々数十マイクロ秒程度であり，全体の処理時間よりも二桁以上小さいことがわ

かる．

また，同じ提案索引構造を用いた場合でも，本研究における完

全経路クエリの定義式 (1) と既存研究 [10] での定義式 (2) では

所要時間がおよそ二倍ほど異なる (それぞれ図 5内 “Proposed

(Our definition)” および “Proposed (Original definition)”に

対応)．これは既に 4. 6 節で述べたとおり，オリジナルのクエ

リを提案手法を用いて解く場合には二回の B+ 木の探索が必要

になるためである．しかしながら，処理時間が |P | に依存しない，という性質は同様である．

さらに，図 5からは時刻制約 [s, t) の期間が長くなると，既

存手法，提案手法の両方において所要時間は増加するという傾

向が見てとれる．これは期間 [s, t) が長くなるに従って，返さ

れる結果の数 (もしくは 4. 5節で述べた |U | のサイズ) が多く

なることによるものと考えられる．6. 2節において，この点に

ついて議論を行う．

6. 議 論

本節では前節での数値実験などを踏まえ，索引サイズ，クエ

リ最適化，データ構造の最適化，索引の更新の 4つの観点から

提案手法について議論をする．

6. 1 索引のサイズ

FM-index はメモリ上に構築されることを前提とした索引で

あるため，そのサイズはコンパクトであることが望ましい．今

回は圧縮手法を用いていないが，そのサイズは 33 MB であっ

た．従って数十ギガバイトのメモリを搭載した計算機を用いる

ことで今回のデータセットよりも数百倍大きなものに関しても

容易に扱うことができる．一般に，データ分布 (文字の出現分

布) には図 4 に示すように偏りがあるため，索引の圧縮 [8], [12]

などの技術を用いることで，より大きなデータセットも取り扱

うことができると考えられる．

6. 2 クエリ最適化

前節において，提案手法は既存技術と比較して高速に完全経

路クエリを処理することを見たが，ここではクエリ最適化につ

いて簡単に議論を行う．例えば 4. 4 節で述べた 3つのフィルタ

リング条件のうち，時刻に関する条件 s <= tout < t および逆接

尾辞配列に関する条件 sp′ <= ISA[i] < ep′ の適用順序を逆に

することが考えられる．ISA に対してインデックスを作成し

ておけばこの順序でも高速にフィルタリング可能である．高速

化のためには s <= tout < t および sp′ <= ISA[i] < ep′ の条件

のうちで，ヒットするレコードの件数がより少なくなると見積

もれるものを最初に用いてフィルタリングすればよい．後者の

条件の件数は ep′ − sp′ であり，前者の件数は時間幅 t − s に

比例するため，これらの件数をおおよそ見積もることが可能で

あり，これによりクエリ最適化を実現できる．

6. 3 データ構造の最適化: 道路 ID e-列の除去

実は逆接尾辞配列の情報を保持しておけば，表 1における e

の列をデータベースに格納する必要がないということが言える．

この理由は以下のとおりである．まず，命題 1 より任意の道路

リンク a ∈ E に対して Y [i] = a と C[a] <= ISA[i] < C[a+ 1]

は同値であることがわかる．ただし，C[a] は a よりも辞書

順が小さい道路リンクが軌跡文字列 Y において出現した

回数である．つまり表 1 のある行が a にマッチすることは

C[a] <= ISA[i] < C[a+1] を調べればよいので e を格納してお

く必要はないことがわかる（注7）．すなわち (ISA, tout) の組に

対して B+ 木 を構築すれば本論文で提案したアルゴリズムを

実行するのに十分であることが言える．

逆に e-列が除去された後の表 1のある行を見た時に対応する

道路 IDを ISA[i] から復元するには，上で述べた配列 C を二

分探索すればよい．もしくは [16] で提案されている簡潔ビット

ベクトルを用いてこの探索を実現することも考えられる．

6. 4 索引の更新

提案手法は過去の履歴データに対する索引化を対象としてお

り，データの動的な更新はサポートしていない．一つの解決法

として索引をある時間幅ごとに逐次的に構築することが考えら

れる．これによってすべてのデータを構築し直す必要がなくな

る．より動的なデータの取り扱いは今後の課題である．

7. お わ り に

本論文ではネットワーク上を移動する車両の軌跡に対する完

全経路クエリに対する効率的な応答を可能にする索引構造の提

案を行った．提案手法では，車両軌跡 (道路リンクの列) を文

字列とみなし，全文索引である FM-index と時刻の索引である

（注7）：また，ISA は一意であるので主キーとしても用いることができる．

B+ 木を逆接尾辞配列を用いて統合した．その結果，B+ 木の

探索回数がクエリ経路長 |P | に依存しない，かつ厳密な結果を保証する手法であることを示された．また，実データを用いた

実験において，提案手法が実際に既存手法よりも高速であるこ

とを示した．

提案手法はディスク上に格納する方法には強い制約を持たな

い．つまり基本的な B+ 木 による索引が利用可能であれば基

本的にはどのようなデータベースシステム上にも逆接尾辞配列

のフィールドを追加することで実装することができることも大

きな利点の一つである．このことは提案手法の高い拡張性を意

味しており，今後は車両走行の時空間パターンとそれ以外の車

載センサなどを合わせたデータマイニングへの応用などが期待

される．

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