ch-gate-2012
DESCRIPTION
gateTRANSCRIPT
����������� ������ � �� � ���������������
© All rights reserved by Gateforum Educational Services Pvt. Ltd. No part of this booklet may be reproduced or utilized in any form without the written permission. � ��
���������������� ���������������
�
��� �������� �����������������������������������������
�� � �
� �
� �
� �� �� �� � ��� �� �
+ + =+ = −
+ =�
� � ������� ���
� �� � ������������������ � �! � "�����������
� �� � ������������������������������ �# �$����� ����%�������������
�����&'� �! �
(�)&'� � �* �*
� � � � � � � �
� � � � � � � �
� � � � � � � �
−
� � � �� � � �− → −� � � �� � � �� � � �
�
� ( ) ( )���+ � ����+ �,! �-�������������������������� ��������������
= =�
�
��� .�������������������������������/� � �� � ���������� ��� � �������������������
���������
�
�0� �
�− = ����
� �� � �1���2�� � � �! � �� �−= � �
� �� � � ������ � �����= + � � �# � � ���� �� ���� ��= + ��
�����&'� �# �
(�)&'� 3��������%���������� ��)������
�
( ) ( )�
�
�
�
�0� �4� ��� � �� �4� ��� � ��� �
�
��������)���� �# /� ���� �� � ��� ��4� ����� �� ����� ��4�
�
�0���� �� 0���� �� 0�
�
− = = =
= + = +
= + =
�
�
��� 5���� ���������� ( ) � ,�� 4− τ= �� ��������������))����������������66τ ����
� �� ��
� +τ� �! �
�� −
τ� �� �
�
��
�−
τ� �# ��� �+ �
�����&'� �! �
(�)&'�� ( )� �
�, � � ��� 4�!��������7���)������/� � � ���
�8 �8
− τ= = + + + + �
�
� ��,
� �
�,
� � � � ������
� 9
� � / �������� �� ���)����������� ������������
− τ
− τ
= − + − + << ττ τ τ
= − ττ
�
����������� ������ � �� � ���������������
© All rights reserved by Gateforum Educational Services Pvt. Ltd. No part of this booklet may be reproduced or utilized in any form without the written permission. � ��
0�� �������������������� �����������)�������� ���9������������������������� .��
�� ����)����������� ���������������/�� ��� ������������������)�������
��������������
� �� � ���9� �! � ��9�� �� � ��9�� �# ���9���
�����&'��� �
(�)&'�
� �
���
:
������:�������������)������; ��8
;��������������������� ��9�98�8 98�8
= = �
�
<�� �������� ����������� ( )� �× ��������
�0 �
� 0
� � � �
�
� = �� � ��� ��� � � ���������� %������ ��� "$�� �� %���� ���� %����� ��� � � ���%�
������>�
� �� ��
�
� � � �
� �! ��
�
−� � � �
� �� �0
�
� � −� �
� �# ���
�
� � � �
�
�����&'��# �
(�)&'� 3��������%�� �����������������)������
�
0 � � 0 �$)���� �� & 0 �� ����� %�����
� 0 � � �0 � � : �
$)���� �! & 0 �� ����� %����� 0 � 0 �0 � 0 �9 0
$)���� �� & 0 �� ����� %������ 0 � �� �
$)��
� �� � � � � �= =
� �� � � � � �− − −� �� � � � � �
= = � �� � � � � �� �� � � � � �
= = − − −� �� � � � � �0 � � � �
�� �# & 0 ��� �� ���%����/���������%������ 0 � � �
� �����������'?���%����/�����%�������������0/0
� �� � � � � �= =
� �� � � � � �
�
�
9�� .����� ���������)�����/�� �)����������������������������<�@��.�� )� �����%�
��� � � ��� ��)������� ��� ��������� )������ ��� ��������� %����/���)���%���
)�
�γ
� �γ = � �
/�� ��)������%����������� �������������������
� �� � �� �! �
�
�γ � �� �
�
�
γ−γ � �# ����<�
�����&'��� � �
�
A�� .�� � � ��)������ ��� �������� ����� ��� ������� ��������������� ��� ���������
����)�/�� ������������������������������
� �� � 3����� � � �! � 3����'%�)������������� �
� �� � -�������%�)����� � �# �-����
�����&'� �! �
� � � 0 < 9 A : B ��
����������� ������ � �� � ���������������
© All rights reserved by Gateforum Educational Services Pvt. Ltd. No part of this booklet may be reproduced or utilized in any form without the written permission. � ��
:�� .����)������������ ����� ������)��������������������/� ���������������������)������ /��� ������%���������)������ /���� ����������������������
��)������ �/��� ������%���������)������ �/���� ��"��������� �������������
� � ��� �� ����� ��� � � ������������ .�� /��� CC �/��� /� � �� ���� �� ��%�� ����
����%��/�� �� �$"(����� ��������������������������>�
� �� � (����)�����������������������D*(��(*�� �������)���������� ���������
� �! � (����)�����������������������(EF�3�� �������)���������� ���������
� �� � (����)�����������������������3(--�� �������)���������� ���������
� �# �(����)�����������������������G(*$��
�����&'� �� �
�
B�� 5��� ��� ��� ����� �%������ �������/� � �� � ��� ��� � � ���������� ���������
������� � �)���� ��� � � �������������������� �H ���� � ��)������ �� ����)�������; >�
� �� � H������)������������;�
� �! � H������������ �������������������;�
� �� � H������������ ��������������� �;�
� �# �H���������� ���������������������)�������;��
�����&'� �# �
�
���� =������������������������������������������)�)�������� �3��.��� ����������
� �)�)��������/����������������%�����������������/�� �)��������)��������� �)�)�
� �� � #������������� � �! � #�������9������ �
� �� � .��������������� � �# � .��������9������
�����&'��! �
(�)&'� 5���������������/�
�
�
� � 0
0E��
�� I3 ��: E3#
# # #
� �, µ µπ� �∆ρ = = =π
�
� �
I�������� ������� E 0EI
����� �� ��������� ��)�) # #
0
� � = = = π π � �
� �
� ( )0
�) �������� �������
# ∆ α �
�
0 0
� �� � �
�
# )#) ) )
# �# �9
� � ∆� �∴ ∆ = ∆ = ∆ = � �� �
�
�
���� � �������%�������������������������������������������������
� �� � ;��������� �! � I���������� �� � *������� �# ��$����������
�����&'� �� �
����������� ������ � �� � ���������������
© All rights reserved by Gateforum Educational Services Pvt. Ltd. No part of this booklet may be reproduced or utilized in any form without the written permission. � ��
���� 5������������������������ ���� � � �'������� � )���� ������� )���� ��� �� �*������
�����/�� ��������������������� ��+���� ( )δ �%�������� �� ��������������� �
)������ ����
� �� � �,0�δ ∝ � �! � �,��δ ∝ � �� � �,��δ ∝ � �# � �δ ∝ �
�����&'��� �
(�)&'� 5�����������%���������)���/� � �������������������� � ��+���� � δ � %�������� ���<
��:
� ��������������
� �������� %��) �������� �����
�
���� .��������������+��)����������%���*������������ ( )0��> /� ���� ����������
� ���)��������������� ����������������������������� /�� �)���������������������������������
� �� � �,��� �! � �,0� �� � 0� �# ���� �
�����&'��# �
(�)&'� 5�������������+/��
;���������/� ( ) ( ) ( )( )
<<� < �
� � � � �<�
�##; + � # � ; ; ; ��;
##
� �= ρ = = =� �
� �� ��
�
�0�� 5��� ��� �������� ������� �� ����� ����� �������/� � �� � ��� ��� � � ����������
������������"$������� ��� �!�������������%������������)�������>��
� �� � ��������� ��������� ��� � � ����� ��� %��� ������ ���)��� ��� ���%������
������������� ������� �
� �! � ��)������)��������� ���� �����������������������
� �� � ��)��������)����� ���������������������
� �# ���)��������)����� ���������������������
�����&'��# �
(�)&'� !����������� #
� ����������� ���� +
= → � �
�������% ���� ���� �� ����
���%���% ���� ���� �� ����= �
$��!�����������? /��������%��������������������
∴ ���)��������)�����������������������������
�
�<�� �� ����� �) �� ��� � ��� �������� ��)������ ��� ��� ������ ��� �� ����� � �����
���%���� ��� ��)������ ���� � � �) ����� �� �� ����� ��)������ ����� ��
���������������.��� ����������� ��) ���������/�� ����������������� ������������������
� �� � ��
0� �! �� ��
�� �� �
��� � �# �
�0� �
�����&'��� �
�
����������� ������ � �� � ���������������
© All rights reserved by Gateforum Educational Services Pvt. Ltd. No part of this booklet may be reproduced or utilized in any form without the written permission. � �
(�)&'� =�+���/�
� �
� ;
� � ��) �
� � ��∞
� �−= − − � �
�
� J�� ( )�� 0� �� & � % �
�= π = ρ = ρ π �
� � �� �������������������)�������������������� �� �����/�
� �� � � �
� ) � )
� � � ��) �)
� � � �
� � � �− = − � � � �
�
�
( ) ( )
� �� � � � � �
� �� �� �� �
� � �� � � � � �
� � �
� � � � 0 � 0 �� �
0 0� �� �
� �
� � � ��� � � �� � ��
� � � �
π × = =
� � � �π ρ π ρ � � � �
� � = = = = =
� �
�
�
�9�� .�� � � "������ ������ �"� � ���� ��� �������� ��� �� )�)� %����� ��� � *������
������ �* � ��� ��:"� *∝ /� � ������ ��������� �%���� %������� ��� � � )�)/� � �
���������������������%�������� �� �)�)�������#����
� �� � ��:#− � �! � ���#− � �� � ���# � �# � ��:# �
�����&'��! �
(�)&'�
��:��: # I #
"� *H
� �ρα α µ� ��
���: ��: ��:
��: ��: ���
��:
# I # I # H
H
−ρ α α ρ
µ�
� ���5������ ��� � �%��� %������/ #−∴ α �
�
�A�� .��� �K�'���'� ���������/����� ��'������������� �)����������������������
� � �'���� ��� � � %�)���'������ ����������� ���%� ��� ������ � ��� � � �'������������� ���)����/�� ��� ������������� ������
� �� � -�)� ���%�)���� � �! � 3����������������)�����
� �� � -�������%�)����� � �# �-�������������
�
�����&'��! �
(�)&'�
� �
�
�
�
�
�
�
�
∴ �� �)�������������������� ���������� �
� �
� �
( )< �
( )0 �
( )� �( )� �
( )� �
5� �
( )( )( )
( )( )
� 3���� ��������� )����
� -������ �����
� K����� ��%�)���� �����
I�)���� �����
0 -������ %�)��
< -�)� �� %�)��
=
=
=
=
=
�
����������� ������ � �� � ���������������
© All rights reserved by Gateforum Educational Services Pvt. Ltd. No part of this booklet may be reproduced or utilized in any form without the written permission. � ��
�:�� 5���� �� ���� � �����������������������/���� � ������)������)���������������'�������������>�
� ;�� � ����������������������� ����������%��� �� �
� E�� � ����������������������� ����������%�������
� *�� � � �����'��� ����� �������� ���������� ��� ��� � �� �� � ��� � � ���'��������������������������
� -�� � � �����'��� ����� �������� ���������� ��� ��� � ����� � ��� � � ���'��������������������������
� �� ��;�L�E� �! � ;�L�*� �� � ;�L�-� �# �E�L�*�
�����&'��! �
�
�B�� � � ���'������������ ���������������������� ��������)������
� �� � $����� �������������� �
� �! ��$����� ������������������ ��������� ���������
� �� �$����� ����������������������������������������������
� �# �� �������������/���������������������������������� ��������� ���������
�����&'��# �
(�)&'� 5�������� ������������/� ��
��+�
�− = �
� ( ) ( )�
�$�
� �� �
� � � � � �� �� � � �
� � � �+� +� + � �
� � � �+ +
− − = = − = −� � �
� 5��� �������/���1� �,�� ���� �$�
��
�= �
( ) ( )� �� �� � � � � �
� ��� ���
� � �+� � � � � H� � �
� ��
�
−− + − + +
� � − = + − = +� �
� � � �
�
( )( )
� � � ���
�
�
��< � ��
H � �
− −− =
−�
�( )
( )
� � � ���
�
�
��< � ��
+ � �
− −−=
−�
�
���� �������� ����������� ��� ��������&�
� � �+ +� ! �→ → �
� !�� � � ���������� ��������'����� � � ����%������ ����������+�� ��� +�� ���:�������+M,���/���)���%�������������?�� ��������!/�������)�������������
� �� � �-�*���� �� ���)������ �! �;5*���� �� ���)������ �
� �� ���-�*����������)������ �# �;5*����������)������
�����&'��! �
����������� ������ � �� � ���������������
© All rights reserved by Gateforum Educational Services Pvt. Ltd. No part of this booklet may be reproduced or utilized in any form without the written permission. � ��
(�)&'� 5�����%����������/��
� !� � � !
�H � H �
�= − � � � � �H H
� ! �→ → �
�
� �:� �� �� ��:���0 � :���0 �
�� � �� !H � H �
× ×− −× ×= − �
∴ J�� ���)��������� �� ����������������� �� ����������������������
���!��
�
���� .��)����������������������������������������������%���
� �� � ;������������"�) � ���������������
� �! � ;������������ �����������������������
� �� � D�������������������������
� �# �3�� ��������������������
�����&'��� �
�
���� � � ������ �������� )������ ��� �������/� ���/� �����) ���� ���� ���� ��D$ � ��������������������%�������
� �� � D�������C�����C��D$�C������������������
� �! � 3����������������C��D$�C����C��������� �
� �� � �D$�C�������������C������C�����C���������
� �# �3����������������C�����C�D$�C���������
�����&'��� �
�
���� � ����������� )�������������� � � )��������� ��� �����������������������
��� ����� ��������� �-* /� )������ ������ ����)����� �;-� /� ���� ��)������
���������� �������������3��=D- ���� �� ���)���������������� �������������J��=D- ��� ������������������ ������ �)��������
� �� � -*43��=D-4�J�=D-4�;-�� �! � ;-�4�-*4�3�=D-4�J�=D-�
� �� � -*4�J�=D-4�3�=D-4�;-�� �# �;-�4�J�=D-4�3�=D-4�-*��
�����&'��� �
�
�0�� � �� �����������������������N������))�����1����������������� /����������
��� �<�N��� .�� � ������ ��)������ ��� ���N�� ������������/� � �� � � ����������������� ������������� ����
� �� � ��B:� �! � ���<� �� � ���9� �# �����B�
�����&'��# �
(�)&'� 5���� ������/�
�( ) ( )( )
�,�
�,�
� � � � � ��
� � � �
−
−
� �= −� �
� �= −� �
�
�
( )�
�
J� � <�/ � � ��/ � �
�� <� � � ���B−
= = =
� �� �∴ = − =� �� �
�
����������� ������ � �� � ���������������
© All rights reserved by Gateforum Educational Services Pvt. Ltd. No part of this booklet may be reproduced or utilized in any form without the written permission. � ��
�<�� � �!�������������������������))�������� ��
� �� � D�������) ������%����������������������� ���������
� �! � D�������%������������) ������%���������� ���������
� �� � D�������%����) ������%���� ����������� ���������
�� �# �D�������%����������) ������%������������ ���������
�����&'�! �
�
���������������� ����������������
�
�9�� � � ��'���������� ������� ����� ��� ���������� �������� ��� �� ������
���������� ������������ ��������������
�� � �
� �� � � �
∂ ∂ ∂� �= + ∂ ∂ ∂� �� �
� .�������!�����������������������/� � �� � ����������� ��������� ��� � ����%�
�����������
� �� � ( )��� �
� � !� �
= − + + � � �! � ( )���
� � ���� !0
= − + + �� �
� �� � ( )� � ���� != + � � � �# � � ( )���
� � ���� !0
= + + �
�����&'��! �
(�)&'�� � �
� �� � � �
∂ ∂ ∂� �= + ∂ ∂ ∂� ��
� 5���������������������/��
��
∂ =∂
�
�
( )�
�
� � �� � � � ��
� � � � �
� �� � �� �� �
� � � � �
��� ���� !
