Chap 4

定积分及其应用

Chap 4.1

定积分概念与性质

4.1.1 典型例子

■ 质线的质量

质线位于x 轴上[a,b],线密度为μ(x) ,那么质

线的质量m＝？

若μ=常数，则 m =μ(b- a)

若μ不一定为常数 ,怎么求？

a b

(1) 分成 n个小段: 分点a =x0< x1< x2<···< xn =b

小区间[xi-1, xi]的长度Δxi= xi- xi-1

xixi-1

(2) 求近似质量: 每一小段质量

总质量近似值

∑=

Δ=n

iii xm

1)(ξμ

(3) 求质量:

小区间最大长度 则,max1 ini

xΔ=≤≤

λ

∑=

→Δ=

n

iimm

10limλ

求此质量的三个步骤：分割、求和、求极限

],[,)( 1 iiiiii xxxm −∈Δ≈Δ ξξμ

■ 质点运动的路程

质点运动从时间t =a 到t =b,速度为v(t),路程＝？

若v =常数，则路程 S =v(b- a)

若v 不一定为常数，则

(1) 分割：分[a,b]为小区间，分点为

a =t0< t1< t2<···< tn =b，而 1−−=Δ iii ttt

(2) 求和：路程近似值

],[)( 11

iiii

n

ii tttv −

=

∈Δ∑ ξξ

inii

n

ii ttvS Δ=Δ=

≤≤=→ ∑ 110

max)(lim λξλ

(3) 求极限

■ 曲边梯形的面积

若 f(x)≥0(a ≤ x ≤ b ),由曲线y =f(x ),直线x =a,

x = b及x 轴围成的图形称曲边梯形,其面积 A=?

O

y

xa bxi-1 xi

ξi

若f =常数，则面积

A =f(b- a)

若f 不一定为常数，

(1) 分割：分[a,b]

为小区间，分点为 a =x0< x1< x2<···< xn =b，而

1−−=Δ iii xxx

(2) 求和：面积近似值

],[)( 11

iiii

n

ii xxxf −

=

∈Δ∑ ξξ

(3) 求极限

inii

n

ii xxfA Δ=Δ=

≤≤=→ ∑ 110

max)(lim λξλ

■ 这些例子的共同点？

求在某区间上的分布率不均匀的量

通过分割、求和(得近似值)、再求极限得到

f(x)定义在[a,b],分[a,b]为小区间，分点

a =x0< x1< x2<···< xn =b，称为[a,b] 的一个分划

若∃ I ∈R,对[a,b]的任何分划和 ],[ 1 iii xx −∈∀ξ

所作和 均有,)(1

i

n

ii xf Δ∑

=

ξ

Ixf i

n

ii =Δ∑

=→ 10

)(lim ξλ

)max(1 ini

xΔ=≤≤

λ

则称f(x)在[a,b]可积， I 称为f (x)在[a,b]的定积分，

记为

∫=b

adxxfI )(上限

下限积分

积分变量

积分微元

4.1.2 定积分的定义

定积分的值与积分变量的选取无关

∫∫ =b

a

b

aduufdxxf )()(

规定

∫∫∫ −==b

a

a

b

a

adxxfdxxfdxxf )()(0)(

几何意义：曲边图形

正

负

面积的代数和

思考一下 定义中极限的含义 十分复杂 ！

■ 常见可积函数

(1) [a, b] 上的连续函数

(2) 在[a,b]有界且仅有有限个间断点的函数

(3) [a,b]上单调有界函数

例 计算抛物线 y =x2 与直线x =1及x 轴所围成

图形的面积

■ 不可积函数的例子

⎩⎨⎧

=为无理数

为有理数函数

xx

xDDirichet01

)(

■ 药物有效度的测定

服用药物后由血液系统吸收才发生作用，临床上

药物在时段[0,T]排出，则有效药量（即总排出量)

用监测病人排尿中药物速率c(t)来确定血液中药量,若

■ 前面几个例子

( )b

aS v t dt= ∫( )

b

am x dxμ= ∫质线质量 路程

( )b

aA f x dx= ∫曲边梯形面积

0( )

