ch3 - เทนเซอร์ _engineering mathematics ii_

บทท 3

ระบบพกดโคงและคารทเซยนเทนเซอร

กอนหนาน เราไดคนเคยกบการแกปญหาหลายปญหาในระบบพกดคารทเซยนท

ประกอบดวยแกน x แกน y และแกน z ซงตงฉากและตรงอยกบทไปแลว แตยงมอกหลายปญหาท

ไมเหมาะสมกบระบบพกดคารทเซยน เชน ปญหาของแรงจากจดมวลหรอแรงจากจดประจใน

ลกษณะ ( ) rF r=F e ซงธรรมชาตของปญหาเหมาะกบระบบพกดทรงกลมมากกวา ในสวนแรก

ของบทน เราจะไดศกษาการหาเกรเดยนท ไดเวอรเจนท และเครลในระบบพกดเชงตงฉากใดๆ

และในสวนทสอง เราจะไดศกษาความรเบองตนเกยวกบเทนเซอรวาเปนปรมาณทมสมบตแนนอน

ภายใตการแปลงระบบพกด ซงจะกลาวถงเฉพาะคารทเซยนเทนเซอรและพชคณตเบองตนทสาคญ

บางประการของเทนเซอรเทานน

3.1 ระบบพกดเชงตงฉาก

ระบบพกดคารทเซยน(Cartesian coordinates) ประกอบดวยวงศระนาบ(family of

planes)ทตงฉากซงกนและกนสามวงส นนคอ วงศระนาบ x = คาคงตว วงศระนาบ y = คาคงตว

และวงศระนาบ z = คาคงตว ซงระนาบจากวงศสองวงศทตางกนจะตงฉากกน และถาเลอกระนาบ

สามระนาบจากแตละวงศ กจะพบวาจดตดของสามระนาบนนเปนจดจดหนงในปรภมสามมต

ระบบพกดเชงเสนโคง(curvilinear coordinates)อนๆ สามารถสรางไดในทานองเดยวกน

กลาวคอ สรางวงศของผวโคงสามวงศ โดยในกรณทวๆ ไป ระนาบทงหลายในแตละวงศนนอาจจะ

ไมขนานกนกได และถาพจารณาระนาบจากวงศสองวงศ กอาจจะไมตงฉากเชนเดยวกบทเปนใน

ระบบพกดคารทเซยนกได เพอใหงายตอการจนตนาการตามของผอาน ขอใหนกถงระบบพกดทรง

กลม ( , , )r θ φ หรอระบบพกดทรงกระบอก ( , , )r zθ เปนตวอยาง ในทนจะอธบายแนวคดแตละ

เรองโดยในระบบพกดทรงกลมเปนแบบในการอธบาย

พจารณาจดจดหนงในปรภมสามมต ซงสามารถอางองพกดไดดวยระบบพกดคารทเซยน

และระบบพกดเชงเสนโคงระบบหนง กาหนดใหจดนมพกด ( , , )x y z ในระบบพกดคารทเซยน(เรา

จะใชพกด 1 2 3( , , )x x x แทนพกด ( , , )x y z ในบางกรณ) และมพกด 1 2 3( , , )q q q ในระบบพกดเชง

เสนโคงนน เนองจากพกดทงสองชดอางถงจดเดยวกน จงมความสมพนธกน กลาวคอ เมอทราบ

1 2 3( , , )q q q จะหา ( , , )x y z ไดดงน

1 2 3

1 2 3

1 2 3

( , , )

( , , )

( , , )

x x q q q

y y q q q

z z q q q

⎧⎪ =⎪⎪⎪⎪ =⎨⎪⎪⎪ =⎪⎪⎩

(3.1)

92 บทท 3 ระบบพกดโคงและคารทเซยนเทนเซอร

ตวอยาง 3.1.1 ระบบพกดทรงกลม

จดในระบบพกดทรงกลมอางไดดวย ( , , )r θ φ โดยท

( , , ) sin cos

( , , ) sin sin

( , , ) cos

x x r r

y y r r

z z r r

θ φ θ φ

θ φ θ φ

θ φ θ

⎧⎪ = =⎪⎪⎪⎪ = =⎨⎪⎪⎪ = =⎪⎪⎩

(3.2)

เมอ 0, 0r θ π≥ ≤ ≤ และ 0 2φ π≤ ≤

ตวอยาง 3.1.2 ระบบพกดทรงกระบอก

จดในระบบพกดทรงกระบอกอางไดดวย ( , , )r zθ โดยท

( , , ) cos

( , , ) sin

( , , )

x x r z r

y y r z r

z z r z z

θ θ

θ θ

θ

⎧⎪ = =⎪⎪⎪⎪ = =⎨⎪⎪⎪ = =⎪⎪⎩

(3.3)

เมอ 0, 0 2r θ π≥ ≤ ≤ และ z ∈

ในทางกลบกน เราสามารถหาพกด 1 2 3, ,q q q ในรปของพกด , ,x y z ไดดงน

1 1

2 2

3 3

( , , )

( , , )

( , , )

q q x y z

q q x y z

q q x y z

⎧⎪ =⎪⎪⎪⎪ =⎨⎪⎪⎪ =⎪⎪⎩

(3.4)

ถาให 1e เปนเวกเตอรหนงหนวยทตงฉากกบระนาบ 1q = คาคงตว และชในทศท 1q มคาเพมขน

และนยาม 2e และ 3e ในทานองเดยวกน โดย 1 2 3, ,e e e มการวางตวตามระบบมอขวา กลาวคอ

( )1 2 3 0⋅ × >e e e (3.5)

จะเหนวาเราสามารถเขยนเวกเตอร F ใดๆ ในรป

1 1 2 2 3 3F F F= + +F e e e (3.6)

สงเกตวาในระบพกดคารทเซยน 1 2 3, ,e e e กคอเวกเตอรหนวย , ,i j k นนเอง ซงเปนเวกเตอรคง

ตว แตในกรณทวไป 1 2 3, ,e e e อาจแปรไปตามตาแหนงได กลาวคอ 1 2 3, ,e e e อาจเปนฟงกชนของ

1 2 3, ,q q q ดวยกได

3.1 ระบบพกดเชงตงฉาก 93

ตวอยาง 3.1.3 เวกเตอรหนวยในระบบพกดทรงกลม

ในระบบพกดทรงกลม ( , , )r θ φ

1

2

3

sin cos sin sin cos

cos cos cos sin sin

sin cos

r

θ

φ

θ φ θ φ θ

θ φ θ φ θ

φ φ

= = + +

= = + −

= = − +

e e i j k

e e i j k

e e i j

(3.7)

ตวอยาง 3.1.4 เวกเตอรหนวยในระบบพกดทรงกระบอก

ในระบบพกดทรงกระบอก ( , , )r zθ

1

2

3

sin cos

cos sin

r

z

θ

θ θ

θ θ

= = +

= = − +

= =

e e i j

e e i j

e e k

(3.8)

ตอไปจะศกษาการหาระยะทางในระบบพกดเชงเสนโคงใดๆ จากความสมพนธระหวาง

ระบบพกดในสมการ (3.1) เราสามารถหาอนพนธไดดงน

1 2 31 2 3

1 2 31 2 3

1 2 31 2 3

x x xdx dq dq dq

q q q

y y ydy dq dq dq

q q q

z z zdz dq dq dq

q q q

⎧⎪ ∂ ∂ ∂⎪ = + +⎪⎪ ∂ ∂ ∂⎪⎪⎪ ∂ ∂ ∂⎪⎪ = + +⎨⎪ ∂ ∂ ∂⎪⎪⎪ ∂ ∂ ∂⎪⎪ = + +⎪⎪ ∂ ∂ ∂⎪⎩

(3.9)

และระยะทางในระบบพกดคารทเซยนสามารถหาไดโดยการประยกตทฤษฎบทพทาโกรส ซงจะได

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2ds dx dy dz= + + (3.10)

เมอแทน , ,dx dy dz จากสมการ (3.9) จะได

( )

( )

3 32

1 1

211 1 12 1 2 13 1 3

2

21 2 1 22 2 23 2 3

2

31 3 1 32 3 2 33 3

( )

( )

ij i ji j

ds g dq dq

g dq g dq dq g dq dq

g dq dq g dq g dq dq

g dq dq g dq dq g dq

= =

=

= + +

+ + +

+ + +

∑∑

(3.11)


โดยท

3

1 1 2 2 3 3

1

l lij

l i j i j i j i j

x x x x x x x xg

q q q q q q q q=

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∑ (3.12)

ทงน 1 2 3, ,x x x y x z= = = จะเหนวา ijg หาไดจากความสมพนธระหวางพกดทงสอง ตอไปจะ

จากดความสนใจเฉพาะระบบพกดเชงตงฉากซง 1 2 3, ,e e e ตงฉากซงกนและกน กลาวคอ

1 2 2 3 3 1

1 1 2 2 3 3

0

1

⋅ = ⋅ = ⋅ =

⋅ = ⋅ = ⋅ =

e e e e e e

e e e e e e (3.13)

ซงเปนจรงในระบบพกดคารทเซยน ระบบพกดทรงกลม และระบบพกดทรงกระบอก

เราสามารถแสดงไดวา(ดแนวการพสจนในแบบฝกหด) ในระบบพกดเชงตงฉาก 0ijg = เมอ

i j≠ สมการ (3.11) จงลดรปเปน

2 2 2 211 1 22 2 33 3( ) ( ) ( ) ( )ds g dq g dq g dq= + + (3.14)

โดยท

23

1

0lii

l i

xg

q=

⎛ ⎞∂ ⎟⎜ ⎟= ≥⎜ ⎟⎜ ⎟⎜∂⎝ ⎠∑ จงสามารถกาหนดให

2ii ig h= โดยท 0ih ≥ ซงจะได

2 2 2 21 1 2 2 3 3( ) ( ) ( ) ( )ds h dq h dq h dq= + + (3.15)

ถาให i i ids h dq= จะสามารถเขยนระยะทางในระบบพกดเชงตงฉากไดในรป

2 2 2 21 2 3( ) ( ) ( ) ( )ds ds ds ds= + + (3.16)

สงเกตวา idq เปนการเปลยนแปลงของพกด iq เทานน ไมจาเปนจะตองมความหมายเปน

ระยะทางเสมอไป แต i i ids h dq= มความหมายเปนการเปลยนแปลงระยะทางตามแนว ie

ตวอยาง 3.1.5 ระยะทางในระบบพกดทรงกลม

ในระบบพกดทรงกลม ( , , )r θ φ พจารณาความสมพนธในสมการ (3.2) จะได

sin cos cos cos sin sin

sin sin cos sin sin cos

cos sin

x x xdx dr d d dr r d r d

ry y y

dy dr d d dr r d r drz z z

dz dr d d dr r dr

θ φ θ φ θ φ θ θ φ φθ φ

θ φ θ φ θ φ θ θ φ φθ φ

θ φ θ θ θθ φ

⎧⎪ ∂ ∂ ∂⎪ = + + = + −⎪⎪ ∂ ∂ ∂⎪⎪⎪ ∂ ∂ ∂⎪⎪ = + + = + +⎨⎪ ∂ ∂ ∂⎪⎪⎪ ∂ ∂ ∂⎪⎪ = + + = −⎪ ∂ ∂ ∂⎪⎪⎩