0
∂ ∂ ∂ ∂� � � � + = = − ∂ ∂ ∂ ∂� � � �
∂ ∂ = − + = − +
∂ ∂
= − + +
�
�
�A�� .�����������������/�� ��� �%�������� ��������� � ��
�
� � �∞
−� ����
� �� � �,�� �! � �� �� � �� �# ��� �
�����&'��� �
(�)&'� � ��
�
D�%�/ � � �43� �� � � ��∞
− − = = −� �
��������� ( )�
�� �� � � � �
� �
F))�3���� �� ��������� �� �
� � � � � � � � �� �
∞ −∞−
−∞−∞
= −∞ =−� �
� �∴ = = − = − − = � �� �
� � ��
����������� ������ � �� � ���������������
© All rights reserved by Gateforum Educational Services Pvt. Ltd. No part of this booklet may be reproduced or utilized in any form without the written permission. � ��
�:�� � �"����'*�) ������ ���������������� ����������� ���������
� ( )�� � ��� ������ � �= − π ≤ ≤ �
� .��� ������������������� �����������</�� ��� �%��������������� �������������������
� �� � ����� �! � ��9�� �� � ��<<� �# ����:�
�����&'��# �
(�)&'�� ( )�� � ��� � � � �= − π ≤ ≤ �
�
( )( )( ) ( ) ( )�
� �
�
�
"����'*�) ������ ��������������������
��� � 4��� � ��� �4��7� � ��� �
�7�
� � � �� ��� 4��7 � ��� �
� � � � � ��
� �� ���:� �
= − = − π = + π π
π π� � � �= − = = + π = + π � � � �
= − =+ π
� �
�
�B�� .�� � �/ �� �%�������� ��������= − � ( )��
A? �?�� ? �
?? �
+ <+�� � ������ ���� �� �����
� �������
� �� � � �π � �! � �� �� � 9− π � �# ��9π �
�����&'��! �
(�)&'�� ( )��
A?2�� �4� ?�� ? �
?? �= − <
+�� �
�
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
��
�? � ? � ? �
;���� �����������������?1�/�?1 �/������ ��)������������� �������? ��!������ �7��*����� ���/�
A?2� �? *� ? � *� ? � * � ? �
�?? �
A? � A? � A? �� � ��� ��� ���
?? � ?? �? �→ → →−
±=
π� �= = + = + =� �+
� �+ + += π + +�+ ++�� �
��
� � � 0� �� �= π − + =� �� � ��
�
�
���� ����������/�%��������������������������������))������������������������
)������;�/� ��)��������/�����)������%�����%���� ���������� ����������� �
� ������������ �)���������� ������������� ��;���� �������� �����������
������ ���))����������� ���������/����+���������)�����������������
����������.���)�����%����� � �����)�������������������)������������������
%����/���)���%��� ( )) %� ,�γ = /� � �� � ������� ��)������ ��� � ����� ��� � �
�������������
� �� ��
�γ � �! ��
� � �� � ( ) �� �γ − � �# �� ( ) �� � ,γ − γ �
�����&'��! �
�
���� �������������������������������������������)�����������)������;��.��� �
�� ��)�� � ���� ��� �������/�� � � �
J <� � / �� ��� �����∆ = � ��� ���� ��������� ���
�)���� �� ��� �� ��)���%��/� ��� � � ����)�� � ���� ��� �������
( )� � � �- * � ��� � ��� � ��� �*1:���0M,����H∆ = − +� �� � /�� ��� ���������%�������� �
D�������������� ��������������������H��������� ��� �� �
�� �= � �! �
�� ���= � �� �
�� ��0= � �# ��
�� ��<= �
�
�−
? �=
����������� ������ � �� � ���������������
© All rights reserved by Gateforum Educational Services Pvt. Ltd. No part of this booklet may be reproduced or utilized in any form without the written permission. � ���
�����&'��# �
(�)&'� D�%�/� � � � � � �J <� � 4 - * � ��� � ���∆ = ∆ = − +� �� ��
�D J �-
D J � -
= −∆ = ∆ − ∆
�
� 5��� D∆ �������������/�( )
�
D�
�
∂ ∆=
∂�
�
( ) { }� � � � � �� �
� � � �
� � � � �
� �
<� � � * � ��� � ��� �� �
< � � *� � ��� � ��� �
< � � * ��� ��� �
� �� �� )������ ���� � � � � ��<
∂ ∂� � − − + =� �∂ ∂