Tc t dt∫

4.1.3 定积分的性质

设 f (x), g(x)均在[a, b]可积

线性

∀α,β∈R , α f (x) +β g(x) 也在[a, b]可积，且

∫∫∫ +=+b

a

b

a

b

adxxgdxxfdxxgxf )()()]()([ βαβα

乘积可积性 f (x) g(x) ∈R[a, b]

对区间的可加性

f (x)∈R[a, b] ⇔ f (x)∈R[a, c]∩ R[ c,b]∀c∈(a, b),

且 dxxfdxxfdxxfb

c

c

a

b

a ∫∫∫ += )()()(

保序性

∫∫ ≥⇒≥b

a

b

adxxgdxxfxgxf )()()()(

推论

0)(0)()1( ∫ ≥⇒≥b

adxxfxf

)()()(

)()2(

abMdxxfabm

Mxfmb

a−≤≤−⇒

≤≤

∫绝对可积性

( ) [ , ], ( ) ( )b b

a af x R a b f x dx f x dx∈ ≤∫ ∫且

积分中值定理

若 f(x)在[a,b]连续，则∃ξ∈[a,b],

))(()( abfdxxfb

a−=∫ ξ

其意义是函数f (x) 的平均值

( )( )

b

af x dx

fb a

ξ =−

∫也即

常数的积分

)( abcdxcb

a−=∫

例 比较下列积分的大小

dxedxe xx ∫∫ −− 1

0

1

0

2

)1( 与

dxxdxx ∫∫ 20

320

2 sinsin)2(ππ

与

dxexp xpn

nn

−+

∞→ ∫> 2lim,0 求例

H.W

1(2) 2 (2)(3) 3

我们希望解决的问题

不用定义的方式，

能否计算定积分？

Chap 4.2

微积分基本定理

若 f (x)在[a, b]可积，定义函数

称为 f (x)在[a, b]的变上限积分(或积分上限函数)

连续性

4.2.1 变上限积分

∫ ∈=Φx

abaxdttfx ],[,)()(

■ 变上限积分的性质

在[a,b]连续

( ) ( )x

ax f t dtΦ = ∫若 f (x)在[a, b]可积，则

可微性

在[a,b]可导，且

)()( xfx =Φ′

例 求下列函数的导数

∫=x

dttxf0

2sin)()1( ∫=x

dttxf0

2cos)()2(

∫ +=0 22

)1ln()()3(x

dttxf

∫=xe

xxgdttgxf

2)(,)()()4( 连续其中

( ) ( )x

ax f t dtΦ = ∫若 f (x)在[a, b]连续，则

由方程例 )(xyy =

∫∫ =+1

2

2

1

2

cosx

y t

edttdtt

e

确定，试求y 的导数y ’(x)

)1ln(

arctanlim1 3

0

0

2

x

dttx

x +∫

+→）（

例 求下列极限

25

2

arctanlim2 0

0 x

dttxx

x

∫+→

）（

例 求 ∫ −=x

dtt

xf1

)12()( 的单调与凹凸性 (x > 0)

H.W

5 6 (1)(2)(4)(5)

6 7 8 9

4.2.2 微积分基本定理

（Newton-Leibniz 公式）

)()()( aFbFdxxfb

a−=⇒ ∫

引进写法

)()()()( aFbFxFdxxf b

a

b

a−==∫

说明求定积分 ∫b

adxxf )(

f(x)的一个原函数

例 ?sin0

=∫ dxxπ

的值归结为求出

( ) ( )F x f x′ =

f (x)在[a, b]连续

■ 艾萨克 • 牛顿 Sir Isaac Newton

(英格兰 1643－1727年)

物理学家 数学家 天文学家

哲学家

炼金术士 造币厂总监

科学史上最有影响力的人

较之科学他更多致力于《圣经》的研究

专心于科学研究到痴情

性格内向 独身一生

（德国1646～1716）

■ 莱布尼兹 Leibniz

微积分的另一创始人

预见并认真思索符号逻辑

博览群书，涉猎百科的科学奇才

涉及数学、物理、逻辑、生物、化学、地理

解剖学、航海学、地质、语言、法学、哲学、历

史和外交等。

一生未婚 未当教授 不进教堂