3.1 ระบบพกดเชงตงฉาก 95

ซงจะเหนวา

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) sin ( )

ds dx dy dz

dr r d r dθ θ φ

= + +

= + +

นนคอ 1,rh h rθ= = และ sinh rφ θ=

ตวอยาง 3.1.6 ระยะทางในระบบพกดทรงกระบอก

ในระบบพกดทรงกระบอก ( , , )r zθ พจารณาความสมพนธในสมการ (3.3) จะได

cos sin

sin cos

x x xdx dr d dz dr r d

r zy y y

dy dr d dz dr r dr zz z z

dz dr d dz dzr z

θ θ θ θθ

θ θ θ θθ

θθ

⎧ ∂ ∂ ∂⎪⎪ = + + = −⎪⎪ ∂ ∂ ∂⎪⎪ ∂ ∂ ∂⎪⎪ = + + = +⎨⎪ ∂ ∂ ∂⎪⎪⎪ ∂ ∂ ∂⎪ = + + =⎪⎪ ∂ ∂ ∂⎪⎩

(3.17)

ซงจะเหนวา

2 2 2 2

2 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

ds dx dy dz

dr r d dzθ

= + +

= + +

นนคอ 1,rh h rθ= = และ 1zh =

ขอสงเกตอกประการหนงคอ ผลคณเชงสเกลารและผลคณเชงเวกเตอรในระบบพกดเชง

ตงฉากใดๆ ยงคงรปแบบเดยวกบผลคณเชงสเกลารและผลคณเชงเวกเตอรในระบบพกดคารท

เซยน กลาวคอ ถา

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

A A A

B B B

= + +

= + +

A e e e

B e e e (3.18)

จะได

1 1 2 2 3 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

AB A B A B

A A A

B B B

⋅ = + +

× =

A B

e e e

A B (3.19)


แบบฝกหด 3.1

1. จงแสดงวา 0ijg = เมอ i j≠ ในระบบพกดเชงตงฉาก

(คาแนะ: สรางสามเหลยมทมดานยาว 1 2 3, ,ds ds ds แลวคานวณความยาวดานโดยใชกฎของ

โคไซนเปรยบเทยบกบดานทตามสมการ 2( )ds ในรป ijg )

2. จงเขยน , ,i j k เปนเวกเตอรในระบบพกดทรงกลมและระบบพกดทรงกระบอก

3. ระบบพกด , ,u v z ซงพบไดบอยในปญหาไฟฟาสถตและปญหาอทกพลศาสตรนยามโดย

2 2

u xy

v x y

z z

=⎧⎪⎪⎪⎪ = −⎨⎪⎪ =⎪⎪⎩

3.1 จงรางผว u =คาคงตว ผว v =คาคงตว และผว z =คาคงตว

3.2 จงแสดงวาระบบพกดนเปนระบบพกดเชงตงฉาก

3.3 จงหา ,u ve e และ ze

3.4 ถาตองการใหระบบพกดนวางตวตามระบบมอขวา ควรใชพกด ( , , )u v z หรอ ( , , )v u z

3.5 จงหา ,u vh h และ zh

3.6 จงหา 2( )ds ในรปของ 2 2( ) , ( )du dv และ

2( )dz

3.2 เกรเดยนท ไดเวอรเจนซและเครลในระบบพกดเชงตงฉาก

ในหวขอน จะศกษาเกรเดยนท ไดเวอรเจนซและเครลในระบบพกดเชงตงฉากใดๆ

เกรเดยนท

ถาให f เปนฟงกชนคาสเกลารทนยามในปรภมสามมต และ e เปนเวกเตอรหนงหนวย

ผลคณเชงสเกลาร ( )f⋅ ∇e มความหมายเปนอตราการเปลยนแปลงของ f ตอหนวยระยะทาง

ตามทศของ e ถาให 1 2 3( , , )f q q q เปนฟงกชนคาสเกลารในพกด 1 2 3, ,q q q และ 1 2 3, ,e e e เปน

เวกเตอรหนวยตามแนวพกดทงสามดงเชนทไดกลาวในหวขอทแลว เนองจาก i i ids h dq= จงได

( )1

ii i i

f ff

s h q∂ ∂

⋅ ∇ = =∂ ∂

e

นนคอ

1 2 3 1 2 31 1 2 2 3 3

1 1 1( , , )

f f ff q q q

h q h q h q∂ ∂ ∂

∇ = + +∂ ∂ ∂

e e e (3.20)

3.2 เกรเดยนท ไดเวอรเจนซและเครลในระบบพกดเชงตงฉาก 97

ตวอยาง 3.2.1 เกรเดยนทในระบบพกดทรงกลม

ในระบบพกดทรงกลม ( , , )r θ φ 1, , sinrh h r h rθ φ θ= = = จงได

1 1

sinr

f f ff

r r rθ φθ θ φ∂ ∂ ∂

∇ = + +∂ ∂ ∂

e e e (3.21)

เชนถา 2( , , ) sinf r rθ φ θ= จะได

2 sin cosrf r r θθ θ∇ = +e e

ตวอยาง 3.2.2 เกรเดยนทในระบบพกดทรงกระบอก

ในระบบพกดทรงกระบอก ( , , )r zθ 1, , 1r zh h r hθ= = = จงได

1

r z

f f ff

r r zθθ∂ ∂ ∂

∇ = + +∂ ∂ ∂

e e e (3.22)

เชนถา 2 2( , , ) sin 2f r z r zθ θ= + จะได

2 sin 2 2 cos2 2r zf r r zθθ θ∇ = + +e e e

ไดเวอรเจนซ

ไดเวอรเจนซของฟงกชนคาเวกเตอรสามารถหาไดโดยอาศยทฤษฎบทไดเวอรเจนซ

S V

d dV⋅ = ∇ ⋅∫∫ ∫∫∫F S F

เมอ S เปนผวปดทลอมปรมาตร V

ถาพจารณาลมตเมอ 0V → จะเหนวา

0

1limV

S

dV→

∇ ⋅ = ⋅∫∫F F S (3.23)

นนคอ ไดเวอรเจนซทจดใดกคอฟลกซตอหนวยปรมาตรตามผวปดเลกๆ ทลอมรอบจดนน


กาหนด 1 2 3 1 1 2 2 3 3( , , )q q q F F F= + +F e e e เปนฟงกชนคาเวกเตอรในพกด 1 2 3, ,q q q

นนคอ 1 2 3, ,F F F ตางเปนฟงกชนของ 1 2 3, ,q q q

สรางปรมาตรเลกๆ ดงรป เนองจากเราสนใจระบบพกดเชงตงฉาก จงเหนไดวาปรมาตร

เลกๆ คอ

1 2 3 1 2 2 1 2 3ds ds ds h h h dq dq dq=

ตอไปพจารณาอนทกรลตามผวปดในรป พจารณาผวทตงฉากกบ 1e ซงมอยสองผว และจะเหนวา

อนทกรลตามผวปดทงสองนคอ

( ) ( )1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 1 2 3 1 2 31 1

Fh h Fh h dq dq dq Fh h dq dq Fh h dq dq dqq q

⎡ ⎤∂ ∂⎢ ⎥+ − =⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

สงเกตดานซายมอของสมการขางตน พจนแรกคออนทกรลตามผวบน และพจนทสองคออนทกรล

ตามผวลาง ซงมคาเปนลบเพราะทศของเวกเตอรตงฉากชออกจากปรมาตร

เมอพจารณาทกผวรวมกน จะได

( ) ( ) ( )1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 2 31 2 3S

d Fh h F h h F h h dq dq dqq q q

⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎢ ⎥⋅ = + +⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦∫∫ F S

เราจงได

( ) ( ) ( )1 2 3 2 3 1 3 1 21 2 3 1 2 3

1Fh h F h h F h h

h h h q q q

⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎢ ⎥∇ ⋅ = + +⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦F (3.24)

x

y

z

1 2 3( , , )q q q

1 1 1ds h dq=

2 2 2ds h dq= 3 3 3ds h dq=

รป 3.2.1 ปรมาตรเลกๆ ในการหาไดเวอรเจนซ


ตวอยาง 3.2.3 ไดเวอรเจนซในระบบพกดทรงกลม


( ) ( ) ( )

( ) ( )

22

22

1sin sin

sin

1sin sin

sin

r

r

F r F r F rr r

Fr F r F r

r r

θ φ

φθ

θ θθ θ φ

θ θθ θ φ

⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎢ ⎥∇ ⋅ = + +⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦⎡ ⎤∂∂ ∂⎢ ⎥= + +⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦

F

(3.25)

เชนถา ( , , ) sinrr r r θθ φ θ= +F e e จะได

( )3

22

2 22

1sin sin

sin

13 sin 2 sin cos

sin3 2 cos

rr r

r r

r rr

θ θθ θ

θ θ θθ

θ

⎡ ⎤∂ ∂⎢ ⎥∇ ⋅ = +⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

⎡ ⎤= +⎣ ⎦

= +

F

ตวอยาง 3.2.4 ไดเวอรเจนซในระบบพกดทรงกระบอก


( ) ( )

( )

1

1 1

r z

zr

FF r F r

r r zF F

F rr r r z

θ

θ

θ

θ

⎡ ⎤∂∂ ∂∇ ⋅ = + +⎢ ⎥

⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦∂ ∂∂

= + +∂ ∂ ∂

F (3.26)

เชนถา 2 2 2( , , ) sinr zr z r r zθθ θ= + +F e e e จะได

( )

3 221 1sin

3 cos 2

r zr

r r r zr r z

θθ

θ

∂ ∂ ∂∇ ⋅ = + +

∂ ∂ ∂= + +

F

นอกจากน ยงสามารถหา ลาปลาเซยนของฟงกชนคาสเกลาร 1 2 3( , , )f q q q ไดดงน

2

1 2 31 1 2 2 3 3

2 3 3 1 1 2

1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3

1 1 1

1

f f

f f fh q h q h q

h h h h h hf f fh h h q h q q h q q h q

∇ = ∇⋅∇

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ⎟⎜ ⎟= ∇ ⋅ + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎢ ⎥⎟ ⎟ ⎟= + +⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

e e e (3.27)


เครล

เครลของฟงกชนคาเวกเตอรสามารถหาไดโดยอาศยทฤษฎบทสโตกส

( )C S

d d⋅ = ∇× ⋅∫ ∫∫F r F S

เมอ C เปนเสนโคงปดทลอมรอบผว S และเวกเตอรตงฉากหนงหนวย n ของผว S มทศ

สอดคลองกบทฤษฎบทของสโตกส

ถาพจารณาลมตเมอพนผว S มพนทเขาใกล 0 ซงจะเขยนแทนดวย 0S → จะเหนวา

( )0

1limS

C

dS→

∇× ⋅ = ⋅∫F n F r (3.28)

