CH 6. 다원배치법

6.2 평균제곱 기대값 ( 이원배치 혼합모형 )

①

② 각 행 (row) 에서 같은 첨자가 있는 곳은 비워두고 , 그 밖에 cell 에

수준수 (level) 또는 반복수를 기입

l m r

F R R

i j k

Ai

Bj

ABij

Ek(ij)

l m r

F R R

i j k

Ai m r

Bj l r

ABij r

Ek(ij)

모수 F (fixed)변량 R (random)

③ 만약 행의 첨자 중에서 괄호 속에 있는 것이 있으면 , 그 첨자와

같은 열 (column) 의 첨자를 찾아서 만나는 곳에 1 을 기입한다 .

④ 빈 곳은 열 별로 F 이면 0, R 이면 1 기입

l m r

F R R

i j k

Ai m r

Bj l r

ABij r

Ek(ij) 1 1

l m r

F R R

i j k

Ai 0 m r

Bj l 1 r

ABij 0 1 r

Ek(ij) 1 1 1

⑤ 먼저 Ai 의 E[VA] 를 구하면 , 첨자 i 가 있는 열 (column) 은 가리고 (

제외하고 ) 각 행 별로 적힌 숫자를 곱한다 . 즉 mr, r, r, 1. 여기서

첨자 i 가 있는 항만 고르고 각 해당하는 분산 과 곱해서

더하면

다음 Bj 의 E[VB] 를 구하면 , 0, lr, 0, 1 . 여기서 j 가 있는 행만 고르면

lr, 0, 1. 그래서 .

다음 ABij 의 를 구하면 , 1, 2 열 모두 가리고 r, r, r, 1. 여기서

ij 가 모두 있는 행만 고르면 r, 1. 그래서 .

마지막으로 .

2 2 2, , A A B E

2 2 2[ ]A A A B EE V mr r

2 2[ ]B B EE V lr

2 2[ ]A B A B EE V r

[ ]A BE V

2[ ]E EE V

l m r

F R R

i j k

Ai 0 m r

Bj l 1 r

ABij 0 1 r

Ek(ij) 1 1 1

2 2 2

2 2

2 2

2

A A B E

B E

A B E

E

mr r

lr

r

예제

< 표 3.7> p70.

< 표 4.2> p99. ( 반복 없는 이원배치 )

l m

F R

i j

Ai 0 m

Ej(i) 1 1

l m 1

F F R

i j 1

Ai 0 m 1

Bj l 0 1

E1(ij) 1 1 1

ij i ijx a e

2 2

2

A E

E

m

ij i j ijx a b e

2 2

2 2

2

A E

B E

E

m

l

1,2, ,

1,2, ,

i l

j m

< 표 5.4> p132. ( 모수모형 )

l m r

F F R

i j k

Ai 0 m r

Bj l 0 r

ABij 0 0 r

Ek(ij) 1 1 1

ijk i j ij ijkx a b ab e

2 2

2 2

2 2

2

A E

B E

A B E

E

mr

lr

r

< 표 6.1> p163. ( 혼합모형 A, B 모수 , C 변량 )

l m n r

F F R R

i j k p

Ai 0 m n r

Bj l 0 n r

Ck l m 1 r

ABij 0 0 n r

ACik 0 m 1 r

BCjk l 0 1 r

ABCijk 0 0 1 r

Ep(ijk) 1 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( )ijkp i j k ij ik jk ijk ijkpx a b c ab ac bc abc e

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2

2 2

2

A A C E

B B C E

C E

A B A B C E

A C E

B C E

A B C E

E

mnr mr

lnr lr

lmr

nr r

mr

lr

r

6.3 삼원배치 법 ( 모수 모형 , 반복 없는 경우 )

2

( ) ( ) ( )

0

0

0

( ) 0, ( ) 0, ( ) 0, , ( ) 0

~ (0, )

1,2, ,

1,

ijk i j k ij ik jk ijk

i

j

k

ij ij ik ijki j i k

ijk E

x a b c ab ac bc e

a

b

c

ab ab ac bc

e N

i l

j

2, ,

1,2, ,

T A B C A B A C B C E

m

k n

S S S S S S S S

만약 l=3, m=3, n=3

26

2 2 2 4 4 4 8T

E

l m n 1

F F F R

i j k 1

Ai 0 m n 1

Bj l 0 n 1

Ck l m 0 1

ABij 0 0 n 1

ACik 0 m 0 1

BCjk l 0 0 1

E1(ijk) 1 1 1 1

평균제곱 기대값 E[V] 계산

분산분석표

< 표 6-4 > 반복 없는 3 원 배치

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

A E

B E

C E

A B E

A C E

B C E

E

mn

ln

lm

n

m

l

풀링 한 후에 새로운 와 로 다시 F 검정해서 결정한다 .

A, B, C 만 유의하고 , A×B, A×C , B×C 는 모두 풀링된 경우

EV E

6.3.4 ANOVA 후 추정

( ) : ( ; )2

Ei i E

VA x t

mn

( ) : ( ; )2

Ej j E

VB x t

ln

( ) : ( ; )2

Ek k E

VC x t

lm

신뢰구간은

먼저

( )i j kA B C

( )

2

2

i j k i j k

i j k

i j k

A B C a b c

a b c

x x x x

의 신뢰구간은 ( )i j kA B C

( 2 ) ( ; )2

Ei j k E

e

Vx x x x t

n

여기서

( 4.25) +1en 총 실험횟수

식유의한 요인의 자유도 합

( 1) ( 1) ( 1) 1

2

l m n

l m n

l m n

l m n

A, B 만 유의하고 , 나머지 C, A×B, A×C , B×C 모두 풀링된

경우 ( )i j i j i jA B a b a b

i jx x x

( )i iA B 의 신뢰구간 은

.. . .( ) ( ; )2

Ei j E

e

Vx x x t

n

( 1) ( 1) 1

1

e

l m nn

l m

l m n

l m

만 유의 한 경우, , , A B C A C

. . .

( ) ( )

( )

i j k i j k ik

i k ik j

i k j

A B C u a b c ac

u a c ac b

x x x

의 신뢰구간은 ( )i i kA B C

. . .( ) ( ; )2

Ei k j E

e

Vx x x t

n

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)( 1) 1

1

e

l m nn

l m n l n

l m n

ln m

모두 유의 한 경우, , , , , BA B C A B A C C

. . . .. . . ..

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

i j k i j k ij ik jk

i j ij i k ik j k jk

i j k

ij i k jk i j k

A B C u a b c ab ac bc

u a b ab a c ac b c bc

a b c

x x x x x x x

의 신뢰구간 은 ( )i i kA B C

. . . .. . . ..( ) ( ; )2

Eij i k jk i j k E

e

Vx x x x x x x t

n

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) 1

1

e

l m nn

l m n l n m n

l m n

lm ln mn l m n

예제 6.1