sbe2012 week2(확률변수...

Business and economics statistics | Fall, 2012 | Week2 (RV and Expectation)

| 10 Professor Kwon, Sehyug | Dept. of Statistics, HANNAM Univ. 010.6365.7622 http://wolfpack.hnu.ac.kr

Random variable

(정의)

확률변수(random variable) X 는 정의역(domain)이 표본공간이고 치역이 실수인

함수이다. :X S R . 확률변수 X 의 Range (공간)은 실수 { : ( ), }x x X w w S A= 이다.

)(AP

probability measure

)(wX

)(),( xfxP

( ) ( ) ( )XP X A P A P C { : and ( ) }C w w S X w A

Discrete 이산형

확률변수 X 가 가질 수 있는 값이 유한(finite)이거나 셀 수 있는 (countable) 경우

Continuous 연속형

확률변수 X 가 가질 수 있는 서로 다른 값이 무한인 경우, 임의의 작은 구간을

잡아도 그 구간 내의 값이 관측될 수 있음

확률밀도함수 Probability Density function f(x)

확률변수 X 가 가지는 값 x와 그에 대응하는 확률 ( )p x 을 그래프, 수식, 표

형태로 나타낸 것이다.

확률변수 X 의 범위가 정의역(domain, X-축), 확률 ( )p x 가 치역(range, Y-축)인

함수 : 이산형 ( )p x , 연속형 R.V. : )(xf

(누적확률)분포함수 Cumulative Probability Density function, F(x)

임의의 값 x까지 누적 확률

xx

dxxfxpxXPxF )()()()( ,

0)( F , 1)( F



확률 공리

(1) 모든 x에 대하여 1)(),(0 xfxp , 확률은 0 보다 크고 1 보다 작다

(2) 1)()( dxxfxpx

모든 원소의 확률의 합은 1 이다.

기대값 (The expected value)

정의 확률변수 X 가 확률밀도함수 ( )p x 을 갖는다고 가정하자. 확률변수 X 의

기대값은 다음과 같이 정의한다. dxxxfxpxXEx

)()()(

2))(( XEX 의 기대값=확률변수 X 의 분산(variance) : 2))(()( XEXEXV

22 )()()( XEXEXV (간편식)

분산의 양의 제곱근을 확률변수 X 의 표준편차(standard deviation)

모집단 : 평균은 )(XE 분산은 22 )( XE

표본 데이터 : 평균은 nxx i , 분산은 )1/()( 22 nxXs

확률변수 X 의 함수 )(xg 의 기대값

dxxfxgxpxgxgEx

)()()()())((

2cXY 의 기대값 : )()()( 22 xpcXcXEYE

정리(THEOREM)

상수 c 에 대하여

ccE )( , cXEcXE )()( , )()( XcEcXE , ))(())(( xgcExcgE

0)( cV , )()( XVcXV , )()( 2 XVccXV , ))(())(( 2 xgVcxcgV



# Problems



Bivariate Distribution 이변량 분포

확률변수 ),( YX 가 동시에 발생하는 경우

결합확률밀도함수 joint PDF

),(),( yYxXPyxp (이산형), ),( yxf (연속형)

확률 공리

0),( yxf , for all ),( yx

1),( yxf

주변확률밀도함수 marginal PDF

y

x yxpxp ),()( 이산형, dyyxfxfy

x ),()( 연속형

조건부확률밀도함수 conditional PDF

)(

),()|(

yp

yxpyxp

y

이산형, )(

),()|(

yf

yxfyxf

y

연속형

독립 independence

(정의) 만약 )()|( xfyxf 이면, 두 확률변수 ),( YX 는 서로 독립이다.

확률변수 ),( YX 는 서로 독립이면 => )()(),( yfxfyxf yx

공분산 covariance

두 확률변수 간 선형관계 정도를 측정 (한 확률변수의 값이 증가하면 다른

확률변수의 값이 직선의 관계 속에서 변하는 정도)

(정의) )()()())())(((),( YEXEXYEYEYXEXEYXCOV

만약 확률변수 ),( YX 는 서로 독립이면, )()()( YEXEXYE

그러므로 0),( YXCOV

그러나 0),( YXCOV 라고 확률변수 ),( YX 는 서로 독립인 것은 아니다.



상관계수

공분산의 측정 단위를 표준화 값으로 -1 과 1 의 값을 갖는다.

(정의) )()(

),(),(

YVXV

YXCOVYXCorr , 기호 (모집단) r(표본 데이터)

양(음)의 직선관계가 완벽하면 (모든 점들이 직선에 놓임) 상관계수=1 (-1)

일반 실험 측정형 데이터 0.8 이상이면 직선 관계가 높음

기대값

)()()( YEXEYXE

),(2)()()( YXCOVYVXVYXV

만약 YX , )()()( YVXVYXV

확률변수 iX , 상수 ic 에 대하여

)()( iiii XEcXcE

),(2)()( 2jjiiiiii XcXcCOVXVcXcV

만약 확률변수 iX 가 서로 독립이면, )()( 2 iiii XVcXcV



Problems



Case Study : Portfolio PORTFOLIO2.xls



Case Study : Portfolio2 PORTFOLIO.xls

sbe2012 week2(확률변수...

Documents