เราจะหาเครล โดยการสรางเสนโคงปดเลกๆ บนผวซง 1q = คาคงตว โดยให 1=n e และเสนโคง

ปด C มทศดงรป

จะเหนวาพนทเลกๆ ในรป คอ

2 3 2 3 2 3ds ds h h dq dq= (3.29)

รป 3.2.2 พนผวเลกๆ ในการหาเครล

x

y

z

1 2 3( , , )q q q

2 2 2ds h dq=

3 3 3ds h dq=1=n e

1

2

3

4


และหาคาอนทกรลตามเสนไดดงน

( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 3 3 3 3 2 3 2 2 2 2 3 2 3 3 32 3

3 3 2 2 2 32 3

C

d F h dq F h F h dq dq F h F h dq dq F h dqq q

F h F h dq dqq q

⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥⋅ = + + − + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤∂ ∂⎢ ⎥= −⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

∫ F r

สงเกตวาแตละพจนในสมการขางตนเปนการอนทเกรตตามเสนทางหมายเลข 1, 2, 3 และ 4 ในรป

ตามลาดบ

เราจะไดองคประกอบของเครลตามทศ 1e เปน

( ) ( ) ( )1 3 3 2 22 3 2 3

1F h F h

h h q q

⎡ ⎤∂ ∂⎢ ⎥∇× ⋅ = −⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦F e

ในทานองเดยวกน เราจะได

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 1 1 3 33 1 3 1

3 2 2 1 11 2 1 2

1

1

Fh F hh h q q

F h Fhh h q q

⎡ ⎤∂ ∂⎢ ⎥∇× ⋅ = −⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦⎡ ⎤∂ ∂⎢ ⎥∇× ⋅ = −⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

F e

F e

ดงนน สามารถแสดงการหาเครลในรปของดเทอรมแนนท ไดเปน

1 1 2 2 3 3

1 2 3 1 2 3

1 1 2 2 3 3

1

h h h

h h h q q qh F h F h F

∂ ∂ ∂∇× =

∂ ∂ ∂

e e e

F (3.30)


ตวอยาง 3.2.5 เครลในระบบพกดทรงกลม


2

sin

1sin

sin

r

r

r r

r rF rF r F

θ φ

θ φ

θ

θ θ φθ

∂ ∂ ∂∇× =

∂ ∂ ∂

e e e

F (3.31)

เชนถา ( , , ) sinrr r r θθ φ θ= +F e e จะได

( )

2

2

2

sin

1sin

sin 0

12 sin sin

sin2 sin

r r r

r r

r r

r rr

θ φ

φ

φ

θ

θ θ φ

θ

θ θθθ

∂ ∂ ∂∇× =

∂ ∂ ∂

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦=

e e e

F

e

e

ตวอยาง 3.2.6 เครลในระบบพกดทรงกระบอก


1

r z

r z

r

r r zF rF F

θ

θ

θ∂ ∂ ∂

∇× =∂ ∂ ∂

e e e

F (3.32)

เชนถา 2 2 2ˆ ˆ ˆ( , , ) sinr zr z r r zθθ θ= + +F e e e จะได

2 3 2

2

1

sin

13 sin

3 sin

r z

z

z

r

r r zr r z

rrr

θ

θθ

θ

θ

∂ ∂ ∂∇× =

∂ ∂ ∂

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦=

e e e

F

e

e



1. จงแสดงวา

1.1 ( )2 3

11 2 3 1

1 h h

h h h q

∂∇ ⋅ =

∂e

1.2 2 1 3 11

1 3 3 2 2

1 h hh h q h q

⎡ ⎤∂ ∂⎢ ⎥∇× = −⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

e ee

2. กาหนดเวกเตอร ω= kΩ เมอ ω เปนคาคงตว

2.1 จงเขยนเวกเตอร Ω ในระบบพกดทรงกลม

2.2 จงคานวณ = ×v rΩ และ ∇×v

3. จงทาขอ 2 ในระบบพกดทรงกระบอก

4. ถา ( )f f r= ในระบบพกดทรงกระบอก จงหาผลเฉลยของสมการลาปลาซ 2 0f∇ =

5. ถา ( )f f r= ในระบบพกดทรงกลม จงแสดงวา

( )2 2

2 22 2 2

1 1 2d df d d f dff r rf

r dr dr r dr dr r dr⎛ ⎞⎟⎜∇ = = = +⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

6. สาหรบแตละฟงกชนคาเวกเตอร F ในระบบพกดทรงกระบอกทกาหนดใหตอไปน

จงหา ∇×F และ ∇⋅F

6.1 ( )ln zr=F e

6.2 2r θ=F e

6.3 r zr z= +F e e

6.4 3r×

=k r

F

7. สาหรบแตละฟงกชนคาเวกเตอร F ในระบบพกดทรงกลมทกาหนดใหตอไปน

จงหา ∇×F และ ∇⋅F

7.1 3 3

2 cos sinrr r θ

θ θ= +F e e

7.2 cot

r φθ

= −F e

7.3 sinr θ

φ θ= −F e

7.4 3r×

=k r

F


3.3 สเกลาร เวกเตอรและเทนเซอร

ปรมาณกายภาพหลายปรมาณอาจระบไดดวยตวเลขเพยงตวเดยว เชน เมอมหนวยวดท

เหมาะสมสาหรบมวลและปรมาตร จะสามารถคานวณความหนาแนนไดเปนมวลตอหนวยปรมาตร

ซงความหนาแนนอาจเปลยนคาตามตาแหนงได แตความหนาแนนทจดหนงยอมจะเปนคาทแนนอน

และมความหมายชดเจนโดยไมตองระบทศทาง ปรมาณในลกษณะนเรยกวาสเกลาร(scalars) ซง

กลาวงายๆไดวาเปนปรมาณทมความหมายดวยตวเลขเพยงตวเดยวเมอมหนวยวดทแนนอน

อยางไรกตาม หากเปลยนหนวยวด ตวเลขจะเปลยนดวย แตปรมาณกายภาพนนไมไดเปลยนตาม

เชน ความหนาแนนของนาท 4 C° มคาเทากบ 31 g/cm หรอ

31000 kg/m ซงแมวาตวเลข

ตางกนตามหนวยทใช แตตางมความหมายแทนปรมาณเดยวกนคอความหนาแนนของนาท 4 C°

ปรมาณกายภาพบางปรมาณไมอาจระบดวยตวเลขเพยงตวเดยวใหมความหมายชดเจนได เชนถา

กลาววาแรง 1 N กระทาตอวตถทจดหนง กยงไมไดความหมายชดเจนวาแรงนนกระทาในทศทาง

ใด จงตองระบทศทางของแรงกระทาใหแนนอนจงจะใหความหมายชดเจน ปรมาณในลกษณะน

เรยกวาเวกเตอร(vectors) ซงกลาวงายๆ ไดวาเวกเตอรจะมความหมายชดเจนไดเมอระบทงขนาด

และทศทาง อยางไรกตาม หากเปลยนหนวยวด ตวเลขแสดงปรมาณกยอมจะเปลยนไปดวยใน

ลกษณะเดยวกบทไดกลาวไปแลวสาหรบสเกลาร นอกจากน ยงมการเปลยนแปลงทสาคญอก

ลกษณะหนงสาหรบเวกเตอร คอการเปลยนระบบอางอง ตามททราบแลววาเวกเตอรมทศทาง และ

ในการระบทศทางจาเปนตองมระบบอางองทชดเจน พจารณาตวอยางเวกเตอรในสามมต ซง

สามารถระบ เ วก เตอร ไดด วยส วนประกอบตามแกนท งส ามในระบบพ กดฉากในรป

( )1 2 3, ,F F F=F แตเมอระบบอางองเปลยนไป สวนประกอบทงสามกอาจเปลยนตามดวย เชน ถา

กาหนดแกนพกดใหมใหแกนพกดทงสามชในทศตรงขามกบแกนพกดเดม จะเหนวาสวนประกอบ

ของเวกเตอร F เปลยนเปน ( )1 2 3, ,F F F− − − จงแสดงใหเหนวาสวนประกอบของเวกเตอรอาจ

เปลยนตามระบบอางองทใช เพอใหเขาใจแนวคดพนฐานน จะตองแยกแยะระหวางปรมาณ

กายภาพทเรยกวาเวกเตอร และสวนประกอบของเวกเตอรซงมคาขนกบระบบอางอง โดยหาก

กลาวถงเฉพาะสวนประกอบของเวกเตอรโดยมไดระบระบบอางอง จะไมมความหมายแตอยางใด

และเปรยบเทยบไดกบการบอกความหนาแนนเฉพาะตวเลข โดยไมไดระบหนวยวด

ระบบอางองสาหรบเวกเตอรในปรภมสามมตประกอบดวยเวกเตอรฐานหลก(base

vectors) จานวนสามเวกเตอรทไมอยในระนาบเดยวกนและไมขนานกน ซงเวกเตอรฐานหลกยง

อาจเปลยนตามตาแหนงกได เพอใหเขาใจวาการเปลยนเวกเตอรฐานหลกมผลกระทบตอ

สวนประกอบของเวกเตอร ให พจารณาสวนประกอบของเวกเตอร v เมอมเวกเตอรฐานหลกเปน

, ,a b c โดยสามารถเขยน

α β γ= + +v a b c (3.33)

3.3 สเกลาร เวกเตอรและเทนเซอร 105

เมอ , ,α β γ เปนสวนประกอบของเวกเตอร v เทยบกบเวกเตอรฐานหลก , ,a b c ตามลาดบ และ

เมอพจารณาเวกเตอร v เดยวกน แตอาศยเวกเตอรฐานหลก , ,x y z ในการระบพกด จะได

ξ η ζ= + +v x y z (3.34)

เมอ , ,ξ η ζ เปนสวนประกอบของเวกเตอร v เทยบกบเวกเตอรฐานหลก , ,x y z สงทนาสนใจ

ศกษาคอความสมพนธระหวางพกด , ,ξ η ζ กบพกด , ,α β γ ในทางปฏบต หากทราบวาเวกเตอร

ฐานหลก , ,x y z เขยนในรปของเวกเตอรฐานหลก , ,a b c ไดอยางไร จะสามารถหาการแปลงท

แปลงสวนประกอบ , ,α β γ ไปเปนสวนประกอบ , ,ξ η ζ ได แมวาระบบอางองในปรภมสามมตม

หลายระบบ แตในทนจะกลาวถงเฉพาะระบบอางองทประกอบดวยเวกเตอรฐานหลกขนาดหนง

หนวยสามเวกเตอรทตงฉากซงกนและกนและไมเปลยนแปลงตามจด ซงเรยกวาระบบพกดคารท

เซยน(Cartesian coordinate system)