− − + − − =� � � �� � � �
− − − =� � � �� � � �
= =
�
�
���� ��������) ���������������������������+�,��/����������/���)��������
��< � ��� ��� �������?���� �������� �������������� +�,��� ��� %��������� ���;�����
������� ���� �*�������������������)�������������������������)���
�������.���1���,��/�� ��� ���������%������������,� ���������������?�� ������
� �� � 0���� ��−× � �! � ����� ��−× � �� � �� �# ����
�����&'��� �
(�)&'� 5���)��+��/�
�( )�
� �;
�; �<� F
3 #
− ε∆ µ=ε
�
� ( ) ( ) ( )); �3 � ���������� �����?�����∆ = − ε ρ − ρ �
�( ) ( ) ( ) ( ) ( )�) �
� �)
�3 � �<� F �
3 #
− ε ρ − ρ µ − ε =
ε�
� ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( )��
��
�<� ��� F � ��<�� � ��< ���� ����
�� ��−
− × − − =
�
� 0�F ���� �� � ,�− = × �
�
���� 5��� � � �������� ����� ����� ���� ���������� �) ��� ��� � ���� �����
�*�1�*� /�� ������������������������%����� ���������������� �������+�����������
� �� �O�
� �! �P�
� �� � �, � �
� �# �Q�
�*
�*
������
������
����������� ������ � �� � ���������������
© All rights reserved by Gateforum Educational Services Pvt. Ltd. No part of this booklet may be reproduced or utilized in any form without the written permission. � ���
�����&'��� �
(�)&'�( )
( )�
� ��� �� �
� �
*� � �5 5
� � 0�*
π= = = =
π�
� ( )0 0�� �/ �� � �� 5 � �= σ − �
� ��
5�������0
∴ = �
�
�0�� �J�����������������������������=��������������� ��������������������
( )���� <�/ �������1���= �� � ��� ���� ��� ���))� ��� � ��� ����������� ���
� ��+��������� ��� ������ ������������%����������=,��H��� �������������
��� �)��� ��� ���� ��� ��N��� � � ���%���%� ��� �������� ����� � ����� ���
������������������� �������?������ ��������������������������=,���H��� ���)���������N������ ���������� ��������� ���������������
� �� � ������ �! � �0���� �� � ������ �# �0:0���
�����&'��� �
�
�<�� .����������'����������)�)� ����� ����/������
)� �+�,�/ �� ���+M,+�N�� �= = � �
�
��� ����� ����� B�N�� ��� 0�N�� ��� ������
)� �+�,�/ �� 0��+M,+�N�� �= = � �
� � �� �
������ ���������������N���� ����������� ���������������������������� �
���<���"��������� ��������������/�� ��%����� �������������������������
���� ��������������� ( )�+=,� �H ����
� �� � ��A0�� �! ��A�0�� �� � A0��� �# ��0A<�
�����&'��� � �
(�)&'� J����������
�
( ) ( )
( )( )( )
�
� � � )
� �
� ��� B� 0� � 0�� � ��
� 9�
3K�# �� �
F � � �� �
� ��� <�F ��A0�
9 �� < �A� ��−
× × − = × −
=
∴ =∴ ∆ = ∆
× × = =
× × × π × +
�
�
�9�� � �������������������)������ ������������?����%��������������
� � ! �+ → �
� ���+����������� ����������������������� �������!������%����������.��
;�� ��� � � )������� )������ ��� ���)����� .� ��� H�� ��� � � ����)����� �����������
��������� ��� ���)����� ./� � �� � � ����� ��� � � 3�������'J��� ����� �����)��������������
�
� B�= ���
� 0�= �
��� 9�= �
��� ��= �
����������� ������ � �� � ���������������
© All rights reserved by Gateforum Educational Services Pvt. Ltd. No part of this booklet may be reproduced or utilized in any form without the written permission. � ���
� �� � � !
� � ! ! � �
; ;���
� H ; H ; H ;∝
+ + +� �! �
( )� !
�
� � ! ! � �
; ;���
� H ; H ; H ;∝
+ + +�
� �� �( )
� !
��<
� � ! ! � �
; ;���
� H ; H ; H ;∝
+ + +� �# � � !