จากทไดศกษาไปแลว สามารถนยามพชคณตพนฐานของเวกเตอร เชน การบวก การคณ

หรอการหาอนพนธได และไดทราบแลววาการคณเวกเตอรมสองลกษณะคอผลคณเชงสเกลารและ

ผลคณเชงเวกเตอร อยางไรกตาม ไมมบทนยามผลหารสาหรบเวกเตอร เพราะไมอาจนยามสวน

กลบของเวกเตอรใหชดเจนเหมอนกบการหาสวนกลบของสเกลารได แตหากตองการนยามพชคณต

ทคลายคลงกบการหารกยอมทาได โดยพจารณาความเคนซงนยามเปนแรงตอหนวยพนท ตามทได

ทราบไปแลววาแรงเปนเวกเตอรและพนทกเปนเวกเตอร เพราะการระบขนาดพนทนนไมไดรวม

ความถงทศในการวางตวของพนทนนดวย จงจะระบทศทางของพนทดวยเวกเตอรทตงฉากกบพนท

นน ถาให F เปนเวกเตอรแรง และให A เปนเวกเตอรพนท โดยบทนยาม จะเหนวาความเคน T

คอผลหารของ F กบ A นนคอ

=F

TA

(3.35)

แตผลหารนไมมความหมายโดยตรง ในทางกลบกน อาจคดวา T เปนปรมาณหนงทมสมบตวา ผล

คณของ T กบเวกเตอร A คอเวกเตอร F ตามสมการ

=F AT (3.36)

เนองจาก F และ A เปนเวกเตอรในปรภมสามมต F และ A ตางจงมสวนประกอบ 3 สวนตาม

แกนพกดทงสาม และทกสวนประกอบของ A อาจมผลตอทกสวนประกอบของ F จงเหนไดวา T

เปนปรมาณทมสวนประกอบทงหมด 9 สวน และแทนปรมาณกายภาพคอความเคนทแตละจด

นอกจากน จะเหนวาความเคนไมไดขนกบระบบอางองทใช สวนประกอบทกสวนของปรมาณ T น

จงตองสอดคลองกบกฎการแปลงระบบพกดทแนนอน ปรมาณในลกษณะนเรยกวาเทนเซอร


(tensors) หรอถาจะเรยกใหชดเจน จะเรยกวาเทนเซอรลาดบสอง(tensors of rank two) และ

ตองแยกแยะระหวางเทนเซอรทเปนปรมาณกายภาพทไมขนกบระบบอางอง และสวนประกอบของ

เทนเซอรทมคาขนกบระบบอางองทใช

เทนเซอรมความหมายคอนขางกวาง หากตองการหมายความใหชดเจน จะตองระบ

ลาดบของเทนเซอรดวย ตอไปจะไดศกษาวาสเกลารเปนเทนเซอรลาดบศนย เวกเตอรเปนเทนเซอร

ลาดบหนง และมเทนเซอรลาดบสองและสงกวาได แมวาปรมาณกายภาพมกจะเขยนแทนไดดวย

เทนเซอรทมลาดบไมเกนสอง แตเพอใหเขาใจเทนเซอร จะนยามเทนเซอรลาดบสงพรอมทง

พชคณตของเทนเซอรเหลานดวย


พจารณาระบบพกดคารทเซยน 1 2 3x x x ถาหมนแกนพกด 1 2 3, ,x x x เปนมม θ รอบแกน 3x

โดยแกน 1x หมนไปเปนแกน 1x ′ สวนแกน 2x หมนไปเปนแกน 2x ′ และแกน 3x ไมมการ

เปล ยนแปลง จ ง ใหแกน 3x เปนแกน 3x ′ ดวย จ ง ได ระบบพ กดคารท เ ซยน 1 2 3x x x′ ′ ′

ถาจด P มพกด 1 2 3( , , )x x x ในระบบ 1 2 3x x x และมพกด 1 2 3( , , )x x x′ ′ ′ ในระบบ 1 2 3x x x′ ′ ′ และ

จด Q มพกด 1 2 3( , , )y y y ในระบบ 1 2 3x x x และมพกด 1 2 3( , , )y y y′ ′ ′ ในระบบ 1 2 3x x x′ ′ ′ แลว จง

แสดงวา

1.

11

2 2

33

cos sin 0

sin cos 0

0 0 1

x x

x x

xx

θ θ

θ θ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤′ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥′⎢ ⎥ = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥′⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

2.

11

2 2

33

cos sin 0

sin cos 0

0 0 1

xx

x x

x x

θ θ

θ θ

⎡ ⎤⎡ ⎤ ′⎡ ⎤ − ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ′⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ′⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

3. 3

cos sin 0 cos sin 0 cos sin 0 cos sin 0

sin cos 0 sin cos 0 sin cos 0 sin cos 0

0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1

θ θ θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ θ θ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− = = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

I

4. ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3x x x x x x′ ′ ′+ + = + +

5. 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3x y x y x y x y x y x y′ ′ ′ ′ ′ ′+ + = + +

6. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3x y x y x y x y x y x y′ ′ ′ ′ ′ ′− + − + − = − + − + −

3.4 เทนเซอรลาดบหนง 107

3.4 เทนเซอรลาดบหนง

ในหวขอน จะศกษาเวกเตอรในฐานะทเปนเทนเซอรลาดบหนง โดยจะนยามสมบตการ

แปลงของเวกเตอร แลวจงจะเชอมโยงไปสเทนเซอรลาดบสองตอไป

พจารณารป 3.4.1 ซงแสดงจด P ในปรภมสามมต ตาแหนงของ P ระบไดดวยการสราง

ระบบพกดทเหมาะสม ในทนจะพจารณาเฉพาะระบบพกดคารทเซยนเทานน ซงทาไดดงน

พจารณาระบบพกดคารทเซยน 1 2 3x x x ทมเวกเตอรฐานหลกหนงหนวยเปน 1 2 3, ,x x x

และใหจด P มพกดเปน 1 2 3( , , )x x x ในระบบน นนคอ

1 1 2 2 3 3x x x= + +P x x x (3.37)

ถาหมนระบบคารทเซยน 1 2 3x x x ทาใหไดระบบพกดคารทเซยน 1 2 3x x x′ ′ ′ และเวกเตอรฐานหลก

หนงหนวยเดมหมนไปเปนเวกเตอรฐานหลก 1 2 3, ,′ ′ ′x x x โดยพกดของจด P เปน 1 2 3( , , )x x x′ ′ ′

กลาวคอ

1 1 2 2 3 3x x x′ ′ ′ ′ ′ ′= + +P x x x (3.38)

อยางไรกตาม จะเหนวาจด P เปนปรมาณทไมไดขนกบระบบพกดทใช สมการ (3.37) และ (3.38)

จงเขยนแทนปรมาณเดยวกน นนคอ

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3x x x x x x′ ′ ′ ′ ′ ′= + + = + +P x x x x x x (3.39)

1x

2x

3x

1x ′

2x ′

3x ′

P

O

รป 3.4.1 จด P ในระบบพกดคารทเซยนสองระบบ


สงทสนใจจะศกษาคอความสมพนธระหวางพกด 1 2 3( , , )x x x′ ′ ′ และพกด 1 2 3( , , )x x x น

ซงสามารถทาไดโดยพจารณาวาเวกเตอรฐานหลกหนงหนวย 1′x กเปนเวกเตอรหนงหนวยในระบบ

พกด 1 2 2x x x ดวย โดยจะให 1 1 1, ,α β γ เปนมมท เวกเตอร 1′x ทากบแกนพกด 1 2 3, ,x x x

ตามลาดบ จงได

1 1 1 1 2 1 3(cos ) (cos ) (cos )α β γ′ = + +x x x x (3.40)

เมอพจารณาในทานองเดยวกนกบเวกเตอร 2′x และเวกเตอร 3

′x จะได

2 2 1 2 2 2 3

3 3 1 3 2 3 3

(cos ) (cos ) (cos )

(cos ) (cos ) (cos )

α β γ

α β γ

′ = + +

′ = + +

x x x x

x x x x (3.41)

เพอความสะดวกจะให ija เปนโคไซนของมมระหวางเวกเตอร ix และเวกเตอร j′x จงสามารถ

เขยนสมการ (3.40) และ (3.41) ไดวา

1 1 2 2 3 3j j j ja a a′ = + +x x x x เมอ 1,2, 3j = (3.42)

ในทางกลบกน สามารถเขยนเวกเตอรฐานหลกหนงหนวย 1 2 3, ,x x x ในระบบพกด 1 2 3x x x′ ′ ′ ได คอ

1 1 2 2 3 3i i i ia a a x′ ′ ′= + +x x x เมอ 1,2, 3i = (3.43)

จากความสมพนธระหวางเวกเตอรฐานหลกหนงหนวยของระบบพกดทงสอง จะได

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 1 2 2 3 3

1 11 1 12 2 13 3 2 21 1 22 2 23 3 3 31 1 32 2 33 3

11 1 21 2 31 3 1 12 1 22 2 32 3 2 13 1 23 2 33 3 3

x x x

x a a a x a a a x a a a

a x a x a x a x a x a x a x a x a x

= + +

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= + + + + + + + +

′ ′ ′= + + + + + + + +

P x x x

x x x x x x x x x

x x x

แตทราบวา 1 1 2 2 3 3x x x′ ′ ′ ′ ′ ′= + +P x x x จงไดความสมพนธระหวางพกดในระบบพกดทงสอง

1 1 2 2 3 3j j j jx a x a x a x′ = + + เมอ 1,2, 3j = (3.44)

และในทานองเดยวกน สามารถแสดงไดวา

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1 2 2 3 3

1 11 1 21 2 31 33 2 12 1 22 2 32 3 3 13 1 23 2 33 33

11 1 12 2 13 3 1 21 1 22 2 23 3 2 31 1 32 2 33 3 3

x x x

x a a a x a a a x a a a

a x a x a x a x a x a x a x a x a x

′ ′ ′ ′ ′ ′= + +

′ ′ ′= + + + + + + + +

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= + + + + + + + +

P x x x

x x x x x x x x x

x x x

นนคอ 1 1 2 2 3 3i i i ix a x a x a x′ ′ ′= + + เมอ 1,2, 3i = (3.45)


สมการ (3.44) และ (3.45) สามารถเขยนในรปเมทรกซได โดยกาหนดเมทรกซ A ดงน

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

a a a

a a a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

A (3.46)

และกาหนดเวกเตอรแทนพกดในระบบทงสองดงน

1

2

3

x

x

x

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

x และ

1

2

3

x

x

x

⎡ ⎤′⎢ ⎥⎢ ⎥

′ ′⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥′⎢ ⎥⎣ ⎦

x (3.47)

จงสามารถเขยนสมการ (3.44) และ (3.45) ไดในรปเมทรกซวา

T′ =x A x และ ′=x Ax (3.48)

จะเรยกเมทรกซ A นวาเมทรกซการแปลง(transformation matrix) ซงแสดงความสมพนธ

ระหวางพกดในระบบคารทเซยนสองระบบ เมทรกซการแปลงนมสมบตสาคญดงแสดงตอไปน

ถาพจารณาสมการทงสองสมการใน (3.48) อกครง จะเหนวา

( ) ( )T T′= = =x Ax A A x AA x (3.49)

นนคอ

T =AA I (3.50)

และในทานองเดยวกนสามารถแสดงไดวา

( ) ( )T T T′ ′ ′= = =x A x A Ax A A x (3.51)

นนคอ

T =A A I (3.52)

จงสรปไดวา

T T= =AA A A I (3.53)

ดงนน A เปนเมทรกซเชงตงฉาก(orthogonal matrix)


เพอความสะดวก นยามสญลกษณโครเนคเคอรเดลตา(Kronecker delta) ดงน

1,

0,mn

m n

m nδ

⎧ =⎪⎪= ⎨⎪ ≠⎪⎩ (3.54)

เมอพจารณาสมาชกแตละตวในผลคณ T =AA I จะเหนวา

3

1ij kj ik

j

a a δ=

=∑ (3.55)

และในทานองเดยวกน เมอพจารณาสมาชกแตละตวในผลคณ T =A A I จะได

3

1ji jk ik

j

a a δ=

=∑ (3.56)

สญนยมการบวก

ในการศกษาเทนเซอร จะตองใชผลบวกในลกษณะ 3

1ik k

k

a x=∑ ตลอดเวลา เพอความ

สะดวกในการเขยน จะใชสญนยมการบวก(summation convention) คอใหละเครองหมาย

ผลบวกสาหรบดชนท ซากน เชน จะเขยน ik ka x แทน 3

1ik k

k

a x=∑ หรอเขยน im jn ija a v แทน

3 3

1 1im jn ij

i j

a a v= =∑∑ เปนตน

ดชนทซากนซงแทนการบวกนเปนเพยงดชนหน(dummy index) คอจะเขยนแทนดชน

นดวยตวแปรอนกได ในขณะทดชนทไมซานนมความหมายชดเจนและไมสามารถเปลยนแปลงอยาง

อสระได เชน

1 1 2 2 3 3ik k ij j il l i i ia x a x a x a x a x a x= = = + + (3.57)

หรอ im jn ij pm qn pq rm sn rsa a v a a v a a v= = (3.58)

โดยอาศยสญนยมการบวก จะเขยนแทนสมการ (3.44) และ (3.45) ไดดวย

j ij ix a x′ = และ i ij jx a x ′= (3.59)

นอกจากน ยงสามารถเขยนสมบตของเมทรกซการแปลงในสมการ (3.55) และ (3.56) ไดดวย

ij kj ika a δ= และ ji jk ika a δ= (3.60)


สเกลาร

กอนทจะกลาวถงเทนเซอรลาดบสองและเทนเซอรลาดบสงตอไป จะตองกลาวถงปรมาณ

ทมคาคงเดมภายใตการแปลงระบบพกด ดงนยามตอไปน

บทนยาม 3.4.1

ปรมาณ α ทไมมการเปลยนแปลงคาภายใตการแปลงระบบพกด กลาวคอ α α′ =

เรยกวาสเกลาร(vectors) หรอเทนเซอรลาดบศนย(tensors of rank zero)

เวกเตอร

ตอไปจะนยามเวกเตอรจากสมบตการแปลงในสมการ (3.59) ไดดงน


ถาปรมาณ v ทมสวนประกอบ 1 2 3, ,v v v และมสวนประกอบ 1 2 3, ,v v v′ ′ ′ ภายใตการแปลงระบบพกด

โดยท

j ij iv a v′ =

เมอ ija เปนสมาชกของเมทรกซการแปลง

แลวจะเรยก v วาเวกเตอร(vectors) หรอเทนเซอรลาดบหนง(tensors of rank one)

เพอใหเขาใจบทนยาม 3.4.2 จะแสดงใหเหนจรงวาผลคณของสเกลารกบเวกเตอรเปน

เวกเตอร ผลบวกของเวกเตอรกบเวกเตอรเปนเวกเตอร และผลคณเชงสเกลารของสองเวกเตอร

เปนสเกลาร

ตวอยาง 3.4.1 ผลคณของเวกเตอรกบสเกลาร

กาหนด α เปนสเกลาร และ v เปนเวกเตอร จงแสดงวา kv เปนเวกเตอร

วธทา ให α=u v จะได j ju vα=

จากทกาหนดให α เปนสเกลาร และ v เปนเวกเตอร ภายใตการแปลงระบบพกด จะได

α α′ = และ j ij iv a v′ =

พจารณาสมบตการแปลงของ u

( ) ( )j j ij i ij i ij iu v a v a v a uα α α′ ′ ′= = = =

ซงสอดคลองกบบทนยาม 3.4.2 จงสรปไดวา αv เปนเวกเตอร


ตวอยาง 3.4.2 ผลบวกของเวกเตอร

กาหนด u และ v เปนเวกเตอร จงแสดงวา +u v เปนเวกเตอร

วธทา ให = +w u v จะได j j jw u v= +

จากทกาหนดให u และ v เปนเวกเตอร ภายใตการแปลงระบบพกด จะได

j ij iu a u′ = และ j ij iv a v′ =

พจารณาสมบตการแปลงของ w

( )j j j ij i ij i ij i i ij iw u v a u a v a u v a w′ ′ ′= + = + = + =

ซงสอดคลองกบบทนยาม 3.4.2 จงสรปไดวา +u v เปนเวกเตอร

ตวอยาง 3.4.3 ผลคณเชงสเกลาร

กาหนด u และ v เปนเวกเตอร จงแสดงวา i iu v⋅ =u v เปนสเกลาร

วธทา จากทกาหนดให u และ v เปนเวกเตอร ภายใตการแปลงระบบพกด จะได

j ij iu a u′ = และ j ij iv a v′ =

พจารณาสมบตการแปลงของ ⋅u v

( )( ) ( )j j ij i kj k ij kj i k ik i k i iu v a u a v a a u v u v u vδ′ ′ = = = =

ซงสอดคลองกบบทนยาม 3.4.1 จงสรปไดวา ⋅u v เปนสเกลาร

การแปลงระบบพกดนนไมไดหมายถงเฉพาะการหมนแกนเพยงอยางเดยวเทานน ยงม

การแปลงระบบพกดอกลกษณะหนงคอการกลบแกน(inversion of axes) กลาวคอกลบใหทก

แกนพกดชในทศตรงขาม ในลกษณะเชนนจะไดเมทรกซการแปลงเปน

1 0 0

0 1 0

0 0 1

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥

= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

A (3.61)

ในกรณนพบวา det( ) 1= −A ซงตางจากเมทรกซการแปลงทไดจากการหมนแกน ซงจะม

det( ) 1=A


เวกเตอรเทยม

ปรมาณบางปรมาณมสมบตการแปลงคลายกบสมบตการแปลงของเวกเตอร แตไม

เหมอนกนทเดยว ดงแสดงในบทนยามตอไปน


ถาปรมาณ v ทมสวนประกอบ 1 2 3, ,v v v และมสวนประกอบ 1 2 3, ,v v v′ ′ ′ ภายใตการแปลงระบบพกด

โดยท

det( )j ij iv a v′ = A


แลวจะเรยก v วาเวกเตอรเทยม(pseudovectors)

เวกเตอรและเวกเตอรเทยมมความแตกตางทสงเกตไดงายๆ จากการกลบแกน กลาวคอ

เวกเตอรจะกลบทศเมอมการกลบแกน นนคอ

1 1

2 2

2 2

1 0 0

0 1 0

0 0 1

v v

v v

v v

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

(3.62)

มปรมาณบางปรมาณทมลกษณะคลายกบเวกเตอร แตไมกลบทศภายใตการกลบแกน เชน ผลคณ

เชงเวกเตอร ×u v ซงแสดงไดดงน

ถาให = ×w u v ภายใตการกลบแกน จะเหนวา

′ = −u u และ ′ = −v v (3.63)

แต ( ) ( )′ ′ ′= × = − × − = × =w u v u v u v w (3.64)

จงเหนไดวาผลคณเชงสเกลารเปนเวกเตอรเทยม

เพอความงายในการแยกแยะเวกเตอรและเวกเตอรเทยม อาจเรยกเวกเตอรทมสมบตการ

แปลงตามบทนยาม 3.4.2 วาเวกเตอรเชงขว(polar vectors) นอกจากนยงมสเกลารทเปลยน

เครองหมายภายใตการสลบแกน ซงจะเรยกวาสเกลารเทยม(pseudoscalars) เชนผลคณเชงส

เกลารของสามเวกเตอร ภายใตการกลบแกน จะเหนวา

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )α α′ ′ ′ ′= ⋅ × = − ⋅ − × − = − ⋅ × = −u v w u v w u v w (3.65)


สญลกษณ Levi-Civita

เพอความสะดวกในการใชผลคณเชงเวกเตอร จะนยามสญลกษณ Levi-Civita ดงน

เชน 231 321 1211, 1, 0ε ε ε= = − = เปนตน

ดเทอรมแนนตของเมทรกซการแปลงสามารถเขยนในรป ijkε ไดดงน

1 2 3det( ) ijk i j ka a aε=A (3.66)

และผลคณเชงเวกเตอรสามารถเขยนในรป ijkε ไดวา

ijk i i ku vε× =u v x (3.67)

เมอ kx เปนเวกเตอรฐานหลกหนงหนวย

ตามทไดทราบไปแลววาผลคณเชงเวกเตอรของสามเวกเตอรหาไดจาก

( ) ( ) ( )× × = ⋅ − ⋅u v w u w v u v w (3.68)

ซงสามารถแสดงใหเหนจรงไดโดยอาศยเอกลกษณ

ijk klm il jm im jlε ε δ δ δ δ= − (3.69)

ดงนน

( )( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

ijk i j k

ijk i pqj p q k

kij jpq i p q k

kp iq kq ip i p q k

q k q k p p k k

u

u v w

u v w

u v w

u v w u v w

ε

ε ε

ε ε

δ δ δ δ

× × = ×

=

=

= −= −

= ⋅ − ⋅

u v w v w x

x

x

xx x

u w v u v w

(3.70)