�
; ;���
;∝ �
�����&'��! �
�
�A�� �������� ��������)�������� �������� ����������������������������������
����� � ��� <�+�,������ � �� ��������� ���������� ��� <+�,��� �� � ������������� ��������������������� �����������������
�
�
�
�
�
�
�
� � �������������� ������������������������������������������������<@����
���������������������������@����
� �� � ��<<� �! � ��A<� �� � ���<� �# �0�<<�
�����&'��� �
(�)&'� ( ) ( )<� ��� ����<���< ��� ��� ����< �� ���< ��
< ���� ����<
� �−� �− + − =� � −� �� ��
�
�:�� ��� ��������� ������� ��� �� ��� !� ��� ����� ���� %������ � ��� ���� � �������
������������������������������+���, /���� � � ��� � �������)������ ���������0����@�������.��� ������%�%�������������9/�� ��� �%�)����)���������+���, ����
� �� ����� �! � ��� �� � �<� �# �0<�
�����&'��� �
(�)&'� 5 3 I= + � � � ( )( ) ( )9 ��0�
�� < ��0� � �
� �α= = + ×+ α −� ��
� � � %5� 3� %�= + � � �
� ( ) ( ) ( ) ( ) <� 0���� ��< ��� I ��0 I ��: ��: I �<
��0
− = − + = = = � �
�
�B�� �� � ������)�� �%�������������������� �)� ����� �N����� �<�N�� � ���� ���
��� ��� ?��� ��� ���<�I/� ��)���%��� ��� � �� ���� ��)�������� .�� � � ����
R�������� ��)������ ��� � ��������� �N�� ��� ��N�/� � �� � � ��� ���������� ����
�I ����
� �� � ����� �! ����B�� �� � ��9�� �# ������
�����&'��� �
(�)&'� -���/�� ��������� �)���������/�
�S ���
S ����<==
S
����������� ������ � �� � ���������������
© All rights reserved by Gateforum Educational Services Pvt. Ltd. No part of this booklet may be reproduced or utilized in any form without the written permission. � ���
� "������R�����������1�( )( ) ( )���<��
�� � ��9�0�I�<� �
− =−
�
�
0��� � �� ������������������������� ����������
� ( )� �
�� B� �9� �� � H �+ + + + = �
� F����� *��� � ���/� � � %���� ��� H�� � ��� ����� +)� � � ������ ��� � � %��� ������������������
� �� � ���B� �! ���:�0� �� � �A�<� �# ��<���
�����&'��� �
(�)&'� �
� �
�
�
�
�
�
�
( )��
�
B �9 �� � H5����������� � H �A�<
�
$� � %�� ����������� H �A�<
× − + > >
∴ =�
�
0��� � ����������%��������� ��������') �����������
� � �! ��+ ���������� �
� ��� ��� �� ������� ��� �� ���'���� ����/� ���'��������� )���� ����� �������� � �
�������� ���������������� ��)������ ��� ������ ���������?� � � �������������
%����/�� �%���������������������)�������� ���� �������������������������G �
��
� �� � � �! � � �� � � �# ��
�
�
�
�
�����&'��! �
�
0��� � �����+���������������������� �)��)����������������������� ���������
�
�
�
�
�
�
�
�
�H
)
�
� �τ +�
�
�
� �τ +
*+
−
++
.
F
����
�
G
����
�
G
����
�
G
����
�
G
*��� ����� �
( )( )
�
�
� �9
B �� � H
B �9 �� � H
B
+
× − +
�
����������� ������ � �� � ���������������
© All rights reserved by Gateforum Educational Services Pvt. Ltd. No part of this booklet may be reproduced or utilized in any form without the written permission. � ���
� �� ����� ��)� ��)��� ��� �������� ��� � � ��� )������ � � %���� ��� H�� ��� )��%�� ��
�������������)���)��������F1�/� ) �:���� ����τ = τ = �
� �� � ���0� �! � ��<:� �� � ��<�� �# �������
�����&'��� �
(�)&'� ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
��
�)�
�
�)
H � �HT
H :� � � ��
H ��
� �� �
+= =
+ + +τ +
+τ +τ +
�
� �( ) ( )� �
�
�
� �
H � � H � �
: B:� B� � H�
� H � H
+ += =
+ + + + ++ +
�
� 5����������������)������/� �ε = �
�
( )
� � �
�
�
�
� �
� �
B B 0�<� �
� H � H � H
:��
� H
0�< :����< : � H H ��<���<
� H � H
ετ = τ = τ =+ + +
τ =+
� �∴ = = + = + +� �
�
�
0��� ������ ��������)������ <� �� +�× ������)������)�������� ����������� ��������
����� ��� � � ������� ��� ! !+ ; / �� ��; � ��� � � )������ )�� ���� � ��� +�� ���
+ ��� , +�= ��� ��)���������������� ���������������, ��� ������������������
� ����� ���*��� �0�� �� ;!� ��� � � ������������������� ����� ��� *�� �� �� ��9�� � ��)��������?����+������� ����� ���R�������� ������������ ����
� �� � A0:� �! � :A�� �� � B<�� �# ����0:�
�����&'��� �
(�)&'� ������������������� ��<
!
� ��
;
×= �
�( )
( )
<9
! !
!
<
�
! �!
�
�! !
� ���������� � ��� + ; �0�; � ��
;
��� � ��� �� �5���)����� � �0� �
;� ;
; �B0���A9 ; B<��:+�
� �×∴ = × + + × � �
∂ − × ×= + =∂ ×
= =
�
�
00�� J�����������������)����������)������)�������������%������*���������9��� ���
����������� ��� �� ��� ����� ��%����� ��� ��DM� )�� ����� .�� � � ������������ ���
�����������<@����� �)������������������/�� ��� ����+%��������������/����*���;��DM���R�������� ������� ��� /����
� �� � ��<��� �! � 0�:��� �� � <0���� �# ��9<0���
����������� ������ � �� � ���������������
© All rights reserved by Gateforum Educational Services Pvt. Ltd. No part of this booklet may be reproduced or utilized in any form without the written permission. � ��
�����&'��! �
(�)&'�( )
( )( )
( )
� �9
� �
)� � � � �� ���< � ���<*
� � � � ���< �
+ × × += =
+ − + −�
� ( ) ( )�� � :A<B<��B��A � 0�ABA�9B9 0�:��= = � �
�
0<�� .�� �� �'�� )���� ��������� �� ��)� � ��� ��� ���� ��� �� ����/� � � �����
��1�<��4��1���� ����������������������)��� ��� �����)��� ����������
� � � ����� �������%���� ��� � � � ��� �������� ��� ���B�=,�H/� ��� � �"������
��������������� �� ������ ������������������������ �=,� H⋅ �������������
� ����������������
� �� � ����� �! � �0��� �� � �:��� �# �������
�����&'��� �
�
09�� K��� �� �)���������3����.���� �������������3����..��
!�"�#� !�"�##�
;� 5��� �'���)�� ����� ���� �� "��+��
E� 5����� ��������� ����� �� � �5 $ �
*� J��������������%����������� �� -��%��
-� # ��������������� ����?�� 0� �������
� �� ��;'�/�E'0/�*'�/�-'�� � �! � ;'0/�E'�/�*'�/�-'��
� �� � ;'0/�E'�/�*'�/�-'�� � �# �;'�/�E'0/�*'�/�-'��
�����&'��� �
�
0A�� K��� �)���������3����.���� �)������� ���������������3����..�
!�"�#� !�"�##�
;� ;���� ���� �� (��������
E� ; ���'������ ��)������ �� 5����
*� ;�������)��� �� � ���)�������
-� ;������� 0� � ����������)������
� �� ��;'�/�E'0/�*'�/�-'�� � �! � ;'0/�E'�/�*'�/�-'��
� �� � ;'�/�E'�/�*'�/�-'0� � �# �;'0/�E'�/�*'�/�-'��
�����&'��� �
�$$���%�"��&����'��"!���(����)����
�
� ��������'��������������������������������������%�BB@�����������������
�����������������%����������������������)������%���!��� ����������������������
��� ������ ��� � � ��������� �����2��� ��� �����@/� ��� � � �������������� ��������� ���
����+�, ��.��� �������������������� �)����T1�S/�� ��T�1����������,���������
�����S�1�����������,���������!���
����������� ������ � �� � ���������������
© All rights reserved by Gateforum Educational Services Pvt. Ltd. No part of this booklet may be reproduced or utilized in any form without the written permission. � ���
0:�� � ������������������������%���!����������+�, ����
� �� � �0<0� �! � �<:0� �� � �9A9� �# ��:A0�
�����&'� �! �
(�)&'� ( )��������� �� � � / .�������� ����+�, + = �
�
( )
������ ��� ���� ��� ���+�
������ ��� ���� ��� :�� +�
5���������������� �@ ����� ���� ��� � �� �
T ��
��B:��
:�� ���� ��!
���� ��! �<:0 +�, �
∴ = × == − =
= = × =∴ =
= ×
=
�
�
0B�� .�� � �������������!� ����0��+�, /� � �� � � � ����������������������� ��� � �������/�������H����U�����������R�������� ��������������
� �� � <� �! � B� �� � ��� �# �����
�����&'�
�
�$$���%�"��&����'��"!���(���)���
�
� � ��������� ( ) ( ) ( ) ( )��� ��� ��� ���� ! � #+ → + ��������������������������������������
�)����������� ��������&�
�
�
�
�
�
� "�������&�
� K�������������������� �!����55!�
� K����������������������5��
� K������������������������������5*D�
� K���������������!�����������������T*!�
� K�����������������)�����������5;D�
� K����������������������5��
� J��55!1����,�4��5�1����,�4� !
�
5<
5= ������������)��������%���
�
<��� .��*!
T ���= /�� �����������������������)�������� ( )*D ;D5 ,5 ���
� �� � �� �! � <� �� � A� �# �����
�����&'��� �
* ����� -)������
*D*!T 5/
;D5
�5
!5
5!5
�5
����������� ������ � �� � ���������������
© All rights reserved by Gateforum Educational Services Pvt. Ltd. No part of this booklet may be reproduced or utilized in any form without the written permission. � ���
<��� .��� �����������������������)�������� ( )*D ;D5 ,5 ����0/�� ��T*!����
� �� � �,:� �! � �,<� �� � �,�� �# ��,0��
�����&'��� �
�
*"�"�$��"�&��� !���+�,�������'��"!���(���)���
�
� ��"������������� ��� %��������� µ � ������ ����� ���� )������� )����� �� ��� � �
���������� � ��������)������� � ��������/�� �� � �����%���� ���%�������I��� ���)�)�������������������
�
�
�
�
�
�
<��� � �����/���������%�������)���������� ��'�����������
� �� ��
I�
� �� �� �
� �! �
��
I ��
� �� � −� � � �� �� �
� �� �
��
I ��
� �� �−� � � �� �� �
� �# ��
I ��
� �� �−� � � �� �
�
�����&'��! �
�
<��� � ������)���������������� ��'������� �� ������������������ ��������)����������������� ���������
� �� �I
�
µ� �! �
I
�
−µ� �� �
� I
�
µ� �# �
� I
�
− µ� �
�����&'��! �
�
*"�"�$��"�&��� !���+�,�������'��"!���(���)��
�
� � ������� ����������) ����������� � ;→ � ��� ������� ���� ������� ��� ��)����
���������������<������%������� ������%����������������������������,��������� ��������������������������������,������
�
<0�� .��� ����������������������������<�����,�����/�� ��� �������������/�������'�����
� �� � ���9� �! � ���:� �� � ��0�� �# ���90�
�����&'��! �
(�)&'� 5���)���������������/�
� ���
� �
���� +
+� �
−τ = = τ �
� �
���
��< ��0+ ���AA���
<
�
−
� � � �= = =
τ � � � �
�
�
I →
�����
�
����������� ������ � �� � ���������������
© All rights reserved by Gateforum Educational Services Pvt. Ltd. No part of this booklet may be reproduced or utilized in any form without the written permission. � ���
<<�� � �)��������������������)���������������������������������/��������������%������� ���������%���������������@ ����
� �� � �<�B� �! ��<��<� �� � A��A� �# �B0�:�
�����&'��� �
(�)&'�( )� �
�� S
� +− =
+ τ�
�( )� � �
� �S � � A��9<B@
� + �� ���:
�
= − = − =+ τ � �+ ×� �
� �
�
�
����������������� ���������������
�
<9�� = �� ������� � ������������)������ ��� � � ������� ���������� ��� � �������%��
����>�
� �!"!-�"��
� �� �#������ � �! �#�%���� �� �#����� �# �#����
�����&��� �
�
<A�� � ���� � � ����� �))��)����� ��������%� ����� � � �)������ ��%�� ����� ���
���)���� ����������������&�
� %��.!"�� ��/���0� 1111111111� "��� $!��!��� �'����+�+� !�� !"�� �""�$."� "������0/��"������&0!�"��
� �� �����)��� �! ������+�� �� �������� �# ����������
�����&��! �
�
<:�� �� ���������������������)���������������������%����� �<�/�� �������� ��������
���)����������� ��������������� �)��������������+��)�������*��<��)��������
� � ������ ��� ������ ��� �� )����� ��� � � ����� ��� � � ��� � � )������ ���������?����
� �� �<� �! ���� �� ��<� �# ��<�
�����&��� �
(�)&'� �; <�� <�= − �
�
�
�
) )<� ���4 �
� �
) �� ��� ���� �� <� ��� � ��/ � <
= − <
∴ − = =�
� (���� �+���� ��)������
�
<B�� � ���� � � ����� �))��)����� ��������%� ����� � � �)������ ��%�� ����� ���
���)���� ����������������&�
� *'����2��+�-�!��"�������11111111������'�"�!��"����"�$.�+���
� �� �� ��� �! �� �� � �� �� �� �# �� ���
�����&��� �
����������� ������ � �� � ���������������
© All rights reserved by Gateforum Educational Services Pvt. Ltd. No part of this booklet may be reproduced or utilized in any form without the written permission. � ���
9��� � ����� ���������������#��33��������&�
� �� �� �� ��%� ��� � � ����� ���+� ���� � � ��%��� � ����� ��� � �� J����
��)���
� �! �� ����������7���)������������������ ���� ������!������ ��
� �� �� � �������� ���������� ��+� ���� �� ������� ��� 5����� 3�+ � ��)�/� ���� �����
���������������������
� �# �� ����������7���)�����������������������������%�������
�����&��# �
�
����������������� ����������������
�
9��� �������������)���������������������� ��+���������������������))�����S����T��
S���))����9�@����T���))����0�@����� �� ��+���������������� ��+�������������
���R���������������������� ������ ���)����� ������������������������������$��S7��� ��+���������/�B9@������������$��T7��� ��+���������/�A�@������������
� � �)������������ �������������� ����� ��+��������/�� �� ��������������������/�
���������T����
� �� ����::� �! �����0� �� ���99A� �# ���A���
�����&��! �
(�)&'� � � �� � ��
� -�))��� 9�@� 0�@�
� *������ B9@� A�@�
� $%����� ��<A9� ���::�
� ( ) ���::; � ����0
��<A9 ���::∴ = =
+�
�
9��� ��)���������)���������������� ������ ������������ ����������� �� �� ��������
���%�������������� ���� �)���������� ���� ���������� ��������� �� �� ����= − �
� �������� � �� ������ ���� ����������� ���������)������� �� ������ �
��� ����
� �� �:������ �! ��������� �� ��������� �# ��0������
�����&��! �
(�)&' �� �� ����= − �
��
�
�� ����
�
�� � ��� ����� �� � ���� �
�
� ��
� �� �� ���
= −
< ∴ − =
=∴ = − =
�
�
9��� =������)�����/�;���'����)����������� �)�������5���.���%��������������
)������� ����%���� ��� ������� ��� ������� �������� ����� *��������&� J�� �
-� ���')���/� ����� �� �%������� ���� #��/� (%����� ��� -������� ���+�������)���������)��/��)�������������
� = �� �������� ��������������� ������������������ ����%��%�������>�
����������� ������ � �� � ���������������
© All rights reserved by Gateforum Educational Services Pvt. Ltd. No part of this booklet may be reproduced or utilized in any form without the written permission. � ���
� �� �D��'�������������� �
� �! �S��) �����
� �� �"�������������+�� �)������������%�
� �# �"������'��������������
�����&��� �
(�)&'D��������������������� ��%������������! ����������������
�
�
90�� D�%��� ��������������/��#��D�5H�M;/�� ������������
� �� �$I� �! �$=� �� �;I� �# �;=�
�
�����&��� �
�
� �
�
�
�
9<�� = �� ����� �������������������������$**(��>�
� ;&� �����A������ �������������������A����� ��������� ������
� E&� �����A������ �������������������A����� ��������%����������� ������
� *&� #���������� ����������������������� ��������� ������
� -&� #���������� ������������������%��� ��������%����������� ��������� ����
� �� �;/�E� �! �E/�*� �� �;/�*� �# �*/�-�
�����&��� �
(�)&'� ;����*�������� ��������
� (���������������)�����V�/��/��/�0W����� �+������������
�# / �D / 5H / M; / $I
�+ �+ 0+ <+
�+ 0+ <+ 9+