ถา ijk เปนการเรยงสบเปลยนคของ 123

ถา ijk เปนการเรยงสบเปลยนคของ 123

ถา ijk ไมไดแตกตางกนหมด

1,

1,

0ijkε

⎧⎪⎪⎪⎪⎪= −⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩



1. จงเขยนผลบวกตอไปนโดยใชสญนยมการบวก

1.1 1 21 2

nn

f f fdf dx dx dx

x x x∂ ∂ ∂

= + + +∂ ∂ ∂

…

1.2 1 2

1 2

k k k k n

n

dx x dx x dx x dxdt x dt x dt x dt

′ ′ ′ ′∂ ∂ ∂= + + +

∂ ∂ ∂

1.3 ( ) ( ) ( )2 2 2

1 2 nx x x+ + +… 1.4 1 1

n n

pq p qp q

a x x= =∑∑

2. จงหาคาของผลบวกตอไปนตามสญนยมการบวก

2.1 pq qrsTδ 2.2 pq rs qm rn mna a Tδ δ 2.3( )pk ql qk pl klpqTδ δ δ δ+

3. จงแสดงเอกลกษณตอไปน

3.1 3iiδ = 3.2 ij jk ikδ δ δ=

3.3 0ij ijkδ ε = 3.4 2ipq jpq ijε ε δ=

3.5 6ijk ijkε ε = 3.6 0ijk j kv vε =

4. จงแสดงวา ijk klm il jm im jlε ε δ δ δ δ= −

5. จงแสดงวา det( )ijk pi qj rk pqra a aε ε= A

6. ถา i ji jv a v′ = แลวจงแสดงวา i ij jv a v ′=

7. หมนระบบพกด 1 2 3x x x เปนมม 45° รอบแกน 3x ทาใหไดระบบพกด 1 2 3x x x′ ′ ′

กาหนดเวกเตอร ( )1,2, 3=u และ ( )1,2,1= −v

7.1 จงหาสวนประกอบของ u และ v ในระบบพกด 1 2 3x x x′ ′ ′

7.2 จงหา ⋅u v ในระบบพกด 1 2 3x x x และระบบพกด 1 2 3x x x′ ′ ′

7.3 จงหา ×u v ในระบบพกด 1 2 3x x x และระบบพกด 1 2 3x x x′ ′ ′

8. จงแสดงวา jij

i

xa

x

′∂=

∂ และ i

ijj

xa

x∂

=′∂

9. กาหนดสเกลาร f จงแสดงวา f∇ เปนเวกเตอร

10. กาหนดเวกเตอร v จงแสดงวา ∇⋅ v เปนสเกลาร

11. กาหนดสเกลาร f จงแสดงวา 2f∇ เปนสเกลาร

12. กาหนดเวกเตอร v จงแสดงวา ∇×v เปนเวกเตอรเทยม


3.5 เทนเซอรลาดบสอง

เทนเซอรลาดบหนงนยามไดดวยสมบตการแปลงตามบทนยาม 3.4.3 เทนเซอรลาดบ

สองสามารถนยามไดในลกษณะคลายกนดงน


ปรมาณ T ทมสวนประกอบ ijT เมอ 1,2, 3i = และ 1,2, 3j =

และมสวนประกอบ ijT ′ ภายใตการแปลงระบบพกด โดยท

pq ip jq ijT a a T′ =

เมอ ija เปนสมาชกของเมทรกซการแปลง เรยกวาเทนเซอรลาดบสอง(tensors of rank two)

ขอสงเกต ถา pq ip jq ijT a a T′ = แลว pq pi qj ijT a a T ′= ซงแสดงไดดงน

( )( )( )

pi qj ij pi qj ki lj kl

pi ki qj lj kl

pk ql kl

pq

a a T a a a a T

a a a a T

T

T

δ δ

′ =

=

=

=

ถา T เปนเทนเซอรลาดบสองในปรภมสามมตแลว T จะมสวนประกอบ 9 สวน คอ ijT

เมอ 1,2, 3i = และ 1,2, 3j = จงเขยน T ในรปเมทรกซไดเปน

11 12 13

21 22 23

31 32 33

T T T

T T T

T T T

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

T (3.71)

และจะเขยนสมบตการแปลงของเทนเซอร T ในรปเมทรกซไดวา

T′ =T A TA และ

T′=T AT A (3.72)

เมอกาหนดปรมาณ ijT เมอ 1,2, 3i = และ 1,2, 3j = ให ไมจาเปนท ijT จะตอง

ประกอบกนเปนเทนเซอรเสมอไป หากตองการแสดงวา ijT เปนสวนประกอบของเทนเซอร T

จะตองแสดงใหเหนวา ijT มสมบตการแปลงตามบทนยาม 3.5.1 ตวอยางของเทนเซอรลาดบสอง

คอ ijδ หรอ ij i jT u v= เมอ iu และ jv เปนสวนประกอบของเวกเตอร ดงจะแสดงใหเหนใน

ตวอยางตอไปน

3.5 เทนเซอรลาดบสอง 117

ตวอยาง 3.5.1 จงแสดงวา ijδ เปนสวนประกอบของเทนเซอรลาดบสอง

วธทา พจารณาสมบตการแปลง

pq pq ip jq ija aδ δ δ′ = =

ซงสอดคลองกบบทนยาม 3.5.1 จงสรปไดวา ijδ เปนสวนประกอบของเทนเซอรลาดบสอง

ตวอยาง 3.5.2 กาหนด u และ v เปนเวกเตอร

และ ij i jT u v= จงแสดงวา ijT เปนสวนประกอบของเทนเซอรลาดบสอง


( )( ) ( )ij i j mi m nj n mi nj m n mi nk mnT u v a u a v a a u v a a T′ ′ ′= = = =

ซงสอดคลองกบบทนยาม 3.5.1 จงสรปไดวา ijT เปนสวนประกอบของเทนเซอรลาดบ

สอง

ตวอยาง 3.5.3 ถา T เปนเทนเซอรลาดบสอง ทมสวนประกอบเปน ijT

จงแสดงวา iiT เปนสเกลาร

วธทา เนองจาก ijT เปนสวนประกอบของเทนเซอรลาดบสอง จงมสมบตการแปลง

ij pi qj pqT a a T′ =

ถาใหดชน j เทากบดชน i จะได

ii pi qi pq pq pq ppT a a T T Tδ′ = = =

นนคอ iiT มคาคงเดมภายใตการแปลงระบบพกด จงสรปไดวา iiT เปนสเกลาร

จะเรยก iiT วารอย(trace) ของเทนเซอร และเขยนแทนดวย Tr( ) iiT=T

ตวอยาง 3.5.4 จงหารอยของเทนเซอร T ทกาหนดโดย

3 1 2

1 1 4

2 4 2

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

= − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

T

วธทา รอยของเทนเซอร T คอ Tr( ) 3 1 2 6iiT= = + + =T



1. ถาแกน 1 3 2, ,x x x′ ′ ′ มสวนประกอบในระบบพกด 1 2 3x x x เปน ( )1 3 3 1

1, 0, 0 , (0, , ), (0, , )2 2 2 2

− ,

ตามลาดบ และ T เปนเทนเซอรลาดบสอง

1.1 จงหาสวนประกอบของ T ในระบบพกด 1 2 3x x x′ ′ ′ เมอกาหนด

11 22 33

12 21 23 32 13 31

1, 3, 1,

1 11, ,

2 2

T T T

T T T T T T

= − = =

= = − = = − = =

1.2 จงหาสวนประกอบของ T ในระบบพกด 1 2 3x x x เมอกาหนด

11 22 33

12 21 23 32 13 31

1, 3, 1,

1 11, ,

2 2

T T T

T T T T T T

′ ′ ′= − = =

′ ′ ′ ′ ′ ′= = − = = − = =

2. จงแสดงวา ija เปนเทนเซอรลาดบสอง

3. กาหนด T เปนเทนเซอรลาดบสองในปรภม n มตและมสวนประกอบ ijT

3.1 ถา ij jiT T= แลวจะเรยก T วาเทนเซอรสมมาตร(symmetric tensors)

จงหาจานวนสวนประกอบอสระของ T

3.2 ถา ij jiT T= − แลวจะเรยก T วาเทนเซอรปฏสมมาตร(anti-symmetric tensors)

จงหาจานวนสวนประกอบอสระของ T

4. กาหนดเทนเซอร T โดย

1 1 0

1 1 0

0 0 3

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

T

4.1 จงหาเมทรกซการแปลง A ททาให T′ =T A T เปนเมทรกซทแยงมม

4.2 จงเขยนรปแสดงระบบพกดทแปลงโดยเมทรกซ A

4.3 จงเขยน ′T ในรปเมทรกซ

5. เทนเซอรสงยค(conjugate tensor) ของ T เปนเทนเซอรทมสวนประกอบ ijT

และกาหนดโดย ij

jk ikT T δ=

จงหาเทนเซอรสงยคของเทนเซอร T ทกาหนดโดย

2 0 5

0 4 0

1 0 3

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

T

6. เทนเซอรความเคน T เปนเทนเซอรลาดบสอง จงแสดงวาเขยน T ไดในรป dev m= +T T T

โดยท ( )1

Tr3dev = −T T T I เรยกวา deviatoric stress tensor

และ ( )1

Tr3m =T T I เรยกวา mean stress tensor หรอ hydrostatic stress tensor

3.6 เทนเซอรลาดบสง 119

3.6 เทนเซอรลาดบสง

จากบทนยาม 3.5.1 จะเหนวาเทนเซอรลาดบสองมสมบตการแปลง ij pi qj pqT a a T′ = จง

สามารถขยายนยามไปสเทนเซอรลาดบสงไดดงน


ปรมาณ T ทมสวนประกอบ ij nT เมอดชนแตละตวมคาเปน 1, 2 หรอ 3

และมสวนประกอบ ij nT ′ ภายใตการแปลงระบบพกด โดยท

pq t ip jq nt ij nT a a a T′ =

เมอ ija เปนสมาชกของเมทรกซการแปลง เรยกวาเทนเซอรลาดบ n (tensors of rank n)

ขอสงเกต ถา pq t ip jq nt ij nT a a a T′ = แลว ij n ip jq nt pq tT a a a T ′=

เมอกาหนด ij nT เมอดชนแตละตวมคาเปน 1, 2 หรอ 3 นนคอ กาหนดสวนประกอบ

ทงหมด 3n สวนมาให ไมจาเปนท ij nT จะประกอบกนเปนเทนเซอรเสมอไป หากตองการแสดง

วา ij nT ประกอบกนเปนเทนเซอร จะตองแสดงวา ij nT สอดคลองกบสมบตการแปลงในบท

นยาม 3.6.1

ตวอยาง 3.6.1 กาหนด , ,u v w เปนเวกเตอร และ ijk i j kT u v w=

จงแสดงวา ijkT เปนสวนประกอบของเทนเซอรลาดบสาม


( )( )( ) ( )ijk i j k pi p qj q rk r pi qj rk p q r pi qj rk pqrT u v w a u a v a w a a a u v w a a a T′ ′ ′ ′= = = =

ซงสอดคลองกบบทนยาม 3.6.1 จงสรปไดวา ijkT เปนสวนประกอบของเทนเซอรลาดบสาม

ตวอยาง 3.6.2 กาหนด ijkT เปนสวนประกอบของเทนเซอรลาดบสาม

จงแสดงวา i ikkv T= เปนสวนประกอบเวกเตอร

วธทา เนองจาก ijkT เปนสวนประกอบของเทนเซอรลาดบสาม จงมสมบตการแปลง

ijk pi qj rk pqrT a a a T′ =

เมอกาหนดดชน j เทากบดชน k จะได

i ikk pi qk rk pqr pi qr pqr pi prr pi pv T a a a T a T a T a vδ′= = = = =

นนคอ iv เปนสวนประกอบของเวกเตอร


ในบางกรณ ijkT มสมบตการแปลงคลายกบสมบตการแปลงของเทนเซอร แตไม

เหมอนกนทเดยว ดงแสดงในบทนยามตอไปน


ถาปรมาณ T ทมสวนประกอบ ij nT และมสวนประกอบ ij nT ′ ภายใตการแปลงระบบพกด โดยท

det( )ij n pi qj tn pq tv a a a v′ = A


แลวจะเรยก T วาเทนเซอรเทยม(pseudotensors)

ตวอยาง 3.6.3 จงแสดงวา ijkε เปนสวนประกอบของเทนเซอรเทยม

วธทา ดเทอรมแนนตของเมทรกซ A คอ

1 2 3det( ) ijk i j ka a aε=A

จะได

det( )ijk ip jq kr pqra a aε ε= A

แตจาก T =AA I จะได ( )2det( ) 1=A จงได

( )2det( ) det( )pqr ip jq kr ijka a aε ε=A A

แต pqr pqrε ε′ = จงไดสมบตการแปลง

det( )pqr ip jq kr ijka a aε ε′ = A

นนคอ ijkε เปนสวนประกอบของเทนเซอรเทยม

ในทานองเดยวกน สามารถแสดงไดวา สวนประกอบของผลคณเชงเวกเตอรของเวกเตอร

u และเวกเตอร v ซงนยามจาก k ijk i jw u vε= จะมสมบตการแปลง

( )det( ) det( )k ijk i j pk ijp i j pk pw u v a u v a wε ε′ ′ ′ ′= = =A A

นนคอผลคณเชงเวกเตอรของสองเวกเตอรเปนเวกเตอรเทยม อยางไรกตาม สามารถแสดงไดวาผล

คณเชงเวกเตอรของสามเวกเตอรยงคงเปนเวกเตอร


นยามเทนเซอรสมมาตรและเทนเซอรปฏสมมาตรไดดงน


กาหนด T เปนเทนเซอรลาดบ n แลว

1. ถา T ไมมการเปลยนแปลงคาเมอสลบดชนสองตว

แลวจะเรยก T วาเทนเซอรสมมาตร(symmetric tensor) เทยบกบดชนสองตวนน

2. ถา T เปลยนเครองหมายเมอสลบดชนสองตว

แลวจะเรยก T วาเทนเซอรปฏสมมาตร(anti-symmetric tensor) เทยบกบดชนสองตวนน

ตวอยาง 3.6.4 จงแสดงวา ijkε เปนเมทรกซปฏสมมาตรเทยบกบดชนคใดๆ

วธทา เนองจาก ijkε มเครองหมายตามสมบตของการเรยงสบเปลยน จงเหนไดวา

ijk jik kji ikjε ε ε ε− = = =

และยงสามารถแสดงไดวา

ijk jki kijε ε ε= =

เทนเซอรไอโซทรอปก

เทนเซอรไอโซทรอปก(isotropic tensors) เปนเทนเซอรทมสวนประกอบคงเดม

ภายใตการหมนแกน ตวอยางทเหนไดชดคอ เทนเซอรทกลาดบทมสวนประกอบทกสวนเปนศนย

ซงทกสวนประกอบมคาเทากบศนยในทกระบบพกด เราสนใจทจะหาเทนเซอรไอโซทรอปกทมบาง

สวนประกอบมคาไมเทากบศนย โดยจะพจารณาเทนเซอรไอโซทรอปกในลาดบตางๆ ไดดงน

ถา α เปนเทนเซอรลาดบศนยหรอสเกลาร จะเหนวา α α′ = เสมอ จงเหนไดวาเทน

เซอรลาดบศนยเปนเทนเซอรไอโซทรอปกเสมอ

ถา v เทนเซอรลาดบหนงหรอเวกเตอร v จะเปนเทนเซอรไอโซทรอปกเมอ

i ij j iv a v v′ = =

นนคอ ตองการให

=Av v หรอ ( )− =A I v 0

สาหรบทกเมทรกซการแปลง A ซงจะเปนไปไดกตอเมอ =v 0 เทานน


ในกรณของเทนเซอรลาดบสอง จะเหนวา

ij ijα δ αδ′ ′ =

เมอ α เปนสเกลาร นนคอ ijαδ เปนสวนประกอบของเทนเซอรไอโซทรอปก ตอไปจะแสดงวาไม

มเทนเซอรไอโซทรอปกลาดบสองในรปแบบอนอก

ให ijT เปนสวนประกอบของเทนเซอรไอโซทรอปก กลาวคอ ทกสวนประกอบมคาคง

เดมภายใตการหมนแกน จงได

ij ijT T′ = เมอ , 1,2, 3i j =

พจารณาการหมน 120° รอบเวกเตอร ( )1,1,1 ซงจะทาใหแกน 1x หมนไปเปนแกน

2x สวนแกน 2x หมนไปเปนแกน 3x และแกน 3x หมนไปเปนแกน 1x นนคอ

13 21 32 1a a a= = = และ ija ทเหลอเทากบ 0

หรอเขยนในรปเมทรกซ

3 11

2 1 2

32 3

0 0 1

1 0 0

0 1 0

x xx

x x x

x x x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤′ ′⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ′ ′⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ′ ′⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

จากสมบตการแปลง

ij pi qj pqT a a T′ =

120°

1x

2x

3x

รป 3.6.1 หมนระบบพกด 120° รอบเวกเตอร (1,1,1)

( )1,1,1


จะเหนวา

11 1 1 21 21 22 22

12 1 2 21 32 23 23

13 1 3 21 13 21 21

21 2 1 32 21 32 32

22 2 2 32 32 33 33

23 2 3 32 13 31 31

31 3 1 13 21 12 12

32

p q pq

p q pq

p q pq

p q pq

p q pq

p q pq

p q pq

T a a T a a T T

T a a T a a T T

T a a T a a T T

T a a T a a T T

T a a T a a T T

T a a T a a T T

T a a T a a T T

T

′ = = =

′ = = =

′ = = =

′ = = =

′ = = =

′ = = =

′ = = =

′3 2 13 32 13 13

33 3 3 13 13 11 11

p q pq

p q pq

a a T a a T T

T a a T a a T T

= = =

′ = = =

แต ij ijT T′ = จงได

11 22 33

12 23 31 13 32 21

T T T

T T T T T T

= =

= = = = =

ตอไปหมน 90° รอบแกน 3x เพอใหแกน 1x หมนไปเปนแกน 2x และแกน 2x หมนไปเปนแกน

1x− นนคอ

2 11

2 1 2

33 3

0 1 0

1 0 0

0 0 1

x xx

x x x

x x x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤′ ′⎡ ⎤ − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ′ ′⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ′ ′⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

จะเหนวา 12 1 2 21 12 21 21p q pqT a a T a a T T′ = = = −

นนคอ 21 12T T= − จงได 12 23 31 13 32 21 0T T T T T T= = = = = =

ถาให 11T α= จะไดสวนประกอบของเทนเซอรไอโซทรอปกลาดบสองเปน

ij ijT αδ=

สาหรบเทนเซอรลาดบสาม สามารถแสดงไดวาเทนเซอรไอโซทรอปกจะเขยนไดในรป

ijkαε เมอ α เปนสเกลาร


แบบฝกหด 3.6 1. ถาแกน 1 3 2, ,x x x′ ′ ′ มสวนประกอบในระบบพกด 1 2 3x x x เปน

1 1 1 1 2 1 1 1

, , , ( , , ), ( , 0, )3 3 3 6 6 6 2 2

⎛ ⎞⎟⎜ − −⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠,

ตามลาดบ และกาหนดเวกเตอร , ,A B C มสวนประกอบในระบบพกด 1 2 3x x x เปน

( ) ( )1,1,1 , 1,1, 0 , (1, 0,1)= = =A B C

1.1 จงหาสวนประกอบของเวกเตอร , ,A B C ในระบบพกด 1 2 3x x x′ ′ ′

1.2 กาหนดเทนเซอร S โดย ij i jS AB=

จงหาสวนประกอบของเทนเซอร S ในระบบพกด 1 2 3x x x และระบบพกด 1 2 3x x x′ ′ ′

1.3 กาหนดเทนเซอร T โดย ijk i j kT AB C=

จงหาสวนประกอบของเทนเซอร T ในระบบพกด 1 2 3x x x และระบบพกด 1 2 3x x x′ ′ ′

1.4 จงหา i j jAB C และ i j jAB C′ ′ ′

2. กาหนด ,α β เปนสเกลาร และ , ,S T W เปนเทนเซอรลาดบ n จงแสดงวา

2.1 ( )α β α α+ = +S S T

2.2 ( )α α α+ = +S T S T

2.3 + = +S T T S

2.4 ( ) ( )+ + = + +S T W S T W

3. ถาเทนเซอร T ลาดบสามทมสวนประกอบ pqrT เปนเทนเซอรสมมาตรเทยบกบดชน p และ q

แลวจงแสดงวาเทนเซอรนจะยงคงเปนเทนเซอรสมมาตรภายใตการหมนระบบพกด

4. กาหนด v เปนเวกเตอร ถา jk j ka v vα = แลวจงแสดงวา ( )2 jk kj j ka a v vα = +

5. จงแสดงวาถาสวนประกอบของเทนเซอรเปนศนยทกสวนประกอบในระบบพกดหนงแลว

สวนประกอบทกสวนของเทนเซอรจะยงคงเปนศนยในทกระบบพกด

6. ถา ij ijS T= ในระบบพกดหนงแลวจงแสดงวา =S T นนคอ ij ijS T= ในทกระบบพกด

7. pqrsT เปนเทนเซอรลาดบสในปรภมสามมต และเปนเทนเซอรปฏสมมาตรเทยบกบดชนสอง

ตวใดๆ จงหาจานวนสวนประกอบอสระของเทนเซอรน

8. ถา 12k ijk ijA Bε= และ ij jiB B= − แลว จงแสดงวา mn mnk kB Aε=

9. กาหนด T เปนเทนเซอรลาดบสทมสวนประกอบเปน ijklT จงแสดงวาสามารถเขยน

ijkl ijkl ijklT S A= + เมอ ijklS เปนสวนประกอบของเทนเซอรสมมาตรเทยบกบดชนสองตว

แรกและ ijklA เปนสวนประกอบของเทนเซอรปฏสมมาตรเทยบกบดชนสองตวแรก

10. ถา T เปนเทนเซอรลาดบ n ในปรภม m มต แลวจงหาจานวนสวนประกอบทงหมดของ T

11. จงแสดงวาเทนเซอรไอโซทรอปกลาดบสามเขยนไดในรป ijk ijkT αε= เมอ α เปนสเกลาร

12. จงแสดงวาเทนเซอรไอโซทรอปกลาดบสเขยนไดในรป ijkl ij kl ik jl il jkT αδ δ βδ δ γδ δ= + +

เมอ , ,α β γ เปนสเกลาร

3.7 พชคณตของเทนเซอร 125

3.7 พชคณตของเทนเซอร

บทนยาม 3.7.1 การคณดวยสเกลาร

ถา α เปนสเกลาร และ T เปนเทนเซอรลาดบ n ทมสวนประกอบ ij nT

แลว αT เปนปรมาณทมสวนประกอบเปน ij nTα

ขอสงเกต ถา T เปนเทนเซอรลาดบ n แลว αT เปนเทนเซอรลาดบ n ดวย ซงเหนไดจาก

( ) ( )ij n pi qj tn pq n pi qj tn pq nT a a a T a a a Tα α α′ ′ = =

บทนยาม 3.7.2 การบวก

ถา S และ T เปนเทนเซอรลาดบ n ทมสวนประกอบ ij nS และ ij nT

แลว +S T เปนปรมาณทมสวนประกอบเปน ij n ij nS T+

ขอสงเกต

1. ถา S และ T เปนเทนเซอรลาดบ n แลว +S T เปนเทนเซอรลาดบ n ซงแสดงไดดงน

ให = +W S T นนคอ ij n ij n ij nW S T= + จะไดสมบตการแปลง

( ) ( )

( )ij n ij n ij n pi qj tn pq n pi qj tn pq n

pi qj tn pq n pq n pi qj tn pq n

W S T a a a S a a a T

a a a S T a a a W

′ ′ ′= + = +

= + =

2. ถา α และ β เปนสเกลาร และ S และ T เปนเทนเซอรลาดบ n

แลว α β+S T เปนเทนเซอรลาดบ n

ตวอยาง 3.7.1 กาหนดเทนเซอร S และเทนเซอร T พรอมทงเมทรกซการแปลง A ดงน

2 1 0 1 0 1 0 0 1

1 1 2 , 0 2 3 , 0 1 0

0 2 3 1 3 1 1 0 0

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= − − = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

S T A

จงเขยน 3 2′ ′−S T ในรปเมทรกซ

วธทา

( )T

0 0 1 4 3 2 2 0 11

3 2 3 2 0 1 0 3 1 12 3 1 12

1 0 0 2 0 11 4 3 2

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥′ ′− = − = − − − = − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

S T A S T


บทนยาม 3.7.3 การยอ(Contraction)

ถา T เปนเทนเซอรลาดบ n แลวปรมาณทไดจากการกาหนดใหดชนสองตวใหเหมอนกนแลวหา

ผลรวมตามสญนยมการบวกจะเรยกวาเทนเซอรยอ(contracted tensor)


1. ถา T เปนเทนเซอรลาดบ n แลวเทนเซอรยอทไดจากการกาหนดใหดชนสองตวเหมอนกนจะ

เปน

เทนเซอรลาดบ 2n −

2. ถา T เปนเทนเซอรลาดบสองแลวเทนเซอรยอของ T คอรอย Tr( ) iiT=T

ตวอยาง 3.7.2 ถา T เปนเทนเซอรลาดบสทมสวนประกอบเปน ijklT แลว

จงแสดงวาเทนเซอรยอทมสวนประกอบเปน ijkkT เปนเทนเซอรลาดบสอง


ijkk pi qj rk sk pqrs pi qj rs pqrs pi qj pqrrT a a a a T a a T a a Tδ′ = = =

จงสรปไดวา ijkkT เปนสวนประกอบของเทนเซอรลาดบสอง

บทนยาม 3.7.4 ผลคณภายนอก(Outer Product)

ถา S เปนเทนเซอรลาดบ m ทมสวนประกอบ pq tS

และ T เปนเทนเซอรลาดบ n ทมสวนประกอบ ij nT

แลวปรมาณทมสวนประกอบ pq t ij nS T เรยกวาผลคณภายนอกของ S กบ T

ขอสงเกต ถา S เปนเทนเซอรลาดบ m และ T เปนเทนเซอรลาดบ n

แลวผลคณภายนอกของ S กบ T เปนเทนเซอรลาดบ m n+

ตวอยาง 3.7.3 ถา S เปนเทนเซอรลาดบสองและ T เปนเทนเซอรลาดบสาม

จงแสดงวาผลคณภายนอกของ S กบ T เปนเทนเซอรลาดบหา

วธทา ให ijS และ lmnT เปนสวนประกอบของ S และ T ตามลาดบ โดยมสมบตการ

แปลง

ij pi qj pqS a a S′ = และ lmn rl sm tn rstT a a a T′ =

พจารณาสมบตการแปลงของ ijlmn ij lmnW S T=

( )( ) ( )ijlmn ij lmn pi qj pq rl sm tn rst pi qj rl sm tn pq rst pi qj rl sm tn pqrstW S T a a S a a a T a a a a a S T a a a a a W′ ′ ′= = = =

จงสรปไดวาผลคณภายนอกของ S กบ T เปนเทนเซอรลาดบหา


บทนยาม 3.7.5 ผลคณภายใน (Inner Product)

ถา S เปนเทนเซอรลาดบ m และ T เปนเทนเซอรลาดบ n

แลวปรมาณทไดจากการยอผลคณภายนอกของ S กบ T เรยกวาผลคณภายในของ S กบ T


1. ถา S เปนเทนเซอรลาดบ m และ T เปนเทนเซอรลาดบ n แลวผลคณภายในของ S กบ T ท

ไดจากการยอดวยการกาหนดใหดชนสองตวเหมอนกนเปนเทนเซอรลาดบ 2m n+ −

2. ถา A และ B เปนเวกเตอรแลวผลคณภายในทเปนไปไดคอผลคณเชงสเกลาร i iAB ซงเปนส

เกลาร

ตวอยาง 3.7.4 กาหนด S เปนเทนเซอรลาดบสอง และ T เปนเทนเซอรลาดบสาม

จงแสดงวา ij jmnS T เปนสวนประกอบของเทนเซอรลาดบสาม

วธทา เนองจาก S เปนเทนเซอรลาดบสอง และ T เปนเทนเซอรลาดบสาม จงไดสมบต

การแปลง

ij pi qj pqS a a S′ = และ lmn rl sm tn rstT a a a T′ =

ให imn ij jmnW S T= จะได

( )( )( ) ( )

( )

imn ij jmn pi qj pq rj sm tn rst

pi qj rj sm tn pq rst pi qr sm tn pq rst

pi sm tn pq qst pi sm tn pst

W S T a a S a a a T

a a a a a S T a a a S T

a a a S T a a a W

δ

′ ′ ′= =

= =

= =

จงสรปไดวา ij jmnS T เปนสวนประกอบของเทนเซอรลาดบสาม

ตวอยาง 3.7.5 กาหนด T เปนเทนเซอรลาดบสอง และ v เปนเวกเตอร

จงแสดงวาผลคณภายในของ T และ v เปนเวกเตอร

วธทา ให i ij jS T v= พจารณาสมบตการแปลง

( )( ) ( ) ( ) ( )i ij j ip jq pq rj r ip jq rj pq r ip qr pq r ip pr r ip pS T v a a T a v a a a T v a T v a T v a Sδ′ ′ ′= = = = = =

นนคอ iS เปนสวนประกอบของเวกเตอร

จงสรปไดวาผลคณภายในของเทนเซอรลาดบสองและเวกเตอรเปนเวกเตอร


หลกเกณฑผลหาร (Quotient Rule)

การทจะแสดงวาปรมาณหนงทกาหนดใหเปนเทนเซอรหรอไม จะตองตรวจสอบกบ

สมบตการแปลงของเทนเซอร ในทางปฏบต สามารถอาศยหลกเกณฑผลหารชวยพจารณาได และ

จะแสดงหลกเกณฑผลหารนดวยตวอยางตอไปน

ให ijT เมอ , 1,2, 3i j = เปนปรมาณทมสวนประกอบ 9 สวน และมเวกเตอร b และ

เวกเตอร c โดยท b ไมมความสมพนธกบ ijT ถาทราบวา

ij j iT b c= (3.73)

แลวจะสรปไดวา ijT เปนสวนประกอบของเทนเซอร T

เนองจากสมการ (3.73) เปนสมการเทนเซอร จงมสมบตการแปลง

ij j iT b c′ ′ ′= (3.74)

แต b และ c เปนเวกเตอร จงมสมบตการแปลง

j mj mb a b′ = และ i ni nc a c′ = (3.75)

จงแทน i ni nc a c′ = จากสมการ (3.75) และ i ip pc T b= จากสมการ (3.73) ลงในสมการ (3.74)

ไดดงน

ij j ni n ni np pT b a c a T b′ ′ = = (3.76)

แตจาก j mj mb a b′ = จะได p pj jb a b ′= ซงเมอแทนในสมการ (3.76) จะได

ij j ni np pj jT b a T a b′ ′ ′= (3.77)

นนคอ

( ) 0ij ni pj np jT a a T b′ ′− = (3.78)

แตจากทกาหนดใหเวกเตอร b อสระจาก T จงได

ij ni pj npT a a T′ = (3.79)

นนคอ ijT เปนสวนประกอบของเทนเซอร T


แบบฝกหด 3.7 1. หมนระบบพกด 1 2 3x x x เปนมม 30° รอบแกน 2x ทาใหไดระบบพกด 1 2 3x x x′ ′ ′

กาหนดเวกเตอร ( )1,1,1=A และ ( 1,2,1)= −B

กาหนดเทนเซอร S และ T โดย ij i jS AB= และ ij i jT B A=

และกาหนดเทนเซอร W โดย ijkl ij klW S T=

1.1 จงหาสวนประกอบของ 2 3−S T ในระบบพกด 1 2 3x x x′ ′ ′

1.2 จงหา 2132W และ 2132W ′

1.3 จงหา ijkjW และ ijkjW ′

2. หมนระบบพกด 1 2 3x x x เปนมม 120° รอบเวกเตอร (1,1,1) ทาใหไดระบบพกด 1 2 3x x x′ ′ ′

กาหนดเวกเตอร ( )1,1,1=A และกาหนดเทนเซอร T ลาดบสองในรปเมทรกซ

1 2 1

2 1 3

1 3 2

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

T

2.1 จงหา ija

2.2 จงเขยนแสดง T ดวยเมทรกซในระบบพกด 1 2 3x x x′ ′ ′

2.3 จงหาเทนเซอรยอของ T

2.4 จงหาสวนประกอบทงหมดของผลคณภายในของ T กบ A ในระบบพกด 1 2 3x x x′ ′ ′

3. กาหนด T เปนผลคณภายในของ ijkε และ pqrε โดย ijpq ijk pqkT ε ε=

จงแสดงวา T ไมใชเทนเซอรศนย แตทกเทนเซอรยอของ T เปนเทนเซอรศนย

4. ถา ij jk ikT A B= เปนจรงในทกระบบพกด และถา A และ B เปนเทนเซอรลาดบสองแลว

จงแสดงวา T เปนเทนเซอรลาดบสอง

5. กาหนด S และ T เปนเทนเซอรไอโซทรอปกลาดบ n

จงแสดงวา α β+S T เปนเทนเซอรไอโซทรอปกลาดบ n เมอ α และ β เปนสเกลาร

6. โมเมนตมเชงมมของระบบทประกอบดวยมวล , 1,2, ,im i n= … กาหนดโดย ( )1

n

i i ii

m=

= ×∑L r v

เมอ ir และ iv เปนเวกเตอรตาแหนงและเวกเตอรความเรวของมวล im ตามลาดบ

กาหนดความเรวเชงมม ω ของระบบ โดยสมการ i i= ×v rω

6.1 จงแสดงวา ( ) ( )1

n

i i i i ii

m=

⎡ ⎤= ⋅ − ⋅⎣ ⎦∑L r r r rω ω

6.2 จงแสดงวาโมเมนตมเชงมมเขยนไดในรปของเทนเซอรโมเมนความเฉอย(moment of

inertia tensor) ซงเขยนแทนดวย I กลาวคอ

p pq qL I ω= เมอ ( ) ( )( )1

n

pq i pq i i i ip qi

I m δ=

= ⋅ −∑ r r r r

ch3 - เทนเซอร์ _engineering mathematics ii_

Documents